CAPTULO I APROXIMACIN CLSICA1.1 INTRODUCCIN

El objeto de este captulo es tan solo ordenar algunas ideas bsicas ya conocidas por el lector de forma que resulten eficaces para el clculo de estructuras de barras. El primer paso consiste simplemente en plantear los trminos fundamentales del problema, esto es, qu magnitudes se desea conocer y de qu herramientas se dispone. Expresando en trminos algebraicos se trata de un balance de incgnitas y ecuaciones. En este primer apartado se pretende nicamente demostrar como las ms elementales ecuaciones de la mecnica son siempre suficientes para el anlisis estructural. A continuacin se plantea el mtodo directo de la rigidez como un simple esquema de resolucin de sistemas de ecuaciones, concretamente el de sustitucin. En un tercer apartado se repite todo el proceso empleando la notacin matricial, forma esta de trabajo muy adaptada al uso de ordenadores. El ltimo apartado se limita a resumir las conclusiones ms importantes. Al objeto de dar un soporte fsico a la exposicin, sta se efecta en base a una estructura elemental y probablemente ya familiar para el lector: la celosa hiperesttica plana representada en la figura 1.1, con las dimensiones y caractersticas que se indican en la propia figura.

FIGURA 1.1

Para identificar en cada momento una barra o nudo concreto dentro de la estructura, se han numerado cada uno de ellos tal y como muestra la figura 1.2. En ella se dibuja tambin el sistema de ejes que representa las direcciones y sentidos positivos, tanto en cargas como en desplazamientos.

FIGURA 1.2

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En este apartado se intentan precisar claramente tanto los objetivos del anlisis como las herramientas tpicas del clculo de celosas (que suponemos conocidas por el lector). Parece clara la necesidad de obtener las siguientes magnitudes: ESFUERZOS EN CADA BARRA: Como el nico esfuerzo considerado es el axil, ello representa una incgnita por barra, que se notar como Ni, indicando con el subndice el nmero de la barra. Se suponen positivos los esfuerzos de traccin. DESPLAZAMIENTOS DE LOS NUDOS: En direcciones horizontal y vertical, lo que supone dos incgnitas por nudo que se notarn ui y vi respectivamente. REACCIONES DE LOS APOYOS: Una incgnita por cada direccin restringida (coaccin) que se notar Xi, Yi segn se trate de una direccin horizontal o vertical. A veces lo anterior se resume en la siguiente relacin simblica, para el caso plano: I = b + 2n + r Donde:

l: b: n: r:

Nmero de incgnitas Nmero de barras Nmero de nudos Nmero de coacciones

As, en el caso de la estructura que se intenta resolver, se tiene: b= 6 +2n 8 = +r= 3 ------------l = 17 (N1,N2,N3,N4,N5,N6) (u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4) (X1,Y1,Y2)

En aras de la generalidad se han considerado incgnitas que, como ocurre con los desplazamientos coartados por los apoyos, son claramente intiles (de antemano ya se sabe que los desplazamientos u1 , v1 y v2 son nulos). Una vez fijado el nmero de incgnitas se plantea el problema de hallar otras tantas ecuaciones. Posiblemente las primeras de tales ecuaciones en que piense el lector sean las condiciones de contorno, que vendrn dadas en nmero "r" (una por cada reaccin incgnita, ya que en los nudos en que se impone un desplazamiento aparece una reaccin). En la estructura considerada son: u1 = 0 v1 = 0 v2 = 0 Inmediatamente se puede pensar en el equilibrio de los nudos. Efectivamente, al considerar cada uno de ellos se obtienen dos ecuaciones que ligan los esfuerzos en las barras con las cargas exteriores aplicadas al propio nudo. As, en el nudo 4 de la estructura aqu tratada se tiene (figura 1.3): (1.1)

FIGURA 1.3 Normalmente, y con el nico fin de que las cargas aplicadas no aparezcan cambiadas de signo (como ocurre con los 5.000 kilos aplicados al nudo 4) se cambia directamente el de todas las ecuaciones. Se tiene entonces: Nudo 1: -N1 - N6 cos (45) = X1 -N4 - N6 sen (45) = Y Nudo 2: N1 + N5 cos (45) = 0 -N2 - N5 sen (45) = Y Nudo 3: N3 + N6 cos (45) = 0 N2 + N6 sen (45) = 0 Nudo 4: -N3 - N5 cos (45) = 5000 N4 + N5 sen (45) = 0 Entre los sistemas (1.1) y (1.2) se han obtenido ya "2n+ r" ecuaciones. Para las "b" restantes se pueden utilizar otras dos ideas bsicas de la mecnica estructural: Ley de comportamiento y compatibilidad. El comportamiento se expresa, en el caso de barras de celosa, mediante la conocida relacin: (1.2)

La aplicacin directa de esta expresin introduce una nueva incgnita por cada barra: su incremento de longitud. En ocasiones esta variable puede ser de gran inters, ya que representa la deformacin del elemento. En el caso ms general constituye sin embargo una variable intermedia en el clculo que se puede eliminar con solo introducir las ecuaciones de compatibilidad, que ligan el incremento de longitud de cada barra con los desplazamientos de sus nudos extremos. El obtener la expresin analtica de estas ecuaciones es una cuestin de simple geometra en el caso de pequeos desplazamientos. La figura 1.4 muestra este proceso (Para el lector no familiarizado con estas expresiones sera recomendable leer con cuidado algn texto elemental sobre el tema).

FIGURA 1.4 Al sustituir las ecuaciones de compatibilidad en las de comportamiento se obtiene, para cada barra:

Se tienen ya por tanto las "b" ecuaciones que restaban para igualar el nmero de incgnitas. Para la estructura particular que nos ocupa, estas "b" ecuaciones son:

(1.3)

En donde se han dado valores numricos a los parmetros A,E,L y 1.3. EL MTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ

Al sustituir el sistema (1.2) en el (1.3) y ste a su vez en el (1.2) se tiene un conjunto de "2n" ecuaciones que representan el equilibrio de los nudos de la estructura (por ser el de equilibrio el ltimo sistema de ecuaciones en el que se ha sustituido). Su expresin, para la estructura que se est considerando es:

(1.4)

Una observacin importante respecto a este sistema es que aquellas ecuaciones en que no aparecen reacciones se pueden extraer y resolver separadamente. Ello no deja de ser lgico puesto que en el sistema de "2n-r" ecuaciones que entonces queda aparecen "2n-r" incgnitas (desplazamientos no impedidos de los nudos). Para el ejemplo considerado este sistema queda:

(1.5)

Que al ser resuelto da: u2 = 0.02381 cm u3 = 0.09115 cm v3 =-0.02381 cm u4 = 0.11496 cm v4 = 0.02381 cm Conocidos los desplazamientos es inmediato el clculo de cualquier otra magnitud. As, por ejemplo, las reacciones en los apoyos se pueden obtener sustituyendo estos desplazamientos en las "r" ecuaciones de equilibrio en apoyos que se dejaron aparcadas al pasar del sistema (1.4) al (1.5):

La obtencin de los esfuerzos en las barras nicamente requiere la sustitucin de los desplazamientos en el sistema (1.3). As, como ejemplo, para la "barra 5" de la estructura considerada se tiene:

1.4 FORMULACIN MATRICIAL

En este apartado se repite el proceso anterior empleando notacin matricial. Conviene insistir en como el hecho de emplear una u otra formulacin, que en teora carece de importancia, se convierte en la prctica en el elemento diferenciador y que da nombre en muchas ocasiones al mtodo. Para empezar se intentar representar matricialmente las relaciones de equilibrio en los nudos. Para ello se utiliza la siguiente notacin:

que simplemente quiere decir que las cargas exteriores aplicadas al nudo "i" ms la suma de las acciones que sobre el propio nudo ejerce cada barra "k" que en l concurre, da resultante nula. Los subndices "x", "y" se refieren a la direccin en que se considera el equilibrio. Normalmente la anterior relacin se expresa en una forma ligeramente distinta:

donde la magnitud {Qik} representa la accin de la barra sobre el nudo y {Sik} su contraria ( la accin del nudo sobre la barra). En el caso particular estudiado se tiene:

(1.6)

En donde, como se puede observar, ya se omiten las ecuaciones correspondientes a los apoyos. El siguiente paso consistir en obtener una relacin entre estas acciones Sik y los desplazamientos de los nudos.

FIGURA 1.5

Para ello, y en un proceso paralelo al desarrollado en apartados anteriores, se aplican las ideas de compatibilidad y comportamientos. As, para una barra "k" con nudos extremos "i" y "j" se tiene (figura 1.5):

Pero:

de donde:

Las lneas de trazos sugieren una divisin en cajas de la forma:

(1.7)

que, como se ver ms adelante, resulta muy til. Normalmente esta relacin se simboliza:

llamndose a [Ke] matriz de rigidez elemental. Esta matriz admite una interpretacin muy intuitiva. Imagnese, a modo de ejemplo, un vector de desplazamiento {U}.

Que es el que se obtendra al dar un desplazamiento horizontal unidad al nudo "i" manteniendo nulos los dems. Al multiplicar por la matriz de rigidez se obtiene un vector de fuerzas:

Como tales fuerzas son las acciones sobre la barra en sus extremos, se puede pensar en cada columna de la matriz de rigidez de la barra como el vector de cargas que aparece en la misma al dar un desplazamiento unidad en la direccin correspondiente manteniendo nulos los dems. Para la estructura tomada como ejemplo es:

La nica que resta es sustituir este ltimo sistema de ecuaciones en el de equilibrio. As, para la primera ecuacin del sistema (1.6):

Se tiene:

donde, se han sustituido los valores de u1, v1 y v2 dados en (1.3) para tener ya en cuenta las condiciones del contorno. Para el resto de las ecuaciones es:

y:

Estas ecuaciones se suelen ordenar en la forma:

Que, como se puede comprobar, no es ms que la expresin matricial del sistema (1.5). Formalmente se suele escribir:

Representando {F} el vector de cargas aplicadas en los nudos, {U} el vector de desplazamientos que en estos se produce y [K] la matriz de coeficientes del sistema, a la que se suele llamar "matriz de rigidez". Algunas propiedades de esta matriz, que ms adelante se estudiarn con cuidado, son ya notorios (por ejemplo su simetra y el que todos los elementos de la diagonal principal son positivos). El proceso de sustitucin de las ecuaciones de barra (1.7) en las de equilibrio global (1.6) es fcilmente automatizable en un algoritmo que normalmente se denomina "ensamblaje" y que ms adelante se explicar con detalle. 1.5. CONCLUSIONES

El lector no debe desanimarse si la que, probablemente sea la cmo hace el ordenador para calcular una estructura? sigueprimera pregunta: sin respuesta. Lo aqu expuesto constituye la base sobre la que se construye cualquier programa de clculo matricial simple, pero, naturalmente, para llegar a construir dicho programa

son adems necesarios algunos tiles de programacin que, de ser aqu expuestos, alargaran en exceso lo que se pretende sea una simple introduccin. Tampoco debe el lector preocuparse por el limitado alcance del tipo estructural analizado (celosa plana). Las ideas expuestas son, en realidad, totalmente generales y nicamente su expresin analtica puede ser diferente en cada caso. En este sentido parece muy aconsejable leer con atencin los ejercicios propuestos al final del captulo, ya que desarrollan estas ideas para un elemento estructural diferente. S sera en cambio deseable que el lector extrajese una primera conclusin: el clculo matricial de estructuras de barras se puede considerar como una simple metodologa que no requiere la comprensin de ningn concepto nuevo. Desafortunadamente, esta aproximacin tiene un alcance limitado: basta que la estructura presente elementos bi o tridimensionales para que las ideas de "barra" y "nudo" pierdan todo su significado, dejando indefenso al analista. Es por ello evidente la necesidad de buscar puntos de vista ms potentes y por tanto ms generales. Ello se abordar en los siguientes captulos. 1.6 EJEMPLOS DE APLICACIN

EJERCICIO 1 Desarrollar la matriz de rigidez para las barras de una estructura plana de nudos rgidos. SOLUCIN Se pide aqu analizar la relacin esfuerzos-desplazamientos para el caso ms general de las estructuras planas de barras, ya que se supone que esta barra es capaz de transmitir momentos (al contrario que en el elemento de celosa) y de deformarse axialmente (al contrario que en el anlisis clsico de prticos). Es necesario por tanto relacionar los 6 esfuerzos y deformaciones que se indican en la figura 1.6

FIGURA 1.6 Se comienza expresando la relacin buscada en un sistema de coordenadas cmodo. En ese sentido los ejes ms indicados son, evidentemente, los dados por las direcciones axil y normal a la barra (figura 1.7)

FIGURA 1.7

A estos ejes se les suele llamar "locales" dando con ello a entender que se refieren nicamente a la barra considerada. La relacin buscada es, por tanto, de la forma: (E1.1)

En donde se utiliza el cambio de notacin hace referencia a que las magnitudes se miden en direcciones axil y normal. Para obtener los trminos de [Ke] se imponen sucesivos desplazamientos unitarios en los extremos de la barra y, con ayuda de las ms simples frmulas de resistencia de materiales, se obtienen los esfuerzos en los extremos. A modo de ejemplo, se desarrolla el clculo de las tres primeras columnas (figura 1.8)

FIGURA 1.8 Por simples consideraciones de simetra es inmediato calcular los restantes trminos. El resultado es una matriz de rigidez de la forma:

(E1.2)

El problema por tanto est resuelto. No obstante esta matriz se puede expresar en un sistema de ejes cualquiera (ver figura 1.6). Para ello basta con establecer la relacin entre magnitudes (fuerzas y desplazamientos) expresadas en unos u otros ejes. Segn la figura 1.9 estas relaciones son:

FIGURA 1.9 Relaciones estas que se suelen representar en forma matricial:

(E1.3)

La matriz [L] de cambio de coordenadas relaciona igualmente los esfuerzos: (E1.4)

y tiene la propiedad de que su transpuesta y su inversa son idnticas. Volviendo pues a la relacin entre esfuerzos y desplazamientos expresada en ejes locales y realizando el cambio de coordenadas:

premultiplicando por [L] y puesto que [L][L] T=[I]. (E1.5)

de donde inmediatamente se deduce que la matriz buscada es para el caso ms general:

EJERCICIO 2 Obtener los desplazamientos en los puntos A y B de la estructura de la figura.

rea de barras = 900 cm2. Inercia de las barras = 8.0*105 cm4. Mdulo de elasticidad del material: E = 2.0*105 Kg/cm2. Carga aplicada : F= 10000 Kg.

FIGURA 1.10

SOLUCIN Al igual que se hizo con la celosa anteriormente analizada, el primer paso consiste en la identificacin de barras y nudos mediante su numeracin.

FIGURA 1.11 A continuacin se identifican las incgnitas y ecuaciones del problema. Las incgnitas son los desplazamientos de los nudos y las ecuaciones son las de equilibrio de estos mismos nudos. Aprovechando lo estudiado en el ejercicio anterior, el clculo se puede comenzar estableciendo las matrices de rigidez correspondientes a cada barra (dadas en (E1.6) y que relacionan los esfuerzos y desplazamientos en sus extremos segn (E1.5). La primera cuestin que se plantea es que los desplazamientos y esfuerzos en los extremos de cada una de las barras deben tener la misma orientacin, de forma que no existan dificultades al utilizar las ecuaciones de equilibrio. Para ello, s se eligen como sentidos positivos para los desplazamientos y giro en cada nudo los indicados como x, y, en la figura 1.11, los ngulos a utilizar en las matrices [L] de cambio de coordenadas son: Para la barra 1: = 90 Para la barra 2: = 0 Para la barra 3: = - 90 Y segn (E1.5), se tiene: PARA LA BARRA 1

PARA LA BARRA 2

PARA LA BARRA 3

Al efectuar el producto matricial se obtiene: PARA LA BARRA 1

(E2.1)

PARA LA BARRA 2

(E2.2)

PARA LA BARRA 3

(E2.3)

De nuevo y por un camino paralelo a seguido en el caso de la celosa plana estudiada anteriormente, las primeras ecuaciones en que se puede pensar son las condiciones de contorno. u1 = 0 v1 = 0

1 =0u2 = 0 v2 = 0

2 =0

que al ser tenidas en cuenta al montar el conjunto de ecuaciones que representan el equilibrio de los nudos de la estructura, como ya se dijo anteriormente, permiten extraer aquellas en que no aparecen reacciones, es decir:

(E2.4)

(E2.5)

Por tanto el sistema de ecuaciones de equilibrio (anlogo al (1.6)) es para este caso:

(E2.6)

Pero las relaciones entre las acciones de las barras sobre los nudos [Sik] y los desplazamientos de estos ltimos, vienen dadas por las ecuaciones (E2.1), (E2.2) y (E2.3), por lo que al sustituir sus valores respectivos en (E2.6), resulta:

cuya solucin es: u2 = 0.039 cm v2 = 0.0029 cm u3 = 0.031 cm v3 =-0.0029 cm

2 =-1.61 E- 4 rad

3 =-1.18 E-4 rad

Estos resultados se muestran grficamente en la figura 1.12:

FIGURA 1.12

CAPTULO II FUNDAMENTOS

2.1 INTRODUCCIN Entre las conclusiones del captulo anterior se hace referencia a la necesidad de un punto de vista ms potente y general que el all presentado, capaz de salvar las limitaciones que, referidas bsicamente al tipo de estructura, aparecen en el desarrollo realizado. Efectivamente, las estructuras de tipo laminar, tan utilizadas en la ingeniera aeronutica, han sido, probablemente, las primeras en plantear la mencionada necesidad. Para su anlisis hubo de recurrirse a mtodos energticos que, al operar con magnitudes referidas al conjunto de la estructura, y no con equilibrios vectoriales, referidos a puntos concretos, se adaptaban fcilmente a elementos continuos. Paradjicamente, tales planteamientos gozaban de gran tradicin en el anlisis de estructuras, lo que enlaza los ms modernos mtodos de anlisis (elementos finitos, banda finita, elementos de contorno) con una de las ms clsicas ramas de la mecnica. Quizs conviene abrir aqu un parntesis formal para aclarar la terminologa empleada, aspecto ste que puede dar lugar a cierta confusin. Como en cualquier otro campo de la ciencia en rpido desarrollo, en el anlisis estructural se hace uso de gran nmero de vocablos an no del todo asentados ni universalmente reconocidos. As, el "anlisis matricial" de estructuras no es ms que un procedimiento (entendido como simple conjunto de reglas) para organizar la rutina del anlisis en una forma concreta. A un nivel ms global puede situarse el "mtodo directo de la rigidez", cuya caracterstica fundamental es la bsqueda de un sistema de ecuaciones de equilibrio cuyas incgnitas son los desplazamientos. En un ltimo nivel se podra distinguir entre dos puntos de vista globales. El primero responde a lo explicado el captulo anterior y consiste bsicamente en describir la estructura como un ensamblaje de elementos que se relacionan a travs de puntos determinados. El segundo planteamiento al que se podra llamar energtico, contempla la estructura de una forma global, que, como se ver ms adelante, no tiene porqu ser "troceada" en elementos.

Conviene insistir en que ambos puntos de vista pueden converger en un "mtodo directo de la rigidez", dando lugar al mismo sistema de equilibrio. A su vez, este puede ser organizado de forma matricial y programado en ordenador. De hecho, un programa de anlisis de estructuras de barras no trasluce el planteamiento global al que responde. En el resto del texto se desarrollan todas estas ideas con cierto detalle. El proceso de exposicin seguido abarca desde las ideas ms globales (que se comentan en este captulo) hasta los procedimientos ms especficos de ordenador, tratados en captulos posteriores. 2.2 LA ECUACIN DE CAMPO La ecuacin de campo constituye una de las ms utilizadas descripciones matemticas de los problemas de la mecnica. Al nivel en que se utiliza en este texto, se presentar simplemente como una ecuacin(/es) diferencial(/es) que relaciona la variable(/es) incgnita del problema con funciones conocidas que recogen el efecto de cada parmetro. Se dejar para los matemticos la discusin de otros aspectos de inters como la calidad o la suficiencia de tal descripcin. En el anlisis estructural la ecuacin de campo se obtiene siempre a travs del uso de las ms clsicas relaciones de la mecnica: equilibrio, comportamiento y compatibilidad. A modo de recordatorio, se desarrollan las ecuaciones de campo tpicas del anlisis de estructuras de barras: las que se refieren al comportamiento ante cargas en su eje (axil) o normales a l (flexin). AXIL: Equilibrio: Comportamiento: Compatibilidad: (2.1) (2.2) (2.3)

Donde: u(x): representa la variable de campo, en este caso el desplazamiento de la seccin en direccin axial (todos los puntos de la seccin se mueven idnticamente). es una variable intermedia que representa la deformacin de las fibras de la barra en cada punto del eje. N(x): Es otra variable intermedia, el esfuerzo axil, ligada a la deformacin a travs de un coeficiente, AE, llamado rigidez que, en principio, puede igualmente ser funcin de x.

q(x): es una funcin dato que proporciona el valor de la carga exterior aplicada en cada punto de la barra. Al sustituir cada relacin en la anterior se obtiene una ecuacin diferencial que representa el equilibrio y que viene expresada en funcin de los desplazamientos. Es la ecuacin de campo de la barra en axil: (2.4)

FLEXIN: Equilibrio: (2.5) (2.6) Comportamiento: Compatibilidad: (2.7) (2.8)

Donde: (x): representa la variable de campo, en este caso el desplazamiento en direccin normal al eje de los puntos de tal eje. (x): es una variable intermedia, la curvatura, que mide la deformacin de cada fibra de una seccin. M(x), V(x): tambin variables intermedias que representan los esfuerzos en la seccin (momento flector y esfuerzo cortante). El trmino EI, rigidez, puede ser variable. q(x): funcin dato que proporciona en valor de la carga exterior aplicada en direccin normal al eje. De nuevo, al sustituir cada relacin en la anterior llega a la ecuacin de campo: (2.9)

2.3 FORMULACIN DIRECTA Ms que exponer o demostrar, en este apartado nicamente se plantear una somera reflexin sobre el procedimiento "clsico" de anlisis estructural mostrando algunas de sus limitaciones. La exposicin se organiza en torno a uno de los ms sencillos ejemplos posibles: la viga simplemente apoyada sometida a una distribucin de carga (figura 2.1.a) y de la que se desea conocer la flecha en cada punto.

FIGURA 2.1 Como se ha podido comprobar en el anterior apartado, dicha flecha viene dada por la ecuacin diferencial: (2.10) cuya integracin para una funcin f(x) dada permite, imponiendo las condiciones de contorno adecuadas, una formulacin explcita de la flecha. As, para el caso de carga uniforme "q" se tiene: (2.11)

CONDICIONES DE CONTORNO: x = 0 v= 0 x =l v = 0 (2.12)

Y al integrar se obtiene la conocida ecuacin: (2.13) Conviene observar que, entre las condiciones de contorno utilizadas se puede establecer una distincin. Las dos primeras afectan al valor de la variable de campo, el desplazamiento en este caso. Las dos segundas afectan a una funcin de las derivadas de tal variable, los momentos. Las primeras suelen ser llamadas "esenciales", o "condiciones en los desplazamientos" mientras que las ltimas se denominan "naturales" o "condiciones en fuerzas".

Generalizando, se puede establecer el siguiente planteamiento del problema: ..."Dada una funcin real q (x), definida en el dominio cerrado [o, l], se llama solucin a la funcin v = v (x) que verifica la ecuacin de campo en el dominio abierto ]o,l[ y las condiciones en el contorno"... Si el anterior proceso se desea repetir para un caso aparentemente sencillo como el presentado en la figura 2.1.c. aparecen importantes dificultades. La primera radica en la propia descripcin de la carga, que ya no puede ser realizada en la clsica forma de funcin f(x). Los matemticos han desarrollado una clase especial de relacin, a la que llaman "distribucin" que puede ser utilizada en ocasiones como la que nos ocupa. En concreto, a una relacin tal que resulta nula en todo el dominio salvo en un punto se la llama "Delta de Dirac" (y ni siquiera se entrar en cmo se define el valor de la distribucin en ese punto). Se puede por tanto concluir la dificultad que encierra, no ya la integracin de la ecuacin diferencial (recurdese que ahora es una relacin entre "distribuciones" y no entre funciones), sino su propio planteamiento, para el cual es necesario recurrir a sofisticadas herramientas matemticas.

Tradicionalmente la resistencia de materiales ha evitado estos problemas recurriendo a trucos especficos de cada caso. En este caso, se recurre a la divisin del dominio en dos trozos (desde un extremo hasta el punto de aplicacin de la carga y desde ste al otro extremo), integracin en cada trozo e imposicin de las condiciones de contorno (extremos) y continuidad (punto de aplicacin de la carga). Por desgracia, la falta de generalidad de tales trucos impide un planteamiento global del problema, y ello se traduce en ocasiones en una peligrosa dispersin de ideas. Parece pues claro que el nico mtodo general de que se dispone, la integracin directa de la ecuacin diferencial, presenta dificultades importantes para su aplicacin. 2.4 EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES La base del planteamiento seguido en este texto es el principio de los trabajos virtuales. La formulacin ms general del principio establece la igualdad entre la energa elstica y el trabajo de las fuerzas exteriores cuando al sistema se le aplica una deformada adecuada. Naturalmente, esta descripcin tan general adopta formas diversas al ser aplicada a los distintos modelos estructurales. As, la expresin analtica de la energa elstica de una viga en flexin es distinta a la de la misma viga trabajando en axil o a torsin. Ello no resta atractivo al mtodo porque es nicamente la forma y no el fondo lo que cambia en cada caso. Mayor inters encierra el trmino "deformacin adecuada" utilizado anteriormente y es precisamente este punto donde radica la potencia del planteamiento: casi cualquier deformada que encierre un mnimo sentido comn es adecuada. Con el nico nimo de concretar los anteriores planteamientos, se expondr en lo que sigue una formulacin del principio para el caso concreto de la viga en flexin. Para ello supngase de nuevo una situacin semejante a la de la figura 1: una viga de longitud "l" que al ser sometida a una distribucin de cargas "q(x)" se deforma en modo tal que los puntos de su eje se desplazan segn una funcin v=v(x). Supngase igualmente una funcin w continua e integrable hasta su segunda derivada y que verifica las condiciones de contorno esenciales del problema en su forma homognea (el significado de este ltimo aserto se explicar ms adelante). En estas condiciones se cumple: (2.14) En esta expresin el lector podr reconocer trminos familiares. As, el primer miembro representa la energa elstica (trmino convencional que designa el trabajo de los esfuerzos "reales" con la curvatura "virtual") mientras que el segundo miembro representa el trabajo de las cargas exteriores y de contorno. Es precisamente en estos ltimos trminos donde se recogen las condiciones de contorno naturales. Normalmente estos trminos se anularn. 2.5 FORMULACIN ENERGTICA

Constituye una descripcin de los problemas de la mecnica alternativa a la formulacin diferencial mostrada en apartados anteriores. Se basa en el principio de los trabajos virtuales, y consiste fundamentalmente en definir la solucin de un problema como la funcin que verifica el principio de los trabajos virtuales para cualquier funcin de desplazamientos elegida. Es importante comprender el cambio del punto de vista. En el anterior apartado se mostraba una relacin que era satisfecha por la funcin solucin. Ahora se invierte la direccin: Una funcin ser solucin si satisface tal relacin para cualquier w que cumpla las condiciones exigidas a la funcin virtual. As planteada, esta formulacin no hace sino aadir nuevos problemas. As, y en primer lugar, no resuelve el problema de las cargas puntuales. Efectivamente, en el segundo miembro aparece una integral ponderada de la funcin de cargas cuyo significado es necesario aclarar. En segundo lugar, no parece un planteamiento muy til. Si resolver una ecuacin diferencial resulta difcil, resolver un planteamiento como el expuesto parece lejos de la capacidad analtica de un tcnico. Por ltimo, demostrar las condiciones de existencia y unicidad de la solucin resulta un problema complejo. Afortunadamente, todos estos inconvenientes tienen una solucin sencilla. El primero se resuelve asignando a la integral el producto de la fuerza por la ordenada de la funcin virtual en el punto de aplicacin de aquella (al fin y al cabo, esta es la ms clsica de las definiciones de trabajo: fuerza multiplicada por desplazamiento). El segundo inconveniente no se llega a plantear, dado que no se buscar una solucin directa. El ltimo de los problemas queda reservado para los matemticos. De nuevo resulta conveniente hacer alguna aclaracin respecto a la terminologa al uso. A la formulacin energtica se la suele llamar integral (las razones son obvias) y a la directa, diferencial. Tambin en ocasiones se llama solucin dbil a la proporcionada por el planteamiento energtico y fuerte a la que da el diferencial ( por lo que tambin se les llama formulaciones dbil o fuerte) la razn es sencilla: el planteamiento diferencial exige la existencia de la cuarta derivada (en el caso concreto de flexin de vigas) mientras que el dbil solamente exige la existencia de la segunda. Por ltimo, a la formulacin energtica se la llama en ocasiones variacional, porque puede ser obtenida a travs del clculo de variaciones. En cualquier caso, toda esta terminologa carece de importancia y nicamente se cita con la intencin de evitar posibles confusiones.

2.6 EQUIVALENCIA DE LAS FORMULACIONES

Si se plantea la formulacin integral como alternativa a la diferencial, parece necesario dar un paso previo consistente en la demostracin de la equivalencia entre ambas, esto es, la solucin de una lo es de la otra. Se comenzar demostrando que la solucin de la ecuacin diferencial lo es de la integral. Para ello, y partiendo de la ecuacin de campo: (2.15) se obtiene una primera forma integral. (2.16) Es evidente que cualquier solucin de la primera lo es de la segunda. Una doble integracin por partes del primer miembro proporciona la ecuacin vista: (2.17) recordando que: (2.18) y que (2.19) Se obtiene la frmula ya conocida (2.14). Para el camino inverso, demostrar que la solucin de la expresin integral lo es de la diferencial, se comenzar deshaciendo la integral doble por partes. Se llega as a: (2.20) o, lo que es igual: (2.21)

Como la condicin para que y sea solucin es que verifique esta frmula para cualquier , se escoge un valor concreto: (2.22)

Donde es una funcin positiva. Al sustituir

(2.23)

La nica posibilidad de que esta ecuacin se cumpla es que, en todos los puntos del dominio: (2.24)

2.7 APROXIMACIN Bsicamente, la idea de aproximacin consiste en admitir la imposibilidad prctica de encontrar la funcin real de desplazamientos y buscar a cambio otra funcin que, bajo ciertos puntos de vista, se parece a la real. Naturalmente, es necesario aclarar el significado de este prrafo. As, al hablar de buscar otra funcin se debe precisar el conjunto de funciones en donde se realiza la bsqueda. Se debe tambin especificar el criterio que dirige la investigacin esto es, que permite sealar qu funcin de entre las del conjunto investigado, se parece ms a la real. Por ltimo, aceptando la necesidad de limitarse a una aproximacin, se debera ser capaz de acotar el error cometido.

FIGURA 2.2 A modo de ejemplo se aplicarn estas ideas a la viga simple de la figura 2.1.c Procediendo ordenadamente se debe fijar en primer lugar el conjunto de funciones entre las que se busca la aproximacin. Parece lgico exigir que todas ellas cumplan

unas condiciones mnimas: continuidad y condiciones en el contorno. Por otra parte, el sentido comn dicta una nueva exigencia: la simplicidad. A simple vista parece que existen dos familias de funciones idneas: las trigonomtricas y las polinmicas de menor grado. Si se eligen las trigonometras (de las polinmicas se har frecuente uso ms adelante) se puede escribir: (2.25) Que, como indica la figura 2.2, nicamente significa que se aproxima la funcin real v=v(x) mediante otra funcin que se obtiene multiplicando una funcin conocida (un seno) por una constante desconocida. El criterio de bsqueda en un conjunto tan simple se limita precisamente a determinar el valor de esa constante. Para ello se puede utilizar la expresin del principio de los trabajos virtuales, establecido esta vez sobre la funcin aproximadora (queda para los matemticos el demostrar que el principio es igualmente vlido al establecerlo sobre la funcin aproximadora). Se tiene entonces: (2.26) y como (2.27) (2.28) al sustituir en (2.26) (2.29) Donde se puede eliminar directamente el trmino [w ' M] 0l al recordar que, por tratarse de viga biapoyada, el momento es nulo en los extremos. Como se recordar, la funcin w poda ser cualquiera que cumpliera unas condiciones mnimas. Lo ms cmodo es, quizs, escoger la propia funcin seno utilizada como aproximadora. Se tiene:

(2.30) (2.31) y por tanto: (2.32) Donde el trmino [-w V] 0l se ha eliminado por ser w nula en ambos extremos. Si la rigidez EI es constante a lo largo de la viga, la integral es inmediata y se obtiene: (2.33) Lo que permite determinar el parmetro "A" de forma inmediata. (2.34) y, por tanto: (2.35) A modo de comprobacin se puede comparar la flecha en el centro de vano, para el caso de una viga sometida a una carga uniforme de valor q (2.36) con la que proporciona la resistencia de materiales, (2.37) Esto es, el error no llega al 1,0%. Lo anterior puede ser generalizado en forma simple. As, la idea de aproximacin se puede expresar en la forma:

(2.38)

Donde a las funciones i (x) se las suele llamar "funciones de base" y a los coeficientes ai "coordenadas generalizadas". Como el lector comprobar se utiliza la terminologa tpica del lgebra elemental. En efecto, es clara la similitud con las definiciones de espacios vectoriales. La funcin aproximadora ser segn esta asimilacin, el vector cuyas componentes en la base i ; i = 1,..., n , son los valores ai , i =1, ..., n 2.8 EL MTODO DE GALERKIN Con este nombre designaremos un procedimiento para la eleccin de la funciones virtuales que, con distintas variantes tuvo su origen en la escuela Rusa (Bubnow, Petrof, Galerkin...). Las diferencias de matriz que caracterizan la aportacin de cada autor rebasan el nivel que se pretende dar al presente texto, por lo que nos limitaremos a una exposicin general que, obviando el rigor matemtico, presente la idea bsica, que no es otra que el utilizar como funciones virtuales las siguientes: (2.39) Donde: : Funciones virtuales. Tantas como funciones de base. : Funciones de base. : Funciones auxiliares que toman en el contorno el valor del desplazamiento. Estas ltimas funciones se utilizan cuando las condiciones de contorno esenciales del problema no son homogneas, esto es, cuando se imponen desplazamientos en el contorno. Si, con el nico objeto de simplificar y centrar ideas, suponemos condiciones de contorno homogneas en todos los casos, se tendr: (2.40) Estamos ya en condiciones de sustituir en la formulacin variacional. As, para el caso de flexin: (2.41) al sustituir la aproximacin del desplazamiento se tiene:

(2.42)

y tomando sucesivamente cada _i como funcin de desplazamiento virtual, se tiene: (2.43)

Expresin que representa un sistema lineal de ecuaciones. Los trminos en el contorno han desaparecido al considerar homogneas las condiciones de contorno. Aunque ello pueda parecer en principio muy restrictivo, la tabla adjunta muestra el abanico de posibilidades cubierto.

El anterior sistema de ecuaciones se suele representar en la forma (2.44) Donde:

= " Vector de cargas". Cada componente es de la forma

y representa el trabajo de la distribucin de cargas externa con la deformada virtual . = "Vector de desplazamientos". Cada componente representa la coordenada ai de la solucin respecto a la funcin .

= "Matriz de rigidez". Cada trmino es de la forma

Ntese que se han entrecomillado los trminos "Vector de cargas" y "Vector de desplazamientos". Al hacerlo as se quiere llamar la atencin sobre lo equvoco de tales nombres, ya que ni el vector de cargas representa tales cargas (sino el trabajo que realizan las fuerzas) ni el vector de desplazamientos refleja el movimiento de ningn punto en concreto. Ntese tambin que la denominada "matriz de rigidez" resulta ser simtrica, ya que: (2.45)

2.9 CONCLUSIONES En este apartado se pretende nicamente llamar la atencin del lector sobre el profundo cambio de mentalidad que, en relacin al anlisis estructural, representan los conceptos mostrados. Efectivamente, el reconocimiento de la imposibilidad prctica de resolver de forma general el problema de anlisis constituye quizs el ms importante de los puntos sealados. Cierto es que los mtodos particulares que se han ido desarrollando cubren la mayor parte de los problemas prcticos habituales, pero subsisten muchos otros frente a los que no existe posibilidad alguna. El concepto de aproximacin parece inevitable una vez aceptada la imposibilidad de encontrar la solucin real de muchos problemas. Por fin, la utilizacin de planteamientos energticos, como criterio de bsqueda de la solucin ms aproximada, resultar probablemente familiar al lector, quien ya tendr cierta experiencia en el uso de los teoremas energticos clsicos. Antes de acabar es necesario reconocer que la exposicin del captulo, basada en ejemplos especialmente simples, no justifica la validez de las ideas citadas cuando se aplican a una estructura completa.

Ello se debe a que la finalidad de este captulo es simplemente la de presentar estos conceptos, dejando para el que sigue su desarrollo y aplicacin prctica. 2.10 EJEMPLOS DE APLICACIN EJEMPLO 1 En este apartado se tratar de desarrollar algunos ejemplos escogidos de forma tal que incidan de forma especial en alguno de los aspectos citados en el texto. Como primer ejercicio se propone el anlisis de la misma viga de la figura 2.1.c. pero utilizando en este caso como funcin aproximadora una polinmica y suponiendo como carga una fuerza F aplicada en el punto medio. Se tiene por tanto: (E1.1) El primer paso consistir en la seleccin del conjunto de bsqueda. Para ello, y limitndose a las funciones polinmicas, se comienza por seleccionar aquellas que verifican las condiciones de contorno. As, ha de ser:

(E1.2)

Por otra parte, han de ser funciones continuas hasta la segunda derivada (con el nico fin de que el trmino integral tenga algn sentido). Ello implica la necesidad de un polinomio de segundo grado o superior. Por ltimo la exigencia de simplicidad limita el nmero de trminos a la menor cantidad requerida. Se tiene por tanto: (E1.3) y ya slo resta calcular el valor de la constante a2. Para ello se utiliza de nuevo el principio de los trabajos virtuales, empleando como deformada virtual la funcin: (E1.4) Que da lugar a la expresin: (E1.5)

(E1.6) de donde: (E1.7) y, por tanto: (E1.8) funcin que proporciona una flecha en el centro de vano de valor: (E1.9) La aproximacin obtenida es, evidentemente, pobre. Ello era previsible por cuanto que se intenta aproximar una funcin (la real) con tercera derivada no nula (recurdese que la tercera derivada de la funcin desplazamiento es proporcional al valor del cortante en cada punto) con una funcin cuya tercera derivada es nula. Afortunadamente, la solucin es bien sencilla: basta con ampliar el conjunto de las funciones investigadas hasta los polinomios de orden superior. As, empezando por los de tercer grado: (E1.10) que, al imponer la compatibilidad con las condiciones de contorno: (E1.11) Se trata ahora de calcular los coeficientes a2 y a3, para lo cual son necesarias dos ecuaciones que se obtienen por la aplicacin sucesiva del principio de trabajos virtuales. Como deformadas virtuales se escogen dos funciones cualesquiera del conjunto de bsqueda, por ejemplo:

(E1.12)

Se obtiene entonces:

(E1.13) (E1.14) o lo que es igual. (E1.15) (E1.16) sistema cuya resolucin conduce a un sorprendente resultado: (E1.17) Esto es, el polinomio de tercer grado no proporciona en este caso, un resultado superior al de segundo grado. Ello se debe a que el trmino de tercer grado resulta ser, empleando trminos de anlisis matemtico, "normal" a la distribucin de carga del problema. Ello no debe inquietar al lector, dado que se trata de una casualidad que difcilmente se presentar en la prctica, pero s es importante el comprobar como algunas "familias" de funciones de aproximacin son ms adecuadas a cierta clase de problemas que otras, (en este caso concreto, las funciones trigonomtricas son mucho ms eficaces que las polinmicas). En el peor de los casos, bastar con ampliar el conjunto de funciones en el que se busca. As, repitiendo las anteriores operaciones para los polinomios de cuarto grado se tiene: a) Definicin del conjunto de bsqueda: "polinomios de 4 Orden... (E1.18) ... que verifiquen las condiciones de contorno en desplazamientos..."

(E1.19)

de donde:

(E1.20) b) Aplicacin del Principio de los Trabajos Virtuales para obtener los coeficientes a2, a3 y a4 . Se utilizan como deformadas virtuales las siguientes: w 1 =x2 -lx (resultado de hacer a2= 1 y a3= a4= 0 en y') w 2 =x3 -l2x (resultado de hacer a3= 1 y a2= a4= 0 en y') w 3 =x4 -l3x (resultado de hacer a4= 1 y a1= a2= 0 en y') que, al ser aplicadas dan lugar al siguiente sistema: (E1.21)

(E1.22)

De cuya resolucin se obtiene: (E1.23) Esto es: (E1.24) siendo la flecha en el punto medio: (E1.25)

Se ha conseguido por tanto una precisin superior al 2% en la flecha (el lector interesado puede comprobar algunos otros parmetros: pendiente en los extremos, curvaturas, etc...)

FIGURA EI.1 En este primer ejercicio se ha buscado la solucin en un conjunto de funciones que se pueden notar: (E1.26) siendo: (E1.27)

EJEMPLO 2 Como segundo ejercicio se pide obtener una formulacin general para el caso en que las funciones sean trigonomtricas, esto es: (E2.1) El procedimiento ser siempre el mismo:

a) Definicin del conjunto de bsqueda: "Funciones trigonomtricas... (E2.2) ... que verifiquen las condiciones de contorno en desplazamientos". En este caso esta ltima no constituye ninguna restriccin, ya que todas las funciones son idnticamente nulas para x = 0 y x = L. b) Aplicacin del Principio de los Trabajos virtuales para obtener los coeficientes a1, a2, a3, ... . Se utilizan como funciones de desplazamientos virtuales las siguientes:

(E2.3)

que, al ser aplicadas, dan lugar al siguiente sistema:

(E2.4)

Al realizar las integrales planteadas se comprueba una muy til casualidad, se trata de que los trminos de la forma: (E2.5) se anulan para i j y valen L/2 para i=j. Ello hace que, si la rigidez EI de la viga es constante a lo largo de esta, el anterior sistema de ecuaciones se simplifique notablemente: (E2.6)

. . . comprobndose como la solucin es inmediata (el sistema est desacoplado):

(E2.7) . . . Con solamente los tres primeros trminos se obtiene para la flecha en el centro el valor: (E2.8) que representa un "error" de tan slo el 0,2%. Es igualmente interesante comprobar como el segundo trmino no aade nada a la solucin, se vuelve a encontrar una funcin normal a la distribucin de carga en idntica forma a lo que ocurre con el tercer trmino de la serie potencial.

CAPTULO III EL ELEMENTO

3.1. INTRODUCCIN En el anterior captulo se intent mostrar la potencia y generalidad de los mtodos proyectivos. En gran parte, estas cualidades responden a la amplia libertad de que goza el analista en lo que a la eleccin de las funciones de base respecta. Todas las funciones utilizadas hasta el momento tienen como caracterstica comn la de tomar valores no nulos en la prctica totalidad de los puntos del dominio. Ello implica, en la mayora de los casos, el que tales funciones deban ser definidas en forma tal que se ajusten a la geometra del problema, la distribucin de cargas, etc. Al pensar en la automatizacin del mtodo, a travs de un programa de ordenador, lo anterior representa un inconveniente grave, ya que se hace necesario introducir en el programa las funciones utilizadas en cada caso. Justamente en este punto es donde aparece la genialidad del mtodo de los elementos finitos. En efecto, el mtodo proporciona un sistema de generacin de funciones de base de gran eficacia que permite que, a partir de la definicin de un reducido nmero de funciones y mediante un proceso simple de combinacin, se pueden obtener funciones adecuadas a cada caso. Este captulo se dedicar a la exposicin de las ideas bsicas de esta metodologa. 3.2 FUNCIONES DE PEQUEO SOPORTE 3.2.1. CASO DE BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXILES. La figura adjunta representa una barra trabajando en sentido axial.

FIGURA 3.1 Como aproximacin a la funcin de desplazamiento longitudinal de cada punto se utiliza una combinacin lineal de las funciones de base representadas en la figura adjunta.

FIGURA 3.2

Utilizando estas funciones se formar el sistema (3.1) indicado en el anterior captulo. Comencemos por la matriz de rigidez:

(3.2)

Cada trmino de la matriz puede representarse grficamente en la siguiente forma:

En la que se dibujan las funciones de forma y de caractersticas mecnicas AE. Cada una de estas integrales se puede descomponer en forma semejante a la que se indica:

De los tres trminos nicamente el segundo es no nulo y su valor es:

Si se realiza un proceso semejante con el resto de los trminos de la matriz se observa que todos ellos se reducen a una suma de integrales, realizadas en cada uno de los tramos de la viga, y cuya forma es alguna de las cuatro que siguen:

Si se admite, como es habitual, que dentro de cada tramo de integracin las caractersticas mecnicas de la barra son constantes, basta con multiplicar las anteriores integrales por el trmino AE para tener una tabla que comprenda todas las integrales necesarias para formar la matriz de rigidez. A esta tabla de integrales se le llama matriz de rigidez elemental. A cada uno de los tramos sobre los que se realizan las integrales parciales se les llama elementos. El vector de cargas se puede desarrollar en la siguiente forma:

Lo que da lugar a un resultado interesante: como la integral realizada para cada trmino equivale a multiplicar las cargas aplicadas por el valor de la funcin virtual correspondiente en el punto de aplicacin de la fuerza, dada la especial forma de las funciones utilizadas se obtiene que la expresin del vector de cargas coincide con el propio valor de las fuerzas exteriores. 3.2 FUNCIONES DE PEQUEO SOPORTE 3.2.1. CASO DE BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXILES. La figura adjunta representa una barra trabajando en sentido axial.

FIGURA 3.1

Como aproximacin a la funcin de desplazamiento longitudinal de cada punto se utiliza una combinacin lineal de las funciones de base representadas en la figura adjunta.

FIGURA 3.2 Utilizando estas funciones se formar el sistema (3.1) indicado en el anterior captulo. Comencemos por la matriz de rigidez:

(3.2)

Cada trmino de la matriz puede representarse grficamente en la siguiente forma:

En la que se dibujan las funciones de forma y de caractersticas mecnicas AE. Cada una de estas integrales se puede descomponer en forma semejante a la que se indica:

De los tres trminos nicamente el segundo es no nulo y su valor es:

Si se realiza un proceso semejante con el resto de los trminos de la matriz se observa que todos ellos se reducen a una suma de integrales, realizadas en cada uno de los tramos de la viga, y cuya forma es alguna de las cuatro que siguen:

Si se admite, como es habitual, que dentro de cada tramo de integracin las caractersticas mecnicas de la barra son constantes, basta con multiplicar las

anteriores integrales por el trmino AE para tener una tabla que comprenda todas las integrales necesarias para formar la matriz de rigidez. A esta tabla de integrales se le llama matriz de rigidez elemental. A cada uno de los tramos sobre los que se realizan las integrales parciales se les llama elementos. El vector de cargas se puede desarrollar en la siguiente forma:

Lo que da lugar a un resultado interesante: como la integral realizada para cada trmino equivale a multiplicar las cargas aplicadas por el valor de la funcin virtual correspondiente en el punto de aplicacin de la fuerza, dada la especial forma de las funciones utilizadas se obtiene que la expresin del vector de cargas coincide con el propio valor de las fuerzas exteriores. 3.2.2. GENERALIZACIN AL CASO DE ESTRUCTURAS CON VIGAS TRABAJANDO A FLEXIN. Como se sabe, se llama soporte de una funcin al conjunto de valores sobre los que sta es distinta de cero; y, como se ha visto, la idea bsica de esta alternativa en la eleccin de las funciones de aproximacin, es la utilizacin de funciones de base de pequeo soporte, es decir, definidas localmente sobre partes de la estructura completa. Vamos a tratar de aclarar las ideas bsicas de esta alternativa a travs de un ejemplo correspondiente a un prtico.

Sea el prtico intraslacional de la figura 3.3 en el que se consideran las barras inextensibles. De acuerdo con la Resistencia de Materiales (las hiptesis de deformacin realizadas como intraslacionalidad, barras inextensibles, hiptesis de Navier, etc., as lo ponen de manifiesto) la deformada de la estructura estar determinada cuando se conozcan los giros definidos como a1, a2, a3 y a4 en la mencionada figura.

FIGURA 3.3 Por aplicacin del principio de superposicin la deformada es : (3.3) donde: ai : son los valores de los giros en los nudos (incgnitas del problema). las deformadas indicadas en la figura 3.3 y corresponden a un giro unidad en cada giro incgnita manteniendo nulos los dems. Ya se puede apreciar cmo la expresin 3.3 tiene la forma 3.1. Pero adems hay que advertir cmo, a diferencia de la primera alternativa planteada en el captulo anterior, ahora los parmetros incgnita ai tienen significado fsico, lo cual se ha conseguido por la propia definicin de las funciones que toman valores i de pendiente unidad en cada nudo anulndose en el resto. Veamos a continuacin como se obtendra la matriz de rigidez y el vector de cargas:: son

- Matriz de Rigidez: De acuerdo con (2.45) hay que calcular las derivadas segundas de cada funcin, lo cual es sencillo ya que se corresponde con las leyes de momentos flectores en barras apoyadas-empotradas sometidas a un momento en el extremo ver figura 3.4.

FIGURA 3.4 Partiendo de la aplicacin del Principio de los Trabajos Virtuales, se puede ahora seguir un razonamiento paralelo al del punto anterior, pero teniendo en cuenta 3.3, de forma que al integrar a lo largo de la directriz de toda la estructura, se obtiene:

(3.4)

y as sucesivamente hasta llenar la matriz. Aunque por simplicidad, se han supuesto rigideces EI idnticas en todas las barras, es evidente que la particularizacin no entraa ninguna diferencia conceptual.

(3.5)

Como es fcil deducir, la matriz de rigidez es simtrica, con diagonal principal positiva y dominante, el acoplamiento disminuye a medida que nos alejamos de la diagonal, apareciendo elementos nulos en muchas ocasiones. Una interpretacin de inters, ya mencionada antes, para el clculo de los coeficientes de la matriz de rigidez es la siguiente: Como se ha visto: (3.6) Se puede escribir de la forma: (3.7) En la que con un asterisco se representa el sistema de desplazamientos compatible y con dos asteriscos un sistema de esfuerzos en equilibrio, siendo 3.7 el trabajo de los momentos flectores (EI j'') en las curvaturas ( i''). Por aplicacin del Principio de los Trabajos Virtuales, 3.7 es igual al trabajo de las fuerzas exteriores, es decir: (3.8) en la que el subndice, n, indica el nmero del nodo con desplazamiento un unidad (en el caso de la primera de las ecuaciones 3.4 este nodo n, es el nmero tres). Por tanto se puede decir que cada trmino kij es la carga equivalente segn la deformada (i) de las fuerzas exteriores que dan lugar a la deformada (j). Es decir, que los kij se pueden calcular como el trabajo virtual externo o la carga equivalente, si se piensa en desplazamientos unidad, una vez que se conocen las fuerzas externas que dan lugar a cada una de las deformadas. Como aplicacin de lo indicado, a continuacin se van a obtener los coeficientes K11 y K21 de la matriz de rigidez correspondiente al ejemplo anterior (ver figura 3.3). Advirtase como ahora se han particularizado las rigideces de cada barra utilizando como subndices los nudos que unen.

FIGURA 3.5 El trmino K11 es el indicado en 3.4, y teniendo en cuenta 3.8, as como las fuerzas de la figura 3.5, que son las que dan lugar a la deformada , resulta:

(3.9)

El trmino K21 se puede obtener de forma anloga pero teniendo en cuenta que ahora es la carga equivalente segn la deformada 2 (ver figura 3.3) de las fuerzas exteriores que dan lugar a 1 (ver figura 3.5). Por tanto: (3.10) - Vector de Cargas: Se obtendr de acuerdo con (2.44), que para este caso es:

(3.11)

Una interpretacin de esta relacin se puede realizar utilizando el Teorema de Reciprocidad entre los dos estados de la figura 3.6, se tiene:

(3.12)

(I) Cargas reales emp. perfecto FIGURA 3.6

(II) Deformada y esfuerzos

que teniendo en cuenta 3.11 y 3.12, llevan a la conclusin: (3.13) Es decir, que las fuerzas nodales equivalentes, se pueden obtener a partir de los esfuerzos de empotramiento perfecto, con signo cambiado. Se ha llegado al mismo punto que en el apartado anterior de fragmentacin de la matriz de rigidez de la estructura en los tramos donde se realiza la integracin, lo que hace centrar la atencin en las funciones definidas sobre dichos tramos e intuitivamente en clculos parciales sobre ellos con objeto de posteriormente montar la matriz de rigidez del conjunto. El problema que se plantea ahora es pues, como sistematizar todo el proceso de trabajo sealado.

3.3 IDEA DE ELEMENTO. FUNCIONES DE FORMA Tal y como se explic en la introduccin, el mtodo de los elementos finitos puede entenderse simplemente como un sistema eficaz de generacin de las funciones de base. Para justificar esta idea, y una vez desarrollado en el anterior apartado el transfondo del mtodo, se explica en lo que sigue el proceso formal del mismo. Para ello y continuando con las ideas del punto anterior, a travs de un ejemplo relativo a una viga continua, se pretende reforzar los conceptos ya expuestos y fundamentalmente ver cmo sistematizar el proceso de sntesis de la matriz de rigidez de la estructura. Considrese la viga continua de la figura 3.7, en la que se supone la posibilidad de giro y desplazamiento vertical en cada uno de los apoyos.

FIGURA 3.7

Los diez grados de libertad asociados se han numerado como se indica en la figura 3.7, a cada uno de los cuales corresponde una funcin de la base 1.... 10. Los cuatro vanos entre apoyos se han numerado como se indica en la figura.

FIGURA 3.8

Siguiendo los mismos pasos del apartado anterior y teniendo en cuenta que el soporte de cada funcin slo afecta a tramos contiguos a cada nudo, la estructura de la matriz de rigidez es la presentada en la figura 3.8, en la que se han marcado las casillas que son distintas de cero y de la que slo se reproduce una parte con detalle. Como puede observarse, la matriz tiene forma de banda, lo que reduce el nmero de trminos que hay que almacenar en un ordenador (sobre este tema se volver ms adelante) y adems es simtrica, lo que reduce adems el nmero de operaciones a realizar. Pero lo ms interesante en este momento es que proceso de clculo no tiene porqu enfocarse desde el soporte de las funciones de base ,sino que se puede hacer desde las barras (elementos) de la estructura. Si nos fijamos tanto en las expresiones 3.4 como en los trminos que se han escrito de forma explcita en la figura 3.8, para el clculo de las integrales ya se realiza una descomposicin en subintegrales sobre las barras a las que afectan.

FIGURA 3.9 Si se observa la figura 3.8, se puede apreciar que cada barra produce 16 tipos de integrales resultantes de combinar las funciones que, por ejemplo para la barra 1, se han rayado verticalmente en la figura 3.7 y que se denominan funciones de forma. Pero adems, esto es as para cada una de las barras y en general para una barra i, los trminos ordenados en forma de matriz, teniendo en cuenta la numeracin de grados de libertad de la figura 3.9, son los siguientes:

(3.14)

Verificndose que: (3.15) En la que cada uno de los trminos se puede obtener con la misma aproximacin de forma alternativa, dando movimientos unidad en cada grado de libertad manteniendo nulo todos los dems.

FIGURA 3.10 As la primera columna de la matriz de rigidez es teniendo en cuenta la figura 3.10, resulta:

ya que solo trabaja la fuerza en j. (signos negativo ya que tienen sentidos opuestos)

El resto de los trminos de la matriz, as como los correspondientes a otros tipos de elementos con diferentes grados de libertad se vern ms adelante. As pues, en estructuras de barras el elemento lgico es la barra que se define entre dos nodos extremos, las variables nodales a nivel elemental son los esfuerzos y movimientos de los extremos y a nivel global las fuerzas y movimientos de los nodos. En general, las funciones de forma son un conjunto de funciones definidas sobre el elemento con las que se pretende aproximar mediante combinacin lineal el comportamiento real. En el caso de la figura 3.10, representan los movimientos dentro del elemento cuando se van dando valores unidad a cada uno de los movimientos nodales posibles (grados de libertad de elemento) manteniendo nulos los dems y se determinan de acuerdo con la Resistencia de Materiales. La [K]i es la matriz de rigidez de cada barra y la matriz de rigidez de la estructura completa [K], se obtiene como superposicin de todas las barras de la estructura. Dando un paso ms, [K]i es la matriz de rigidez elemental, o la matriz correspondiente a cada elemento de la estructura, no siendo necesario o til en muchos casos, que exista una correspondencia directa entre barras reales y elementos. El inters de la idea de elemento radica en que con ello se hace posible una sistematizacin de los clculos en forma repetitiva. Es decir, se calcula para cada elemento su matriz de rigidez, que puede ser de la misma forma para todos ellos y calcularse mediante una misma subrutina en un programa de ordenador, y posteriormente se colocan en los lugares correspondientes de la matriz de rigidez global de la estructura, aadindose a los existentes (otra barra o un valor cero). En el caso de la viga continua que nos ocupa el proceso es simple, se calcula la matriz de rigidez de cada elemento, que para todos ellos ser de la forma indicada en 3.14 y a continuacin se van ensamblando para formar la matriz de rigidez global tal y como se indica en la figura 3.11, en la que se representa una barra i entre los nudos i e i+1, siendo la numeracin de los nodos y grados de libertad anloga a la de la figura 3.7.

FIGURA 3.11 Se debe tener en cuenta que tambin es necesario el clculo de las fuerzas equivalentes en los nudos y su colocacin en el vector de cargas total, lo cual se realiza elemento por elemento de forma anloga a la indicada para la matriz de rigidez. Se sealaba anteriormente el inters de la formacin en banda de la matriz de rigidez global, y a estas alturas ya se puede intuir la importancia que para esta cuestin tiene la numeracin de los grados de libertad. No se cree necesario insistir en el tema ms que con un ejemplo clarificador como el mostrado en la figura 3.12, en el que se puede ver la forma de los trminos de la matriz de rigidez para una viga continua como la de la figura 3.7, en la que se han numerado primero todos los grados de libertad correspondientes a los giros y despus los correspondientes a los desplazamientos transversales, y que pone de manifiesto la prdida de alguna de las ventajas indicadas anteriormente. Lo dicho hasta aqu ha permitido dejar clara la idea de elemento (con todo lo que ello supone, de funcin de forma, nodos, etc.), as como la manera de ensamblar la matriz de rigidez en el caso sencillo de una viga continua. No obstante, y ya se ha puesto de manifiesto en el caso presentado en el punto 3.2.2., debido al carcter vectorial de las

sumas que se realizan para obtener cada trmino de la matriz de rigidez global de la estructura, es necesario dar un paso ms realizando una transformacin vectorial, para abordar con la misma filosofa el problema all presentado y dotar al mtodo de la mxima generalidad. Esta cuestin ser tratada en el siguiente Tema.

FIGURA 3.12 3.4 EJEMPLOS EJEMPLO 1. Calcular la flecha en el centro de la viga biapoyada con carga puntual en el centro del vano del anterior captulo, pero utilizando dos elementos.

FIGURA 3.E.1 Utilizando los polinomios de Hermite, segn se indica en el punto 3.3, la matriz de rigidez para cada uno de los elementos es:

La ecuacin matricial de equilibrio para la estructura completa es por tanto:

A la que hay que aadir las condiciones de contorno: y1 = y3 = 0 M1 = M3 = 0 Sistema de diez ecuaciones con diez incgnitas, del que para el clculo de desplazamientos, es posible aislar las variables fundamentales:

que da como resultado:

Valores que coinciden con los obtenidos por la Resistencia de Materiales, tal y como se indic anteriormente al hablar de la utilizacin de los polinomios de Hermite como funciones de forma.

EJEMPLO 2. Plantear la ecuacin matricial de equilibrio para el clculo de los giros en los apoyos de la viga continua de la figura 3 E.2, sabiendo que es de seccin constante con una inercia de 3 x 10-3 m4 respecto al eje que nos interesa y un mdulo de elasticidad de E = 2 x 106 T/m2

FIGURA 3.E.2 Si se tiene en cuenta que en los apoyos no hay desplazamientos (vertical ni horizontal) la matriz de rigidez elemental para cada barra i se puede plantear como se indica en la figura 3 E.2

Por tanto:

Y la matriz de rigidez para la viga continua es:

El vector de cargas, segn lo indicado en (3.2) y teniendo en cuenta la figura (no perder de vista que se han considerado positivos los giros en sentido antihorario).

Y por tanto la ecuacin matricial que se plantea para el clculo de los giros es:

Mediante la resolucin de este sistema de ecuaciones es posible obtener los giros en los apoyos.

El problema en este caso es muy simple puesto que se han aplicado las condiciones de contorno al considerar desplazamientos nulos en los nudos y por tanto no incluir los trminos correspondientes a estos grados de libertad en las matrices de rigidez. No obstante no se debe perder de vista que lo realizado aqu es una aplicacin inmediata para un caso sencillo del Mtodo Directo de la Rigidez que se abordar en el prximo captulo.

CAPTULO IV MTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ4.1 INTRODUCCIN Lo que se ha indicado en los temas anteriores contiene las ideas fundamentales del Mtodo Directo de la Rigidez que ahora se van a tratar de sistematizar para su presentacin general. Para ello es necesario abordar previamente una cuestin importante eludida hasta el momento por haber considerado casos en que los parmetros locales y globales tienen la misma orientacin. El problema a que hacemos referencia se puede comprender si se tiene en cuenta que las sumas y expresiones que se han manejado tiene carcter vectorial (ya se puede entender la necesidad de que, por ejemplo, los desplazamientos en nudos o las fuerzas en extremos de barras estn expresados para toda la estructura en el mismo sistema de coordenadas) por lo que es preciso establecer algunas definiciones sobre los sistemas de coordenadas utilizados, as como recordar algunas transformaciones de vectores y matrices que constituyen operaciones previas necesarias para dotar al mtodo de toda su generalidad. Una vez ensamblado el sistema de ecuaciones teniendo en cuenta las consideraciones indicadas, su resolucin proporciona los desplazamientos en nodos y reacciones, de manera que solo resta explicar como se pueden obtener los esfuerzos en las barras, lo que constituye la parte final del captulo, para que el problema est formalmente resuelto. Por ltimo hay que sealar que esta referencia al carcter formal de la solucin se debe a que se ha considerado conveniente abordar en captulo aparte un tema del mayor inters, como es el de la resolucin del sistema de ecuaciones, con objeto de mantener aqu una presentacin global del mtodo. 4.2 SISTEMAS DE COORDENADAS Los ejes de coordenadas se pueden definir como lneas sobre las que se toman medidas (en longitud) que representan las unidades de los parmetros que intervienen en un fenmeno para su representacin grfica. Los sistemas coordenados ms simples, y que aqu nos interesan, son los denominados cartesianos, y estn formados por lneas rectas perpendiculares entre s (ortogonales) o no (oblicuos) y con un nmero variable de dimensiones. En general los vectores unitarios (base) son vectores magnitud unidad tangentes a las lneas de coordenadas. Imaginemos un sistema tridimensional de base (e1, e2, e3), si se verifica que el producto escalar: (4.1)

se denomina ortogonal, y el producto vectorial de los vectores base verifica:

(4.2)

en donde si se toman los signos positivos en los segundos miembros los ejes de coordenadas se denominan dextrgiros y si se toman los negativos levgiros. Por ltimo sealaremos que si al menos uno de los ejes coordenados no es una recta el sistema se denomina curvilneo, siendo vlido en general para estos sistemas lo indicado para los cartesianos. La utilizacin de mtodos matriciales de clculo de estructuras, lleva consigo la utilizacin de diversos sistemas de coordenadas.

4.2.1 SISTEMAS DE REFERENCIA Es un sistema cartesiano que permite la definicin geomtrica de la estructura. Un ejemplo de sistema bidimensional se puede ver en la figura 4.1.

FIGURA 4.1 4.2.2 SISTEMA GLOBAL Debido a la idea bsica indicada anteriormente de abandono en el proceso de clculo del soporte de las funciones de base para realizarlo desde los elementos de la estructura, sta se supone formada por un conjunto de elementos y nodos con grados de libertad asociados, y por tanto es preciso un sistema que permita definir de forma nica para toda la estructura los movimientos y fuerzas en los nodos. Este sistema normalmente coincide con el de referencia (ver figura 4.2) y en el caso mas general, debera incluir seis vectores, correspondientes a los desplazamientos lineales y giros en cada una de las tres direcciones del espacio cartesiano. No obstante, en casos particulares bien conocidos como estructuras planas, no son necesarios mas que tres

vectores que definen desplazamientos y giros en el plano, por lo que se prescinde de los restantes. Para el nudo A:

FIGURA 4.2 En otros casos, el conocimiento del sistema estructural permite eliminar algn otro tipo de movimiento (es clsico el caso de celosas, en las que, segn los mtodos tradicionales de clculo, no se consideran los giros en los nudos). en lo que sigue se desarrollan algunos ejemplos en el punto A:

FIGURA 4.3a en el punto A:

FIGURA 4.3b

en el punto A:

FIGURA 4.3c

en el punto A:

FIGURA 4.3d 4.2.3 SISTEMA LOCAL Volvemos sobre la misma idea, el comportamiento de la estructura se va a generar a partir del de todos sus elementos, por tanto es til disponer de un sistema de coordenadas que permita definir las relaciones fuerza desplazamiento de forma nica, independiente de su orientacin dentro de la estructura. Esto desde el punto de vista de la implementacin en ordenador permite la utilizacin de una misma subrutina de clculo para todos los elementos. Los sistemas locales no coincidirn en general (salvo en el caso de vigas continuas, vanse ejemplos en el captulo anterior) con el sistema global, tal y como se puede ver en el ejemplo de la figura 4.4, en el que se ha sealado para las barras a, b y c los sistemas locales pudindose apreciar al comparar con el sistema global como en este ejemplo slo coinciden ambos para la barra b.

FIGURA 4.4 En la figura 4.5 se pueden ver los grados de libertad en el sistema local para diferentes tipos de elementos (pudindose utilizar una numeracin diferente de la indicada).

FIGURA 4.5 Finalmente hay que sealar, que por facilidad a la hora de imponer condiciones de contorno, hay casos (se tratarn con ms detalles posteriormente) en que conviene definir en algn nodo un sistema de coordenadas, que algunos autores denominan nodal, diferente del global. Tal es el caso de la figura 4.6 en el que con el sistema nodal definido con primas para el nudo A las condiciones de contorno son de desplazamiento impedido en direccin y' y libre en direccin x'. En el punto B no es necesario porque para cualquier sistema de ejes, p.e. el global, los movimientos estn impedidos.

FIGURA 4.6 4.3 TRANSFORMACIN DE COORDENADAS. ROTACIN DE EJES Si un sistema de ejes est relacionado con otro (que representaremos con prima), una matriz, vector, etc., expresada en uno de ellos puede expresarse en el otro, siempre que la relacin entre ambos tenga correspondencia uno a uno entre los parmetros xi e xi' y sea continua en la vecindad del punto de dominio donde tiene lugar la transformacin. Aunque las transformaciones pueden ser de diversos tipos, las que de momento interesan (al hablar del M.E.F. se volver sobre este punto) son las transformaciones lineales y dentro de ellas las rotaciones.

FIGURA 4.7 Por ejemplo, la transformacin de coordenadas de la figura 4.7, de tipo rotacin es:

(4.3)

que tiene correspondencia uno a uno entre xi e xi' y continua ya que existen las derivadas

Las ecuaciones (4.3) se suelen expresar de forma compacta como : (4.4) en la que son los vectores de coordenadas, en este caso: (4.5) (4.6) y la matriz [J] de transformacin es:

(4.7)

que en matemticas se denomina jacobiano de la transformacin. En el caso anterior (figura 4.7), la matriz [J] es: (4.8) Si la relacin entre los sistemas coordenados cumple las condiciones sealadas anteriormente, el determinante jacobiano no puede ser nulo. Adems, en sistemas ortogonales, si la transformacin es de un sistema dextrgiro a otro tambin dextrgiro, o levgiro, el determinante vale "+1", y de lo contrario "-1". En general la transformacin de coordenadas es reversible, y si llamamos [J'] a la transformacin inversa: (4.9) se puede demostrar que: (4.10)

esto es: (4.11) ROTACIN DE EJES En este punto se va a tratar como afecta la rotacin de ejes a los vectores y matrices, de gran inters para su utilizacin en los mtodos matriciales para el clculo de estructuras. - Vectores De la misma forma que se estableci (4.3) y (4.4) en el caso de rotacin de ejes ortogonales en el plano para un vector {V}, el vector transformado es: En este punto se va a tratar como afecta la rotacin de ejes a los vectores y matrices, de gran inters para su utilizacin en los mtodos matriciales para el clculo de estructuras. - Vectores De la misma forma que se estableci (4.3) y (4.4) en el caso de rotacin de ejes ortogonales en el plano para un vector {V}, el vector transformado es: (4.12) donde [ LD] T es: (4.13) de donde la matriz [LD] es la formada (por columnas) por los cosenos directores de los nuevos ejes respecto de los antiguos. Es decir, para un sistema tridimensional se puede escribir:

(4.14)

con el significado dicho para li mi ni (i = 1,2,3). Una propiedad importante de la matriz [LD] es que:

(4.15) - Matrices Sea una matriz cuadrada [A'] e imaginemos que multiplicada por un vector arbitrario {V} da otro vector {U}. (4.16) Si esta ecuacin es vlida en el sistema, que vamos a denominar "antiguo" de coordenadas ortogonales, tambin ser vlida en el nuevo, tambin ortogonal, en la forma: (4.17) Pero segn se ha visto en el punto anterior:

(4.18)

y sustituyendo estas ecuaciones (4.18) en (4.17): (4.19) en la que sustituyendo {U} por su valor de (4.16): (4.20) Como {V} {0}, se verifica: (4.21) y postmultiplicando por [LD] y teniendo en cuenta que para sistemas ortogonales se verifica (4.15), se obtiene: (4.22) Siendo la transformacin inversa: (4.23)

4.4 ENSAMBLAJE DEL SISTEMA DE ECUACIONES En lo que sigue se va a utilizar el convenio de notacin indicado en la tabla de la figura 4.8, siendo la dimensin de los vectores y de las matrices funcin del tipo de problema de que se trate (en la figura se pueden ver las fuerzas en los extremos de barra en el caso de prtico plano).

FIGURA 4.8 Los sistemas local y global se relacionan mediante rotaciones. As, en el ejemplo indicado en la figura 4.8, que corresponde a un elemento e, definido entre los nudos i j, que corresponde a un prtico plano, se verifica para cada extremo: (4.24) en la que para este caso [LD]es:

(4.25)

es decir, que para los dos nudos extremos del elemento e:

(4.26)

Evidentemente para los desplazamientos: (4.27) y teniendo en cuenta lo indicado en (4.15): (4.28) De (4.26), teniendo en cuenta la definicin de matriz de rigidez elemental y (4.28): (4.29) en la que: (4.30) es la matriz de rigidez elemental en coordenadas globales, y como es lgico (se puede ver en (4.29)) los vectores de carga y desplazamiento estn escritos en coordenadas globales, lo cual permite que una vez realizando esto para todos los elementos de la estructura (es decir representndolos en un mismo sistema global) se puedan sumar los elementos de forma anloga a como se explicaba para la viga continua. Para colocar los trminos de la matriz de rigidez elemental en coordenadas globales dentro de la matriz global del sistema es preciso conocer el orden de la numeracin de los nudos del elemento. As, para un elemento e entre los nudos i y j, particionando la matriz elemental en globales en cuatro submatrices correspondientes a las aportaciones a los nudos i y j:

(4.31)

se montarn en la matriz de rigidez de la estructura (con N nodos):

Obsrvese que se ha supuesto j < i para resaltar la independencia entre la numeracin de los nodos y la orientacin del elemento en el sistema global. Adems no hay que perder de vista que el tamao de cada submatriz en que se ha particionado la matriz elemental en globales, depende el nmero de grados de libertad que tenga cada nudo. En el caso del elemento representado en la figura 4.8, correspondiente a un prtico plano con tres grados de libertad por nudo, (4.32) y de forma anloga el vector de cargas, se ensambla (representando los trminos de la matriz de rigidez ocupados con ceros) de la forma:

(4.34)

Llegndose una vez ensamblados todos los elementos de la estructura a la ecuacin matricial para el sistema completo: (4.35) a la que ser necesario aplicar las condiciones de contorno para su resolucin como se ver ms adelante. Si se tiene en cuenta que la efectividad del mtodo reside precisamente en la posibilidad del uso del ordenador, sin entrar en las mltiples particularidades asociadas a los distintos tipos de computadoras existentes, posibilidades en la programacin o incluso preferencias del programador, de lo dicho hasta ahora se desprende que para el ensamblaje de la matriz global de la estructura y de su vector de cargas (ver 4.35) es necesario programar en la entrada de datos la formacin de una serie de tablas. Esencialmente corresponden a : - Tabla de numeracin de nudos y coordenadas de los mismos. - Tabla de conectividad de los elementos, en la que para cada barra numerada se indica cuales son los nmeros de los nudos inicial y final. - Tabla de propiedades de los elementos, tanto geomtricas (rea de la seccin, momento de inercia, etc.) como del material (mdulo de elasticidad, coeficiente de dilatacin trmica, etc.). A los distintos tipos de materiales y geometras se les puede asignar un nmero y definir en la tabla de conectividad cual corresponde a cada barra. - Tabla de condiciones de contorno, en la que se especifican los grados de libertad de cada nodo y por tanto las condiciones de sustentacin (cuestin que se trata en el punto siguiente). - Tabla de cargas, en la que se indica el tipo, valor y posicin de las cargas aplicadas en nudos y elementos. Las cargas en elementos se pueden definir aparte y asignar en la

tabla de conectividad el nmero correspondiente a la carga que acta sobre cada elemento. 4.5 SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO Ya se aludi a este tema en algn punto previo, fundamentalmente para poner de manifiesto cmo afectaba la numeracin de los nudos a la colocacin de los trminos dentro de la matriz de rigidez del sistema. Aqu la cuestin se enfoca desde el punto de vista de su importancia para aumentar la efectividad del mtodo pensando en problemas computacionales. Siendo ste un tema amplio, slo se pretende dar aqu una introduccin de tipo general sobre los mtodos que han sido mas clsicos, por lo que el lector interesado deber acudir a textos ms especializados para su ampliacin. Los mtodos de almacenamiento utilizados se basan fundamentalmente en dos ideas, una es la simetra de la matriz de rigidez respecto a la diagonal principal, lo que permite que no sea necesario guardar los trminos simtricos nada ms que una vez, y otra el agrupamiento de los trminos no nulos cerca de la diagonal principal, que hace que no sea necesario guardar los ceros fuera de esta zona. Si se llama semiancho de banda i de la fila i de la matriz de rigidez del sistema [K], su valor es:

en la que fi es el ndice de la columna del primer elemento no nulo de la fila i de [K]. Llamando al mximo semiancho de banda de [K], una primera idea es, aprovechando la simetra de la matriz de rigidez, guardar los elementos de las lneas paralelas a la diagonal principal y hasta la lnea que se encuentra a una distancia + 1, en una matriz que se rellena por columnas. De esta forma se ahorra espacio pero se incluyen los ceros intermedios y los de un tringulo inferior derecho fuera de la matriz, pero en lugar de N elementos se guardan N ( + 1). En la figura 4.9 se puede ver un ejemplo.

FIGURA 4.9 Otra posibilidad, llamada "Sky-line", es guardar las bandas correspondientes a cada columna, cuya altura se llama altura de techo. Se almacenan los elementos en un slo vector, comenzando por el elemento de la diagonal principal y subiendo hasta la altura de techo correspondiente. Adems se necesita un vector de punteros que indique el nmero del elemento que est en la diagonal principal. La altura de techo se determina a partir de una matriz [LM] formada con tantas columnas como barras y tantas filas como grados de libertad por barra numerados consecutivamente. Un ejemplo se puede ver en la figura 4.10, para la misma matriz del ejemplo anterior.

FIGURA 4.10 Evidentemente, la numeracin de nudos influye en que una u otra forma de almacenamiento sea ms efectiva. 4.6 IMPOSICIN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO. CLCULO DE DESPLAZAMIENTOS. Hasta aqu se ha estudiado la formacin de la matriz de rigidez y vector de cargas del sistema global, pero el resultado es una matriz singular mientras que no tengan en cuenta las condiciones de sustentacin. Por tanto, para la resolucin del problema

esttico es necesario imponer las condiciones de contorno a la ecuacin matricial obtenida para el sistema estructural completo (4.35). Para esta explicacin es necesario distinguir explcitamente sobre la ecuacin (4.35) los datos del problema, que son las condiciones de contorno en desplazamientos y las cargas aplicadas sobre la estructura (que como ya se ha visto se encuentran ya reducidas en sus equivalentes en los nudos), de las incgnitas, que son los desplazamientos en los nudos sin restricciones y las reacciones. As, la ecuacin (4.35) se expresa en la forma siguiente:

(4.36)

Como se puede apreciar con el subndice i se engloban los grados de libertad con movimiento restringido, que suponen datos en movimiento e incgnitas en el vector de cargas, puesto que estas son las reacciones; y con el subndice j aquellos no restringidos, es decir los movimientos incgnita y las cargas en los nudos, datos del problema. Por ejemplo en el prtico plano representado en la figura 4.11, el subndice i englobara a los grados de libertad 1, 2, 3, 16, 17 correspondiente al nudo 1 empotrado y al nudo 6 apoyado, mientras que en el subndice j se engloban el resto de los grados de libertad. La segunda ecuacin de (4.36) es: (4.37a) por tanto: (4.37b) que son los desplazamientos en los grados de libertad no restringidos o desplazamientos incgnita.

FIGURA 4.11 A continuacin se revisan algunos casos particulares de inters. 4.6.1 APOYOS SOBRE LOS QUE CONCURREN VARIOS ELEMENTOS En el prtico plano de la figura 4.11, el elemento 5-6 tiene un apoyo articulado en el nudo 6 y si se utiliza para dicho elemento la matriz de rigidez correspondiente a la barra de prtico plano (6 x 6, igual que para el resto de los elementos) se deben imponer las condiciones de contorno indicadas anteriormente. No obstante, y aunque nicamente tiene inters desde un punto de vista didctico pensando en lo que se trata posteriormente, otra posible solucin sera adoptar para el elemento 5-6 la matriz de rigidez de la barra articulada-empotrada y aplicar en el nudo 6 condiciones de desplazamiento nulo en las direcciones x e y. La obtencin de la matriz de rigidez correspondiente al tipo de elemento indicada no presenta ninguna dificultad conceptual, y la llamaremos reducida puesto que se puede obtener eliminando uno de los giros (en el nudo inicial o final segn la orientacin adoptada) en la matriz de rigidez elemental correspondiente a la barra de prtico plano (este tema se ver con mayor detalle en el captulo siguiente).

Sin embargo, en el caso de que aparezcan varios elementos en un apoyo, pueden ser necesarias algunas aclaraciones. As, en primer lugar es preciso especificar claramente la situacin de las barras que concurren. Por ejemplo en la figura 4.12 (a), las dos barras que concurren en el nudo estn rgidamente unidas entre s y ambas articuladas en el nudo, en este caso se utilizarn las matrices de rigidez elementales sin reducir, y a travs de las condiciones de contorno se establece que es un apoyo articulado ( ).

FIGURA 4.12 Pero en el caso (b) de esa misma figura la situacin es muy diferente, ya que los extremos de los dos elementos que concurren en el nudo i pueden girar libremente. En este caso las disposiciones sealadas como (c), (d) y (e) son vlidas. En ellas se utiliza la matriz de rigidez reducida para una de las barras (M en (c) y N en (d)) y condicin de contorno articulado ( 0), para el apoyo en los dos primeros casos (c) y (d), y matrices de rigidez reducida para ambos elementos y condicin de apoyo empotrado para el tercero (e).

Pero no es vlida la disposicin sealada con (f) en la misma figura, puesto que el exceso de libertades en el nudo i hace que sea inestable. Como se puede apreciar se pueden adoptar diferentes soluciones vlidas, segn interese al planteamiento general del problema, pero es necesario cierto cuidado para no crear inestabilidades. 4.6.2 APOYOS INCLINADOS Hasta ahora se ha supuesto que las restricciones impuestas en el contorno estaban definidas en las direcciones de los ejes globales. Lo que se plantea ahora es

el caso en que las condiciones de contorno sobre un nudo se encuentran giradas respecto a los ejes globales, tal y como se puede ver en la figura 4.13. En tal caso, si los ejes globales son los indicados en la figura, en el nudo 3, los desplazamientos en las direcciones x e y no podrn especificarse como ceros, pero s podr aplicarse sobre este nudo que: (4.38) Con el resto de las condiciones de contorno:

y siendo y' un eje perpendicular al plano de deslizamiento. Es decir, que es deseable imponer las condiciones en unos ejes definidos en el apoyo (paralelo y perpendicular a la direccin de deslizamiento) y obtener las reacciones referidas a esos mismos ejes.

El proceso es sencillo y se limita a un giro del sistema global en el apoyo inclinado. As, considrese en general que sobre un apoyo N inclinado un ngulo concurren

varias barras (ver figura 4.14) y supngase una de ellas con nudos extremos ij, en que j coincide con N. Si la matriz de rigidez de dicho elemento en globales es:

(4.39)

el cambio de referencia en N supone, tal y como se ha explicado anteriormente, que:

(4.40)

donde:

(4.41)

si pensamos en una barra de prtico plano extensible (g.d.l. por nodo u, v, ). La ecuacin (4.39) se puede escribir.

(4.42)

Lo mismo ocurrir para cada una de las barras que concurren en N, siendo [R] la misma para todas ellas (depende de , ngulo del plano inclinado). Por tanto la correccin indicada conviene hacerla una vez que se ha obtenido la matriz de rigidez en coordenadas globales (x y), y como se puede ver por (4.42) esta correccin consiste en premultiplicar por [R] T las filas correspondientes a los grados de libertad relacionados con N y postmultiplicar por [R] las columnas. Como ejemplo veamos lo que ocurre en el caso de la figura 4.13., la ecuacin matricial de la estructura completa antes de imponer las condiciones de contorno (4.35) es:

(4.43)

teniendo en cuenta para 3, lo indicado en (4.40):

(4.44)

o lo que es igual:

4.6.3 APOYOS ELSTICOS En algunos tipos de estructuras se disponen restricciones elsticas en los apoyos. Tal es el caso de diseos en que se pretende disminuir reacciones o conseguir una distribucin ms uniforme de esfuerzos, como por ejemplo en vigas con apoyos semiempotrados, colocacin de un apoyo elstico en el soporte central de una viga continua de vanos iguales, etc.

FIGURA 4.15 Para explicar cmo se pueden tener en cuenta este tipo de apoyos en el clculo, supongamos que el nudo i de una estructura en el que concurren tres barras, est apoyado sobre resortes en las direcciones de los ejes globales tal y como se puede ver en la figura 4.15, de rigideces K1 K2 K3. Teniendo en cuenta que las rigideces son las fuerzas requeridas para producir un movimiento unidad, para el nudo i en conjunto se puede escribir:

(4.46)

Como sabemos, si se consideran nicamente las barras que concurren en el nudo i, la submatriz, dentro de la matriz de rigidez global del sistema que relaciona las fuerzas sobre el nudo i, {Fi} con sus desplazamientos {ui}, es la[kii] tal y como se puede ver a continuacin.

(4.47)

y el valor de [kii] para el caso de la figura 4.15, es: (4.48) Ahora bien, el que en el nudo i aparezcan restricciones elsticas significa que puede considerarse libre siempre que se sume a la submatriz [Kii] la matriz de rigidez correspondiente al apoyo elstico [KiiE] de (4.46), de forma que: (4.49) Es decir que para tener en cuenta un apoyo elstico asociado a una coordenada de un nudo de una estructura, lo nico que hay que hacer es sumar el valor de la rigidez de esa restriccin al valor de la diagonal principal de la matriz de rigidez global correspondiente al nudo y coordenada a que va unida. No hay problema por tanto en que haya restricciones elsticas en algunas coordenadas de un nudo y el resto sean libres o fijas, la coordenada con restriccin se tratar como libre y el resto como estn. Por otra parte en el caso de que las restricciones elsticas no estn en las direcciones globales, basta con aplicar las ideas sobre apoyos indicados dados anteriormente. Una interpretacin alternativa dada por algunos autores, es la de sustituirlas restricciones elsticas por barras que realicen su misma funcin. As para un apoyo elstico en una direccin determinada de rigidez k, si fijamos arbitrariamente la longitud L y E, mdulo de elasticidad, se puede sustituir dicha restriccin por una barra biarticulada en la misma direccin y con un rea de seccin transversal: (4.50)

4.7 CLCULO DE ESFUERZOS Y REACCIONES Ya se ha visto en el punto anterior como mediante la segunda ecuacin de (4.36) es posible obtener los desplazamientos en los grados de libertad sin restricciones {uj} mediante (4.37). Conocidos estos desplazamientos, de la primera ecuacin de (4.36) se obtiene: (4.51) en la que {ui} son datos y {uj} son los desplazamientos calculados mediante (4.37) . Una vez conocidos todos los desplazamientos en los nudos libres de la estructura, es posible tambin obtener los esfuerzos en cualquier seccin, lo que permitir realizar su dimensionamiento. Est claro que para este propsito interesa conocer los esfuerzos en coordenadas locales ya que ello permite una fcil aplicacin de las leyes de la

resistencia de materiales para el clculo de tensiones. Por este motivo, en general el clculo se realiza elemento a elemento, de forma que: (4.52) (4.53) segn se prefiera utilizar la matriz de rigidez elemental en coordenadas globales (4.53) o locales (4.54). Para la programacin en ordenador, generalmente se procede transformando los desplazamientos de globales a locales y multiplicando por la matriz de rigidez en locales (4.53). El problema est pues resuelto para el caso de que no haya cargas actuando sobre el elemento. En caso contrario, como se ha visto en el captulo 3 el vector de cargas utilizado en el clculo incluye los esfuerzos de empotramiento perfecto cambiados de signo, y para calcular los esfuerzos a lo largo de una barra cargada, hay pues que aadir a los obtenidos anteriormente, los de empotramiento perfecto correspondientes {P'emp}. (4.