advertencia: hay algo que será muy importante más...

Advertencia:

hay algo que será muy importante más adelante:

• La forma de las matrices que se obtengan para una representación, dependen

del conjunto de vectores base que se usen para generarlas.

• Cualquier base Bi de un espacio vectorial orden n, tiene n vectores.

• Es posible expresar a los vectores que forman una base Bj como una

combinación lineal de los vectores que forman la base Bi.

• Estas combinaciones lineales generan matrices de cambio de base

Laura Gasque 2016-2 1

Ejercicio: Matrices asociadas a los planos

v v’ y v’’

R3 R3 (usando la base canónica)

Plano v pasa por CF,

Plano v’ pasa por EB

Plano v’’ pasa por AD (1,0,0)

(0,1,0)


v (1,0,0) = (-1,0,0) = -1i +0j+0k

v (0,1,0) = (0,1,0) = 0i +1j+0k

v (0,0,1) = (0,0,1) = 0i+0j+1k

v’’(1,0,0) = ( ½ , 3/2, 0)

v’’(0,1,0) = (3/2, - ½, 0)

v’’(0,0,1) = ( 0, 0, 1)

v’ (1,0,0) = ( ½ , -3/2, 0)

v’ (0,1,0) = (-3/2, - ½, 0)

v’ (0,0,1)= ( 0, 0, 1)

• Plano v pasa por CF,

• Plano v’ pasa por EB

• Plano v’’ pasa por AD

v = -1 0 0

0 1 0

0 0 1

(1,0,0)

(0,1,0)

v

v’

v’’


v’=1/2 -3/2 0

-3/2 -1/2 0

0 0 1

1/2 3/2 0

3/2 -1/2 0

0 0 1

v’’=

Hagamos todos los productos posibles entre las matrices de este

conjunto: E, C3, C32, v , v’, v’’

E C3 C32 ’ ’’

E

C3

C32

’

’’



Composición de transformaciones lineales

[C3(x, y, z)] = ”(x, y, z)

C3 [(x,y,z)] = ’ (x,y,z)

Multiplicación de matrices C3 = ”

=

“tabla de multiplicar”

E C3 C32 ’ ’’

E E C3 C32 ’ ’’

C3 C3 C32 E ’

C32 C3

2 E C3

’’ E

’ ’ E

’’ ’’ E

Ojo con la NO conmutatividad

Convención 1: Composición de T.L. : primero el de arriba y luego el de abajo:

Multiplicación de matrices: la de abajo por la de arriba

Convención 2 : elección de , ’ y ’’

Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...


“tabla de multiplicar”

E C3 C32 ’ ’’

E E C3 C32 ’ ’’

C3 C3 C32 E ’ ’’

C32 C3

2 E C3 ’’ ’

’’ ’ E C32 C3

’ ’ ’’ C3 E C32

’’ ’’ ’ C32 C3 E

Ojo con la NO conmutatividad

Convención 1: Composición de T.L. : primero el de arriba y luego el de abajo:

Multiplicación de matrices: la de abajo por la de arriba

Convención 2 : elección de , ’ y ’’

http://chemwiki.ucdavis.edu/Theoretical_Chemistry/Symmetry/Combining_symmetry_operations%3A_%E2%80%98group_multiplication%E2%80%99

Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...


http://chemwiki.ucdavis.edu/Theoretical_Chemistry/Symmetry/Combining_symmetry_operations:_%E2%80%98group_multiplication%E2%80%99

El conjunto de las transformaciones lineales de R3 R3 :

{E, C3, C32, , ’, ’’ forma un GRUPO con la

composición.

¿ . . ?


Definición de grupo• Un conjunto G = {gi, gj, gk . . .) y una operación forman un GRUPO si:

• i) gG, gigj = gk

• Cerradura

• ii) e G giG, egi =gie = gi

• Existencia del neutro o idéntico

• iii) gi G, gj G gigj= e

• Existencia de los inversos i.e. gj =gi-1

• iv) gi, gj, gk, gi(gj gk) = (gi gj) gk

• Asociatividad

• v) En algunos grupos se cumple gi, gj , gi gj = gj gi

• Conmutatividad A los grupos conmutativos se les llama abelianos


Grupos Puntuales


Las operaciones de simetría

(transformaciones lineales de R3R3)

de cualquier objeto, forman un GRUPO

(grupo puntual)

. . . . Ejemplos . . .


Un detalle de formalidad

• Elemento de simetría Operación de simetría

• Elemento de simetría = ente geométrico: eje, plano, punto

• Operación de simetría = T.L de R3 R3 que se realiza a través de un

elemento de simetría


C3V


Una familia de grupos puntuales: Cnv

• ¿Qué elementos tienen estos grupos?

• Cn = Rotación de (360/n)° alrededor de un eje.

• Cnm = Composición sobre sí misma (o potencia) de Cn

• n planos que contienen al eje de rotación v

• E = la operación “identidad” o “el idéntico” E(x, y, z) = (x, y, z)


Ejemplos de C4v


Moléculas con simetría C4v

• Ni(H2O)5NH3 Ojo: despreciando los enlaces O-H y N-H

• IF5


Otras familias de grupos puntuales

• Cn

• Dnh

• Dn

• Dnd

• Cnh

• S

• De baja simetría:

• C1, C2, Cs, Ci

• De alta simetría

• Td, Oh, Ih

• Casos especiales:

• T, Th, O

• Grupos infinitos: moléculas lineales

• Cv, Dh


Dnh

• Tiene todos las operaciones de simetría del correspondiente Cnv y ADEMÁS

un la reflexión a través de un h y las operaciones que resulten de la

composición de ésta con los otros elementos:

• Ojo h v ; h es un plano perpendicular al eje principal de rotación

• Ojo: Cn h = h Cn = Sn rotación impropia


Primer ejemplo D2h

D2h = C2v = {E, C2, v , v’ } y además h y los productos

que se obtengan entre ellas

• E (x, y, z) = (x, y, z)

• C2z= (-x, -y, z)

• v = xz(x, y, z) = (x, -y, z)

• v’ = yz (x, y, z) = ?

• h = xy (x, y, z) = ?


Tarea para ahorita

• Encontrar los elementos faltantes del grupo D2h realizando la composición

de los elementos de C2v con h

• Hacer la tabla de multiplicar de D2h (agrupar así: E, ejes, i, planos)

• Encontrar el inverso de cada elemento

• ¿Es éste un grupo conmutativo?


• C2z= (-x, -y, z) ; h = xy (x, y, z)= (x, y, -z)

• C2z xy (x, y, z) = C2

z xy (x, y, z) = C2

z (x, y, -z) = (-x, -y, -z) = ¿Nueva?

• i (x, y, z) = (-x, -y, -z)

• h v (x, y, z)=xy xz (x, y, z) = xy(x, -y, z) = (x, -y. –z) = ¿ ?

• C2x (x, y, z)= ( x, -y, -z)



D2h E C2(z) C2(y) C2(x) i xy xz yz

E

C2(z)

C2(y)

C2(x)

i

xy

xz

yz

Ejemplos de moléculas con simetría D2h


D3h, D4h


Las rotaciones impropias por ej: S6


Otras familias de grupos de simetría

• Cn =Cn y sus potencias

• Cnh = Cn y sus potencias, h y los productos entre ellos

• Dn = Cn y sus potencias y n C2 perpendiculares al Cn

• Dnd =Cn y sus potencias y n C2 perpendiculares al Cn y un d

(un d es un v que bisecta dos ejes C2 al ej Cn principal)

• Sn = Sn y sus potencias


Cómo asignar el grupo

puntual a una molécula

Diagrama de flujo


TRAER TABLAS DE

CARACTERES

advertencia: hay algo que será muy importante más...

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