aleta parabolica
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1. ENUNCIADOALETA RECTA: ALETA PARABOLICA
Determinar el perfil de una aleta y la eficiencia si la temperatura en la base es de 600°C y disipa calor en el ambiente de 20°C. La conductividad del material y el coeficiente de calor por convección del aire varían con la temperatura como:
h=0,29 (T−T ∞ )0,25 Btu
h ft2° F
T (K) 200 400 600 1000k (vatio/m*s) 10,3 13,5 17 24
La emisividad promedio es 0,1.
Seleccionar unas dimensiones típicas de aleta para realizar los cálculos. Resolver el problema mediante el método Shooting sencillo y calcular el calor transferido por la aleta.
Trabajar con:
m= 20
m= 10
Donde:
y=t(1 B− xL )
2
S'=LB+( L22t ) ln( 2 tL +B)area porunidad de ancho .
B=√1+ 4 t 2L2
2. BALANCE DE ENERGIA:
En primer lugar se encuentra un delta de área convectiva y conductiva para realizar el balance de la aleta parabólica:
∆ Aconductiva=2 t (1−∆ xL )
2
∗w
El área convectiva se calcula suponiendo que el diferencial es tan pequeño que la curva de la parábola se aproxima a una recta quedando de la siguiente forma:
∆x∆y
∆ Aconvectiva=∆ A radiacion=2w∆ x √1+( ∆ y∆ x )
2
Se plantea el balance de energía para un elemento diferencial de la aleta:
qx=qx+∆ x+∆qc+∆qR
qx+∆x−qx+∆qc+∆qR=0
lim∆ x❑
→
0
qx +∆x−qx
∆ x+∆ q❑
∆ x+∆ qR
∆ x=0
dqdx
+ lim∆ x❑
→
0
∆ qc
∆ x+∆ qR
∆ x
dqdx
+ lim∆ x❑
→
0
h∆ xw √1+( ∆ y∆ x )
2
(T ( x )−T ∞)
∆ x+∈σ (T x
4−T ∞4 )∆xw √1+(∆ y
∆ x )2
∆ x
ddx (−kA
dTdx )+hw √1+( dydx )
2
(T ( x )−T ∞ )+∈σ (T x4−T ∞
4 )w√1+( dydx )2
=0 (1)
Resolviendo las derivadas de la anterior ecuación tenemos lo siguiente:
ddx (−kA
dTdx )=−k
ddx (A dT
dx )+A ddx (−k
dTdx )+ dT
dxddx
(−kA )
ddx (−kA
dTdx )=−k (A d2T
d x2+ dTdx
dAdx )+A(−k
dTd x2
−dTdx
dkdx )+(−k
dAdx
−Adkdx )
ddx (−kA
dTdx )=−kA
d2Td x2
−kdTdx
dAdx
−kAd2Tdx
−AdTdx
dkdx
−kdTdx
dAdx
−AdTdx
dkdx
ddx (−kA
dTdx )=−2kA d2T
d x2−2k dT
dxdAdx
−2 A dTdx
dkdx
Para el cual:
A=2tw (1− xL )
2
❑⇒
dAdx
=−4 twL (1− x
L )❑
Como k varia en función de la temperatura entonces se realiza una regresión lineal con los datos dados en el enunciado obteniéndose:
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
5
10
15
20
25
30
f(x) = 0.0172 x + 6.74R² = 0.999652442556478
k=0,017T+6,74❑⇒
dkdx
=0,017 dTdx
Además se halla la siguiente derivada:
y=t(1− xL )
2
❑⇒
dydx
=−2 tL (1− x
L )
Y convirtiendo el coeficiente de calor por convección a las unidades S.I.:
h=0,29(T x−T ∞)0,25
Btu
h ft2° F∗1055,0558J
1 Btu∗1h
3600 s∗10,763910 ft2
1m2 ∗1,8 ° F
1K=1,64669(T x−T ∞)
0,25 Jsm2K
Entonces reemplazando en la ecuación (1) del perfil de la temperatura obtenemos:
4w {[−t (0,017T x+6,74 )(1− xL )
2 d2Td x2
+ 2 tL (1− x
L ) (0,017T x+6,74 ) dTdx
−0,017 t (1− xL )
2
( dTdx )2]+ 12 √1+(−2 tL (1− x
L ))2
[1,6466963 (T x−T ∞ )1,25+∈σ (T x4−T ∞
4 )]}=0(2)Donde podemos eliminar el 4w.
3. METODO DE SHOOTING
Con el perfil de temperatura hallado anteriormente se procede a aplicar el Método Shooting, para encontrar la distribución de temperatura de la aleta.
Primero establecemos las condiciones del problema:
x=0 T=T0
x=L T=T
Luego transformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden así:
dTdx
=u ( x ) d2T
d x2=du
dx
Reemplazando en la ecuación (2) se obtiene:
{[−t (0,017T x+6,74 )(1− xL )
2 dudx
+2 tL (1− x
L )(0,017T x+6,74 )u(x )−0,017 t (1− xL )
2
u2(x)]+ 12 √1+(−2 tL (1− xL ))
2
[1,6466963 (T x−T ∞ )1,25+∈σ (T x4−T ∞
4 ) ]}=0(3)
Escribir el problema en términos de variable discreta. Para ello dividir el sistema en un número de incrementos y definir las derivadas finitas.
Tm+1−T m
∆x=Um
{[−t (0,017Tm+6,74 )(1− xL )
2(U m+1−U m
∆ x )+2 tL (1− xL )(0,017T m+6,74 )Um−0,017 t(1− x
L )2
Um2 ]+ 12 √1+(−2 tL (1− x
L ))2
[1,6466963 (T m−T ∞ )1,25+∈σ (T m4−T ∞
4 )]}=0(4)
Explicitando Tm+1 y Um+1
T m+1=U m∆ x+T m
Um+1=¿
Um+{ −12 t (1−x /L ) √1+(−2 tL (1− x
L ))2
[1,6466963 (T m−T ∞ )1,25+∈σ (T m4−T ∞
4 )]− 2L (0,017T m+6,74 )U m−0,017(1− xL )
❑
U m2
(0,017T m+6,74 )(1− xL ) }∆ x
4. ALGORITMO DE CALCULO:
ITERACION Y GRAFICO EN EXCEL
Para la iteración se dimensiona la aleta de la siguiente manera:
Largo aleta (L)= 3cm=0.03m
Ancho base aleta(t)=2cm=0.02m
TABLA DE RESULTADOS:
Luego de encontrar el perfil. Se supone un Um, y se da el tamaño de paso.
Luego con las dimensiones dadas y el tamaño de paso, se calcula Tm+1.
Luego se itera conforme va aumentando el ∆x.
Y a partir de los datos calculados anteriormente, se calcula el Um+1.
Después el Um supuesto, se realiza la corrección con un programa para dar un mejor resultado con un error de 0,01.
De esto se obtiene la temperatura al avanzar en X en la aleta.
Iteración para diez pasos (m=10)
m x Tm Um0 873,15 -42905,9246
0 0,003 744,432226 -38236,44311 0,006 629,722897 -32973,12032 0,009 530,803536 -27088,6123 0,012 449,5377 -20677,09544 0,015 387,506413 -14055,14715 0,018 345,340972 -7836,51336 0,021 321,831432 -2877,407837 0,024 313,199209 -47,82928178 0,027 313,055721 -3,056370279 0,03 313,046552 #¡DIV/0!
A continuación se presenta la grafica que muestra la relación en la aleta de la posición con la temperatura:
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
x(distancia en aleta)[m]
T(e
n a
leta
)[K
]
El error fue de 0.00903176 el cual se calculó como la T (0.027)-T (0.03).
Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.
Iteración para veinte pasos (m=20)
M X Tm Um
0 873,15 -44192,21790 0,0015 806,861673 -41987,8211 0,003 743,879942 -39653,72222 0,0045 684,399358 -37182,233 0,006 628,626013 -34568,2494 0,0075 576,77364 -31810,95855 0,009 529,057202 -28915,94496 0,0105 485,683285 -25897,69497 0,012 446,836742 -22782,19198 0,0135 412,663455 -19609,13789 0,015 383,249748 -16433,118
10 0,0165 358,600071 -13322,953611 0,018 338,615641 -10358,679312 0,0195 323,077622 -7626,1263113 0,021 311,638432 -5209,8679214 0,0225 303,82363 -3185,9850615 0,024 299,044653 -1616,3583316 0,0255 296,620115 -545,82906117 0,027 295,801372 -2,9100816518 0,0285 295,797006 -6,1302020319 0,03 295,787811 #¡DIV/0!
Grafica donde se relaciona la temperatura con la posición
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
x(distancia en aleta)[m]
T(e
n a
leta
)[K
]
El error fue de 0.00918327 el cual se calculó como la T(0.0285)-T(0.03).
Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01 y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.
Iteración para veinte pasos (m=50)
m X Tm Um 0 873,15 -44390,9571
0 0,00066667843,55602
9 -43438,5774
1 0,00133333814,59697
7 -42462,70022 0,002 786,28851 -41462,6478
3 0,00266667758,64674
5 -40437,7952
4 0,00333333731,68821
5 -39387,588
5 0,004705,42982
3 -38311,5621
6 0,00466667679,88878
2 -37209,3672
7 0,00533333655,08253
7 -36080,7927
8 0,006631,02867
5 -34925,7958
9 0,00666667607,74481
1 -33744,533910 0,00733333
585,248455 -32537,3974
11 0,008
563,556857 -31305,0462
12 0,00866667
542,686826 -30048,446
13 0,00933333
522,654529 -28768,9059
14 0,01
503,475258 -27468,1144
15 0,01066667
485,163182 -26148,1731
16 0,01133333
467,731066 -24811,6261
17 0,012
451,189982 -23461,483
18 0,01266667
435,548994 -22101,2343
19 0,01333333
420,814838 -20734,8558
20 0,014 406,9916 -19366,80121 0,01466667 394,0804 -18001,979822 0,01533333 382,07908 -16645,72223 0,016
370,981932 -15303,7254
24 0,01666667
360,779448 -13981,9898
25 0,01733333
351,458122 -12686,7363
26 0,018
343,000298 -11424,3166
27 0,01866667
335,384086 -10201,1138
28 0,01933333
328,583344 -9023,43918
29 0,02
322,567718 -7897,42993
30 0,02066667
317,302765 -6828,95158
31 0,02133333 312,75013 -5823,5099632 0,022 308,86779 -4886,1764133 0,02266667
305,610339 -4021,52937
34 0,02333333 302,92932 -3233,6143835 0,024
300,773577 -2525,9236
36 0,02466667
299,089628 -1901,39494
37 0,02533333
297,822031 -1362,4303
38 0,026
296,913744 -910,932491
39 0,02666667
296,306456 -548,362264
40 0,02733333
295,940881 -275,824971
41 0,028
295,756998 -94,2342359
42 0,02866667
295,694175 -4,85855243
43 0,02933333
295,690936 -14,5119411
44 0,03
295,681261 #¡DIV/0!
Grafica donde se relaciona la temperatura con la posición:
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
x(distancia en aleta)[m]
T(e
n a
leta
)[K
]
El error fue de 0.0096746 el cual se calculó como la T(0.0293)-T(0.03).
Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01 y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.
CALCULO DE EFICIENCIA:
La eficiencia se calcula de la siguiente manera:
η=−kU 0 Aconductiva
q ficcticio
Donde:
q f=hA (T 0−T ∞ )
De lo anterior se obtiene:
Param=10η=¿79,5658812
Param=20η=¿81,9512174
Param=45η=¿82,3197647
5. CONCLUSIONES
En las gráficas se observa claramente la tendencia descendente de la temperatura con respecto a la posición en la aleta, y como se esperaba la temperatura en la punta de la aleta se acerca a la del ambiente.
En la tabla, el ultimo Um presenta una división por cero, lo que es lógico ya que la ecuación del área convectiva, como conductiva presenta el término (1-x/L), el cual al llegar a la punta de la aleta llega a cero, pero se puede considerar que el ultimo valor de Um es cero.
Según la geometría de la aleta se encuentra un perfil de temperatura, el cual es esencial para determinar que tan eficiente es la aleta dependiendo de las dimensiones que se le asignen.
Se comprobó que entre mas pequeña sea la partición se podrá calcular con mayor exactitud la eficiencia y la temperatura en cada punto.
6. BIBLIOGRAFIA
Holman, J.P. “Transferencia de Calor”, Mc Graw Hill, 8va Edición. 1998.
Incropera, F.P. “Fundamentos de transferencia de Calor”. Pearson Education,1999.