agua

1 Mecánica de Suelos - Módulo 3 © A. Lizcano / Uniandes

1

3. FLUJO DE AGUA FREATICA Agua subterránea (Agua freática): Agua en los poros del suelo Nivel freático: Superficie del Agua subterránea

Nivel freático

Río Pantanos


2

Niveles freáticos colgados: Existencia de depósitos de agua subterránea con fondos impermeables

Nivel freático colgado Estrato impermeable

Nivel freático


3

Acuíferos: Estratos de suelos en los cuales el agua subterránea se puede mover lentamente. Acuíferos confinados: Acuífero cargado por un estrato impermeable => Agua subterránea a presión

Pozo artesiano


4

De qué trata?: Movimiento del agua subterrá-nea y de las fuerzas resultantes de este pro-ceso

PERMEABILIDAD:

Velocidad de filtración y fuerza de filtración espe-cífica •  Valores promedio de movimiento

y fuerzas

•  Agua estacionaria (en promedio no cambia con el tiempo)

•  Agua no toca las partículas del suelo

•  A través del fuste no fluye agua

•  ΔQ: caudal. Cantidad con orientación


5

Ecuaciones de la hidráulica empleadas en mecánica de suelos: •Arquímedes: Presión vertical = Vol. Sumergido*γw •Continuidad: Vol entra = Vol. sale. •Bernoulli: Balance energético. h=z+hu+v2/2g h: Altura hidráulica z: Altura geodética referida a un nivel de referencia arbitrario hu: Altura de presión (altura piezométrica): hu=u/γw u: Presión del agua de los poros γw: Peso unitario agua v2/2g: Altura de velocidad v: Velocidad del flujo de agua freática g: Aceleración de la gravedad


6

Velocidad de filtración:

v también es una cantidad con orientación

vw: Velocidad verdadera del agua en los vacíos; es mayor y distribuida de manera irregular. Con la definición de v se eliminan esas irregularidades Fuerzas que aparecen en el elemento del suelo por el flujo del agua

•  al interior las fuerzas de gravedad

•  en los extremos la presión


7

Cual es la combinación de fuerzas de grave-dad y de presión que pueden vincularse de manera razonable con la velocidad de filtra-ción? ⇒ Fuerza de filtración específica f

Nivel de referencia

h: altura hidráulica

hg: altura geodética

hu: altura de presión

u: presión del agua de los poros


8

u es la presión en el agua libre de los poros. La ecuación anterior no es válida en la capa difusa

Nivel de referencia

h1

h2

hg2 hg1

Diferencia de altura hidráulica:

Cantidad decisiva en los problemas de flujo

F1, F2: Fuerzas de presión de agua


9

Resultante de las fuerzas externas en la dirección de v:

Para el caso de Δh = 0 (no hay flujo) actúa sobre el elemento de suelo una resultante de presión de agua: el Empuje (Arquímedes) ⇒

ΔF0: Componente de la fuerza del empuje en la dirección de v


10

La fuerza de infiltración ΔFs tiene que obtener-se de de la potencia ΔFsv, la cual se convierte en calor en el momento del flujo

La fuerza de filtración es aquella fuerza debida a la circulación del agua que actúa sobre el es-queleto del suelo. La fuerza de infiltración es-pecífica se obtiene de dividir ΔFs por el volu-men ΔV = ΔA Δs:

VFf s

s ΔΔ

=:


11

shf ws Δ

Δ= γ o if ws ⋅= γ con

i: Gradiente hidráulico; caída de la altura hidráulica

LEY DE DARCY (1856)

v es proporcional a caída de la altura hidráulica Δh producida en longitud Δs


12

Filtro

Suelo

Filtro

kilhkv =ΔΔ

=

k: Permeabilidad o conductividad hidráulica

i: gradiente hidráulico o caída hidráulica

1

2

wu

uhhγ2

22 ==

wu

uhγ1

1 =

21 hhh −=Δ

1gh1h

La ley de DARCY puede escribirse en función de fs:

swfkkiv

γ==


13

PERMEABILIDAD k [m/s]

( )s

ursurv ww

ΔΔ

=ΔΔ

=γ

µγ

µ 44

22Hagen-Poiseuile

k i

k = f (fluido de los poros)


14

Formulas empíricas de permeabilidad

•  k [cm/s] ≈ 100•(d10 [cm])2 para arena suelta mal gradada (Hanzen, 1893)

•  k [cm/s] ≈ 0.35•(d15 [cm])2 para arena densa


15

Formulas empíricas de permeabilidad

•  k [cm/s] ≈ 100•(d10 [cm])2 para arena suelta mal gradada (Hanzen, 1893)

•  k [cm/s] ≈ 0.35•(d15 [cm])2 para arena densa

•  k [m/s] ≈ 0.05 (d10 [mm])2 (Terzaghi)

Formulas válidas para suelos granulares, agua limpia y temperatura de 20 ºC


16

Material de suelo k [m/s]Grava arenosa 10-1

Arena 10-2

Arena fina 10-3

Limo grueso 10-4

Limo fino 10-5...10-6

Limo arcilloso 10-7

Arcilla 10-8...10-9

VALORES TIPICOS DE PERMEABLIDIDADES PARA DIFERENTES TIPOS DE SUELOS


17

DETERMINACION DE LA PERMEABILIDAD EN EL LABORATORIO

Ensayo con cabeza de presión constante

•  Suelos relativamente permeables

•  Se mide Q •  A, ΔS y Δh (constante)

conocidos

hAsQk

ΔΔ

=


18

Ensayo con cabeza de presión variable •  Suelos poco permeables •  Se observa la variación

de Δh (aquí h)

De la ecuación de continui-dad (conservación de la masa del agua):

hsAkA

dtdh

Δ⋅⋅

−=0


19

La solución de la ecuación diferencial ordinaria:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ

−= tsk

AAhh0

0 exp0

0hh

kAsAt ln

⋅Δ⋅

−=

Mediante mediciones de h en dos tiempos diferentes t1 y t2 se obtiene:

21

120

hh

tts

AAk ln

−Δ

=


20

Anulación del efecto de borde (izquierda) mediante colocación de la muestra en una membrana

Zona de porosidad aumentada

Filtro Membrana

Muestra

Filtro


21

PRESION DEL AGUA DE LOS POROS u • Nivel freático horizontal: u crece linealmente con la profundidad:

Para z1 < z < z2:

1332 zzhhh −=−=Δ

Geodética Presión

2313zzzzif wws −

−== γγ

• u > => Agua subterránea a presión (artesiano)

u

IMPERMEABLE


22

PROCESOS DE FLUJO ESTACIONARIO Flujo vertical:

Tubos capilares

Nivel de referencia


23

Caudal

Fuerza de infiltración

•  A = 1

• Cuando la diferencia u1 - u2 de las presiones del agua de abajo hacia arriba son muy altas, el fondo de la ex-cavación puede levantarse


24

•  Cuando se presenta un levantamiento uniforme del fondo de la excavación desaparecen las fuerzas cor-tantes laterales (T = 0). La condición de equilibrio en el momento de iniciarse el movimiento es: con γr : peso unitario del suelo saturado

•  Para la diferencia de presiones se cumple:

con la diferencia de las alturas geodéticas

•  Con


25

( )dhh

w21−=ʹ′ γγ

Es la fuerza de filtración específica orientada hacia arriba

•  Cuando la ecuación anterior es satisfecha el esquelto esta en flotación


26

•  γʹ′: peso unitario del suelo sumergido. Fuerza por uni-dad de volumen, que actúa hacia abajo sobre el es-queleto granular, una vez restado el empuje debido al agua

•  γʹ′ ≈ 10 kN/m3. Con γw = 10 kN/m3 se obtiene de la ecuación anterior la condición para la cual el fondo de la excavación no se levanta

dhh <− 21

•  El no cumplimiento de esta desigualdad conduce ocasionalmente a fallas.


27

K3 >> k1, k2 κκ++

=1

312

hhh

Nivel de referencia


28

•  Cuando el diámetro d10 del segundo estrato difiere en más de un factor 10 con respecto al del primer estrato: ⇒ k1/k2 >100 o k2/k1 >100

•  Cuando k1/k2 >100 ⇒ el estrato superior es significati-vamente más permeable que el de abajo ⇒ h2 ≈ h1 (siempre y cuando d1 y d2 no difieran en potencias de 10

•  Cuando k2/k1 >100 ⇒ el estrato superior es significati-vamente más impermeable que el de abajo ⇒ h2 ≈ h3 (siempre y cuando d1 y d2 no difieran en potencias de 10

•  El caudal no tiene mayor importancia en este análisis


29

•  En el primer estrato se tiene la fuerza de filtración es-pecífica:

•  En el segundo estrato la fuerza de filtración específica es:

fs1 > γʹ′1 ⇒ levantamiento estrato 1

fs2 > γʹ′2 ⇒ no necesariamente le-vantamiento estrato 2

•  Cuando una columna de suelo de espesor d1 + d2 se levanta ⇒ Condición de equilibrio:

•  γr1, γr2: Pesos unitarios saturados del suelo


30

k3 >> k1, k2

Nivel de referencia


31 22112211 dfdfdd ss +=ʹ′+ʹ′ γγ


32 k3 >> k1, k2

Presiones del agua interesan al ingeniero civil cuando actúan sobre una construcción

h = hg + hu u = γwhu

Nivel de referencia


33

FLUJO PLANO

Línea de Flujo

k = const

Nivel de referencia Línea potencial


34

Canal de flujo


35

Debido a la conservación de la masa en el canal de flujo: ΔQ : Caudal a través del canal de flujo y por unidad

de longitud perpendicular al plano del dibujo

Línea diagonal


36

Según la ley de Darcy, la velocidad de infiltración para una cuadricula de lado ΔS:

El caudal en cada cuadrícula será:

Debido a que por cada canal de flujo fluye el mismo caudal, el caudal total por unidad de longitud perpendi-cular al plano del dibujo será:


37

( )p

sn

nhhkQ 21−=

De la fórmula: NO SE JUSTIFICA una red con muchas líneas de flujo y líneas potenciales para calcular Q. Si el ancho de la cuadricula se reduce a la mitad, y por lo tan-to se obtiene un dibujo más exacto, el valor de la rela-ción ns/np cambia tan poco, que la diferencia no tiene ninguna influencia frente a la inexactitud de k.

La fuerza de filtración específica puede calcularse para cada cuadrícula, debido a que Δh es conocida

Para la estática de fundaciones es suficiente trabajar con valores promedio adecuados


38

De acuerdo con esto, la fuerza específica de filtración al lado izquierdo de la estructura de contención es:

pi

ws nn

ddhhf2121

+−

≈ γ

ni: número de la línea equipotencial que sale de la pata de la estructura de retención, contada desde la parte superior (aquí ni ≈ 3)

La presión de poros interesa por lo general en la estruc-tura de retención. Aquí también es suficiente trabajar con valores promedio.

Para una estructura delgada (tablestaca) solo se requie-re calcular la altura hidráulica hf en la mitad de la pata de la estructura


39

( )p

ff n

nhhhh 211

−−=

Con y con

se obtienen las presiones en la superficie del suelo y en la pata de la estructura. Entre estos valores es permitido interpolar linealmente


40

RED DE FLUJO EN LA VECINDAD DE UNA EXCAVACION

PARTICULARUDADES DE LAS REDES DE FLUJO


41

PERMEABILIDAD INHOMOGENEA Y ANISOTROPICA

•  No se ha considerado el efecto de la variación del coeficiente de permeabilidad de un punto a otro

•  Caso a tratar: Flujo laminar normal y paralelo a los estratos de un sistema multicapa paralelo


42

Flujo a través sistemas multicapas

Q

Q

Q

Q


43

ΔhT : Pérdidas de cabeza total a través del sistema

LT : Longitud de la trayectoria de flujo

A : Area de la sección transversal del sistema, normal a la dirección del flujo

Para el caso de flujo normal a la orientación de la capas se cumple:

La velocidad del flujo es igual a través de cada uno de los estratos y puede determinarse con:


44 n

nT

kH

kH

kH

Hk+++

=…

2

2

1

1

Combinando los dos ecuaciones anteriores y reorgani-zando se obtiene:

y combinando esta ecuación con la ecuación inicial para flujo a través de un sistema multicapas se obtiene:


45

Si el flujo es paralelo a la dirección de los estratos se cumple:

T

nnH

HkHkHkk +++=

…2211

La pérdida de cabeza a través de todos los estratos es igual a la pérdida de cabeza total a través del sistema:

Combinando estos dos conceptos se obtiene:

Con la ecuación inicial se obtiene la permeabilidad


46

Ejemplo: Para el sistema de dos estratos mostrado en la figura, determine la permeabilidad equivalente para flujo normal y paralelo a los estratos

Arena

k=5x10-3 cm/seg

Limo

k=5x10-5 cm/seg

2.5 cm

5 cm

2.5 cm

Para flujo normal :

Para flujo paralelo :


47

Para un sistema multicapas de dos capas, con una capa mucho más permeable que la otra:

•  El estrato impermeable tiende a controlar el flujo nor-mal a la orientación de los estratos

•  El estrato permeable tiende a controlar el flujo paralelo a la orientación de los estratos

Ejercicio: Bajo la suposición de líneas de flujo verticales paralelas se pide calcular la presión pw sobre la tablestaca debida al agua de los poros del suelo.


48

NF

1

2

3 4

5

6

±0.0

-2.0

-5.0

-9.0 -9.0

-7.0

-5.0

-13.0


49

La determinación de la presión pw sobre la tablestaca debida al agua de los poros del suelo requiere el conoci-miento de los gradientes hidráulicos in en cada estrato n.

La determinación de los valores in se obtiene de la for-mula para flujo perpendicular para varios estratos:

∑=

Δ= n

i ii

n

Tn

kHk

hi

1


50

En el ejercicio:


51

Con:


52

NF

1

2

3 4

5

6

±0.0

-2.0

-5.0

-9.0

-7.0

-13.0

3,0

5,0

9,0 9,0

5,0

2,0

Lado izquierdo Lado derecho

Sin escala


53

Pero: Permeabilidad masa de suelo presenta anisotro-pía => para un mismo punto, k es diferente en diferentes direcciones

La anisotropía puede deberse a una cantidad de facto-res: tendencia a la orientación horizontal de las partícu-las de arcilla debido al esfuerzo vertical, estratificación debida a cambios estacionales durante la depositación, otros. Ver ejemplos en MUSKAT, 1946 y HVORSLEV, 1951.

Es muy frecuente que la relación del coeficiente de per-meabilidad horizontal al vertical sea de 10 a 100

Hasta ahora: Permeabilidad considerada como una pro-piedad escalar de la masa del suelo y del fluido que cir-cula a través de ella


54

Coeficiente de permeabilidad para una masa porosa anisotrópica


55

En el caso en que los ejes coordenados coinciden con las direcciones principales de la permeabilidad:

;xhkv xx ∂∂

= ;yhkv yy ∂∂

=zhkv zz ∂∂

=

ECUACION GENERAL DE DIFUSION

La ley de DARCY es un enunciado de la conservación de energía y del momento lineal.

Suposiciones: Suelo saturado, suelo y agua son incom-presibles.

Por lo tanto: La conservación de la masa requiere que un flujo de fluido neto que entra o sale de un elemento de suelo, esté acompañado de un cambio de volumen.


56


57

Multiplicando y dividiendo la parte derecha de la ecua-ción por Δx, y aproximando Δx a cero, sin que alcance este valor, el flujo neto se puede expresar como un dife-rencial:

La componente de la tasa de flujo neto que sale del elemento en la dirección x es:

De una manera similar se obtiene el flujo neto en la dirección y y z que sale del elemento:


58

La suma de esas componentes es la perdida neta de volumen:

tasa neta de pérdida de volumen


59

De utilidad es la definición de velocidad de descarga (o velocidad de filtración):

En las cuales vx, vy y vz son las velocidades de descarga en las direcciones x, y y z respectivamente.

De nuevo: esta cantidad es artificial porque el área nor-mal a la tasa de flujo consiste de espacios vacíos (don-de ocurre realmente el flujo) y sólidos. Por lo tanto la ve-locidad de descarga no es una velocidad real de flujo, sino más bien un parámetro equivalente a la tasa de flu-jo


60

Si la ecuación

se divide por el volumen inicial , y a la ecuación obtenida se aplica la definición de velocidad de descarga, se obtiene:

Si ⇒ te

ezv

yv

xv zyx

∂∂

+=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

011


61

Esta ecuación es una forma de la ecuación de continui-dad y es un enunciado de la conservación de masa.

Para flujo estacionario ⇒ la velocidad en cada punto es independiente del tiempo ⇒ la tasa de deformación volumétrica debe ser cero.

⇒ ⇒

Ecuación de continuidad

0== h grad divdiv v


62

te

ezhk

yhk

xhk zyx ∂

∂+

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

02

2

2

2

2

2

11

Ecuación general de difusión; gobierna el flujo de un flui-do incompresible a través de un medio poroso homogé-neo


63

Si el estado de flujo es estacionario:

Si además el suelo es isotrópico:

⇒ Ecuación de LAPLACE:

Para la determinación de la distribución de la presión de poros y de la velocidad de flujo del agua freática se bus-ca la solución de la ecuación potencial 0=Δh

Ecuación de LAPLACE: ecuación diferencia parcial lineal.


64

⇒ la solución de esa ecuación diferencial parcial, es de-cir la función h(x,y,z), nos da la distribución de la presión de poros y de la velocidad del flujo de agua en la región considerada

Existen diferentes métodos para resolver esta ecuación diferencial, como por ejemplo mediante diferencias finitas, elementos finitos o métodos gráficos


65

SOLUCION POR EL METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS PARA FLUJO ESTACIONARIO

BIDIMENSIONAL

Definición: El método de las diferencias es una aproxi-mación numérica para resolver ecuaciones diferenciales parciales

Principio de las diferencias finitas:


66

f(x,t j

)

x

Δf

f(xi,tj)

f(xi+1,tj)

Δx xi xi+1


67

211

2

2 2x

fffxf iii

i Δ

+−≈

∂

∂ −+Al mismo resultado se llega ex-pandiendo la función f (expansión de TAYLOR)

Para un flujo estacionario en dos dimensiones a través de un suelo poroso con permeabilidad anisotrópica (kx≠ky), la distribución de presión total h(x,y) dentro del suelo saturado es:

02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yhk

xhk yx


68

Representación discreta. Región en dos dimensiones y nudos

Para y con se obtiene:


69

Para y se obtiene:

)(41

1,1,,1,1, −+−+ +++= jijijijiji hhhhh

Condiciones de borde: En problemas de flujo confina-do, la filtración esta prohibida en los bordes (bordes im-permeables); la velocidad es tangencial a los bordes:

n: coordenada normal al borde

En caso de un borde horizontal n = y ⇒

⇒


70

)( ,,,, 111 241

−−+ ++= jijijiji hhhh


71

Ejemplo: Determinar la cabeza de presión total h en los puntos del mallado de la figura usando un método directo y un método iterativo.


72

La ecuación de LAPLACE se cumple en la región cuadra-da. La función h(x,y) es igual a cero en el borde de la iz-quierda, la base y en el borde de la derecha. Esta fun-ción es igual a h(x,y)=1000 en el borde superior. Deter-mine la distribución de h en la región cuadrada.

Método directo: simetría con respecto al eje x = 0.5 ⇒ únicamente dos incógnitas: h2,2 = h3,2 y h2,3 = h3,3


73

Método de relajación


74

Ejemplo - Aplicación a flujo bidimensional: Problema de flujo con una tablestaca. Se pide la distribución de h en el suelo saturado. Por simetría se analiza la mitad del problema. La cabeza de presión total sobre el plano AB es h = 6.0 m. En la sección CD h = 3.0 m. Líneas AB y CD son líneas equipotenciales (cabeza de presión cons-tante). Líneas AED y BC son líneas de flujo. Nudos de diferencias finitas espaciados uniformemente: 2 m en las direcciones x y y. Total: 91 nudos; 13 en la dirección x y 7 en la dirección y.

Definición: Líneas equipotenciales: Líneas de igual potencial. En las líneas equipotenciales h = const.


75


76

Fórmulas para el cálculo de h

Resultados de h [m] (100 iteraciones) Cabeza total (m) Cabeza superior (m) = 6 Cabeza inferior (m) = 3

6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.005.92 5.92 5.91 5.90 5.88 5.85 5.81 5.75 5.68 5.59 5.48 5.36 5.285.85 5.85 5.83 5.80 5.76 5.71 5.63 5.53 5.39 5.21 4.97 4.68 4.415.79 5.78 5.76 5.72 5.67 5.59 5.48 5.33 5.14 4.88 4.52 3.97 3.005.74 5.74 5.71 5.66 5.59 5.49 5.36 5.19 4.95 4.65 4.24 3.70 3.005.71 5.70 5.68 5.62 5.55 5.44 5.29 5.10 4.84 4.52 4.10 3.59 3.005.70 5.69 5.66 5.61 5.53 5.42 5.27 5.07 4.81 4.48 4.06 3.56 3.00

Cantidad de flujo por unidad de tiempo y unidad de permeabilidad = 3.2543

Cabeza total (m)$G$1 $G$1 $G$1 $G$1 $G$1 $G$1

(A2+A4+2*B3)/4 (B2+A3+B4+C3)/4 (C2+B3+C4+D3)/4 (D2+C3+D4+E3)/4 (L2+K3+L4+M3)/4 (M2+M4+2*L3)/4(A3+A5+2*B4)/4 (B3+A4+B5+C4)/4 (C3+B4+C5+D4)/4 (D3+C4+D5+E4)/4 (L3+K4+L5+M4)/4 (M3+M5+2*L4)/4(A4+A6+2*B5)/4 (B4+A5+B6+C5)/4 (C4+B5+C6+D5)/4 (D4+C5+D6+E5)/4 (L4+K5+L6+M5)/4 $K$1(A5+A7+2*B6)/4 (B5+A6+B7+C6)/4 (C5+B6+C7+D6)/4 (D5+C6+D7+E6)/4 (L5+K6+L7+M6)/4 $K$1(A6+A8+2*B7)/4 (B6+A7+B8+C7)/4 (C6+B7+C8+D7)/4 (D6+C7+D8+E7)/4 (L6+K7+L8+M7)/4 $K$1

(A7+B8)/2 (A8+C8+2*B7)/4 (B8+D8+2*C7)/4 (C8+E8+2*D7)/4 (K8+M8+2*L7)/4 $K$1Cantidad de flujo (A3-A5+M3-M5+2*SUMA(B3:L3)-2*SUMA(B5:L5))/4


77

1 3 5 7 9 11 13

S1

S3

S5

S7

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50

6.00

3.00-3.50 3.50-4.00 4.00-4.50 4.50-5.00

5.00-5.50 5.50-6.00

Representación en dos dimensiones de los resultados (contorno de cabeza total de un problema de flujo)


78

1 4 7 10 13

S1

S4

S73.00

3.25

3.50

3.75

4.00

4.25

4.50

4.75

5.00

5.25

5.50

5.75

6.00

3.00-3.25 3.25-3.50 3.50-3.75 3.75-4.004.00-4.25 4.25-4.50 4.50-4.75 4.75-5.00

5.00-5.25 5.25-5.50 5.50-5.75 5.75-6.00

Representación en dos dimensiones de los resultados (contorno de cabeza total de un problema de flujo)


79

Presión del agua u en la región analizada

Presión de agua (kPa)9.8*(A2+(FILA(A11)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(B2+(FILA(B11)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(M2+(FILA(M11)-FILA($A$11))*$K$10)9.8*(A3+(FILA(A12)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(B3+(FILA(B12)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(M3+(FILA(M12)-FILA($A$11))*$K$10)9.8*(A4+(FILA(A13)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(B4+(FILA(B13)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(M4+(FILA(M13)-FILA($A$11))*$K$10)9.8*(A5+(FILA(A14)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(B5+(FILA(B14)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(M5+(FILA(M14)-FILA($A$11))*$K$10)9.8*(A6+(FILA(A15)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(B6+(FILA(B15)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(M6+(FILA(M15)-FILA($A$11))*$K$10)9.8*(A7+(FILA(A16)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(B7+(FILA(B16)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(M7+(FILA(M16)-FILA($A$11))*$K$10)9.8*(A8+(FILA(A17)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(B8+(FILA(B17)-FILA($A$11))*$K$10) 9.8*(M8+(FILA(M17)-FILA($A$11))*$K$10)

Fórmulas para el cálculo de u

Presión de agua (kPa) Espaciamiento vertical de la malla (m)= 258.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.8 58.877.7 77.6 77.5 77.4 77.2 76.9 76.5 76.0 75.3 74.4 73.3 72.1 71.496.6 96.5 96.3 96.1 95.7 95.1 94.4 93.4 92.0 90.2 87.9 85.1 82.4

115.6 115.5 115.3 114.9 114.3 113.5 112.5 111.1 109.2 106.6 103.1 97.8 88.2134.7 134.6 134.3 133.9 133.2 132.2 131.0 129.2 127.0 124.0 120.0 114.7 107.8154.0 153.9 153.6 153.1 152.3 151.3 149.9 148.0 145.5 142.3 138.2 133.2 127.4173.5 173.4 173.1 172.6 171.8 170.7 169.2 167.3 164.7 161.5 157.4 152.5 147.0

Resultados de u [kPa]


80

1 3 5 7 9 11 13

S1

S3

S5

S7

50.0

75.0

100.0

125.0

150.0

175.0

50.0-75.0 75.0-100.0 100.0-125.0125.0-150.0 150.0-175.0

Representación de los resultados de u [kPa]


81

Función de flujo y Líneas de flujo

El caudal total Q por unidad de tiempo puede ser calculado de los valores discretos de la cabeza total h

nx, ny: componentes en la dirección x y y de un vector unitario normal a A

vx, vy: componentes en la dirección x y y de la velocidad de filtración. Si la superficie es vertical:


82

Integración usando regla trapezoidal (en el caso de una sección vertical):

con m < n y:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−+−= ∑

−=

+=−+−+−+

1

1,1,1,1,1,1,1 )(2

4

nj

mjninijijimimi

x hhhhhhkQ

Así se calculó la cantidad de flujo por unidad de tiempo y unidad de permeabilidad


83

Fórmulas para el cálculo de h

Resultados de h [m] (100 iteraciones) Cabeza total (m) Cabeza superior (m) = 6 Cabeza inferior (m) = 3

6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.005.92 5.92 5.91 5.90 5.88 5.85 5.81 5.75 5.68 5.59 5.48 5.36 5.285.85 5.85 5.83 5.80 5.76 5.71 5.63 5.53 5.39 5.21 4.97 4.68 4.415.79 5.78 5.76 5.72 5.67 5.59 5.48 5.33 5.14 4.88 4.52 3.97 3.005.74 5.74 5.71 5.66 5.59 5.49 5.36 5.19 4.95 4.65 4.24 3.70 3.005.71 5.70 5.68 5.62 5.55 5.44 5.29 5.10 4.84 4.52 4.10 3.59 3.005.70 5.69 5.66 5.61 5.53 5.42 5.27 5.07 4.81 4.48 4.06 3.56 3.00

Cantidad de flujo por unidad de tiempo y unidad de permeabilidad = 3.2543

Cabeza total (m)$G$1 $G$1 $G$1 $G$1 $G$1 $G$1

(A2+A4+2*B3)/4 (B2+A3+B4+C3)/4 (C2+B3+C4+D3)/4 (D2+C3+D4+E3)/4 (L2+K3+L4+M3)/4 (M2+M4+2*L3)/4(A3+A5+2*B4)/4 (B3+A4+B5+C4)/4 (C3+B4+C5+D4)/4 (D3+C4+D5+E4)/4 (L3+K4+L5+M4)/4 (M3+M5+2*L4)/4(A4+A6+2*B5)/4 (B4+A5+B6+C5)/4 (C4+B5+C6+D5)/4 (D4+C5+D6+E5)/4 (L4+K5+L6+M5)/4 $K$1(A5+A7+2*B6)/4 (B5+A6+B7+C6)/4 (C5+B6+C7+D6)/4 (D5+C6+D7+E6)/4 (L5+K6+L7+M6)/4 $K$1(A6+A8+2*B7)/4 (B6+A7+B8+C7)/4 (C6+B7+C8+D7)/4 (D6+C7+D8+E7)/4 (L6+K7+L8+M7)/4 $K$1

(A7+B8)/2 (A8+C8+2*B7)/4 (B8+D8+2*C7)/4 (C8+E8+2*D7)/4 (K8+M8+2*L7)/4 $K$1Cantidad de flujo (A3-A5+M3-M5+2*SUMA(B3:L3)-2*SUMA(B5:L5))/4


84

Si la solución a la ecuación de LAPLACE Δh(x,y) existe, se puede mostrar (CHURCHILL 1960) que debe existir también otra función potencial ψ(x,y) tal que:

y

y

⇒ la función ψ también satisface la ecua-ción de LAPLACE. h y ψ son partes de la so-lución del problema.


85

x

y

dy dx

ψ(x,y)=const

vy

vx

x

yvv

dxdy

=

Curvas ψ (x,y): líneas de flujo ψ : función de flujo

⇒


86

Relación entre h(x,y) y ψ(x,y): considerar línea en el pla-no xy, a lo largo de la cual h(x,y) es constante (línea equipotencial). La pendiente de esta curva:

Toda línea equipotencial que sea una solución de la ecuación de LAPLACE intercepta las líneas de flujo (que también son solución a la ecuación de LAPLCE) en án-gulo recto.

Las dos familias de curvas son ortogonales ⇒

y

xvv

dxdy

−=⇒


87

y

Por definición: función de flujo :

Cantidad de filtración dQ a través de un elemento pe-queño de lados dx y dy:

Con la ecuación


88

Se obtiene la cantidad de filtración ΔQ entre dos nudos (i,j) y (i,j+1)

)( ,,,,,, 11111141

1 +−++−++ −+−+==Δ

jijijijijijix

hhhhkQ

ψψ


89

Las líneas de flujo pueden ser obtenidas de la ecuación anterior.

Los valores de ψi,j = 0 a lo largo de una línea de flujo en el borde externo.

Los valores de ψi,j en el interior son calculados con la ecuación anterior después del cálculo de hi,j, alejandose de los valores donde ψi,j = 0.

La función de flujo ψi,j es constante en las líneas de flujo

Para dibujar la red de flujo con líneas equipotenciales y líneas de flujo: ψʹ′

i,j = ψi,j /k


90

Líneas de flujo: También pueden ser obtenidas como las líneas equipotenciales pero resolviendo el problema complementario de filtración: las líneas de flujo de los bordes son tratadas como equipotenciales y los bordes equipotenciales son tratados como líneas de flujo

La cabeza de presión total h(x,y) es reemplazada por la función modificada ψʹ′

i,j = ψi,j /k

⇒ Las líneas de flujo del problema inicial son transfor-madas en valores ψʹ′

i,j dados

En una de esas líneas ψʹ′i,j = 0; en la otra ψʹ′

i,j = Q/k


91

L. flujo (p. complementario) Valor superior flujo (m) = 3.2543 0$I$19 (A20+C20+2*B21)/4 (D20+F20+2*E21)/4 (H20+J20+2*I21)/4 (K20+M20+2*L21)/4 0.00$I$19 (B20+A21+B22+C21)/4 (E20+D21+E22+F21)/4 (I20+H21+I22+J21)/4 (L20+K21+L22+M21)/4 0.00$I$19 (B21+A22+B23+C22)/4 (E21+D22+E23+F22)/4 (I21+H22+I23+J22)/4 (L21+K22+L23+M22)/4 0.00$I$19 (B22+A23+B24+C23)/4 (E22+D23+E24+F23)/4 (I22+H23+I24+J23)/4 (L22+K23+L24+M23)/4 0.00$I$19 (B23+A24+B25+C24)/4 (E23+D24+E25+F24)/4 (I23+H24+I25+J24)/4 (L23+K24+L25+M24)/4 (M23+M25+2*L24)/4$I$19 (B24+A25+B26+C25)/4 (E24+D25+E26+F25)/4 (I24+H25+I26+J25)/4 (L24+K25+L26+M25)/4 (M24+M26+2*L25)/4$I$19 $I$19 $I$19 $I$19 $I$19 $I$19

L. flujo (p. complementario) Valor superior flujo (m) = 3.2543 Valor inferior flujo (m) =03.25 3.17 3.08 2.98 2.86 2.71 2.52 2.29 2.00 1.63 1.17 0.62 0.003.25 3.17 3.09 2.99 2.87 2.73 2.55 2.32 2.04 1.67 1.21 0.65 0.003.25 3.18 3.10 3.01 2.91 2.78 2.62 2.41 2.15 1.81 1.36 0.77 0.003.25 3.19 3.13 3.06 2.97 2.87 2.73 2.56 2.34 2.05 1.66 1.06 0.003.25 3.21 3.17 3.12 3.05 2.98 2.89 2.77 2.61 2.41 2.15 1.83 1.533.25 3.23 3.21 3.18 3.15 3.11 3.06 3.00 2.92 2.82 2.70 2.56 2.483.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25

Resultados de ψʹ′i,j (100 iteraciones)

Fórmulas para el cálculo de ψʹ′i,j


92

1 3 5 7 9 11 13

S1

S3

S5

S7

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

0.00-0.50 0.50-1.00 1.00-1.50 1.50-2.002.00-2.50 2.50-3.00 3.00-3.50

Representación en dos dimensiones de los resultados (contorno de líneas de flujo)


93

1 4 7 10 13

S1

S3

S5

S7

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

2.50

2.75

3.00

3.25

3.50

0.00-0.25 0.25-0.50 0.50-0.75 0.75-1.00 1.00-1.25

1.25-1.50 1.50-1.75 1.75-2.00 2.00-2.25 2.25-2.502.50-2.75 2.75-3.00 3.00-3.25 3.25-3.50

Representación en dos dimensiones de los resultados (contorno de líneas de flujo)


94

La red de flujo se obtiene superponiendo las líneas de contorno de hi,j y ψʹ′

i,j

RED DE FLUJO


95

METODO GRAFICO

Estrato impermeable


96

Líneas de flujo

Estrato impermeable


97

Líneas potenciales

Estrato impermeable


98

Estrato impermeable


99

DETERMINACION DEL CAUDAL DE INFILTRACION

El caudal dentro de un canal de flujo permanece cons-tante ⇒ se cumple la ecuación de continuidad:

De la ley de DARCY:

Para una red de flujo cuadrada: Δs ≈ Δb ⇒

Esto significa que para una red de flujo cuadrada la re-ducción de potencial Δh entre dos líneas equipotencia-les vecinas es constante.

n: Número de escalones potenciales. Puede ser leído de la red de flujo


100

El número de canales de flujo m también puede ser leí-do de la red de flujo

n = 11 m = 3

1

2

Estrato impermeable


101

Con la red de flujo se puede determinar en cualquier punto i de la base de la presa, la cabeza de presión total hi. Con la altura geodética z conocida puede determinar-se la presión u/γw de (h-z)


102

NIVEL FREATICO DE POCA PENDIENTE

Línea de infiltración Línea de infiltración = línea de flujo

consthhh ug =Δ+Δ=Δ

0=Δ uh en la línea de flujo


103


Línea de infiltración Línea de infiltración = línea de flujo

consthhh ug =Δ+Δ=Δ

0=Δ uh en la línea de flujo


104


Línea de infiltración

Dupuit (1863) Para flujo plano: desistir de una red de flujo. La altura h = hg de línea de infiltración contiene la información completa h = h(x): puede ser resuelta de manera analítica


105

Las dos últimas ecuaciones se emplean para dimensio-nar la depresión del nivel fratico de un tramo largo. h1 es el nivel freático original y h0 es el la altura después de la depresión del nivel freático mediante bombeo u otra acción


106

Flujo radial:


107

Dupuit 1863

agua

Documents