Algebra booleana

Introduccion

• Las algebras booleanas, estudiadas por primera vez en detallepor George Boole, constituyen un lugar prominente en el advenimiento de la computadora digital. Son usadasampiamente en el diseno de los circuitos de distribucion y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchasotras areas. En el nivel de la logica digital de unacomputadora , lo que comunmente se llama hardware, y queesta fomado por los comppnentes electronicos de la maquina, se trabaja con diferencias de tension, las cualesgeneran funciones que son caliculadas por los circuitos queforman el nivel. Estas funciones, en la etapa de diseno del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

Definicion

• El algebra es un sistema matematico deductivocentrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario “*”, definido en este juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradasbooleanas y produce una sola salida booleana.

Algebra Booleana

• Para cualquier sistema algebraico existe unaserie de postulados inciales, de aqui se pudendeducir reglas adicionales, teoremas y otraspropiedades del sistema, el algebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado

• El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valoers booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo

• Se dice que un operador binario “⁰” es conmutativo si A⁰B=B⁰A para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo

• Se dice que un operador binario ”⁰” es asociativo si (A⁰B)⁰C=A⁰(B⁰C) para todos los valores booleanos de A,B y C.

Distributivo

• Dos operadores binarios “⁰” y “%” son distributivos si A⁰(B%C)=(A⁰B)%(A⁰C) para todos los valores booleanos de A, B y C.

Identidad

• Un valor booleano I se duce que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “⁰”si A⁰I=A.

Inverso

• Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “⁰” si A⁰I=B, y si B es diferente de A, es decir, B es el opuesto de A.

Teoremas

• Es posible probar todos los teoremas del algebra booleana utilizando estos postulados, ademas es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas mas importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Operación logica AND

• La operación AND se representa con el simbolo”*”. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminara el sombolo *, por lo tanto AB representa la operacion logica AND entre las variables Ay B, a esto tambien le llamamos el producto entre A y B.

Operador logico OR

• La operación logica OR se representa con el simbolo “+”. Entonces decimos que A+B es la representacion logica OR entre A y B, tambienllamada la suma de Ay B.

Operación logica NOT

• El complemento logico, negacion “NOT” es un operador unitario, en este texto utilizaremos el simbolo „ para denotar la negacion logica, por ejemplo, A‟ denota la operación logica NOT de A.

Compuertas logicas

Puerta AND.

• La salida de un a compuerta AND es 1, solamente si todas sus entradas son simultaneamente 1, de lo contrario es 0.

Puerta OR

• La salida de una compuerta OR es 1 solamente si todas sus entradas son simultaneamente 0, de lo contrario es 1.

Inversor o puerta NOT.

• Un inversor es una puerta de solamente una entrada y su salida es el complemento logico de la entrada es decir, cuando a la entrada de una puerta NOT hay un 1 su salida sera 0, y de locontrario cuando su entrada es 0, su salida sera 1.