agrupamiento de capacitores

Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III

AGRUPAMIENTO DE CAPACITORES.

SERIE.

El diagrama b representa al condensador equivalente de los tres condensadores del diagrama a.

Cuando los condensadores están conectados en serie, el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los inversos de la capacitancia de los condensadores conectados en serie. Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión:

1 / C = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3

Despejando a la capacidad equivalente C de la expresión anterior se tiene:

C = 1 / ( 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 )

En caso de que solo sean dos condensadores en serie, se puede aplicar la siguiente expresión:

C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) (solamente para dos capacitores)

Cuando se tienen condensadores en serie, el voltaje total (o diferencia de potencial total) es la suma de los voltajes en cada uno de los condensadores (la diferencia de potencial en cada uno de los condensadores). Matemáticamente corresponde con la siguiente expresión:

V = V1 + V2 + V3

En condensadores en serie la carga total es igual a la carga en cada uno de los condensadores. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente expresión.

Q = Q1 = Q2 = Q3

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PARALELO.

El diagrama b representa al condensador equivalente de los tres condensadores del diagrama a.

Cuando los condensadores están conectados en paralelo, la capacitancia equivalente es igual a la suma de la capacitancia de los condensadores conectados en paralelo. Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión:

C = C1 + C2 + C3

En condensadores en paralelo la carga total es igual a la suma de la carga en cada uno de los condensadores. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente expresión.

Q = Q1 + Q2 + Q3

Cuando se tienen condensadores en paralelo, el voltaje total (o diferencia de potencial total) es igual a los voltajes en cada uno de los condensadores (la diferencia de potencial en cada uno de los condensadores). Matemáticamente corresponde con la siguiente expresión:

V = V1 = V2 = V3

PROBLEMA.

Dos condensadores de capacidades 3 pF y 6 pF, respectivamente, están conectados en serie y el conjunto a una tensión de 1000 V. Calcular:

a) La capacitancia total (2 pF).b) La carga total del sistema (2 nC).c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador (V1 = 667 V, V2 =

333 V).d) La energía almacenada en el sistema (1.0 x 10-6 J).

En la solución del problema se hará uso de la siguiente tabla:

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Capacitanciax 10-12 F

Cargax 10-9 C

TensiónV

Energíax 10-6 J

3 2 667 V 0.6676 2 333 V 0.333

CT = 2 QT = 2 VT = 1000 V W = 1.0

Cálculo de la capacidad:

C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) = 3 x 6 / ( 3 + 6 ) = 2 pF

Cálculo de la carga:

Q = C V = 2 x 10-12 x 1000 = 2 x 10-9 C

Cálculo de la diferencia de potencial en las terminales de los condensadores:

V1 = Q1 / C1 = 2 x 10-9 / 3 x 10-12 = 667 V

V2 = Q2 / C2 = 2 x 10-9 / 6 x 10-12 = 333 V

Cálculo de las energías en los condensadores:

W1 = (1/2) x 2 x 10-9 x 667 = 6.67 x 10-7 J

W2 = (1/2) x 2 x 10-9 x 333 = 3.33 x 10-7 J

W = (1/2) x 2 x 10-9 x 1000= 1 x 10-6 J

La tabla contiene los resultados que se solicitan en el problema.

PROBLEMA.

Tres condensadores de capacidades de 3 pF, 6 pF y 15 Pf, respectivamente, están conectados en serie y el conjunto a una tensión de 1000 V. Calcular:

a) La capacitancia total.b) La carga total del sistema.c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.d) La energía almacenada en el sistema.

Hacemos uso de la siguiente tablita:

CapacitanciapF

Cargax 10-9 C

TensiónV

Energíax 10-7 J

3 1.76 587 5.176 1.76 293 2.5815 1.76 117 1.03

CT =1.76 QT =1.76 VT = 1000 V W = 8.8

Cálculo de la capacidad total:

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= 1.76 x 10-12 F

Cálculo de la carga total:

Cálculo de la diferencia de potencial en los bornes de los capacitores:

= 586.66 V

= 293.33 V

= 117.33 V

Cálculo de la energía en los condensadores:

W = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 1000 = 8.8 x 10-7 J

W1 = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 587 = 5.17 x 10-7 J

W2 = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 293 = 2.58 x 10-7 J

W3 = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 117 = 1.03 x 10-7 J

La tabla muestra los resultados que se solicitan en el problema.

PROBLEMA.

Dos condensadores de 200 pF y 600 pF están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 120 V. Calcular:

a) La capacitancia total.b) La carga total del sistema.c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.d) La energía almacenada en el sistema.

Haremos uso de la siguiente tabla en la solución del problema.

Capacitancia(pF)

Carga Tensión(V)

Energía

200 2.4 120 1.44600 7.2 120 4.32

CT = 800 QT = 9.6 VT = 120 V W = 5.76

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Cálculo de la capacidad total:

Cálculo de la carga total:

Cálculo de las cargas de los condensadores:

Cálculo de las energías de los condensadores:

La fórmula es:

W = (1/2) Q V

W = (1/2) x 9.6 x 10-8 x 120 V = 5.76 x 10-6 J

W1 = (1/2) x 2.4 x 10-8 x 120 V = 1.44 x 10-6 J

W2 = (1/2) x 7.2 x 10-8 x 120 V = 4.32 x 10-6 J

La tabla presenta los resultados solicitados en el problema.

PROBLEMA.

Tres condensadores de 200 pF, 600 pF y 15 pF están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 120 V. Calcular:

e) La capacitancia total.f) La carga total del sistema.g) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.h) La energía almacenada en el sistema.

Capacitancia(pF)

Carga Tensión(V)

Energía

200 2.4 120 1.44600 7.2 120 4.3215 0.18 120 0.108

CT = 815 QT = 9.78 VT = 120 V 5.868

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PROBLEMA.

De acuerdo con el circuito de capacitores que se presenta en el dibujo adjunto, calcular: a) la capacidad equivalente del sistema, b) la carga en cada capacitor, c) la ddp en cada uno de los condensadores y d) la energía almacenada en cada uno de ellos.

La capacidad equivalente de los condensadores C1, C2 y C3 (están en paralelo) es:

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C123 = C1 + C2 + C3 = 3 + 5 + 4 = 12 mF; todos los resultados se registrarán en la tabla adjunta.

A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C123 y C4, que están en serie:

C1234 = 1 / ( 1/ C123 + 1 / C4 ) = 1 / ( 1 / 12 + 1 / 4 ) = 3 mF

A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C5 y C6, que están en paralelo:

C56 = C5 + C6 = 4 + 2 = 6 mF

Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C56 y C7, que están en serie:

C756 = 1 / ( 1 / C7 + 1 / C56 ) = 1 / ( 1 / 3 + 1 / 6 ) = 2 mF

Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C1234 y C756, que están en paralelo:CE = C1234 + C756 = 3 + 2 = 5 mF

Teniendo las capacidades equivalentes, se procede a calcular las cargas eléctricas de cada uno de los condensadores. La fórmula es:

Q = C V = 5 x 10-3 x 96 = 480 x 10-3 coulombs; resultado que también se anota en la tabla adjunta.

Dado que para capacitores en paralelo lo que es igual es el voltaje, entonces, C 1234 y C756

tienen el mismo voltaje, razón por la cual su voltaje es de 96 V. Se calcula, pues, la carga de acuerdo con la ecuación:

Q = C V

Q1234 = C1234 V1234 = 3 x 10-3 x 96 = 288 x 10-3 C

Q756 = C756 V756 = 2 x 10-3 x 96 = 192 x 10-3 C

Como comprobación, la suma de Q1234 y Q756 debe ser igual a QE y se cumple (lo puede verificar con los datos anotados en la tabla).

Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C123 y C4, que se encuentran en serie y para los cuales, lo que es igual es la carga eléctrica; entonces el voltaje es:

V = Q / C

V123 = 288 x 10-3 / 12 x 10-3 = 24 volts, y

V4 = 288 x 10-3 / 4 x 10-3 = 72 volts.

Como comprobación la suma de V123 y V4 debe ser 96 V, cosa que es verdad.

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Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C7 y C56, que se encuentran en serie y para los cuales, lo que es igual es la carga eléctrica; entonces el voltaje es:

V7 = 192 x 10-3 / 3 x 10-3 = 64 volts, y

V56 = 192 x 10-3 / 6 x 10-3 = 32 volts.

Como comprobación la suma de V7 y V56 debe ser 96 V, cosa que es cierto.

Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensadores C1, C2 y C3, que se encuentran en paralelo y para los cuales, lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 24 V); entonces la carga es:

Q = C V

Q1 = C1 V1 = 3 x 10-3 x 24 = 72 x 10-3 C

Q2 = C2 V2 = 5 x 10-3 x 24 = 120 x 10-3

Q3 = C3 V3 = 4 x 10-3 x 24 = 96 x 10-3 C.

Como comprobación, la suma de estas tres cargas debe ser de 288 x 10 -3, lo que es cierto.

Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensadores C5 y C6, que se encuentran en paralelo y para los cuales, lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 32 V); entonces la carga es:

Q5 = C5 V5 = 4 x 10-3 x 32 = 128 x 10-3 C

Q6 = C6 V6 = 2 x 10-3 x 32 = 64 x 10-3 C.

Como comprobación, la suma de estas dos cargas debe ser de 192 x 10 -3, lo que es cierto.

A continuación se calcula la energía almacenada en cada capacitor con la ecuación:

W = (1/2)(QV); los correspondientes resultados están registrados el la tabla adjunta.

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Cx 10-3 F

Qx 10-3 C

VV

Wx 10-3 J

C1 3 72 24 864C2 5 120 24 1440C3 4 96 24 1152C4 4 288 72 10368C5 4 128 32 2048C6 2 64 32 1024C7 3 192 64 6144C123 12 288 24C56 6 192 32C1234 3 288 96C756 2 192 96CE 5 480 96 23040

No tiene sentido calcular la energía para los capacitores equivalentes, razón por la cual no aparecen valores en las casillas correspondientes.

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