álgebra 1

6
ÁLGEBRA 1 TEMA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ÁLGEBRA - TEMA 1 I. ECUACIÓN Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita. Notación: Primer miembro Segundo miembro A(x; y;...z) B(x; y;...z) Donde: x; y; ...; z: incógnita Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación. Por ejemplo: x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuacióncondicional. x 2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de x; es una identidad. Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =. A. Soluciones de una ecuación Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo: x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se con- vierte en una identidad. B. Operaciones aplicadas en la transformación de ecuaciones Si se suman miembro a miembro varias igual- dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z. Si se restan miembro a miembro varias igual- dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros con lo que se obtiene x = 2. Si se multiplican miembro a miembro varias igual- dades se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miem- bros de la igualdad:

Upload: iepjoseantonioencinas

Post on 23-Jan-2016

6 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Planteo de Ecuaciones

TRANSCRIPT

Page 1: álgebra 1

ÁLGEBRA 1TEMA

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ÁLGEBRA - TEMA 1

I. ECUACIÓNEs una igualdad entre dos expresiones matemáticasen la que al menos esté presente una variable queahora recibirá el nombre de incógnita.

Notación:

Primer miembro Segundo miembroA(x; y;...z) B(x; y;...z)

Donde: x; y; ...; z: incógnita

Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valoresde las incógnitas recibe el nombre de ecuacióncondicional o, simplemente, ecuación.

Por ejemplo:• x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una

ecuacióncondicional.• x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los

valores de x; es una identidad.Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =.

A. Soluciones de una ecuaciónLas soluciones de una ecuación son los valores delas incógnitas que transforman la ecuación en unaidentidad, es decir, se igualan ambos miembros. Lassoluciones satisfacen a la ecuación. Resolver unaecuación es hallar todas sus soluciones.Por ejemplo:

x = 2 es una raíz, o solución de la ecuaciónx + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2

en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dosmiembros se hacen iguales y la ecuación se con-vierte en una identidad.

B. Operaciones aplicadas en la transformaciónde ecuaciones• Si se suman miembro a miembro varias igual-

dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo laigualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambosmiembros, con lo que resulta x = y + z.

• Si se restan miembro a miembro varias igual-dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo,en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 aambos miembros con lo que se obtiene x = 2.

• Si se multiplican miembro a miembro varias igual-dades se obtiene otra igualdad.Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miem-

bros de la igualdad: 21 y 5x3 .

Se obtiene: y = 15x2

Análogamente, si los dos miembros de:

9 C k – 4925

se multiplican por: 59

Si la ecuación sólo posee una incógnita, las solucionesse denominan raíces de la ecuación.

IDEAS FUERZA

Los métodos para resolver ecuaciones se remontan a los babilonios (2000 a. de C.) quienes las describían con palabras, enlugar de con símbolos de variables, como x, y, etc. como lo hacemos hoy; en Italia en el siglo XVI, se efectuaron grandesprogresos en la obtención de soluciones de ecuaciones, y los avances continuaron en todo el mundo hasta mediados delsiglo XIX, en la actualidad se emplean computadoras para obtener soluciones aproximadas a ecuaciones muy complicadas.

Page 2: álgebra 1

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ÁLGEBRA1TEMA

Se obtiene 5C (k – 492)9

• Si se dividen miembro a miembro variasigualdades se obtiene otra igualdad siempre queno se divida por cero.

Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad3x = 6 por 3, se obtiene x = 2.Análogamente, en la igualdad F = ma se puede dividirlos dos miembros por m(m 0) obteniéndose:

Fa m

Fórmula:La fórmula es una ecuación que expresa un hechogeneral, una regla o un principio.

II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRA-DO CON UNA INCÓGNITAForma General: ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b

son constantes arbitrarias.Como primer paso para la resolución de esta ecuacióntransponemos “b” al segundo miembro obteniéndoseasí la ecuación equivalente.

ax = b

Después dividimos ambos miembros entre “a”, obte-niéndose otra ecuación equivalente que es la soluciónde la ecuación dada:

bx – a

Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0obtendremos la identidad:

ba – b 0a

–b + b = 0

Teorema:La ecuación lineal con una incógnitaax + b = 0, a 0Tiene solución única:

bx – a

III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CONUNA INCOGNITAA. Método de completar cuadrados

Consiste en completar el cuadrado de un binomioy está basado en la aplicación del siguiente teorema.

2 2a b a b a –b

Ejemplo:Hallar la solución de: x2 – 2x – 1 = 0Dar como respuesta la menor raíz.

Solución:Como es difícil de factorizar, usamos el método decompletar cuadrados, los pasos a seguir son:

x2 – 2x – 1 = 0Sumar y restar la mitad del coeficiente de x:

1 –2 –12

Elevado al cuadrado: (–1)2 = 1, nos queda en 1.

2

2 2 2

(x–1) 2

x – 2x 1 – 1 – 1 0

Aplicando el teorema:a2 = b2 a = b a = –b

2(x –1) 2 x –1 2 x –1 – 2

x 1 2 x 1 – 2

C.S. {1 2;1 – 2}

Observación

La aplicación de este teorema nos conducea la demostración de la fórmula de lassoluciones o raíces de una ecuación de se-gundo grado.

B. Fórmula generalSea: ax2 + bx + c = 0Donde: a 0

Para encontrar las soluciones necesitamos seguirlos siguientes pasos:

Factorizamos el coeficiente de x2.

2 2 b cax bx c 0 x x 0a a

2 b cx x 0a a

Sumar y Restar la mitad del coeficiente de x:

1 b b2 a 2a

elevado al cuadrado:2b

2a

Cualquier término puede transponerse de unmiembro al otro de una igualdad y, por lo tanto deuna ecuación, con la condición de que cambie signo.

IDEAS FUERZA

Page 3: álgebra 1

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ÁLGEBRA 1TEMA

2 2 2 22

2

bx2a

b b b c b b cx x – 0 x – 0a 2a 2a a 2a a4a

Raíces

2 2 2

2 2b b c b – 4acx –2a a4a 4a

Si: 2b – 4ac 0, las soluciones son:

2 2b b – 4ac b b – 4acx o x+ –2a 2a 2a 2a

2 2b b – 4ac b b – 4acx – o x=– –2a 2a 2a 2a

2 2–b b – 4ac –b – b – 4acx o x2a 2a

Finalmente; las raíces de la ecuaciónax2 + bx + c = 0, están dadas por:

2–b b – 4acx 2a

b) 4t2 + 12t + 9 = 0En este caso: a = 4, b = 12, c = 9

Luego:2

1,2–(12) (12) – 4(4)(9)t 2(4)

1,2–12 0t

8

–12 0 3–8 2

–12 – 0 8–8 3

–3C.S. 2 es una raíz doble.

c) 9x2 + 18x –17 = 0Tenemos: a = 9, b = 18, c = – 17Luego:

21,2

–(18) (18) – 4(9)(–17)x 2(9)

1,2–18 936x 18

1,2–18 6 26x

18

–3 – 263

–3 263

–3 26 –3 – 26C.S. ;3 3

IV. VALOR ABSOLUTOA. Definición

Sea a , el valor absoluto se denota por |a|, elcual se define por:

a ; a 0aa; a 0

Ejemplos|7| = 7|–219| = – (–219) = 219

B. Teoremas• a 0; a

• a a ; a

Ejemplo:Resolver aplicando la fórmula general:

a) x2 – 3x + 2 = 0En este caso: a = 1, b = – 3 , c = 2

Sabiendo que:2

1,2–b b – 4acx 2a

Luego:2

1,2–(–3) (–3) – 4(1)(2)x 2(1)

1,23 1x

2

3 1 22

3 – 1 12

C.S.{1,2}

A la expresión b2 – 4ac la llamaremos discriminantey la simbolizaremos por .

Así tenemos: – 2b 4ac

IDEAS FUERZA

Page 4: álgebra 1

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ÁLGEBRA1TEMA

• ab a b ; a,b

•aa ; a ; b {0}b b

• 2n 2na (a) ; a ; n

• 2n 2na a ; a ; n

• Si: |a + b| = |a| + |b|, entonces ab 0

• Si: |a + b| < |a| + |b|, entonces ab < 0

• Si: |a + b| |a| + |b|, a,b

C. Ecuaciones con valor absoluto

Caso I

x 0 x 0

Ejemplo:

x 2 0 x 2 0

x = 2

Caso II

x a (a 0) (x a x a)

Ejemplo:

x 3 7 (7 0) (x 3 7 x 3 7)

(x 10 x 4)

x 2 4 4 0 (Falso)

C.S.

Caso III

x a (x a x a

Ejemplo:

x 2 2x 1 x 2 2x 1 x 2 (2x 1)

x = -1 x = 1

C.S. { 1; 1}

IDEAS FUERZA

; , a b a b a b

Llamaremos desigualdad triangular, este teorema va aser de gran utilidad en la resolución de ecuaciones einecuaciones con valor absoluto.

¡No olvides nunca de verificar la solución! El nohacerlo te puede causar grandes molestias, pues esposible que la solución no verifique la igualdad de laecuación.

SUGERENCIAS

Problema 1El producto de las raíces reales de laecuación

2 2x 3x 6 3x x 4 es:

UNI 2004 - IINivel fácil

A) – 2 B) – 1C) 1 D) 2E) 3

Resolución:La ecuación es:

2 2x 3x 6 x 3x 6 2 0

Si 2x 3x 6 a; a 0 2a a 2 0

(a - 2)(a + 1) = 0

a = 2 ó a = –1Como a 0 a 2

Ahora: 2x 3x 6 2

2ó x 3x 2 0

de donde: x1 . x2 = 2

Respuesta: D) 2

Problema 2Dada la ecuación algebraica

2x 4 3 x2x 3

Determine el número de raíces realesque posee dicha ecuación:

UNI 2005 - INivel intermedio

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

Resolución:

22 x 4 3x x 3 ; x 3

I. 2x 3 x 9x 8 0(x 8)(x 1) 0

x 8 ; nopues x 3x 1 ; sipues x 3

II. 2x 3 5x 9x 8 0

9 241x ; nopues x 32(5)

9 241x ; nopues x 32(5)

Respuesta: B) 1

Page 5: álgebra 1

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ÁLGEBRA 1TEMA

Problema 3(x1, x2, ..., x20) es una 20-upla denúmeros reales. Sea la ecuación:(x1 - x2)2 + (x2 - x3)2 + (x3 - x4)2 + ... +(x19 - x20)2 + (x20 - x21)2 - 1El número de 20-uplas de númerosenteros (x1, x2, ..., x20) que son solu-ciones de la ecuación anterior es igual a:

UNI 2006 - INivel difícil

A) 0 B) 1 C) 19D) 20 E)

Resolución:

Sea: 1a x 2x

2b x 3x

3c x 4x

19 20

20 1

h x x

l x x

Sumando: a + b + c + ... l = 0 ... (I)también: 2 2 2 2a b c ... 1...(II) Como 1 2 3 20x , x , x ,..., x z , entonces:

a, b, c, ..., z

De (I) al cuadrado

2 2 2 2a b c ... 2 ab ac ... a

1 2 ab bc ... a 0

ab bc ... a 1 / 2 ( )

La ecuación no tiene solución, puestoque la suma de productos enteros nopuede ser un número fraccionario.

Respuesta: A) 0

NIVEL I1. Calcular el valor de "p" para que la

ecuación en "x":2px 3 3px 2 2p 3x 1 x 1

se reduzca a una ecuación lineal.A) –1 B) 1/2 C) –1/2D) 1/3 E) N.A.

2. Resolver la siguiente ecuación:2 7 2 5 7 5

5 7 2a b x a c x b c x

c b a

2 7 54x 1

a b c

A) a2 + b7 + c5 B) a + b + cC) abc D) 1E) (abc)/4

3. Al resolver la ecuación en x: p qpx qx q qx px pqb pa p pb qa q y cal-

cular la expresión abx

para a y bvalores naturales consecutivos, seobtiene un número:A) parB) imparC) negativoD) fraccionarioE) cuadrado perfecto

4. Si: n N , entonces un valor de xque satisface la siguiente ecuación:

2 2 2(x 1) (x 3) (x 5) ...

2 2(x 2n 1) n(n 1)x3

A) 2n + 1 B) 2n – 1

C) 1 – 2n D) 2n 13

E) 2n 13

5. Indicar la suma de soluciones quese obtienen al resolver:

2 2x 6x 9 4 x 6x 6

A) 12 B) 6 C) 18D) 15 E) 13

6. Resolver: 21 1 2x 1

2x 1 x x x

A) –1 B) –2 C) –3D) 2 E) 3

7. Si {x1; x2} es el conjunto soluciónde la ecuación:

4x 5 3x 1 x 1 2x 1

entonces el valor de 2 21 2N x x es:

A) 5 B) 17 C) 26D) 29 E) 34

NIVEL II8. Hallar el valor de "x" que verifica:

3 314 x 14 x 4

A) 179 B) 165 C) 170D) 169 E) N.A.

9. Un polinomio presenta la siguiente forma:4 n 3 2P(x) 5 x (x 2) (x 8)

luego:

A) 5 es una raíz de multiplicidad 4.B) Cero es una raíz de multiplicidad "n".C) –2 es una raíz de multiplicidad 3.D) 1 es una raíz de multiplicidad "n".E) Hay 2 correctas.

10. Dado el siguiente polinomio:3 2P(x) x 3x 10x 24

¿Qué alternativa presenta un cerode P(x)?A) –6 B) –4 C) 3D) 2 E) –2

11. Determine una de las raíces de laecuación: x4 – 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0

A) 1 3 52 B) 1 5 32

C) 1 3 52 D) 1 4 52

E) 1 4 52

12. Calcular la suma de las raíces noreales de la ecuación:2x5 – 7x4 + 6x3 – 6x2 + 7x – 2 = 0A) –1 B) –1/2 C) 1/2D) 1 E) 0

13. Si T es el conjunto solución de la ecua-ción: x 2 x 1 3 , entoncesdel conjunto T se puede afirmar:A) T ; 1

B) T ;1

C) 2;2 T

D) T ; 1 {2}

E) T { 1;2}

Page 6: álgebra 1

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ÁLGEBRA1TEMA

14. Hallar la suma de soluciones de laecuación:

2 2x 8x 16 1 2x x 7

A) 1 B) 2 C) 3D) –1 E) 5

15. Si A = {x1; x2} con x1, x2 es elconjunto solución de la ecuación:

2x 2 2 x 2 5 6

entonces el valor de x1 + x2 es:A) 6/5 B) 4C) 5 D) 2 13E) 4 13

NIVEL III16. Determine la suma de los elementos

del conjunto:

26x x 4A x / 14 x

A) 5 B) 7 C) 8D) 9 E) 12

17. Si M es un conjunto definido por:2M {x / 2(x x 7x) 35

x x 7}

entonces indicar el valor de verdadde las siguientes proposiciones:p : x M; x 5

q : x M; x 3 r: M es un conjunto unitarioA) VVV B) FVFC) VVF D) FVVE) VFF

18. Sea M un conjunto definido por: A x / x 1 x 2 x 3

Si s es la suma de los elementosdel conjunto M, entonces la afir-mación correcta es:

A) s 1;3

B) n(M) = 3

C) n(M)M

D) s 6;9

E) s n(M) M

19. Si m y n son raíces de la ecuaciónpolinomial que se obtiene al trans-formar:

22

2 2(x 2)3 4x x 1 35 x x 1 x x 1

Halle el valor de: a = mn + nm

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 16

20. Indicar la suma de raíces en:3 2 x 1 x 1

A) 5 B) 7 C) 10D) 20 E) 13

1. Sea la ecuación: (x – 3)2(x + 1)5(x + 3)7 = 0Indicar:• Cantidad de raíces: ________________________

• Cantidad de soluciones: ____________________

2. Calcular el valor de "m" de modo que -1 sea raíz de laecuación:

x3 + (m + 2)x2 + (1 – m)x – 2 = 0

Rpta: _____________________________________

3. Resolver:a b(x a) (x b); a bb a

Rpta: _____________________________________

4. Resolver:x 1 3 x 23 x x 1

Rpta: _____________________________________

5. Si "2" es una de las raíces de la ecuación es "x"x2 – (k – 3)x – 6 = 0

Calcular la otra raíz

Rpta: _____________________________________

6. Resolver:3x 2 2 x

Rpta: _____________________________________

7. Resolver:

x 1 x 2 1

Rpta: _____________________________________

8. Resolver:2x 6x 9 x 2

Rpta: _____________________________________

9. Resolver:x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0

Rpta: _____________________________________

10. Hallar cuántas raíces racionales tiene la ecuación:x4 – x3 + 5x2 – 4x + 4 = 0

Rpta: _____________________________________