algebra 2º

4to Año Razonamiento Matemático 2

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA

GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-

Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a

nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y

aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del

país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana

Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido

lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las

personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su

preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la

calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

4to Año Razonamiento Matemático 2

POTENCIAS Y RADICALES EN

Son

Que consisten en

En potenciación 1n , n .se tiene:

Propiedades:

1.- Dados ,a n , se tiene: 0 1a

2.- Dados ,a n , 0a , se tiene:

1. . 1n n n n n

na a a a a

a3.-

.....

. . .....

fz

yx x y z fa a

3.- . . .. ....... . ......n

p q m p n q n m na b x a b x

4.- n

n m n m

m

aa a a

a

5.- .m n m na a a

En radicación 2n , n

1

n na a . Propiedades:

1.-

n

m n ma a

2.- . . .... . . .......

. . .....

m m m mn p q n p q

n m p m q m

a b c a b c

a b c

3.- 1

1

mmm m

mm

a a aa b

b bb

4.-

1

. . .... ( . . .... ).....pm m n p un m n p uu a a a

Eejmplos:

1. 243 4 xx

2. 123 44 3 101010

3. Reducir: 2 3 4 5 120M x

Solución:

2 3 4 5 2.3.4.5120 120

120

2.3.4.5 .

M x x

x x M x

4.- Calcular: 2. 2

2. 2. 2M

Solución

La expresión dada es:

2. 2 4

2

2. 2. 2 2. 2. 2

2. 2. 2 2. 2.2

4.2 2.2 4

4

M

M

POTENCIACIÓN Y

RADICACIÓN

OPERACIONES INVERSAS

Dados dos números base y exponente, determinar un tercer número llamado potencia

Dados dos números radicando e índice, determinar un tercer número llamado raíz

n na b b a

Potenciación y Radicación

I Bimestre

ALGEBRA

COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”

3

TAREA DE CLASE 1. Simplificar:

1419

1587

3.3

3.3.3

Rpta.

2. Si 5 410

3pnnn

Hallar 1P

Rpta.

3. Reducir

33251010 3 325 44

Rpta.

4. Reducir

n213n52

13n2n1

x.x.x

x.x.x

5. Reducir:

210

514

82

42

Rpta.

6. Reducir: 16

222

Rpta.

7. Luego de reducir:

n

n nn

2

2 3

Rpta.

8. Si: n6 n28

Hallar: 1n

Rpta.

9. Simplificar:

........3336K

10. Indicar el exponente final del número 2

4 423 22.2

Rpta.

11. Reducir:

1n2n2

2n21n2

326

3.22.3 n Q

Rpta.

12. Simplificar:

0

113

5

10

6

7654321

7.5

13. Hallar el valor de “M + 3”, si:

........777M

Rpta.

14. Indicar el valor de “K” si:

....888

.....55520K


4

Aprendiendo a resolver…..resolviendo

1. Simplificar:

1520

1698

5.5

5.5.5

a) 510

b) 515

c) 512

d) 513

e) 515

2. Si:

5 535

2QKKK , hallar Q + 3

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

3. Efectuar: 55 26

1212

4 426 99

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 11

4. Reducir:

xx

xx

aaa

aaa2141

13421

..

..

a) A–1

b) A-2

c) A-5

d) A-6

e) A-7

5. Reducir:

413

617

42

42

a) 12 b) 14 c) 16

d) 18 e) 20

6. Reducir:

8

333

a) 9 b) 1 c) 27

d) 3 e)

3

1

7. Simplificar:

.....5554Q

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Indicar el exponente final del número 3. en

4 534 333

a) 21/16 b) 31/15 c) 31/17 d) 11/16 e) 31/16

9. Luego de reducir el radical, indicar el valor de M + 2:

64

64

64M

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

10. Reducir:

122

2212

5315

5.33.5KK

KK

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 15

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

es un

representada por dadas por

TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)

Definición.- Es la mínima parte de una expresión

algebraica, en el no existen operaciones de

adición o sustracción.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CONJUNTO DE TÉRMINOS QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD

CONSTITUIDA POR

VARIABLES CONSTANTES

LETRAS

NÚMEROS

OPERACIONES MATEMÁTICAS ELEMENTALES


5

Ejem: 3

22 2 6 3

5 ; 7 ;xy

x y x yz

Todo termino algebraico presenta tres partes, las

cuales son: Exponentes

5 3 77x y

Variables

Coeficiente

TÉRMINOS SEMEJANTE

Definición.- Son aquellos términos que presentan

las mismas variables e iguales exponentes

respecto a la Variable común.

Ejem: 5 57 4xy xy son semejantes

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

A.- Según su Naturaleza

1.- Expresión Algebraica Racional.

Es aquella expresión en donde los

exponentes de las variables son números enteros.

Estas a su vez se dividen en:

1.A Expresión Algebraica Racional Entera

Ejem: 4 27 4 4 2 1xy x y x y

2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Ejem: 2 27 5 1xy xy

x

2.- Expresión Algebraica Irracional

Es aquella expresión en donde existe al menos

una variable afectada de algún signo radical o

exponente fraccionario.

Ejem: 2

1 4 4 1 5

2 5 3

2 3 3 2

xy x y x

x y xy x

B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS

Monomio……………….1 término

Binomio…………………2 términos

Trinomio…………………3 términos

…………………………………….

Polinomio………………más de 3 términos

EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE

Ejem: 2

2 5 5 3

2 cos

yxy x x

x senx x

Ejercicios resueltos

1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?

2 1 3 23 ;3 3;3 5;28; 4 1xxx x x x x

Solución

Son expresiones algebraicas:

2 1 33 ;3 5;28x x x x

2.- Si los términos : 3 1 5 24 a b a bx y x y

Son semejantes; calcular a.b

Solución

Podemos plantear:

3 1 5 24 a b a bx y x y

Donde: 3 5 2 8 4

1 2 1 1

. 4

a a a a

b b b b

a b

GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

es un

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Definición.- Es aquel valor que se obtiene al

reemplazar las variables por constantes o

variables y efectuar dichas operaciones.

Ejem: Sea ( ) 5 3P x x . Hallar:

(0); (1); ( 3)P P P x

Solución

:

0 (0) 5(0) 3 3

1 (1) 5(1) 3 8

3 ( 3) 5( 3) 3 5 18

si

x P

x P

x x P x x x

VALORES NUMERICOS NOTABLES

Si ( )P x es un polinomio, se cumple:

(0)P = término independiente

GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

EXPONENTE QUE CARACTERIZA A LA EXPRESION ALGEBRAICA

ABSOLUTO SI SE REFIERE A TODAS LAS VARIABLE

RELATIVO SI SE REFIERE A UNA

SOLA VARIABLE

SÓLO UN TÉRMINO

TODA LA EXPRESIÓN


6

(1)P = suma de coeficientes

Ejem: Si ( 3) 5 16P x x

Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes

Solucion

Se pide (0)P + (1)P

(0)P : ) 3 0 -3i x x . Reemplazando

en:

( 3 3) 5( 3) 16 1

(0) 1

P

P

(1)P : ) 3 1 -2i x x . Reemplazando en:

( 2 3) 5( 2) 16 6

(1) 6

P

P

FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE

VARIABLE X

1 2

0 1 2 1( ) ...................n n n

n nP x a x a x a x a x a

Donde:

; n n grado del polinomio

0 1 2 1, , ,.........., , :n na a a a a son los coeficientes

tales que:

0 0 :a Coeficiente Principal (C.P)

:na Término Independiente (T.I)

POLINOMIOS ESPECIALES

1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio

que tiene todos sus términos el mismo grado.

Ejem: 3 2 2 3( , ) 3 4P x y x x y xy y

2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que

esta ordenado con respecto a una variable

llamada ordenatriz, donde los exponentes de la

mencionada variable van aumentando o

disminuyendo.

Ejemplos:

5 3 3 2 2 4( , ) 9 2 4 3P x y x y x y x y y

4 3 2 2 3 4( , ) 9 2 4P x y x x y x y xy y

17 12 6( ) 5 2 1Q x x x x x

3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el

que el grado de todos sus términos van desde un

máximo valor hasta el de exponente cero (término

independiente)

Ejem: 5 4 3 2( ) 9 2 4 3 5P x x x x x x

4 3 2 2 2( , ) 9 4 10P x y x y x y x xy y

Propiedad

En todo polinomio completo y de una sola variable,

el número de términos es equivalente al grado

aumentado en uno.

Es decir: número de términos = Grado + 1

4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las

mismas variables son idénticos si tienen el mismo

valor numérico para cualquier valor o valores

asignados a sus variables.

Ejemplos: 2 2( ) ( 2) ( ) 2 8P x x Q x x x

3 3 2 2( , ) ( , )P x y x y Q x y x y x xy y

5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas

expresiones que son equivalentes a cero. Estando

reducidas se cumple que cada coeficiente es igual

a cero. Notación: ( ) 0P x

TAREA DE CLASE

1. Si P(x+1) = 3x – 2 Calcular: P(2)

Rpta.

2. Si P(x) = 2x – 2

x – 1

Calcular

P(1) + P(2) + P(3)

Rpta.

3. Calcular (a – b) si el monomio: M(x;y) = 5x

2a + b y

a + 2b

Tiene G.A. = 15 y G.R(x) = 8

Rpta.

4. Determinar “m”, si el siguiente polinomio es homogéneo P(x;y) = 3x

m + 1 . y

n + 3 + 2x

a . y

b +

+ x2m

. yx + 2


7

Rpta.

5. Sea P(x) = 3x

90 – 27x

88 +3x

2 – 4x

Halar P(3)

Rpta 6. Sea: R(x) = 4x + 3

N(x) = 2x – 5

Hallar R(N(3))

Rpta.

7. Sea F(3x – 1) = 2x + 3

P(x) = 4x – 1

Hallar P(F(2))

Rpta.

8. El siguiente es un polinomio

ordenado y completo de grado

3:

P(x) = xa – b

+ 4xa – 7x

b + 5

Hallar a2 + b

2

Rpta.

9. Sabiendo que:

A(x) = 2

1x y B(x) = x

2 +

x – 1

Halar el valor de A(B(2))

Rpta.

10. Si P(x + 1) = x2.

Hallar: P(P(P(2)))

Rpta.

11. Sea P(x) = 4x + 1

Hallar 03

21

PPPP

E

Rpta.

12. Sea P(x – 5) = 5x + 5

Hallar 21

01

PPPP

Rpta


1. Si P(x – 1) = 5x – 3 Hallar P(3)

a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 4

2. Si P(x) = 3x + 1

+ 3x – 2

Calcular 29

21

3

10 PPP

a) 9

111 b)

9

101 c)

9

112

d) 9

113 e)

9

114

3. Calcular (a – b), si el monomio M(x;y) = 8x

3a + b . y

a + 3b

Tiene G.A = 16 y = G.R(x) = 10

a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5

4. Sea: P(x;y) = 3x

a–8y

6 + 4x

a–11 . y

5 + 7x

a–13 . y

20

Cuyo G.R.(x) = 7, hallar el G.A.

a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5

5. Sea


8

P(x) = 5x100

– 25x99

+ 6x2 – 3x

Hallar P(5)

a) 125 b) 115 c) 135

d) 145 e) 160

6. Sea R(x) = 3x + 4

N(x) = 5x – 1

Hallar R(N(2))

a) 30 b) 31 c) 32

d) 33 e) 34

7. Sabiendo que:

A(x) = 3

1x y B(x) = x

2 – x + 1

Hallar el valor de B(A(2))

a) 9

1 b)

9

3 c)

9

5

d) 9

7 e)

9

11

8. Sea: P(x - 4) = 4x – 4

Hallar

4

51

02

PP

PP

a) 0 b) –1 c) 2 d) 3 e) 5

9. Si: P(x) = 3x + 2 Hallar P(P(–2))

a) –8 b) –6 c) –7 d) –110 e) –2

10. Sea: M(x) = x+ 7 N(M(x)) = 3x + 2

Hallar N(7)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 1

PRODUCTOS NOTABLES

son

Por ejemplo

2 2 22a b a ab b

2 2 22a b a ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Definición.- Se denominan así a todas aquellas

multiplicaciones o potenciaciones cuyos

resultados:

Productos o potencias, tienen una frecuencia que

las hace reconocibles en una inspección.

Algunos resultados mas:

1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

2 2

2 2m n m n m n

a b a b a b

a b a b a b

2.- TRINOMIO AL CUADRADO

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c a b c ab ac bc




3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

a b a a b ab b

a b a a b ab b

PRODUCTOS NOTABLES

RESULTADOS DE DETERMINADAS MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS

SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN

BINOMIO SUMA AL CUADRADO

BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO

BINOMIO SUMA

AL CUBO

BINOMIO DIFERENCIA

AL CUBO


9

TAREA DE CLASE

1. Simplificar:

1x3

1x31x32

22

Rpta.

2. Si se cumple que: a2 +b

2 = 3ab. Reducir:

22

22

baba

baba

Rpta.

3. Reducir:

8 84422 33535352

Rpta.

4. Efectuar:

131313 44

Rpta.

5. Siendo:

3232X

Hallar x2

Rpta.

6. Reducir “M”:

2

22

2

22

aaxax

axaxM

Rpta.

7. Efectuar:

23

23

23

23

Rpta.

8. Efectuar:

1313221313222

9. Si se cumple que:

22

2 xy

yx

Calcular

8

yx

Rpta.

10. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1

Calcular: (x + y)2

Rpta.

11. Reducir:

5

9222mmm

N

Rpta.

12. Si: 51

xx ; hallar

3

3 1

xx

Rpta.

13. Si: m + n = 2; m . n = 1 Hallar m

3 + n

3

Rpta.

14. Si: n2 = n + 1

Hallar

8 842 1111 nnnnP

Rpta.


10


1. Simplificar:

15

15152

22

xxx

N

a) 2 b) 4 c) 6

d) 7 e) 8

2. Si se cumple que: x2 + y

2 + 4xy

Reducir:

22

22

yxyx

yxyxR

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4

d) 0,5 e) 0,6

3. Reducir:

8 84422 44747.11.3N

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 4

4. Efectuar:

15151515 488Q

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Siendo:

5353x

Hallar x2

a) 12 b) 11 c) 10

d) 9 e) 8

6. Reducir:

2

22

2

33

aaxax

axaxZ

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

7. Efectuar:

35

35

35

35M

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

8. Efectuar: 222

52125153Q

a) 33 b) 44 c) 55

d) 66 e) 77

9. Si se cumple que:

23

3 ab

ba

Calcular:

3

ba

a) 7 b) 17 c) 27 d) 37 e) 47

10. Si (x – y + 2)(x – y + 2) = 4 Calcular (x – y)

2

a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


11

41 42

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición.- Operación que se realiza entre

polinomios que consiste en hallar dos

polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO,

conociendo otros dos polinomios denominados

DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra

ligados por la relación:

. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .

Donde:

D(x) : Dividendo

d(x) : Divisor

Q(x) : Cociente

R(x) : Residuo o Resto

Propiedades de la División

Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN

MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER

Pasos a seguir:

1. Coeficiente del dividendo ordenado

decrecientemente en una variable completo o

completado.

2.- Coeficiente del divisor ordenado

decrecientemente en una variable, completo o

completado, con signo contrario salvo el

primero.

3. Coeficientes del cociente que se obtienen de

dividir la suma de los elementos de cada

columna entre el primer coeficiente del divisor.

Cada coeficiente del cociente se multiplica por

los demás coeficientes del divisor para colocar

dichos resultados a partir de la siguiente

columna en forma horizontal.

4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de

sumar

la columnas finales una vez obtenidos todos los

coeficientes.

OBSERVACIÓN:

LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO

TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL

DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:

II Bimestre

ALGEBRA


12

MÉTODO DE PAOLO RUFFINI

Pasos a seguir:

1.-Coeficientes del dividendo ordenado

decrecientemente, completo o completado,

con

respecto a una variable.

2.- Valor que se obtiene para la variable

cuando el

divisor se iguala a cero

3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de

sumar cada columna, luego que el coeficiente

anterior se ha multiplicado por (2), y colocado

en

la siguiente columna.

4.- Resto de la división que se obtiene de sumar

la

última columna

OBSERVACIÓN:

SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES

DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE

OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE

VALOR.

TEOREMA DEL RESTO

Se utiliza para obtener el resto de una división.

Consiste en igualar a cero al divisor y despejar

la mayor potencia de la variable, para que sea

reemplazada en el dividendo.

OBSERVACIÓN:

DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE

COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO

OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.

TAREA DE CLASE

1. Indicar el residuo de la siguiente división

2

3242 67

xxxx

Rpta.

2. Efectuar la siguiente división Indicar el residuo

1

4456 23

xxxx

Rpta.

3. Indicar el término independiente del resto de la siguiente división

123

6262

23

xxxxx

Rpta.

4. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar:

1x3x2

10x20x3xx22

234

5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15

nxnxnxx

2

42 23

Rpta.

6. Al dividir x4 – 2x

2 – 6 entre

x + 3, el residuo es:

Rpta.


13

7. Hallar el cociente en:

13

12623

345

xxxxxx

Rpta.

8. Cual es el valor que deberá tener “K” para que

al dividir 4x5 – 2x

3 + K – 2 entre x – 2, el

residuo sea cero

9. El cociente de la siguiente división: x

3 + 3x

2 – x – 3 entre x

2 + 2x – 3 es:

Rpta.

10. Hallar el residuo en

2

6352 34

xxxx

Rpta.


352

2765382

34

xxxx

Rpta.

12. Hallar el coeficiente del término cuadrático en:

32

372 34

xxxx

13. Hallar el cociente aplicando Horner

5

107272

245

xxxxxx

Rpta.

14. Hallar el cociente aplicando Ruffini x

4 – 3x

3 + 5x – 8 entre x + 2

Rpta.

15. Hallar el cociente aplicando Horner 6x

5 + 2x

4 – 23x

3 + 11x

2 + 12x – 3 entre 3x

3 – 5x

2

+ 3


1. Indicar el residuo en la siguiente división:

1

32 23

xxx

a) 1 b) –1 c) 0

d) 2 e) –2

2. Efectuar la siguiente división:

12

26 2

xxx

E indicar el cociente

a) x+1 b) 3x–2 c) 3x+2

d) 2x+3 e) 2x–3

3. Indicar el término independiente del resto

en la siguiente división

9x3

27x9x6 2

a) 1 b) 2 c) –2

d) 3 e) 0

4. Calcular la suma de coeficientes del cociente,

después de efectuar.

8

56152

xxx

a) 5 b) –5 c) 6

d) –6 e) 7

5. Calcular “n” si el resto de la división es cero

4

18112 23

xnxxx

a) 12 b) 36 c) 42

d) 6 e) 24

6. Al dividir:

3

1273

36

xxx

El residuo es:

a) x3–4 b) X

3+4 c) x

2–5


14

d) x2–3 e) 2x

3+1


3x4x

9x14x10x2

23

a) x+1 b) x–1 c) x+6 d) x–6 e) x+7

8. Dividir usando Horner

4y5y2y3

y84y3y10y3y9y523

23645

e

indicar la suma de coeficientes del cociente

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) 3

9. Dividir usando Ruffini 2x

3 – 11x

2 + 18x – 24 entre

x- 4

e indicar el término independiente del cociente

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) –3

10. Dividir usando Horner

xx

xxxx

27

2158313

562

e indicar el coeficiente del término cúbico

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2

11. Dividir e indicar la suma de coeficientes

del residuo

xxxxx

638

32463112

253

a) 1 b) 5 c) 0

d) 4 e) 6

12. Efectuar la división

3

62 24

xxx

e indicar el resto

a) 69 b) 62 c) 59

d) 57 e) 54

13. Al efectuar la división

12

322

245

xxxxx

Indicar la suma de coeficientes del

residuo

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

14. Dividir e indicar la suma de coeficientes

del residuo

xxxxx

638

32463112

253

a) 1 b) 5 c) 0

d) 4 e) 6

15. Efectuar la división

3

62 24

xxx

e indicar el resto

a) 69 b) 62 c) 59

d) 57 e) 54

16. Al efectuar la división

12

322

245

xxxxx

Indicar la suma de coeficientes del

residuo

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

17. Efectuar la división e indicar el término independiente del residuo

12

1422

5234

xxxxxx

Indicar el término independiente del resto

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18. Utilizando el Método de Horner, efectuar la división

23

9710187623

2345

xxxxxxx

Indicar el coeficiente del término lineal del cociente

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. Aplicando el Método de Horner, efectuar la división e indicar coeficiente del el término cúbico del cociente

124

1665252

2344

xxxxxxx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


15

51

COCIENTES NOTABLES

Definición.- Son aquellos cocientes que se

pueden obtener en forma directa sin necesidad

de efectuar la operación de división.

Condiciones que debe cumplir: yx

yx mm

Donde

x; a bases iguales

m Z+; m 2

CASOS

1. Si: R = 0 xqyxyx nm

cociente

entero o exacto (C.N.)

2. Si: R = 0 yx

xRxq

yxyx nm

cociente completo

También según la combinación de signos se

puede analizar 4 casos.

DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES

DIVISIÓN

INDICADA

COCIENTES n Z+

yxyx nn

=xn-1

+xn-2

y+xn-3

y2+...+y

n-1+; n (C.N.)

yxyx nn

=x

n-1+x

n-2y+x

n-3y

2+...+y

n-1+

yxy n2

; n

(cociente completo)

yxyx nn

ompletocociente cn par ;

yx

yy...yxyxx

C.N.imparn;y...yxyxxn

nnnn

nnnn

212321

12321

yxyx nn

ompletocociente cn impar ;

yx

yy...yxyxx

C.N.parn;...nyyxyxxn

nnnn

nnnn

212321

12321

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

PARA OBTENER UN C.N.

De: qp

nm

yx

yx se debe cumplir: r

q

n

p

m; r Z

+

FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN

C.N.

Es una fórmula que nos permite encontrar un

término cualquiera en el desarrollo de los C.N.,

sin necesidad de conocer los demás.

De la división: yx

yx nn

a) Si d(x) = x – y: . tk = xn–k

yk–1

.

b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1

xn–k

yk–1

.

Donde:

tk término del lugar k

x 1er. término del divisor.

y 2do. término del divisor.

n número de términos de q(x)

Ejemplos:

43223455

yxyyxyxxyxyx

(C.N.)

yx

yyxyyxx

yx

yx 43223

44 2

(Cociente Completo)

86336633

1212

yyxyxxyx

yx (C.N.)

TAREA DE CLASE

1. Efectuar

2

325

xx

y hallar la suma de coeficientes

del resultado

Rpta.


16

2. Calcular el tercer término de:

13

184 4

xx

Rpta.

3. Calcular el segundo término de

35

27125 3

xx

Rpta.

4. Desarrollar

x

82xE

3

5. Desarrollar

1

163 4

xx

N

Rpta.

6. Si:

23

11

yx

yx mm

, es C.. Hallar “m”

Rpta.

7. Hallar el término de lugar 34 en

yxyx 4848

Rpta

8. Hallar el valor de “n” para que:

23

25

yx

yx nn

sea Cociente Notable

Rpta.

9. Hallar el valor de “P” para que:

44

64

P

P

yx

yx, sea C.N

Rpta.

10. Efectuar:

yxyx

2

64 66

e indicar el cuarto término

Rpta.

11. Cual es el tercer término en el cociente

yx

yx

2

322

510

12. Hallar el número de términos del

siguiente cociente notable:

7

63

.

.

yx

yxn

n

Rpta.

13. Efectuar:

4

643

xx

Y dar la suma de los coeficientes del

cociente.

Rpta.

14. Hallar el cuarto término de:

yxyx 77

Rpta.

15. Hallar el tercer término de:

2

164 4

xx


17


1. El número de términos que tendrá el

siguiente cociente notable:

9a8a

3a412a4

nm

nm; es:

a) 10 b) 12 c) 25

d) 15 e) 18

2. Efectuar:

yxyx

2

64 66

y dar la suma de los coeficientes del

cociente

a) 13 b) 21 c) 31

d) 41 e) 51


13

181 4

xx

a) 2x2 b) 3x

4 c) 3x

d) x4 e) 4x4

4. hallar el cuarto término de:

3

325 5

xx

a) 8x – 40 b) 8x + 40

c) 8x – 20 d) 8x + 50

e) 8x – 30

5. Hallar el valor de “P” para que:

5

115

p

p

axax

Sea cociente notable

a) 5 b) 6 c) 8

d) 9 e) 7


35

93155

yx

yx

a) x6y

140 b) x

40y

6 c) x

140y

6

d) x140

y8 e) x

140y

10

7. Hallar el término central de:

44

100100

yx

yx

a) x48

y46

b) x46

y48

c) x48

y48

d) x6y

48 e) x

24y

24

8. Al efectuar la división:

3

12 20

xx

El término independiente del cociente es:

a) 10 b) 2 c) 1

d) 4 e) 5

9. En el cociente notable:

43 yx

yx mn

Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos. El valor de (m + n) es:

a) 56 b) 42 c) 84 d) 89 e) 98

10. Hallar el lugar que ocupa el término de grado absoluto igual a 101 en el desarrollo de:

49

80180

zxzx

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19


18

FACTORIZACIÓN

Definición.- Proceso inverso de la multiplicación

por medio del cual una expresión algebraica

racional entera es presentada como el productos

de dos o más factores algebraicos.

Factor Divisor: Un polinomio no constante es

factor de otro cuando lo divide exactamente,

por lo cual también es llamado divisor.

Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel

polinomio que no se puede descomponer en

otros factores. Racionales dentro del mismo

campo.

Ejemplo:

El proceso

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

es una multiplicación.

En cambio el proceso

x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)

es una factorización

Donde:

(x + a), (x + b), son factores primos.

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Factor Común Monomio

1. Común Monomio Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable común con el menor exponente.

Ejemplos:

1. Factorizar:

2. Factorizar 6x3 – 15x

2

Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3

El menor exponente de x es 2 el factor común es 3x

2

Luego

3x2 (2x – 5)

3. Factorizar: 3x

2y + 6xy

2 – 3x

2y

2

2. Factor Común Polinomio El factor común es un polinomio.

Método de Agrupación

Se usa este método cuando el polinomio posee un

factor común de 2 a mas términos por lo general

se encuentran luego de agrupar.

Ejemplos:

1. ax + bx + ay + by

agrupando

x(a+b) + y(a+b)

factor común

Factorizando:

(a+b)(x+y)

2. 6ax + 3a + 1 + 2x

3a(2x + 1) + 1 + 2x

Factor

común

Factorizando:

(2x + 1)(3a + 1)

3) xy2 + xz

2 + yz

2 + x

2y


19

xy2 + yz

2 + xz

2 + x

2y = y(xy + z

2) +

x(z2 + xy)

= (xy + z2)(y + x)

Método de las Identidades

a) Trinomio Cuadrado Perfecto

a2 + 2ab +b

2 = (a + b)

2

a2 - 2ab +b

2 = (a - b)

2

Ejemplo:

1. Factorizar

16x2 + 40x + 25

Raíz 4x 2(4x)(5) 5 =

(4x + 5) 2

Doble producto Si es T.C.P.

b) Diferencia de Cuadrados

a2 – b

2 = (a + b)(a -b)

Ejemplo:

1. Factorizar

x4

- 4b2

Raíz x2 2b x

4 – 4b

2 = (x

2 + 2b)(x

2 – 2b)

Método del Aspa Simple

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

TAREA DE CLASE

1. Factorizar:

7x + 7y

Rpta.

2. El factor común de x2 – x

2y es:

Rpta.

3. Factorizar

24x3 – 16x

2 + 8x

Rpta.

4. Factorizar:

18x3 + 6x

2y + 4xy

2 – 10xy

Rpta.

5. Al factorizar

16z3 + 20z

2 + 4z

4 + 12z

5, se obtiene

6. Factorizar:

5

1

5

1x

Rpta.

7. Factorizar:

–a – b + 2(a + b)

Rpta.

8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar mx + my

Rpta.

ax2 + bx + c


20

9. Factorizar cada una de las expresiones:

a. 8x2 – 16x = ______________

b. x3 + 3x

2 – 5x = ____________

c. m5 + x

4 – m

3 = ____________

d. 6y4 + y

3 – 12y

2 = __________

e. 3x – 6x2 + 9x

3 = ___________

f. 4x4y – 2x

5 + 6x

3y

2 = _______

10. Factorizar cada uno de los polinomios:

a. 2(a+b)+x(a+b) = __________

b. x2(a–1)–y

2(a–1) = _________

c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________

d. (a+b)x–(a+b)7–a–b = _____

e. x2+y

2–5y(x

2+y

2) = ________

11. Factorizar:

xz + yz + x + y

12. Factorizar:

ab + bx + ay + xy

Rpta.

13. Factorizar

a2b

3 – a

2 + 2b

3 – 2

Rpta.

14. Factorizar:

6b2x

2 – 3x

2 + 4b

2 – 2

Rpta.


1. Factorizar (a

2 + b

2) (x + y) + (a

2 + b

2)

(x – 3y) + (a2 + b

2) (y – 2x)

Uno de los factores es:

a) x(a + b) b) x2(a + b)

c) x(a + b)2 d) –y(a

2 + b

2)

e) x(a2 – b

2)

2. Al factorizar la expresión: x

2 – 2x + cx – 2x

Uno de los factores primos es:

a) x+2 b) x–c c) x–2 d) c–x e) 2–x

3. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de: 2yz + 7y – 2z – 7

a) 7 b) 8 c) 5 d) 6 e) 1

4. ¿Cuántos factores primos tiene: mx – m – x + 1

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

5. Al factorizar la siguiente expresión: mx – m – x + 1

Uno de los factores primos es:

a) (x+1) b) (m+1) c) (2x+1) d) (x–1) e) (2m+1)

6. La suma de los coeficientes de uno de los

factores primos de:

3ax – 3ay – 2bx + 2by; es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

7. El factor primo de mayor grado de:

2ax2 + 2ax + 2x – a

2 – a – 1; es:

a) x2 + x + 1 b) a

2 + a + 1

c) x2 + 1 d) a

2 + 1

e) a3 + 1

8. Hallar el producto de los términos

independientes de los factores primos de:

133

12 xx

x

a) 2 b)

3

1

c) 3

d) 3

2

e) 1

9. Uno de los factores primos de: x

2n + 1 + 3x

n + 1 + x

n + 3 – x

n + 3x

3 - 3

a) (xn+1

–3) b) (xn–3) c) (x

4+3)

d) (xn+1) e) (x

n–1)

10. ¿Cuál es el factor primo de mayor grado de: P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6)


21

a) (x–8)2 b) (x–6)

2 c) (x–4)

2

d) (x–3)2 e) x

3

11. Uno de los factores primos de: x

m+a – x

m . y

b + x

a . y

n – y

n+b – x

az

p + z

py

b

Es:

a) (xa+y

b) b) (x

a–y

b) c) (x

b+y

a)

d) (x+y) e) (x–y)

12. Señale un factor de:

P = ax + bx – ay - by

a) a – b b) x + y c) a + b d) 1

e) 2

13. Señale un factor de:

(x + 1)(y -2) + 3x(x + 1)

a) (x + 1) b) (x - 1)

c) (y - 2) d) (y + 2) e) 1

14. Señalar un factor de:

nx + ny + x + y

a) (n - 1) b) (x - y) c) (x + y) d) x

e) y

15. Factorizar y señalar uno de los factores

de:

xy + wz – wy + xz

a) (x + w) b) (w - x)

c) (y + z) d) (y - z)

e) (z - y)

16. Señalar uno de los factores de:

xm – xp + xn + my – py + ny

a) (m - n + p) b) (m – n - p)

c) (m + n - p) d) (x - y)

e) (m + n)

17. Después de factorizar. señalar uno de los

factores:

ax – ay – bx + by – cx + cy

a) (x + y) b) (y – x)

c) (a + b + c) d) (a – b - c)

e) (a – b + c)

18. Después de factorizar señale el factor

común de 2do grado.

N = kx2 – ky

2 + px

2 + py

2

a) (x2 + y

2) b) (y

2 – x

2)

c) (x2 - y

2) d) (p

2 + k

2)

e) (p2 – k

2)

19. Factorizar:

N = 36x4 – 16y

6

Hallar la suma de sus factores primos:

a) 10x2 b) 12x

2

c) 6x2

d) 8y3

e) 12y3

20. Hallar la diferencia de los factores

mínimos de:

64x4y

6 – 36z

6

a) 12x2 y

2 b) 12z

3

c) 12x2

d) 12y3

e) 12 x3y

2

21. Al factorizar la expresión, uno de los

factores es:

P = (a2x

2 + 2abxy + b

2y

2)

a) (ax + by)2

b) (ax + by)

c) (ax - by) d) (ay - bx)

e) (ax - bx)

22. Factorizar e indicar uno de los factores de:

N = x2 – 5x – 24

a) (x + 8) b) (2x + 3)

c) (x - 8) d) (x - 3)

e) (x - 1)


22

MÍNIMO COMÚN NULTIPLO y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)

Para calcular el M.C.D de dos o más

expresiones, se factorizan estas y el M.C.D

estará formado por los factores comunes,

elevados a su menor exponente,

Ejemplo 1:

Hallar el M.C.D de: 24a2b ; 18a

3bx ;

30a4bx

2

Resolución:

24 18 30 2

12 9 15 3

4 3 5 2 . 3 = 6

Entonces: M.C.D(24,18,30) = 6 a2b

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M)

Para calcular el M.C.M de dos o más expresiones se factorizan estas y el M.C.M se formará con los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplo 1:

Hallar el M.C.M de 72x3y

4z

4 ; 96x

2y

2x

3 ;

120x4y

5z

7

Solución

72 96 120 2

36 48 60 2

18 24 30 2

9 12 15 2

9 6 15 2

9 3 15 3

3 1 5 3

1 1 5 5

1 1 1

M.C.M = 25 . 3

2 . 5 = 1440

M.C.M = 1440 x4 y

5 z

7

TAREA DE CLASE

1. Hallar el M.C.D. de:

P(x) = x2 + 7x + 12

Q(x) = x2 + x – 6

Rpta.


P(x) = x2 + 4

Q(x) = x3 – 8

ALGEBRA

III Bimestre


23

Rpta.


P(x,y) = x4 – y

4

Q(x,y) = 2x2 – xy – y

2

Rpta.


P(x,y,z) = xz + yz + x + y

Q(x,y,z) = x2 + xy + zy + xy

Rpta.

5. Hallar el M.C.M. de:

P(x) = x2 + 7x + 10

Q(x) = x2 + 6x + 5

Rpta.

6. Hallar el M.C.M. de:

P(x) = x3 – 64

Q(x) = x2 – 16

Rpta.

7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:

P(x,y,z) = 2x4y

2z

3

Q(x,y,z)= 8x2y

6

R(x,y,z) = 6x5y

7z

4

Rpta.


P(x) = x3 + 3x

2 + 3x + 1

Q(x) = x2 + x

2 – x – 1

R(x) = x3 + 4x

2 + 5x + 2

Rpta.

9. Hallar el M.C.M. de: P(x) = x

3 – 1

Q(x) = ax2 + ax + a

R(x) = x3 + 3x

2 + 3x + 2

Rpta.

10. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x

3 – x

2 + x – 1

Q(x) = (x4 – 1)

Rpta.

11. Hallar el M.C.M. de: A = z

2x

2 – 2x

2 – 3z

2 + 6

B = (z4 – 4) (x

4 – 6x

2 + 9)

Rpta.

12. Hallar el M.C.D. de: A = m

3 + p

3

B = m2 + 2mp + p

2

C = m2 + mp + mq + pq

13. Hallar el M.C.M. de: P = x

2 – 2x – 15

Q = x2 – 25

R = 4ax2 + 40ax + 100a

Rpta.


3 + x

2 – 4x – 4

Q(x) = x3 + 3x

2 + 2x

Rpta.

15. Hallar el M.C.D.: P(x) = x

3 – 1


24

QP

X

X

)(

)(

2

2

2

2

26

62

8

63

2

3

2

3

.122

.123

24

36

y

x

y

x

yxyx

yxxx

xy

yx

Q(x) = x4 + x2 + 1



2 + 5x – 24

Q(x) = x2 + 4x – 21

a) x + 8 b) x + 7 c) x – 3 d) x + 3 e) x + 1


2 – 9

Q(x) = x3 – 27

a) x + 3 b) x – 3 c) x2 – 9

d) x + 9 e) 1

3. Hallar el M.C.D. de: A(x,y) = x

6 – y

6

B(x,y) = x3 – y

3

a) x + y b) x2 + x – y

c) x – y d) x + 2y e) y – x

4. Hallar el M.C.D. de: P(x,y,z,) = xz + 3x + yz – 3y

Q(x,y,z) = xz + 2x + yz – 2y

a) x – y b) y + z c) x + y d) z + y e) z + 1


2 + 4x + 3

Q(x) = x2 + 6x + 9

a) x3 + 7x

2 + 15x + 9

b) x3 + 7x

2 + 15x + 1

c) x3 + x

2 + 3

d) x3 + 1

e) x – 1


3 – 125

Q(x) = x2 – 25

Dar como respuesta la suma de coeficientes:

a) 744 b) 644 c) –744 d) –644 e) 125

7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:

P(x,y,z) = 12x5y

3z

4

Q(x,y,z) = 4x4y

2

Q(x,y,z) = 6x6 . y

4 . z

3

a) 4x4y

3; 12x

6y

4z

4

b) 4x3y

4; 12x

4y

6z

4

c) 4xy2; 12x

5y

6.z

d) 4x5y

3; 12x

6y

3z

2

e) 4xy; 12xyz


3 + 6x

2 + 12x + 8

Q(x) = x3 + 2x

2 – x – 2

R(x) = x3 + 4x

2 + 5x + 2

a) x – 2 b) x – 1 c) x + 3 d) x + 2 e) x + 6


3 – a

3

Q(x) = pz2 + pax + pa

2

a) x2 + ax + a

2 b) x

2 – ax + a

2

c) x2 + 2ax + a

3 d) x

2 + bx + 2


3 + x

2 – x – 1

Q(x) = (x4 – 1)

a) x + 1 b) x – 1 c) x4 + 1

d) x4 e) x2 – 1

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraica.- Es toda expresión de la forma:

Numerador

Denominador Donde Q(x) ≠ 0 Simplificación de Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es reducible (se puede

simplificar) si su numerador y su denominador se

pueden dividir por un mismo factor.

Ejemplo: 1


25

Ejemplo: 2

22

4

)3(2

)3(4

62

124

yx

yx

yx

yx

TAREA DE CLASE

01) Al simplificar la fracción

2aa2a

1aN

23

3

02) Al simplificar la fracción

x1

x3x1)x1(p

32

03) simplificar

4x4x

12x4xN

2

2

04) Efectuar

xx

1x2xN

2

2

05) Simplificar

1ba

baba

ba1

N

Efectuar

32x4

9

x2

5

x8

7p

08) Efectuar

1x

x

1x

2

1x

4N

2

09) Efectuar

a5

1a3

a2

2aN

10) Efectuar

1x3x2

7N

11) Efectuar

1x

52xP

12) Efectuar

x6

)yx(

)yx(2

)yx(3N

22


01) Simplificar

ac2bca

ab2cbaN

222

222

A) a

ba2

B) cba

cba

C) cba

cba D) acb2

cba2

E) 1

02) Simplificar

x4

b

a

x16b

a

Q

2

2

2

A) x4b

a B) x2b

a

C) x4b

a D) x4a

E) x4a

b

03) Efectuar

1x

2

2xx

x322

A)y12

y8 B)y24

y8 C) y6

y8

D) y

y8 E) y48

y8

04) Efectuar

ab2a

ab2

b2a

a

b

a2

A) b

ba B) a

ba C)

b

ba

D) b

ba E) 1


26

05) Efectuar

2

2

bab

a

ba

b

b

a2

A)ba

b B)b2

ba C)

a

ba

D)b

ba E) 1

Simplificar

a10

12a11

a5

1a3

a2

2aN

A) 2

a B)

2

1a C) 0

D) 2

1a E) 1

07) Efectuar

332

52

32

243

yx

qp

pq

yx B) q

p7

C) y

p7

A) yq

p7 B)

q

p7

C) y

p

D) y

p7 E) 1

08) Efectuar

15a2a

21a10a

14a9a

16a10a2

2

2

2

A) 5a

8a B) 8a

5a C) 8a

5a

D) a

5a E) a

8a

09) Efectuar

)1a(8

yx

yxy2x

a4a4 22

22

2

A) )yx(2

)yx(a B) yx

yx

C) )yx(a

)yx(2 D) ay

ax E) ax

ay

10)Efectuar

3

a5

2

2a

3

3a

5

a

4

2a2

A) )5a7( B) 5a7

C) a75 D) 5a7

E) a7

11) Efectuar

9a6a

3a4a

18a3a

24a10a2

2

2

2

A) )yx(x B) )y2x(x

C) )y2x(x D) )yx(x

E) yx

Ejecutar

22

33

2

32

bxa

yab

ax3

yb

A) 64

4

ya81

bx4 B) 4

62

bx4

ya81

C) xy4

ba81 62 D)

6

4

y4

x81

E) 4

6

x81

y4

FACTORIAL Definición:

n! = se lee factorial de n, n Por convención 0! = 1 Leyes básicas n! = n ( n-1)! Ejemplo 8! = 8.7! (x+3)! = (x+3) ( x+2)! si x! = n! x = n

Ejemplo (x-15)! = 24 (x-15)! = 4! x-15 =4

x=19 si x! = 1 x = 0 x =1

n! = |n = n(n-1) (n-2) (n-3) ………….3.2.1


27

TAREA DE CLASE

01) Reducir N = (12! -11!) 11! 02) Si N! = 6, hallar “N” 03) Si (4 -2)! = 2 , hallar “n” 04) S (n-15)! = 120, hallar “n” 05) Simplificar

)!1n(

)!1n(!nP

06) Simplificar

)!2n(

)!2n()!1n(Q

07) Hallar el valor de X en

8)!2x(

)!1x(!x

08) Hallar N

156!1n

!3n

Calcular

!11!10

!11!9!10E

10) Hallar “x“

32040!125

x2

11) Hallar “X”

!20)!5x()!4x(

!6x!.4x

12) Hallar “M”

!77!76

!78M

13) Hallar “X”

!10!x

!1x!x


01) Reducir

!10

!9!10N

A) 10 B) 9 C) 11 D) 9! E) 10!

02) Si K! = 24, hallar K

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

03) Si (n-18)! = 720, hallar ´´n´´

A)16 B) 18 C) 24 D) 12 E) 10

04) Si (x+3)! = 5 040 Hallar “x”

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

05) Simplificar

1)!1x(

)!1x(!xQ

A) 2x B) x+1 C) x-1 D) x E) 1

Simplificar

!80

!81!824R

A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12

07) Simplificar

!99!98

!100!99!98P

A) 98 B) 99 C) 100 D) 101 E) 102

08) Hallar 5x , sabiendo que


28

512x32x

)!2x(

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Hallar “n”

!3

!4

!2

!3

!1

!2

!0

!1N

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

10) Calcular

!77!76

!78M

A) 78 B) 76 C) 75 D) 77 E) 79

11) Hallar “n”

........!.........2!2!2N

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12) Hallar “x” en (x+6)! = 40 320

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5

Hallar “X” en (x+10)! = 3 628 800

A) 2 B) 0 C) 7 D) 8 E) 1

14) Simplificar

)!2n(

1

)1n(n

!nP

A) 0 B) 1 C) 3 D) 3 E) 4

15) Simplificar

)!2n(

1

!n

)1n(nQ

A) 4 B) 6 C) 3

D) 1 E) 0

RADICACIÓN

Sabemos que la raíz n-esima de x; denotado por n x es el numero “r” si se cumple que r

n = x

xrrx nn

Clasificación Considerando su Naturaleza 1) Racionales: Son aquellos en los cuales las raíces son exactas. Ejemplos:

1) xx 39 2

2) xx 283 3

02) Irracionales: Son aquellos en los cuales las raíces son inexactas.

Ejemplos:

1) x7

2) 3 214x

03) Reales: Son aquellas cuyas raíces son pares y los subradicales son positivos.

Ejemplos:

1) 33

2) 4 214x

04) Imaginarios: Son aquellos en los cuales los índices son números pares y cuyos subradicales son negativos.

Ejemplos:

1) 24x

2) 4 89x

Clasificación Considerando su Especie 1) Homogéneos: Son aquellos radicales que

tiene el mismo índice.


29

Ejemplos:

1) y53 y z87

2) 3 239 yxa y 332 zb

2) Heterogéneos: Son aquellos radicales que

tiene distinto índice

Ejemplos:

1) 33 xyab y 45 xya

2) 3 x y 2 y

3) Semejantes: Dos o más radicales son

semejantes si tienen el mismo índice y la misma parte subradical, solo se diferencian por los coeficientes.

4) Ejemplos: 5)

6) 1) 3 23 xab y

3 25 xm

7) 2) 22 4bx y

243

1b

TAREA DE CLASE

01) Efectuar

3

33

x48

x123x272N

02) Efectuar

3 4

3 43 4

x128a

x54a3x16a5P

03) Efectuar

75x25

12x427x9N

04) Efectuar

b5a7b5a8b5a12Q 05) Efectuar

a3.a2P 06) Efectuar

33 2ab25.a43Q

07) Efectuar

a2ab3.ax5a.x32R

08) Efectuar

ax2ab5.ax8a2N 09) Efectuar

x6a2x24ab8N 10) Efectuar

33 43x2ayx16aP

11) Efectuar

3 a2.x3N 12) Efectuar

x2x5.a43Q3 2

13) Efectuar

33x9x2527R

14) Efectuar

43 5 316964 xxN

15) Efectuar

25 43 16 abbaQ

16) Efectuar

2

3 xxN

17) Efectuar

33 22

a2x4P

Aprendiendo a resolver……resolviendo Efectuar

1xx4

1xx61xx3P

n

nn

A) 1xx4n

B) 1xx5n

C) 1xx6n

D) 1xx5n

E) 1xx5 02) Efectuar

53

5353

yx50a5

yx18a3yx8aS

A) xy2ax14

2

B) xy2xa14

22

C) xy2ax14

3


30

D) axy2x14

E) xyax14

03) Efectúa

48x16575x255N

A) 3x5 B) 3x10

C) 3x4 D) 3x3

E) 3x Efectuar

3 43 x4.x2S

A) 3 4

x8 B) 3 7

x8

C) 3 5

x8 D) x8

E) x

05) Efectuar

ax2ab5.ax8a2N

A) bxa203

B) bxa303

C) bxa403

D) bxa503

E) bxa253

06) Efectuar

43 . xbxaQ

A)7 2

xab B)12 5

xab

C)12 11xab D)

12 7xab

E)15 6

xab 07) Efectuar

3 425 23

xx.xxR

A) 5 xx B)

15 115xx C)

15 104xx

D) 15 136

xx E) 15 92

xx

08) Efectuar

3 24

xx.xxT

A) 66

xx B) 65

xx C) 6 54

xx

D) 5 xx E)

5 11x

09) Efectuar

7 463 23

xx.xxS

A) 510

xx B) 21 510

xx C) 7 1010

xx

D) 10 110

xx E) 7 1110

xx

10) Dividir

3 23 532y3xy3y375yx6

A) xy10 ` B) 2

xy10 C) yx102

D) 3

xy10 E) 2

yx10

11) Dividir

25 43

ab16ba32

A) 10

b

a10 B) 10

b

a C) 10

2

b

a2

D) 102

b

a2 E) 10

b

a22

12) Desarrollar

4

34xx

A) 417 xx B) 516 xx

C) 515 xx D) 318 xx

E) 3 xx

13) Desarrollar

3

5 32xx

A) 47

xx B) 57

xx

C) 57

xx D) 5 37

xx

E) 5 107

xx

14) desarrollar

3 x.x4

A) 3 2

x2 B) 3 4

x2 C)3

x2

D) x2 E) x

15) Desarrollar 4 8 ²x3x16

A) 2x8 ²x3 B) 2x²

8 ²x3

C) 8 x3 D) 2x

8 x

E) 2x8 x8


31

TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES

No todo radical doble podrá transformarse a una suma o resta de radicales sencillos, podrá hacerse con aquellos que cumplan ciertas condiciones o requisitos.

Radicales de la forma. BA

Formula General

22

CACABA

BAC 2

Ejemplo: Transformar a radicales simples:

728

Calculamos C:

6362864728C22

Luego:

172

68

2

68728

TAREA DE CLASE

01. Simplificar

315281027N

02. Simplificar

6269347M

03. Simplioficar

777218P

04. Simplificar

1113143224S

05. Simplificar

35

158T

06. Simplificar

2

1

10

21015Z

07. Simplificar

yyx2yxM

08.S simplificar

aab2baM

09. Reducir

2

1

30

30217Q

10. Simplificar

2625N

11. Reducir

a22a2a3Q

12. Reducir

22

1122219R

13. Simplificar

13

791220S

Aprendiendo a resolver……resolviendo

01) simplificar

115521635212S

A) 3 B) 5 C) 7 D) 11

E) 13

02) simplificar

11

777218Q


32

A) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 4 03) simplificar

1113

143224N


20

1021015Ñ


35158k


2

2

k

pkppkN

A) 2 B) -1 C) 3 D) 7 E) 1 07) simplificar

2992361323N

A) 8 B) 0 C) 1 D) 5 E) 4 08) reducir

5158Q

A) 2 B) 3 C) 5

D) 7 E) 10

09) simplificar

2347269R

A) 2 B) 3 C) 5

D) 6 E) 7

10) reducir

52

3853aa2aaN A) a B)

5 a ` C) a D) 2a E) 1

Reducir

221122219S

a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e) 44 12) simplificar

7

2

1697x2xx8

A) 2

x B) x C) 1 D) 3

x D) x

13) Reducir

1324Q

A) 2 B) 3 C) 5 D) 0 E) 1

14) Reducir

1526N

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7

E) 1 15) Reducir

1010211A

A) 0 B) 1 C) 3 D) 8 E) 10

RACIONALIZACIÓN

Denominamos fracción irracional, a aquellas que

tienen en el denominador uno o mas radicales.

Racionalizar una fracción es trasformarla en otra

equivalente, eliminando los radicales del

denominador.

Factor Racionalizante (F. R). es otra expresión

irracional que multiplicada por el numerador y

denominador de una fracción permite que uno de

estos

(El denominador) se transforme en una expresión

racional.

Ejemplo:

Dado 5

7 El factor

racionalizante es 5 , luego:

5

57

55

57


33

Casos que se presentan:

1) Cuando el denominador es una raíz

cuadrada basta multiplicar los dos términos

de la fracción por dicha raíz.

Ejemplo:

x

xa

x

x

x

a

x

a

2

3

2

3

2

3

2) Cuando el denominador presenta radicales

de cualquier índice con radicandos monomios.

Usaremos el factor racionalizante (FR)

Ejemplo:

Racionalizar: 5 32

4

yx

Hallamos el factor racionalizante de la siguiente manera:

5 235 35255 32 .. yxyxRFyx

Luego:

y.x

yx4

yxyx

yx4

yx

4 5 23

5 235 32

5 23

5 32

TAREA DE CLASE

01) Racionalizar:

3

2

Rpta.: 02) Racionalizar:

2

1


5

4


2

3x


5

3


32

9


65

12


211

4


x3

2


ax

ab

25

3

Rpta.: Racionalizar:


34

3

4

3


5 2

5

x


5 23

6

yx


6 23

5


3 x

1


5

2

x

Rpta.:

17) Racionalizar: 10 32

3

Rpta.:

18) Racionalizar: 5

2

1

Rpta.:


1

Rpta.:


11

Rpta.:

Aprendiendo a resolver……resolviendo 01) Efectuar:

2

32

3

2N

a) 3

32 b)

3

34

c) 34 d) 3

e) 32

02) Simplificar:

33

9P

a) 35 b) 34

c) 3 d) 1

e) 32

03) Simplificar:

3

815

9

5 6

6Q

a) 1 b) 0

c) -1 d) 81

e) 4

04) Simplificar:

62

1283

8

3 10

10N

a) 3 b) 10 8

c) 10 3 d) 6

e) 1 05) Simplificar:


35

11.11

22

211

4M

a) 22 b) 33

c) 24 d) 25

e) 1

06) Simplificar: 5 2

2

x

xQ

a) 5 32 x B)

5 22 x

c) 5 42 x d) x

05) Simplificar

9a12a4N 2

a) 2a – 3 b) 2a + 4

c) 2a + 3 d) 2a - 5

e) 2a + 5

06) Simplificar

82418 2 aaN

a) 223a b) 323a

c) 523a d) 623a

e) 823a

07) Simplificar:

315

5 2

16

2

1N

a) 5 2 b)

5 312

c) 5 31 d) 0

e) 1

08) Simplificar: xyyx

N5 23

6

a) 5 32 yx b) 5 326 yx

c) 5 225 yx d) 34 xy

e) 53 xy

09) Simplificar:

55

52

5

2Q

a) 4 b) 5

c) 54 d) 2

5

e)1

10) Simplificar:

37213

1

7

2Z

a) 37 b) 76

c) 67 d) 7

e) 67

11) Simplificar:

348

8

6

62

Q

a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 1

12) Simplificar:

3263

1

2

1Z

a) 33 b) 23

c) 53 d) 323

e) 233

13) Simplificar:

3525

5

7

72

R

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13


36

ECUACIONES I

Consideremos primero los siguientes conceptos:

I) Igualdad (=).- Son dos expresiones

aritméticos o algebraicas, que gozan del

mismo valor.

Ejemplos:

1) una docena = 12 unidades

2) 9 + 4 = 16 – 3 3) 5x = 20

II) Identidad ( ).- Es una igualdad por si misma

evidente.

Ejemplos:

1) 8 8 2) 5k 5k 3) y + 7 y + 7

III) Ecuación.- Es una igualdad de expresiones de

las cuales una encierra cantidades

desconocidas (incógnitas), a las cuales le

corresponden unos valores condicionados,

pero determinados.

Por ejemplo:

2x = 10

Las cantidades desconocidas están

expresados por medio de letras, generalmente

las ultimas del alfabeto, como lo son: x, y, z,

etc.

Principios Generales de las ecuaciones

1ro

Sin alterar las soluciones de una ecuación,

se puede añadir o quitar una misma

cantidad a sus dos miembros.

Ejemplo:

Resolver 3x – 5 = 7

3x – 5 + 5 = 7 + 5

3x = 12

2do

Sin alterar las soluciones de una ecuación,

se puede multiplicar o dividir por una

misma cantidad a ambos miembros.

Ejemplo:

Resolver 4x + 1 = 21

2(4x + 1) = 21 . 2 ~ 8x + 2 = 42

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Toda ecuación de Primer Grado con una

incógnita, puede reducirse a la forma:

ax + b = 0

Donde: x : incógnita

a y b : coeficientes (a y b R)

Despejando a incógnita "x" se tendrá: a.x = -b

Ejemplo : Resolver la ecuación:

3x + 1 = x + 17

Solución

ALGEBRA

IV Bimestre


37

3x + 1 = x – 17; transponemos términos,

cambiando de signo

3x – x = 17 – 1; reducimos términos semejantes.

2

16x2 ; Despejamos "x"; dividendo los

miembros entre el coeficiente de "x"

x = 16 x = 8 (valor de la raíz)

a

bx

a) Resolución de Problemas utilizando

Ecuaciones de Primer grado con una

Incógnita

Problema: Problema es la investigación de

términos desconocidos por medio de los

conocidos.

Resolver un problema: Quiere decir: Hallar

el valor de la incógnita, hallar una igualdad la

cual se desarrollada, satisfaga al valor de la

incógnita. Y así toda clase de ecuación es un

expresión más sencilla de un problema

dando por ejemplo la siguiente ecuación: 3x +

5 = 11; puede ser expresión algebraica de

este problema.

¿Cuál es el numero cuyo triple, aumentado en

5 sea igual a 11?

- Luego el número desconocido es "x"

- Cuyo triple es: 3x

- Aumentando en 5 es: 3x + 5

- Es igual a 11; o sea: 3x + 5 = 11

Resolviendo la ecuación:

3x + 5 = 11 ; tenemos que:

3x = 11 – 5 = 6 x = 3

6 = 2 x = 2

Rpta. El número es 2

Planteo de un problema: Por plantear un

problema se entiende a acomodar todos sus

términos conocidos y desconocidos con

respecto a la incógnita, de tal suerte que

obtenga una ecuación, expresando fielmente el

sentido del problema dado.

Ejemplo: ¿Cuál es el numero cuyos 5

2

aumentando en 3 es igual a sus 4

3 disminuido

en 4?

Raciocinio: El numero buscado es "x"

5

x2 + 3 =

4

x3 - 4

Planteo 44

x33

5

x2 ; transponemos

términos

720

x15x87

4.5

x3.5x2.434

4

x3

5

x2

-7 x -7.20 x = 20

Rpta.: El número buscado es 20

TAREA DE CLASE

01) Resolver la ecuación:

3x + 1 = x + 17

02) Resolver:

5x + 3 = 2x + 15


(x + 1)(x + 2) – x(x + 5) = 6

04) Resolver:

5x – {6x + 8- (x + 1) } = -2x + 1


38

05) Resolver:

15 – (2x - 1) = 8 – (2 – 3x)

06) Resolver:

2x + 1 = 4(x - 6)

07) Resolver:

7 – 3(x + 1) = x – 3 (x - 1)

08) Resolver:

5x – 2(x - 6) = 2x + 2(x - 1)

09) Resolver:

5 – (2x – 1) = 9 – (2 + 3x)

10) Resolver:

(3x + 2) + (x + 1)=(2x + 4) + (x + 3)

11) Resolver:

3(5x + 1) – 2(6x + 3) = 2(x - 1)

12) Resolver:

(5x + 4)–(3x + 1)=(4x + 2)–(3x - 7)

13) Hallar el conjunto solución de:

3x4

27x

14) Resolver:

16

x3

2

x

15) Hallar "x"

2

1

x

x15


01) Hallar "x" en:

12x47

x5

a) 16 b) 28 c) 20 d) 30

e) 18

02) Resolver:

5(2x - 4) = 2(3x + 4)

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9

e) 11

03) Resolver:

8x + 2(x + 1) = 7(x – 2) + 3(x + 1) + 13

a) –2 b) 4 c) 3 d) -1

e) indeterminado

04) Hallar el valor de "x" en la siguiente ecuación:

3

5

2

x

2

3

6

x

a) 1/2 b) 1/4 c) –1/4 d) –1/2

e) 1

05) Hallar el valor de "x" en:

24

x5

2

1

3

x8

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6

e) 5

06) Hallar "x" en:

6

5

3

x

2

x

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2

e) 6


39

07) Resolver:

(6x + 7)(5x - 4) = 6(5x2 - 1)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) -2

08) Resolver:

53

x719x2

Dar como respuesta 6

x

a) 14 b) 42 c) 7 d) 2

e) 1


2x2

95

x3

2

x2

5

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

e) 16

10) Hallar el valor de:

13

2

135

9

x

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

e) 10

11) Resolver:

15

x102

5

x2

3

x

a) 16 b) 20 c) 25 d) 30

e) 32

12) Hallar el valor de:

94

xx

2

x

a) 10 b) 11 c) 12 d) 14

e) 16


3

13

3

x

15

x2

7

x33

a) -15 b) -25 c) -35 d) -45

e) -55

14) Hallar "x" en

16

x

2

1x

4

3x

a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5

e) 1

15) Hallar "x"

3

77

1

3

32

62 x

x

xxx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5


40

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

El siguiente es un sistema de ecuaciones:

)2........(13yx5)1(.......1yx2

Este sistema esta conformado por 2

ecuaciones con 2 incógnitas. Resolver un

sistema significa encontrar; valores de las

incógnitas que las satisfagan

simultáneamente.

En nuestro ejemplo; al resolver el sistema; tales

valores de las incógnitas son:

x = 2 e y = -3

METODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN

COMÚN

I. MÉTODO DE REDUCCIÓN.-

Procedimiento a seguir:

1. Preparamos las ecuaciones del

sistema; eliminando signos de

colección; reduciendo términos

semejantes; suprimiendo

denominadores y transponiendo

términos; hasta que el sistema tenga

la siguiente forma:

)2(.........feydx)1(.........cbyax

Donde x e y son las únicas incógnitas

y a, b, c , d, e y f son los coeficientes.

2. Aplicando las propiedades de

ecuaciones; hacemos que los

coeficientes de la incógnita que se

desea eliminar; sean números opuesto

en ambas ecuaciones. Por ejemplo;

luego de aplicar las propiedades de

ecuaciones el sistema debe quedar

así:

2y4x5

18y4x3

Donde los coeficientes de “y” son 4 y -

4; respectivamente.

3. En seguida sumamos miembro a

miembro ambas ecuaciones;

eliminándose los términos con

incógnitas “y”

4. La ecuación que resulta solo tiene a

“x”, como incógnita, lo cual

procedemos a despejar.

5. El valor de “x”; hallado en el paso

anterior se reemplaza en cualquiera

de las ecuaciones del sistema; de

donde despejamos ahora “y”.

Ejemplos: Resolver el sistema:

)2(..........1yx)1(.........17y2x

Solución: Si multiplicamos (2) por 2,

tendremos los términos en y con

coeficientes opuestos:

2x – 2y = -2 …… (3)

Sumamos miembro a miembro las

ecuaciones (1) y (3)

150x3

2y2x2

17y2x

Despejamos x de la nueva ecuación:

5x

Reemplazamos el valor de x obtenido en

cualquiera de las ecuaciones del

sistema:


41

6y17y25

17y2x

Respuesta: La solución común que satisface al

sistema es x = 5 e y = 6

TAREA DE CLASE

01) Resolver el sistema:

)2(.........y318x2

)1(........133

yy

3

x

Rpta.:

02) x + y = 6 ……. (1) x – y = 2 ……. (2)

Hallar “x + 2y”

Rpta.:


2x – y = 0 ……. (1) 3x + y = 5 ……. (2)

Rpta.:


5m – t = 16 2m – 3t = 9

Rpta.:

05) Resolver: el sistema:

2(a – b) + 5(a + b) = 13 … (1) 7a + 2 – b = 2a + b + 3 …. (2)

Rpta.:


8x3

yy

3

x …. (1)

2x = y – x + 15 …. (2)

Rpta.:

07) 71y1x …. (1)

15,0x

)22y( ..... (2)

¿Hallar “x + 3y”?

Rpta.:

08) Resolver la ecuación

2x + 9y = -38 ….. (1) x – 9y = 35 ….. (2)

Rpta.:

09) 5a - 3b = 7 …… (1) 7a + 3b = 17 ….. (2)

Rpta.: 10) x + 2y = 15 x – 2y = -5

Rpta.: 11) Resolver la ecuación:

x + 2y = 15 x – 2y = -7

Rpta.:

12) 7m – 2n + 34 = 0 ….. (1)

5m + 3n + 11 = 0 ….. (2)

Rpta.:


5(x + y) + 3(y – x) = 32 … (1)

(x – y) / 3 = -4 / 3 … (2)

Rpta.:

14) (7y – x) + 1(x – 1) = -25 (1)

(2y – x) + 7(y – 1) = -31 (2)

Rpta.:


4(x + 1) – 5(y + 2) = -12 ….. (1)

5(x – 1) + 4(y – 2) = -5 ….. (2)

Rpta.:


)2(.........26y3x5

)1(........12y4x

Calcule: (x + y)2


42



)2(.........9y7x

)1(........y3)1x2(

Hallar “(2x + y)”:

a) -3 b) -5 c) -6 d) -2 e) 3

02) Resolver:

8x3

yy

3

x

2x = y – x + 15 Hallar x + 3y

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

03) Resolver: a + 7b = 15 3a – 7b = -11

Hallar: b/a

a) 4 b) 2

3 c)

2

5 d) 2 e) 3

04) Resolver:

2x + 9y = -38 x – 9y = 35 Hallar “x + y” a) -6 b) -7 c) -9 d) -8 e) -5

05) 11b3a2

b514a

Del sistema de ecuaciones, hallar “a – 2b”

a) 32 b) 28 c) 35 d) 21e) 30

06) 1]x2y[1x

8)yx2()y2x(, hallar: (x + y)

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6

07) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x – 2[(x – 1) – (y – 1)] = 18 x + y = 10

a) x = 2 ; y = 6 b) x = 4 ; y = 6 c) x = 2 ; y = 8 d) x = 5 ; y = 5 e) x = 3 ; y = 6

08) x = 5 + 3y ..…. (1)

7x – 39 = 9y …… (2)

Hallar “x + y”

a) 20/3 b) 19/3 c) 21/3 d) 18/3 e) 22/3

09) Resolver:

8x5

yy

5

x ….. (1)

2x – y = 40 ….. (2)

a) x = 25 ; y = 15 b) x = 20 ; y = 15 c) x = 30 ; y = 10 d) x = 15 ; y = 10 e) x = 25 , y = 10

10) 7 – [(2y – 3) + 4(x – 1)] = 22

[5(x + 2) – 3(y – 2)] – 8 = x

Hallar (x + y)

a) -3/5 b) 4 c) -2/5 d) 1/5 e) 2/3

11) Resolver:

3[x – 4y] + 7[2x – y] = 0 14x – 3x = 4

Hallar: x – y + y

a) 80/3 b) 215/6 c) 76 d) 90/2 e) 76/125

12) Resolver:

7x6x2

2y3xx3

2

2

, si: x2 = 6x

a) 18

7x ;

2

1y b) x = 3 ; y = 6/4

c) x = 5 ; y = 6/4 d) x = 3 ; y = 1/19

e) 4

9x ;

2

3y

13) Resolver:

4)yx(3x22

3]7y3x[2

1x30

Hallar: x + y

a) 3

1 b) -3 c) 5 d)

2

1 e)

2

1


011n3m5

034n2m7

Hallar m + n

a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1

15) Resolver:

3/43/)yx(

32)xy(3)yx(5

Hallar “x + 3y”

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16


43

ECUACIONES II ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Conocida también como ecuación cuadrática y que tiene la forma general:

0a;0cbxax2

Ejemplos: 2x

2 + x + 1 = 0; x

2 + 2 = 0

PROPIEDADES I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES

Sea: ax

2 + bx + c = 0 ; a 0

Se define el discriminante ( ):

ac4b2 ; a, b, c R

1

er CASO

)UNICASOLUCION(múltipleraízo

igualeserealesraíces20

Ejemplo: 4x

2 – 4x + 1 = 0

= (-4)2 – 4(4)(1) = 0

2

1.S.C

2

do CASO

diferenteserealesraíces20

Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0 C.S. = {6 ; -2}

= 16 – 4(1)(-12) > 0

3

er CASO

conjugadasysimaginaria,complejasraíces20

II. OPERACIONES BÁSICAS CON LAS

RAÍCES Sea: ax

2 + bx +c = 0 ; a 0

SUMA DE RAÍCES:

a

bxx 21

PRODUCTO DE RAÍCES:

a

cxx 21

DIFERENCIA DE RAÍCES:

212

212

21 xx4)xx()xx(

Reconstrucción de la ecuación de 2do grado a partir de sus raíces:

0xxx)xx(x

raicesdeoductoPr

21

RaicesdeSuma

212

TEOREMA: Sean las ecuaciones: ax

2 + bx + c = 0 ……… (1) ;

a 0 mx

2 + nx + p = 0 ……. (2) ;

m 0 Estas ecuaciones serán equivalentes, es decir tienen el mismo C.S. si se cumple:

p

c

n

b

m

a

TAREA DE CLASE

Resolver las siguientes ecuaciones:

01) x2 + 6 = 5x

02) 6x2 + 19x + 10 = 0

03) 3)2x)(1x(10

1

04) (x – a + 2)(x – a + 3) = 42

05) (x + 1)2 + (x + 2)

2 = (x + 3)

2

06) (x + a)2 – b

2 = 0

07) (2x – 1)(2x – 3) = 63

08) (3x – 1)2 + (3x – 2)

2 = 9x

2

09) 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)

10) 9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x– 3)(x– 2)

11) (z – 16)(z + 2) = 25(z + 2)2

12) 2 – 3y = 3

1(y – 4)(y + 4)

13) a4

x2

ax

x

3

ax2


44

Encuentre la suma y el producto de la raíces de

las siguientes ecuaciones:

14) x2 – 6x – 7 = 0

15) x2 + 7 + 10 = 0

16) 5x2 – 15x + 40 = 0

* Encuentra la ecuación que dio origen a:

17) x1 + x2 = 5 ; x1x2 = 6

18) x1 + x2 = 11 ; x1x2 = 10

19) x1 – x2 = 5 ; x1x2 = 150

20) x1 + x2 = -1 ; x1 – x2 = 5


Resolver las siguientes ecuaciones:

01) 3x

2 + 2 = 5x

a) 1;3

2 b) 2;1

c) 1;5

2 d) 2;

3

2

e) 3

2;

3

1

02) 6x

2 = x + 222

a) 3

7;6 b)

8

7;4

c) 6

37;6 d)

6

7;3

e) 6

7;6

03) 8x + 5 = 36x

2

a) 2

3;1 b)

185;

21

c) 3

2;

2

1 d)

18

1;

18

5

e) N.A.

04) x

2 + 15x = -56

a) {-8 ; -7} b) {-3 ; -6} c) {-2 ; 5} d) {-8 ; 7} e) {7 ; -6}

05) (5x – 2)2 – (3x + 1)

2 = x

2 + 60

a) {19 ; 5}

b) 4

13;2

19

c) 3;15

19

d) 5

19;

8

19

e) N.A.

06) 10

3

2

x

5

x2

a) 2

3;

2

1 b) 3;

2

1

c) {1 ; 2} d) {-1 ; 23} e) N.A.

07) (x–5)2 – (x– 6)

2 = (2x–3)

2 – 118

a) 7;2

7 b) 2;

4

7

c) 2

7;3 d)

2

7;

4

7

e) N.A. 08) 4x

2 + 3x = 22

a) {-7 ; 2} b) 2;2

7

c) 2

1;

4

7 d) 2;

4

11

e) 4;2

11

* Encontrar la suma y el producto de las raíces

de: 09) 3x

2 – 5x + 4 = 0

a) 3

5S ;

3

4P

b) 2

5S ;

4

3P

c) S = 5 ; P = 3 d) S = 5 ; P = ¾ e) N.A.

10) 2x2 – 6x + 18 = 0


45

a) S = 3 ; P = 8 b) S = 4 ; P = -9 c) S = 3 ; P = 9 d) S = -3 ; P = -9 e) N.A.

* Encontrar la ecuación que dio origen a: 11) x1 + x2 = 3 ; x1x2 = 4

a) x2 – 3x + 4 = 0

b) 2x22 – 3x + 8 = 0

c) x2 + 3x – 4 = 0

d) x2 – 3x – 4 = 0

e) N.A.

12) x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 25

a) x2 – 5x + 25 = 0

b) x2 + 5x + 25 = 0

c) x2 – 3x + 15 = 0

d) x2 – 3x + 25 = 0

e) N.A.

13) x1 + x2 = -2 ; x1 – x2 = 4

a) x2 + 2x – 3 = 0

b) 6x2 + 3x – 2 = 0

c) x2 + x – 2 = 0

d) 3x2 + 5x + 2 = 0

e) N.A.

14) x1 + x2 = 12

5 ; x1x2 =

6

1

a) 3x

2 + 5x + 2 = 0

b) 6x2 + 3x – 2 = 0

c) 12x2 + 5x – 2 = 0

d) 3x2 + 5x + 2 = 0

e) N.A.

15) x1 + x2 = 2

13 ; x1x2 =

2

21

a) 2x

2 – 13x – 21 = 0

b) 2x2 – 3x + 1 = 0

c) 2x2 – 3x – 21 = 0

d) 2x2 – 13x + 11 = 0

e) N.A.

INECUACIONES

Desigualdad: Sean 2 números a y b Q, tal que

a b. Desigualdad es una relación entre a y b que

se representa así:

a > b ; “a es mayor que b”, si (a – b) es

positiva.

a < b ; “a es menor que b”, si (a – b) es

negativa.

Ejemplos:

(1) 7 > 4 es correcto ya que 7 – 4 = 3

(2) 5 > -3 es correcto ya que 5 – (-3) = 8

Tipos de Desigualdad

1. Desigualdad Absolutas

Son aquellas que son indiscutiblemente

ciertas.

Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1

o también:

Son aquellas que se verifican para

cualquier número racional que le

asignemos a sus variables.

Ejemplos: (1) x2 0 (2) (x + 1)

2

+ 5 0

2. Desigualdad Relativas

Son aquellas que se verifican o satisface solo

para ciertos valores de sus variables. Estos

reciben también el nombre de inecuaciones:

Ejemplos:

(1) x + 3 > 7 Si x recibe e valor 2;

tendríamos 2 + 3 > 7 ó 5 >

7, lo cual no es cierto. En

este caso; x puede admitir

solo valores mayores que

4. Entonces: x + 3 > 7 es

una inecuación cuya

solución es x > 4.

Propiedades de la Desigualdad.-

1. Siendo una cantidad mayor que otra y esta

mayor que una tercera; entonces la primera


46

cantidad será mayor que la tercera

(PRINCIPIO DE TRANSITIVIDAD)

Es decir: Si a > b y b > c; entonces: a > c

Ejemplo:

Si 15 > 6 y 6 > 2; entonces 15 > 2

2. Si una cantidad es mayor que otra; entonces

esta será menor que la primera.

Es decir: Si a > b; entonces b < a

Ejemplo:

(1) Si 18 > 10; entonces 10 < 18

(2) Si 2 < x; entonces x > 2

3. Si ambos miembros de una desigualdad se le

suma o resta una misma cantidad el sentido

de la desigualdad NO SE ALTERA

Si: a > b y m Q

Entonces: a + m > b + m

Ejemplos: (1) Dado la desigualdad

6 > 2

Adicionemos 5 a

6 + 5 > 2 + 5

Cada miembro

11 > 7 ¡Cierto!

(2) Dado la desigualdad

3 > -9

Restemos 4 a cada

miembro 3 – 4 > -9 – 4

-1 > -13

¡Cierto!

4. Si multiplicamos a ambos miembros de una

desigualdad por una misma cantidad positiva;

el sentido de la desigualdad no se altera.

Es decir: Si a > b y m > 0

Entonces: am > bm

Veamos algunos ejemplos:

(1) Dado la desigualdad entonces:

5 > 3 y además; m = 8

5 x 8 > 3 x 8

40 > 24

¡Verdadero!

5. Si multiplicamos a ambos miembros de una

desigualdad por una misma cantidad negativa;

el sentido de la desigualdad. SE ALTERA

Es decir: Si a > b y m < 0

Entonces: am < bm

Ejemplo: Dado la desigualdad

7 > 2 y m = -4

7(-4) < 2(-4)

¡Se invierte el sentido!

-28 < -8

6. Si dividimos a ambos miembros de una

desigualdad por una misma cantidad m

positiva; el sentido de la desigualdad NO SE

ALTERA. Si dicha cantidad m es negativa el

sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA!

Es decir: Si a > b y m > 0

Entonces: m

b

m

a

Ejemplo:

Si: 30 > 18 y m = 6

Entonces: 6

18

6

30 ó 5 > 3

Además: Si a > b y m < 0

Entonces: m

b

m

a


47

Ejemplo: Si 12 > 6 y m = -2

Entonces 2

6

2

12 ó -6 < -3

TAREA DE CLASE

01) Si a + 3 0. Calcular el mínimo valor de (a + 5)

Rpta.:

02) Si x 3 ; 9 calcular el máximo valor entero de “x”

Rpta.:

03) Calcular la suma de los números enteros (x),

tal que:

2 x 7

Rpta.: 04) Resolver la inecuación:

x + 8 < 3x + 4


2x + 4 > 5x – 8


3x + 7x – 5 < 5x + 20

Rpta.:

07) Dar el intervalo de variación de (6x – 5), si: x

2 ; 8]

Rpta.:

08) Dar el intervalo de variación de (-3x + 2), si x

2 ; 8]

Rpta.:

09) Dar el intervalo de variación de: 2x

3, si x

2 ; 8

Rpta.: 10) Sean:

A = {x R / -2 < x 15}

B = {x R / -5 x < 10}

Hallar A B

Rpta.:

11) Del problema anterior, hallar A B

Rpta.: 12) Resolver: –x + 2 < 3x – 9

Rpta.: 13) Determinar el mayor valor entero que verifica:

217

28x

28

17x

Rpta.:


01) Calcular la suma de los números enteros (x) tal que:

2 x 7

a) 27 b) 22 c) 23 d) 25 e) 29

02) Resolver:

5x + 13 16 + 2x

a) x 1 b) x 2

c) x 1 d) x < 2 e) x > 1

03) Hallar el mayor valor de “x” que verifica:

4x – 56 16 – 2x

a) 11 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

04) Si x 2 ; 3 , entonces (x + 5) pertenece al intervalo:

a) 1 ; 2] b) [2 ; 8

c) [3 ; 8 d) 7 ; 8 e) [7 ; 8]

05) Si x [2; 5]. Calcular el mínimo valor de (x – 3)

a) 0 b) -1 c) 2 d) 1 e) 3

06) Si (x + 3) [3 ; 7]. Calcular el máximo valor de “x”

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0


48

07) Resolver:

4

6

7

x2

2

3

8

4x2

a) x > 13 b) x < 13 c) x > -14 d) x < -14 e) x > 0

08) Si “x” es un número entero y además 5 < x < 7, calcular (x + 3)

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

09) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por lo tanto x pertenece al intervalo:

a) -2 ; 1 b) -1 ; 2

c) [2 ; 4 d) 1 ; 2 e) N.A.

10) Resolver: (x + 1)

2 + 3 > 0

a) 0 b) {0 ; 1} c) R

– d) R

+

e) R

11) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2 – 3 x b

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3

12) Resolver: 2[x

2 – 7x + 12] < [x

2 – 4x + 3]

a) 7 ; 3 b) 3 ; 5

c) 3 ; 7 d) 10 ; 12

e)

13) Resolver:

(x2 – 3) (x + 1) – (x

2 + 3) (x - 1) < 0

a) R b) 0 ; 3

c) [0 ; 3] d) R– 0 ; 3

e)

14) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la inecuación cuadrática en x:

x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 3;1

a) 4 b) -6 c) 6 d) -8 e) 8

15) Resolver:

x2 + x + 3 > 0

a) R b) Z c) N d) Z

–

e) Q

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de segundo grado con una incógnita es aquella desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma:

0cbxaxó0cbxax 22

Donde los coeficientes a, b y c son números reales; siendo a 0. Es recomendable que a sea siempre positivo, pero si fuera negativo, se multiplica ambos miembros por -1 para hacerlo positivo, con lo cual se cambia el sentido de la desigualdad. 1

ra Propiedad para completar cuadrados:

Si x2 < a entonces axa

Ejemplos:

* Si x2 < 16 16x16

-4 < x < 4

* Si x2 81 81x81

-9 x 9

* Si x2

49

25

49

25x

49

25

7

5x

7

5

2

da Propiedad

Si x2 > a; entonces axax

Ejemplos:

* Si x2 > 64 64x64x

x > 8 v x < -8

* Si x2 > 3 3x3x

* Si x2

100

36

100

36x

100

36x

10

6x

10

6x


49

5

3x

5

3x

TAREA DE CLASE

Resolver: 01) x

2 + 4x > 5

Rpta.:

02) x2 + 6x > 0

Rpta.:

03) x

2 + 8x > 33

Rpta.:

04) x

2 – 10x < -9

Rpta.:

05) x

2 + 2x – 63 < 0

Rpta.: 06) -x

2 + 5x + 4 < 0

Rpta.:

07) 2x2 – x – 3 0

Rpta.:

08) 3x

2 – 2x – 8 0

Rpta.:

09) 2x(x – 3) < 5

Rpta.: 10) (x + 3)

2 – 3x > 8

Rpta.:

11) (x + 5) (3x – 2) x

Rpta.: 12) 4x(x – 5) 12

Rpta.:


14) Resolver: x

2 – 3x – 4 < 0

Rpta.:

15) Resolver:

x2 – 2x – 2 0

Rpta.:

16) x2 – 6x + 9 0

Rpta.:

17) Resolver:

(x – 4)2 > 0

Rpta.:

18) Resolver:

(3x – 1)2 0

Rpta

19) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2 – 3 x

b

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3 20) Resolver:

2[x2 – 7x + 12] < [x

2 – 4x + 3]

a) 7 ; 3 b) 3 ; 5

c) 3 ; 7 d) 10 ; 12

e) 21) Resolver:

(x

2 – 3) (x + 1) – (x

2 + 3) (x - 1) < 0

a) R b) 0 ; 3

c) [0 ; 3] d) R– 0 ; 3

e)

22) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la inecuación cuadrática en x:

x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 3;1

a) 4 b) -6 c) 6 d) -8 e) 8 23) Resolver:

x

2 + x + 3 > 0


50

a) R b) Z c) N d) Z

–

e) Q

24) Si “x” es un número entero y además 5 < x < 7, calcular (x + 3)

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

25) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por lo tanto x pertenece al intervalo:

a) -2 ; 1 b) -1 ; 2

c) [2 ; 4 d) 1 ; 2 e) N.A. 26) Resolver:

(x + 1)2 + 3 > 0

a) 0 b) {0 ; 1} c) R

– d) R

+

e) R

VALOR ABSOLUTO

Definición: El valor absoluto de un número real x es aquel número positivo denotado por |x| y definido así:

0x;x0x;x

|x|

TEROREMAS: x R 1) |x| 0 2) |x| = |-x| 3) |xy| = |x| |y|

4) |y|

|x|

y

x ; y 0

5) |x|2 = x

2

6) |x|x2

7) nn|x|x

8) |xn| = |x|

n

|x + y| |x| + |y| (Desigualdad triangular

Ejemplos: |9| = |-9| = 9 |x (x – 1)| = |x| |x – 1| |3(x

2 – 4)| = |3| |x

2 – 4| = 3|x

2 – 4|

|x|2 = 9 x

2 = 9 x = 3 v x = -3

2|8|8 33

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

axax|a||x|

)axax(0aa|x|

Ejemplos: Resolver:

1.- |x| = 4 2. | | 7x

x = 4 v x = -4 C.S. = C.S. = {-4 ; 4}

3.- )x2xx2x(0x|2x|

1xx

02)()(

C.S. =

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

22 ax|a||x|

axaxa|x|

axa0aa|x|

Ejemplos: Resolver: |x| < 4

-4 < x < 4 C.S. = -4 ; 4

TAREA DE CLASE

01) Resolver: |3x – 5| = 8

Rpta.:

02) Resolver: |x| =

Rpta.:

03) Resolver: |x – 2| = |3x + 1|

Rpta.: 04) Resolver: |3x + 7| = |2x – 5|

Rpta.: 05) Resolver: |3x| = 18

Rpta.: 06) Resolver: |x + 5| = 20

Rpta.: 07) Resolver: |x

2 + x – 5| = x

2 + 5

Rpta.:

08) Resolver: |x

2 + 6x + 9| = 0

Rpta.:

09) Resolver: |2x + 1| = 5x + 3

Rpta.: 10) Resolver: |2x

2–2x + 5| = |x

2 + 2|

Rpta.:

-4 40


51

11) Resolver: |x2 – 1| = –x

Rpta.:

12) Resolver: |x| > 3

Rpta.: 13) Resolver: |x

2 + x – 20| > -2

Rpta.:

14) Resolver: |5x + 3| < 8

Rpta.: 15) Resolver: |6x – 5| > 1

Rpta.: 16) Resolver: |2x – 1| < x + 1

Rpta.: 17) Resolver: |x–2|

2– 2|x–2|–15 < 0

Rpta.:

18) Resolver: |x + 2| > 2x – 3

Rpta.: 19) Resolver: |3x – 1| < 5x – 3

Rpta.: 20) Resolver: |x + 3| < |3x – 4|

Rpta.:


01) Resolver: |6x – 7| = 5 a) {2 ; 1/3} b) {-2 ; 1} c) {3 ; 1/3} d) {2 ; -1/3} e) {4 ; -1/3}

02) Resolver: |3x – 2| = x a) {-1 ; 2} b) {1 ; 1/3} c) {1 ; 1/2} d) {1 ; 2} e) {1 ; -1/2}

03) Resolver: |2x + 5| = |3x – 2| a) {-1/2 ; 5} b) {7 ; -3/5} c) {-2 ; 5} d) {7 ; -3} e) {-7 ; 3/5}

04) Resolver: |4x – 9| = |5x + 2| a) {7/9 ; -11} b) {9/7 ; 11} c) {-13 ; 7} d) {7 ; -11} e) {7/8 ; -11}

05) Resolver: ||x

2 – x| – x| = x

a) {1 ; 2} b) {0 ; 1} c) {0 ; 1 ; 3} d) {-1 ; 2} e) {-1 ; 2 ; 3}

06) Resolver: |2x + 8| = x + 4 a) {0} b) {-2} c) {-4} d) {-3} e) {-8}

07) Resolver: |x – 1| = |2x + 1| a) {-2 ; 0} b) {1 ; 0} c) {-2 ; 2} d) {-3 ; 0} e) {-2 ; 1}

08) Resolver: |||x| – 2| + 1| = 4 a) {1 ; -1} b) {2 ; -2} c) {5 ; -5} d) {3 ; -5} e) {5 ; -3}

09) Resolver: |2x2 – 3| 4x + 3

a) x [0 ; 3] b) x 0 ; 3 c) x 0 ; 2]

d) x [0 ; 2] e) x [0 ; 8]

10) Resolver: |x – 5| < 4

a) x 1 ; 8 b) x [4 ; 8 c) x 1 ; 9]

d) x [1 ; 8 e) N.A.

11) Resolver: |x2 – 1| < 2

a) 3 ; 3

b) 2 ; 3

c) 3 ; 2

d) 3 ; 5

e) N.A.

12) Resolver: 1x5x4x2

a) x - ; 1/2 1/2 ; +

b) x - ; 1/12 1/2 ; +

c) x - ; 1 1 ; +

d) x - ; 2 3 ; +

e) N.A.

13) Resolver: |2x2 + 3x – 15| > -1

a) 1 ; 2 b) [2 ; +

c) [3 ; + d) R

e) 1 ; 3

14) Resolver: |2x2 – 3| 4x + 3

a) x - ; 0 [3 ; +

b) x [3/4 ; 5] [3 ; +

c) x [-3/2 ; 0] [5 ; +

d) x [-3/4 ; 0] [3 ; +

e) x [-3/4 ; 0] [2 ; +


52


53

algebra 2º

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