algebra 4º
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7/25/2019 Algebra 4
1/174
Cap t u l o Pg .
1. Exponentes I ................................................................................................................... 43
2. Exponentes II .................................................................................................................. 49
3. Productos notables ........................................................................................................... 53
4. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 59
5. Factorizacin I ................................................................................................................. 67
6. Factorizacin II ................................................................................................................ 73
7. Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 79
8. Repaso ........................................................................................................................... 85
NDICE
-
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43Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIOEx ponentes I
Capt ulo I
Los armariosEn las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante eltiempo de clase. En una determinada escuela haba 1000 estudiantes y 1000 armarios. Cada ao el primer da declase, los estudiantes se alinean por orden alfabtico y realizan el extrao ritual que sigue:El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. Eltercero cambia la situacin de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto cambia lasituacin de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto,etc.Qu armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?
La notacin exponencial se emplea en varias situaciones.El ejemplo muestra el uso de exponentes para analizar
una situacin en la que cierta sustancia esta decreciendode modo exponencial.
Ejemplo:
Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegrade tal manera que solo queda 1/2 de la cantidad previadespus de cada hora. Si en un momento dado hay 320gramos de dicha sustancia, qu cantidad quedar despusde 8 horas?, cunto quedar despus de n horas?
Solucin:Como la cantidad restante, despus de cada hora, es 1/2de los gramos que haba al final de la hora anterior, podemosencontrarla multiplicando el nmero precedente de gramospor (1/2).
Gramos restantes
Inicio: 0 horas 32021
3200
=
Despus de 1 hora 16021
320
1
=
Despus de 2 horas 8021
3202
=
Despus de 3 horas 4021
3203
=
: :
Despus de 8 horas 4
5
2
1
320
8
=
Fjese usted en que cada potencia de 1/2 es la misma queel nmero de horas que ha estado desintegrndose la
sustancia. Si suponemos que seguir aplicndose la mismanorma sacamos la conclusin de que despus de n horasquedarn:
n
n
2
32021
320 =
gramos de la sustancia original.
Problemas resueltos
1. Reducir :
( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )33753
254223222)x(
xxxxx
xxxxxS = ; x 0
Solucin:
Aplicando : (am)n= amn
tenemos :9753
108642
)x(x.x.x.x.x
x.x.x.x.xS = ; luego aplicando:
am. an= am+n
tenemos :5
25
30
97531
108642
)x( xx
x
x
xS ===
++++
++++
5)x( xS =
2. Reducir:
8
4 22
222S
=
-
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Exponentes I
44Cuarto ao de secundaria
Solucin:
Aplicando: mprsr)qnp(
m p r sqn aaaa++
= tenemos:
42222S
8
8
28
8
5
8
78
85
87
=
=
=
=
S = 4
3. Si: xmyn= 3m ......... ( )xnym= 3n ......... ()
Hallar :xy
yx
S
=
Solucin :
Multiplicando: ( )()tenemos :
xmyn. xnym= 3m. 3n
de donde: xm+nyn+m= 3m+n
acomodando: (xy)m+n= 3m+n
xy = 3
Dividiendo:
n
m
mn
nm
3
3
yx
yx=
nmnm
nm
3y
x
=
nm
nm
3yx
= 3yx
=
Luego reemplazamos:S = 33= 27S = 27
4. Simplificar:294
336
30.14.15
80.35.21S=
Solucin:
Descomponiendo en base 5, 3 y 7
2229944
3123366
294
3436
5.2.3.2.7.3.5
5.2.5.7.3.7
)5.2.3()2.7()3.5(
)5.2()5.7()3.7(S ==
22.5.3.7
2.5.3.7S
11669
12669
==
S = 2
PRECAUCIN: Aprenda a evitar errores como estos
Mal Bien
52. 54= 58 (No multiplique los exponentes) 52. 54= 56
52. 54= 256 (No multiplique las bases de las potencias)
32
6
555
= (No divida los exponentes) 426
555
=
42
6
155
= (No divida las bases de la potencia)
(52)6= 58 (No sume los exponentes) (52)6= 512
(-2)4= -24 (Mala interpretacin del parntesis) (-2)4= (-1)424= 24
(-5)0= -1 (Mala interpretacin de la definicin de b0) (-5)0= 1 (Definicin de b0)
33
21
2 = (Mala interpretacin de la definicin de b-n) 33
21
2 = (Definicin de b-n)
1434
3
2222
== (Descuido al restar exponentes) 7)4(343
2222
==
53+ 53= 56 53+ 53= (1 + 1)53= 2 . 53
(La adicin de exponentes no se aplica con el signo de suma) (Propiedad distributiva)
-
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Exponentes I
45Cuarto ao de secundaria
(a + b)-1= a-1+ b-1 ba1
)ba( 1+
=+
(Mala aplicacin de la definicin del exponente negativo) (Definicin del exponente negativo)
525 = (Mal uso de la definicin de a ) 525 =
434/3 )16(16 = (Mal uso de la definicin de bm/n) ( ) 4 3344/3 161616 =
(-2)-1/3= 21/3 33/13/1
2
1)2(1
)2(
=
=
ba
1ba 2/12/1
+=+
b
1
a
1ba 2/12/1 +=+
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = bn ; n lN
exponente natural"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ;-n
an
Exponente negativo
n > 0a
a = 1 ; a 00
Exponente fraccionario
a =mn am
n
Multiplicacin debases iguales
a . a = am+nm n
Potencia de un productoRaz de raz
(ab) = a bn n n
= an
bn; b 0a
b
n
= amnp
am n p
Divisin de basesiguales
=am
ana ; a 0m-n Raz de un producto
=abn
an
bn
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
=n
an
b
abn
Consecuencia
= aam n pa qa
r s(np+q)r+s
mpr
Potencia de potencia
(a ) = am n mnpp
Potencia de exponente
adems:
= |a|a2
en general:
= |a|a2n2n
Nota:
= a ; a > 0ann
.
a = am m
n np p
Potencia de un cociente
-
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Exponentes I
46Cuarto ao de secundaria
Bloque I
1. Reducir:
22625324
24332342
)y,x()y()x()y()x(
)y()x()y()x(S = ; x, y 0
a) x3y5 b) x5y3 c)35yx
1
d) x-3y-5 e) 1
2. Simplificar:
129
1251
K
=
a) 1 b) 5 c)51
d) -51
e) - 5
3. Reducir:
24 2 33
812793P
=
a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 27
4. Si: n = 24. 48
Hallar el valor de: S = 5 n
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16
5. Simplificar:
abbc
1c ba
cb
a
1
x.xx.xR
= ; a b ; c 0; a 0
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8
6. Simplificar:
0n-31
2-n-31
2- }).(-8)((-2)).8{(2 +n es par.
a) 0 b) 1 c) 21
d) 2 e) -1
Problemas para la c lase7. Simplificar:
1n21n
1n1n2
3-993
++
++ +
a) 4 b) 2 c) 1
d) 21
e) 31
8. Calcular:
3n233n223n2
3n2
5.54.5.5
225.)225(+++
+
+
a) 45 b) 25 c) 15d) 5 e) 1
9. Hallar: a2+ b2; si: a, b IN en:
34
ba-a b
b a3
b.a
b.a =
a) 2 b) 8 c) 10d) 15 e) 20
10.Reducir:
34
182 41682644 )x.])x([
Si: x > 0
a) 2x b)2x
c) x
d) x2 e) x3
Bloque II
1. Reducir:
1xx
x11 1
2x2xxE
+
= ; x 0
a) x2 b) xx c) x xd) 1 e) x
2. Si: a + b = 7
Reducir:baa2a
7aaa aaS
=
a) 1 b) 2 c) a
d) b e)21
-
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Exponentes I
47Cuarto ao de secundaria
3. Reducir:
3 3 33 3 3 913 3327L
=
a) 1 b) 3 c) 9
d) 27 e)
3
1
4. Calcule: UNI
Si :1241616U
= ; ( )[ ]444N = ; I = NU
a) 16 b) 8 c) 32d) 1 e) 2
5. Simplifique:
mmm3
m2m1m21m
55.2
5.25.2E
+
=
++
; m 0
a) 5m b) 5 c) 10d) 10m e) 2
6. Operar:
61
1-1-1-2-2
53-2
25
51
+
+
a) 2 b) 2 c) 3
d) 5 e)21
7. Simplificar:
3 43103 259 3 5
3 203 5031259
)25(
5
++
++
a) 1 b) 2 c) 5
d) 21 e) 51
8. Simplificar:
nnn
nnnnnnn nnnn
n1.n
++
a) 1 b) 2 c) nd) n2 e) nn
9. Calcular aproximadamente:
A = ...4242
a) 2 b) 2 3 2 c) 2
d) 16 e) 4 52
10.Hallar una relacin entre x e y en:
3xy
y x-2yxxy
3
1x.y
y.x=
+
a) x = y b) y = 3x c) y = 2xd) y = 5x e) 2x = 3y
Bloque III
1. Si: nn= n+1
Reducir: nnn n
n1n
.nnM +
=
a) 1 b) n c) n-1d) n-2 e) n2
2. Simplificar:
0x;
x.x.x
x.x.xP
1a 2a 3a 2a1aa
3a 2a 1a a1a2a
=+ + + ++
+ + +++
si: a = 2003
a) x2003 b) x2002 c) xd) x-1 e) 1
3. Reducir :12
2
2 2 2 22S
=
a) 1 b) 2 c) 2
d) 4 e) 22
4. Reducir:aax
x ax x axx 1aax2R
+
= ; x 0
a) 2 b) 2x c) 2-1
d) 22 e) 1
5. Simplificar:
1
3
3
3 39
13 333 33
3 23 33
3
3P+
+
=
-
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Exponentes I
48Cuarto ao de secundaria
a) 3 b) 9 c) 81d) 27 e) 1
6. Simplificar:
1255
.5
5
1-
453
5545
a) 1 b) 5 c) 25
d) 125 e) 5
7. Si: ab=a
b1
= 2; calcular:
ab.ba1
b1a
a1b
b-1aa-1b
ba
ba +
++
+
+
a) 2 b)21
c) 4
d)41
e) 8
8. Reducir:
)1x(x
x)x(4x
xxxx-x5
+
++
+
Si: xx= 5
a) 1 b) x c) x + 1d) x2 e) x5
9. Si: xx = 4; calcular:
x
x21
xx
102
1
x
+
a) 3 b) 4 c) 2
d) 4 2 e) 41/4
10.Calcular:
+
1-aa
1aa
a ; si: a-a= 31
a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3d) 5 3 e) 3
1. Simplifique: ( )
( ) ( )0y;0x;
yx
yyxS
2322
323
=
a) yx
b)xy
c) 2y
x
d)yx2
e) x.y
2. Reducir: ( ) ( ) 0x;x6
x3x2P
4
223
=
a) 1 b) 4x8 c) 6x7
d) 6x8 e) 6x4
3. Simplifique: 0a;0b;ba
baQ 25
5
23
32
>>
=
a)ba
b)ab
c) ab
d) 2
2
b
ae)
5
ba
4. Reducir:3
2
6
3
b
a8R
=
a) - 4a2b4 b) 4a2b4 c) 2a2b3
d) 4b2a4 e) 1
5. Simplifica: 3 n44n3
n1n3
yx
yxL
+
+
=
a) x-1y-n b) nxy
4c) xy
2
d) xyn e) ny
x
Aut oevaluac in
Claves1. d 2. d 3. b4. b 5. a
-
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49Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIOEx ponentes I I
Capt ulo I I
Hermanas con hermanosTres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, con el tiempo, cada chica acaba saliendo con elhermano de una de sus amigas. Un da Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: Mira!, ah veo entraral cine a alguien con tu pareja.Puedes decir cmo estn formadas las parejas?.
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = bn ; n lN
exponente natural"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ;-n
an
Exponente negativo
n > 0a
a = 1 ; a 00
Exponente fraccionario
a =mn am
n
Multiplicacin debases iguales
a . a = am+nm n
Potencia de un productoRaz de raz
(ab) = a bn n n
= an
bn; b 0ab
n
= amnp
am n p
Divisin de basesiguales
=a
m
an a ; a 0m-n
Potencia de un producto
=abn
an
bn
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
=n
an
b
abn
Consecuencia
= aa
m n p
aq
a
r s(np+q)r+s
mpr
Potencia de potencia
(a ) = am n mnpp
Potencia de exponente
adems:
= |a|a2
en general:
= |a|a2n2n
Nota:
= a ; a > 0a
nn
.
a = am m
n np p
Potencia de un cociente
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Exponentes I I
50Cuarto ao de secundaria
Problemas para la c lase
Bloque I
1. Efectuar:
31
121
3431
31
41
412
41M
=
a)21
b) 2 c) 8
d) 16 e) 32
2. Reducir:
)3(3
33S
1n
1n3n
++ =
a) 3n- 1 b) 3n+1- 1 c) 24d) 1 - 3n e) 18
3. Reducir:
( ) }1{lNn;999E n n21nn
1n1n
1
n +
= +
+
a) 9 b) 18 c) 81d) 162 e) 243
4. Efectuar:5,049278M
=
a) 0,5 b) 2 c) 0,75d) 0,25 e) 2,5
5. Reducir:
25
273 3 3 222
)x( x.x.x.xM
=
a) x b) x2 c) x3
d) x4 e) x7
6. Reducir:
x3 y3x
x2 y4xx yx
b
b.bM
+
+3=
a) x6 y12xbb19 b)x6 y12x19b +
c) x3 y12x9b + d)63 b.b
e) 6 b.b
7. Reducir:
0n;nS
1n1n
0n
nn
22n
=
a) n -2n b) n-n c) n2n
d) nn e) nn/4
8. Reducir:
3 3 3 222 radicales.............x.x.xS =
a) 1 b) 2x c) xd) 3x e) 4x
9. Reducir:
x1x2x3x4x
x1x2x3x4x
77777
77777S
++++
++++=
++++
a) 49 b) 343 c) 2401d) 16807 e) 4096
10.Si:xnym= 10n xmyn= 10m
Hallar: xy
)xy(A=
a) 1010 b) 101
101
c)10
101
d) 101
10 e) 10
Bloque II
1. Reducir:
x xx
xx
ba baS ++=
a) ab b) a + b c)ab1
d)ba
e) a2 + b2
2. Calcular el valor de:
9n29n229n
19n
39
90S
++
+
+
=
a) 1 b) 2 c) 10d) 9 e) 40
-
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Exponentes I I
51Cuarto ao de secundaria
3. Reducir:133
393
3 22L
+
=
a)2
1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 216
4. Simplifique:
a
2a1 aa 2a1
2a1 1aa2
a.a
)aa(J
+
=++
+ +
a) a + 2 b) a2+ a c) a - 2d) a + 1 e) a
5. Simplifique:
abba:para;xx
xxM
ba
b aa b=+
+
+=
a) x b) 1 c) x -1
d) xa e) xb
6. A partir de:
9
a
bab 1
a 1
3
1
ba
ab
2
=
+
La relacin que existe entre a y b es:
a) b = 3a b) b = 9a c) b = 6ad) b = 27a e) a = b
7. Calcular:
53
812793E=
a) 3 b)31
c) -3
d) 9 e) 27
8. Reducir:
33
3 273
163
3 3 3 44
31
E
=
a) 1 b) 3 c)31
d) -3 e) 3-2
9. Simplificar:
0x;xxxS
0x
2x x
5x5 x 2
>
=
a) x b) x-1 c) x2
d) x-2 e) 2x
10.Efectuar:
0x;xxAx
xx
x 1x1
1x>
=
+
a) 1 b) x c)x1
d) -x e) x2
Bloque III
1. Reducir:
=
n n n n
n n n nn 2
xxxx
xxxxxS
2
a) n x b)2
n 2x c)3
n x
d) n e)4n 2x
2. Reducir:
[ ]
[ ]{ }0n;
)n(n
)n(nnR
nnnn11
nnnnnn
=
a) n b) n2 c) n-1
d) n-2
e) 13. Simplificar:
12
x
x
x
x
x
x
x
x9
1a
a
a
2a
a
1a
3 a
2a
12
2
2
2.8
12
2.6
8
2
P
+
+
=
+
a) 2 b)
xa
2 c) 1d) 22 e) 2
-
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Exponentes I I
52Cuarto ao de secundaria
4. Reducir:1
21
10
2
163231
4,0 )161
()1251
()21
()64()32(A
+++=
a) 1 b) 3
1
c) -1
d) -31
e) 3
5. Simplificar:
1)n2m(
mn21
1
n2m
yx
yxE
+
=
a) x b) y c) xy
d) yx
e)n
yx
6. Transformar:
12242
8 2 16
22
2 2 4 24S
=
a) 2 b) 2 c) 21
d) 12 e) 4
7. Transformar: 2a1a 2aa a =
+
Hallar:2 2 aa
a) 2 b) 4 c) 2
d) a e) a2
8. Calcular aproximadamente:
3 3 3 radicales.....42424L +++=
a) 1 b) 2 c) 4
d) 22 e) 2
9. Efectuar:
4ab baba )ab( )ab()ba(P
+=
(a - b) es impar.
a) 0 b) 1 c) a - b
d) b - a e)ba
1
10.Simplificar:44
4 544
4 3
64S
+
=
a) 22 b) 24 c) 4 2
d) 4 4 e) 8
1. Reducir:
80
81
3 3 3 3 2222
x.x.x.xS
=
a) x b) x2 c) xx
d) xx - 1 e) x-1
2. Simplificar: 40 30 50 300 600985838 x.x.x.x
a) x b) x2 c) xx
d) x-1 e) x20
3. Reducir:
radicales....222
radicales....666S
=
a) 2 b) 3 c) 6d) - 6 e) - 2
4. Reducir:x4x3x2x1x
x4x3x2x1x
33333
33333K
++++
++++=
++++
a) 4 b) 27 c) 9d) 81 e) 243
5. Reducir:23223242
33422324
)y()x()y()x(
)y()x()y()x(S=
a) x4 b) y3 c) x4y3
d) x3y4 e) x2y2
Aut oevaluac in
Claves1. a 2. a 3. b4. d 5. c
-
7/25/2019 Algebra 4
12/174
53Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIO
BombonesEn una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombn a cada hombre conocido,que se lo come inmediatamente. Despus cada hombre le regala un bombn a cada mujer desconocida. En total seregalan 240 bombones.Con esta informacin, se puede determinar el nmero de hombres que hay en la fiesta?
Son productos indicados que tienen una forma determinada,de los cuales se puede recordar fcilmente su desarrollo,sin necesidad de efectuar la operacin.
1. Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2= a2+ 2ab + b2
(a - b)2= a2- 2ab + b2
Identidad de Legendre
I1: (a + b)2+ (a - b)2= 2(a2+ b2)I2: (a + b)2- (a - b)2= 4ab
2. Diferencia de cuadrados
(a + b) (a - b) = a2- b2
3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca(ab + bc + ca)2= a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)
4. Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3
(a - b)3= a3- 3a2b + 3ab2- b3
Identidades de Cauchy
I3: (a + b)3= a3+ b3+ 3ab(a + b)I4: (a - b)3= a3- b3- 3ab (a - b)
Relaciones particulares:
(a + b)3+ (a - b)3= 2a(a2+ 3b2)(a + b)3- (a - b)3= 2b(3a2+ b2)
5. Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a2- ab + b2) = a3+ b3
(a - b) (a2+ ab + b2) = a3- b3
6. Desarrollo de un trinomio al cubo
Segn Cauchy se puede escribir as:(a+b+c)3 = a3+ b3 + c3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc
Otras formas ms usuales del desarrollo:
(a + b + c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)(a + b + c)3= a3+ b3+ c3+ 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc(a + b + c)3= 3(a + b + c)(a2+ b2+ c2) - 2(a3+ b3+ c3) + 6abc
7. Identidades de Stevin
(x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + ab(x+a)(x + b)(x + c) = x3+ (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x + abc(x - a)(x - b)(x - c) = x3- (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x - abc
8. Identidad trinmica de Argand
(x2m+ xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n+ y4n
Formas particulares ms usuales:
Si: m=1 , n=1(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Si: m=1, n=0(x2+ x + 1) (x2- x + 1) = x4+ x2+ 1
9. Identidad de Lagrange
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2+ (ay - bx)2
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) =(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2
10.Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relacionesnotables:
* a2 + b2 + c2= -2(ab + bc + ca)* a3 + b3 + c3= 3abc
* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = 21 (a2 + b2 + c2)2
Product os no t ab les
Capt ulo I I I
-
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13/174
Productos no tab les
54Cuarto ao de secundaria
Problemas resueltos
1. Reducir:L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7
Solucin:
Aplicando: (x + a) (x + b) = x2+ (a + b)x + abtenemos:
L = x2+ 6x + 8 + x2+ 8x + 15 - 2x2- 14x + 7 L = 30
2. Si: 3x1
x2
=
+ ; hallar:
33
x
1xS +=
Solucin:
Desarrollando: x2+ 2x
x1 + 2x1 = 3
1x1
x2
2 =+ ; luego de S :
+
+=+=
22
33
x
11x
x1
xx
1xS
Reemplazando: ( ) 0S00x1
xS ==
+=
3. Reducir:S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3)- 2x(x2+ 11) - 1
Solucin:
Operando :S = x3+ 6x2+ 11x + 6 + x3- 6x2+ 11x - 6 - 2x3- 22x - 1De donde :
S = - 1
4. Reducir:
abc)ca()cb()ba(P333 +++++=
Si : a + b + c = 0
Solucin:
Tenemos que: a + b = - cb + c = -aa + c = -b
Luego reemplazando:
abc
abc3
abc
)cba(-
abc
)b-()a-()c-(P
333333
=++
=++
=
P = -3
5. Reducir:
57
57
57
57S
+
+
+=
Solucin:
Operando:
22
2222
57
)57(2
)57)(57(
)57()57(S
+=
+
++=
122
)57(2S =
+=
S = 12
Bloque I
1. Multiplicar:
( )( )212121212S 488 +
+
+=
a) 1 b) 2 c) 22
d) 2 e) 84
2. Multiplicar:
154.154P +=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16
3. Operar:
++
= 33333 4144927S
a) 9 b) 5 c) 3d) 1 e) 16
4. Reducir:
( ) ( ) 22 3737P ++=
a) 2 b) 10 c) 20d) 40 e) 16
5. Simplificar:
0y,x;xy
yx
xy
yx
S22
+=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Problemas para la c lase
-
7/25/2019 Algebra 4
14/174
Productos no tab les
55Cuarto ao de secundaria
6. Si:a + b = 4ab = 1
Hallar:P = (a2+ b2)2
a) 190 b) 196 c) 197
d) 198 e) 194
7. Si:a + b = 4ab = 1
Hallar:S = a3+ b3
a) 52 b) 51 c) 50d) 49 e) 60
8. Calcular el valor de:
32 643216842 )12)(12)(12)(12)(12)(12(31S +++++++=
a) 4 b) 8 c) 16d) 160 e) 64
9. Multiplicar:
62532532P +++=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 62 e) 10
10.Multiplicar:R = (x2+ xy + y2) (x2- xy + y2) - (x4+ y4)
a) -x2y2 b) x2y2 c) x4y4
d) x6y6 e) x8y8
Bloque II
1. Encontrar el equivalente de:R = 2(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ac)
Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a
a) x + y + z b) xyz c) x2
y2
z2
d) x2+ y2+ z2 e) xy + yz + zx
2. Hallar el valor numrico de:E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2- a2b2]
Para:
12b
12a3
3
=
+=
a) 9 b) 24 c) 26d) 6 e) 1
3. Siendo:a = x(x2+ 3) b = 3x2 + 1
Hallar:( ) 31
22 ba
a) x2- 1 b) x3+ 1 c) x2+ x - 1d) x3- 1 e) x2+ 1
4. Si:33
24P +=
Calcular el valor de: )6P()6P(PM +=
a) 6 b) 9 c) 3d) 2 e) 0
5. El valor numrico de:
33 10361036S +=
a) 1 b) 2 c) 2
d) 2 2 e) 4
6. Siendo:A = (a + b)2- (a - b)2
B = (a2+ b2)2- (a2- b2)2
C = (a3+ b3)2- (a3- b3)2
Obtener:C
ABS=
a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 4ab
7. Si:
32ab;b2
b3ay;
a2ba3
x2222
=+
=+
=
Determinar el valor de:
( ) ( )32
32
yxyxw +=
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
8. Evaluar: 3xxE1010
++=
Siendo: 3xx 1 =+
a) 1 b) 2 c) 5
d) 7 e) 3
9. Si:
110ba
110100ab322
33
+=+
+=
Obtener: N = (a + b)4
- (a - b)4
a) 100 b) 88 c) 64d) 168 e) 60
-
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Productos no tab les
56Cuarto ao de secundaria
10.Obtener el valor de:S = (a + b) (a2+ b2) (a4+ b4) (a - b) + 2b8
Para: 12a += 12b =
a) 28 b) 30 c) 34d) 47 e) 62
Bloque III
1. Reducir:S = (a + 1) (a - 1) (a4+ a2+ 1)
Si: 154154a ++=
a) 9 b) 99 c) 999d) 9999 e) 1
2. Si: a + b + c = 0Calcular:
)ac()cb()ba()ac()cb()ba(
M333
++++++++
=
a) 3 b) -3 c) 4d) -2 e) 16
3. Si: 0zyx 666 =++
Calcular:xzyzxy
)zyx(xyz9L
3
++
++=
a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 8
4. Si:a3+ b3+ c3= 4abca2+ b2+ c2= ab + bc + ac + 1Calcular:
bcacaba
cbb
cac
ba
++
++
+
a) 0 b) 1 c) -1
d) -3 e) 3
5. Sabiendo que:
33
514
53
1514
53
1x ++=
Calcular: E = 5x3+ 3x + 1
a) 1 b) 11 c) 3d) 4 e) 8
6. Simplificar:
222222
444
)xz()zy()xz()yx()zy()yx()xz()zy()yx(S
++
++=
a) 5 b) 3 c) 4d) 2 e) 1
7. Si:x + y + z = 1x3+ y3+ z3= 4
Calcular:
xyz1
zxy1
yzx1
P+
++
++
=
a) -2 b) 2 c) -1d) 1 e) 3
8. Si: a + b + c = 0 ; reducir:
++
++
++=
22
22222
cbcb
babaabc
acb
bca
S
a) 3abc b) 3 c) -3d) -3abc e) 1
9. Si se cumple que:(x + y + 2z)2+ (x + y - 2z)2= 8(x + y)z
Hallar:
879
yzxz
yzzx
z2yx
E
+
+
+=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10.Si: a2+ b2+ c2= 12ab + bc + ac = 12abc = 8
Calcular:E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) + c3(ac+bc)
Considerar: a + b + c > 0
a) 216 b) 192 c) -216d) -192 e) 190
1. Reducir:22
x3y2
y2x3
x3y2
y2x3
S
+=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Simplificar:25
25
25
25P
+
+
+=
Aut oevaluac in
-
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Productos no tab les
57Cuarto ao de secundaria
a)37
b)27
c)67
d)3
14e)
514
3. Si : a + b + c = 0
Calcular :acbcabcba
R222
++++
=
a) 1 b) 2 c) - 1d) - 2 e) 0
4. Reducir: 22 )38()38(K ++=
a) 20 b) 19 c) 22d) 23 e) 40
5. Simplificar:R = (a + b + c + d)2- (a + b + c) (a + b + d) -
(b + c + d) (a + c + d)
a) ab b) ac + cd c) cd + abd) -cd - ab e) 0
Claves1. d 2. d 3. d4. c 5. d
-
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59Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIO
Los ObstculosTodos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstculos que noslo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstculos nos significan los retosque debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueos. Anotaba Albert Einstein: Qu sera del mundo sin lossoadores; con los que soaron en su tiempo que el hombre poda volar, encender un foco, comunicarse a travs deun cable, crear la radio, el telgrafo, etc. No solamente eran soadores, sino que adems eran pacientes, no en elsentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistan incansablemente hasta lograr suobjetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobacin generalizada, que lostachaba de locos, pues lo que intentaban en opinin de los dems resultaba imposible.Toms Alva Edison lleg a la bombilla incandescente despus de 5 mil intentos. Imaginmoslo a la mitad de susexperimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino.
TEORA DE ECUACIONES
una
igualdad
es
una relacin de comparacin que
se establece entre dos expresionesel cual nos indica que tienen elmismo valor.
A B
1 miembroer 2 miembrodo=
CLASES DE IGUALDAD
Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales
es es
Aquella que se verifica para todos losvalores asignados a sus incgnitas
Ejm: (x+1) = x + 2x + 1
la igualdad se verifica para cualquiervalor real de "x".
2 2
Aquella que se verifica para ciertosvalores particulares que se les atribuye asus incgnitas
Ejm: 2x+1 = x + 7se verifica solo si: x = 6
2(6) + 1 = 6 + 7
Ec uac iones de pr im er grado
Captu lo IV
-
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18/174
Ecuaciones de pr imer grado
60Cuarto ao de secundaria
ECUACIN
es
Solucin o raz Conjunto solucin Ecuaciones equivalentes
son es el es dos
Aquellos valores que asumenlas incgnitas las cuales veri-fican o satisfacen una deter-
minada ecuacin.
Conjunto formado portodas las soluciones.
Efectuar en ellas todas lasoperaciones necesarias paraobtener sus soluciones.
Ecuaciones son equivalentessi todas las soluciones de laprimera ecuacin son tam-
bin soluciones de la segun-da ecuacin e inversamente.As para
Dada la ecuacin:
x - 5x = x - 11x + 6
Para: x = 1 -4 = -4
3 2 2
Para: x = 2 -12 = -12Para: x = 3 -18 = -18
luego las races o solucionesson:
x = 1; x = 2; x = 3
Como las soluciones de laecuacin:
x - 5x = x - 11x + 6
Son : x = 1; x = 2; x = 3
entonces el conjunto solu-cin (C.S.) es:
C.S. = {1; 2; 3}
3 2 2
Conseguirlo se le transformasucesivamente en otrasequivalentes.
hasta
Conseguir que ello seasencillo y permita hallar elvalor de la incgnita.
las ecuaciones:x + 2x = 14 ; 5x - 36 = 2x2 3
son equivalentes puesto queambas ecuac iones severifican solamente para:
x = 12
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Una igualdad condicional que queda satisfecha solopara algunos valores asignados a sus variables.
As : 5x - 3 = + 25
3
x
queda satisfecha solo cuando: x = 6
AsAs
As:
Ej:
x(3x-1)+5=3(x-3)-10x+6al reducir se obtiene:5 = 6
la ecuacin es absurda
irracional
si
cuando
CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES
segn
Estructura
fraccionaria
Nmero de soluciones
ser
Cuando presenta variablesen su denominador:
Ej.:
su el
x+1x+2
x - 1x - 3+
= 1
Compatibles incompatibles oabsurdas
cuando
Admite por lomenos una solucin
no existe ningunasolucinC.S. =
y es
determinada indeterminada
si
existe un nmerofinito de soluciones
el nmero de solu-ciones es ilimitada
Cuando la incgnita se en-cuentra dentro de un radical.Ej.:
x+1 + x - 4 = 7
-
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Ecuaciones de pr imer grado
61Cuarto ao de secundaria
si
si
ECUACIN DE PRIMER GRADO
forma general
Anlisis de sus races
si
Teoremas
de
a 0 b lR x = -
solucin nica(Compatible determinada)
ba
Transposicin
* a+b = c a = c-b* ab = c a = c ; si: b 0
b* a = c a = bc ; b
si: b 0
ax + b = 0
si
a = 0 b = 0 0 x = 0"x" admite cualquier solucin(Compatible indeterminada)
a = 0 b 0 0x = -bno existe ningn valor "x"que multiplicado por cerode como resultado "-b"
(Incompatible absurda)
Cancelacin
si
* a+c = b+c a = b; si: c lR* ac = bc a = b; si: c 0
* a = b c c
a = b; si: c 0
Problemas resueltos
1. Resolver: 4015
x95x3
3x2
+=+
Solucin:
Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de losdenominadores : 15
( )401515x9155x3153x215 +
=
+
5(2x) + 3(3x) = 9x + 60010x + 9x = 9x + 600
eliminando 9x: 10x = 600 x = 60
2. Resolver :3x
11
3x1
=+
Solucin:
Tener presente que el denominador es diferente de cero.Es decir : x - 30 x3 ...... (1)
Reduciendo la ecuacin:3x
13x
3x1
=
+
Cancelando (x - 3):1 + x - 3 = 1
x = 3 .......... (2)
De (1) y (2) se observa una contradiccin.Concluimos: la ecuacin no tiene solucin o esincompatible.
3. Resolver:4x
x2x
3
4x
x52x
322
+
=
+
Solucin:
Reduciendo las fracciones a comn denominador resulta:
4x
x)2x)(2x(
)2x(3
4x
x5)2x)(2x(
)2x(322
++
+=
+
4x
x
4x
)2x(3
4x
x5
4x
)2x(32222
+
+=
4x
x)2x(3
4x
x5)2x(322
++=
Para: x = 2x = -2, los denominadores se anulan portanto: x 2 ........ (1)3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x 6x = - 12
-
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Ecuaciones de pr imer grado
62Cuarto ao de secundaria
De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observauna contradiccin
Se concluye : la ecuacin no tiene ninguna solucin oes incompatible.
4. Resolver : 11x4x =+
Solucin:
Transponiendo: 1x
1x14x +=+Elevando al cuadrado miembro a miembro:
222 1x1x214x ++=+
1x1x214x ++=+Reduciendo se tiene:
1x24 = 21x =Al cuadrado : x - 1 = 4 x = 5Llevando: x = 5 a la ecuacin propuesta:
11x4x =+ 11545 =+3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad)
la solucin es: x = 5
5. Resolver : 75xx =++
Solucin:
x75x =+
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
22 )x7(5x =+ x + 5 = 49 - 14x + x2
x2 - 15x + 44 = 0x - 11x - 4
Verificando en la ecuacin original:
75xx =++
Si: x = 11 751111 =++ 11 + 4 = 7 (Falso)
Si: x = 4 7544 =++
4 + 3 = 7 (Verdadero)o)
la nica solucin es: x = 4
6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)
Solucin:
Llevando 5x(x - 4) al primer miembro:(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0
Extraemos el factor comn (x - 4):(x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0
x - 4 = 0 (x - 2) - 5x = 0Despejando para c/u se tiene:
x = 4 x = -21
Bloque I
1. Resolver:5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x)
a)174
b)417
c)132
d)213
e) 419
2. Resolver :2
6x5x3
2x
=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Resolver:3x4
7x32
23x
=
+
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 18
4. Resolver:6xx
33x
12x
12
=
++
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7
5. Resolver:
1xx12x9xx4x 222 +=++++
a)31
b)21
c)61
d) -61
e)41
6. Resolver:(x - 3)2+ 5x = (x + 2)2
a) 1 b) -1 c) 2
d) 3 e) 2
7. Resolver:
x37 ++ = 3
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
Problemas para la c lase
-
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Ecuaciones de pr imer grado
63Cuarto ao de secundaria
8. Resolver:
61
2x
3x
21x +=++
a) -1 b) 1 c) 2d) -3 e) 5
9. Resolver:
1n
nxm
mx =+++
a) -nm
mn+
b) m + n c)n-m
mn
d) m - n e) mn
10.Resolver:2(x - 5)2+ x2= (x - 6)2+ 2(x2- 1)
a) 6 b) 5 c) 2
d) -2 e)21
Bloque II
1. Resolver: (x + 5)3- x3- 15x2= 50
a) 0 b) -1 c) -2d) 1 e) 2
2. Resolver: 11x1x =+
a)45
b)54
c)41
d) 1 e) -1
3. Resolver: 32x13x =+Hallar la inversa de su solucin
a) 3 b)31
c) 2
d) 4 e)41
4. Sea la ecuacin de 1er grado:(m - 7) x2+ (m2+ 2m + 6)x + 3m + 2 = 0
Hallar x.
a) 0 b) 7 c)31
d) -31
e) -7
5. Resuelva c/u de las ecuaciones, luego indique:zy.x
A.
4x2x
2
21
+
+=
B.
151
52
53
1
31
y
53
1
++
=
+
C. 23z5z2
5z23z
=+
++
a)51
b) -71
c)41
d) 1 e) -51
6. Resolver:
x5
)3-x2(x3-
3-2x1 =
a)35
b)34
c)31
d) 3 e) - 3
1
7. Resolver:
ab)b-a(ax3
ab-x
bax2 2+=++
a) 2b b) 2a c) a + bd) a - b e) 1
8. Resolver:
33x3)-2(x
-2x)2-x(5
=++
a)27
b)211
c) -29
d)21
e) -21
9. Resolver:
1b-a
x)b-a(21-ba
bax2
b-ax
22 +=++
++
-
7/25/2019 Algebra 4
22/174
Ecuaciones de pr imer grado
64Cuarto ao de secundaria
a)2
b-ab)
2ba+
c) a + b
d) a - b e)3
ba+
10.Resolver:
+=
+1-
1x9
41
1x1-x-
213
a) b) 5 c) 4d) 3 e) 2
Bloque III
1. Resolver :
)cba(xabc1ac
x
bc
x
ab
x
++=++
a)cba
abc++
b)abc
cba ++
c) abc d) a + b + ce) 1
2. Resolver:
2
1
1x 1x1
1x1x
1x1x
=
++
+
+
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Resolver:
333 a5xaxa =++
a)45
a2 b)54
a2 c)4a2
d)5a2
e) a2
4. Marcar V o F
I. La ecuacin: x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8)es indeterminado.
II. La ecuacin : 3x + (x-5) = 2x - (-2x+3)es incompatible.
III. La ecuacin: x19x8 =
es indeterminado.
a) VFV b) FFF c) VFF
d) VVV e) VVF
5. Calcular n, si la ecuacin:(n + 1)2 x + 7 = (n - 3)2x + 15
es incompatible
a) 2 b) 3 c) 1
d) 4 e) 5
6. Resolver:
++=++
c1
b1
a12
abc-x
acb-x
bca-x
abc0
a) 1 b) a + b + c c) a + b - c
d)2
cba ++e) a - b - c
7. Resolver:
1b-ax1b-a
bax1x =
+++
+++
a)ba
b) 1ba+ c) 1-b
a
d)b
1a +e)
b1-a
8. Resolver:
1cba
x4a
x-cbb
x-cac
x-ba =++
++++++
a) a + b + c b) a - b - cc) a - b d) a + b
e)c
ba+
9. Resolver:
cbaca
ac-xcb
bc-xba
ab-x ++=+
++
++
a) a + b + c b) ab + bc + ac
c)2
cba ++d)
cb-a
e) abc
10.Si: ab-c; resolver:
cac
1xab-c
a
1xc
ba
+=+
++
+
a) a b) c c) acd) ac + 1 e) ac - 1
-
7/25/2019 Algebra 4
23/174
Ecuaciones de pr imer grado
65Cuarto ao de secundaria
1. Resolver: 8 - 3x + 25x2= (1 - 5x)2
a) - 2 b) - 1 c) 0d) 1 e) 2
2. Resolver:5
4x4
3x3
2x2
1x =
+
+
a)5367
b)6753
c)5337
d)3753
e) 1
3. Resolver: 42x6x =++ , indicar: x2+ x + 1
a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9
Aut oevaluac in
4. Sea la ecuacin de 1er grado:(a + 5) x2+ (a + 3) x + 7 - 3a = 0Hallar x.
a) 9 b) -5 c) -3d) 11 e) 12
5. Hallar x en:
33x1234 =+++
a) 1 b) 20 c) 30d) 40 e) 12
Claves1. b 2. a 3. a4. d 5. e
-
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24/174
67Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIOFac t or izac in I
Capt ulo V
Aprendizaje y superacinCarlos A. Madrazo deca: Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen xito. Porsupuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidadde fracasos que a travs de ellos aseguran el xito.
Si usted solamente intenta lo que est seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que lograr pocas cosas en lavida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, tambin le puedo predecir que usted ser un triunfador.
La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que noha detenido su crecimiento y da a da busca su superacin; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce untema: No s, y esto le llega una gran cantidad de informacin que lo enriquece y que le asegura su permanentedesarrollo.
No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente est permitidopara aquellos que tienen la osadia de buscar su superacin da a da.
CONCEPTOS PREVIOS
Factor o Divisor
es
Factor Algebraico
es
Factor Primo
si
Todo polinomio quedivide en forma exacta
a otro polinomio.
as
Todo polinomio degrado no nulo que
divide en forma exactaa otro polinomio.
Admite por divisoresa 1 y a si mismo.
asas
P = xy(x;y)P = x(y - 1)(x;y)
P = xy(x;y)2
sus sus
susDivisores son:P = 11(x;y)P = xP = yP = xy
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
Divisores son:P =11(x;y)
P =xP =y - 1P =x(y - 1)
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
No es factoralgebraico
Divisores son:P = 11(x;y)P = xP = y
P = yP = xy
P = xy
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
5(x;y)
2
26(x;y)
nicosfactoresprimos
-
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Factor izacin I
68Cuarto ao de secundaria
FACTORIZACIN
Definicin
Consiste en transformar un polinomio en otraequivalente expresada en una multiplicacin de factoresprimos sobre un determinado campo numrico.
P = 2x - 5x + 3en (enteros)(x)
2
OBSERVACIONES
Un polinomio est sobre undeterminado campo numricosi sus coeficientes pertenecena dicho campo numrico.
Factor primo o polinomio irre-ductible es todo polinomio degrado no nulo (no constante)que no se puede expresar co-mo la multiplicacin de dos oms factores.
La factorizacin de un polino-mio lo realizamos en el campode los nmeros enteros ( ) esdecir los factores primos de-ben presentar nicamentecoeficientes enteros.
Todo polinomio de primergrado : = ax + b;es irreductible en cualquiercampo numrico.
P(x)
As
P(x)= 4x - 3
As
Factorizar en :
9x -4y = (3x+2y)(3x-2y)2 2
As
P = x - 4 no es primopues: = (x+2)(x-2)(x)
2
P(x)
As
Coeficientes enteros
R = 3x + 2ix + i
en C (complejos)(x)
2 3
Q(x)= x - 6 es primo
R(x)= x + 1 es primo2
Factorizar en lR:2x -3y = ( 2x + 3y)( 2x- 3y)2 2
Coeficientes reales
Factorizar en C:4x +1 = (2x + i) (2x - i)2
Coeficientes complejos
Q(x;y)= x + y - 1
R(x;y;z)= 2x - 3y + 4z
ZZ
Q = 5x + 3 x -1x+1 2en lR (reales)
(x)3 2
ZZ
ZZ
CRITERIOS DE FACTORIZACIN
P = ax y +bx yfactor comn : x y
(x;y)5 5 4 6
4 5
Eligen las basescomunes afectadas al
menor exponente.
As
FACTOR COMN AGRUPACIN IDENTIDADES ASPA SIMPLE
se
Seleccionan conveniente-mente los trminos detal manera que genere
un factor comn.
se
la aplicacin inmediatade algunos productos
notables.
es
Aplicable generalmente atrinomios. El proceso consta
de 3 pasos:* Descomponer los extremos* Prueba de aspa
* Escritura de los factores
es
P(x;y)= x y (ax+by)4 5
luego
Nota:Los factores primos de
son:P(x;y)
PPP
1(x;y)
2(x;y)
3(x;y)
= x= y= ax + by
P(x;y)= x +xy+xz+y +yx+yzagrupando de 3 en 3
2 2
As
P
P
(x;y)
(x;y)
= x(x+y+z)+y(y+x+z)
factor comn: x + y + z= (x+y+z)(x+y)
luego
A - B = (A+B) (A-B)2 2Diferencia de cuadrados
A +B = (A+B) (A -AB+B )3 3 2 2
A + )3 3 2 2-B = (A-B) (A AB+B
Suma y Diferencia de cubos
Trinomio cuadrado perfecto
A +A B +B = (A +AB+B )(A -AB+B )4 2 42 2 2 2 2
Identidad de Argand
As
P(x;y)= 2x +5xy+2y2 2
2x y = xyx 2y = 4xy
5xy
luego
P(x;y)= (2x+y)(x+2y)A +2AB+B = (A+B)2 2 2
A2 2-2AB+B = (A - B)2
-
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Factor izacin I
69Cuarto ao de secundaria
Problemas resueltos
1. Factorizar: a3b4c5+ a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xyDar como respuesta el nmero de factores primos
Solucin:
Extraemos el factor comn: a2b3c5E = a2b3c5[ab + ay + bx + xy]
Agrupando de 2 en 2:E = a2b3c5[(ab + ay) + (bx + xy)]E = a2b3c5[a(b + y) + x(b + y)]
E = a2b3c5(b + y) (a + x)Los factores primos son:
a; b; c; (b + y); (a + x) Total 5
2. Factorizar : P(x;y)= x2+ y2+ x(y+z) + y(x+z)Dar como respuesta la suma de factores primos
Solucin:
Efectuando: P(x;y)= x2+ y2+ xy + xz + yx + yzAgrupando convenientemente:
P(x;y)= (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)
P(x;y)= (
perfectocuadradoTrinomio
22 xy2yx ++ ) + (xz + yz)
P(x;y)= (x + y)2+ z(x + y)Factor comn : (x+y)
P(x;y)= (x + y) (x + y + z)
Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)La suma de factores primos es:
x + y + x + y + z2x + 2y + z
3. Factorizar: R = (x - 3)3+ 125
Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2dogrado.
Solucin:
A potencia 3:R = (x - 3)3+ 53 suma de cubosR = [(x - 3) + 5] [(x - 3)2- (x - 3)(5) + 52]
Desarrollando y reduciendo:R = (x + 2)(x2- 6x + 9 - 5x + 15 + 25)
R = (x + 2) (x2- 11x + 49)Factores primos:
gradoPrimer
2)(x+
gradoSegundo
2 )9411x-(x +
Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39
4. Hallar la suma de los factores primos de:M = 2x5+ 5x4- 26x3- 65x2+ 72x + 180
Solucin:
Agrupando de 2 en 2:M = (2x5+ 5x4) - (26x3+ 65x2) + (72x + 180)
Descomponiendo cada parntesis:
M = x4(5x2 + ) - 13x2(
5x2 + ) + 36 (
5x2 + )
Factor comn : 2x + 5M = (2x + 5) [x4- 13x2+ 36]
x2 -4x2 -9
-4x2
-9x2
-13x2Suman:
Luego:M = (2x + 5) (x2- 4) (x2- 9)
M = (2x + 5) (x2- 22) (x2- 32)
Diferencia de cuadradosM = (2x + 5) (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)
Donde la suma de sus factores primos ser:
(2x + 5) + (x + 2) + (x - 2) + (x + 3) + (x - 3) = 6x + 5
5. Factorizar: P(x)= 4x4- 101x2+ 25
Solucin:P(x)= 4x4- 101x2+ 25
4x2 -1x2 -25
-x2
-100x2
-101x2Suman:
Luego: P(x)= (4x2- 1) (x2-25)
Transformando cada factor a una diferencia decuadrados:
P(x)= [(2x)2 - 12] [x2- 52]Finalmente:
P(x)= (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)
Problemas para la c lase
Bloque I
1. Factorizar:
F(x;y;z)= x2+ xy + xz + yzindicando la suma de factores primos.
a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+yd) x - y - z e) x + y - z
2. Factorizar:P(x)= x3(x - 3) + 3x2(x - 3)
indicando el nmero de factores primos.
a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5
3. Factorizar:P(x)= x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28
Indicando un factor primo.
-
7/25/2019 Algebra 4
27/174
Factor izacin I
70Cuarto ao de secundaria
a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 8 e) x + 9
4. Cuntos factores primos de segundo grado tiene elsiguiente polinomio?
P(x;y)= x5y + ax4y + x3y + ax2y
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Factorizar:F(x)= 8x6+ 7x3- 1
indicar el nmero de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. Factorice:P(x)= x4- 16
indicando un factor primo.a) x + 4 b) x2+ 4 c) x2- 2d) x2+ 2 e) x2- 4
7. Factorizar:P(x; y)= 2x2y + 3xy2+ xy
Indicar el nmero de factores primos.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
8. Factorizar:
P(x; y; z)= x2+ xy + zx + zy + x + yIndicar un factor primo.
a) x + y b) x + y + z c) x + 1d) z + 1 e) x + z - 1
9. Factorizar:P(x; y)= 3x2+ 20xy + 12y2
e indicar la suma de factores primos.
a) 4x - 8y b) 4x + 8y c) 2x - 4yd) 2x + 4y e) 3x2+ 12y2
10.Factorizar:P(x; y)= 15x2+ 11xy + 2y2+ 16x + 6y + 4
Indicar un factor primo.
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
Bloque II
1. Dar la suma de los trminos independientes de losfactores primos de:
P(x,y)
= x2+ 2x + xy + y + 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. Un factor primo del polinomio:P(x;y)= xm+n+ ym+n+ (xy)m+ (xy)n
luego de factorizar es: xn+ ym
II. Si factorizamos el polinomio:P(x;y;z)= (x3+y3+z3)3- x9- y9- z9
se obtienen 7 factores primosIII. Factorizando:
P(x;y)= (x-y)3- (x-y)2- 2(x-y)la suma de sus factores primos es:
3x - 3y - 1
a) FFF b) VFF c) FVFd) VVV e) VFV
3. Factorizar:P(a;b;c)= (a-b)(a3-c3) - (a-c)(a3-b3)
la suma de sus factores primos es:
a) 3a-b-c b) 3a+b+c c) 3a-b+cd) 3a-b+1 e) 3a-3b+c
4. Factorizar:P(x;y;z)=x3+y3+z3+x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y
a) (x2+y2+z2) (x+y+z) b) (x3+y3+z3) (x+y+z)c) (x+y+z)3 d) (xy+xz+yz)2(x+y+z)e) (x+y+z)(x2+y2+z)
5. Al factorizar:
P(x)= x2
(x+2)2
+ x2
+2x - 12I. Existen 2 factores primos de 2do grado.II. Existe un factor primo de 1er grado.III. El polinomio P(x)tiene 3 factores primos.
a) FFF b) FVV c) FFVd) VVV e) FVF
6. Factorizar:P(x; y)= x9y - x3y7
Indicar un factor primo.
a) x2+ xy + y2 b) x2- xy - y2 c) x2+ y2d) x2+ y e) x2- y
7. Factorizar:M(a; b)= a2- 4 + 2ab + b2
Indicar un factor primo.
a) a - b - 2 b) a + b + 2 c) a + bd) a - b e) ab
8. Indicar el nmero de factores primos de:P(x)= (x2+ 7x + 5)2+ 3(x2+ 1) + 21x + 2
a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 2
-
7/25/2019 Algebra 4
28/174
Factor izacin I
71Cuarto ao de secundaria
9. Factorizar:P(x)= x2n + 1+ 3xn + 1+ xn + 3- xn+ 3x3- 3
Indicar un factor primo.
a) xn+ 3 b) xn + 1+ x3 c) xn + 1
d) xn - 1- 2 e) xn- 1
10.Indicar el nmero de factores primos de:P(x; y; z)= (x2- y2- z2)2- (2yz)2
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
Bloque III
1. Factorizar el polinomio:P(a;b;c)= ac (a+c) + bc(a-b) - bc(b+c)
indicando un factor primo
a) 2b + c + a b) 2b + c c) 2a - bd) a - 2b e) a + 2c
2. Factorizar:P(x)= x7+ 2x5+ x4+ 2x3+ x2+ x + 1
indicando el nmero de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Factorizar:P(x)= (x4- x3+ x2- x + 1)2- x4
indicando el nmero de factores primos
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
4. Factorizar:P(a;b;c)= a(b-c)2+ b(a-c)2+ c(a-b)2+ 9abc
indicando el factor de 2do grado
a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ac c) a+b+cd) abc e) a2+ab+b2
5. Factorizar:
F(x;y)= 4x4- y4+ 4xy2+ 1
a) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1+y2)b) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1-y2)c) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1-y2)d) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1+y2)e) (2x2-2x-1+y2) (2x2-2x-1-y2)
6. Indicar el nmero de factores primos de:M(a; b; c)= 144a11b2- 436a9b4+ 100a7b6
a) 2 b) 4 c) 5
d) 3 e) 6
7. Indicar un factor de:P(a)= a12- 6a8+ 5a4+ 2a6- 6a2+ 1
a) a6+ 1 b) a6+ 1 - 5a2 c) a6- 1 - a2
d) a6- a2 e) a6+ a2+ 2
8. Indicar un factor de:M(x; y; z)= (x + y + z)(x - y + z) - (x + y)(x - y)
a) 2x - z b) z c) z + x
d) z - x e) 2z - x
9. Factorizar:T(a; b; m)= 12abm2- (16a2- 9b2)m - 12ab
indicar un factor
a) 4am + 3b b) 3mb c) 3mb - 4d) 3b - 4 e) 4am - 3b
10.Indicar el nmero de factores de:P(m; n; p)= (2m + 3n - p)2- 14m - 21n + 7p - 18
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
1. Factorizar: P(x;y)= x3y2 - y5
indicar la suma de factores primos.
a) y2+ x - y + x2+ xy b) x + x2+ xy + y2
c) y2+ x3- y3 d) y + x3- y3
e) xy + y + 1
2. Dar uno de los factores primos del polinomio:P(a;b;c)= a(b2+c2) + b(c2+ba2)
a) 2a + b b) 2a - b c) a + bd) a - 3b e) a + 3b
3. Factorizar: F(a;b;c)= (a - b) (a2- c2) - (a - c) (a2- b2)indicando el nmero de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Factorizar :P(a;b;m;n)= 2003am + 2003bm - 2003an - 2003bnindicando un factor primo.
a) m - n b) m + n c) m + 2nd) a + 2b e) a - 2b
5. Factorizar: P(x)= (x + 3)2 - 49indicando un factor primo.
a) x + 2 b) x + 10 c) x + 20d) x + 18 e) x + 4
Aut oevaluac in
Claves1. b 2. c 3. c4. a 5. b
-
7/25/2019 Algebra 4
29/174
73Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIO
Potencialidades
Todos los seres humanos poseemos potencialidades y tambin limitaciones; un ser humano sin cualidades sera un monstruo yun ser sin defectos no sera humano, sera un querubn. Todos los seres humanos tenemos una vocacin, un llamado a ser; elproblema es descubrir esa potencialidad y posteriormente pagar la colegiatura para realizar plenamente ese ser.
Debemos preguntarnos con toda sinceridad: Quin deseo ser? Qu deseo lograr en la vida? Qu quiero realizar? Qu megustara hacer? Estoy seguro de que hay cierto tipo de actividades que usted goza plenamente al realizarlas, y es ah donde ustedexpresa plenamente su potencialidad. Cules son?, ya las identific? Desafortunadamente muchas de esas tareas las tenemosrelegadas como pasatiempo de fin de semana y esperamos ansiosamente un da de descanso para dedicarnos a aquello en lo quenos sentimos plenamente realizados.
Muchas veces como padres de familia cometemos el error de forzar a nuestros hijos a ser lo que no desean ser. Imagnese: elpadre de Miguel ngel Buonarroti quera que su hijo fuera comerciante, pero el hijo, desafindolo, luch por ser escultor, y quescultor, uno cuya obra ha trascendido a travs de los siglos. Pero cuntos, tal vez miles, no han tenido el valor de Miguel ngel yse han muerto con todo su potencial dormido. El ms usual de los epitafios reza as: Fulano de tal naci, vivi y muri, y nunca supo
para qu existi.
Fac t or izac in I I
Captu lo VI
ASPA DOBLE
forma general
Procedimiento
P = ax + bx y + cy + dx + ey + f (x;y)2n n m 2m n m
si le faltase un trmino, completar con el cerot1 t2 t3 t4 t5 t6
paso 1
Aspa simple a los trminos : t ; t y t1 2 3
Aspa simple a los trminos: t ; t y t3 5 6
los factores se adoptan horizontalmente
paso 2
paso 3
Aspa simple de comprobacin: t ; t y t1 4 6
paso 4
ASPA DOBLE ESPECIAL
forma general
Procedimiento
si le faltase un trmino, completar con el cero
P = ax + bx + cx + dx + f (x)4n 3n 2n n
t1 t2 t3 t4 t5
paso 1
Descomponer los trminos "t " y "t " de modoque el producto en aspa determine un
trmino cuadrtico.
1 5
los factores se adoptan horizontalmente
paso 2
paso 3
paso 4
Descomponer el trmino que resulta dehacer la diferencia del trmino central y eltrmino cuadrtico obtenido en el paso 1.
Si esta expresin fuese correcta, almultiplicar en aspa debe verificar lostrminos segundo (t ) y cuarto (t ).2 4
-
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Factor izacin I I
74Cuarto ao de secundaria
DIVISORES BINMICOS
se
Procedimiento
Utiliza para factorizar polinomios degrado mayor o igual a tres.
paso 1
Determinar el rango de aquellos posiblesvalores que anulan al polinomio.
paso 2
paso 3
En base a estos valores realize evaluacioneshasta conseguir algn valor que logre anularlo
: Todo valor que anula al polinomio genera un factor de 1er grado.Nota
Para conseguir el otro factor o factoresaplicaremos Ruffini cuntas veces
sea necesario.
si
-
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Factor izacin I I
75Cuarto ao de secundaria
Problemas resueltos
1. Factorizar: P(x;y)= 5x2+ 8xy + 3y2+ 2x - 3
Solucin:
Completamos con 0 y; aplicamos luego aspa doble.
P(x;y)= 5x + 8xy + 3y + 2x + 0y - 32 2
5x
x
3y
y
- 3
1I IIIII
I. 5xy3xy8xy
+II. 3y
-3y0y
+III. 5x
-3x2x
+
Luego:P(x;y)= (5x + 3y - 3) (x + y + 1)
2. Factorizar: Q(x;y;z)= 2(x2+ y4+ z6) - 5y2(x + z3) + 4xz3
Solucin:
Efectuando:Q(x;y;z)= 2x2+ 2y4+ 2z6- 5y2x - 5y2z3+ 4xz3
Ordenando convenientemente para aplicar el aspadoble:
Q(x;y;z)= 2x - 5xy + 2y + 4xz - 5y z + 2z2 2 4 3 2 3 6
2x
x
-y
-2y
2
2
2z
z
3
3I III II
luego:Q(x;y;z)= (2x - y2+ 2z3) (x - 2y2+ z3)
3. Factorizar: P(x)= x4+ 13x3+ 45x2+ 20x + 2
Solucin:
* Paso 1: Descomponemos los extremos y obtenemosel resultante de las aspas.
P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2
x2
x21
2Aspas = 3x2
* Paso 2: Obtenemos:
= 45x - 3x = 42x2 2 2
trminocentral
Aspas
* Paso 3: Se debe verificar 13x3 y 20x mediante ladescomposicin apropiada de:
42x27x
6x
P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2
x2
x212
7x6x
* Paso 4:P(x)= (x2+ 7x + 1) (x2+ 6x + 2)
4. Factorizar : P(x)= 16x4- 8x3- 16x2- 22x - 15
Solucin:
P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2
4x2
4x23
-5Aspas = -8x2
= -16x - (-8x ) = -8x2 2 22x
-4x
P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2
4x2
4x23
-5
2x
-4xFinalmente :
P(x)= (4x2+ 2x + 3) (4x2- 4x - 5)
5. Factorizar: P(x)= x3- x2- 2x - 12
Solucin:
* Paso 1:
Clculo de los posibles valores que anulan alpolinomio: cmo el polinomio es mnico usaremoslos divisores de 12: (1; 2; 3; 6).
* Paso 2:
Evaluando:Para: x = 1 P(1)= 13- 12- 2(1) - 12 = -14 (No)Para: x = -1 P(-1)= (-1)3- (-1)2- 2(-1) - 12
= -12 (No)Para: x = 2 P(2)= 23- 22- 2(2) - 12 = - 12 (No)Para: x = 3 P(3)= 33- 32- 2(3) - 12 = 0
P(3)= 0(x - 3)es un factor del polinomio P(x)
* Paso 3:
Aplicando Ruffini : 3xP)x(
-
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Factor izacin I I
76Cuarto ao de secundaria
x = 3
1 -1 -2
3 6
1 2 4
-12
12
0
q(x)= x2+ 2x + 4Finalmente:
P(x)= (x - 3) (x2+ 2x + 4)
6. Factorizar: P(x)= 2x3+ x2+ x - 1
Solucin:
* Paso 1:El polinomio no es mnico, usaremos opcionalmente:
divisores del trmino independientedivisores del coeficiente principal
2;1
1
* Paso 2:Evaluamos:
Para: x = 1 P(1)= 2(1)3+ 12+ 1 - 1 = 3 (No)Para: x = -1 P(-1)= 2(-1)3+ (-1)2+ (-1) - 1 = -3 (No)
Para: x =21
0121
21
21
2P23
2
1 =
+
+
=
entonces
21x es un factor
* Paso 3:
Utilizando Ruffini :
21
x
P )x(
x = 1 2
2 1 1
1 1
2 2 2
-1
1
0
Finalmente:
P(x)=
21-x (2x2+2x+2) =
21-2x
(2)(x2+x+1)
P(x)= (2x - 1) (x2+ x + 1)
Problemas para la c lase
a) 5x+2y+3 b) 5x+y-3 c) 5x+2y-3d) x+y+1 e) x+2y+3
2. Factorizar:P(x;y)= 3x2+ 4xy + y2 + 4x + 2y + 1
indicando uno de los factores primos
a) x-y-1 b) 3x-y+1 c) 3x+y-1d) x+y-1 e) 3x+y+1
3. Factorizar:P(x)= x4+ 5x3+ 9x2+ 11x + 6
Indique el nmero de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Factorizar:P(x)= x4- 2x3-10x2+ 5x + 12
a) (x2+ x - 3) (x - 4) (x + 1)b) (x2+ x - 3) (x + 4) (x - 1)c) (x2+ x + 3) (x - 4) (x + 1)d) (x2+ x + 3) (x - 4) (x - 1)e) (x2+ x - 3) (x - 4) (x - 1)
5. Factorizar:P(x)= x3- 11x2+ 31x - 21
a) (x - 1) (x - 7) (x + 4)b) (x + 1) (x + 7) (x + 3)
c) (x - 1)(x + 7)(x - 3)d) (x - 1)(x - 7)(x + 3)e) (x - 1)(x - 7)(x - 3)
6. Factorizar:P(x; y)= 15x2+ 11xy + 2y2+ 16x + 6y + 4
Indicar un factor primo.
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
7. Factorizar:P
(x; y)= 10x2+ 11xy - 6y2- x - 11y - 3
Indicar un factor.
a) 5x - 2y - 3 b) 5x - 2y c) 2x + 3yd) 2x - 3y + 1 e) 2x - 3y
8. Indicar un factor de:P(x)= x4+ 7x3+ 14x2+ 7x + 1
a) x2+ 3x - 1 b) x2+ 3x + 1c) x2- 4x d) x2+ 4x - 1e) x2+ 1
9. Indicar un factor de:C(x)= x3(x + 1) + 2x2+ 5(x - 3)
Bloque I
1. Factorizar:P(x;y)= 6x2+7xy-3y2+11x-11y-10
indicando la suma de sus factores primos
-
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Factor izacin I I
77Cuarto ao de secundaria
a) x2- 5 b) x2+ 5 c) x2- x - 3d) x2- 3 e) x2+ 3
10.Indicar un factor de:P(x)= x3+ 5x + 6
a) x - 1 b) x + 1 c) x + 3
d) x - 3 e) x + 2
Bloque II
1. Factorizar:P(x;y;z)= 2x2- 2y2- 3z2- 3xy + 7yz - xz
indicando la suma de sus factores primos
a) 3x-y-2z b) 3x+y+2z c) x-y-2zd) x-y+z e) 3x-3y-2z
2. Factorizar:
P(x)= x4
+ 5x3
- 7x2
- 29x + 30indicar la suma de todos los factores primos.
a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5d) 4x + 6 e) 4x + 7
3. Factorizar:P(x)= x3+ 2x2- 5x - 6
indicar la suma de coeficientes de un factor primo
a) -3 b) 0 c) 2d) -4 e) 1
4. Factorizar:P(x)= x3- 5x2- 2x + 24
indicar la suma de los trminos independientes de losfactores primos
a) -7 b) -5 c) -3d) 4 e) 6
5. Factorizar:P(x)= x4+ 2x2+ 9
indicar un trmino de un factor primo
a) x b) 6x c) 7xd) x2 e) 9
6. Factorizar:H(x)= x3- 7x + 6
Indicar un factor.
a) x - 3 b) x + 2 c) x - 1d) x + 1 e) x
7. Indicar un factor de:M(x)= 2x3- 5x2- 23x - 10
a) x - 2 b) x + 5 c) 2xd) x - 5 e) x + 3
8. Indicar un factor de:B(x)= x4+ 4x2+ 16
a) x2+ 2x + 4 b) x2+ 2x c) x2- 2xd) x2- 2x + 3 e) x2+ 6x - 1
9. Indicar la suma de coeficientes de los factores primosde:I(x)= x4- 4x3+ 11x2- 14x + 10
a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10
10.Indicar un factor de:M(x)= 6x6- 5x5- 6x4- 13x2- 6
a) 2x3- 2 b) 2x3- 3x2+ 2c) 2x3- 3x2- 2 d) x3
e) x3- 1
Bloque III
1. Factorizar:P(x)= x5+ 5x4+ 7x3+ x2- 8x - 4
indique V o F
I. El polinomio tiene 5 factores primos.II. El polinomio tiene 3 factores primosIII. La suma de sus factores primos es 3x + 2IV. Uno de los factores primos es (x + 2)2
a) FVFF b) VVVV c) FVVVd) FVVF e) VVVF
2. Factorizar:P(x;y)= 24x3y2+60x2y2-6xy4+ 6xy3+ 36xy2
a) 6xy2(x + y + 1)(2x - y + 3)b) 6xy2(x + y + 2)(2x - y + 3)c) 6xy2(2x + y + 2)(x - y + 3)d) 6xy2(2x + y - 2)(2x - y - 3)e) 6xy2(2x + y + 2)(2x - y + 3)
3. Factorizar:P(x)= x5+ x + 1
a) (x2+ x + 1) (x3- x2+ 1)b) (x2+ x + 1) (x3+ x2+ 1)c) (x2- x - 1) (x3- x2+ 1)d) (x2- x - 1) (x3+ x2+ 1)e) (x2+ x + 1) (x3+ x2- 1)
4. Factorizar:P(x)= 12x3+ 8x2- 3x - 2
a) (3x + 2)(2x - 1)(x - 2)b) (3x - 2)(2x - 1)(x - 1)
-
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79Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIOEc uac iones de segundo grado
Capt ulo VII
Fracaso y xito
El fracaso tiene mil excusas, el xito no requiere explicacin. Cada vez que no logramos algo siempre tenemos unamagnfica disculpa; el mediocre busca instintivamente una justificacin para su fracaso y, por supuesto, siempre juega elpapel de vctima.El triunfador es siempre una parte de la respuesta; el perdedor es siempre una parte del problema.El triunfador dice: Podemos hacerlo; el perdedor dice: se no es mi problema.El triunfador siempre tiene un programa; el perdedor siempre tiene una excusa.El triunfador ve siempre una respuesta para cualquier problema; el perdedor ve siempre un problema en toda respuesta.El triunfador ve una oportunidad cerca de cada obstculo; el perdedor ve de dos a tres obstculos cerca de cada oportunidad.El triunfador dice: Quiz es difcil, pero es posible; el perdedor dice: Puede ser posible, pero es demasiado difcil.
ECUACIN DE 2do GRADO
Forma Formacin de la ecuacin
ax + bx + c = 0 ; a 02 depende
suma
se resuelve por
Factorizacin Frmula
AB = 0
A=0 B=0 x =1,2 2a
-b b -4ac 2
A = b - 4ac2
Discriminante
si
A > 0
Races reales
diferentes
A = 0
Races
iguales
A < 0
Races
complejasy conjugadas
A 0
Races
reales
>
x x1 2 x = x1 2 x = m + nix = m - nim; n lR,
adems: i = -1
1
2
producto
Diferencia
se debe tener
Suma :S = - b
a
Producto :P = c
a
donde
x - Sx + P = 02
-
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Ecuaciones de segundo grado
80Cuarto ao de secundaria
OBSERVACIONES
Operaciones con racesEcuaciones cuadrticas
equivalentes
suma de inversas si si si las ecuaciones
ax +bx+c = 0 ; a 0mx +nx+p=0 ; m 0
2
2
1x1
+1x2
=x + x
x x1 2
1 2
suma de cuadrados se cumplese cumple
tienen
las mismas raceso soluciones
x + x = (x +x ) -2x x1 2 1 2 1 22 2 2 x + x = 01 2
x x = 11 2suma de cubos
x + x = (x +x ) -3x x1 2 1 2 1 23 3 3 (x +x1 2)
suma, producto y diferencia
(x +x ) - (x -x ) = 4x x1 2 1 2 1 22 2
se cumple
b
n
a
m
c
p= =
Teorema:(Races irracionales conjugadas)
Sea la ecuacin: ax2+ bx + c = 0; a0 de races x1x2; donde (a; b; c)Q (coeficientes racionales).
Si: x1= m + n es una raz irracional, entonces:
x2= m - n es la otra raz irracional conjugada.
C.S. = {m + n ; m - n }
Teorema:(Races complejas conjugadas)
Sea la ecuacin : ax2+ bx + c = 0; a 0 de races x1
x2 ; donde (a; b; c) lR.
Si: x1 = m + ni es una raz compleja, entonces:x2= m - ni; es la otra raz compleja conjugada.
C.S. = {m + ni ; m - ni} m; n lR.
Problemas resueltos
1. Resolver:2abx2- (b2+ 6a2)x + 3ab = 0; ab0
Solucin:
Aplicando aspa simple:
2abx - (b + 6a )x + 3ab = 02 2 2
2axbx
-b-3a
-b x2
-6a x2
-(b +6a )x2 2
Luego :(2ax - b) (bx - 3a) = 0
2ax - b = 0 bx - 3a = 0
x =a2b
x = ba3
C.S. =
ba3
;a2b
2. Calcular los valores de m que hacen que la ecuacin:2x2- mx + (m + 6) = 0 ; tenga races iguales.
Solucin:
Las races de la ecuacin sern iguales, si eldiscriminante:
= b
2
4ac = 0 ......
De la ecuacin :
+=
==
6mc
mb2a
-
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Ecuaciones de segundo grado
81Cuarto ao de secundaria
Reemplazando en ():(-m)2- 4(2)(m+6) = 0 m2- 8m - 48 = 0
m -12m +4
(m - 12)(m + 4) = 0
m - 12 = 0 m + 4 = 0
Finalmente : m = 12 m = -43. Determinar la suma de los valores de k que hacen
que la suma de las races de la ecuacin:x2+ kx + 2x - k2+ 4 = 0
sea igual al producto de las mismas.
Solucin:
Dando forma a la ecuacin:1x2+ (k+2)x + (4 - k2) = 0
Segn el problema:
x1+ x2= x1x2
1k4
1)2k( 2=
+
- k - 2 = 4 - k2
k2- k - 6 = 0k - 3k +2
(k - 3) (k + 2) = 0
De donde: k - 3 = 0 k + 2 = 0k = 3 k = - 2
4. Determinar el valor de p en la ecuacin:x2- 6x + 4 + p = 0
sabiendo que la diferencia de sus races es 2.
Solucin:
Por propiedad:a
xx 21
=
Dato del problema : x1- x2= 2
Reemplazando datos :
1
)p4)(1(4)6(2
2 += 2p41636 =
Elevando al cuadrado : 20 - 4p = 4 4p = 16 p = 4
5. Hallar el valor de n para que las races de la ecuacin:
1n
1n
2x5
x3x2
+
=+
+
sean simtricas.
Solucin:
Multiplicando en aspa se tiene:(n + 1) (x2+ 3x) = (n - 1) (5x + 2)
Efectuando :(n+1)x2+ 3(n+1)x = 5(n - 1)x + 2(n - 1)
Transponiendo y agrupando:
(n + 1)x2+ [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - 2(n - 1) = 0(n + 1)x2+ (-2n + 8) x - 2 (n - 1) = 0
Las races de la ecuacin sern simtricas, si:x1+ x2= 0
01n
)8n2(=
++
-2n + 8 = 0 2n = 8Finalmente: n = 4
6. Forma la ecuacin de 2do grado de coeficientes reales, siuna de sus races es: x1=2-5 i
Solucin:
Por teorema de races complejas conjugadas, si:x1= 2 - 5i entonces la otra raz esx2 = 2 + 5iPara formar la ecuacin se necesita:
+===++=+=
)i52)(i52(xxP
4i52i52xxS
21
21
= 22- (5i)2 = 4 - 25i2
pero: 1i1i 2 ==
Reemplazando:P = x1x2= 4 - 25 (-1) = 29Luego la ecuacin es: x2- Sx + P = 0Es decir: x2- 4x + 29 = 0
Problemas para la c lase
Bloque I
1. Hallar las races de la ecuacin:3x2- x - 10
a)
2;35
b)
5;23
c)
2;35
d)
5;23
e) {5; -2}
2. Hallar una raz de la ecuacin:2x2- 3x - 3 = 0
a) 3
322
b) 4
3313+
c) 2
323
d)4
333+e) 3
-
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Ecuaciones de segundo grado
82Cuarto ao de secundaria
3. Siendo: x1 x2 las races de la ecuacin:2x2- 5x + 1 = 0
Hallar :21 x
1x1
E +=
a) 2 b) 3 c) 6
d) 4 e) 5
4. S i e n d o y races de la ecuacin:2x2- 6x + 1 = 0
Hallar :
+
=M
a) 16 b) 15 c) 14d) 13 e) 12
5. Calcular m, si una raz de la ecuacin:
x2
- mx + 8 = 0, es: x = 2
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
6. Hallar una raz de:6x2+ x - 12 = 0
a)23
b)34
c) -34
d) -4 e) 3
7. Resolver:
x3x184-
x5
3xx2
2 +=+
+
a)21
b)23
c) -21
d) 2 e) 1
8. Resolver:x2+ 4x + 2 = 0
Indicar una raz.
a) - 2 + 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2
d) 2 - 2 e) 2
9. Hallar una raz de:x2+ 6x + 7 = 0
a) -3 + 2 b) 3 + 2 c) 3 - 2
d) 3 e) 3 + 1
10.Resolver: 12x2+ 60x + 75 = 0
a)25
b)52
c) -25
d)21
e) 5
Bloque II
1. Hallar a (a>0), si la ecuacin:9x2- (a + 2)x + 1 = 0
presenta races iguales.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10
2. Hallar m, si la ecuacin:x2- (m+7)x + 25 = 0
presenta raz doble (m>0)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Hallar m, si la ecuacin:3x2- (3m - 600)x - 1 = 0
posee races simtricas.
a) 0 b) 50 c) 100d) 150 e) 200
4. Hallar k, si la ecuacin:
(2k - 1)x2
- 7x + (k+9) = 0posee races recprocas
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
5. Dada las ecuaciones:(n-1)x2 - 3(n+5)x + 10 = 0 ...... (I)(m-2)x2 - (m+7)x + 2(9m+1) = 0 ...... (II)
La suma de races de la ecuacin (I) es 12 y el productode races de la ecuacin (II) es 20. Calcular mn
a) 63 b) 64 c) 65d) 66 e) 67
6. Si x1; x2son races de:x(x - 6) = -3
obtener:T = (1 + x1)(1 + x2)
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
7. La suma de las inversas de las races de la ecuacin:(a - 2)x2- 2ax - (3 - 2a) = 0
es 10/7. Calcular a.
-
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-
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Ecuaciones de segundo grado
84Cuarto ao de secundaria
1. Hallar m, si la suma de races de la ecuacin es 10.(m - 2)x2- (5m + 5) x + 8 = 0
a) 0 b) 1 c) 5
d) 15 e) 25
2. Hallar k (k
-
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85Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIO
Una demostracin imposible
2 = 1
Paso 1:Partimos de la igualdad : x = y
Paso 2:Multiplicando por x : x2= xy
Paso 3:Restando y2: x2- y2= xy - y2
Paso 4:
Descomponiendo en factores:(x + y)(x - y) = y (x - y)
Paso 5:Dividimos por x - y : x + y = y
Paso 6:Como: x = y, resulta : y + y = y
2y = y
Paso 7:Dividimos por y : 2 = 1
Nota:Alguno de los pasos dados es incorrecto. La regla, que seha utilizado mal en la demostracin esta relacionada con ladivisin. Cul es?.
Repaso
Capt ulo VII I
Problemas para la c lase
1. Hallar el nmero de factores primos del polinomio:P(x;y)= 13x10y5- 26x7y8+ 39x11y9
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Dar un factor primo de:P(x)= (x-3)(x-2)(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)
a) x - 3 b) x + 3 c) x + 2d) x - 2 e) x + 5
3. Dar la suma de factores primos de:P(a;b;c;d)= a2+ 2ab + b2- c2- 2cd - d2
a) a + b b) 2a + 2b c) 2c + 2dd) c + d e) 3a + 3b
4. Factorizar:F(x;y)= x2(x - y)2 - 14xy2(x - y) + 24y4
dar un factor primo
a) x + 2y b) x - 3y c) x - 4yd) x - y e) x + 8y
5. Factorizar:F(x)= x3- 2x2- 5x + 6
a) (x - 1)(x + 2)(x - 3) b) (x + 1)(x - 2)(x + 3)c) (x - 1)(x - 2)(x - 3) d) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)
6. Resolver:16x-[3x - (6-9x)] = 30x+[-(3x+2) - (x+3)]
a) 6 b)43
c)21
d)31
e)32
7. Resolver:
82x 1x2x 7x3 ++=+++
a) -3 b) 1 c) 2d) 5 e) -4
8. Si las races de la ecuacin:x2+ px + q = 0
son p y q, indicar una de dichas races.
a) 4 b) -2 c) 3d) -3 e) 2
9. Formar la ecuacin de 2do grado, si sus races son:
1mmx
1mmx
22
21
=
+=
a) 2x2- mx + 2 = 0 b) 2x2- 4mx + 2 = 0c) 2x2- 2mx + 1 = 0 d) 2x2- 2mx + 2 = 0e) 2x2- mx + 1 = 0
10.Dada la ecuacin:(2m + 2)x2+ 4x - 4mx + m - 2 = 0
Hallar la suma de races, sabiendo que estas soninversas.
-
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Repaso
86Cuarto ao de secundaria
a)103
b)31
c) 3
d)3
10e) 1
11.Calcular m en la ecuacin:3x2- 7x + m = 0
Si una raz es seis veces la otra
a) 3 b) -1 c) -2d) 4 e) 2
12.Calcular (x1 - x2)2, si x1 x2 son races de laecuacin:
x2+ 7x + 5 = 0
a) 19 b) 29 c) 39d) 18 e) 24
13.Hallar m, si las races de la ecuacin son iguales.x2 - 2 (1 + 3m)x + 7 (3 + 2m) = 0; (m>0)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14.Relacione correctamente, sea la ecuacin:cx2+ ax + b = 0; c 0
donde x1 y x2 son sus races.
1. Races reales iguales. ( )
2. x1+ x2 ( )3. Discriminante ( )4. x2= 16 ( )5. x1- x2 ( )6. Races complejas conjugadas ( )7. x2= 10x ( )8. x1x2 ( )9. 2x2- 5x + 2 = 0 ( )10.Races reales diferentes ( )11.El polinomio:
P(x)= x3- x ; tiene: ( )12.La ecuacin :
51
1-x4
51x2
1-x4 +=+ es: ( )
13.La ecuacin: ( )x - (2x + 1) = {8 - (3x + 3)} + 2x-6 es:
14.El polinomio:H(x)= 2(x - 1)4(x + 2)7tiene: ( )
15.Unidad imaginaria. ( )
Relacionar:
a)cb
b) = a2- 4cbc) x = 0 x = 10
d) Races recprocase) = 0
f) -ca
g) > 0h) x = 4 x = -4i) < 0
j)|c|cb4-a2
k) Dos factores primosl) Compatible indeterminadoll) incompatible
m) i = (0; 1) = 1n) tres factores primos
15.Resolver:
)ba()ba(a2
x)ba()ba(
x)b-a(22222
++
=++
+
a) 22
22
ba
ba
+ b) ab2 ba
22
+ c) abba
22
+
d)baba 22
++
e) 2
22
)ba(
ba
+
-
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Repaso
87Cuarto ao de secundaria
1. Resolver:9x - (5x + 1) - {2 + 8x - (7x - 5) + 9x} = 0
a) 3 b) - 41
c) - 34
d) -3 e)32
2. Hallar m, si las races de la ecuacin:(m - 3)x2- (m + 2)x + 3m - 15 = 0
son recprocas.
a) 1 b) 2 c) 6d) 7 e) 8
Aut oevaluac in3. Formar la ecuacin de 2do grado, sabiendo que sus
races son:
i32
31
x
i32
31
x
2
1
=
+=
; donde: i2= -1
a) 9x2- 6x + 5 = 0 b) 9x2+ 6x - 5 = 0c) 9x2+ 2x + 5 = 0 d) 9x2+ 6x + 5 = 0e) 9x2- 6x - 5 = 0
4. Encontrar el valor de p, si una raz es el doble de laotra en la ecuacin:
x2+ 6x + p = 0
a) 1 b) 6 c) -6d) -8 e) 8
5. Hallar k, si las races de la ecuacin son iguales:x2- 6x + k = 0
a) 1 b) -9 c) 9d) 4 e) -4
Claves1. c 2. c 3. e4. e 5. c
-
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Cap t u l o Pg .
I Divisin de polinomios: Horner .......................................................................................... 37
II Divisin de polinomios: Ruffini - Teorema del Resto ............................................................. 43
III M.C.D. - M.C.M. de polinomios .......................................................................................... 49
IV Fracciones algebraicas ..................................................................................................... 55
V Factorial - Combinatorio ................................................................................................... 61
VI Binomio de Newton I ........................................................................................................ 67
VII Binomio de Newton II ....................................................................................................... 73
VIII Repaso ........................................................................................................................... 79
NDICE
-
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37Colegio TRILCE
TRILCE
COLEGIODiv is in de po l inom ios:
Horner
Capt ulo I
para: x = 1 2 inexacta
Divisin de polinomios
Identidad fundamentalla
Propiedades Clases de divisin
Es aquella operacin algebraica que tiene como objetivoencontrar dos nicos polinomios llamados cociente entero q(x)y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamadosdividendo D(x) y divisor d(x).
D(x)
R(x)
d(x)
q(x)
es 1 exacta
El grado del dividendo es mayor
o por lo menos igual al gradodel divisor: D d
D(x) d(x).q(x) + R(x)d(x) 0
R(x) 0
para: x = 0 3
El grado del cociente es igualal grado del dividendo menos
el grado del divisor: q = D - d
D(1) d(1).q(1) + R(1)R(x) 0Suma de coeficientes
del dividendo
El grado mximo del resto esigual al grado del divisor
disminuido en 1: R = d - 1max.
D(0) d(0).q(0) + R(0)Trmino independientedel dividendo
Para todos los mtodos es necesario que el dividendo ydivisor estn ordenados y completos en forma descendente,si falta algn trmino completar con el cero.
Por ejemplo, as en la divisin:
6x-x2
1-x3x223
25
+
+
completando con ceros se tiene:
6x0x-x2
1-0xx3x0x0x2
23
2345
++
++++
Mtodo de Horner
Para este mtodo slo se utilizarn coeficientes empleandoel siguiente esquema:
D I V I D E N D O
C O C I E N T E R E S I D U O
DI
VI
SOR
Consigno
cambiado
Con sumismo signo
1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en formahorizontal.
2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en formavertical donde el primero de ellos lleva signo propio ylos restantes se colocan con signo cambiado.
3. La lnea que separa el cociente del resto se traza deacuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta dederecha a izquierda tantos lugares cmo lo indica elnmero que representa el grado del divisor.
4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo ydivisor, siendo este el primer coeficiente del cociente.
5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por lostrminos que cambiaron de signo y los resultados seescriben en fila a partir de la segunda columna; se reducelos coeficientes de la segunda columna dividiendo esteresultado entre el primer coeficiente del divisor, elresultado es el segundo coeficiente del cociente.
6. Se continuar hasta completar los coeficientes delcociente y residuo.
-
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Div isin de pol inomios: Horner
38Cuarto ao de secundaria
roblemas resueltos
1. Dividir:
13x-x2
1x-12x13x12x-4x2
2345
+
+++
Solucin:Utilizando el esquema de Horner:
23
-1
4
2
-126
-3
13-2-9
1
12
33
9
-1
-12725
1
-9-8
- El divisor:2x2- 3x + 1
es de grado: d = 2, entonces separamos dos
columnas para el residuo.
-
==
2d5D
q = 5 - 2 = 3; R1
- Finalmente:q(x) = 2x3- 3x2+ x + 9
R(x) = 25x - 8
2. La siguiente divisin:
2
45
1)-x(
1bxax ++; x IR - {1}
es exacta. Hallar a y b.
Solucin:En toda divisin exacta se establece que es posibleinvertir los coeficientes del dividendo y divisor y staseguir siendo exacta.Ordenando y completando se tiene:
12x-x
1x0x0x0bxax2
2345
+
+++++
Utilizando el esquema de Horner:
1
2-1
1
1
0
2
2
0
-14
3
0
-26
4
b
-38
(b + 5)
a
-4(a - 4)
En la columna del residuo:b + 5 = 0 b = - 5a - 4 = 0 a = 4
3. La siguiente divisin:ax4+ bx3+ cx2+ dx + e (x2-2)
es exacta. Calcular el valor de: ad2+ b2e
Solucin:Utilizando el esquema de Horner:
102
a
a
b0
b
ca0
c+a
2
2
d
b0
0
2
e
c +a
0
2 4
En el residuo:
- d + b2= 0 2= - bd
... (1)
- e + c2+ a4= 0 ... (2)Reemplazando (1) en (2):
e + c
bd- + a
2
bd-
= 0
e -bcd +
2
2
b
ad= 0
Transformando:eb2- cbd + ad2= 0ad2+ b2e = cdb
4. Determinar para que el polinomio:x4+ y4+ z4-(x2y2+ y2z2+ x2z2)
sea divisible por (x + y + z).
Solucin:Calculando el residuo de la divisin:- Se iguala el divisor a cero:
x + y + z = 0
- Con la anterior, se cumple:x4+ y4+ z4= 2(x2y2+ y2z2+ x2z2)
- Reemplazando en el dividendo:R = 2(x2y2+ y2z2+ x2z2)-(x2y2+ y2z2+ x2z2)
- Como es divisible entonces: R02(x2y2+ y2z2+ x2z2) (x2y2+ y2z2+ x2z2)Finalmente:= 2
1. Dividir:
3x7-x5
12-36x37x-x6x102
234
+
++
e indicar el resto.
a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1d) 3x - 1 e) 3x - 3
2. Dividir:
12x-x4
46x-15x14x-12x2
234
+
++
e indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Problemas para la c lase
-
7/25/2019 Algebra 4
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Div isin de pol inomios: Horner
39Cuarto ao de secundaria
3. Calcular m.n, en la siguiente divisin exacta.
1x3-x4
n-mx23x-6x8x2
234
+
++
a) 15 b) 19 c) 11d) 48 e) 60
4. Calcular m + n + p, si la divisin:
3xx2
pnxmx4x8x23
235
++
++++
deja como resto:R(x) = 5x2- 3x + 7
a) 32 b) 23 c) 21d) 15 e) 12
5. En la divisin:
3x3
a3ax12x-6x2
23
+
++
el residuo toma la forma mx + m. Calcular m + a.
a) 21 b) - 21 c) 30d) - 30 e) 9
6. Calcular a - b en la siguiente divisin exacta.
7x-x3
1419x4x-bxax2
234
+
+++
a) 13 b) - 13 c) 7d) - 7 e) 3
7. En la siguiente divisin exacta:
5x4x3
3B-7x-Bx11x6x2
234
++
++
Hallar el valor de B.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Calcular A - B si la divisin es exacta:
1xx
BAxx2
7
++
++
a) 3 b) - 2 c) 2d) 1 e) - 1
9. Si la divisin:
2-x2x BAx4x-3x-3xx 2
2345
++++
deja por resto: 2x - 1, calcular A + B.
a) 7 b) 8 c) 9d) 23 e) 24
10.En la divisin:
1x-x
AAxx5x22
34
+
+++
el residuo es un trmino constante, indique dicho resto.
a) -1 b) -4 c) -2d) -8 e) -3
Comparacin cuantitativa
A continuacin se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemticos y se pide determinar la relacinentre ambos, considerando las siguientes alternativas :
A. La cantidad en A es mayor que en B.
B. La cantidad en B es mayor que en A.C. La cantidad en A es igual a B.D. No se puede determinar.E. NO DEBE USAR ESTA OPCIN!
Preg. Informacin Columna A Columna B
11
Al dividir:
2x3x2
53x-6x13x6x2
234
++
+++
se obtiene:
q(x) = cocienteR(x) = residuo
q(2) R(-1)
-
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Div isin de pol inomios: Horner
40Cuarto ao de secundaria
Preg. Informacin Columna A Columna B
Dividir:
1-xx2
5-8x3x4x2
24
+
++
La divisin:
2-x2x
BAx4x-3x-3xx2
2345
+
+++
deja como resto 2x - 1.
Dada la divisin exacta:
2xx4
nmx7x2x-8x2
234
++
+++
Al dividir:
1-2x3x
DCxBxAx6x2
234
+
++++
se obtiene un cociente cuyos coeficientes sonnmeros enteros consecutivos y un resto igual a
2x + 7.
12Suma de
coeficientesdel cociente
Trminoindependiente
del residuo
1325-B-A
BA+ B2
14m
n-mnm-n
15 A - C B - D
Suficiencia de Datos
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dosdatos o dos series de datos para resolverlo. Debedeterminar qu datos se necesitan y marcar de acuerdo aestas alternativas:
A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente.E. Se necesitan ms datos.
16.En la divisin:
3x-x3cx5bx2ax-6x 2
245
+++
Hallar:3
cba 333 ++
I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2.II. El residuo es un polinomio de grado 0.
17. El residuo en la siguiente divisin:
2-x-x2x
3-5x-2xcxbxax23
2345
+
+++
es: 7x2+ 8x - 3. Calcular a + b + c.
I. D(x) = d(x) q(x) + R(x)II. q(x) = x2- 5x + 2
18.Si:P(x) = ax4+ bx3+ cx2+ 3x + 1
se divide por: x2- x + 1.Calcule a + b + c.
I. Suma de coeficientes del cociente es 22.II. Suma de coeficientes del residuo es 9.
19.Si la siguiente divisin:
3x2x2
3)-(B1)x(A3x2x
2
24
++
++++
deja como residuo: R(x) = x + 3.Hallar A.B
a) 9 b) - 9 c) 0d) 11 e) 21
20.En la divisin indicada:
5x-x
4-x25x-x3
26 +
Hallar el residuo.
a) 4 - x b) 4x c) xd) x + 4 e) x - 4
-
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Div isin de pol inomios: Horner
41Cuarto ao de secundaria
21.Si: {m; n} ZZ y al efectuarse la divisin:
nmxx
x-x2
3
++se obtiene como resto 6.Calcular m + n.
a) 0 b) 1 c) 2d) 5 e) 4
22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente divisin:
2x-x2
5-17xpxnxmx2
234
+
+++
tiene residuo:R(x) = 6x - 3
y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.
a) 10 b) 70 c) - 70
d) 100 e) - 7
23.Calcular b - a si al dividir:
7x-x3
1813xbxax2
34
+
+++
se obtiene como resto 2x - 3.
a) 10 b) 4 c) 6d) 3 e) N.A.
24.Al efectuar:
K4x-3xx
15x3x-x7x223
345
++
+++
se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dichoresto.
a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4d) 13x + 3 e) 12x + 3
25.En la divisin:
2-x-2x-3x
43x-axx-6x23
2345 ++
se obtiene como resto: bx + c.Indique a + b + c.
a) 3 b) - 4 c) - 2d) - 1 e) 2
26.En la divisin:
b-ax3x
9aabx3b)x(a6ax9x2
22234
+
+++++
el resto obtenido es: 6ab + b2.Calcular:
2
22
a
ba3 +
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
27.Si la divisin:
23x-4x
9-15xBx7x-Ax2
234
+
++
deja como residuo: 2x - 3Hallar A - B.
a) 12 b) - 14 c) 28d) - 12 e) 14
28.En el esquema de Horner mostrado:
1
m2
3
n
a
9
-2
1
de
p
b
fg4
c
h-3
Determinar:(m +n + p) - (a + b + c)
a) 12 b) 18 c) 14d) 17 e) N.A.
29.Si el polinomio:ax7+ bx5- 1
es divisible por:mx5+ nx4+ px3- x - 1
calcular el valor de ab + mn + p.
a) 1 b