algebra 1er.aÑo

“n” veces

IEP Los Peregrinos ALGEBRA 1º Año

1. POTENCIACION Y RADICACION

1.1 LEYES DE EXPONENTES1.1.1 EXPONENTES USUALES

A. EXPONENTE NATURAL.- Es el exponente entero y positivo (número natural) que nos indica el número de veces que se repite una expresión como factor.

an =

NOTA:

1) (POSITIVO)PAR = POSITIVO

Ejemplo: (3)4 =81

2) (POSITIVO) IMPAR = POSITIVO

Ejemplo: (2)5 =32

3) (NEGATIVO) PAR = POSITIVO

Ejemplo: (-6)4 =1296

4) (NEGATIVO) IMPAR = NEGATIVO

Ejemplo: (-7)3 =-343

B. EXPONENTE CERO.- Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es la unidad.

OBSERVACIÓN:i. (-18)0 = 1

1. -18 0 = - 1NOTA.- 00 es indeterminado.

C. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda base diferente de cero afectada de un exponente negativo es igual a la inversa de la base con exponente positivo.

Nota: Si n ∈ N

0-n no está definido.Es decir 0-2, 0-5, 0 –8,...No están definidos.Como números reales no existen.

D. EXPONENTE FRACCIONARIO.- El exponente fraccionario se expresa como radicales, donde el denominador de dicho exponente representa el índice del radical.

EJERCICIOS I

1. Calcular el valor de:R= (-8)0 - (-7)0 + 23

a) 8 b) -5 c) -8 d) 5 e) 10

2. Hallar el valor de: E = -120 + (-15) 0 – 34

a)-81 b)-82 c)-83 d)-84 e)-85

3. Encontrar el valor de : P = -70 – (-2) 2 – 6 0

a) -3 b) -4 c) -5 d) -6 e) -7

4. Indicar el valor de: S = (-2) 3 – (-8) 0 – 13 0

a)-12 b)-11 c)-10 d)-9 e)-8

5. Determinar el valor de: P = 2 -1 + 3 –1 + 4 –1

a)

1213 b)

113 c)

112 d)

1312 e)

1112

6. Efectuar: M = 3 –1 + 3 -2 – 3 -3 – 3 -4

a)

8132 b)

3231 c)

−3281

d)

−8132 e)

−83

7. Determinar el valor de: E = 360,5 + 16 0,25

a) 7 b) 8 c)9 d) 10 e) 11

1

a−n= 1

an;∀ a∈

ℝ ¿ a ¿ 0 ; n∈N

amn=

n√am=n√am ;∀ n∈N ∧ n≥2

a . a ... a ; si : n є N ; n ¿ 2

a0 =1 ;∀ a∈ℝ ⋀ a ≠ 0


8. Calcular el valor de: A = (-1) 40 + (-1) 55 + (-2) 3

a)-6 b)-7 c)-8 d)-9 e)-109. Determinar el valor de:

R = (-1)33 – (-1)80 + 0 5

a) 2 b)-2 c) 3d)-3 e) 4

10. Calcular:

E = 16

12

+ 36

12

+ 8

13

+ 25

12

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

11. Hallar el valor de:

F = 64

13

- 121

12

- 144

12

- 16

14

a)-20 b) 20 c)-21 d) 21 e)-22

12. CALCULAR:

E =

3−1−2−1

3−1+2−1

a)-

15 b)

15 c) -

25

d)

25 e)5

13. Determinar el valor de:

S =

5−1+4−1

5−1−4−1

a)9 b)-9 c) 10 d)-10 e) 11

14. Señale (v) 0 (F)

I. 81

34

= 27

II. 05

= 1 III. –52 = 25

IV. (−√3 )0=−1

a) FVVVb) FVVFc) VFFFd) FVVVe) FFFF

15. Indicar (v) 0 (F) según corresponda

70 = 0 ....................... ( )-62 = (-6) 2 ....................... ( )

x 0, siempre es 1 …....................... ( ) (- 5)2 = 25 ...................... ( )

a) VFFFb) FFVVc) FVFVd) FFFVe) VVVV

EJERCICIOS II


E = 24 + (-√3 ) 0 – (-6) 0

a) 17 b) 18 c) 15 d) 16 e) 20

2. Hallar el valor de: R = -33 + (-18)0 – 130

a) –29 b) 28 c) –27d) –26 e) –30

3. Indicar el valor de: S = -90 - (-5)2 - 70

a) –25 b) -24 c) -27d) 25 e) –26

4. Encontrar el valor de: P = (-7)2 – (-42) 0- 180

a) 47 b) 46 c) 48 d) 50 e) 51

5. Efectuar: E = 6-1 + 2-1 + 3-1

a)

116 b) 1 c)

13 d)

23 e)

12

6. Encontrar el valor de M = 8 -1 + 2 -3 + 4-1 + 2-2

a)

14 b)

12 c)

34

2


d)

54 e)

13

7. Evaluar: N = 250,5 + 810.25

a) 2 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

8. Efectuar: A = (-1)83 + (-1) 24 + (-5) 2

a) 26 b) 25 c) 20 d) 20 e) 23

9. Determinar el valor de: E = 350 – (-1)50 + (-1)16

a) 0 b)2 c)-1d)1 e) –2

10. Calcular:

M = 81

12

+16

14

+27

13

-8

13

a) 16 b) 14 c) 12d) 10 e)8

11. Efectuar: E =

6−1−2−1

6−1+2−1

a) −1

8 b)

14 c) 4 d)

−12 e)

12

12. Evaluar: M =

5−1+3−1

5−1−3−1

a)

14 b) -

14 c)4 d) –4 e)

12

13. Calcular:

P = 25

32

+ 81

14

- 169

12

a) 125 b) 95 c) 115 d) 100 e) 85

14. Analiza las proposiciones siguientes:

I. (- 7) 2 =- 49 II. (-2)4 = 16

III. –80 = 1 IV. 272

3 = 9

Determine su valor de verdad.

a) VFVF b) FFVV c) FVFV

d) VVFF e) FFVF

15. Determine el valor de verdad de las proposiciones:

I. 60 = 1 II. 3√125= -5

III. (-12) 2= 144 IV. - 53 = -125

a) V FVV b) VVFF c) FVFV d) FFVV e) FVFF

1.1.2 POTENCIACION

POTENCIACION.- Operación que hace corresponder a los elementos base y exponente, con un tercer elemento llamado potencia, así tenemos.

Donde: a: Base. n: Exponente Natural P: Potencia

LEYES DE LA POTENCIACION

A. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES:

Ejemplos:

1) a4 . a5 .a8 = a4 + 5 +8 = a 17

2) (ab)2. (ab)6. (ab)3= (ab)2+6+3=(ab) 11

B. DIVISION DE BASES IGUALES :

Ejemplos:

1)

328

324=328−24=34=81

3

an = P ; a ∈ ℝ ; n∈N;P∈ℝ

am . an = a m+n ; a ∈ ℝ ¿ m ,n∈Ν

am

an=am−n ;m ,n∈N ∧ m≥ n; a∈R-(0 )


2)

a7 x−4

a4−7 x=a(7 x−4 )−(4−7 )

= a7x+ 4 – 4 + 7x = a14 x

C. POTENCIA DE POTENCIA :

Ejemplos:

1) (a8)10=a8 . 10=a80

2) (a5)3⋅(a6 )8 =a15 .a48=a63

OBSERVACIONES:

1. (ab )c≠abc

en el primer miembro los exponentes se multiplican pero en el segundo miembro son exponentes sucesivos.

2. El cálculo se inicia de arriba hacia abajo puesto que para hallar la potencia, es necesario conocer el exponente que afectó a la base, así tenemos:

e f

abcd

= abe

= af

= P

Ejemplo: 1 3

5314

= 531

= 53

= 125

D. POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN

Ejemplos:

1. (a .b )5=a5 .b5

2. (x4 . y3 )2=x4 . 2 . y3 . 2=x8 y6

3. 36 . 56=156

E. POTENCIA DE UNA DIVISIÓN:

Ejemplos:

1.( ab )

5

=a5

b5

2. ( a9

b2 )8

=a9. 8

b2. 8= a

b16

72

3.

1610

810=210

NOTA:

Ejemplos:

1. ( 32 )−4

=( 23 )

4

=24

34=16

81

2. (−4

5 )−3

=(−54 )

3

=−53

43=−125

64

EJERCICIOS I

1. Reducir:

F =

( x2 )8 .( x5 )10

(( x3 )4 )5

a) x-29 b) x29 c) x-28 d) x 28 e) x27

2. Calcular:

R= (3

85 . 3

49 )(3

59 . 3

25 )

a) 28 b) 27 c) 26 d) 25 e) 24

4

(am )n=am.n a∈ ℝ ¿ m ,n∈N

d c b a

(a .b )n=an .bn ; a ,b∈ℝ ٨ n

( ab )n

=an

bn; n ∈ℕ ٨ b∈ ℝ -

( ab )−n

=( ba )n

=bn

an;∀a .b≠0


3. Simplificar: E=

2n+3−2n+2

2n

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

4. Si: 3x = 4

Calcular: S=

3x+2

4

a) 6 b)7 c)8 d)9 e) 10

5. Si: xx = 2

Calcular: I = x2 x+x3 x+x x

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

6. Calcular el valor de: A =

314 . 38 .315

329 .37

a)3 b)-3 c) 2 d)-2 e)-1

7. Si: 5x-2 = 4

Calcular el valor de: 5x

a) 100 b) 10 c) 101 d) 11 e) 102

8. Evaluar:

N = ( 9

5 )−1

+9−1

9. Calcular el valor de:

A = ( 14 )−2

+( 13 )−2

+( 18 )−1


R = ( 1

5 )−3

+( 16 )−2

−( 17 )−2

A)

23 b)

3¿2 ¿¿¿

c)

43 d)

34 e)

14

11. Efectuar:

S =

( 19 )−2−1

( 13 )

−(13 )

−1

a)-

19 b)

19 c)

13 d)-

1¿3 ¿¿¿

e)

23


E = 36−16−4−1

13. Evaluar:

R = 6427−3−1

14. ¿Para qué valor de (x), el resultado

de

2x+3

8 es igual a 64?a)6 b)5 c)4 d)3 e)2

15. Reducir:

M=

5n+4+5n+1

5n+2

a)

1625 b) 5 c) 162 d)

5162 e) 161

EJERCICIOS II

1. Simplificar:

N =

(x12)9 . (x10 )7

( (x5)2)9

a) x68 b) x48 c) x88 d) x34 e) x66

2. Encontrar el valor de:

H = (2

76 . 2

58 )(2

38 . 2

56 )

a) 2 b) 23 c) 22 d) 24 e) 25

3. Reducir:

L =

3m+4−3m+2

3m

5


a) 54 b) 27 c) 72 d) 108 e) 3

4. Sabiendo que: 5x = 8 Calcular:

E =

5x+3

8

a) 5 b)52 c)53 d)5-1 e)5-2

5. Si: XX= 3 Calcular el valor de: M = x3x + x2x

a) 42 b) 62 c) 34 d) 52 e) 32


S =

226 . 217 . 24

235 . 26

a) 8 b) 16 c) 32 d) 128 e) 64

7. Se sabe que: 7 x-1 = 12 Calcular: 7x

a) 121 b) 96 c) 87 d) 84 e) 108

8. Encontrar el valor de:

N = ( 83 )−1

+8−1

a) 2-1 b) 2-2 c) 2-3 d) 2-4 e) 2-5

9. Efectuar:

A= ( 1

3 )−2

−( 14 )−2

+( 15 )−2

a) 50 b) 18 c) 24 d) 20 e) 22


E = (12 )− 4

+( 17 )−2

−( 14 )−2

a) 65 b) 16 c) 81 d) 49 e) 5911. Calcular:

P=

( 14 )−(12 )

−1

( 12 )

−13

−1

a)

12 b)

−12 c) 2 d) 3 e)

14

12. Efectuar:

E= ( 136 )−

12+( 1

64 )−13+( 1

81 )−14

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14


E = 343-9−2−1

a) 7 b) –7 c)

17 d)-

17 e) 49


R=

2n+4+2n+3

2n+2

a)2 b)4 c)6 d)8 e) 16

1.1.3 RADICACIÓN

RADICACIÓN.- Es la operación que relaciona dos elementos llamados índice (n) y radicando (a) con un único elemento llamado raíz ® tal que la raíz elevada al índice nos da el radicando, así tenemos:

Ejemplos:

1. 3√8=2⇔23=8

2. √121=11⇔112=121

3. 3√27=−3⇔(−3)3=−27

6

n√a=r⇔ rn=a ;n∈ℕ ٨ n ¿ 2


4. 4√16=2⇔24=16

5. √−36 no existe como un número que elevado al cuadrado sea negativo.

OBSERVACIONES:

1. PAR√POSITIVO=POSITIVO

Ejemplo:4√81=3

2. PAR√NEGATIVO=NOEXISTE

Ejemplo:

6√−64 NO EXISTE

3. IMPAR√POSITIVO= POSITIVO

Ejemplo:

5√243=3

4. IMPAR√NEGATIVO= NEGATIVO

Ejemplo:

3√−64 = -4

A. RAIZ DE UNA MULTIPLICACION

Ejemplo:

1. 5√a2 b4=

5√a2 .5√b4

2. √45=√9 x5=√9x √5=3√5

3. 3√7 x 3√2=3√14

B. RAIZ DE UNA DIVISIÓN:

Ejemplos:

1. 15

15√ a11

b7=

15√a11

15√b7

2.

4√1681=

4√164√81

=23

3.

3√813√3

=3√813=3√27=3

C. RAIZ DE RAIZ

Ejemplo:

√3√4√x=2 .3. 4√ x=24√xNOTA:

Ejemplo:

8√ x6=2. 4√x2 .3=

4√x3

EJERCICIO I

1. Calcular:

E=

5√4 . 5√165√2

a)-3 b)-1 c)2 d)-2 e)1

7

n√ab=n√a .

n√bSi: “n” es par, entonces: a > 0 ٨ b>0

n√ ab=

n√an√b

;b≠0

Si “n” es par, entonces: a > 0 ٨ b > 0.

m√n√a=m .n√a;m,n∈ℕ -{1}

Si: m,n es par, entonces: a > 0.

n .k√am .k=

n√am

Si: m.k es par, entonces: a ∈ ℝ ⁺ℝℝ⃘� .



F=

3√36 . 3√6

√2.√8

a)

32 b)-

32 c)

23 d)-

23 e)

25

3. Reducir:

M = (4√5√3√x )

120

a) x-3 b) x2 c) x d) x3 e) x-1

4. Calcular:

N =

4√2.4√8

3√3 .3√9

a)

13 b)-

32 c)

32 d)

23 e)-

23

5. Simplificar:

M = (10√5√√ x)100

a)x5 b)x7 c)x3 d)x2 e)x

6. Obtener la expresión reducida de:

E = 5√8√x13 .

10√4√x9 .√20√x8

a)4√X3

b)√X3c)

5√X3

d) √Xalignl¿ 2 ¿¿¿ e)

7√X3

7. Indicar el exponente final de “x”, en :

M = 6√4√x15 .

8√3√ x2 .12√√x7

a)x-1 b) x c)x-2 d)x-3 e)x-4


E = √ 918

x4

81

a)

76 b)

56 c)

16 d)

26 e) 6

9. Hallar el valor de :

E = √ 218

x1

49

a)

123 b)22 c)

122 d)

121 e)21

10. Reducir:

H =

15√ 5√ x35

3√x6

a)√X b)√X3c)

7√X

d) 3√X e)

5√X

11. Calcular:

S = 5√4√( 35 )

40

a)25 b)

925 c)-

925 d)

−325 e)

325

12. Calcular:

E =

6√9. 4√9 . 3√9

√3

a)3 b)-3 c)2 d)-2 e)1

13. Reducir:

M = 4 √3√x36

√ x8

8


a) X b)X2 c) X3 d) X4 e) X5

14. Hallar:

R =

3√30−√6+√6+√9

a)3 b) 2 c)1 d)-1 e)-3

15. Si: x > 0. Reducir:

E =

3√x . 3√x . 3√ x . .. . .30 radicales

√x .√ x .√ x . .. .20 radicales

a)X3 b)2 c)X2 d)1 e)X

EJERCICIOS II


E =

6√4 . 6√326√2

a) 4 b) 2 c) 6d d) 3 e) 8

2. Calcular:

N =

3√25 . 3√5

√2 .√50

a) 2 b)22 c) 2-3 d)2-1 e) 24

3. Simplificar:

R = (7√5√√ x )140

e indicar el exponente final de “x”

a) x2 b)4 c)14 d)10 e)2


S =

5√125 . 5√25

√100

a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,85. Reducir:

E = (4√√√ x )8

a) x2 b) x c) √ x d) 4√ x e) x4

6. Obtener la expresión reducida de:

P = 8√4√x9 .

16√√x15 .4√4√√x8

a) √ x b) x c) x2 d) 4√ x e) x4

7. Indicar el exponente final de (x) en :

E = 5√6√x .

3√10√ x9 .15√√x5

a)

13 b)

14 c)

12 b)

16 e)

23

8. Calcular:

P =

3√278

x1

125

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,8

9. Evaluar:

E =

4√16625

x1

81

a)

25 b)

65 c)

56 d)

215 e)

152

10. Simplificar:

R = 40 √6√x 42

18√ x36

a) √ x b) 4√ x c)

8√ x d) x4 e) x8

11. Calcular:

E = √√3√( 49 )

6

9


a)

49 b)

94 c)

23 d)

32 e)

1681


E = (4√8 .

3√4 .5√32)6

a) 32 b) 4 c) 128 d) 64 e) 8

13. Calcular:

M = √20+√20+√25

a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

14. Calcular:

E =

3√− 1110

−11

17

16−1

2

a)

19 b) 9 c)

−19 d)–9 e)

13

15. Si: x>0, reducir:

N =

5√x . 5√x . 5√ x . .. . .100 radicales4√ x .

4√ x .4√x .. . . 48 radicales

a) x10 b) x6 c) x4 d)x8 e) x2

1.2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.2.1 EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Es una representación matemática de números y letras ligados por los diferentes operadores matemáticos.

Así : 20π ⇒ Expresión Numérica . 6x2 y – z ⇒ Expresión Literal.

Ejemplos :

1)

37x4 y2−√2 x3 y9

2) (√5−8 )xy z+8

3) sen (45 + x ) + log ( x – y )

NOTACIÓN MATEMÁTICA

Es una expresión simbólica de una expresión matemática que nos permite diferenciar las variables y las constantes.

VARIABLES .- Son símbolos que se utilizan para representar a cualquier elemento de un conjunto , es decir su valor no es fijo , pues pueden tomar cualquier valor del conjunto que se le a designado . se les representa mediante las últimas letras : x , y , z .....

CONSTANTES.- Son símbolos que representan a una cantidad fija y definida, es decir su valor es único.

Ejemplo:

E (x ,y, z)= 2x6y3 – ax8 + by4z7

VARIABLES CONSTANTES

NOTA : Dentro de las constantes , algunas son :

1. Constantes Absolutas π : 7; 2, 5.2. Constante Relativas: g (Aceleración de

la gravedad; depende del radio terrestre).

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es una expresión matemática en la cual para la variable o variables sólo se definen las operaciones aritméticas (Adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a exponente natural, extracción de una raíz aritmética) en un

10


número limitado de combinaciones de estos.

Ejemplos:

1) P(x) =22√5 x4

2) R(x , y)=

38x2+ 3√xy

3) S(a , b) = 6a3 b -√5b2+ 1

2ab

4) F(x , y , z) = ax2 + by3+ cz

¡ CUIDADO ! No son expresiones Algebraicas !

P(x) = 1 + x + x2 + x3 + …

N(x , y ) = 7xy5 – 2x√3

S(x , y ) = x6y +

32x y

1.3.TERMINO ALGEBRAICO

1.3.1 CONCEPTO.- Es una expresión algebraica que enlasa a las constantes y variables solamente con las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplos :

1) E(x,y) = 2ax9 √ y

2) R(x) =

−8

√3+1x12 3√ x

¡CUIDADO!

S(x) = 6x -√3 No es un término algebraico.

1.3.2 PARTE DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO Tiene 3 partes, veamos:

EXPONENTE

E( X , Y , Z ) = −5√3 x8 y5 z 2

Parte Variable Parte Constante (Coeficiente)

Son tres las partes:

1. Coeficiente ( incluyendo el signo )2. Partes Variables 3. Los exponentes de las variables

1.3.3 TERMINOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes si tienen las mismas variables, con los mismos exponentes y los coeficientes no nulos. Ejemplos:

1) 6x5 ; -2x5 ; √3 x5

2) 9a3b ; 7 a3b ; - a3b

3)

32

mn;23

mn;92

mn

1.3.4 REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMENJANTES

Consiste en reducir 2 ó más términos semejantes en uno solo que es equivalente a todos los demás.Para ello se suman o restan solo los coeficientes y a dicho resultado se le asignan las mismas variables elevados a los mismos exponentes.

Ejemplo:

1) Reducir :

7x3 + 2x3 -13 x3 +8 x3 = ( 7 + 2 – 13 + 8 ) x3

= 4x3

2) Reducir :

-5x7 y2+ 10x9 y5 + 3 x7 y2 - 4 x4 y5 = ( - 5+ 3) x7 y2 + (10 – 4 ) x8y5

= -2x7y2+ 6x9 y5

1.3.5 SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCION

Para suprimir signos de colección, se procede del siguiente modo:

A) Si delante de un signo de colección aparece el signo +, ó – de los términos interiores no cambian. Ejemplo:

+(2x3–7x2+x–9) = 2x3–7x2+x–9

B) Si delante de un signo de colección aparece el signo (-) eliminados tal signo de colección y, los signos + ó – de los términos interiores cambian. Ejemplo:

11


-(-5a4+ 2b2–6b+13) = 5a4–2b2+6b–13

1.3.6 EJERCICIOS I

1. Indique aquellas expresiones que son algebraicas:

I. √5 x3 y−x4 y−6+√3 xy0,5

II. 6√2

xy+0,7x4 y9−xy

III. 10x2y +5xy3 + 7x√2

y

IV. √xy−3

7x6 y x+√7

4

a) I b) II c) III d) IV e)IyII

2. Subraye con lapicero rojo los grupos en los que todos sus términos son semejantes.

I. 3x7 y9; - 2x7 y9;√5 x9y7

II. 6d2e; 8d2 e; d2e

III.

34

mn5 ;43

mn5 ;−19n5m

a)IyII b)IIyIII c)IyIIId)IyIV e)IIIyIV

3. Suprimir signos de colección y reducir :

E=−[2+(9−7 x )+x3−(14−8x )+3 ]+x3

a)-14 b) 14 c) x d)-x e)-2x

4. Suprimir signos de colección y reducir:

S= {−6 x−[5 y−(2x−3 y )+(2 x−7 y ) ]+6 x }

a)-10 b)-y c) y d) 10 e)6

5. Sabiendo que :

9x10 + 12x10 = Nx10

Calcular: N

a)-21 b) 21c) 3 d)-3 e) 5

6. Si : 25y8 –35y8 –Mya-3 Hallar: a – M

a)21 b)-21 c)12 d)-12 e)13

7. Reducir los siguientes términos semejantes, si tienen como única variable a la letra “x”.

6nxn + 4nx9 – 2nx9

a)-36x9 b)-35x9 c) 36x9

d) 34x9 e) 35x9

8. La siguiente expresión se reduce a un solo término.P(y) = aya-5 – byb+1 + ady6

a) 60y6 b) 61y6 c) 62y6 d) 63y6 e) 64y6

9. Si los términos : M(x ; y ) = 5xa-1 yb+2

N(x ; y ) = 13 x8 y6

Son semejantes.Calcular: ab

a) 32 b) 33 c) 34 d) 34 e) 35

10. Si los términos :

P(x ; y; z ) = 2xa -3 y10 zc + 1

Q(x ; y; z ) = 9 x4 yb+2 z9

Son semejantes: Hallar: a + b – c

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

EJERCICIO II

1. Señala verdadero o falso:

I. x8 + x12 = x20

II. 2x3 y5 – 9 y5 x3 = -7x3 y 5

III. En una expresión algebraica los exponentes de las variables pueden ser números irracionales

IV.√ x√ x √x . . .. no es una expresión algebraica

A) VFFV B) FFVV C) FVFV D) FFVV E) VVFV

2. Son términos semejantes: a) 8m5 y -3n5

b) m2 – n y m – n2

c) – 2a3b2 c y 6a3b2

12


d) 35a4 y −4

9a4

e) Ninguna a)A b)B c)C d)D e)E

3.- Suprimir signos de colección y reducir:

A = - {[−3 x2+(4 x−x2) ]−(−2 x−4 x2 )}+5x

a) x b) 2x c) 3x d) –x e) –2x

4.- Suprimir signos de colección y reducir:

E = - { (4m x – 3xy + (-5xy + 7n – 2mx) }

-[−(−8 xy−mx+7n )]

a)–mx b)–2mx c)mx d)–3mx e)–4mx

5.- Se sabe que: -6x4 - 15x4 = A x4

Calcular:

A3

a) –21 b) 7 ) 21 d) 9 e) –7

6.- Sabiendo que:

20 x5 –45xn = Mxa-4

Hallar: M ¿ n+a

a) 6 b) 4 c) 14 d) 8 e) –2

7.- Reducir los siguientes términos semejantes sabiendo que la única variable es “ y “

7 mym – 5 my4 + my4

a) 10y4 b) –6y4 c) 12y4 d) 16y4 e) –13y4

8) La siguiente expresión se reduce a un solo término:

P(x) = abxb-3 – bxa+1 +ax 6

a) 49 x6 b) 36x6 c) 40x6d) 43x6 e) 41x6

9) Calcular “ ab” en los términos semejantes :

P(x ; y) = 10xa-3y2b+7 Q (x ; y) = -4 x5 y 9

a) 6 b) 5 c) 4 d) 8 e) 10

10) Si los términos:

A( x ; y) = (m – 2 ) x 3+n ym+2n

B (x ; y) = ( 2n +3) x5 y9 Son semejantes. Calcular la suma de los coeficientes de ambos términos.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

EJERCICIO III

1. ¿Cuál es el valor de “a” se se sabe que

los términos 6√7 xa+3 y −5√2x12

son semejantes?a)6 b)12 c)9 d)2 e)3

2. Calcular m + 1 , sabiendo que t1 y t2

son términos semejantes

t1 = 0,2ym+2 ; t2= −5√11 y8

a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9

3. Dar el valor de t + 10 si los siguientes términos son semejantes :

-0,45at+65 ; −5√41a72

a) 11 b) 14 c) 13 d) 7 e) 17

4. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I. Una expresión algebraica no tienen letras en los exponentes

II. una expresión algebraica no tiene como exponentes a números irracionales.

III. Todo término algebraico es también un monomio.

IV. Todo monomio es también un término algebraico.

a) I y II b) II y III c)I y IIId)Todas e) Todas menos III

5. Calcular la suma de coeficientes de los siguientes términos semejantes, sabiendo que la única variable es x

3axa+5 ; -7ax8

a)-10 b)-8 c)-12 d)12 e)6

13


6. ¿Cual es el término de mayor coeficiente si todos son semejantes con variable x?

t1 = 6mxm+1 t2 = -3m2xm+1

t3 = 13mx9 t4 = 18mx1+m

a)101x9 b)104x9 c)172x9

d)144x9 e)166x9

7. Dar el menor coeficiente de los siguientes términos que además de ser semejantes tienen como única variable a la letra y :

t1 = √2a2y1-a t2= 3√2ay3

t3 = −2√2ay-a+1 t4= −√2ay3

a)√2 b)−6√2 c)−5√2

d)−8√2 e)2√2

8. ¿Cuál es el triple de m , si los siguientes términos son semejantes?

6x2m+3 ; -3√5x15

a)18 b)12 c)6 d)3 e)9

9. Calcular el valor de a +2b si los términos siguientes son semejantes :

2ya+b ; -0.32y7+b ;7√7y9

a)9 b)11 c)5 d)7 e)2

10. Dar la suma de los coeficientes de los siguientes tres términos semejantes que tienen a x como única variable:

3,2mxm+a ; -0,2m2x2+a ; 0,5mx6

a)3,3 b)5,8 c)5,6 d)5,2 e)6,6

11. Hallar el menor coeficiente si los términos dados son semejantes de variable y :

−√3cyc+5 ; 2√3 c2y5+c ; −3√3c3y3

a) 2√3 b)-2√3 c)8√3

d)-3√3 e)−√3

12. Calcular b-a , sabiendo que t1 y t2 son semejantes de variables x e y

t1 = a3 bx-3 y2 ; t2= ab3xa ya+b+1

a)1 b)-1 c)7 d)-7 e)6

13. De los dos términos del problema anterior, ¿Cuál es el menor coeficiente?

a)-108 b)-192 c)108d)192 e)111

14. Reducir:

−5√5x2 - 8√5x2 + 9√5x2 +3√5x2

a) √5 x2b) 3√5x2 c)-√5 x2

d) 2√5x2 e) N.A.

15. ¿ Es posible reducir a un solo término

3x2 + 5x +2

a) 10x2 b)30X c)30x3

d) 10x3 e) IMPOSIBLE

16. Reducir a un solo termino

7xy4 – 9xy4 + 2y4x

a) 6xy4 b)9xy4 c) 0d)-9xy4 e) IMPOSIBLE

17. Reducir los siguiente términos semejantes:

-11√8a2b5 + 7√2a2b5 + 3√50b5a2

a) -√2a2b5 b) 0 c) -2√2a2b2

d)√2a2b5 e)IMPOSIBLE

18. Reducir 3,2 ab5 + 6,8b5a – 3,7(ab)5 + 3,7a5b5

a) ab5 b) –ab5 c) 9ab5d)10ab5

e)10a5b5

19. Se sabe que los términos mostrados a continuación

t1 =(2a+b)x9 ; t2 = 15x2a-b

Son semejantes ; halle Ud. (9+b) : a

14


a) 0 b)2 c)1 d)-1 e)N.A.

20. Dados los términos algebraicos.

t1 = (m+ 2a)x6 ; t2 = (8 + m)x3b-3

Calcular : b2 + b + 1

a)11 b)12 c) 10 d) 9 e)13

1.4 VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA

1.4.1. CONCEPTO.-

Es el resultado que se obtiene al dar valores a las variables de una expresión matemática.

Ejemplo:

1) Sea P(x) = 5(x-1) + 3

Hallar el valor numérico de P en x = 4

Resolución:

P(4)= 5 (4 -1) +3 =5.3 + 3 P(4) = 18

2) Si: Q (x -2) = x2-x + 7

Hallar el valor numérico de: Q (6)

Resolución: Sea : x –2 =6 x =8Luego : Q(8 –2) =82 –8 +7 = 64 - 1 Q(6) = 63

3) Calcular el valor numérico de :

R(x , y , z ) = (2x – 1)2 + (3y + 1)4 – (z +2)3

Para: x = 1 ; y = -1 ; z = 2.

Resolución:

R(1 ; -1 ; 2 ) =[2(1)−1 ]2+[3(−1)+1 ]4+[2+2 ]3

R(1 ; -1 ; 2 ) = [2−1 ]2+ [−3+1 ]4+ [4 ]3

R(1 ; -1 ; 2 ) = [1 ] 2+ [−2 ] 4+[4 ] 3

R(1 ; -1 ; 2 ) = 1 + 16 + 64

R(1 ; -1 ; 2 ) = 81

1.4.2. EJERCICIOS

Sí : a= -1 ; b= 2 ; c=3

D= -

12 ; x= -3 ; y=-2

Z= -4

Calcular el V.N. de las siguientes expresiones:

1. E = a +b + c

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

2. A = x2 – y – z

a)15 b=)16 c917 d)18 e)19

3. F = 2d – x2 – y3

a)-1 b)-2 c)-3 d)-4 e)-5

4. G = 2abd – x2 – y3

a)-286 b)286 c)285 d)-285 e)284

5. B= 3x – 5y -8z

a)30 b)31 c)32 d33 e)34

6. M = 7x4 – 2y3 – x3

a)606 b)607 c)608 d)609 e)610

7. E = 8a7 -

xy12 + d

a) -9 b)-8 c)-7 d)-6 e)-5

8. D =

xy8 - abc2 - x3

a)46 b)45 c)44 d)43 e)42

15


H = a2 + b2 – y2-x3

a)27 b)28 c)29 d)30 e)31

9. J = 4d2 – x2 + bz2

a)26 b)25 c)24 d)23 e)22

10. K =

dz2 +

3√ yz - 16y2 – 3ab

a) -55 b)55 c)-54 d954 e)53

11. L = 8 bcd – (xy)2 -

bc4 +

32

a)60 b)-60 c)59 d)-59 e)58

12. E = c√ zy + db -

a+b+c2

a)2 b)-2 c)-1 d)1 e)0

13. A = 5√8 z - a2 –b3 +

2c3

a)-5 b)-6 c)-7 d)-8 e)-9

14. G = a + b +c – x2 - y3 - z3

a)69 b)68 c)67 d)66 e)65

15. H = (6d-3y)2 – (a+b)7 – ( y-z)4

a)-8 b)8 c)-7 d)7 e)-6

16. [3c−2 z ] 18 - [ x− y ] 19

a)-2 b)-1 c) 2 d)-2 e)3

17. B= {2d−( z−x )27−(b−a )2}

a)-7 b)-8 c)-9 d)8 e)5

18. E = { [ xy−2c ] 715 – (b–c )7 – 1 }517

a)1 b)2 c)0 d)3 e)4

19. P = { [ x+ y−z ] 13 + [4 d− y ] 42-7 }2

a) 60 b)61 c)62 d)63 e)64

2. POLÍNOMIOS

2.1 DEFINICIÓN Los polígonos son expresiones algebraicas cuyas variables se encuentran en los numeradores y sus exponentes son números enteros y positivos.

Ejemplos:

1) P (x) = 6x3 – 2x2+ 9

16


2) Q(x , y ) =

43

x4 y−52

y6−xy

Si el polinomio tiene.

Un término, recibe el nombre de monomio. Dos términos, recibe el nombre de binomio.Tres términos reciben el nombre de trinomio. ¡ CUIDADO ! No son polinomios:

6x4 – 9x-2 + 12 y x2 – 2x

15

+ 4 porque –2

es entero negativo y

15 no es entero

positivo.

2.2 POLÍNOMIO EN UNA VARIABLE Es aquella expresión algebraica de la siguiente forma general:

P(x)= a 0xn + a1xn-1+ a2xn-2 +…+an ; a0 ¿ 0

Donde: ao , a1 , a2.....,an: Coeficientes.

X: Variable n : Grado del polinomio ( n∈N)a0: Coeficiente principal (coeficiente de

la variable con mayor exponente) .an: Término independiente ((no depende

de x) .

Ejemplo:

El Polinomio:P(x)=9x5–2x3+4x2–x+3; es de 5to Grado.

Su coeficiente principal es: a0 =9Su término independiente es: an = 3 Cuyos coeficientes son: 9 ;-2 ; 4 ; -1 y 3

2.2.1 POLINOMIO LINEAL.- Llamado también polinomio de primer grado. Forma General:

; a¿ 0

Término Lineal.

Donde: a , b son coeficientes .

Ejemplos:1) P(x) = 6x +11 2) A(x) = 3x

3) E(x)=

74 x

−19

2.2.2 POLINOMIO CUADRÁTICO.- Llamado también polígono de segundo grado.Forma General:

; a¿ 0

Término cuadrático

Ejemplo: 1) P(x) =3x2 – 5x + 82) Q(x) = 13x2 + 4x3) B(x) = 7x2

2.2.3 POLINOMIO CUBICO.- Llamado también polinomio de tercer grado.

Forma General:

; a ¿ 0

Ejemplo:

1) P(x) = 9x3 – 2x2 + 4x –12) Q(x)= 5x3 + 8 3) E(x) = 2x3 – 10x2 + 5

NOTA:

1. POLINOMIO MONICO.- Se llama así al polinomio de una sola variable cuyo coeficiente principal es 1. Ejemplos:

1) P(x) = x4 – 6x3 + 2x +82) Q(x) = x2 +3x – 11

2. POLINOMIO CONSTANTE.- Es aquel polinomio que no tiene variable, es decir cuenta solo con término independiente.

Forma General:

; K¿0

Ejemplo:

1) P(x) = 6 2) A(x) = -15

3. POLINOMIO NULO.- Cuando los coeficientes de sus términos son iguales a cero.

Ejemplo:

17

P(x) = ax + b

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Término Cúbico

P(x) = K

P(x)= ax2 + bx + c


P(x) = 0x2 + 0x + 0

En General:

ó

Son polinomios idénticamente nulos.

2.2.4 OBSERVACIONES Dado un polinomio P(x):

1) La suma de sus coeficientes se obtiene reemplazando la variable por 1.

2) Su término independiente se obtiene reemplazando la variable por 0

Ejemplo: Sea P(x)=(x +1)4 –9x + 7

1.∑ ¿ ¿Coef. P(1) = (1 +1)4 –9 (1) + 7

P(1) = 24 – 9 +7

P(1) = 14

2. T. Ind. P(0) = ( 0 + 1)4 – 9 (0) +7 P(0)= (1)4 – 0+7 P(0) = 8

2.2.5 EJERCICIOS I

1.- Si el coeficiente principal de: P(x) = 8x3 + (n –5) x4 – 6x + n

Es nueve. Indicar su término independiente.

2.- Sabiendo que: P(x)=(n+4)xn – 5x + 1

Es un polinomio cúbico Calcular su coeficiente principal

3.- Si el polinomio: P(x)= (a –5)x2 +(a + 1)x+6a

Es mónico. Hallar su término independiente.

4.- Sea: P(x)= (b –3)x2 + 2bx –10 Un polinomio lineal. Calcular la suma de sus coeficientes.

5.- Si el Polinomio: Q(x) = (a –3) x3+ (b –8) x2 + (c –5) x + 20 Es constante. Determinar: abc.

6.- Si: P(x)= (m+3) xm-4 +6x –18

Es cuadrático. Determinar la suma de su coeficiente principal mas su término independiente.

7.- Nombrar los polinomios según el número de términos

P(x)

=4x3…………………………………………………… Q (x) = x5 +1 ........................................ F(x) = X2 – x +1 ………………………………………… G(x;y)= -16x12 y8.................................... H(y) = 4y6-2y4 + 5y-1………………………………

8.- Dado el polinomio: Q(x)= -4x + 6 x2 + 9x3- x4+ 2; indicar: Coeficiente principal: ............................ Término independiente: ........................ Término lineal: .................................... Término Cuadrático: ............................. Término Cúbico: .................................. Término Cuártico: ................................

9.- Sea: P(x) = 2x4 – x3 + 5x2 – 1 Calcular: P(-2)

10.- Si P(x) = (x +5) (x-4) +6x + 3 Calcular: P(-3)

11.- Si : P(x) = X2002 – 7x2001 –4 Hallar: P (7)

12.- Siendo Q(x+5) = x3 – 6 Calcular: Q (8)

13.- Si E(x;y) =

x2+ y2

x2− y2

Calcular: E (3;2)

14) Dada la expresión algebraica:

A(x ;y)= 3√( x−1 )2−( y+3)2

Calcular: A (9; -3)

15.- Hallar el V.N de la expresión:

R( x ;y)=

x+ 3√ y

√x− yPara: x =9; y = 1

16.- Hallar la suma de coeficientes del polinomio

18

P(x , y) =0

P(x)= 0

∑Coef .P(x )=P(1)

T . ind .P(x )=P(0)


P(x)= 3 (x-2)2 + 4(x+7)2 –14

17.- Si: P(x)=(x +3) (x-4) – (x-2)2 +12Calcular la suma de coeficientes del polinomio P(x).

18.- Hallar la suma de coeficientes del polinomio

S(x+2) =2(x+4)3 –5(x +1)2 +6

19.- Hallar el término independiente del polinomio. Q(x)= 3(x-2)4 + 9x +5

20.- Calcular el término independiente del polinomio. Q(x -3)=(x+1) (x-5) + 4x –7

EJERCICIOS II

1.- Si el coeficiente principal de: Q(x)=(n-3)x5 + 7x3 –12x + 2n

Es cinco. Indicar su término independiente.

a) 3 b) 8 c) 12 d)16 e)18

2.- Sabiendo que:

P(x)=(n-6)xn + 12x –3Es un polinomio cúbico . Calcular su coeficiente principal

a) -4 b) –3 c)5 d)9 e)6

3.- Si el Polinomio: A(x)= (m+4)x2 – (m –2) x-5m

Es monico. Hallar su término independiente

a)–10 b)–11 c)12 d)16 e) 15

4.- Sea: P(x)=(n-7)x2 +3nx-25 un polinomio lineal . Calcular la suma de sus coeficientes.

a) –1 b) –2 c) –3 d) 16 e) 15

5.- Si el polinomio:

A(x)= (m +5) x3 +(n-3)x2 +(p-1) x –16 es constante. Determinar: m – n + .p

a)9 b) –1 c) –4 d) –6 e) –7

6.- Si P(x)=(n - 6)xn-9 –4x+12Es cuadrático. Determinar la suma de su término independiente más su coeficiente principal.a) 17 b) 9 c) 11 d) 18 e) 20

7.- Dado el polinomio:

S(x) = -6x3 + 9x2 –4x+2x4+5 ; indicar Coeficiente principal: .......................Término independiente: ..................Término lineal : .................................Término Cuadrático : ........................Término Cúbico : ..............................Término Cuártico : ............................

8.- Dado el polinomio:

P(x)=6x2 + 5x3 –4x –5x3 + 8 Indicar: Número de términos:......................Grado del polinomio: .....................Término independiente: .................Coeficiente principal: ......................

9.- Siendo: P(x)= 3x4 –6x2+ x3 –19Calcular P (2)

a) 13 b)8 c) 12 d)16 e) 2010.- Sea: R(x)= (x –1)2 +3(x +2) (x - 3) +8 Hallar: R (-2)

a) 10 b) 20 c) 15 d) 17 e) 13

11.- Se sabe que: P(x) = 3x1999 –x2000 +12 Calcular: P(3)

a) 14 b) 0 c)10 d)12 e)11

12.- Sea: Q(x+12)=x-2 –x-1 Hallar: Q (16)

a) 11 b) 8 c) 6 d) 15 e) 12

13.- Si: P(x;y)=(x + y)2 – (x –y)2

Calcular: P(5 ; -3)

a) –45 b) –50 c) 60 d) –36 e) 40

14.- Dada la expresión algebraica:

19

(Polinomio ordenado en forma descendente)


B(x , y)= √( x−2 )2+( y+2)2 Calcular: B (5;2)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15.- Hallar el V.N de la expresión:

P(x , y)=

4x−x y

y−xPara: x =2 ; y =3

a) 6 b) 8 c)4 d) 10 e) 5

16.- Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = (x –1) (x+5) (x –3) + (x +1)2+4

a) 8 b) 1 c)0 d) 4 e) 12

17.- Siendo: P(x) =5(x+1)2 –25xHallar la suma de coeficientes del polinomio P(x).

a) 9 b) – 4 c) –5 d) 12 e) 8

18.- Calcular suma de coeficientes del polinomio

R(x –3) = 5 (x –2)3 – 4 (x+1)2 +1

a) -59 b) 48 c) 49 d) -72 e) 75 19.- Calcular el término independiente del polinomio: A (x) = 2 (x-1)2 –8x9 +3

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

20.- Hallar el término independiente del polinomio

B(x –2)= 5(x - 6)2 + 7x –1

a) 76 b) 81 c) 93 d) 96 e) 100

2.3 POLINOMIOS ESPECIALES

2.3.1 POLINOMIO ORDENADO

Un polinomio ordenado respecto a una letra llamada ordenatriz es aquel en el cual los exponentes de dicha letra van aumentando o disminuyendo. Si el

exponente de la ordenatriz va aumentando se dice que el polinomio esta ordenado en forma ascendente y si va disminuyendo se dice que el polinomio esta ordenado en forma descendente.

Ejemplos:1. 9x5+6x4-8x3+4x2-5x;

es descendente respecto a “x”

2. 12x4-6x3y+3x2y2-5xy3; es descendente respecto a “x” y ascendente respecto a “y”

3. 7xy5-4x2y4+7x3y3-3x4y2+6x5y; es ascendente respecto a “x” y descendente respecto a “y”.

* Ordenar un polinomio:Es escribir sus términos de manera que los exponentes de una letra escogida como ordenatriz queden en orden ascendente o descendente.

Ejemplo 1: Ordenar el polinomio: 8x-10x3-7+5x2+2x4, en forma descendente respecto a “x”.

Resolución:2x4- 10x3 + 5x2+ 8x - 7

Ejemplo 2: Ordenar el polinomio

8x2y2 – 5xy – 6x3y3 + 3y4 + 10x4, en forma descendente respecto a “x”.

Resolución:

10x4-6x3y3+8x2y2-5x1y+3y4 .......... (Polinomio ordenado en forma descendente respecto a “x”).

Ejemplo 3: Ordenar el siguiente polinomio:

xy4+y5+x2y3

Resolución:

X2y3+x1y4+y5 ................

20

Este último término que no contiene la variable “x” se sabe llamar término independiente.

Grado Absoluto=7= Grado de Homogeneidad

Monomio de Grado 7

Monomio de Grado 7

Monomio de Grado 7

Monomio de Grado 14

Monomio de Grado 16

Monomio de Grado 13


(Ordenado descendentemente respecto a “x”)(Ordenado ascendentemente respecto a “y”)

2.3.2. POLINOMIO COMPLETO:Es el que tiene los exponentes de su letra ordenatriz en forma consecutiva desde el mayor hasta el cero o viceversa.Ejemplos:

a) 5x2-3x+1 ; polinomio de grado 2; cuyo número de término es 3.

b) 7x3-4x2+5x-7; polinomio de grado 3; cuyo número de términos es 45x4+7x3-4x2+3x-1; este polinomio se puede escribir así:

5x4+7x3-4x2+3x-1=5x4+7x3-4x2+3x1-1x0

Nota:

1). Todo polinomio completo tiene un término independiente. Ejemplo: Dado el polinomio:

3x4+5x3-2x2+7x+9 Término

independiente

2). En todo polinomio completo se cumple que:

Ejemplo: Dado el polinomio:

7x5+4x4-8x3+3x2-5x+6....(Grado del polinomio=5)

∴

3). Si un polinomio no es completo, puede completarse escribiendo los términos que faltan con coeficiente cero, así por Ejemplo: El Polinomio: 3x4-7x2+6 Se completa así:

3x4-7x2+6=3x4+0x3- 7x2+0x+6

4) En todo polinomio se cumple que la suma de coeficientes, se obtiene reemplazando a la variable con los cuales se esta trabajando por la unidad (1).


P(x) = 5x4- - 2x3 + 6x2 + 3x + 9 Ţ

Σ de coeficientes: P(1) = 5(1)4-2(1)3+6(1)2+3(1)+9

P(1)= 5(1)-2(1)+6(1)+3+9 = 21

5) En todo polinomio completo se cumple que el término independiente (T.I), se obtiene reemplazando a la(s) variable(s) por cero.


Q(x) = 8x3-4x2+5x+2

T.I. Q(0)=8(0)3 –4(0)2+5(0)+2 = 2

6) Para la notación de un polinomio no necesariamente se usa P(x); también se pueden usar otras letras como por ejemplo:

F(x)=2x3-5x2+3x-1 ó R(x) = 2x3-5x2+3x-1

2.3.3 POLINOMIOS HOMOGÉNEOS: Son aquellos cuyos términos monomios tienen igual grado.

Ejemplo:

3x2y5–5x3y4 – 8xy6

2.3.4 POLINOMIO HETEROGÉNEOS: Son aquellos cuyos términos monomios tienen diferente grado.

Ejemplo:

2x3y6z4 – 11x7y5z4 – 8x6y3z5

21

Número de término = Grado del Polinomio+1

# de términos = 5+1=6

(Grado .de ¿ ) ¿¿

¿¿

A=p B=q C=r


2.3.5 POLINOMIOS IDÉNTICOS: Dos polinomios reducidos son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales.

Ejemplo:

Si: Ax4+ Bx2 + C¿ px4 + qx2 + r

Se debe cumplir que: ;

Ejemplo: Si se cumple la siguiente identidad

3(x+5) = a(x+1)+b(x-2), hallar el valor de “a” y “b”Resolución:

PRIMER METODO

3(x+5) ¿ a(x+1) + b(x-2)

Efectuando los productos indicados, se tiene: 3x + 15 ¿ ax + a +bx +2b

Agrupamos términos en el Segundo miembro:

3x + 15 ¿ (ax+bx) + (a - 2b)

3x + 15 ¿ (a + b)x + (a – 2b)

Por ser idénticos:

i) a+b= 3 ⇒ …(I)ii) a – 2b = 15

Reemplazamos (i) en (ii)

i) ( 3-b) – 2b =15

ii) 3 – 3b = 15 ⇒ -3b=12

∴ Reemplazamos el valor de b = -4en (I):a=3 – (-4)a = 3+4 ⇒ ∴

SEGUNDO METODOPor ser una identidad, podemos darle valores numéricos a la variable 2x”; estos valores tienen que ser dados en forma conveniente, de modo que sea fácil el cálculo, veamos:

Si: 3(x + 5) ¿ a(x + 1) + b( x – 2) 3(2 + 5) ¿ a(2 + 1) + b( 2 –2)

0

21 ¿ 3a ⇒

Si:

3( x + 5) ¿ a(x + 1) + b ( x – 2) 3(-1 + 5) ¿ a(-1 + 1)+ b (-1 –2)

3(4) ¿ -3b 12 ¿ -3b ⇒

Luego: Los valores de a y b son: -4 y 7 Respectivamente.

2.3.6 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:

Un polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de todos sus términos son nulos o ceros.Ejemplo: Si: Ax5 + Bx3 + Cx2 +D ¿ 0

Se debe cumplir que:

Ejemplo: Si el polinomio: (b - 6a)x3 – (2a-1)x2 + (2b – 6) ¿ 0,

Es idénticamente nulo. Hallar el valor de “a” y “b”

Resolución:

El polinomio: (b - 6a)x3 – (2a-1)x2 + (2b – 6) ¿ 0

Por ser idénticamente nulo, se debe cumplir que:

i) (b-6a) = 0 ⇒ ……..(I)

22

NOTA:Sólo en polinomios idénticos podemos asignarle cualquier sistema de valores a la variable o variables con las cuales se esté trabajando y obtendremos el mismo valor numérico en ambos miembros veamos:

b= -4

A=B=C=D=0

b=6a

a=1/2

a=3-b

b = -4

a = 7

X = 2

a = 7

x = -1


ii) (2a-1) 0 ⇒ 2a = 1∴

iii) 2b – 6 = 0 ⇒ 2b = 6∴

2.3.7 EJERCICIOS I

1) Ordena respecto a “X” cada polinomio siguiente:

* En forma creciente:

a) 5x4 - 2x2 + x6 + 3x + 9

b) 12x2y3 + x4y4 + 6x5y6 - 5xy2 + 1

c) –0,6x6y + 0,2xy2 + 6x3y + 8

d) –X5 + X2-X4 + X + 6

e)

13x+ 2

5x6−5x5+ x2+2

* En forma Decreciente:

a) 3x2 + 7x - x6 + 18x4 - 9

b) 2ax3 + 6ax5 - 3x2 + 2ab

c) x6y – x + 7 - 3x2y3 + x7y

d) √2x3 yz 3+√3 x2 y2 z−x5 yz 45

e)

27x3 yz8+ 1

5xy 3 z6+x5 yz 3−x2

2) Dado los siguientes polinomios: Ordénalos y complétalos respecto a la variable “x”

* En forma creciente:a) 6x2 + 2x3 - 10

b) 3x4 – x + 6 + 5x3

c) 4x5y + 6x2y3 - 2x + 8

d) 0,5xy2 - 0,4x4y + 11

e)

23 x4y + 5x6y2 - 3x2y3 + 6

* En forma Decreciente:a) 2x5 - 3x3 + 16 - 5x

b) 10x7 - x2 + 8ax5 + 5x4 + 2

c) 2x6 + x5 -

13 x2y

d) –ax3y + 5xy6 + 6x4y5 + x

e) –x2 + 13 + 9x4 = x8

3) ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio:

P(x) = x2n-1+x2n-2+x2n-3+……x3+x2+x+1

a)2n b)2n+1 c)3n d)2n+1 e)n

4) Si: P(x+y) = √5xm -

34 xmyn+1y16-n

Es un polinomio homogeneo. Hallar el valor de “m+n)

a) 8 b)1 c)7 d)16 e)6

5) Hallar el valor de “M” si el polinomio:P(x+y) = 2x2m-5y4n + 3x2m-4ny3 + x4y9 Es homogéneo:

a)5 b)13 c)7 d)8 e)N:A

6) Calcular “M” y “n”; para que el polinomio :

Q(x;y) = x2(m+n)ym+4-x3m+n+1+y2n+1+xn+5y2m+3n, sea su homogéneo.

a)5y2 b)6y3 c)4y1 d)7y3 e)6y2

7) Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

P(x;y;z)=axn5+7 y2n2+3+bx2n2+17 y25+ xa yb

a)50 b)42 c951 d)a+b e)48

8) Hallar el valor de : (a+b)b-a si el siguiente polinomio: R(x;y)= xa+b+3xby2a-3-xay3b-10+5y3b-7 es homogéneo a)4 b)8 c)16 d)32 e)64

9) Calcular la suma de coeficientes del polinomio Q(x,y) = nxn+5 + 3xnym + mxm+3Si es homogéneo a)10 b)11 c)12 d)13 e)14

10) Si el polinomio: M(x)= xm10+5xm-n+5+2xp-n+6 ; es completo

y ordenado en forma descendente.Halla el valor de “m+n+p”

a)38 b)28 c)26 d)25 e)36

11) Calcular el valor de “a” en el siguiente polinomio completo y ordenado en forma ascendente:

Q(x) = xa+b + 3xb+c - xc+d + xd+1

A) 0 b) 1 c) 2 d)3 e)-1

23

b=3


12) Si el polinomio

P(x)= xb-1 + xa+c + xa+b + xc+d Es completo y ordenado ascendenteCalcular “ a+b+c+d ”

a)1 b)-1 c)2 d)3 e)-1

13) Si se cumple la siguiente identidad2x+27 = m(x+3) –n (x-4) ;Hallar los valores de “myn”

a))4 y 12 b)5 y 3c)6y4 d)5 y-3 e)4 y 1

14) Si: 2x2+5x-1= (Ax+B)(x-1)+C(x2+x+1)Calcular ; “a+B=C”

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

15) Si se cumple :(x+1)5+x+2=(x2+mx+3)(x3+2x2+x+1);Calcular el valor de “M”

a)2 b)3 c)-3 d)4 e)5

16) Si: a (x+b) + b(x+a) = 26+xHallar el valor de :

R=1a+ 1b

a)1 b)2 c)13 d)

113 e)

126

17) Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo :Q(X)=B(X2+X)-2AX2-3CX+C-A+1;

Calcular el valor de “M”

a)0 b)-1 c)-2 d)1 e)2

2.4 OPERACIONES CON POLINOMIOS

2.4.1 ADICION DE POLINOMIOS

1er. CASO: CUANDO LOS POLINOMIOS SON DE UN SOLO TERMINO (ADICION DE MONOMIOS)

Escribimos unos a continuación de otros, procedimientos luego a reducir los términos que sean semejantes:Ejemplos:

Efectuar la adición de:

20x2 y5 ; -16x4 y9 ; -18 x2 y5 ; 9x4 y9

Resolución:

(20x2y5)+(-16 x4y9)+(-18x2 y5)+(9 x4y9)20x2y5 -16 x4y9 -18x2 y5 + 9 x4y9

2x2 y5 – 7 x4 y9

2DO. CASO:CUANDO LOS POLINOMIOS TIENEN MAS DE UN TERMINO

Efectuar; P + Q + R Si: P(x)=4x3–5x2+7x–12 ; Q(x)=-8x2+6x3–2 y

R(x)=3x+10+x3

Resolución:

PRIMERA FORMA

Escribimos los polinomios uno debajo del otro, cuidando que los términos s

Semejantes queden alineados por columnas para luego reducirlos.

4x3 – 5x2 + 7x – 12 6x3 – 8x2 - 2 x3 + 3x + 10

11x3 –13x2 +10x – 4

SEGUNDA FORMA

Escribimos los polinomios uno al costado del otro con sus respectivos signos, procediendo luego a reducir términos semejantes.Así:(4x3–5x2+7x–12)+(–8x2+6x3-2x3)+(3x+10+x3)

4x3–5x2+7x–12–8x2+6x3-2x3+3x+10+x3

11x3-13x2+10x-4

∴P(x)= +Q(x)+R(x)=11x3-13x2+10x-4

Nota: Le llamamos opuesto de un polinomio, al mismo polinomio pero con todos los signos de sus términos cambiados así:

-15x4y9, su opuesto es: +15x4y9

6x-20y3, su opuesto es: -6x +20y3

4x2-5y+3z6, su opuesto es:-4x2+5y-3z6

24


2.4.2 SUSTRACCION DE POLINOMIOS

1) Efectuar: (-12x9y4)-(+6x9y4)

(-12x9y4)-(+6x9y4) = (-12x9y4)+(+6x9y4) = 12x9y4-6x9y4

= -18 x9y4

2) Dados los polinomios:

R(x)= 4x3-6x+2 ; S(x)= 4x3+9x-5Hallar: R(x) – S(x)

Resolución:Para hallar la diferencia pedida sumamos R(x) con el opuesto de S(x)

(4x3-6x+2)-(X2+9x-5)(4x3-6x+2)+(-X2-9x-5)(4x3-6x+2 - X2 - 9x-5)

Reduciendo términos semejantes:

4x3 - X2 -15x + 7R(x) = S(x) = 4x3-x2-15x+7

EJERCICIOS

1. Efectuar la adición de los siguientes polinomios :

a) 8x2-7x+12 ; -6+x2-10;-5+4x-2x2

B) 9 x3−5x2+8 ;−10 x2−4 x3+1; x3−6+9x2−4 xC) 5x8y2-9x3y4+10 ; -20+4x3y4-5x8y2 ;

16x8y2-5+x3y4

2. Efectuar la sustracción de los siguientes polinomios: (Luego de la palabra DE encontramos el minuendo y luego de la palabra RESTAR ubicamos el sustraendo.

A) De –8x4y7 Restar –5x4y7.B) De 6x3-8x2-5 Restar –6x2 +4x3 +7.

C) Restar 4 y5−2 y+ y2 De 5 y2− y+6 y5

D) Restar x2−7 x−20 De −2 x2+4 x−20

3) El resultado de sumar 9x2 –5x +10 con el triple de x2 –x + 1;es

4) Indicar el resultado de sumar el triple de

x3 –6x2 +8 con el doble de –5 +3x2 –x3.

5) Cuál será el resultado del cuádruple de la suma de x7-x4+ 2x2-8 con – x7+ x4 -x2 + 10

6) Señalar el exceso del polinomio:

12 x4−2x3+x2−7 x+9 sobre el polinomio :

8 x4−2 x3+3 x2−6 x−1.

7) Hallar: M(x) + N(x); si se sabe que : M(x) = 2 (x2 –5x + 7) N(x) = -10+ x(-x + 4)

8) De 8 x2−5xy−6 y2 restar la suma de

6 x2+4 xy−2 y2 con −9 x2−2xy+8 y2

9) ¿Cuánto le falta a 8−x4+6 y2para ser

igual a 6 y2+x 4−3?

10) Hallar: E = 5P(x)-2Q(x)

Si:

P(x)= 4 x2−6 x+8 Q(x)=95 –15x+ 10x2

11) El resultado de sumar 3x6-7x+4 con el triple de –x6+10x –1 ; es :

A) 5x3 + x + 14 B) –5x3 –x + 14 C) –5x3 +x + 14 D) –5x3 –x + -14 E) –5x3 +2x + 14

12) Indicar el resultado de sumar el doble de –4x3 –x+ 10 con el triple de x +x3 –2.

a. 5x3 + x +14b. –5x3 –x + 14 c. –5x3 +x + 14 d. –5x3 –x +-14 e. –5x3 +2x + 14

13)Señalar el exceso del polinomio : 16x5 – 4x3 +4x –8 sobre el polinomio 15x5-4x3 +4x –8 sobre el polinomio 15x5- 4x3 + 4x –9.

A) x5 – 2 B) x5 –1 C) x5 + 2 D) x5 + 1 E) x5

14)Hallar: P(x)+ Q(x); si se sabe que : P(x)= 3(-x2 +x –1 ) Q(x)= -2(x2 – x + 4)

25


A) –4x2 +9x –10 B) –6x2 -8x –11 C) –5x2 + 8x – 11 D)–5x2 -8x + 11 E) – 4x2 – 9x +10

15)Efectuar: A – B.Si se cumple que:

A (x ;y)= 8 x2+4 xy+10 y2

B(x ;y)= 4 x2+4 xy+9 y2

A) x2+ y2

B) x2− y2

C) 4 x2− y2 D) 4 x2+ y2

E) 6 x2+ y2

16)De 7 x2−5 y+10 restar la suma de 4x2 +2y con 3x2 –7y +12

A) –1 B) –2y C)-3 D) x2 E)-2

17)¿Cuánto le falta a 20 –14x3 para ser igual a

20 +14x3?

A) 0 B)x3 C)2x3 D)28x3 E)–28x3

18)Restar

5( x2−2x 4+1 )de −4 x4+5 x2+3 .

A) 3x4 – 5 B) –3x4 +8 C) 3x4+ 5 D) 6x4 –2 E) 6x4 –3

19)Hallar : P(x)+Q(x); si se sabe que :

P(x)= -12 + 5x –6x2

Q(x)= 13 + x (-5 + 6x)

A)1 B) x C) x3 D) x3 E) 2x3

20)¿cuánto hay que restar de: 16x5 - 8x3 + 10xPara obtener 10x-9x3+16x5

A)0 B)X C)X5 D)X3 E)-2X3

2.4.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

1er. CASO: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS DE UN SOLO TERMINO (MONOMIO)

Ejemplo:

1) Efectuar : (-5x10)(+7x4) = -35x14

2) Efectuar

(−3√2 x5 y2 )(−8 √2 x9 z7 )(+5 x8 y4 )240 x22 y6 z7

2do. CASO: MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR POLINOMIO.Ejemplo:

Efectuar: (−6 x2 y7 )(−4 x5 y3+xy 9−8 x3 y ) .Resolución:

(−6 x2 y7 )(−4 x5 y3+xy 9−8 x3 y ) 24x4 y10-6x3 y16 +48x5 y8

3ER CASO: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS EJEMPLO: ( x2 – 3x + 2 ) ( 4x – 5 )

RESOLUCIÓN: PRIMERA FORMA:

( X2−3 X+2)( 4 X−5)=8x3−5 x2

−12 x2+15 x+8x−10 =8x3−17 x2+23 x−10

SEGUNDA FORMA

EJERCICIOS

1.- Efectuar las siguientes multiplicaciones de monomios:

A) (8 x12y

5 )(−6 x7 y3 )

B)(+4a2bc8 )(−10a6b10)

C)(−5√7 xy 2 z3 )(+8 x7 yz 4 )(−√7 x4 yz6 )

2.- Efectuar las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios:

A) (6x4) (10x3 – 5x6 + 9)

26

x2 – 3x+ 2 4x - 5 4x3 –12x2 +8x - 5x2 +15x -10 4x3 –17x2 +23x -10

ReduciendoTérminos Semejantes


B) (3a5 b2 )(−9ab10+5a6b−7a4b5)

C) (−√2 x13 y7 )(2 xy4−√2 x6 y9−1)

3.- Efectuar las siguientes multiplicaciones de polinomios:

A) ( x2 –6x +1) (5x - 2) B) (3x2 –4x +2) (4x -1) C) ( x + 6) (x3 – 2x +5 ) D) (8x3 –x2 + 5x +2)(x2 +6x-1)

4.- Efectuar las operaciones indicadas:

S=( x−2 y )( x2+ y2 )−( x+2 y )( x2− y2 )

5) Reducir:

E = ( x2−x+1 )(x+1 )−( x−1 )( x2+x+1)

6) Simplificar:

P=( x2−1 )( x2+2)+( x2+1)( x2−2)

7) Si se sabe que:

A = ( x2+x+1)( x+1)

B =( x2−x+1 )(x−1)

Calcular : A –B –2 .

8) Obtener la expresión reducida de :

M=7x( y+z )−7 y (x+z )−7 z (x+ y )

9) Indicar el término cuadrático al multiplicar :

( x3−4 x2+x−1)(2x+1 )

10) Indicar el mayor coeficiente que se obtiene , al reducir :

( x2−5 x+2 )( x−3)+4( x2−x+1 )

11) Efectuar:

E = (x2 – 4x + 2) (x + 3) –x(x2 - x) –6

a) 4x b) 2x2 c) 6 d) –10x e) 8

12) Reducir:

M = ( x+4 )(2 x−1)−(2 x+5 )( x+1)

a) 0 b)–1 c)–x d)–9 e) –6x

13) Efectuar:

R= 5( x−1)(2 x+3)+15−5 x

a)8 b)6x c) 10x2 d)–4 e) –5x

14) Simplificar:

P= 2( x2−9x+4 )−( x+1 )(2 x−3 )+17 x

a) 4 b) 8 c) 11 d) x e) 2x 15) Reducir:

E= ( x2−5 )( x2+7 )−( x2+4 )( x2−2)

a) –27 b) 43 c)–36 d)–18 e)–25

16.- Hallar el Término lineal, al efectuar:

( x3−5x2+4 x−1 )( x+4 )

a)18x b)14x c)15x d)13x e) 10x

17.-Obtener la expresión reducida de :

E= -4z (x+y) +4x(y + z) – 4y (x+z)

a)0 b)2xy c)–4xz d)–8yz e) –10xy

18) Indicar el mayor coeficiente que se obtiene al efectuar operaciones en:

P= ( x2−6x+5 )( x−10 )+3 ( x3−5 x2+4 )

a) 38 b) 65 c)2x2 d) x2 e) –4x2

19) Hallar el término cuadrático al efectuar:

( x3−x2+6 )(x−2)

a) 6x2 b)4x2 c) 2x2 d) x2 e) –4x2

20) Efectuar:

(2x3 –x +8)(x2 + x +1)

e indicar el coeficiente del término cúbico

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2.4.4. DIVISION DE POLINOMIOS

1er. CASO DIVISIÓN DE POLINOMIOS DE UN SOLO TERMINO (Monomios)

1) Efectuar: 24x6¿ (-4x3)= 6x3 2) Efectuar: (-45x5y6z3) ¿ (-9xyz) = 5x2y2z2

27


3) 5x4y5¿ -6x4 =

−56 y4

2Do. CASO DIVISIÓN DE POLINOMIOS DE UN MONOMIO

1) Efectuar 3a3 – 6a2b + 9ab2 ¿ 3ª(3a3 – 6a2b + 9ab2) ¿ (3ª)= a2-2ab+3b2

2) (a+b+c) ¿m =

am -

bm +

cm

3) 4m5-5mx-3mx2¿ 2m

= 2m4 -

52 x -

32 x 2

3 Er. CASO DIVISIÓN DE POLINOMIOS

1) Dividir 3a2 + 2a - 8 entre a + 2

3a2 + 2a - 8 a + 2 -3a2 -6a 3a-4

-4a - 8+4a + 8

2) Dividir: 28x2 – 30y2 – 11xy entre 4x-5y

28x2 – 11xy -30y2 4x-5y- 28x2 + 35xy 7x+6y

24xy –30y2

- 24xy +30y2

EJERCICIOS

A. DIVIDIR:

1) -5a2

entre – a

2) 14a3

b4

entre -2ab2

3) –a3

b4

c ¿ a3

b4

4) –a2

b ¿ - ab

5) 54 x2

y2

z3

¿ -6xy2

z3

6) -5m2

n ¿ m2

n

7) - 8 a2

x3

¿ 8a2

x3

8) – xy2

¿ 2y

9) –a8

b9

c4

¿ 8c4

10) 16m6

n4

¿ 5n3

11) -2m2

n6

¿ 3mn6

12) ax ¿ a2

13) ( 5m

bn

c ) ¿ ( -6 a3

b4

c )

14) ( ax

bm

) ¿ ( -4 am

bn

)

15) ( -3m8

nx

x3

) ( -5mx

n2

x3

)

16) ( 12 x5

y2

) ¿ ( 3x2

y )

17) ( 22 x3

y4

) ¿ ( 2x5

y3

)

18) ( 30 x6

y3

z ) ¿ ( -5x3

y z )

19) (-42 a3

b4

c2

) ¿ ( 7a3

b2

c)

20) ( 55x6

y7

z t8

) ¿ ( -5x4

y2

z t3

) B. DIVIDIR:

1) ( a2

– a b ) ¿ a

2) ( 3x2

y3

– 5a2

x4

) ¿ ( - 3x2

)

3) ( 3a3

– 5ab2

6a2

b3

+ ( - 2a ) 4) ( x – 4x + x ) ( x )

5) ( 4x6

– 10x6

– 5x4

) ¿ ( 2x3

)

6) ( 6m3

– 6m2

n + 20 mn2

) ¿ ( - 2m )

7) ( 6ab – 3a6

b6

– a2

b3

) ¿ ( 3a2

b3

)

8) ( x4

– 5x3

– 10x2

+ 15x ) ¿ ( - 5x )

9) ( 8m9

n2

–10 m7

n4

– 20m5

n8

+

12m3

n8¿ ( 2m

2 )

10) ( a – a ) ¿ ( a2

)

11) ( 2am

– am−2

+ 6am+4

) ¿ ( -3 a3

)

12) (xm+2

– 5xm

+ 6xm+1

– m+1

)¿ (xm+2

)

13) 3x3

– 6x2

y + 9xy2

¿ 3x

14) m3

+ 6m2

– m ¿ m

15) 4a – 12a + 16 a4

¿ ( 4 a3

)

16) 7x3

y4

+ 14 a3

x 5¿ - 7x

3

17) 10y4

+ 4y3

– 12y2

+ 8y ¿ - 2y

18) X + x – x ¿ x2

19) 4m – 6m + 8m ¿ -2m5

20) 15x – 12 y + 9z ¿ 3

C. DIVIDIR

1. ( a2

+ 2a – 3 ) ¿ ( a + 3 )

2. ( a2

– 2a – 3 ) ¿ ( a + 1 )

3. ( x2

– 20 + x ) ¿ ( x + 5 )

4. ( m2

– 11m – 30 ) ¿ ( m – 6 )

5. ( x2

+ 15 – 8x ) ¿ ( m – 6 )

6. 6 + a2

– 5a entre a + 2

7. ( 6 x2

– xy – 2y2

) ¿ ( 3 – x ) 28


8. -15x2

– 8y2

+ 22xy ¿ 2y – 3x

9. 5a2

+ 8ab – 21 b2

¿ a + 3b

10. 14x2

– 12 + 22x ¿ a + 3b

11. -8a2

+ 12ab – 4b2¿ b –a

12. 5n2

– 11mn +6m2

¿ m – n

13. 32n2

-54m2

+ 12mn ¿ 8n – 9m

14. -14 y2

+ 33 + 71y ¿ 3 – 7y

15. X 2

+ 11x -30 ¿ x – 6

16. m2

– 2m + 3 ¿ m - 1

17. X 2

+ 2x – 3 ¿ x – 3

18. 14 a2

+ 12 – 22a ¿ 7a – 3

19. -8x2

– 12 xy + 4y2

¿ y - a

20. 5b2

+ 11ab – 6a2

¿ a – b2.5 GRADO 2.5.1. CONCEPTO DE GRADO:

Es aquel exponente numérico ( no variable ) entero no negativo que afecta a una variable tomada como base.

2.5.2. CLASE DE GRADO:A) Grado Relativo (GR) toma en

consideración solo a una de las variables.

B) Grado Absoluto (G.A) tomado en consideración a todas las variables a la vez.

2.5.3. GRADO DE UN MONOMIO

A) Grado Relativo (G.R) Está indicado por el exponente de la variable al cual se

hace mención .Ejemplo:

Dado el monomio 2x5 y3

Grado relativo respecto a la variable “ x” es 5 Grado relativo respecto a la variable “y” es 3

C) Grado Absoluto (G.A) Se determina sumando los grados relativos de sus variables.

Ejemplo:

El monomio: - 7x5 y2

Grado absoluto del Monomio 5 + 2 = 7

2.5.4. GRADO DE UN POLINOMIO

A) Grado Relativo (G.R) está indicada por el mayor exponente que afecta a la variable en uno de los términos del polinomio.Ejemplo:

Dado el polinomio:

2 x2 y4−9 x2 y5+2 x4 y5

Grado relativo con respecto a la variable “X” es 4 Grado relativo con respecto a la variable “y” es 5

B) Grado Absoluto (G.A) Se determina al mayor grado que posee uno de los términos del polinomio.

Ejemplo: Dado el polinomio

3 x5 yz2⏟8 -

8 x3 y7 z⏟11 -

9 x3 y5 z5⏟13

Grado del polinomio 13EJERCICIO

1. Halla:

I) El Grado Relativo de cada polinomio; respecto a la variable “x”II) Halla el Grado Absoluto de cada polinomio.

a) 3x6 + 6x4 + 3x2 + 5

b) 2xy3+

52 x2y3+4x4y-2

c) –3ax2y-8axy3+16x3y2

d) 9bx3y4-7b3x2y3+2x4y3

e) √2x3 y 2z−x4 y3 z2+8

f) −8 x3 yz+6 x4 yz6−x2 y3 z4

g)

34

x6 y3 z2+ 12x3 y4 z−x4 y2 z3

h) 2xayb-6x2a+1yb-2+3x2a+1yb+1

i) √ 32 xa-1ya+2+4xa+2y2a-1+xa-3ya-4

j) 9xyza-7xayz2-3xyaz4+6

PROBLEMAS

1. Hallar m si el siguiente monomio es de segundo grado:

-53√3 xm−4

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

2. Calcular a si el término: 8,85x3ay2 es de grado 11.

29


a) 5 b) 4 c) 3 d)2 e)1

3. Calcular el coeficiente del siguiente monomio, sabiendo que es de octavo grado.

M(x;y) = 15a2xa+1y2

a) 375 b) 225 c) 175 d)155 e)215

4. Obtener “m . n”; si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a “y”, y de sexto grado respecto a “x”.

−14√2xm+1 y n+7

a) 10 b)14 c)21 d)3 e)8

5. Proporcionar “m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10.

P(x) = 5 + 8xm-4 – 6xm+3

a) 7 b)4 c) 7 d) 3 e)5

6. Hallar : “p” en: 5xp-2y2p-1z3p-12

de modo que su grado sea 5p –6

a) 8 b) 9 c) 7 d) 10 e) 11

7. Hallar: (m+n) si el polinomio adjunto es de grado 8 respecto a “y” y de tercer grado respecto a “x”

P (x,y) = -5m-2+2xmyn-3-

15 xm+1yn-2

a) 9 b)12 c)11 d)17 e)15

8. Calcular el valor de “a” si el término algebraico: 3x2a-1y6 es de grado 15

a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e)8

9. Determinar el valor de “K”, de manera que la expresión:

√ xk−1 .3√x2 k

es de segundo grado

a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6

10. La expresión: E =

(x5+3 ) (x2−2 )(x2−1 ) (x4 ) ; es de

grado.

a) 1 b)2 c) cero d) 3 e) 6

11. Hallar el grado de:

P(X) = 6x5 .

5√ x8 .3√x2 .√x8

a) 3 b)2 c) 5 d) 8 e) 7

12. Hallar: mn, si el monomio:

M(x;y) = 5m+nxm+2ny3m+2n

Es de G.A. = 24 y G.R.(x) = 8

a) 24 b) 32 c) 42 d) 35 e) 4613. En el polinomio:

P(x;y) = xmyn-1-3xm+1yn+5xm-2

yn+2+4xm+3yn+1

El G.R. (x) = 12 y G.A = 18 Hallar el grado relativo a “y”a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

14. Hallar el valor de a, si se sabe que el siguiente monomioes de sétimo grado respecto a “x” y de quinto grado respecto a “y”.

-28x5a-byb+2

a) 2 b)3 c)4 d)-2 e)-5

15. Calcular el coeficiente del siguiente monomio sabiendo que es de quinto grado

P(x;y) = 6ª2xa-7.y3a

a)28 b)54 c)45 d)36 e)27

16. EL coeficiente del monomio : P(x;y) = 3mx8-m.ym2m;

es igual al grado de “x”. Hallar el grado relativo a “y”.

a) 4 b)8 c) 16 d) 256 e) 1024

17. El grado absoluto de: P(x;y)= (m-n2) xmy2n, es 12; el grado relativo a “y” es 8. Hallar el coeficiente de P(x;y)

a) 4 b) –4 c) –12 d) 8 e)cero

18. Calcular el valor de: b2-3a, si el monomio:3xa+b-2,Y2b+a; es de grado 3 respecto a “x” y de G.A.=11

a)4b)-3 c)2 d)3 e)5

19. Encontrar el coeficiente del siguiente monomio; Si:

30


G.R.(x) = 10; G.R.(y) = 5

Q(xy) =

203 ( ab ) x2a+b y3 a−4

a) 10 b)5 c)8 d)10/3 e)5/2

20. ¿Cuál es el G.A. del polinomio P(x,y) = 7x2m-3-3x2m-1y3n-yn+2

Si: G.R. = 11 ; G.R. (y) = 17

a)18 b)121 c)23 d)26 e)28

3. PRODUCTOS NOTABLES ( P.N.)(Identidades Algebraicas)

3.1 Definición: Son los resultados de ciertas multiplicaciones de polinomios de forma conocida. Estos resultados se obtienen en forma directa, sin efectuar la multiplicación.

3.2 Principales Productos Notables

3.2.1 CUADRADO DE UN BIMOMIOEste producto notable se obtiene al elevar al cuadrado un binomio que puede ser de la forma:( a + b)2 o (a – b) y su regla está dada por

la siguiente relación:

(a±b)2 = a2 ± 2ab +b2

T. C. P.

Demostración:

Para ( a + b) 2

Por definición de potenciación:( a +b)2 = ( a + b) ( a + b)Efectuemos el producto indicado de los binomios( a + b) ( a + b) = a2 + ab +ab + b2

= a2 + 2 ab + b2

Regla: (a + b)2 = a2 + 2ab +b2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo:

a) ( y + 2)2 = y2 + 2 (y) (2) + 22 = y2 + 4y + 4

b) ( 2/5 x + 1)2 = ( 2/5 x)2 + 2 ( 2/5)2 (1) + 12

= 4/25 x2 + 4/5x + 1

31


Regla. (a – b) 2 = a2 – 2 ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos término es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo:a) ( x- 7)2 – 2 (x) (7) + 72

= x2 –14x+49

b) (m2-3n)2 = (m2) 2 – 2 (m2) (3n) + (3n) = m4 - 6mn + 9n2

Nota: A veces hay confusión cuando tienen que hallar el cuadrado de una diferencia que pertenece a esta forma:

A) (-a – b)2

Es fácil demostrar que (-a – b)2 es igual a (a + b) 2

Como veremos:(-a – b)2 = [ -a ( a + b) ]2

= (-1)2 ( a + b) 2

= 1 ( a + b)2

Por lo tanto:

(-a – b)2 = ( a + b)2

Ejemplo:

(-x-4)2 = [ -1 ( x + 4) ]2

= ( -1)2 ( x + 4)2

= 1 ( x2 + 8x +16

Por lo tanto:

(-x-4)2 = ( x + 4 )2

= x2 + 8x + 16

B) (a-b) 2 = ( b – a)2

Ejemplo:

(x- 8)2 = x2 -16x +64 (8 – x) = 64 – 16x + x2

EJERCICIOS

Efectuar los siguientes binomios al cuadrado

1. (z + 2)2

2. (x – 3)2

3. (2m + 1)2

4. (3m2 – 5)2

5. ( a + b2) 2

6. ( c2d3 – y)2

7. ( 3c + 5m2)2

8. (2x3 – 3y2) 2

9. ( 2x – 3y2)2

10. ( 1/6x – 3y2)2

11. (1/5 y3 + ½)2

12. ( ¾ b2c –2y)2

13. (0,3 am2 – 0,4 x4)2

14. (0,2a3 - 3,2 a2)2

15. (0,3 a3 + 0,2b5)2

16. (1,2 a2 – 0,6 a x3)2

17. (√2x – y2)2

18. (√3 x2 +√2 y2 )2

19. (5x2 - √3 )2

20. (√5 y – y4)2

21. (-y-n)2

22. (5x + 1)2

23. (-m-x)2

24. (3x2 + 4ª)2

25. (2y – 3x)2

26. (√3 x +a)2

27. (√3 y – 2)2

28. (1/2 x y –3)2

29. (1/3 y – 2)2

30. ( ½ abc – 2)2

3.2.2 Diferencia a cuadradosEste producto notable es el resultado de efectuar el producto de dos binomios de la forma.

(a + b) (a – b) =

a2−b2⏟DC

Demostración:

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

(a + b) ( a - b) = a2 - ab +ab - b2

= a2 - b2

Regla: El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo:

a) ( x + 4) (x - 4) = x2 - 42 = x2 – 16

b) ( a3 –5) (a3 + 5) = (a3)2 – (5)2 = a6-25

c) (a +b +c) (a +b –c) = [(a + b) +c] [(a + b) –c] = (a + b) 2 – c2

32


= a2 +2ab +b2 –c2

d) (m +n +p) ( m –n –p) = m2 – (n + p)2 = m2 –( n2 + 2np +p2)= m2 – n2 –2np –p2

EjerciciosEfectuar las siguientes sumas por diferencia de dos binomios:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

1. ( a – 5) ( a + 5)

2. (6m2 – 2n) ( 6m2 + 2n)

3. (4xy - 2z2) ( 4xy + 2 z2)

4. (b5 d4 + 3) ( b5 d4 – 3)

5. (2- x7) ( x7 + 2)

6. ( c +

14 d) ( 3c5 –

14 d)

7. (3b5 +

12 y) ( 3b5 –

12 y)

8. (

18 c –

13 d3) (

13 d3 +

18 c)

9. (

ac2

2 +

13 ) (

ac2

2 –

13 )

10. (3,2bc +1,6) (3,2bc – 1,6)

11. (0,3n4 – 7n) (0,3n4 + 7n)

12. (0,3x3 + 0,8 y2) (0,8 y2 - 0,3x3 )

13. (1,2a7 – 2,5) (1,2a7 + 2,5)

14. (ax – by) (ax – by)

15. (√3x4 –1) (√3x4 +1)

16. (√2a4 –√3 ) (√3+(√2a4)

17. (b5 + 2√5 ) (b5 - 2√5 )

18. (n2 + 2n + 1) (n2 - 2n - 1)

19. ( x + y + z) ( x + y - z)

20. ( m – n –1) ( m – n + 1)

21. (x2 – 5x + 6) (x2 +5x - 6)

22. ( x3-x2-x) ( x3 + x2 +x)23. (2x2 – 5) (2x2 + 5)

24. ( 3x2 + 1) ( 3x2 - 1)

25. (5x3 –1) ( 1 + 5x3)

26. (

12 -x3) (

12 x3)

27. (

13 1/3 + x2) (

13 1/3 - x2)

28. (y3 + √3 ) (y3 - √3 )

29. (x5 + √7 ) (√7 - x5)

30. ( 2x3y2 – 4a2) (2x3y2 + 4a2)

3.2.3 CUBO DE UN BINOMIOEl Binomio puede ser de la forma

( a + b) ó (a – b)

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 +b3

Regla:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo término.

Ejemplo:

a) (m + 2) 3= m3 + 3(m)2(2)+3 (m) (2)2 + 23

= m3 + 6m2 +12m + 8

b) (x2 + 5)3=( x2)3+3( x2)2(5)+3(m)(5)2+(5)3 = x6 + 15x4 + 75x2 +125

(a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 -b3

Regla:

33


El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos s triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Ejemplo:

a) ( x-7)3 = x3 – 3 (x)2(7) + 3(x)(7)2 - 73

= x3 –21x2 + 147x – 343

NOTA:

(-a-b)3 = - (a + b)3

(-a-b)3 = [-1 (a+b)]3

= (-1)3 (a + b)3

= -1 (a + b)3

Ejemplo:

(-x-6)3=-1( x + 6)3

=-1[(x3+3(x)2(6) + 3(x)(6)2+(6)3 ] = -1 [x3 + 18x2 +108x +216] = -x3 – 18x2 – 108x –216

Otra forma de expresar el desarrollo del Cubo de un Binomio.

(a + b)3 = a3 + b3 + 3a b (a + b)(a – b)3 = a3 - b3 - 3a b (a - b)

Ejemplo:

(x + 5)3 = (x)3 + (5)3 + 3(x)(5) (x + 5) = x3 + 125 +15x (x + 5)

(x8 –1)3 = (x8)3 – (1)3 –3(x8)(1)(x8-1) = x24 –1 –3x8 (x8 – 1)

EjerciciosEfectuar los siguientes binomios al cubo:

1. (x + 1)3

2. (n - 2)3

3. (-x - 1)3

4. (x - 10)3

5. (4 - x)3

6. (-6 - x)3

7. (2a + 1)3

8. (a x -2y)3

9. (

12 x -2)3

10. (

12 a -c )3

11. (-y - an)3

12. (-5 –a2)3

13. (0,3c4 + 10)3

14. (0,2a3 – 0,3 b4)3

15. (0,5 a2 + 0,2 b2)3

16. (0,8 x2 – 0,10 y)3

17. (3√5 -

3√3 )3

18. (√3 x2 + √22 y2)3

19. (

14 x3 +

13 b2)3

20. (

12 cx2 + 2y2)3

21. (5 + √3x3y)3

22. (√5 y2 – y )3

23. (2y +2x)3

24. (3y + m2)3

25. (

12 a - m)3

26. (

13 x –a)3

27. (3√3x2 +1)3

28. (

12 a2 + 2m2)3

29. (2x2y – 2a)3

30. (3 + 3ab2c)3

3.2.4 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TERMINO EN COMÚN

Se simboliza: (a + b) ( a +c)

a,b,c representan términos algebraicos.

“a” es el término común

(a + b) ( a +c) = a2 + ( b + c)a + bc

El producto de dos binomios que tienen un término común consta de tres términos:

El 1° término, es el cuadrado del término común

34


El 2° término, es el producto de la suma de los términos no comunes por el término común.El 3° término, es el producto de los términos no comunes.

Ejemplo 1:

( x + 5) ( x + 2) = x2 + 7x +10 - 5 - 2 = +7 (5) (2) = 10

( x - 7) ( x + 3) = x2 – 4x –21 -7 +3 = -4

(-7) (+3) = 21

Nota.

(b –a) (c –a) = (a –b) (a –c)

(x – 7) ( x – 12) = x2 –19x +84( 7 –x) ( 12- x) = 84 – 19x +x2

Ejercicios I

Efectuar el producto de dos binomios de la forma (x + a) ( x + b)

1. ( x +2) ( x + 3)2. ( x – 5) ( x –2)3. (r – 3) ( r +7)4. (m + 3) (m-10)5. (x2 + 7) ( x2 + 2)6. (yn – 3) ( yn – 8)7. (ax + 4) ( ax –5)8. (by3 – 2) ( by3 + 3)9. (a2 – 3a) (a2 + 4a)10. ( h + 1,21) ( h + 0,8)11. ( s – 2,7) ( s + 0,7)12. ( r3 – 1,5) ( r3 + 4,5)13. ( t5x + 2,3) ( t5x - 10)

14. ( x +

12 ) (x +

23 )

15. (t2 –

25 ) (t2 +

34 )

16. (a – 5

3

) ( a +

12 )

17. (m3 +

56 ) (m3 –

34 )

18. (s + √5 ) (s + 3√5 )

19. ( t3 –2 √3 )( t3 –5√3 )

20. ( x + √8 ) ( x - 3√2 )

21. (x3 + 7) ( x3 –6)22. (a2b2 –1) (a2b2 +7)

23. ( x +

12 ) (x +

23 )

24. (3h + 2,5) (3h - 1,3)25. (2a2 – 3) ( 2a2 – 7)26. (ab2-2,8) (ab2 + 2,6)27. (m n – 6) (m n +1)

28. ( x +

13 ) ( x –

12 )

29. (3x + y) ( 3x – 5y)30. (8m + x) ( 8m – 3x)

EJERCICIO II

En los siguientes ejercicios operar de manera adecuada tratando de reducir los términos semejantes:

1. ( x + 8) + (x –4)2 2. ( x + 7)2 + ( x +10)2

3. ( x + 3)2 – ( x – 1) 2 + 74. ( x – 1)2 – ( x +6)2 + 55. ( x + 5)2 + ( x +8)2 + 26. ( x + 5)2 – ( x + 8)2 +87. ( x + 5) 2 – ( x +7)2 58. ( x + 4)2 +( x +7)2 + 59. ( x + 2 )2 ( x + 7)2 +310. ( x-2)2 – ( x + 7) 2 + 611. ( x + 2y)+ 5 ( x – 2y) -2x12. ( c +4)2 + 2 ( c-4)2+ 24c13. ( x + 7)2 + 3( x +7)2 – 40x14. (m + 8)2 – 2 ( 9 + 3x)2 – 19x15. (a –7)2 + ( a +7)2

16. ( x +16)2 + 2( 9+ 3x)2 + 217. ( x + 8)2 + 3 ( x-3) 2 – 19x18. (a - 7)2 + ( a +7)2

19. ( x +16)2 + 2 ( x –5)2

20. (6a + 5)2 + (6a - 5)2

21. ( x + 5) ( x- 5) ( x2 +1)22. ( a + 2) ( a –3) ( a- 2) ( a + 3)

PROBLEMAS

NIVEL I

1. Efectuar abreviadamente:

( 8√ x+1 )(8√x−1)(4√ x+1 )(4√x−1)+12. Efectúe operaciones, en:

[ (8√3+1) (4√3+1)(√3+1 ]×( 8√3−1 )

35


3. Efectuar:

(√3 + a) (√3 – a) ( 3 + a2)

4. En cuánto excede la expresión:

(√ x+1+1 )(√x+1−1)

a esta otra:.

(√ x−1+1)(√ x−1−1 )

5. Indicar la suma de cuadrados de la suma y la diferencia de

a = √3 y b = √5

6. Calcular la suma de cuadrados de la suma y la diferencia de

√2+√2y √2−√2

7. Calcular la diferencia de cuadrados de la suma y la diferencia de

√3+√2y √3−√2

8. Efectuar operaciones en:..( x +1)3 + ( x-1)3 –2x3

9. Luego de efectuar operaciones en la expresión: ( a + 1)3 – ( a-1)3 –6a2

Hallar su valor numérico:

Para.. a = 3√2+ 3√3

10. Se sabe que la suma de dos cantidades es 5 y el producto de las mismas es 9; calcule la suma de cubos de dichas cantidades.

11. La suma y el producto de dos cantidades son 6 y 21, respectivamente. Calcular la suma de los cubos de dichas cantidades.

12. La suma de dos cantidades es 6 y la suma de sus cubos es 72. calcular el producto de dichas cantidades.

13. Calcular el producto de dos cantidades si se conocen la suma y la suma de cubos, cuyos valores son 3 y 12 respectivamente.

14. Efectuar operaciones en:(2x + 2)2+(2x –3)2 +(3x +2)2+( 3x-2)2

15. Luego de efectuar operaciones en la expresión:( 1 + 3x)2 – ( 1 +5x)2 + ( 1 +4x)2

Calcular su valor numérico para:

X=

√3−14

16. Después de efectuar operaciones en la expresión:

( x2 + √3 )2–(x2 + √5 )2 + ( x2 + √2 )2

Indicar su valor numérico para:

A2 = 2 √5 – 2√3 - 2√2

17. Luego de simplificar la expresión:

(x +2)2+(x +3)2 + (x +4)2 +(x +5)2 – 28x

Dar su valor numérico para: x = √1,5

18. Efectuar las operaciones en la expresión mostrada:

(m + 1)3 – ( m + 2)3 + (m +3)3 – m3 –18m

Calcule su valor numérico para

m = √ 5−16

19. Indicar la verdad (v) o falsedad (f) de las siguientes proposiciones:

I. (√5 +√2 )2–(√10+ 1)2=-4

II. (√ x+1+1 )(√x+1−1)=xIII. (√5+√2 )2+(√10+1)2 = -4

IV. (√2+√8 )2–(√2 -√8 )2= 16

20. De las siguientes proposiciones que se muestran a continuación indicar cuántas son ciertas:

( x + a + b) ( x + a - b) ) x2 + a2 – b2

( a + b) ( a2 + ab +b2) = a3 + b3

( a + b) ( a2 +b2) (a-b)= a4-b4

( x +1) ( x +2) = x2 ++ 3x+2 (x+1) (x+2)=x2+2

Nivel II

1. Al efectuar y reducir:

36


( a +2) ( a +11) – 13a obtenemos:a) a2+22 b) a2-22 c) a2+11 d) a2-11 e) N.A.

2. Reduzca a su mínima expresión: ( 21-k)2 – 2k2 + (21+ k)2

a) 8l2 b) 5l c) 6l2 d) 6l2-2 e) 3l + 1

3. Calcule el valor de: x3 + y3 si; x+y =5 y xy = 2

a) 50 b) 65 c) 75 d) 95 e)N.A.

4. Marque la alternativa correcta si se nos pide simplificar:1+(l2 + 1) (l4 + 1)(l2 –1)

a) 3l b) l5 +1 c) l7 +1 d) l8 e) l8 + 1

5. Reducir:4√ (m10+1 ) (m5+1 ) (m5−1 )+1

a) m5 b)m10 c) m d) 4√m3

e) m

6. Sabiendo que: a2b2 – c2d2 = 96 y ab –cd = 4 entonces el valor de 3( ab + cd) es:a) 18 b) 24 c) 36 d) 72 e) N.A.

7. S = (y –2 ) (y + 1), T = ( y-7) (y-9)K = (S – T) + 65Entonces k2 es:a) 484y2 b) 225 y2 c) 400y2 d) 196y2 e)N.A.

8. A = (4x –3) ( 4x + 3), B = ( x + 7) ( x +13),E = (A + B) – ( 17x2 +20x)

Entonces ( E – 75)2 es:

a) 36 b) 25 c) 64 d) 49 e)N.A.

9. Si: E = (7x – 9) ( 7x + 9); F = (x-13) (x +7)

Entonces; (E –F) + ( -48x2) es:

a) 2( 5x + 3) b) 2 ( 3x +5) c) 2 ( x + 6) d) 2 ( x +5) e) N.A.

10. G )= (8-x) (12-x); H = (2x –9)2

Por tanto: ( G + H) + 56x –2 es:

a) 5 ( x2 + 35) b) 7( x2 +25) c) 5 ( x2 +14) d)7 ( x2 –10)

11. Si E = ( 5x +1)2 –10x F = ( 3x –2)3 + 54x2

Por tanto 2E + F – (50x2 + 27x3) es:

a) 7 (7x+1) b) 6 (6x –1) c) 5 ( 5x +1) d) N.A.

12. C = (2√5 –2x) ( 2 √5 + 2x) D = (x –1/2) (x +3)Entonces C +4D-2 es:

a) 2 (5x +6) b) 2 (4x +3) c) 2 (6x +1) d) N.A.

13. M = ( x + √5 ) ( x - √5 ); N = (x +9) ( x +15)

Por tanto el valor numérico de 2M + N, para x= -2 es:

a) 85 b) 89 c) 88 d) 83 e)N.A.

14. K = ( 2x-5) 2, S = 8 3x + 2); P = ( S- K) si: A = P – (18 + 5x2), entonces a ráiz de A = 43 es:a) 28 b) 32 c) 27 d) 35

15. G = ( x +8) ( x –14) + 6x H = ( x +4)3 – 48x por tanto 2G + H +160 es:a) 3x2 +8 b) 4x2 +10 c) 6x2 +12 d) N.A.

16. N = ( 4x –3)2 Q = ( 2x +5) ( 2x-5) +26 entonces: N + Q +24x es:a) 3x2 +8 b) 4x2 +10 c) 6x2 +12 d) N.A.

17. D = (-x-3)2 ; E = (-2-x)3 ; F = -( x3 + 7x2) por tanto ( D E) + F –17 es:

a) 18x b)( 16x + 1) c) 16x –2 d) 18x +1

18. S = 6( m-n)2 + 2mn C= -6 (m-7) (m-3) + 126 entonces S +C 6n2 es:a) 40mn b) 56m c) 58mn e) 60m

19. K = ( 4 – 3x2) ( a + 3x2)T = ( x –11)2 entonces K + t +( 19x4 –137 +21x) es:a) 2x4 – x2 –x b) 2x4 + x2 –x c) x4-x +x2 d)N.A.

20. S = ( x-) ( x-15) H = ( 3x – 2)2 por tanto:S – H + 8x2 + 12x es:

37


a) 131 b) x +130 c) x – 132 d) N.A.

4. FACTORIZACIÓN

4.1. INTRODUCCIÓNAl multiplicar polinomios operamos con factores. Obteniendo como resultado otro polinomio llamado producto.

( x+2)( x2 –2 x+4 )⏟Factores =

x3+8⏟Pr oducto

¡Ahora!Si operamos en sentido contrario, tendremos que:A partir del polinomio producto, hallamos la multiplicación indicada de factores; a este procedimiento le llamamos factorización de un polinomio es decir:

x3+8⏟Producto =

( x+2)( x2 –2 x+4 )underbracealignl Multiplicación . Indicada ¿⏟de. Factores ¿

¿

Estos factores deben ser factores primos.

FACTOR PRIMOEs aquel polinomio de grado diferente de cero, que es divisible por si mismo y por la unidad.

Ejemplo:x + 1 ; 1, x + 1x – 2 ; 1, x – 2x2 + 1 ; 1, x2 + 1

4.2 CONCEPTOFactorización es un procedimiento, mediante el cual un polinomio es expresado como el producto de sus factores primos.

4.3. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

4.3.1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚNEste método consiste en aplicar en sentido contrario la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.

Es decir, si esta propiedad se expresa así:a(b + c) = ab + ac

En sentido contrario tendríamos:ab + ac = a(b + c)

Donde a recibe el nombre de Factor Común:

A) FACTOR COMÚN MONOMIOEn este caso, todos los términos del polinomio dado tienen un factor común con las características de un monomio.

¿Qué se hace para obtener el factor común monomio?

38


Se “saca” el coeficiente común a todos los términos del polinomio. (MCD de los números) Se “saca” las variables comunes con su menor exponente. Luego se divide cada uno de los términos del polinomio, entre el monomio común. Los resultados se escriben dentro de un signo de agrupación.

Ejemplo:

Factorizar:a) ax + bx + cx

x es un factor común a todos, entonces:ax + bx + cx = x(a + b + c)

Factor común monomio

b) x6 y3 – x4 y5 + x2 y7

El factor común es x2 y3 es decir la letra x e y con su menor exponente:

x6 y3 – x4 y5 + x2y7= x2y3( )

¿Qué se escribe dentro del paréntesis?Para esto dividimos cada término del polinomio original entre el factor común x2 y3 con lo cual la expresión factorizada será:

x6 y3–x4 y5+ x2 y7

=x2y3 x4 – x2 y2 + y4)

Ejemplo:

Factorizar:c) 8x2 – 12x4 = 4x2 (2 – 3x2)

MCD del 8 y 12 = 4

d) xn + 3 + xn + 2 + 2xn + 1

El factor común es xn +1 xn + 3+xn + 2+ 2xn + 1= xn + 1 (x2 + x + 2)

B) FACTOR COMÚN POLINOMIO

Al extraer este factor común, procedemos en la misma forma que el factor común monomio, cuidando que el polinomio común este dentro de un signo de colección. (Paréntesis, llave, corchetes)

Ejemplo:Factorizar:

a) (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y)(x + y) esta como factor en cada uno de los términos luego:(x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) = (x + y) (a + b – 2)

b) a(x – y – z) – b(–x + y + z)Aparentemente no hay factor común pero, si factorizamos el signo a–x + y + z = –(x – y – z) entonces:a(x – y – z) – b [–(x – y – z)]a(x – y – z) + b(x – y – z)(x – y – z) (a + b)

c) a2 xn + 2 (b + c)2 + a3 xn + 1 (b + c)3

a2 xn + 1 (b + c)2 esta como factor común:= a2 xn + 1 (b + c)2 [x + a(b + c)] = a2 xn + 1 (b + c)2 [x + ab + ac]

d) a(x + 1) – x – 1Introducimos los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo –– x – 1 = – (x + 1)Entonces:a(x + 1) – (x + 1)(x + 1) (a – 1)

NOTA: Para cambiar de signo a un polinomio solo tenemos que encerrarlo en un paréntesis precedido del signo negativo. Así:

– a + b – c = – (a – b + c)

C) AGRUPACIÓN DE TÉRMINOSEste procedimiento se emplea en polinomios de cuatro o más términos. Se recurre a este método cuando todos los términos del polinomio no tienen factor común.La agrupación debe ser conveniente, de modo tal que se logre un factor común polinomio.

Ejemplo:Factorizar:

a) N = ax + az + bx + bz

39


Solución:Todos los términos no tienen “a” como factor común, pero si los dos primeros.Extraemos el factor común “a” a los dos primeros y el factor común “b” a los dos siguientes términos.

N = ax + az + bx + bzN = a(x + z) + b(x + z)N = (x + z) (a + b)

b) mx – m – x + 1

Solución:Agrupamos los términos de la siguiente manera:mx – m – x + 1m(x – 1) – (x – 1)

Sacamos Factor Común (x – 1):(x – 1) (m – 1)

c) ax + ay + az + x + y + z

Solución:Agrupamos los términos de la siguiente manera:ax + ay + az + x + y + za(x + y + z) + (x + y + z)Sacamos Factor Común (x + y + z):(x + y + z) (a + 1)

4.4. EJERCICIOS I

IVEL IA. Factorizar

01. 5x + 5y =

02. 9n – 9m =

03. 3y – 3a =

04. nx + ny =

05. 10x – 5y =

06. 18a + 9n =

07. 12y + 4 =

08. mx + my =

09. x2 + x2 y =

10. y3 + ny3 =

11. 9y2 – y3 =

12. a2 y – a2 m =

13. –2 – 4n =

14. –8 + 4n =

15. –6 – 12y =

16. –x2 y – 2x2 =

17. 4a + 20 =

18. 3y2 + 12y =

19. x + x2 =

20. ab – bc =

21. xy + xy2 – xz – xc =

22. mx + my – ma – mb =

23. x2 a – x2 b – x2 c – x2 d =

24. xym – xyn – xyw – xyz =

25. x4 y3 + x3 y5 – x6 y7 – x8 y10 =

26. m6 n4 – m5 n3 – m4 n2 =

27. 2x5 + 6x6 – 8x8 – 10x16 =

28. 27mx + 81mz + 54ma – 45mb =

29. 56x2y + 63x2 y3 – 49x2 y4 – 28x2 y6 =

30. a2 b2 c2 + a3 b3 c3– a4 b4 y4–a5 b5 c5 =

31. x4y5z6 – x3 y4 z5 – x2 y3 z4 – x6 y7 z8 =

32. 48x4 b5 –54x5b6 – 36x6 b5 – 66x7 b4 =

33. 25m6x8–30m8x10–35m12x6–40m18x10=

34. 40a10 – 56a14 – 72a18 – 88a22 =

35. 144a4b6 –96a6 b4 –60a8 b3–36a10 b2 =

36. 2x2 y – 8x2 y2 + 6xy2 =

37. 15x4 a3 + 20x3 a4 – 10x2 a2 =

38. 12n5m4–18n3m3–24n4 m2+ 30n4 m4 =

40


39. –7x3 y5 14x4 y5 – 21x5 y2 – 28x3 y3 =

40. 54a2 b3 – 45a3 b2 + 18ab4 – 36a4 b =

B. Factorizar

01. 5y (3x + 2) – 7x (3x + 2) =

02. 2a2 (b + 3c) – 6ab (b + 3c) =

03. (x + 3) (x – 1) – 3 (x – 1) =

04. 3a (x – 1) + 3b (x – 1) =

05. 10z (a + 1) – 15 (a + 1) =

06. 3 (a + b) + x (a + b) =

07. 5x (a – c) 10y (a – c) =

08. 2a (x – y) + 4b (x – y) =

09. a (b – c) – d (b – c) =

10. x3 (x + y – 5) – y2 (x + y – 5) =

11. h (n + 3r) – 2k (n + 3r) =

12. 2r (5x + 4a) – 9s (5x + 4a) =

13. 2a (c – 3h) + b (3h – c) =

14. 2z2 (x – 3y) + 8xz (x – 3y) =

15. 7a (x – 2y + 3z) – b (x – 2y + 3z) =

16. 2x (a + b – c) – (a + b – c) (x – 1) =

17. –2a (3h – k) – b (3h – k) =

18. (a + b)2 – 3x (a + b)3 + y (a + b)4 =

19. (x2–x+1)+8a(x2–x+1)–2b(x2–x+ 1)=

20. 3a(m+n + 1)–b(m+n+1)+m+n+ 1 =

21. x(r3 + 1) – y(r3 + 1) =

22. (1 – y) p – q(y – 1) =

23. –m(x3 + y) + y + x3 + 3nx3 + 3ny =

24. f(g + 2) + 2 + g =

25. e(e + 1) – e – 1 =

26. hx + h – x – 1 =

27. f3 (j – k + 1) – g2 (1 – k + j) =

28. 4y(a2 + x – 1) + 3p(x – 1 + a2) =

29. p(2f + g + h) – 2f – g – h =

30. (a + b)f + (a + b) – 3(f + 1) =

31. (j + 2) (j – 1) + 3q(j + 2) =

32. (m + n) (m – n) – (m – 1) (m – n) =

33. (z2 + 2) (x – y) – 2(x – y) =

34. 25z(m2 + 1) + z(m2 + 1) + (m2 + 1) =

35. (a+ b)a–(a – c) a – (a – c) + (a + b) =

36. (m– n + r)(g – 5)–(n – m – r)(g – 5) =

37. gf – g – 2y(f – 1) + 3f (f – 1) =

38. (m+1)(1 + 5f)+ 3(m + 1)–2f(m + 1) =

39. 3k(r – j)3 + f(r – j)4 =

40. m(k – r)5 + n(k – r)4 – 5l(k – r)2 =

C. Factorizar

01. ax + ay + by + bx =

02. ax + 2ay + 6by + 3bx =

03. xyz + axz – abx – bxy =

04. 4a2 – 4ax – ac + cx =

05. 5ax – bx + 5ay – by =

06. xy3 + 2y2 – xy – 2 =

07. x3 – 2x2 + 4x – 8 =

08. 4x2 + 20x – 3x – 15 =

09. 2a – 6 – ab2 + 3b2 =

10. 5x3 – 20ax2 – x + 4a=

11. 3x3 + 2xyz+ 2y2 z – 3xy2–2x2z–3x2 y =

12. 2xy – y – 2xz + z + 2x – 1 =

13. y2 + 3y + 4y + 12 =

14. 3y3 – 2y2 + 5y – 10 =

15. 3x3 + x2 – 18x – 6 =

41


16. 3mx – 2ny – 2nx + 6m + 3my – 4n =

17. 2ax – bx + cx + 2ay – by + cy =

18. a(x – 1) – b(1 – x) + cx – c =

19. 4xy3 – y2 – 12xyz + 3z =

20. mn4 – 5m2 n3 + 4m3 n2 – 20m4 n =

21. a2 + ab + ax + bx =

22. am – bm + an – bn =

23. ax – 2bx – 2ay + 4by =

24. a2 x2 – 3bx2 + a2 y2 – 3by2 =

25. 3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 =

26. x2 – a2 + x – a2 x =

27. 4a3 – 1 – a2 + 4a =

28. x + x2 – xy2 – y2 =

29. 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 =

30. 3a – b2 + 2b2 x – 6ax =

31. 4a3 x – 4a2 b + 3bm – 3amx =

32. 6ax + 3a + 1 + 2x =

33. 3x3 – 9ax2 – x + 3a =

34. 2a2 x – 5a2 y + 15by – 6bx =

35. 2x2 y + 2xz2 + y2 z2 + xy3 =

36. 6m – 9n + 21nx – 14mx =

37. n2 x – 5a2 y2 – n2 y2 + 5a2 x =

38. 1+ a + 3ab + 3b =

39. 4am3 – 12amn – m2 + 3n =

40. 20ax – 5bx – 2by + 8ay =

4.3.2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADESEste método se basa en los productos notables, es decir: si se nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen.

A) DIFERENCIA DE CUADRADOS

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Extraemos la raíz cuadrada de ambos términos (minuendo y sustraendo)

Luego escribimos la expresión factorizada como la suma por la diferencia de las raíces cuadradas halladas.

Ejemplo:Factorizar:

a) 9x2 – 16

Solución:Extraemos la raíz cuadrada a ambos términos.

√9 x2 = √9 √ x2

= 3x

√16 = 4

La expression factorizada sera:9x2 – 16 = (3x + 4) (3x – 4)

b) E = 16x4 – 81

Solución:Escribiendo la diferencia de cuadrados dada como la suma por la diferencia de sus cuadrados.

E = 16x4 – 81

√ √

4x2 9E = (4x2 + 9) (4x2 – 9)El primer factor (4x2 + 9) es primo: el segundo factor obtenido (4x2 – 9) no lo es:

E = (4x2 + 9) (4x2 – 9)

√ √ 2x 3E = (4x2 + 9) (2x + 3) (2x – 3)

NOTA: Al extraer raíz cuadrada de variables; aplicamos exponente fraccionario es decir:

42


n √am = a

mn

Por ejemplo:

√ x8 = x2 = x4

EJERCICIOS:En los ejercicios que no hay una diferencia de cuadrados, primero saca factor común.

A. Factorizar

01. a2 – b2 =

02. m2 – r4 =

03. a2 – 4 =

04. y2 – 9 =

05. 25 – x2 =

06. a2 – 16b2 =

07. r4 – 81 =

08. 1 – 25m2 =

09. 9m2 n4 – 1 =

10. 16x2 – 25y2 =

11. 36r2 s2 – 144x6 =

12. x2 y8 – 1 =

13. 9x2 – 4y2 =

14.

1 4 a4 –

1 9 b6 =

15.

425 x2 y2 –

1 4 a6 b2 =

16. x2 y8 – 64z4 =

17. x8 – (a – b)2 =

18. (b + 4)2 – 16 =

19. (2a + 3)2 – (3a + 2)2 =

20. 25(a – b)2 – 4(a + b)2 =

21. 4 – (2x + 3y)2 =

22. m4 – 16 =

23. (a – 2)2 – a2 =

24. x2n – y6m =

25. x4n – 4 =

26. 252x – n6y =

27. 5xy4 – 5xz4 =

28. 6x4 – 96z4 =

29. 5m4 – 80n4 =

30. x4n + 4 – r6m + 8 =

31. 9x2 –

125 =

32. 25x2 –

916 =

33. (x – 3)2 – 4y2 =

34. 16x2 – (y – 5)2 =

35. 4x2 – 9 (y – 4)2 =

36. 3x2 – 27(y – 4)2 =

37. 2n2 – 32(2n + 1)2 =

38. 8a2 – 18(3b – 2)2 =

39. 3m4 – 243 =

40. x2 z4 y6 – 1 =

B) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

√ √

a b

2ab

43


Se extrae la raíz cuadrada del primer y el tercer término del trinomio. Si el doble producto de las raíces de los

términos extraemos coincide con el término central, entonces se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Se separan estas raíces por el signo del

segundo término del trinomio. El trinomio así formado (que es la raíz

cuadrada del 1º y 3º término del trinomio) se multiplican por si mismo o se eleva al cuadrado ejemplo: (a + b)2 equivale a (a + b) (a + b)

Factorizar:

a) M = 4x2 + 12x + 9

√ √ 2x 3

2(2x) (3)

El polinomio M factorizado se escribe como el cuadrado de la suma de las raíces.

M = (2x + 3)2

b) N = x2 + 10xy + 25y2

√ √ x 5y

2(x)(5y)

N = (x + 5y)2

c) P = m16 – 2m8 t2 + t4

√ √ m8 t2

2(m8)(t2)

P = (m8 – t2)2

EJERCICIOS:

A. Factorizar

01. a2 + 2ab + b2 =

02. x2 – 2xy + y2 =

03. z2 + 4z + 4 =

04. n2 – 6np + 9p2 =

05. 25 + x2 y2 + 10xy =

06. 2abc +

1 4 a2 b2 + 4c2 =

07. 4a2 – a +

116 =

08. 4x2 – 12xy + 9y2 =

09. x2 – 6x + 9 =

10. 9m2 – 30mn + 25n2 =

11. 9t4 – 24t2 + 16 =

12. 1 – 8x + 16x2 =

13. 25a6 + 10a3 + 1 =

14. 1 + a10 – 2a5 =

15. x2n + 12xn + 36 =

16. x4n – 14x2n + 49 =

17. x4n – 2xn yn + y2n =

18. a2n – 12an + 36 =

19.

1 4 b4 +

1 5 b2 c2 +

125 c4 =

20.

1 9 r4 +

1 9 r2 s2 +

136 s2 =

21. (a + b)2 – 2(a + b) + 1=

22. (m – n)2 + 4(m – n) + 4 =

23. 4(a + b)2 – 12c (a + b) + 9c2 =

24. (x + y)2 – 2(x + y) (y + z) + (y + z)2 =

25. (3 – x)2 + 8(3 – x) + 16 =

26. 25 – 30 (2x – 3y) + 9 (2x – 3y)2 =

27. 16 – 8 (a + x) + (a + x)2 =

28. 16y2 + 72yz + 81z2 =

29. –2x2 + 24x5 – 72x8 =

30. 60x2 y5 – 12x4 y3 – 75y7 =

44


31. x2 + 25 + 10x =

32. 9a2 + 6ab + b2 =

33. 36x2 – 96xy + 64y2 =

34. 36a2 b2 – 36ab3 + 9b4 =

35. –40st + 16s2 + 25t2 =

36. 36m4 + 81n4 – 108m2 n2 =

37. 4x6 + 12x3 y2 + 9y4 =

38. 0,25x2 + 0,25x +

116 =

39. 625a2 + 225b4 + 750ab2 =

40. x2 y – 4xy + 4y =

C). SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Factorizar:

a) E = a6 + 125

Solución:

Raíz cúbica del 1º término.3√a6

= a6/3 = a2

Raíz cúbica del 2º término.3√125 = 5

La suma de estas dos raíces cúbicas constituyen el primer factor buscado.

E = a6 + 125 = (a2 + 5) ( )

El factor trinomio se calcula así:– Los términos extremos son los

cuadrados de los términos del factor binomio.

E = a6 + 125 = (a2 + 5) (a4 + 25)

– El término central es el producto de los términos del factor binomio con el signo cambiado.E = (a2 + 5) (a4 – 5a2 + 25)

b) F = 27x9 – 8y6

Solución:

Raíz cúbica del 1º término.

3√27 x9 =

3√273√ x9

= 3x3

Raíz cúbica del 2º término.3√8 y6

= 3√8

3√ y6 = 2y2

E = (3x3 – 2y2) (9x6 + 6x3 y2 + 4y4)

EJERCICIOS:Cuando no son cubos perfectos saque primero factor común.

Factorizar

01. a3 + b6 =

02. r3 – s9 =

03. m6 + n6 =

04. x3 – 64 =

05. (2a)3 + (3b)3 =

06. 8x3 – 27y3 =

07. 125a3 + 8b3 =

08. 8m3 n6 – 1 =

09. 216 + r6 =

10. a3 – 8 =

11. x6 + 1 =

12. 27 – x3 =

13. a6 b3 + 8c3 =

14. 64m3 – n3 =

15. 125a3 + 64b3 =

45


16. 3x3 –

3 8 =

17. z3 + 0,001 =

18. a3 – (a + b)3 =

19. 5y3 +

527 =

20. z6 – 0,125 =

21. x3 –

1

r3 =

22. 1 +

8

x9 =

23. x3 –

y3

64 =

24. 27 (x – y)3 – 8(x + y)3 =

25. (a + b)3 + (a – b)3 =

26. (a + 2b)3 – 125 (a – 2b)3 =

27. (x + 2y)3 + 1 =

28. (a – 3)3 – 27b3 =

29. r4 – 8a3 r =

30. a8 + 27a2 =

31. a4 c – ac4 =

32. 4t3 + 108 =

33. 8x6n – 27y3m =

34. a3n + b3n =

35. 8x3n y3m – 729y6m + 3 =

36. 27m3r + 3 + 64r6z + 9 =

37. x6 – x3 =

38. 8x6 + 27y3 =

39. x6 y12 – 1 =

40. (a + b)3 – 8c =

4.3.3. MÉTODO DEL ASPAA) MÉTODO ASPA SIMPLESi un polinomio no tiene las características de un trinomio cuadrado perfecto entonces podría ser factorizado por aspa simple.

Factorizar:

a) 6x2 + 11x + 4

Solución:

Descomponemos el término 6x2 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 6x2.

Descomponemos el término 4 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 4.Es decir:

6x2 + 11x + 43x 42x 1

Hallamos la suma de los productos en aspa de los cuatro términos hallados:

6x2 + 11x + 43x 4 8x2x 1 3x

11x

NOTA: 6x2 se puede escribir así (6x) (x), 4 se puede escribir (2) (2) pero ello no verifica el término central.

Como la suma coinciden con el término central tomamos los factores en forma horizontal.Es decir:

6x2 + 11x + 4 = (3x + 4) (2x + 1)

3x 42x 1

b) N = 18x4 + 5 + 21x2

Solución:

Ordenando el polinomio:N = 18x4 + 21x2 + 5

Descomponemos los términos extremos:N = 18x4 + 21x2 + 5 6x2 + 5 3x2 + 1

46


N = (6x2 + 5) (3x2 + 1)

c) R = 100x2 + 91xy + 12y2

Solución:

Cuando los términos extremos tengan muchos divisores es preferible colocar todas las posibilidades.

R = 100x2 + 91x + 12y2

25 10 20 50 100 6 4 12

4 10 5 2 1 2 3 1

R = (25x + 4y) (4y + 3y)

EJERCICIOS:

Factorizar

01. x2 + 9x + 18 =

02. x2 + 10x + 24 =

03. y2 + 5y – 24 =

04. m2 – 4m – 96 =

05. x2 – 8x + 12 =

06. x2 – 2x – 15 =

07. x2 – 3x + 2 =

08. m2 – 7m + 12 =

09. a2 – 2a – 8 =

10. z2 – z – 20 =

11. b2 – 9b + 18 =

12. x2 + 5x + 6 =

13. x2 + 7x + 12 =

14. d2 – 3d – 10 =

15. c2 – 2c – 35 =

16. d2 – 4d – 12 =

17. s2 – 10s + 16 =

18. x2m + 6xm – 16 =

19. s2x – 5sx – 14 =

20. x4n – 4x2n – 12 =

21. 4x2 – 12x – 7 =

22. 5x2 – 16x + 11 =

23. 6x2 + x – 35 =

24. 3x2 – 2x – 5 =

25. 5x2 + 6x + 1 =

26. 2x2 + 8x + 6 =

27. 35m2 – 24m + 4 =

28. 3y2 – y – 10 =

29. 6a2 – 7a – 20 =

30. 2x2 – 23xy – 39y2 =

31. 5n2 – 7n – 6 =

32. 20x2 + 43xy + 14y2 =

33. 18a2 + 9ab – 20b2 =

34. 21a2 – 10ab + b2 =

35. 8x6 + 7x3 – 1 =

36. 6a2n – 7an + 2 =

37. 10x2n – xn – 3 =

38. 3x2m – 8xm y2n + 5y4n =

39. 5x4n – 26x2n + 5 =

40. 3a4n – 10a2n – 8 =

47


4.4 PROBLEMAS

NIVEL I

IVEL IL I01.¿Cuántos factores tiene el siguiente

polinomio?

(a2 + bc)2 – a2 (b + c)2

02.Luego de factorizar el polinomio dado:

(3x + 8)3 + 8

Indique la suma de coeficientes del factor cuadrático.

03.Indicar el número de factores primos del siguiente polinomio:

3x8 + 6x5 + 3x2

04.¿Cuántos factores primos tiene el polinomio?

8x8 – 24x6 + 18x4

05.Indicar el número de factores primos de segundo grado que se obtienen al factorizar el polinomio: P(a, b) = a6 – b18

06.¿Cuánto hay que agregarle al polinomio x:

x2 + 12x + 24, para que su factorización sea (x + 6)2?

07.¿Qué cantidad se debe agregar al polinomio:

4x2 + 12x + 12, para que al ser factorizado resulte (2x + 3)2?

08.Si la factorización del polinomio: x2 + mx + n, es (x + 7)2; calcular los valores de m y n.

09.Sabiendo que la factorización del polinomio: x2 + xn + nm + mx, es (x + ) (x + ); calcule Ud. ( – mn)

10.¿Qué coeficiente deberá tener el término cuadrático en: x2 + 30x + 25, para que al

ser factorizado se transforme en: (5 + 3x)2?

11.¿Cuál deberá ser el coeficiente del término cuadrático en el polinomio: x2 + 24x + 18, para que al factorizarlo resulte 2(2x + 3)2?

12.Al factorizar el polinomio: 8x3 + 27, se obtienen como factores primos a:

(ax + b) y (cx2 + dx + e). dar como respuesta:

a + b – c + d – e

13.Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo del polinomio: (3x + 2y)2 + 8(3x + 2y) + 16. Hallar: a, b y c

14.Si la factorización del polinomio:

(4x + a)2 + (3x + 2b)2 + 2(4x + a) (3x + 2b) se puede expresar como: (x + a + b)2.

Hallar: + +

15.Factorizar el polinomio e indicar la suma de factores primos:

P(x) = 18x2 + 45x + 28

16.Luego de factorizar el polinomio, dar la suma de coeficientes de un factor primo:

21x4 + 59x2 + 8

17.Hallar la suma de los factores primos del polinomio que resulta de sumar los polinomios dados a continuación:

P(x) = 9x2 + 14x + 2

F(x) = 10x2 + 13x + 6

R(x) = 5x2 + 11x + 7

18.Factorizar el polinomio resultante de la suma de los siguientes polinomios:

P(x) = (x + 2) (x + 3) + x

F(x) = (x + 1) (x + 4) + x

19.Dar la suma de los factores que resultan de la factorización del polinomio (P + F), siendo:

P(x) = (2x + 3) (3x + 2) + 5

F(x) = (4x + 1) (x + 4) + 5

20.Si un factor del polinomio:

2x2 + 4xy + 2y2 + 5x + 5y + 3

es (ax + by + 3); calcular (a + b)

48


NIVEL IINIVEL II

01.Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:

72 + x2 – 17x

a) 72 b) 15 c) 9 d) –17 e) –9

02.¿Cuántos factores primos se obtienen al factorizar P(x, y)?

P(x, y) = 2x3 y – 5x2 y – 3xy

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

03.Uno de los factores que se obtiene al factorizar: (5x4 – 1) – (x2 + 3), es:

a) (x – 2) b) (x2 + 1) c) (x + 1)d) (x3 + 2) e) (2x + 1)

04.¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar: a3 bc – a2 b2 c – 6ab3 c?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

05.Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de P(x), si:

P(x) = 4x2 + x4 – 5

a) 1 b) 5 c) 3 d) 0 e) 4

06.¿Cuánto factores primos de segundo grado se obtienen al factorizar

9y6 + 26y4 – 3y2

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) NA

07.¿Cuántos factores primos de 3º grado se obtienen al factorizar?

2x6 y3 – 13x3 y3 – 24y3

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

08.¿Cuántos factores primos lineales se obtienen al factorizar: 4x4 y + 4y – 17x2y?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

09.Señalar uno de los factores de P(x), si:

P(x) = 8x8 + 65x5 + 8x2

a) (x – 4) b) (x + 4) c) (x + 1)d) (2x – 1) e) (x2 – 2x + 4)

10.¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar: x4 – 17x2 + 16?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

11.Señale uno de los factores de P(x), si:

P(x) = x3 (x3 – 20) – (6x3 + 27)

a) (x – 3) b) (x + 3) c) (x + 9)d) (3x + 1) e) (2x – 1)

12.De los polinomios mostrados, ¿cuál de ellos divide exactamente a P(x)?

P(x) = 9 + 4x4 – 37x2

a) (2x – 1) b) (2x + 1) c) (x + 3)d) (x – 3) e) Todos

13.Factorizar:

P(x) = 8x6 + 19x3 – 27

a) (x – 1) (x2 + x + 1) (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)

b) (x – 1) (x2 – x – 1) (2x – 3) (4x2 + 6x + 9)c) (x3 – 1) (8x3 – 27)d) (x2 + 1) (x2 – 1) (x2 + x + 1)

e) (x + 2) (x2 – 2x + 4) (2x– 1) (4x2 + 2x + 1)

14.Dado el siguiente polinomio:

P(x) = 27x9 + 26x6 – x3

Uno de los polinomios que dividen exactamente a P(x) es:

a) (x – 1) b) (x3 + 1) c) (x2 + 1)d) (x2 – 1) e) (3x + 1)

15.¿Cuál de los siguientes polinomios divide exactamente a P(a)?

P(a) = 4a5 + 36a – 25a3

a) (a + 4) b) (a – 4) c) (2a – 3)d) (a + 9) e) (a – 9)

16.¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x)?

P(x) = x8 + x4 – 2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8


x2 + (2a + 7)x + a2 + 7a + 10

Señalar uno de sus factores.

R(x) = 5x2 + 11x + 7

a) (x – a – 2) b) (x – a + 5) c) (x – a – 5)d) (x + a + 2) e) (x – 2a + 1)

18.¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x)?

49


P(x) = x3 (8x3 – 61) – 2(x3 + 4)

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1


P(x) = 16 + 4x4 – 65x2

Señalar uno de los siguientes polinomios que divide exactamente a P(x):

a) (4x + 1) b) (4x – 1) c) (2x + 1)d) (x + 8) e) (x – 8)

20.¿Cuántos factores primos tiene la expresión:

ab (x2 – y2) + xy (a2 – b2)?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) NA

NIVEL IIIIVEL III

01.Señale un factor del polinomio:

F = x4 + 2(2x + 1) x2 + (2x + 1)2

a) x – 1 b) 2x + 1 c) 2x – 1d) x + 2 e) (x + 1)3

02.Factorizar la expresión:

(2ab + 1)2 + (2ab + 2)2 + 4

Indicar luego la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 2 b) 4 c) 9 d) 6 e) 5

03.Indique un factor primo de:

S = (a2 + b2 + 2ab)2 – 2(a + b)2 + 1

a) ab – 1 b) ab + 1 c) a+ b+ 1d) a – b – 1 e) ab – 2

04.Luego de factorizar el polinomio:

x2 (x2 + 4x + 4) + 2(x2 + 2x) + 1

Indicar la suma de los coeficientes de un factor primo lineal.

a) 6 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2

05.Al factorizar el polinomio:

(a2 + b2 + c2 + d2)2 – 4(a2 + c2) (b2 + d2)

Se obtiene un factor primo de la forma:

Na2 + Mb2 + Pc2 + Qd2. Calcular NMPQ

a) 1 b) 4 c) 0 d) –4 e) 6

06.Luego de factorizar:

6(4x – y)2 + 11(4x – y) (x + 2y) + 3(x + 2y)2 Indicar la suma de los factores primos que se obtiene.

a) 11x + 4y b) 13x – y c) 2x+11yd) 24x + 3y e) 5x – y

07.Indicar la suma de los coeficientes de los términos cuadráticos de los factores cuadráticos del siguiente polinomio:20(x2 + 1)2 + 13(x2 + 1) (x – 1) – 21(x – 1)2

a) 6 b) 7 c) 9 d) 12 e) –6

08.De las cantidades que se muestran en las alternativas, cuál se debe agregar al polinomio: 5x2 + 7x – 2, para que sea factorizable por aspa simple.

a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 1

09.Cuál de las expresiones mostradas a continuación, se debe agregar al polinomio:

P(x) = x2 + 4x + 6

Para que sea factorizable por aspa simple.

a) x + 9 b) x c) 3x + 1d) 2x + 2 e) x – 1


4(pq + 1)2 + 9(pq + 1) (p + q) + 5(p + q)2

Indicar la suma de los factores primos binomios.

a) p – q b) p + q

c) 2p + 2q + 1 d) p + 2q + 1

e) p + q + 2

11.Factorizar el polinomio:

S = (a2 + 4b2)2 + 9ab (a2 + 4b2) + 20a2 b2

Indicar el polinomio que no es uno de sus factores.

a) a + 2b b) a + b c) a – 2bd) a + 4b e) (a + 2b)2

12.Factorizar el polinomio:

P = 6x4 + 18x2 y3 + 12y6 + x2 z4 + 5y3 z4 – 2z8 Indicar como respuesta la suma de todos los coeficientes de todos sus factores primos.

a) 21 b) 13 c) 12 d) 16 e) 18

13.Uno de los factores primos del polinomio:

S = 18x2 – 32y2 + 9xz – 4yz + z2

Tiene a (–8) como coeficiente de la variable y; términos restantes de dicho factor.

50


a) 4 b) 9 c) 7 d) 0 e) 6

14.Indicar el término con la variable y del factor primo del polinomio:

R = x6 – 4y6 + 12y3 z3 – 9z6

Cuya suma de coeficientes es cero.

a) –4y3 b) 4y3 c) y3

d) 2y3 e) –2y3


2a2b2 + 7ab2c + 6b2c2 + 10a2bc + 17abc2 + 12a2c2 indicar cuál no es término de un factor primo.

a) 4ac b) 3bc c) 2bcd) 2ac e) 2ab

16.Cuál de las expresiones que se muestra a continuación no podría ser un factor común monomio del polinomio:

P(a ; b ; c) = a4 b5 c2 + a3 b4 c3

a) a3 b b) ab3 c) a3 c2

d) abc3 e) a2 b2 c2

17.Cuántos son todos los posibles factores comunes monomios diferentes y diferentes de 1 que se pueden extraer del polinomio:

P(a; b; c) = a3 b2 + a2 b2 c + a3 bc

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

18.Indicar uno de los factores primos del polinomio:

A = (ax + by)2 + (ay – bx)2 + (x2 + y2)2

a) a2 + b2 b) ax + b2

c) ab + x2 d) bx + y2

e) x2 + y2 + a2 + b2

19.Cuál es la cantidad de factores primos del polinomio mostrado a continuación:

(abx + y)2 + (aby + x)2 – 4abxy

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20.Indicar la suma de los factores lineales que se obtienen de:

P = (x2 – y)2 – (y – z2)2

a) 2x b) 2y c) 2yz d) x e) z

5. ECUACIONES

51


5.1 Concepto: es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas “INCÓGNITAS” y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: “x”, “y”, “Z”, “u”, “v”..Así: x +7 = 10; se observa que la igualdad se verifica solo par: x= 3; en efecto si sustituimos la “x” por “3” tenemos: (3) + 7 = 10; o sea: 10 = 10

5.1.2 Resolución de EcuacionesSe siguen los siguientes criterios:1. Si al os miembros de una ecuación se les

suma o se les resta una cantidad determinada, la igualdad se mantiene.

2. Se puede suprimir dos términos idénticos que figuren al mismo tiempo en los dos miembros de una ecuación.

3. Se puede trasladar un término de un miembro a otro con tal que se cambie el signo, y la igualdad se mantiene.

4. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por una cantidad determinada la igualdad se mantiene.

5.2 ECUACIONES DE 1ER. GRADO

5.2.1 Concepto: A una ecuación de 1er. Grado también

se le llama “ECUACIÓN LINEAL” cuya forma general de representarla es : ax + b = 0 donde: “X” es la incógnita“a” y “b” : son los coeficientes su solución viene dada por:

x = - ba

5.2.2. Solución:

Si: a 0; b R x = - b es una ecuación aCOMPATIBLE DETERMINADA

Si: a = 0; b = 0 x = 0 ; “x” admite cualquier valor 0 por lo tantoCOMPATIBLE INDETERMINADA

Si: a = 0; b 0 x = - b, “x” no admite ningún valor 0 por lo tantoLa ecuación no tiene solución entonces es una ecuación “INCOMPATIBLE O ABSURDA”

5.2.3. EJERCICIOS I

1. Resuelve las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1. 4x – 1 = x – 42. 3x – 2 = x + 63. 7 – 5x = 3x – 14. 12x – 12 = 16 x + 85. 7x + 5 –3x = 4x + 3 - 2x6. 16x – 21 = 20 x + 37. 19 – 3x +5x = 15 – 4x8. 20x + 7 – 2 = 15x +39. 16 – 4x + 6x = 12x + 810. 13x – 2,4 = 6,2 + 11 x11. 4x – 10x +15 = 8x – 1312. 7x – 6x –4 = 15x +3 –6x13. 0, 5 + 10x = -8,3 +2x14. 20x + 6- 4x = 12, 3 + 6x15. –2x + 7x –3 = 3x – x + 616. 15x –6 = 13x + 3017. 14 + 6x –4x = 11x + 418. 2x + 8 –3x = 4x +15 – 2x19. 2,4 – 16x = -14,2 + 4x20. 25x –64 = - 40x +21

EJERCICIOS II

1. x.( 2x +1) = 8 – (3x +3)a) 1 b) 3 c) 6 d) 5 e) 2

2. x + 3 (x- 4) = 4a)2 b)4 c)6 d)–3 e) 2/3

3. 7x + (3x –5) = 15a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) 4

4. 5x + (-3x + 5) = 13a) –3 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. 3x – ( -2x + 2) =22a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

6. x + 1 –3 (x –1) = 1-xa) 3 b) ¼ c) 2 d) –1 e) 7

7. 2x + 7 –2 ( x-1) = 3 (x +3)a) 4 b) 0 c) 1 d) –4 e) 1/9

8. 2 ( x +2) – 3( 5-x) = x + 5(x-3)a) 3 b) 4 C) 5 D) 6 E) 7

9. ( 3X + 2) + ( X + 1) = ( 2X + 4) + ( X + 3)a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

10. (5x + 4) – ( 3x +1) = ( 4X +2) - (3X - 7)a) 9 b) 8 c) 7 d) 1 e) 5

11. Resolver la ecuación: 8 – ( -3x + 2) = -(-1 + 2x) + 15

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –1

12. Calcular “x” en:-5 + 4x + 10 –6x = -7x +8 +4x –10

52


a) ( -6) b) (3) c) (-7) d) (4) e) (-5)

13. Resolver e indicar el valor de X5 ( x + 8) –20 = -13 –4 (2x-5)

a) -1 b) –2 c) –3 d) 4 e) 2

14. La solución de:13 + 3 ( -2x – 3) = - 7x +8 +4x –10

a) –4 b) 4 c) 2 d)-2 e) 8

15. Hallar (x) en:2x – [ 7 . x + (x –2) ] = -7x +8 ; es:

a) 4 b)6 c) –2 d) 3 e) 5

16. Indicar la raíz de:4x-9 – (-5-2x9 = - (-x-7) + 6x –8

a) [-5] b) [-4] c) [-3] d) [-2} e) [-1]

17. La solución de:9x - 4 (x-2) = 3x – 2 ( x + 6); es:a) 6 b) –3 c) 4 d) –5 e) 2

18. Resolver e indicar el valor de “x” X –2 (-x + 1) = 3 ( x +1) –2 ( x +4)

a) –1/2 b) –1 c) 3/2 d) –5/2 e) –2/3

19. Resolver la ecuación:4(2x-3) + 10 – 5x = 1 – 2 (x – 6)

a) {6} b) {-2} c) {1} d) {4} e) {3}

20. Resolver la ecuación

5 – (-2x + 3) + 10 –5x = 1 –2 (x –6)

a) x = 1 b) x = -3 c) x = -4 d) x = 2 e) x = 6

EJERCICIOS III

Resolver las siguientes ecuaciones:1. 14x – (3x-2) – [5x + 2-( x –1) ] = 0

2. (3x –7)2–5( 2x + 1)(x-2) = -x2-[(3x+ 1)]

3. 6x – ( 2x +1) = - [-5x + [ - (2 ( x –1)]]

4. 2x + 3 (- x2- 1) – 3( x+ 2)}

5. x2-{3x+[x (x +1)+4(x2-1)–4x2]} = 0

6. 3 ( 2x + 1) 8-x + 3) – (2x +5)2 = - [-{-3(x +5)} +10x2

7. (x + 1) ( x + 2) ( x-3) = ( x –2)(x +1)(x +1)

8. (x +2) ( x + 3) ( x –1) = ( x +4) (x +4) (x- 4) +7

9. ( x + 1)3 – ( x – 1) 3 = 6x ( x-3)

10. 3 ( x –2) 2 ( x + 5) = 3 ( x + 1)2 ( x –1) + 3

11. ( x –2)2 – ( 3 –x) 2 = 1

12. 14 – ( 5x –1) 2x + 3) = 17 – ( 10x + 1) ( x – 6)

13. ( x – 2)2 – x( x - 3 ) = 3 ( x + 4) ( x –3) – ( x +2) ( x –1) +2

14. ( 3x – 1 )2 - 5( x –2) – ( 2X + 3)2 –(5X + 2) ( X –1) = 0

15. 2 ( x – 3) 2 – 3 ( x + 1)2 + (x-5) ( x –39 + 4 ( x2-5x +1) = 4x2 – 12

16. 5 ( x –2)2 – 5 ( x +3)2 + ( 2x –1) (5x + 2) – 10 x2 = 0

17. x2 –5x +15 = x ( x-3) – 14 + 5 (x-2) + 3(13-2x)

18. 3 ( 5x –6) ( 3x + 2) –6 (3x +4) (x –1) 3(9x +1) (x-2) = 0

19. 7 (x –4)2 – 3( x +5)2 = 4x +1(x-1) –2

20. 5 (1.x)2 – 6 ( x2 –3x –7) = x (x-3)- 2x(x +5)-2

21. x- ( 2x +1) = 8-( 3x +3)

22. 15x- 10 = 6x- ( x +2) + (-x +3)

23. (5 –3x)- (-4x +6) = (8x + 11)- 3x –6

24. 30x- ( -x + 6)+( 5x +4) = - (5x +6)+ (-8x +3x)

25. 15x +(-6x +5)-2-(-x +3) = -(7x +23) –x +-( 3x –2x)

26. 3x+ [-5x – (x +3)] = 8x + (-5x –9)

27. 16x – [3x (6-9x) [ = 30 x + [-3 (3x +2) – ( x +3) ]

53


28. x – [5 + 3x – {5x – ( 6 + x) }]

29. 9x – ( 5x +1) – [2 + 8x- ( 7x –5)] + 9x = 0

30. 71 + [-5x + ( -2x + 3)] = 25 – [-(3x +4) –( 4x + 3)}

5.2.4 ECUACIONES DE 1er. GRADO CON DENOMINADOR

Resolver la ecuación

3x –2x = x -7 5 10 4

Solución: Hallamos m.c.m de 5, 10 y 4 es 20 Este mínimo común múltiplo dividimos

entre 1 = 20

Multiplicamos 20 (3x) = 60x ( se trabajó de esta manera con las otras fracciones)

Finalmente obtendremos:60x- 8x = 2x – 35

60x - 8x – 2x )= -35 50 x = -35

x = -35 = -7 50 10

EJERCICIO I

Halle el conjunto solución de cada ecuación siguiente:

1.

x4+27=x+3

a) 5 b) 4 c)3 d) 2 e) 1

2.

x2+2 x=x+3

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

3.

x2+ 3x

6=1

a) –2 b) –1 c9 1 d) 2 e) 3

4.

15(6 x+1 )=1

a) 1/3 b) 2/3 c) 3/3 d) 4/3 e) 5/3

5.

12x−2

3=1

4x−1

a) –4/3 b) 4/3 c) –2/3 d) 2/3 e) 1/3

6.

x2+ x

3+ x

4=x+3

a) 35 b) 36 c) 37 d)38 e) 39

7. 5− x−3

4=2

3+ x−1

6a) 66/5 b)65/5 c) 64/5 d) 63/5 e) 62/5

8.

7(4 x+3 )10

−4 (x+1 )15

=5

a) 69/57 b) 95/76 c) 76/95 d) 67/59 e) 76/59

9.

35−x=x+6

5a) 3/10 b) –3/10 c) –10/3 d) 10/3 e) –1/3

10.

34

x−59x+ 7

8x=11

a) 72/7 b) 7/72 c) 5/72 c) 72/5 e) 72/3

11. Resolver la ecuación:

x3+2= x

4a) {1/24} b) {-1/24} c) {-24} d) {12} e) {24}

12. Calcular “x”, en:

x4+ x

5=1

a) {20} b) {20/9} c) {1/9} d) {9/20} e){10/9}

13. resolver la ecuación:

2x+35

− 310=11 x

20

a) 1 b) –2 c) 2 d) 3 e)-4

14. La solución de: 4 x−3

4+ x

5=7

8+ x

5 ; es:a) 7/8 b) 13/32 c) 13/2 d) 2/13 e) ¼

15. Resolver la ecuación: 2 x+ 2

3(3 x− 1

2 )=3

23

a) {1} b) {1/2} c) {–1/3} d) {2/3} e) {1/4}


34( x−2 )− 2

3( x−1)=−1

a) 4 b) –3 c) 5 d) –1 e)-2


10+x3

−5−3x2

=2 x−15

54


a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e)5

18. Resolver e indicar el valor de x:

a) 5 b) 3 c) 1 d) 2 e) –4


a) {-11} b){9} c) {10} d){-13} e) {15}

20. Resolver la ecuación:

x2+ x

3−1

5=1

2+ 1

3− x

5a) {3} b){1} c) {1/3} d){-1} e) {2/3}

EJERCICIOS II

1.

x2+2− x

12= x

6−5

4

2.

x−12− x−2

3− x−3

4=− x−5

5

3. x−(5 x−1 )−7−5 x

10=1

4. 4−10 x+1

6=4 x−16 x+3

4

5.2 x−5 x−6

4+ 1

3( x−5 )=−5 x

6.

12( x−1 )( x−3)=1

3( x+3 )+ 1

6

7.

6 x+13

−11 x−29

−14(5 x−2 )=5

6(6 x+1 )

8.

9.

25(5 x−1 )+ 3

10(10 x−3 )=−1

2( x−2 )−6

5

0.

3x−12

−5 x+43

− x+28=2x−3

5− 1

10

11.

23( x+1)

5=3

4( x−6

3)

12.

35( 2 x−1

6)−4

3( 3 x+2

4)−1

5( x−2

3)+ 1

5=0

13.

3x8− 7

10−12 x−5

16−2 x−3

20+ 4 x+9

4+ 7

80=0

14. 5+ x

4=1

3(2− x

2)−2

3+ 1

4(10−5 x

3)

15.

5x4− 3

17( x−20)−(2 x−1)= x+24

34

16.

5( x+2)12

+ 49−22−x

36=3 x−20−8−x

12−20−3 x

18

17. (3− x

2)−(1− X

3)=7−( X− X

2)

18.

(X+3 )(X−3)−X2−54=(X−

X5)−(3 X−

34)

19. 2 X−(2 X−3 X−1

8)=2

3( X+2

6)− 1

4

5.3. ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

5.3.1. DEFINICIÓNSon aquellas que reducidas toman la forma general:

ax2 + bx + c = 0

donde: a 0x : es la incógnita a, b, c : son coeficientes en Rax2 : término cuadráticobx : término linealc : término independiente

Ejemplo:5x2 + 3x + 5 = 0

ax2 + bx + c = 0

55

x3+ x

2− x

6=x−1

3x−14

−2 x+32

+ x+18=0


- Una ecuación cuadrática tiene dos raíces a las que se les asigna los símbolos: x1 y x2

- respectivamente, de modo que el conjunto solución es:

C.S. = { x1 , x2 }

- Si: b = 0 y/o c = 0 entonces se tiene una ecuación cuadrática incompleta. Por lo tanto de la ecuación ax2 + bx + c = 0 (forma standar) se deduce otros formas de ecuaciones cuadráticas:

ax2 + bx = 0ax2 + c = 0

NOTA: el término que no puede faltar en una ecuación de segundo grado es el primero.

5.3.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

A). DE LA FORMA: ax2 + c = 0

Resolver la ecuación:2x2 – 32 = 0

Solución:– Transponemos – 32 al 2º miembro

2x2 = 32

Despejamos x2 x2 =

322

x2 = 16

– Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros:

x = ±√16x = ± 4

– Las raíces son: x1 = 4 x2 = –4

– Verificación: sustituyendo los valores de x en la ecuación dada, se tiene:Para x = 42(4)2 – 32 = 02(16) – 32 = 0 32 – 32 = 0

0 = 0

Para x = –4

2(–4)2 – 32 = 0 2(16) – 32 = 0 32 – 32 = 0

0 = 0

EJERCICIOS:

Resolver las ecuaciones:

01. x2 – 25 = 0

02. 2x2 – 15 = 3

03. 3x2 = 48

04. 5x2 – 9 = 46

05. 7x2 + 14 = 0

06. 9x2 – a2 = 0

07. 2x2 – 26 = 10 – 7x2

08. 3(x2 – 25) = 0

09. 4x(x + 1) = 4x + 1

10. (x + 1) (x – 1) = 2

11. (x + 3)2 – 9 = 6(x + 6)

12. (x + 5) (x – 5) = –7

13. (2x – 3) (2x + 3) – 135 = 0

14. 3(x + 2) (x – 2) = (x – 4)2 + 8x

15. (2x – 1) (x + 2) – (x + 4) (x – 1) + 5 = 0

16.

x2

4 –

1 2 = 4

17.(x+ 1

3 )(x –13 )

=

1 3

18.

x2 – 53 +

4 x2 –15 –

14 x2 –115 = 0

19. x2 + 1 =

7 x2

9 + 3

20. 5x2 + 12 = 3x2 – 20

56


B) DE LA FORMA: ax2 + bx = 0

a) Resolver la ecuación:x2 – 5x = 0Solución:– Factorizamos (sacando factor común x)

x (x – 5) = 0– Igualando cada factor a cero

x = 0 x = 0(x – 5) = x = 5

– Luego las raíces de esta ecuación sonx1 = 0 y x2 = 5

EJERCICIOS:

01. x2 – 2x = 0

02. 4x2 – 12x = 0

03. 5x2 – 20x = 0

04. 9x2 = –4x

05. 5x2 = –3x

06. x2 = 5x

07. 4x2 = – 32x

08. 2x2 + x = 5x2 – 3x

09. x2 – 3x = 3x2 – 4x

10. 5x2 + 4 = 2(x + 2)

11. (x – 3)2 – (2x + 5)2 = –16

12. (4x – 1) (2x + 3) = (x + 3) (x – 1)

13. 2x(x – 5) = x2 – 4x

14. 4(x2 + x) = 6x (x – 1)

15. (x + 2) (x – 2) = (x + 2)2 – (2x2 + 8)

16.

x 6 +

x2

2 =

2x 3

17.

x2

3 –

x – 96 =

3 2

18. 4x2 – 16x = 0

19. 5x2 = 30x

20. 2x2 – 10x = 0

C). DE ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO

Por factorización: hay ciertas ecuaciones de la forma:

x2 + bx + c = 0 yax2 + bx + c = 0

Que se resuelven fácilmente factorizando el trinomio, desde luego si es factorizable.Ejemplo:

Resolver

1. x2 – 13x + 30 = 0

Solución- Factorización el trinomio:

(x – 10) (x – 3) = 0x – 10 = 0 x = 10 x – 3 = 0 x = 3

- Las raíces son: 10 y 3

2. (x – 2)2 +

x+32 = 4

Solución

- Tenemos: x2 – 4x + 4 +

x+32 = 4

2x2 – 8x + 8 + x + 3 = 8 2x2 – 7x + 3 = 0 4x2 – 7(2x) + 6 = 0 (2x – 6) (2x – 1) = 0

- Luego: 2x – 6 = 0 x =

6 2 = 3

2x – 1 = 0 x =

1 2

- Las raíces son 3 y

1 2

EJERCICIOS:

01. x2 – 10x + 24 = 0

02. x2 + 6x – 55 = 0

57


03. 3x2 + 11x + 10 = 0

04. 5x2 – 21x + 4 = 0

05. x2 – 2x – 35 = 0

06. x2 + 21x + 108 = 0

07. 3x2 + 22x – 16 = 0

08. 6x2 + 11x + 3 = 0

09. x2 – 2x – 360 = 0

10. 10x2 + 23x – 5 = 0

11. x(x – 2) + 3(x – 1) = 3

12. (x – 3)2 – (2x – 6) = 9 – x2

13. (2x + 4) (2x – 4) = (x – 8) (x + 3) + 6

14.

3x+42 + 10 = (x + 2)2

15. (x + 2)2 –

2x –53 = 3

16. (x – 2)2 – (2x + 3)2 = –80

17. x(x – 1) – 5(x – 2) = 2

18. 60 = 8x2 + 157x

19. 7x = 15 – 30x2

20. x2 – 8x + 15 = 0

Por fórmula general: Toda ecuación completa de 2º grado, cuyo trinomio sea o no factorable, se resuelve aplicando la fórmula general.

x =

– b±√b2 – 4 ac2a

Para usar la fórmula cuadrática es necesario escribir la ecuación en la forma:

ax2 + bx + c = 0

efectuando, transponiendo, reduciendo (cambio de signos).

NOTA: a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.

Ejemplo:

a) Resolver la ecuación: x2 – 6x + 5 = 0

Solución- a = 1 b = –6 c = 5

- Aplicando la fórmula

x =

6±√62 – 4(1 )(5 )2(1)

x =

6±√36 – 202

x =

6±√162

x =

6±42

- De donde:

x1 =

6+42 =

102 = 5

x2 =

6 – 42 =

2 2 = –1

x1 = 5x2 = – 1

b) Resolver la ecuación: 2x2 + 7x = –3

Solución- Preparamos la ecuación:

2x2 + 7x + 3 = 0a = 2 b = 7 c = 3

- Aplicando la fórmula

x =

– 7±√49 – 4(2 )(3)2(2)

x =

– 7±√254 =

– 7±54

x =

– 7+54 =

– 24 =

– 12

x =

– 7 –54 =

– 124 = –3

x1 =

– 12

58


x2 = –3

c) Resolver la ecuación: (x – 3)2 = 3x(x – 3)

Solución- Preparamos la ecuación:

x2 – 6x + 9 = 3x2 – 9x x2 – 6x + 9 – 3x2 + 9x = 0

–2x2 + 3x + 9 = 0

- En una ecuación preparada el 1º término debe ser siempre positivo, por lo que multiplicamos por –1 y tendremos:

2x2 – 3x – 9 = 0

- Aplicando la fórmula:

x =

3±√9 – 4 (2)( – 9)2(2)

x =

3±√814 =

3±94

x =

3+94 =

124 = 3

x =

3– 94 =

– 64 =

– 32

x1 = 3

x2 =

– 32

EJERCICIOS:

01. x2 – 8x + 15 = 0

02. x2 + 3x – 4 = 0

03. x2 + 8x + 12 = 0

04. 8x2 – 10x = –3

05. 3x2 = –13x + 10

06. 2x (x – 1) = 3x + 3

07. (x – 2)2 = 4(x – 3)

08. (x + 4) (x – 4) = 5x (x + 4)

09. 6(x – 3) = (x + 5) (x – 3)

10. (3x + 2) (x – 1) = (x – 2)2 – 4

11.

x2

4 +

x 2 = x + 2

12.

x2

5 –

x 2 =

310

13.

x2

6 –

x 2 = 3(x – 5)

14.

1 4 (x – 4) +

2 5 (x – 5) =

1 5 (x2 – 58)

15. 5x(x – 1) – 2(2x2 – 7x) = –8

16. x2 – (7x + 6) = x + 59

17. (x + 1)2 + 11x + 199 = 3x2 – (x – 2)3

18. (x – 2) (x + 2) – 7(x – 1) = 21

19. 2x2 – (x – 2) (x + 5) = 7(x + 3)

20. (x – 1) (x + 2) – (2x – 3) (x + 4) – x + 14 = 0

PROBLEMAS

NIVEL INIVEL I

Resolver:

01.x2 – 81 = 0

02.3x2 – 4 = 28 + x2

03.2x2 – 10x = 0

04.4x2 = 3x

05.x2 + 11x + 24 = 0

59


06.x2 – 21x + 90 = 0

07.2x2 + 13x + 6 = 0

08.3x2 + 6x = 32 + 2x

09.x2 – 10x + 1 = 0

10.5x2 – 8x + 2 = 0

11.2x2 – 8 = 0

12.4x2 + 20 = 4

13.4x2 – 16x = 0

14.5x2 = 30x

15.x2 + 19x + 84 = 0

16.x2 – x – 56 = 0

17.4x2 – 42 = 7x – 12

18.6 + 5x2 = 15x – 4x2

19.x2 – 6x + 1 = 0

20.3x2 – 6x + 5 = 0

NIVEL II

01.(x + 1)2 = (x + 3) (x – 1) + x2

02.x + (x – 1) (x + 1) = (2x – 1) (x + 1)

03.(x + 3)2 = 6(x + 3)

04.(x – 4) (x + 4) = 6x

05.(x + 2)2 + (x – 2)2 = 8x

06.(x – 1) (x + 6) = 2(x – 1) (x + 1)

07.(x – 7) (x + 8) (x – 1) = (x – 7) (x + 3) (x + 8)

08.(x2 – 9) (x – 1) = (x – 3) (2x + 2) (x – 1)

09.x(x + 3) = 5x + 3

10.3(3x – 2) = (x + 4) (4 – x)

11.9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x – 3) (x + 2)

12.(2x – 3)2 – (x + 5)2 = –23

13.25(x + 2)2 = (x – 7)2 – 81

14.3x(x – 2) – (x – 6) = 23(x – 3)

15.7(x – 3) – 5(x2 – 1) = x2 – 5(x + 2)

16.(x – 5)2 – (x – 6)2 = (2x – 3)2 – 118

17.(5x – 2)2 – (3x + 1)2 – x2 – 60 = 0

18.(x + 4)3 – (x – 3)3 = 343

19.(x + 2)3 – (x – 1)3 = x(3x + 4) + 8

20.(5x – 4)2 – (3x + 5) (2x – 1) = 20x(x – 2) + 27

NIVEL III

01.La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números.

02.Un número positivo es los 3/5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

03.A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

04.Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números.

05.El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Hallar el número.

60


06.Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor.

07.La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. Si cada dimensión se aumenta en 4m. el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala.

08.Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 soles. Sí hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 soles menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?

09.Un caballo costó 4 veces lo que sus arreos y la suma de los cuadrado del precio del caballo y el precio de los arreos es 860625 soles. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?

10.La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números.

11.La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar ambas edades.

12.Una persona compró cierto número de libros por $180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada una?

13.Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una?

14.Se vende un reloj en 75 soles ganando un % sobre el costo igual al número de soles que costó el reloj. Hallar el costo del reloj.

15.Entre cierto número de personas compran un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas compraron el auto?

16.Compré cierto número de relojes por S/. 192.00 Si el precio de cada reloj es los ¾ del número de relojes, ¿Cuántos relojes compré y cuánto pagué por cada uno?

17.Se ha comprado cierto número de libros por $150. Si cada libro hubiera costado $1 más, se habrían comprado 5 libros menos con los $150. ¿Cuántos libros se compraron y cuánto costó cada uno?

18.Por 200 lempiras compré cierto número de libros. Si cada libro me hubiera costado 10 lempiras menos, el precio de cada libro hubiera sido igual al número de libros que compré. ¿Cuántos libros compré?

19.Compré cierto número de plumas por $24. Si cada pluma me hubiera costado $1 menos, podía haber comprado 4 plumas más por el mismo dinero. ¿Cuántas plumas compré y a qué precio?

20.Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. Si la velocidad hubiera sido 20 km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240km?

5.4. PLANTEO DE ECUACIONES

5.4.1. Recomendaciones

a) Saber determinar bien, cual es la cantidad que se ha de considerar como incógnita.b) Relacionar con precisión estas cantidades entre sí, con respecto a la incógnita.c) Igualar las expresiones equivalentes, resolviendo la ecuación obtenida.

5.4.2. EJERCICIOS I

Expresar mediante ecuaciones los siguientes enunciados:

1. Un número aumentado en 8 es igual a 19.

2. Un número disminuido en 3 es igual a 27

3. El doble de un número es 36

61


4. El doble de un número aumentado en 11 es igual a 21

5. El triple de un número es igual a 18

6. El triple de un número disminuido en 13 es igual a 34

7. El cuádruplo de un número es igual a 48

8. La mitad d e un número es igual a 15

9. Un número aumentado en su tercera parte es igual a 36

10. la quinta parte del dinero que tengo, disminuido en s/80 es igual a s/100

11. La mitad del dinero que tengo disminuido en s/20 es igual a s/50

12. Juan tiene 8 años más que María y la edad de los dos juntos es igual a 36 años.

13. La edad de un padre es seis veces la de su hijo y la suma de ambas edades es igual a 28 años.

14. La suma de 3 números naturales consecutivos es igual a 28 años.

15. El menor de tres hermanos tiene d5 años menos que el segundo y la edad del mayor es igual a la suma de las edades de los dos anteriores, la suma de las edades de los t res es 50 años.

16. Jorge tiene s/20 más que Norka, Luis tanto como Jorge y Norka juntos y los 3 tienen s/240

17. El doble de un número aumentado en un ¼ es igual al triple de dicho número.

18. La sexta parte de un número, más la quinta parte del mismo es igual a 11

19. El triple de un número disminuido en 6 es igual al doble del mismo número aumentado en 2.

20. Si al doble de la edad de mi padre le sumo 5 años y el resultado lo divido entre 3 me da 27 años.

21. La mitad de un número, disminuido en un quinto es igual a la cuarta parte del número.

EJERCICICOS II

Expresar mediante ecuaciones los siguientes enunciados:

1. La suma de la quinta parte de un número con los 3/8 del número excede en 49 al doble de la diferencia ente 1/6 y 1/12 del número. Hallar el número.

2. La edad de B es los 3/5 de A, y si ambas edades se suman, la suma

excede en 4 años al doble de la edad de B. Hallar ambas edades.

3. B tiene los 7/8 de lo que tiene A. Si A recibe $90, entonces tiene el doble de lo que tiene B ahora. ¿cuánto tiene cada uno?

4. Después de vender los 3/5 de una pieza de tela quedan 40m. ¿cuál era la longitud de la pieza?

5. Hoy gané $1 más que ayer, y lo que he ganado en los dos días es $25 más que los 2/5 de lo que gané ayer. ¿cuánto gané hoy y cuánto gané ayer?

6. Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41 la suma de los cocientes es 9.

7. Hallar tres números consecutivos tales que la suma de los 3/5 del menor con los 5/6 del mayor exceda en 31 al del medio.

8. La suma de dos números es 59, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 5.hallar los números

9. La suma de dos números des 436, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 73 . Hallar los números

10. En tres días u hombre ganó $175. si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior,¿cuánto ganó cada día?

11. El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles y el viernes los 5/8 de los que perdí el jueves. Si en los tres días perdí $242 ¿cuánto perdí cada día?

62


12. Tenía cierta suma de dinero. gasté $”0 y presté los 2/3 de lo que me quedaba. Si ahora tengo $10, ¿cuánto tenía la principio?

13. Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad delo que me quedó, tengo 21 quetzales ¿cuánto tenía al principio?

14. Tengo cierta suma de dinero.. Si me pagan $7 que me deben, puedo gastar los 4/5 de mi nuevo capital y me quedaran $20 . ¿cuánto tengo ahora?

15. La edad de A es 1/3 de la de B y hace d15 años la edad de A era 1/6 de la de B . hallar las edades actuales.

16. La edad de A es el triplo de la de B y dentro de 20 años será el doble. Hallar las edades actuales.

17. A tiene doble dinero que B. Si A le diera a B 20 bolívares, tendría los 4/5 de lo que tendría B ¿cuánto tiene cada uno?

18. A tiene la mitad de lo que tiene B, pero si B le da a A 24 colones, ambos tendrían lo mismo ¿cuánto tiene cada uno?

5.4.3. PROBLEMAS

Nivel I

1. La suma de tres números consecutivos pares es 54. Hallar los números.a) 16, 18,20 b) 12, 16, 14 c) 14, 16, 18 d) 16, 18, 20 e) N.A.

2. La suma de tres números consecutivos impares es 51. hallar los númerosa) 5, 19, 27 b) 3, 21,27 c) 15, 17, 19 d) 17, 19, 25 e) N.A.

3. La edad de Vanesa dentro de 8 años será de 20 años. ¿qué edad tiene actualmente?a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A.

4. Hallar tres números naturales consecutivos tales que dos veces el menor sea 57 menos que tres veces el mayor.a) 50,51,52 b) 51,52,53 c) 52,53,54d) 53,54,55 e) 53,54,55

5. Hallar tres números impares consecutivos tales que la suma de los dos últimos sea 85 más que el primero.a) 77,79,81 b) 79,81,83 c) 73,75,77d) 75, 77, 79 e) N.A.

6. La edad de Nataly hace 5 años era de 12 años. ¿qué edad tiene actualmente?a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

7. Dividir 45 en dos partes tales que una de ellas sea 5 unidades menor que la otra. Hallar dichas partes.a) 15 y 20 b) 10 y 15 c) 20 y 25 d) 5 y 10 e) N.A

8. Por cuánto se ha de multiplicar ¾ para que sea igual a 36?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) N.A.

9. Hallar el número cuyo quíntuplo, disminuido en 7 es igual a su triple, aumentado en 3.a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e)N.A.

10. Un padre tiene 50 años y su hijo 10 años. ¿cuánto tiempo ha de transcurrido para que la edad del padre sea triple de la del hijo?a) 5 b) 6 c)7 d) 8 e) N.A.

11. La suma de la tercera parte y la cuarta parte de un número es igual a su mitad más que 2 ¿qué número es?a) 18 b9 16 c9> 14 d) 12 e) N.A.

12. Dentro de cuántos años la edad del padre será 3 veces la edad del hijo. Si el padre tiene 42 años y el hijo 12 años?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Las edades del padre y del hijo son 42 y 12 años respectivamente, hace cuántos años la edad del hijo era la cuarta parte dela edad del padre?a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) N.A.

14. hallar dos números consecutivos cuya suma sea igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del segundo.a) 7 y8 b) 8 y 9 c) 9, 10 d) 5,7 e) N.A.

15. Hallar el número cuyo cuádruplo disminuido en 5 es igual a su duplo aumentado en 7.a) 15 b9 16 c) 17 d) 18 e) 19

63


16. Dentro de 5 años tendré el doble de años de lo que tenía hace 4 años. Hallar la edad actual.a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

17. Vendí la octava parte de mis manzanas después la sexta parte y finalmente la quinta parte de lo que tenía. Al contarlas me quedan la mitad, menos una de las que traje. ¿cuántas eran?

a) 120 b) 121 c) 122 d) 123 e) 124

18. El número de lapiceros es el doble del de los lápices si compro 7 lapiceros y 1 lápiz más, tendré el triple de lapiceros que lápices. ¿cuántos tengo de cada uno?a) 8 y 4 b) 4y 2 c) 6 y 3 d) 10,5 e)N.A.

19. Un café que se vende a s/6 el kilo, se mezcla con café que se vende a s/5, el kilo, para producir 20 kilos de una mezcla que se venderá a s/5,4 el kilo. ¿cuántos dilos se utiliza de cada clase?a) 7 y11 b) 8 y 12 c) 9 y 13 d) 8 y 13 e) N.A

20. El total recaudado por concepto de venta de 900 boletos de rifa fue de 950 soles, Si los estudiantes pagaron s/ 0,75 por cada boleto y las demás personas pagaron s/1,25 por cada boleto. ¿cuántos boletos se vendieron a los estudiantes?a) 300 y 500 b) 350 y 550 c) 325 y 525 d) 250 y 450 e)N.A.

Nivel II

1. Un padre deja 1/3 de sus bienes a uno de sus hijos, al otro los 5/16 y al último s/ 1700. ¿cuánto fue lo repartido?a) s/3000 b) s/ 3200 c) s/1800 d) s/ 2400 e) s/ 4800

2. Si a la cantidad de dinero que tengo le añado otro tanto igual, más la cuarta parte y además s/1, tendría s/ 100 ¿cuánto tengo?a) s/15 b) s/44 c) s/18 d) s/24 e) s/ 36

3. ¿qué número debe sumarse a la fracción 19 / 163, para que se convierta en 1/7?

a) 18/4 b) 30/1141 c) 15/163 d) 47/7 d) 23/9

4. ¿cuál es el número cuyo duplo, más 5 es igual a su triple, menos 19?a) 32 b) 17 c) 18 d) 13 d) 24

5. Repartir 85 entre tres personas, de modo que la segunda reciba s/7 menor que la primero y 15 más que la tercera. ¿cuánto recibe cada uno?a) 38; 31 y 16 b) 40; 15 y 12 c) 16; 18 y 20d) 13; 15 y 18 e) 19; 21 y 23

6. La edad de Pedro es el triple de la edad de Pablo, ¿cuál es la edad de uno u otro, si Pablo tiene 18 años menor que Pedro?a) 13 y 39 b) 27 y 9 c) 30 y 10 d) 30 y 12 e) 45 y 15

7. Busque 3 números impares consecutivos tales que la suma de 339a) 111; 113 y 115 b) 109; 111 y 113 c) 99; 101 y 103 d) 99; 101 y 103 e) 87; 99 y 91

8. ¿qué número hay que añadir a la fracción 3/11 para que su valor sea igual a 3/9?

9. De cierto número de naranjas un comerciante vendió la mitad y separó la décima parte para el consumo de su casa, quedándole 200 ¿cuántas tenía?

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

10. ¿qué hora es si para terminar el día faltan las 3/5 partes del tiempo ya transcurrido?a) 1pm b) 2pm c) 3pm d) 4pm e) 5pm

11. Restando 100 a los 7/12 de un número se obtiene el mismo resultado que aumentando 20 ala cuarta parte del número. Hallar el número.a) 320 b) 340 c) 360 d) 380 e) N.A.

12. La mitad de árboles de una huerta son manzanos, la cuarta parte perales y la sexta parte melocotones. Sabiendo que hay además 50 cerezos, calcular el número total de árboles.a) 450 b) 3000 c) 600 d) 900 e) 750

13. Me faltan 300 dólares, para comprar una computadora. Si costase las 2/3

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partes del precio que se vende, podría comprarlo sobrándome 260 dólares. ¿cuál es el precio?a) $1600 b) $1620 c) $1640 d) $1660 e)$1680

14. Era una clase de alumnos forman 3 grupos; el 1ro. Comprende la tercera parte de los alumnos, el segundo la cuarta parte y la tercera 20 alumnos. Hallar el número total de alumnos.a) 48 b) 46 c) 44 d) 42 e) 40

15. La diferencia de 2 números es 360. Dividiendo el mayor entre el menor resulta 5 de cociente. Calcular los números.a) 90 y 450 b) 8 y 40 c) 7 y 35 d) 6 y 30 e) 50 y 310

16. Un padre tiene el quíntuplo de la e dad de su hijo. Dentro de 6 años solo tendrá el triple. ¿qué edad tienen ahora uno y otro?a) 9 y 45 b) 8 y 40 c) 7 y 35 d) 6 y 30 e) 5 y 25

17. Un caminante ha recorrido 41 km entres días, el segundo día recorre la quinta parte del primero y el tercero la sexta parte del segundo día ¿cuántos km. Recorrió cada día?a) 4; 10;60 b) 6;8;60 c) 5;9;60 d) 3;11;60 e)2;12;60

18. Un juguete y un estucha cuestan s/ 57, si el juguete cuesta s/19 más que el estuche. ¿cuánto cuesta el estuche?a) 16 b) 17 c) 18 d9 19 e) 20

19. Si la sexta parte de un número aumentado en 5, se le suma la cuarta parte del mismo número disminuido en 15, obteniéndose 10. Hallar el númeroa) 11 b) 21 c) 31 d) 41 e) 51

20. Un alumno ha resuelto 154 ejercicios de matemática en 3 días, si cada día resolvió la mitad del día anterior. ¿cuántos ejercicios ha resuelto el tercer día?a) 88 b) 66 c) 44 d) 22 e)11

6. SISTEMA DE ECUACIONESLINEALES CON DOS INCOGNITAS

6.1. CONCEPTOUn sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas está conformado por dos ecuaciones de primer grado.

Forma General:{ax+by=c ¿ ¿¿¿

Donde: a; b; c; d; e; f : coeficientesX e y : incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar, valores de las incógnitas que las satisfacen simultáneamente.

Ejemplo:El siguiente es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x + y = 42x – y = 11

Estas ecuaciones se verifican cuando:x = 5 ; y = –1

Luego comprobamos:

En la primera ecuación: 5 + (–1) = 4 4 = 4

En la segunda ecuación: 2(5) – (–1) = 11 1 = 11

Entonces: x = 5 e y = –1 constituyen la solución común o conjunto solución. Pero…. ¿cuál será el procedimiento para obtener el conjunto solución o la solución común?

6.2 MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

65


Existen varios métodos para resolver las ecuaciones simultáneas.

1) Método de las sumas y restas o método de Reducción o por Eliminación.2) Método de Sustitución.3) Método de Igualación.4) Método de los Determinantes.5) Método Gráfico.

6.2.1. MÉTODO DE REDUCCIÓNConsiste en eliminar una de las incógnitas de la ecuación para calcular la otra incógnita.

Ejemplo:

1. Resolver el sistema:2x + y = 7 …….. (1) x – y = 2 …..… (2)

Solución- Sumamos ecuación (1) y (2)

2x + y = 7 x – y = 2

3x = 9 x = 3

- Este valor obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones dadas generalmente la de menor valor numérico.Reemplazamos en (2):

x – y = 23 – y = 2 – y = 2 – 3 y = 1

- C.S. = {3, 1}x = 3y = 1

2. Resolver el sistema: x + 3y= 6 …….. (1) 5x – 2y = 13 …..… (2)

Solución

- Eliminamos x, multiplicando la primera ecuación por –5.

–5x – 15y = –30 …… (3)

- Sumamos (2)y (3): 5x – 2y = 13

–5x – 15y= –30

–17y = –17 y = 1

- Reemplazamos y = 1 en (1) x + 3y = 6x + 3(1) = 6 x = 3

- Reemplazamos estos valores obtenidos en cualquiera de las ecuaciones dadas se comprueban la igualdad reemplazamos en (2).

5x – 2y = 135(3) + 2(1) = 13

13 = 13

6.2.2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar el valor de una de las variables en una de las ecuaciones dadas y reemplazarlo en la otra ecuación dada.

Ejemplo:

1. Resolver el sistema:2x + y = 7 …….. (I) x – y = 2 …..… (II)

Solución- De la ecuación (II) despejo x:

x – y = 2 x = 2 + y

- Luego el valor de x despejado, lo sustituye en la ecuación (I).

2x + y = 72(2 + y) + y = 7 4 + 2y + y = 7

3y = 3 y = 1

- El valor de y reemplazo en (II) x – y = 2 x – (1) = 2 x = 2 + 1 x = 3

C.S. = {3; 1}

2. Resolver: 4x – 3y = 8 …….. (1) 5y + 13 = 7x …..… (2)

Solución- Despejando en la primera ecuación:

x =

8+3 y4

- Reemplazando en la segunda ecuación:

5y + 13 = 7( 8+3 y

4 )- Resolviendo la ecuación formada:

20y + 52 = 56 + 21y 20y – 21y = 56 – 52

–y = 4 y = –4

- Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones dadas.

4x – 3y = 8 4x – 3(–4) = 8

4x = 8 – 12

66


x =

– 41

x = –1 C.S. {–1; –4}

6.2.3. MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar de cada una de las ecuaciones dadas una misma variable y luego igualar dichos valores, para obtener una ecuación de primer grado con una variable.

Ejemplo:

1. Resolver el sistema:2x + y = 7 …….. (I) x – y = 2 …..… (II)

Solución

- De (I) despejo x:

x =

7– y2

- De (II) despejo x:x = 2 + y

- Igualamos los segundos miembros ya que los primeros son iguales.

7– y2 = 2 + y

7 – y = 4 + 2y–y – 2y = 4 – 7 –3y = –3 y = 1

- Reemplazando el valor de y en la ecuación (II).

x – y = 2 x – 1 = 2

x = 3C.S. = {3; 1}

2. Resolver: 3x + 4y = –26 4x – 3y = 7

Solución

- Se despeja x en ambas ecuaciones:

x =

– 26 – 4 y3

x =

7+3 y4

- Igualamos los segundos miembros:

x =

– 26 – 4 y3 =

7+3 y4

4(–26 – 4y) = 3(7 + 3y) –104 – 16y = 21 + 9y

–26y = 125 y = –5

- Este valor se reemplaza en alguna de las ecuaciones dadas, o en las despejadas realizadas, para hallar el valor de la otra variable. Reemplazamos en X:

x =

7+3 y4 =

7+3( – 5)4

x =

7– 154 =

– 84 = –2

C.S. {–2; –5}

EJERCICIOS

A. Resuelve cada uno de los sistemas siguientes empleando los métodos de reducción, igualación y sustitución.

01.{ 5a – 3b = 7 ¿ ¿¿¿

02.{ 2x + 9y = –38¿ ¿¿¿

03.{ 3x + 5y = 8 ¿ ¿¿¿

04.{ x + 2y = 15¿ ¿¿¿

05.{ x – y = 4 ¿ ¿¿¿

06.{ 6x – 5y = –9 ¿¿¿¿

07.{ 7x – 15y = 1¿ ¿¿¿

08.{ 3x – 4y = 41¿ ¿¿¿

09.{ 9x + 11y = –14 ¿ ¿¿¿

10.{ 10x – 3y = 36 ¿ ¿¿¿

67


11.{ 11x – 9y = 2 ¿ ¿¿¿

12.{ 18x + 5y = –11 ¿¿¿¿

13.{ 9x + 7y = –4 ¿ ¿¿¿

14.{ 12x – 14y = 20 ¿¿¿¿

15.{ 15x – y = 40 ¿¿¿¿

16.{ 36x – 11y = –14 ¿ ¿¿¿

17.{ 12x – 17y = 104 ¿ ¿¿¿

18.{ 3x + 2y = 0 ¿ ¿¿¿

19.{ 5x – 2y = 0 ¿¿¿¿

IVEL II

B. Resuelve cada uno de los sistemas siguientes empleando los métodos de reducción, igualación y sustitución.

01.{ a = 14 – 5b ¿¿¿¿

02.{ x = 5 + 3y ¿ ¿¿¿

03.{ 3x – 1 = 3y ¿ ¿¿¿

04.{ 5x – 7 = 2y ¿ ¿¿¿

05.{ –5y + 4x = 7 ¿¿¿¿

06.{ –y + 2x = –1¿ ¿¿¿

07.{ 9x + 10 = y ¿ ¿¿¿

08.{ 2x – 5y = 5 ¿¿¿¿

09.{ 5x + 4 = y ¿ ¿¿¿

10.{ 3y – 1 = x ¿ ¿¿¿

11.{ 3(2x + 1) – 2(3y + 1 ) = 13 ¿ ¿¿¿

12.{(7y – x ) + 2( x – 1) = –25 ¿¿¿¿

13.{ 3x – 2 [ (x – 1 ) – ( y – 1) ]= 18 ¿ ¿¿¿

14.{ 4 (x + 1) – 5(y + 2 ) = –12 ¿¿¿¿

15.{ 7 – [ (2y – 3 ) + 4( x – 1) ] = 22¿ ¿¿¿

16.{ 3[ x – 4y ] + 7 [2x – y ] = –10,5 ¿ ¿¿¿

17.{ 6x + 12 = 2(4x + 2y ) ¿¿¿¿

18.{ 2( x + 5 ) = 4y + 14 ¿ ¿¿¿

19.{ 4 (2y + 3x ) = x + 7¿ ¿¿¿

20.{ 20 – (x + y ) = –5( x+ y ) ¿ ¿¿¿

L III

68


C. Resuelve cada uno de los sistemas siguientes empleando los métodos de reducción, igualación y sustitución.

01.

{ x 5

= y 4¿ ¿¿¿

02.

{ 3 5

x = – 1 4

y = 2¿ ¿¿¿

03.{ 2 3

x – 3 4

y = 1¿ ¿¿¿

04.

{ 3x 2

+ y = 11 ¿ ¿¿¿

05.

{ 5x 12

– y = 9 ¿¿¿¿

06.

{ x 7

+ y 3

= 5 ¿¿¿¿

07.

{ x 7

+ y 8

= 0 ¿¿¿¿

08.{ 2x + 1 5

= y 4¿ ¿¿¿

09.{ 12x + 5y + 6 = 0 ¿ ¿¿¿

10.

{ x 8

– y 5

= –1 1 10¿ ¿¿¿

11.

{ x 5

= 3( y + 2) ¿¿¿¿

12.

{ x 5

– y 6

= – 1 30¿ ¿¿¿

13.{x – 33

– y – 44

= 0 ¿ ¿¿¿

14.

{x – 12

– y – 13

= – 13 36

¿ ¿¿¿

15.

{x + 110

= y – 45

¿ ¿¿¿

16.{ x = –

3y + 34

¿ ¿¿¿

17.

{x + y6

= x – y12

¿ ¿¿¿

18.

{ 3x – y – 35

= 6 ¿ ¿¿¿

19.

{x + y6

– y – x3

= 7 24¿ ¿¿¿

20.

{x – 24

– y – x2

= x – 7 ¿ ¿¿¿

69


6.3. PLANTEO DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.

NOTA: 1) Leer con mucho cuidado el enunciado

para determinar si merece establecer dos ecuaciones con dos incógnitas.

2) Establecer los datos y todo aquello que debe representarse por medio de incógnitas.

3) Escribir las ecuaciones que expresan las condiciones del problema.

4) Resolver el sistema de ecuaciones establecidas.

Ejemplo:

La suma de las edades de Ana y Bertha es 35 años y si diferencia es 5 años. Hallar dichas edades, sabiendo que Ana es mayor que Bertha.

Solución:Edad de Ana : xEdad de Bertha : y

El sistema de ecuaciones es:x + y = 35x – y = 5

Resolviendo hallamos:x = 20y = 15

Rpta. Ana 20 añosBertha 15 años

PROBLEMAS

01.Dos números suman 8. ¿Cuál es el mayor de ellos, si excede en 22 al número menor?

a) 14 b) 15 c) 13 d) 16 e) NA

02.La suma de las edades de Carlos y José es 30 años y la diferencia de las mismas 2 años. ¿Cuáles son estas edades?

a) 16 y 14 b) 17 y 13 c) 18 y 12d) 19 y 11 e) N.A.

03.Calcular dos números de modo que el triple del mayor exceda en 162 al número menor, y que el duplo del mayor, aumentado en el quíntuple del menor, resulte 210.

a) 10 y 16 b) 60 y 17 c) 60 y 18d) 60 y 19 e) N.A.

04.El duplo de la edad de Esteban, aumentado en la cantidad de años que tiene Estela

resulta 20. Si la edad de Esteban aumentada en el duplo de la edad de Estela resulta 25, ¿cuál es la edad de Esteban?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) NA

05.Dividir 100 en dos partes, tales que la mitad de la mayor exceda en 17 a la cuarta parte de la menor.

a) 56 y 44 b) 56 y 45 c) 57 y 44d) 57 y 45 e) N.A.

06.Se compraron 24kg de productos entre azúcar y arroz. Si un kilogramo de azúcar cuesta 3 soles y un kilogramo de arroz cuesta 2 soles, ¿cuántos kilogramos de arroz se compró si el gasto total fue 64 soles?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) NA

07.Una familia compuesta de 8 miembros entre adultos y niños asiste a un espectáculo por el que el adulto paga S/.8.00 y un niño S/.5.00. Si el papá invirtió S/.49 por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia?

a) 5 niños y 3 adultos b) 4 niños y 4 adultosc) 4 niños y 1 adulto d) 5 niños y 5 adultose) N.A.

08.Al dividir una varilla de 80 cm en dos partes, resulta que un quinto de la parte mayor excede en 4 cm a un séptimo de la parte menor. ¿Cuánto mide la parte mayor?a) 44 cm. b) 45cm. c)46cm. d)47 cm. e) N.A.

09.Juan y Ernesto obtienen 28 años al sumar sus edades. Si el duplo de la edad mayor excede en 16 años a la mitad de edad menor, ¿cuál es la edad mayor?

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) NA

10.Una sección del colegio está compuesta de 40 alumnos entre hombres y mujeres. Si el triple de la cantidad de hombres excede en 8 a la mitad de la cantidad de mujeres, ¿cuál es la cantidad de hombres que hay en la sección?

a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) NA

11.Las edades de Pedro y Juan son tales que la suma de ellas es 24. Si la quinta parte de la edad del mayor, más la tercera parte

70


de la edad del menor es 6. Calcular la edad de Pedro si es el mayor.

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) NA

12.Dos números son tales que al quintuplicar uno de ellos y restarle el segundo, se obtiene el cuadrado de 5, y al cuadruplicar el primero y restarle el segundo se obtiene el cuadrado de 4. Calcular la suma de dichos números.

a) 31 b) 30 c) 29 d) 28 e) NA

13.Dividir 60 en dos partes de modo que un cuarto de la parte mayor exceda en 4 a un séptimo de la parte menor.

a) 32 y 28 b) 33 y 28 c) 32 y 29

d) 32 y 30 e) N.A.

14.Un gran salón de recepciones acoge a 100 personas entre hombres y mujeres. Si cada caballero pagó S/. 25 por la entrada y cada dama pagó S/. 10 por el mismo concepto, siendo la recaudación total de S/. 2050, ¿cuántos hombres más que mujeres asistieron a la reunión?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) NA

15.Las edades de un padre y su hijo son tales que su cociente es 5. Si dentro de 14 años el cociente será 7/3, calcular la edad del padre dentro de 6 años.

a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) NA

16.El triple de un número aumentado en 5 es igual a 38, si este es duplicado y aumentado en un segundo número, se obtiene 32. Calcular dichos números.

a) 11 y 13 b) 13 y 14 c) 10 y 12d) 10 y 11 e) N.A.

17.Dos cantidades son tales que el cociente de la suma entre la diferencia es igual a 11, mientras que el cociente del mayor entre el menor es 6/5. Calcular la diferencia del mayor menos el menor.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

18.Sebastián tiene en total 64 bolitas entre rojas y negras; observa que tiene 16 bolas rojas más que de las negras y que el doble del número de bolitas negras excede en 8 al número de bolitas rojas. Si decide regalar a su hermano menor la mitad de

las bolitas rojas, ¿con cuántas de este color se quedaría?

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) NA

19.Javier es mayor en 12 años que su hermano Miguel. Dentro de 8 años la relación de sus edades será de 2 a 1. ¿Cuál será la edad de Miguel dentro de 14 años?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) NA

20.Cuando mi mamá tenga 5 años más que yo tendré 11 años, si en la actualidad la suma de las edades es seis veces mi edad, ¿dentro de cuánto mi mamá tendrá 45 años?

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) NA

71

X

a b


7. INTERVALOS

7.1 Definición.- Un intervalo es un

subconjunto de R, cuyos elementos x

están comprendidos entre los extremos

a y b que puede o no estar incluidos en

él.

- +

a b Límite o extremo límite o extremo Izquierdo Derecho

7.2 CLASIFICACION.- Pueden ser limitados

e ilimitados.

7.2.1 INTERVALOS LIMITADOS

a) Intervalo cerrado.- es aquel que si

considera sus valores extremos y se

representa: [a :b ] .

Gráficamente:

- +

x∈ [a;b ]↔a≤x≤b

Como conjunto: {x∈ R/a≤x≤b }

b) Intervalo abierto.- Es aquel conjunto

de números que no considera a sus

valores extremos y se representa:

x∈ ]a;b [ ó ⟨a;b⟩

Gráficamente:

- a b +

x∈ ⟨a ,b⟩↔a<x<b

Como conjunto:{x∈ R/a< x<b }

72

X

a b


c) Intervalo semiabierto.- cuando incluye

a uno de sus extremos. Aquí se

presentan dos casos bien definidos:

- Abierto por la derecha y cerrado por

la izquierda

|a;b ⟩ó [ a; b[

- a b +

x∈[ a;b ⟩

Como conjunto: {x∈ R/a≤x∠b }

- Abierto por la izquierda, cerrado por la

derecha.

⟨ a ;b ] ó ]a ,b ]

- +

x∈ ⟨ a; b|↔a∠ x≤b{x∈ R/a∠ x≤b }

73

X

a+

X

a +

X

a +-

X

a +-


Ejercicios

Representar el intervalo de números reales x.

a. Comprendidos entre –3 y +4 considerando

a estos extremos.

b. comprendidos entre –5 y –2 sin considerar

a estos números extremos.

c. Comprendidos entre –5 y –2 sin considerar

solo a –5.

d. Comprendidos entre – 3 y +4 sin

considerar a +4.

7.2.2. INTERVALOS ILIMITADOS(Infinito)

Conviene usar el símbolo ∞ para indicar que la sucesión de números reales “x” tiende al infinito.

a. Intervalo ilimitado por la derecha

cerrado por la izquierda.

Se representa:

[ a ;+∞⟩ ó [ a ;+∞[

x∈[ a ;+∞↔a≤x +∠ ∞⟩ {x∈ R/ x≥a }{x∈ R/a≤x +∠ α }

b. Intervalo ilimitado por la derecha y

abierto por la izquierda

Se representa:

]a ,+∞[ ó ⟨a ;+∞⟩

x∈ ]a ;+∞[↔a∠ x +∠ ∞{x∈ R/ x>a }{x / xR ;a∠ x +∠ ∞ }

c. Intervalo ilimitado por la izquierda y

cerrado por la derecha.

Se representa:

⟨−∞ ;a| ó ]−∞ ;a ]

x∈ ⟨−∞ ;a|↔−∞∠ x≤a{x∈ R/ x≤a }{ x / x∈R ;−∞<x≤a }

d. Intervalo ilimitado por la izquierda y

abierto por la derecha.

Se representa:

⟨−∞ ;a⟩↔−∞<x<a

−∞

x∈ ⟨−∞; a⟩↔−∞< x<a{x∈ R/ x<a }

{x / x∈R ;−∞<x<a }

e. Infinito.-

x<+∞x>−∞

{x / x∈R;−∞≤x≤+∞ }

x∈ ]−∞;+∞[ ó ⟨−∞+∞⟩Gráficamente.

74


-∞ 0 +∞

Ejemplo:

1. Grafique el intervalo ⟨−8 ; 4|

2. Grafique el intervalo ⟨−7 ;14⟩

3. Grafique el intervalo [−3 ;+∞⟩

4. Grafique el intervalo [−∞ ;4 ⟩

5. Si x∈ {x / x∈R;2<x≤11 }

7.3 Operaciones con intervalos

Como los intervalos son subconjuntos de R, puede realizarse con ellos las propiedades operativas de los conjuntos como son: Unión, Intersección, Diferencia, Complemento.

7.3.1 Intersección: La intersección de dos o

más intervalos es otro intervalo

formado por todos o números que son

comunes a los intervalos dados.

1)

Si

A=|−2 ;9 ⟩ yB=⟨ 3 ;11|

Determinar A ¿ B

A∩B=⟨3; 9⟩2) Si :

Μ=[−2 ;7 ]N=⟨0 ;5⟩

Sus elementos comunes son:

M∩N=⟨0;5 ⟩

3) SiK= [−5 ;2 ]

L=[ 4 ,10 ⟩

K∩L=φ

7.3.2 Unión de dos o más intervalos es otro

intervalo formado por todos los

números comunes y no comunes a los

intervalos dados.

1. Si: G=[3 ;8 ⟩ y R ⟨6 ;14 ⟩Determinar : G U R

G∪R=[3 ;14 ⟩Si:

2.Si: E=[−3 ;7 ⟩ y I=⟨4 ;∞⟩E∪I=?

E∪I=[−3 ;+∞⟩

3. Si

75

A=[5 ;14 ] yQ=⟨7 ;12⟩A∪Q=?


A∪Q=[5 ;14 ]

4.Si:

N= [−4 ;3 ] ; I=⟨5 ;10 ;⟩=[8 ;13 ]Encuentre la unión de los mismos:

7.3.3 Diferencia.- La diferencia de dos o

mas intervalos es otro intervalo cuyos

elementos (números) serán todos aquellos

que pertenecen al primer intervalo, pero no

a los demás intervalos.

1)Si:

M=[−8 ; 4 ] yN=|0,7 ⟩Hallar : M−N

M−N=|−8 ;0 ⟩

2)Del ejercicio anterior, Halle M –N

N –M = ⟨4 ;7 ⟩

3) Encuentra A – B; si:

[2,2 ] y B = [ 4 ;∞⟩

A – B = [−2 ;2 ]7.3.4 Complemento: el complemento de un

intervalo, esta formado por todos los

números que no pertenecen al intervalo

dado:

Notación:N’ = R – Ndonde N es un intervalo

1. encuentra M’ si M = [−4 ;8 ⟩

M = ⟨−∞ ;4 ⟩¿ [ 8;∞⟩2. Encuentre el complemento de E U R

si:

Como

Como

EJERCICIOS

A. Los siguientes intervalos escríbelos en

forma conjuntista.

1.- ⟨5;∞⟩

76

N∪I∪L=[−4 ;3 ]∪⟨5 ;13|

E=[−2;2 ] yR=⟨7 ;∞⟩

−2 y2∈(EUR )→∉(EUR )'7∉(EUR )→∈(EUR ) '∴(EUR )=⟨−∞ ;−2⟩∪⟨ 2;7|

3 3


2.- [√3 ;∞⟩

3.-

[ 25;∞⟩

4.-⟨0 .6 ;∞⟩

5.- ⟨−∞ ;2. 5⟩6 .−|−√5 ;∞⟩7 .−⟨−∞ ;−1|8 .− [−√2 ;√5 ]9 .−⟨−3;5|

10 .−[35 ; 0. 8]11. .−⟨−9 .6 ;1 .1 ⟩12 .−[√3 ;√6 ]

B. Escribe con notación de intervalos los

siguientes conjuntos.

1 .−{x / x∈R ,x<−3 }2 .−{x / x∈R ,x>2 }3 .− {x / x∈ R ,x≤5 }4 .−{x / x∈R ,x≥−4 }5 .− {x / x∈ R ,−√2<x<√5 }

6 .−{x / x∈R ,12≤x≤0 . 8}

7 .− {x / x∈R ,2.5<x≤√10}8 .− {x / x∈ R ,−7≤x≤−4 }9 .− {x / x∈R , x<√6 }

10 .−{x / x∈R , x>−13 }

11.− {x / x∈R ,−√2≤x<1 }12 .−{x / x∈R ,0< x≤√7 }

C. ¿Qué intervalos representan los

siguientes gráficos?. Escríbelos.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

77

b


a

12.

D. Grafica los siguientes intervalos.

1.- [−√7 ;0 ]

2.-

[−23;3 ⟩

3.- ⟨−2 ;√5 ]

4.- [0 ;5 ]

5.- [−3 ;0 ]

6.- [−1 ;∞⟩

7.- ⟨4 ;5 ⟩

8.- ⟨−∞ ;−0 . 5⟩

9.- [5 .2;∞ ⟩

10.- ⟨−3 . 7 ;1. 1 ]

11.- ⟨−∞ ;0⟩

12.-

⟨−25;

12]

NIVEL IIA. Dados los intervalos:

A = [−3 ;5 ]

B= [1 ;∞⟩

C = ⟨−2 ;7|

D = ⟨−∞ ;1 ⟩

E = ⟨ 0;3 ]

B. Gráfica y halla:

1) AUB2 )CUD3 )DUB4 )B∩D5 )D∩E6 )E−B7 )B∪C8 )D∪E9 )A∩C10 )A∩E11 )A−C12)D−B

C. Dados los intervalos:

A = [−1 ;∞⟩

B = ⟨−∞ ;3⟩

C = [−5 ;−1 ]

D = ⟨−2 ;3 ]

E = [0 ;4 ]78


Gráfica y halla:

1 . A∪B2 . A∩C3 . A−D4 . A∩E5 .B−A6 .B∪C7 .B∩D8 .B∪E

9. C ¿ D

10. C ¿ E

11. D - E

12. E - B

D. Dado los intervalos

A=⟨3 ;8|B=⟨−7 ;5|∪⟨6 ;13⟩C=⟨4 ;6 ⟩∪⟨−8 ;−2⟩D=⟨−10;10|

Gráfica y halla:

01 . (A∪B )∩C02 . (A−B )∪D03 . (A−B )∩ (C−D )04 . ( A∪B )−(C∪D )05 . (B−C )−(A−B )06 . (C∪D )∩( A∩B )07 . (A−C )∩ (B−D )08 . (B−A )∪ (B−D )09 . D∪( A−C )10 . (D−C )−(D∪C )11. (D∩C )∪(B∩A )12 . (B∪D )−( A−C )

79


8 DESIGUALDAD E INECUACIONES

8.1. DESIGUALDAD

8.1.1. CONCEPTO

Es la relación que existe entre dos o mas expresiones reales de diferente valor. Signos de la relación:Son símbolos que se utilizan para representar una desigualdad y son:

Mayor que signos de relación simple

Menor que (estrictos)

Signos de

¿ Mayor igual que relación doble

¿ Menor igual que (no estrictos)

Si: a y b son dos extremos reales, entonces teniendo en cuenta a los signos de la relación, presentamos los siguientes casos:

a > b: se lee “a es mayor que b”.a < b: Se lee “a es menor que b”.

a ¿ b: Se lee “a es mayor ó igual que b”

a ¿ b: Se lee: “a es menor ó igual que b"

8.1.2. Propiedades de la Desigualdades

1. Propiedad

Si a ambos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, el sentido de la desigualada no se altera

Si :a>b→a±m>b±mEjemplo

Dada la desigualdad 6>2

adicionamos 4 a cada miembro

6+4>2+4

10>6 cierto. Dada la desigualdad

3≻−93−4≻−9−4−1≻−13

Cierto

2. Propiedad

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no varia.

Si :a>b→a .m>b .móam>bm

Si :m>0

Dad la desigualdad 5>3 y además

m = 8

5 x8>3x 840>24(Cierto )

Dada la desigualdad

x5>3

. Además m

= 5.

x5

.5>3 . 5

x>15

Si 30>18 y m = 6

Entonces:

306>

186

ó5>3

3. Propiedad

Si los dos números de una desigualdad se multiplican ó dividen por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.

80


Si :a>b→a .m<b .móam<bm

Si :m<0

Ejemplos:

Si: 7>2 y m = -4

Entonces:

7(−4 )<2(−4 )−28<−8

Se invierte el sentido

Si : -

x5>2

Entonces

−x5

.(−5 )<2 .(−5 )

x<−10

Si: 12>6 y m =-2

Entonces.

12−21

<6−2

−6<−3 ó

8.2. INECUACIONES

8.2.1 CONCEPTO

Una inecuación es toda desigualdad condicional que contiene una o mas cantidades desconocidas denominadas variables y que solo es verdadera para determinados valores de dicha variable los cuales se hallan contenidos en el conjunto solución.

Ejemplo de inecuación:

1). 3 x−7>14

Primer miembro Segundo miembroSolo se cumple si x es mayor que 7.

2). x+2>6

3).

5x3−8≤x−2

4). 3 x−5<10

8.2.2. INECUACIONES DE 1er GRADO CON

UNA INCÓGNITA.

Se llama inecuación de primer grado a toda inecuación que admite alguna de las siguientes formas:

ax+b>0ax+b<0

ax+b≥0ax+b≤0

Donde:X: es la incógnita.

a y b: parámetros / (a;b)⊂R

Consideremos la inecuación:ax+b<0→ax<−b

I). Si:

a>0→ x<−ba

es decir el conjunto solución es:

x∈ ⟨−∞;−ba⟩

II). Si:

a<0→ x>−ba

es decir el conjunto solución es:

x∈ ⟨−ba;+∞⟩

81


8.2.3. RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN

DE PRIMER GRADO.

Se procede de la siguiente manera:

1. Suprimimos los signos de colección.

2. Reducimos términos semejantes

3. Hacemos transposición de términos

empleando las propiedades de las

desigualdades.

4. Volvemos a reducir los términos

semejantes.

5. Se despeja la incógnita

Ejemplo:

Resolver 4 x−8<x−(3 x−4 )

Resolución:

Suprimimos los signos de colección:

4 x−8<x−3 x+4

Reducimos los términos semejantes:

4 x−8<−2 x+4

Transponemos términos:

4 x+2x<4+8Reducimos términos semejantes:

6 x<12

Despejamos la incógnita (x) dividiendo a ambos miembros por 6:

6 x6<12

6→ x<2

Graficamos:

X∈ ⟨−∞ ;2⟩

PROBLEMAS PROPUESTOS

A. Resolver y hallar el conjunto solución.

01 .. 3 x−2<802 .. 18 x−3+2 x≤4 x−903 . .10 x−(3x+2 )≥4 x−204 . . 17x−[ (3x+9 )−(2 x+1 ) ]≤7 x−2−3 x05 . . (3 x+4 )−(2 x+2 )≤3 x+106 . .−(13 x+8 )>−8 x+207 . .(3x+2 )+(2 x+9)≺208 . .x2+(3 x+1 )≥x ( x+1)−209 . .9 x+1−3≤( x−1 )−(3 x−2 )10 .. x−[ x−5 ( x−2 ) ]≥12x+411. . 4 x−7<3 x+812 .. 10 x−7<8 x+213 .. 13 x−12+( 4 x−2 )≥10 x−414 . .12 x−4−(2 x+2 )≥7 x−1315 .. 10 x−3− [3 x+7−x ]≺x+816 . .(7 x+1 )−(3 x+2)<8x−417 . .x (3 x+1 )<x ( x+1 )18 .. 3+2 x2≥5 x+x (2x+1 )19 .. 10 x−2+x2≤10−5 x+ x2

20 .. x (18 x−5)−(18 x ( x+1 )≤46

B. Expresar mediante inecuaciones los

siguientes enunciados:

1. Mi edad mas 17 es menor o igual que 29

2. tengo menos de 15 años

3. El triple de un número disminuido en 8 es

menor que 38

4. El doble del dinero que tengo,

aumentado en S/. 50 es menor o igual a

S/. 170.

5. En la prueba de matemática debo tener

18 ó menos.

82


6. El quíntuplo de mi edad disminuida en 7

es mayor al triple de mi edad aumentado

en 5.

7. El cuádruplo del dinero que tengo, menos

45 es mayor que cero.

8. El triple de un número menos 4 es mayor

o igual que el número mas 3.

9. Cinco veces la edad de una persona

disminuida en 8 es menor o igual a 27

más el doble de su edad.

10. Doble de mi edad aumentada en 7 es

menor que mi edad aumentado en 9.

11. La mitad del número de km. Que me falta

recorrer, aumentado en 1 es menor que

27

NIVEL II01. Resolver

2x+15

− x+12≻3x−10

10

a )x∈⟨∞ ;12⟩

b )x∈⟨∞ ;12⟩

c ) x∈|−∞;12⟩

d )x∈⟨−∞ ;12⟩

e )N . A .

02. Resolver

3x−15

> x+12+ 7−x

7

a )x∈⟨7 ;∞⟩b )x∈⟨3 ;4 ⟩c ) x∈ ⟨−1;2⟩d )x∈⟨1;5⟩e )N . A .

03. Resolver

4 x−9< 23x+ 3−4 x

4

a )x∈[−∞ ;94 ]

b )x∈|−∞ ;94⟩

c ) x∈ ⟨−∞;94⟩

d )x∈⟨∞;94⟩

e )N . A .

4.Resolver

x−32+ x−5

3>2( x−1 )

a )x∈⟨−∞ ;−2⟩b )x∈⟨−∞ ;4 ⟩c ) x∈ ⟨−∞;−1⟩d )x∈⟨−1;2⟩e )N . A .

5 Resolver

3( x−5 )−4( 4−3x )>2(7−x )−3( x−5 )a )x∈|3 ;−∞⟩b )x∈|−3 ;−∞⟩c ) x∈ ⟨−3;∞⟩d )x∈⟨3;∞⟩e )N . A .

6. Resolver

64

2

4

27

3

25 xxxx

83


;2..

;2..

;2..

;2..

;2..

xe

xd

xc

xb

xa

7. Resolver

(2 x−1)2+x ( x+1)+3>5x ( x−3 )+2( x−5 )a )x∈⟨−1 ;2⟩b )x∈⟨−∞ ;3⟩

c ) x∈ ⟨−75;∞⟩

d )x∈⟨−1;∞⟩e )N . A .

8. Resolver

3x5− 7

10− x

20> 1

5+7 x

20

a )x∈⟨92;∞⟩

b )x∈⟨34;2⟩

c ) x∈ ⟨−∞;2 ⟩

d )x∈⟨−∞ ;5 ⟩e )N . A .

9. El mayor número entero que verifica

es:

x4+1< x−5

2< x

3+2

a. 23 b. 25 c. 25d. 26 e. 27

10. Hallar la suma de elementos del conjunto:

15<x−3x−1

<23

six∈Za) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 100

11. Hallar el número natural que verifica.

4 x−32

−x> 23( x+1)

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 6

12. ¿cuál es el mayor número entero “x” que

verifica:

5x−14

−3 x−1310

>5 x+13

a. –1 b. –2 e. –3d. 0 e. 1

13. Resolver

5x−14

−3 x−1310

>5 x+13

a )x∈⟨∞ ;1⟩b )x∈⟨−∞ ;1⟩c ) x∈ ⟨−∞;−1⟩d )x∈ [−∞ ;−1 ]e ) x∈|∞;−1 ⟩

14. Resolver

3x5− 7

10− x

20> 1

5+7 x

20a )x≻4,5 b . .x≻5,4c ) x≻2 d . .x≻3e )N . A .

84


15. el menor valor de “x” que es entero y

cumple con:

2x+5−2

≺3( x−3 ) es

a. 1 b. 2 c. 3d. –2 e. N.A.

16. El mayor valor de “x” que es entero y

cumple con.

4 x−15

≥3 x−23 es

a. 2 b. 3 c. 4d. –1 e. N.A.

17. Resolver:

12(3 x+7 )≤7

3( x−4 )

a . .x∈|−9 ;∞⟩b . .x∈|9 ;∞⟩c .. x∈ ⟨9;∞⟩d .. x∈ [9 ;∞ ]e . . N . A .

18. El mayor valor entero que verifica es:

4 X+15

≥3 X−23

a. 1 b. 2 c. 3d. 4 e. 5

19. Resolver

2(4 x+2 )5

−( x−2)≤ 413(4 x+5 )

a . .x∈|2 ;−∞⟩b . .x∈|2 ;+∞⟩c .. x∈ [2 ;+∞ ]d .. x∈|−;+∞⟩e . . N . A .

20. Resolver

2x+2( x+5)+24

≺3( x+1)−( x−1 )

a )x∈|−∞ ;−2 ⟩b )x∈ [−∞ ;−2 ]c ) x∈ ⟨−∞;−2⟩d )x∈⟨−∞ ;2⟩eN . A .

NIVEL III

01. Hallar el mayor número entero que

cuyo cuádruplo, mas 5 es menor o igual

a 21.

a. 5 b. 4 c. 6d. 8 e.9

02. Hallar el mayor número entero, tal que

el doble de éste aumentado en 3 es

menor que 11.

a. –2 b. –3 c. 1d. 2 e. 3

03. Hallar el menor número entero que

restado de 28 siempre se obtiene una

diferencia menor que 50.

a. 12 b. 10 c. 11d. 13 e. 15

04. El triple de un número natural,

disminuido en 11 es mayor que 37

menos que el mismo número. Hallar el

menor número.

a. 12 b. 10 d. 11d. 13 e. 15

05. el triple del dinero que tengo

disminuido en 4 es mayor o igual que la

cantidad que tengo mas 3. ¿Cuál es la

menor cantidad que tengo?

a. S/. 3b. S/. 3.50 c. S/. 7b. S/. 7.50 e. S/. 9

06. A 29 se le resta 7 veces un número

entero positivo y el resultado es menor

85


o igual a 31 menos 9 veces el número.

Hallar el número.

a. 4 b. 2 c. 1d. –1 e. 3

07. el doble de mi edad mas cinco y

disminuido en 14 es menor que 11

menos mi edad disminuido en 3. ¿Cuál

es la mayor edad que puede tener?

a. 5 b. 4 c. 3d. 2 e. 1

08. Cinco veces la edad de mi hermano,

disminuido en 13 es mayor que tres

veces su edad, menos 7. ¿Cuál es la

menor edad que puede tener?.

a. 1 b. 3 c. –7b. 5 e. 8

09. Hallar la menor edad de una persona

sabiendo que el triple de su edad

disminuido en 17 es mayor o igual al

doble de su edad disminuido en 20.

a. 1 b. 3 c. –7d. 5 e. 8

10. Hallar el mayor número entero cuyo

triple disminuido en 14 es menor o

igual a la diferencia que se obtiene de

restar cinco de seis veces el número.

a. 5 b. –2 c. –3d. –4 e. –5

11. Obtener el mayor entero tal que cinco

mas siete veces el entero sea menor

que 40.

a. 8 b. 7 c. 6d. 5 e. 4

12. Hallar el menor par de números

naturales consecutivos tales que un

quinto del número menor sumado a un

sexto del número mayor exceda a 2.

a. 5 y 6 b. 7 y 8 c. 9 y 10d. 6 y 7 e. 8 y 9

13. Sara compra tres veces el número de

lapiceros de S/. 4. si no tiene mas de S/.

780 para gastar en lapiceros. ¿Cuál

será el número máximo de lapiceros de

S/. 3. que puede comprar?.

a. 180 b. 181 d. 182d. 183 e. 184

14. Nataly compra dos veces el número de

platos de S/. 7 que el de S/. 9, si no

tiene menos de S/. 414. Para gastar en

platos. ¿Cuál será el número mínimo de

platos de S/. 9. que puede comprar?

a. 17 b. 18 c. 19d. 20 d. 21

15. ¿Cuál es el mayor valor entero que

satisface la siguiente inecuación:

4 x+95

< 3x+64 ?

a. –4 b. –5 c. –6d. –7 e. –8

16. ¿Cuál es el menor entero que satisface

la siguiente inecuación:

2x−13

−14>4+ 2 x−10

8 ?a. 5 b. 6 c. 7d. 8 c. 9

17. ¿Cuál es el mayor valor natural que


7 ( x−2 )≥4 (5 x−9 )−4 ?a. 2 b. 4 c. 6d. 8 e. 10

18. ¿Cuál es el mayor valor natural que


x6+21< x

7+22

?a. 10 b. 11 c. 21d. 41 e. 51

86


19. ¿Hallar le menor entero que no

satisface a la siguiente inecuación:

11 x5−5 x

6− x

2≺26

?a. 31 b. 32 c. 33d. 34 e. 35

20. ¿Hallar el menor entero que no

satisface a la siguiente inecuación:

34

x+ x7−7

8x<1

?a. 57 b. 56 c. 55d. 54 e. 53

87

Psst!!!

Ningún ejercicio prosperará contra ti, si te esfuerzas y eres valiente.

algebra 1er.aÑo

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