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aletosFísica para Ciencias e Ingeniería

TEMA 5.3LEYES DE FARADAY Y LENZ

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1. Ley de Faraday

Supongamos un circuito C1 en forma de espira, de resistenciaeléctrica R1, al cual se hace llegar por medio de un hilo conductoruna corriente de intensidad I1, y se le hace salir a lo largo de otrohilo conductor paralelo al anterior.

El circuito se cierra con un generador de f.e.m., un interruptor yuna resistencia variable (reostato), no representados en la figura.

Una segunda espira C2, de resistencia R2, que no está conectadaa ningún otro circuito y que no contiene ningún generador de f.e.m.,se encuentra próxima a la espira C1, como indica la figura 1.

Supondremos intercalado un galvanómetro suficientemente sen-sible en la espira C2, que no está representado en la figura, paradetectar la circulación de cualquier intensidad de corriente, porpequeña que ésta sea.

Se observa experimentalmente que el galvanómetro intercaladoen la espira C2 señala el paso de corriente eléctrica en los siguientescasos:

Los resultados obtenidos por Faraday y Henry en el estudio del fenómeno de la inducción electromagnéti-ca fueron consecuencia de las observaciones efectuadas en la realización de una serie de experimentos quevamos a describir a continuación:

Fig. 1

I.- Si las espiras C1 y C2 son rígidas, y por tanto indeformables, y se encuentran sujetas por algún proce-dimiento de forma que estén fijas, o estacionarias,

a) Cuando se establece o se suprime la corriente eléctrica en la espira C1, cerrando o abriendo elinterruptor intercalado en su circuito.Se observa que circula por la espira C2 una corriente transitoria, que se amortigua, normalmente, alcabo de un tiempo muy corto, cuyo sentido es opuesto al de la corriente que se establece o se supri-me en la espira C1.b) Cuando se hace variar la intensidad de la corriente en la espira C1 por medio del reostato inter-calado en su circuito.Mientras varía la corriente en la espira C1, circula corriente por la espira C2, y cambia de sentido sila variación de la intensidad de la corriente I1 cambia asimismo de sentido, es decir, si aumenta enlugar de disminuir o si disminuye en lugar de aumentar.

II.- Si las espiras C1 y C2 son rígidas, y la intensidad de la corriente I1 permanece constante,c) Cuando una cualquiera de las dos permanece fija y la otra cambia de posición efectuando unmovimiento de traslación, acercándose o alejándose a la primera, o girando alrededor de un eje, oefectuando ambos movimientos simultáneamente.d) Si las dos espiras efectúan un movimiento relativo de traslación, rotación, o ambos simultánea-mente.

III.-Si las espiras C1 y C2 están fijas y la intensidad de la corriente I1 permanece constante,e) Cuando una cualquiera de las dos espiras, o ambas, experimentan deformaciones en suconfiguración geométrica.

IV.- f) Cuando se combinan entre sí varias de las situaciones descritas anteriormente.V.-Si se sustituye el circuito C1 por un imán en forma de barra, como muestra la figura 2,

g) Cuando, permaneciendo el imán fijo, la espira C2 cambia de posición, efectuando un movimien-to de traslación o de rotación, o cualquier movimiento arbitrario que sea combinación de ambos, obien experimenta una deformación, cambiando su estructura geométrica.h) Cuando la espira C2 permanece fija e indeformable y el imán se acerca, o se aleja, o efectúauna rotación alrededor de un eje, o cualquier movimiento arbitrario.i) Cuando se combinan las situaciones descritas en los apartados anteriores g) y h).

C1

C2

II

Fig. 2 C2

NS



2

Si se analizan detenidamente los casos anteriormente descritos, puede observarse que en todos ellos varíael número de líneas de fuerza del campo magnético que atraviesan a la espira C2, y, en consecuencia, varía elflujo magnético a través de dicha espira.

Conviene insistir en queLa corriente que detecta el galvanómetro instalado en la espira C2 circula por dicha espira mientras seproducen los cambios descritos, es decir, mientras varía el flujo magnético a través de la espira C2, amor-tiguándose su intensidad casi instantáneamente al cesar dichos cambios.

En consecuencia, se pueden explicar los resultados de las experiencias anteriores interpretando que en laespira C2 se induce una f.e.m. dada por la expresión,

ε = −dΦ

dtindependientemente de cómo se produzca la variación de flujo magnético.

Estos resultados se conocen con el nombre de ley de FARADAY y LENZ de la inducción electromagnética.El signo negativo de la expresión anterior constituye la denominada ley de Lenz que se explicará más ade-

lante.

La expresión

dΦdt

que recibe el nombre de Ley de Faraday, refleja la forma según la cual varía el flujo

magnético a través de una superficie conforme varía el tiempo, es decir, a medida que transcurre el tiempo.La ley de Faraday, que se estableció experimentalmente, no constituye una deducción obtenida a partir de

otras leyes, y no es, en absoluto, como a veces se indica, una consecuencia de la conservación de la energíaaplicada a los fenómenos que tienen lugar entre corrientes en presencia de campos magnéticos.

Puesto que el flujo magnético a través de la superficie que abarca un circuito es

Φ = dΦ

S∫ = B

⋅da= Bda cosθ

S∫

S∫

se puede expresar la f.e.m. inducida en la forma

ε = −dΦ

dt= −

ddt

B⋅da

S∫ = −

ddt

Bda cosθS∫

donde S representa la superficie que abarca el circuito.

El símbolo −

ddt

representa la variación temporal de la integral que figura a continuación, es decir,

refleja la forma en que que varía dicha integral conforma transcurre el tiempo.De modo que,

Se inducirá una f.e.m. en un circuito si varía con el tiempo cualquiera de los factores que aparecen en elintegrando.

Así que, si uno cualquiera de los tres factores que aparecen en el integrando es variable con el tiempo, esdecir:

Si

dBdt

≠ 0

dadt

≠ 0 o dos de ellos, o los tres simultáneamente, son no nulos, evidentemente, ddt

Bda cosθ ≠ 0S∫

dθdt

≠ 0

y se inducirá en el circuito una f.e.m.

ε = − d

dtBda cosθ

S∫

En el caso de que el circuito sea rígido y esté sujeto por algún procedimiento, es decir, sea fijo, la super-ficie que encierra es invariable en tamaño y en posición y, en consecuencia, la derivada respecto al tiempopuede pasar dentro de la integral,

ε = − ∂B

∂tS∫ da

[1]

[2]

[3]



3

donde aparece como derivada parcial, ya que, en el caso más general, B es función tanto del tiempo como delas coordenadas de cada punto del espacio; es decir, B puede ser distinto en cada punto, en un instante dado,y variar a su vez conforme transcurre el tiempo, en todos los puntos.

Y, a su vez, puesto que,

ε = E

eq

⋅dl

C∫

se puede escribir,

ε = E

eq

⋅dl

C∫ = −

∂B

∂tS∫ da

2. Ley de Lenz

HEINRICH FRIEDRICH EMIL LENZ (1804-1865) fué un físico ruso que llevó a cabo casi simultáneamente, sinconocer los descubrimientos de Faraday y de Henry, muchos de sus experimentos.

La ley de Lenz se refiere al signo negativo de la expresión de la f.e.m. inducida:

expresión que sirve como punto de partida para la obtención de una de las ecuaciones de Maxwell que cons-tituyen la base del estudio de las ondas electromagnéticas.

ε = −dΦ

dtque indica, como se comprueba experimentalmente, que

La f.e.m. inducida en un circuito, a causa de la variación de flujo a través del mismo, origina una corrien-te de un sentido tal que tiende a oponerse a dicha variación.

Se puede enunciar, pues, queEl sentido de la f.e.m. inducida es tal, que se opone a la causa que la produce.

Este enunciado se conoce como ley de Lenz y constituye una regla muy útil cuya aplicación es, en muchoscasos, la manera más rápida, y a veces la única, de determinar el sentido de la f.e.m. inducida.

Se debe tener cuidado, no obstante, en analizar en cada caso cuál es realmente la causa que origina la f.e.m.inducida.

En ningún caso debe interpretarse que la f.e.m. inducida es negativa.Es un error dar como resultado numérico de la f.e.m. inducida, en un ejercicio o en un problema, por ejem-

plo, un valor de ε = -8 voltios. No tiene ningún sentido, porque cuando una f.e.m. es negativa significa queestá conectada en un circuito en oposición con otra u otras f.e.m., y ésta no es la situación.

Solamente se debe conservar el signo negativo en la expresión de la f.e.m. cuando el flujo magnético esuna función explícita del tiempo, y su derivada respecto al tiempo es asimismo una función del tiempo.

Para aclarar todos estos aspectos consideremos el siguiente ejemplo:Supongamos una espira circular conductora muy delgada, de radio a y resistencia R, situada en una región

del espacio donde existe un campo magnético cuyas líneas de inducción son perpendiculares al plano de laespira, alejándose del lector, como indica la figura 3.

Fig. 3

aO

B

dBdt

> 0

Denominaremos a este campo como campo magnético exterior o impues -to, para distinguirlo del que aparece como consecuencia de los fenómenosmagnéticos que se originan a causa de la variación temporal de dicho campomagnético exterior, y que describiremos a continuación.

En el caso más general, el módulo del campo magnético es función a lavez del tiempo y de las coordenadas de cada punto del espacio, B(r, t), esdecir, que en un cierto instante, el campo magnético es distinto en los dife-rentes puntos del espacio, y, a su vez, en cada punto varía con el tiempo.

Comenzaremos por considerar el caso sencillo en el que el campo magné-tico depende solamente del tiempo, es decir, B = B(t).

Supongamos que el módulo del campo magnético representado en lafigura aumenta conforme transcurre el tiempo, de modo que,

Vamos a determinar el sentido de la f.e.m. inducida en la espira, por medio de la ley de Lenz.



4

Para ello, se pueden seguir diferentes métodos. El que se explica a continuación puede parecer, tal vez, unpoco extenso, pero es probablemente más claro y seguro que otros.

El razonamiento para interpretar la ley de Lenz, en este caso, es el siguiente:a) El aumento del módulo del campo magnético conforme trascurre el tiempo da lugar a un aumento

del flujo magnético Φ a través de la superficie que abarca la espira.b) Este aumento del flujo magnético origina una f.e.m. inducida en la espira, que, a su vez, produce

una corriente inducida.c) Esta corriente inducida, al circular por la espira, crea un campo magnético inducido Bi cuyas líne-

as de fuerza son perpendiculares al plano de la espira y cuyo sentido debe ser tal que se oponga a la varia -ción del campo magnético exterior.

d) Puesto que éste está aumentando, el campo magnético inducido Bi debe ser de sentido contrariopara oponerse a ese aumento. Por consiguiente, el sentido de Bi estará dirigido hacia el lector.

e) Para que el campo magnético inducido Bi tenga ese sentido, la corriente que lo origina debe circu-lar por la espira en sentido contrario al de las agujas del reloj y, en consecuencia, la f.e.m. inducida queda lugar, a su vez, a esta corriente, deberá tener este mismo sentido.

El sentido de la f.e.m. inducida en la espira es contrario al de las agujas del reloj.

aO

B

Iiεi

Fig. 4

La interpretación de la ley de Lenz, en este caso, lleva a la conclusión deque el campo magnético inducido Bi debe ser de sentido contrario al campomagnético exterior porque así actúa oponiéndose a su aumento, y por con-siguiente, el campo magnético exterior tiende tiende a quedar disminuido.

De esta forma la f.e.m. se opone a la causa que la produce, que, en estecaso, es el aumento del campo magnético exterior.

Es muy importante entender que, en situaciones como la descrita ante-riormente,

El campo magnético inducido Bi no se opone al campo magnéticoexterior, sino a su variación.

dBdt

< 0

El razonamiento, ahora, para interpretar la ley de Lenz es el siguiente:a) La disminución del módulo del campo magnético conforme trascurre

el tiempo da lugar a una disminución del flujo magnético Φ a través de lasuperficie que abarca la espira.

b) Esta disminución del flujo magnético origina una f.e.m. inducida enla espira, que, a su vez, produce una corriente inducida.

c) Esta corriente inducida, al circular por la espira, crea un campo mag-nético inducido Bi cuyas líneas de fuerza son perpendiculares al plano de laespira y cuyo sentido debe ser tal que se oponga a la variación del campomagnético exterior.

d) Puesto que éste está disminuyendo, el campo magnético inducido Bi debe ser del mismo sentido que elcampo magnético exterior para oponerse a su disminución. Por consiguiente, el sentido de Bi estará dirigidohacia adentro alejándose del lector.

e) Para que el campo magnético inducido Bi tenga ese sentido, la corriente que lo origina debe circular porla espira en el sentido de las agujas del reloj y, en consecuencia, la f.e.m. inducida que da lugar, a su vez, aesta corriente, deberá tener ese mismo sentido.

La interpretación de la ley de Lenz en este caso, lleva a la conclusión de que el campo magnético induci-do Bi debe ser de igual sentido que el campo magnético exterior para compensar su disminución, y por con-siguiente, éste tiende tiende a quedar reforzado.

De esta forma la f.e.m. se opone a la causa que la produce, que, en este caso, es la disminución del campomagnético exterior.

Otro ejemplo aclarará este aspecto.Supongamos ahora que la espira se encuentra sometida a un campo magnético exterior de igual dirección

y sentido que el del ejemplo anterior, pero cuyo módulo disminuye conforme transcurre el tiempo, es decir,

aO

B

Iiεi

Fig. 5

Obsérvese que en los dos casos estudiados anteriormente el campo magnético exterior es de igual direccióny sentido, y sin embargo, la f.e.m. inducida en cada caso tiene distinto sentido.

La explicación, como ya se ha indicado anteriormente, radica en el hecho de que, El campo magnético inducido Bi no se opone al campo magnético exterior, sino a su variación.

A la vista de los resultados anteriores, y siguiendo un razonamiento similar, el lector podrá llegar fácilmen-te a la conclusión de que, en los dos casos correspondientes a las figuras 6 y 7, el sentido de la f.e.m. induci-da es el que aparece indicado en las mismas.

aO

B

Iiεi

Fig. 6 Fig. 7

aO

B

Iiεi

Si dB

dt> 0

Si dB

dt< 0

ε = −dΦ

dt= −

ddt

B

da= −

ddt

BdaS∫ cosθ

S∫

Veamos ahora cómo se calcula el valor de la f.em. inducida para cualquiera de los casos discutidos ante-riormente.

La expresión de la f.e.m. inducida es

donde como se recordará, el vector da y el ángulo θ tienen el mismo significado que en la definición del flujodel campo eléctrico.

Puesto que en los casos discutidos anteriormente el campo magnético es perpendicular al plano de la espi-ra, el vector que represente a cualquier elemento de área de la misma será un vector de igual dirección que elcampo magnético, y puesto que en estos casos el sentido no está determinado por ninguna propiedad física,se puede tomar arbitrariamente, de forma que lo consideraremos, en cada caso, de igual sentido que el campomagnético.

Por consiguiente, el ángulo θ formado por los vectores B y da es 0º, y, por tanto, cos θ =1.De modo que,

ε = − d

dtBda

S∫ cos0º= − d

dtBda

S∫

En la expresión anterior, el módulo del campo magnético, B, puede salir fuera de la integral porque aun-que es variable con el tiempo, geométricamente es constante en cada instante para todos los puntos de lasuperficie abarcada por la espira.

Habrá que tener especial cuidado, de ahora en adelante, en distinguir claramente cuándo una magnitudvaría temporalmente, y cuándo geométricamente, o espacialmente.

La expresión anterior queda, pues, en la forma:

ε = −dB

dtda

S∫ = −πa2 dB

dt

y puesto que el signo negativo ya se ha interpretado por medio de la ley de Lenz, indicando en el caso de lafigura [2.13], que el sentido, tanto de la corriente inducida como de la f.e.m., es el de las agujas del reloj, yque en el caso de la figura [2.14], son de sentido contrario al de las agujas del reloj, queda en definitiva,



5

ε = πa2 dB

dtSe puede calcular ahora la intensidad de la corriente que circula por la espira, en los sentidos indicados en

cada caso, sin más que aplicar la ley de Ohm,

I = ε

R=πa 2

RdBdt

Conviene volver a insistir en un aspecto que ya se ha comentado anteriormente:En ningún caso debe interpretarse la ley de Lenz en el sentido de que la f.e.m. inducida sea negativa.El signo negativo, se debe conservar en la expresión de la f.e.m. solamente cuando el flujo magnético esuna función explícita del tiempo, y su derivada respecto al tiempo es asimismo una función del tiempo.

Veamos ahora un ejemplo de esto último.Supongamos que la espira conductora de radio a, y resistencia R, de los ejemplos discutidos anteriormen-

te, se encuentra en una región del espacio donde existe un campo magnético cuyas líneas de fuerza son per-pendiculares al plano de la espira y cuyo módulo varía conforme transcurre el tiempo según la relación

B = B0 sen ωtPara interpretar correctamente los resultados finales, conviene representar gráficamente esta función sobre

un sistema de coordenadas cartesianas, tomando B sobre el eje de ordenadas y ωt sobre el eje de abscisas.Así se obtiene la gráfica indicada en la figura 8.

Se observa que el módulo del campo magnético es nuloen el instante t = 0, aumenta hasta su valor máximo B0 ent = π/2ω, se anula en t = π/ω, en cuyo instante el campomagnético cambia de sentido, aumenta en este sentidohasta alcanzar su valor máximo –B0 en el instante t = 3π/2,decrece a continuación a medida que transcurre el tiempo,y finalmente se anula para t = 2π.

Para tener una referencia temporal y geométrica, supon-dremos que, a partir del instante t = 0, en que comenza-mos a contar el tiempo, el campo magnético está dirigido Fig. 8

B0

–B0

π/2 3π/2π 2π ωtO

hacia el lector, como indica la figura 2-16, en el sentido positivo del eje OZ.Tomaremos el plano de la espira como plano XY, y el punto, O, como origen de coordenadas.

Con este convenio, cuando el campo magnético en un cierto instante seapositivo en la representación gráfica en función de ωt, estará dirigido haciael lector en la figura correspondiente al plano de la espira, y cuando seanegativo se alejará del lector.

El flujo magnético a través de la espira es,

Fig. 9

aO

B

Φ = B

da= Bda

S∫ cosθ

S∫ = Bda

S∫ cos0º= Bda

S∫ = πa 2B = πa 2B

0senωt

Porque aunque es variable con el tiempo, geométricamente es constante en cada instante para todos lospuntos de la superficie abarcada por la espira.

Si llamamos, para abreviar, Φ0 = πa2B0, que representa el valor máximo del flujo, la f.e.m. inducida en laespira es, según la ley de Lenz y Faraday,

ε = −dΦ

dt= −

ddt

(πa 2B0sen ωt)= −πa 2B

0ω cos ωt = −ε

0cos ωt

relación en la que se ha sustituido πa2B0w por ε0, paraabreviar, y representa el valor máximo de la f.e.m. indu-cida.

Se debe conservar el signo negativo por ser una fun-ción explícita del tiempo, ya que de esta forma quedanfielmente reflejados en dicha expresión el valor de la f.e.m.inducida y su sentido conforme transcurre el tiempo.

Se comprenderá mejor esto último si hacemos unarepresentación gráfica de B, Φ y ε sobre unos ejes decoordenadas, en función del tiempo.

Se pueden dibujar superpuestas las tres gráficas si seadoptan escalas adecuadas para cada magnitud, tomandovalores de B, Φ y ε, sobre el eje de ordenadas, y valoresde ωt sobre el eje de abscisas.



6

El módulo del campo magnético puede salir fuera de la integral desuperficie extendida al área encerrada por la espira, por la razón que ya seha expuesto anteriormente:

B0

–B0

π/2 3π/2π 2π ωtO

Φ0

−Φ0

ε0

–ε0

ε(t)

B(t)

Φ(t)

Fig. 10



7

Se puede representar asimismo la gráfica de la intensidad de la corriente que circula por la espira, que seobtiene fácilemnte a partir de la ley de Ohm, pero se ha omitido para simplificar la figura.

Puesto que el módulo del campo magnético, B, el flujo magnético, Φ y la f.e.m., ε, son funciones armóni-cas del tiempo basta hacer la representación gráfica para un periodo, es decir desde ωt = 0, hasta ωt = 2π.

Las gráficas que se obtienen son las que aparecen en la figura 10.Vamos a analizar, a la vista de estas gráficas, la interpretación de la ley de Lenz en cada cuarto de perio-

do.En la figura 11 se ha representado la misma gráfica que en la figura precedente, 10, con la diferencia de

que se ha extendido la escala del eje de abscisas, con objeto de poder superponer en la parte inferior de lafigura la situación correspondiente a la espira conductora en cada cuarto de periodo.

Como puede observarse, aparecen indicados los sentidos de la f.e.m. y de la corriente inducidas en la espi-ra, aunque no se ha representado la gráfica de la intensidad, como ya se ha indicado anteriormente, por razo-nes de claridad. No obstante, el sentido de la intensidad de la corriente inducida y su variación temporal sonen cada instante iguales que los de la f.e.m. inducida.

B0

–B0

π/2 3π/2π 2πωtO

Φ0

−Φ0

ε0

–ε0

ε(t)

B(t)

Φ(t)

Ii Ii Ii Iiεi εi εi εi

Fig. 11

Si se examinan atentamente las cuatro situaciones en las que aparece representada la espira, correspon-dientes a cada cuarto de periodo mientras varía el campo magnético, se puede comprender la correcta inter-pretación de la ley de Lenz:

I.- Para 0 ≤ ωt ≤ π/2.Durante este intervalo de tiempo el módulo del campo magnético exterior aumenta en sentido positi-vo, es decir, en la figura de la espira que hemos considerado, está dirigido hacia el lector, o lo que esigual, en el sentido positivo del eje OZ.

Como ya hemos visto anteriormente, se induce en la espira una f.e.m. en el sentido de las agujas delreloj, que aparece representada en la parte negativa del eje de ordenadas, como corresponde a suexpresión

ε = –ε0 cos ωtObsérvese que mientras el módulo del campo magnético aumenta, el valor absoluto de la f.e.m. indu-cida disminuye de |–ε0 | a 0. Es otra característica más de la f.e.m. inducida que queda reflejada enla ley de Lenz.



8

De modo que durante este intervalo de tiempo disminuye el valor de la fuerza electromotriz induciday tiene el sentido de las agujas del reloj.

II.- Para π/2 ≤ ωt ≤ π.A partir del instante t = π/2ω, comienza a disminuir el módulo del campo magnético exterior mante-niendo éste su sentido, como queda reflejado en la gráfica, y como consecuencia, se induce en la espirauna f.e.m. de un sentido tal, que la corriente que origina, produce, a su vez, un campo magnético quetiende a oponerse a la disminución del campo magnético exterior.

Por esta razón, el campo creado por la corriente de la espira es del mismo sentido que el campo exte-rior. Su comportamiento es como si tratase de “reforzar” el valor del campo exterior que está dismi-nuyendo, de esta forma se “superpone” a él, y así se opone a su disminución.

En consecuencia, el sentido de la f.e.m. inducida en la espira es contrario al de las agujas del reloj, y,por tanto, ha cambiado respecto del que tenía en el intervalo de tiempo correspondiente al primer cuar-to de periodo, como muestra la gráfica. Además, su valor aumenta a medida que disminuye el del campomagnético exterior, B.

Obsérvese que el campo magnético exterior tiene el mismo sentido, dirigido hacia el lector, en los dosprimeros cuartos de periodo y, sin embargo, la f.e.m. inducida en la espira no tiene el mismo sentido enel primer cuarto de periodo que en el segundo.

La razón estriba en que la f.e.m. inducida no se opone en realidad al campo magnético exterior, sino asu variación.

III.- Para π ≤ ωt ≤ 3π/2.

En el instante t = π/ω, cambia el sentido del campo magnético exterior, aumentando su módulo. Porconsiguiente, la f.e.m. que se induce en la espira es de un sentido tal, que la corriente que origina, pro-duce, a su vez, un campo magnético que tiende a oponerse al aumento del campo magnético exterior.

Así que, en este caso, el campo creado por la corriente inducida en la espira es de sentido contrario aldel campo exterior. Su comportamiento es como si tratase de “debilitar” el valor del campo exteriorque está aumentando, y así se opone a su aumento.

En consecuencia, el sentido de la f.e.m. inducida en la espira es contrario al de las agujas del reloj, y,por tanto, se mantiene respecto del que tenía en el intervalo de tiempo correspondiente al segundo cuar-to de periodo, como muestra la gráfica. Además, su valor disminuye a medida que aumenta el del campomagnético exterior, B.

IV.- Para 3π/2 ≤ ωt ≤ 2π.

En el instante t = 3π/2ω, comienza a disminuir el módulo del campo magnético exterior manteniendoéste su sentido, como queda reflejado en la gráfica, y como consecuencia, se induce en la espira unaf.e.m. de un sentido tal, que la corriente que origina, produce, a su vez, un campo magnético que tien-de a oponerse a la disminución del campo magnético exterior.

Por esta razón, el campo creado por la corriente de la espira es del mismo sentido que el campo exte-rior. Su comportamiento es como si tratase de “reforzar” el valor del campo exterior que está dismi-nuyendo, de esta forma tiende a compensar su disminución superponiéndose a él, y así se opone a sudisminución.

En consecuencia, el sentido de la f.e.m. inducida en la espira es el de las agujas del reloj, y, por tanto,ha cambiado respecto del que tenía en el intervalo de tiempo anterior correspondiente al tercer cuartode periodo, como muestra la gráfica. Además, su valor aumenta en sentido negativo a medida que dis-minuye el del campo magnético exterior B.

Obsérvese que el campo magnético exterior tiene el mismo sentido, dirigido hacia el lector, en los dosúltimos cuartos de periodo y, sin embargo, la f.e.m. inducida en la espira no tiene el mismo sentidoen el tercer cuarto de periodo que en el último.

La razón estriba en que, como ya se ha repetido anteriormente, la f.e.m. inducida no se opone en rea-lidad al campo magnético exterior, sino a su variación.

Desde otro punto de vista, conviene recordar el estudio realizado acerca del movimiento de una varillaconductora que se desliza apoyada sobre un alambre conductor doblado en forma de U, en presencia de uncampo magnético exterior.

Vimos que, como consecuencia de los fenómenos de inducción, aparece una fuerza dFB ejercida por elcampo magnético exterior sobre la varilla en movimiento, como muestra la figura 12, y, en consecuencia, lavarilla es frenada por el campo magnético exterior.



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Conviene analizar detenidamente cuál es la verdadera causa de la aparición de tal fuerza, es decir, la causaúltima, porque, en principio, podría razonarse que es debida a la acción del campo magnético exterior sobrela corriente que circula por la varilla, lo cual es cierto, pero esta corriente no circularía por la varilla si no seindujese en ella una f.e.m.

a

b

I

I

I

I

FIG. 12

dFB

v

Y el origen de esta f.e.m. inducida no radica, en este caso, enla existencia de un campo magnético exterior, ni en su variación,ya que no hay tal variación puesto que se supuso un campo uni-forme y constante.

La verdadera causa reside, en este caso, en el movimiento de lavarilla, ya que si ésta se detuviese, cesarían todos los fenómenosoriginados por el campo magnético exterior, y la f.e.m. inducida enella, cuya expresión es, como ya vimos, ε = vBl, sería nula por serv = 0. Este efecto es una manifestación más de la naturaleza de laf.e.m. inducida, oponiéndose a la causa que la produce.

Hay otros aspectos importantes, a tener en cuenta, en relacióncon la f.e.m. inducida en el caso de una espira que se encuentra enpresencia de un campo magnético exterior variable con el tiempo.

Uno de ellos, pone de manifiesto la importancia que tiene, enalgunos casos, interpretar la f.e.m. inducida en la forma,

ε = E

eq

⋅dl

C∫

donde, Eeq, representa un campo eléctrico ficticio que, si existiese realmente, produciría los mismos efectos quelos que son producidos por otros agentes, bien sean magnéticos, químicos, mecánicos, etc.

Por ejemplo, supongamos que, en uno cualquiera de los casos estudiados anteriormente, la región del espa-cio donde existe el campo magnético exterior, variable solamente con el tiempo, queda circunscrita a unaregión cilíndrica de radio r0, cuyo eje de simetría es el eje perpendicular al plano de la espira que pasa por sucentro.

Iiεi

Oa

B

r

Fig.13

Supongamos que el módulo del campo magnético está aumen-tando con el tiempo y, para mayor sencillez, que la derivada de sumódulo es un valor constante dado.

Es evidente que a través del área que abarca la espira, es decir,a través del círculo de radio a existe un flujo magnético, Φ, dadopor la expresión,

Φ = B

da=

S∫ Bda

S∫ cos0º= Bda

S∫ = πa 2B

Como ya se ha explicado anteriormente, el módulo del campomagnético exterior, aunque varía con el tiempo, geométricamentetiene el mismo valor, en un cierto instante, en todos los puntos delespacio y, por consiguiente, puede salir fuera de la integral, porquees una integral de superficie extendida al área que abarca la circun-ferencia.

En cuanto al sentido del vector da, que representa a cualquierelemento infinitesimal de superficie, puesto que no está determina-

[4]

r0

do por ninguna propiedad física, lo podemos tomar arbitrariamente, así que lo consideramos de igual sentidoque el vector campo magnético, y, por esta razón, el ángulo que forman dichos vectores es de 0º.

Puesto que el módulo del campo magnético aumenta conforme transcurre el tiempo, el flujo magnético queatraviesa al círculo de radio a aumenta asimismo con el tiempo, dando lugar, por tanto a una f.e.m. induci-da , cuya expresión es,

ε = −dΦ

dt= −

ddt

(πa 2B0)= −πa2 dB

dt

y cuyo sentido, según la ley de Lenz, es contrario al de las agujas del reloj. Aunque se ha dejado expresado elsigno negativo en la relación anterior, no es necesario conservarlo, ya que, en este caso, la f.em. inducida no esuna función del tiempo.

Vamos a interpretar esta f.e.m. inducida a partir de la relación [4].



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Como se recordará, el campo equivalente que aparece en la relación anterior representa un campo eléctri-co ficticio, que se supone que es el responsable de las acciones a las que quedan sometidos los electrones librespresentes en el material conductor que forma el generador.

En este caso, el “generador” es la propia espira, considerada globalmente, y puesto que la variación de flujomagnético afecta a toda ella por igual, debido a la simetría del campo magnético, la f.e.m. inducida estarárepartida de una manera uniforme a lo largo de toda ella.

De modo que esta clase de f.e.m. no está localizada en un dispositivo determinado, como ocurre en los gene-radores convencionales, sino que está extendida a lo largo de todo el conductor afectado por la variación deflujo magnético, y cada elemento de longitud dl se puede considerar que es un generador de f.e.m inducidaelemental dε.

Si ahora tenemos en cuenta que en el interior de la espira circula una corriente eléctrica en sentido contra-rio al de las agujas del reloj, y, por consiguiente, se produce un movimiento de electrones libres en el sentidode las agujas del reloj, podemos interpretar que este movimiento circular de los electrones libres es debido aun campo ficticio que, en cada punto, ejerce sobre cada electrón una fuerza tangente a su trayectoria, dirigi-da en el sentido del movimiento.

Y, puesto que, la fuerza que actúa sobre cada electrón libre, debida al campo eléctrico ficticio, es,

F

E

= −eE

eq

se deduce que el campo eléctrico ficticio debe ser, en cada punto de la trayectoria circular de cualquiera delos electrones libres, un vector de igual dirección y de sentido contrario que la fuerza que actúa sobre cadaelectrón.

Si se tiene en cuenta que las líneas de fuerza de un campo tienen la propiedad de que, en cada uno de suspuntos, el vector campo es tangente a dichas líneas, se concluye que las líneas de fuerza del campo eléctricoficticio, que suponemos que actúa sobre los electrones libres, son circunferencias concéntricas con la espira,cuyo sentido es, en este caso, contrario al de las agujas del reloj.

En consecuencia, si designamos por dl a un elemento de longitud a lo largo de la espira, en el sentido delas agujas del reloj, el vector que lo representa tiene la dirección de la tangente a la espira y su sentido el yamencionado de las agujas del reloj.

Así que en cada punto de la espira, los vectores Eeq y dl son de igual dirección y sentido. Por tanto,

ε = E

eq

⋅dl

C∫ = E

eqdl cos0º=

C∫ E

eqdl =

C∫ E

eqdl

C∫ = 2πaE

eq

y como por otra parte, la f.e.em. inducida, según la ley de Faraday y Lenz es:

ε = −dΦ

dt= −

ddt

(πa 2B0)= −πa2 dB

dtresulta, igualando los segundos miembros, y despejando:

E

eq=

a2

dBdt

La f.e.m. que se induce en la espira conductora se puede interpretar que es originada por un campo eléc-trico equivalente, ficticio, cuyas características, módulo, dirección y sentido, son las descritas anteriormente.

ε’i Iiεi

Oa

B

r

r0

Fig. 14

Se plantea ahora la cuestión de analizar si se induce igualmenteuna f.e.m. a lo largo de una circunferencia de radio r<r0, concéntri-ca con la espira conductora, es decir, de una simple línea geométri-ca, a pesar de no ser un soporte material, ya que se está producien-do igualmente una variación de flujo magnético, conforme transcu-rre el tiempo, a través del área que encierra.

Y si es así, cómo se manifiesta y cómo se determina su sentido,ya que en este caso no puede circular ninguna corriente eléctrica, alo largo de la misma, que sirva cómo referencia para averiguar cuáles el sentido del campo magnético producido por dicha corriente y,en consecuencia, determinar el sentido de la corriente y el de laf.e.m. inducida.

Pues bien, para encontrar la solución a las cuestiones plantea-das, basta imaginar qué sucedería si colocásemos una espira conduc-tora, muy delgada, de igual radio, r, que la circunferencia, coinci-diendo superpuesta con ella.



11

Naturalmente, se puede aplicar a esta espira todo el razonamiento efectuado con la espira conductora deradio a, para lo cual, basta sustituir en las expresiones anteriores del flujo magnético y de la f.e.m. inducida,a por r, para obtener las correspondientes expresiones de estas magnitudes para dicha espira:

Φ = B

da=

S∫ Bda

S∫ cos0º= Bda

S∫ = πr 2B

ε' = −dΦdt

= −ddt

(πr 2B)= −πr 2 dBdt

E

eq=

r2

dBdt

Iiεi

Oa

B

r0

CD

FIG. 15

Como consecuencia de la f.e.m. inducida en la espira, circula porella una corriente en sentido contrario al de las agujas del reloj, cuyaintensidad se calcula a partir de la ley de Ohm,

siendo la propia circunferencia una línea de fuerza de dicho campo, en sentido contrario al de las agujas delreloj.

En resumen: se efectúa el cálculo de la variación del flujo magnético, de la f.e.m. inducida y del campoeléctrico equivalente, como si la circunferencia fuese una espira conductora, aplicando todo lo expuesto ante-riormente. Se prescinde de la corriente eléctrica, que en este caso no puede existir, y

Se interpreta que la f.e.m. inducida es originada por un campo eléctrico equivalente cuyas líneas de fuer-za, en este caso, son circunferencias concéntricas con centro en el punto O, y cuyo sentido es contrarioal de las agujas del reloj.

El hecho de ser las líneas de fuerza del campo equivalente circunferencias y, por tanto, líneas cerradas, esuna evidencia más del carácter ficticio de este campo equivalente.

Las líneas de fuerza de un verdadero campo electrostático son líneas abiertas que van dirigidas desde lascargas positivas hacia las negativas.

Hay otro aspecto importante a destacar en el caso de la espira conductora de radio a, o de cualquier otraespira conductora de radio r < r0, con centro en el punto O, que se pone de manifiesto si se calcula la dife-rencia de potencial que existe entre dos puntos arbitrarios de la espira, C y D. Veamos cuál es su valor.

Ahora bien, puesto que la circunferencia de radio r es inmaterial, no puede circular corriente eléctrica porella; pero la f.e.m. inducida existe de una forma latente, que se puede interpretar originada por un campo eléc-trico equivalente, cuyo módulo se obtiene sin más que sustituir a por r en la expresión obtenida para la espi-ra de radio a,

I = ε

R=πr 2

RdBdt

y en cuya expresión se puede prescindir del signo negativo, puestoque en este caso se supone que la intensidad no es función del tiem-po.

Si aplicamos la ley general de Ohm, entre los puntos C y D:

IΣR

if= Σε

if−(V

f−V

i)

Como se recordará, esta expresión sirve para calcular la diferen-cia de potencial entre dos puntos de un circuito cuando entre elloshay intercalados generadores de f.e.m. y resistencias.

Puede parecer que en este caso no procede aplicar esta expresión

porque, aparentemente, no hay intercalados generadores de f.e.m. entre los puntos C y D de la espira. Hay que tener cuidado con esta apreciación, puesto que, si bien no hay intercalados generadores conven-

cionales, la f.e.m. inducida en la espira está repartida uniformemente a lo largo de toda su longitud l = 2πa,y por consiguiente, existe una f.e.m. inducida por unidad de longitud, cuyo valor es,

εl=ε

2πa=πa 2

2πadBdt

=a2

dBdt

Recordemos ahora cuál es el significado de los diferentes términos que intervienen en la expresión de la leygeneral de Ohm.

I es la intensidad de la corriente que circula por el tramo de circuito comprendido entre los puntos desig-nados como i y f, y que se debe calcular previamente a partir de la ley de Ohm para el circuito completo:



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I = ε

R=πa 2

RdBdt

ΣRif representa la suma de las resistencias comprendidas entre los puntos i y f.El punto i es el punto del tramo elegido desde el cual “parece” que procede la corriente, y f, el punto al

cual se dirige. En realidad, la corriente no “procede” del punto i en el sentido de que dicho punto no es suorigen. La corriente se establece simultáneamente en toda la espira tan pronto como se produce la variaciónde flujo magnético a través de la superficie encerrada por ella.

En este caso la suma de resistencias es la resistencia del tramo de espira comprendido entre los puntos Cy D. Puesto que se supone que la espira es homogénea, su valor se obtiene multiplicando la resistencia porunidad de longitud de la espira, por la longitud del arco de espira, lCD,

ΣR

if=R

CD=

R2πa

lCD

Σεif representa la suma algebráica de las f.e.m. intercaladas en el tramo de circuito comprendido entre lospuntos i y f.

Se consideran positivas aquellas f.e.m. que favorezcan la circulación de la corriente, es decir, aquéllas quesean de su mismo sentido, y negativas, las que se opongan, es decir, las que sean de sentido contrario al de laintensidad de la corriente.

Puesto que la f.e.m. inducida en la espira está repartida uniformemente a lo largo de toda ella, la f.e.m.correspondiente al tramo de espira comprendido entre los puntos C y D se obtiene multiplicando la f.e.m. porunidad de longitud, calculada anteriormente, por la longitud lCD de dicho tramo,

Σε

if= Σε

CD=ε

2πalCD=πa 2

2πadBdt

lCD=

a2

dBdt

lCD

El término Vf–Vi representa la diferencia de potencial entre los puntos final f e inicial i. Se debe tomar estadiferencia siempre en este sentido y encerrada dentro de un paréntesis precedido, a su vez, de un signo nega-tivo.

Sustituyendo todas las expresiones de los diferentes términos en la ley general de Ohm,

πa 2

RdBdt

⋅R

2πalCD=

a2

dBdt

lCD−(V

f−V

i)

IΣR

if= Σε

if−(V

f−V

i)

se obtiene,

y simplificando

a2

dBdt

lCD=

a2

dBdt

lCD−(V

f−V

i)

de donde, finalmente,

V

f−V

i= 0

Todo el razonamiento anterior es válido, cualesquiera que sean los puntos C y D de la espira, así que,La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de la espira es nula.

A primera vista, no deja de ser sorprendente la conclusión anterior porque entre los puntos C y D hay unaresistencia RCD y, por lo tanto, al circular una corriente eléctrica debería haber una caída de tensión entredichos puntos, debida a la conversión de energía eléctrica en calor, lo que se conoce como efecto Joule.

En un circuito convencional, es decir, en un circuito con generadores ordinarios, solamente es nula la dife-rencia de potencial entre dos puntos cuando no circula corriente entre ellos, es decir, cuando el circuito estáabierto, o en el caso ideal de que la resistencia eléctrica del tramo de conductor que existe entre ellos sea nula.

Para comprender el significado físico que tiene el hecho de que exista una diferencia de potencial entre dospuntos de un circuito convencional por el que circula una cierta corriente, entre los cuales hay una cierta resis-tencia y uno o varios generadores de f.e.m., hay que tener presentes los siguientes puntos:

I.- La circulación de una corriente eléctrica por un conductor metálico consiste en un movimiento deelectrones libres en sentido contrario al sentido convencional de la intensidad, lo que determina una con-versión de energía eléctrica en cinética, y ésta, a su vez, en calor, que se desarrolla en el propio conduc-tor, a causa de los choques inelásticos que efectúan los electrones libres con las moléculas y átomos delconductor, lo que se conoce como efecto Joule.



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II.- La f.e.m. está “concentrada” en los dispositivos que denominamos generadores, en lugar de estarextendida a lo largo del circuito. Por consiguiente, en todo tramo conductor que tenga una cierta resis-tencia y no contenga ningún generador, se produce un desarrollo de calor que origina una pérdida deenergía eléctrica, lo que se traduce en una caída de tensión, o diferencia de potencial entre los extre-mos de dicho tramo.

Recuérdese que la definición de diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por uni-dad de carga puesta en circulación, y puesto que las fuerzas eléctricas son conservativas, este trabajose interpreta como una disminución de energía potencial eléctrica.

Evidentemente, no es éste el caso de la espira conductora sometida al campo magnético variable con eltiempo.

La explicación a esta aparente contradicción estriba en la especial naturaleza de la f.e.m. inducida, queaparece, en general, extendida a lo largo de todo el conductor en el cual se induce, lo que determinaque cualquier elemento de longitud dl de la espira sea, al mismo tiempo, una resistencia dR y un gene-rador de f.e.m. dε.

Por consiguiente,Cada elemento de longitud infinitesimal de la espira se autosuministra la energía que se disipa en elmismo

Es decir, se cumple para cualquier elemento, energía disipada en forma de calor = energía suministrada por la f.e.m. inducida

y, en consecuencia, el balance de energía neta es nulo, con lo cual queda justificado el hecho de que,Vf – Vi = 0

aletos tema 5.3 1 física para ciencias e ingeniería eyesde ... · la ley de faraday, ... de...

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