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8/10/2019 ADUNI_Boletin1

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Historia

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Comunidad primitiva en el mundo

y en los Andes

1. La denominada venus paleolítica estuvo rela-cionada principalmente con la

A) agricultura.B) ganadería.C) fertilidad.D) artesanía.E) pesca.

2. Durante el Neolítico, la Revolución agrícolallevó a cambios en la economía y la sociedad,así aparecieron las primeras ciudades como

A) Ur y Kish.B) Jericó y Catalhoyuck.C) Kish y Uruk.D) Nínive y Lagash.E) Mohenjo - Daro y Harappa.

3. El culto a un ancestro común del clan primitivose denomina

A) animismo.B) politeísmo.C) paganismo.D) totemismo.E) monismo.

4. La denominada pebble culture estuvo rela-cionada

A) al culto de un antepasado común.

B) a la confección de las primeras herramientas.C) al desarrollo de la economía productora.D) a las primeras viviendas.E) al surgimiento de la cerámica.

5. Los inicios de la agricultura datan de 8000 añosa. n. e. y los primeros cultivos se realizaron en

A) América del Norte.B) el norte de África.

C) el Cercano Oriente.D) Asia Central.E) Asia Oriental.

UNMSM 2003

6.

El sitio arqueológico del periodo Lítico ca-racterizado por el hallazgo de instrumentoslíticos, enterramientos y pinturas rupestres co-rresponde a

A) Toquepala.B) Jaywamachay.C) Lauricocha.D) Chivateros.E) Paiján.

7. El hombre de Paiján, considerado el resto hu-mano más antiguo del Perú, desarrolló las ac-tividades de caza y recolección, además de la

A) pesca con redes.B) pesca mediante alanceo.C) ganadería de cérvidos.D) horticultura de cereales.E) cerámica.

8. Durante el Arcaico Inferior, el hombre peruanofue horticultor seminómade. Así tenemos en laCosta peruana al hombre de

A) Guitarrero y Santo Domingo.B) Guitarrero y Caral.C) Piquimachay y Telarmachay.D) Jaywamachay y Santo Domingo.E) Kotosh y Huaca Prieta.

9. El sitio arqueológico perteneciente al ArcaicoSuperior donde se halló los textiles más anti-guos del Perú con figuras zoomorfas fue

A) Áspero.B) Kotosh.C) Santo Domingo.D) Chilca.E) Huaca Prieta.



Historia

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10. Los restos de Lauricocha, descubiertos por Augusto Cárdich en Huánuco, corresponden

A) al Paleolítico Superior.B) al Paleolítico Medio.

C) a la Barbarie Inferior.D) a la Barbarie Superior.E) a la Barbarie Media.

UNMSM 2007 - I

Mesopotamia, Egipto y Fenicia

11. Las evidencias más antiguas de leyes escritasprovienen de

A) Egipto.B) Grecia.C) Mesopotamia.D) Fenicia.E) Roma.

12. La escritura más antigua fue usada en Mesopo-tamia desde el cuarto milenio antes de nues-tra era, por sus caracteres es conocida con elnombre de

A) hierática.B) demótica.C) cuneiforme.D) jeroglífica.E) alfabética.

13. La invasión a los sumerios, por Sargón I, per-mitió a los acadios

A) integrar religiosamente la región.B) invadir Egipto.C) desarrollar un control imperial.D) construir mitos y leyendas sobre su origen.E) expulsar a los hititas de su territorio.

14. La civilización mesopotámica hizo grandesaportes culturales a la humanidad; los corres-pondientes al derecho fueron impulsados porsu rey

A) Nabucodonosor.B) Asurbanipal.C) Sargón.D) Hammurabi.E) Baltasar.

UNMSM 2007 - II

15. La civilización egipcia se desarrolló en

A) la península balcánica.B) el noreste de África.C) la península arábiga.D) el norte de Europa.E) el Lejano Oriente.

16. El breve periodo egipcio donde se evidencióun florecimiento comercial durante la dinastíaPsamética recibe el nombre de

A) Imperio Medio.B) Imperio Nuevo.C) periodo Predinástico.D) Renacimiento Saita.E) Imperio Antiguo.

17. La invasión final de Roma a Egipto fue dirigidapor

A) Marco Aurelio.B) Trajano.C) Nerón.D) César Augusto.E) Rómulo Augústulo.

18. Los egipcios conservaban los cuerpos de losmuertos momificándolos mediante su embal-samiento, pues creían en la resurrección y enla existencia de una vida después de la muer-te. El Dios de la momificación se denominó

A) Anubis. B) Amón. C) Osiris.D) Horus. E) Seth.

UNMSM 2007 - I



Historia

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28. En tiempos de Teodosio (fines siglo IV ), el con-texto social en los dominios del Imperio roma-no tenía que ver con

A) las demandas de derechos civiles por partede los plebeyos ricos.

B) la sensación de inseguridad a causa de larebelión de los esclavos, dirigidos por Es-partaco.

C) el miedo desatado en la capital debido alingreso de las huestes de Atila el Huno.

D) las represiones contra la religión pagana y judía, a causa de la imposición del cristia-nismo.

E) la Pax Romana, periodo de pleno dominioesclavista.

29. El Conflicto militar a través del cual Roma garan-tizó su dominio sobre el Mar Mediterráneo fue

A) las guerras médicas.B) las guerras púnicas.C) las guerras pírricas.D) la Guerra del Peloponeso.E) la Guerra de las Galias.

30.

En la Roma Antigua, la reforma agraria en favorde los desposeídos fue promovida por

A) Julio César y Tiberio.B) Tiberio y Cayo Graco.C) Octavio y Lépido.D) Antonio y Trajano.E) Cornelio y Pompeyo.

UNMSM 2005 - II

Formativo y Primer Desarrollo Regional

31. La difusión de los patrones culturales a nivelpanandino llevada a cabo por una cultura he-gemónica recibe el nombre de

A) desarrollo regional.B) intermedio cultural.C) transculturación.D) horizonte cultural.E) difusionismo cultural.

32. Las trepanaciones craneanas fueron practica-das por la cultura

A) Paracas. B) Chavín. C) Wari.D) Sechín. E) Vicús.

33. La cultura Chavín se destacó por la construc-ción de edificios religiosos como

A) el Templo de Kalasasaya.B) el Templo del Lanzón.C) la Huaca El Brujo.D) el Templo de Kotosh.E) la Huaca de la Luna.

34. Tuvo una cerámica monócroma, de formaglobular, con asa estribo; su decoración serealizaba plasmando figuras mitológicas zoo-morfas. Estas características corresponden ala cerámica de la cultura

A) Paracas. B) Chavín. C) Caral.D) Lima. E) Inca.

35. El gran centro ceremonial de Chavín, de origenmultirregional, tiene su asiento principal en el

A) Callejón de Conchucos.B) Cañón del Pato.C) Callejón de Huaylas.D) Valle del río Mosna.E) Valle del río Santa.

UNMSM 2001

36. La cerámica de la cultura Nasca, consideradauna de las más importantes del Antiguo Perú,

tiene entre sus características la

A) bicromía y el asa de estribo.

B) policromía y los dos picos con asa puente.

C) monocromía y la presencia de incisiones.

D) policromía y la presencia del dios Sol.

E) bicromía y los dos picos con asa puente.



Historia

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37. Las culturas del Intermedio Temprano se ca-racterizan por

A) sus construcciones líticas.B) el control de los pisos ecológicos.C) su economía lacustre.

D) sus obras hidráulicas.E) la difusión del culto a Wiracocha.

38. Durante el Primer Desarrollo Regional, la cultu-ra andina que logró la colonización de diversospisos ecológicos para diversificar su produc-ción alimenticia fue

A) Vicús. B) Nasca. C) Chimú.D) Tiahuanaco. E) Chavín.

39. Las características del entierro del Señor deSipán expresan claramente

A) la calidad de la textilería moche.B) el esclavismo en la cultura Nasca.C) la gran diferenciación social en la cultura

Moche.D) la explotación de hombres y mujeres por la

élite Tiahuanaco.E) la equidad de género en las sociedades del

Primer Desarrollo Regional.

40. La cultura Lima del periodo de los DesarrollosRegionales (200 a. n. e. - 600 d. n. e.), tuvo comoprincipal característica el empleo de

A) cabezas clavas.B) tapiares.C) guarangos.D) monolitos.E) adobitos.

UNMSM 2010 - II

Feudalismo e Imperio carolingio

41. La sociedad feudal se caracterizó principal-mente porque

A) los siervos eran plenamente libres.B) la Iglesia tenía un gran poder e influencia

cultural.

C) los villanos tenían un gran poder económico.D) los nobles vivían en las villas.E) las actividades de la población giraban en

torno al comercio.

42. Cuando hablamos de un beneficio que los

vasallos prestan a los señores feudales en la Alta Edad Media, nos referimos a

A) unas obligaciones de trabajo por parte delos vasallos.

B) un amplio territorio que los vasallos debíantrabajar personalmente.

C) una Iglesia cuyos fieles debían pagar con-tribuciones.

D) un bien económico con obligaciones milita-res o administrativas.

E) un territorio con entrega de corveas o pres-taciones.UNMSM 2005 - II

43. Durante el feudalismo, las relaciones vasalláti-cas se formalizaron a través de un contrato feu-dal, en el cual la fidelidad recibió el nombre de

A) investidura.B) corvea.C) primogenitura.

D) espaldarazo.E) homenaje.

44. A nivel político, la principal característica delfeudalismo fue

A) la consolidación de los Estados nacionalescentralizados.

B) la poliarquía feudal.C) la autarquía feudal.D) el poco desarrollo del comercio.

E) la rebelión de campesinos.

45. Según la visión tradicional, la Edad Media llegóa su fin con

A) la invención de la escritura.B) la caída de Constantinopla.C) la caída de Roma.D) el estallido de la Revolución francesa.E) el descubrimiento de América.



Historia

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46. La nobleza sometida al Estado carolingio es-taba expuesta a la vigilancia por parte de los

A) missi dominicci.B) condes.

C) duques.D) capellanes.E) mayordomos.

47. El origen del poder temporal del papa se en-cuentra directamente relacionado con

A) la coronación de Carlomagno el año 800.B) la batalla contra los musulmanes en Poitiers.C) la conversión al cristianismo de Clodoveo.

D) las Cruzadas en busca de tierras.E) la entrega de los Estados pontificios por

parte de Pipino el Breve.

48. El reino carolingio se desintegró por la divisiónterritorial. El sector más beneficiado por dichoproceso fue

A) el clero.B) la nobleza feudal.

C) el de los comerciantes.D) la realeza.E) el campesino.

49. La alianza entre la Iglesia católica y el reinoFranco fue de vital importancia para aquella, ya que le permitió

A) expandir la fe católica por el mundo entero y así otorgar la salvación eterna a sus fieles.

B) seguir manteniendo su poder ideológico yacrecentar sus propiedades económicas.

C) luchar mejor contra la herejía.D) desarrollar los principios del cristianismo

y cohesionar a los fieles en el amor al pró- jimo.

E) ser la depositaria del conocimiento cien-tífico y ponerlo al servicio de la sociedadcristiana.

50. Durante el reinado de Carlomagno se puedeafirmar que se

A) promovió una alianza con los sajones y loshérulos.

B) realizó acciones militares de expedicióncomercial.

C) intentó restablecer el Imperio romano deOccidente.

D) fomentó la autonomía de los señores feu-dales.

E) combatió las desviaciones de la Iglesia y elpapado.

UNMSM 2007 - I

CLAVES



HabilidadLógico-Matemático

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Razonamiento lógico I

1. Se tienen 4 frascos cerrados y etiquetados que

contienen bolitas: uno contiene solo bolitas

de color rojo, dos de ellos contienen solo bo-

litas de color verde y el cuarto, solo bolitas decolor azul.

rojo verde verde azul

A B C D

Si todos los frascos han sido etiquetados de

manera equivocada, ¿cuántos y qué frascos setendrían que abrir como mínimo para averi-

guar el contenido de cada uno y reetiquetarlos

correctamente?

A) un frasco, A

B) un frasco, B o C

C) un frasco, D

D) dos frascos, B y C

E) dos frascos, A y DUNMSM 2009 - II

2. Raúl requiere un tornillo de 128 g, el cual se

encuentra en una caja junto con otros 7 tor-

nillos de pesos 1 g; 2 g; 4 g; 8 g; 16 g; 32 g y

64 g. Si al tacto no se puede diferenciar los

pesos y todos los tornillos de la caja tienen

igual apariencia, ¿cuál es el mínimo número

de pesadas que debe hacer con una balan-za de dos platillos para identificar el tornillo

deseado?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

3. Se tienen 10 cajas de bombones, de las cuales

en 9 de las cajas los bombones son de 1 g, y en

la otra caja todos los bombones son de 2 g.

Además, cada caja tiene un total de 20 uni-

dades. Si se emplea una balanza electrónica,

¿cuántas veces se tendrá que emplear dichabalanza para encontrar la caja que contiene

los bombones de 2 g?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 10 E) 20

4. En la orilla de un río se encuentran 6 personas

cuyos pesos son de 50 kg; 60 kg y 70 kg y los

otros tres pesan, cada uno, 100 kg. Si cuentancon un bote que soporta un peso máximo de

120 kg, ¿cuántos viajes tendrán que realizar

como mínimo para cruzar el río?

A) 11

B) 13

C) 15

D) 17

E) 19

5. La figura muestra 5 fichas de dominó. ¿Cuáles

deben ser invertidas para que la suma de los

puntos de la parte superior sea el triple de la

suma de los puntos de la parte inferior?

1.º 2.º 3.º 4.º 5.º

A) 1.º y 2.º

B) 1.º y 3.º

C) 2.º y 5.º

D) 2.º y 4.º

E) 3.º y 4.º

UNMSM 2009 - II




3

6. En la siguiente cuadrícula de 6×6 se han colo-

cado lanzarrayos cuya numeración representa

el número de cuadrados que alcanzan sus ra-

yos. Se puede lanzar un rayo o varios, en direc-

ción vertical u horizontal. Si los rayos alcanzan

todos los cuadrados de la cuadrícula, excepto

los cuadrados donde se ubican los lanzarra-

yos, halle la cantidad de rayos verticales.

6 3

3

2

4

4

7

A) 6 B) 5 C) 4

D) 7 E) 9

7. En el gráfico se muestra una habitación con

25 jaulas, algunas tienen instalada una tram-

pa por si el lobo (L) se escapa e intenta co-

merse a los corderos (C). Las cantidades

ubicadas en las jaulas sombreadas indicanel número de trampas que se encuentran a

su alrededor. En este instante, se muestra la

ubicación de tres corderos. El lobo escapó y

solo puede desplazarse de jaula en jaula de

manera horizontal o vertical.

22

22 CC

55

22 CC 11

LL 22

11CC

Si las jaulas sombreadas no tienen trampa y

en una jaula no pueden haber más de 2 corde-

ros, ¿cuántos corderos más pueden ubicarse,

como máximo, de modo que ninguno sea de-

vorado por el lobo o atrapado por una trampa?

A) 13 B) 17 C) 15

D) 19 E) 18

8. Se cuenta con 2 dados comunes, los cuales gi-

ran por el tablero y en la dirección mostrada,

hasta las casillas A y B. ¿Cuál es la suma de

los puntos de las caras superiores al final del

recorrido de los dados?

A) 7

B) 10

C) 6

D) 9

E) 8

Razonamiento lógico II

9. ¿Cuál es la menor cantidad de números que

debemos cambiar de posición en la figurapara que las sumas de los números, en los cír-

culos unidos por una línea recta, sean iguales,

y además sean la máxima suma posible?

29 11

1426

23 17

20

A) 3

B) 2

C) 5

D) 4

E) 6

UNMSM 2007 - II




4

10. Coloque los números del 1 al 10 en cada uno

de los círculos mostrados, de tal forma que la

suma de los números ubicados en cada uno

de los cinco lados sea la misma. ¿Cuál es el

valor de dicha suma?

A) 16

B) 18

C) 19

D) 22

E) 25

11. Se colocan los números del 1 al 20 en cada

una de las casillas circulares, de modo que

los números ubicados en cada cuatro casillas

consecutivas y colineales deben sumar 34.

Calcule el valor de w+ x+ y+ z.

x

z

w y

A) 14

B) 15

C) 16

D) 19E) 20

12. Distribuya los números del 1 al 10, uno en cada

casilla circular, de tal manera que la suma de

los números ubicados en cada rectángulo sea

la misma. Halle el máximo valor que puede to-

mar la suma constante.

A) 36 B) 35 C) 37

D) 34 E) 33

13. Distribuya los números naturales, del 7 al 15,

uno por casilla circular y sin repetir, de manera

que dos números primos entre sí cualesquieradeben estar conectados por una línea recta.

Calcule la suma de los números ubicados en

las casillas sombreadas. Considere que el nú-

mero 11 ya está ubicado.

11

A) 20 B) 24 C) 28

D) 22 E) 16

14. Un número N de diez cifras tiene las siguientes

características: La cifra de la izquierda indica

la cantidad de ceros que tiene N ; la siguiente

cifra, la cantidad de veces que aparece el dígito1 en N ; la siguiente, la cantidad de veces que

aparece el dígito 2 en N ; y así sucesivamente.

Halle la suma de cifras de N .

A) 10 B) 12 C) 16

D) 14 E) 8

UNMSM 2010 - II




5

15. Complete las casillas del recuadro mostrado

con los números del 1 al 6, de modo que no

se repitan en la misma fila o misma columna;

además, se debe cumplir que el número ubi-

cado en el rincón de cada bloque indique el re-

sultado de la operación matemática (marcada

con su símbolo entre paréntesis) obtenida con

los números de este bloque.

10(+)

5(+)

3(÷) 1(–)

5 7(+)2(÷)

6(+)

6(×)

1(–)

5(–)

3(÷) 15(×)

4 5

2(÷) 20(×)

12(×) 36(×)

Dé como respuesta el producto de los números

ubicados en las casillas sombreadas.

A) 9 B) 6 C) 12

D) 15 E) 8

16. Distribuya en las casillas circulares del gráfi-

co los ocho primeros números primos, unopor casilla y sin repetir, de manera que la

suma de los tres números ubicados en las ca-

sillas de cada lado sea la que se indica. Halle

la suma de los números ubicados en las casi-

llas sombreadas.

28

27

32

29

A) 35 B) 39 C) 37

D) 41 E) 40

Razonamiento lógico III

17. En un edificio de cinco pisos viven 5 amigos,

uno por piso. De ellos se sabe lo siguiente:

• Néstor vive más abajo que Francisco, pero

más arriba que Erick.

• Manuel vive más abajo que Néstor, pero no

vive más abajo que César.

¿Quién vive en el quinto piso?

A) Néstor

B) Erick

C) Manuel

D) Francisco

E) César

18. En una reunión se encuentran cuatro amigos: Juan, José, Félix y Fernando, cuyas edades son

21; 24; 27 y 32 años, no necesariamente en ese

orden. Si se sabe que la edad del menor más

la edad de José es igual al doble de la edad de

Fernando; y Félix es menor que Juan, ¿cuál es

la suma de las edades de Juan y José?

A) 53 años

B) 48 años

C) 56 años

D) 51 años

E) 59 años

UNMSM 2007 - II

19. Seis amigos están sentados simétricamente

alrededor de una mesa circular. Se sabe lo si-

guiente:

• Mario está frente a Nora y junto a Pedro.

• José está frente a Pedro y a la izquierda de

Nora.

• Silvia no está junto a José. • Rosa está leyendo.

¿Quién se sienta junto y a la derecha de Silvia?

A) Rosa

B) Pedro

C) Nora

D) Mario

E) José




6

20. Seis personas se sientan alrededor de una fo-

gata simétricamente dispuestas. Luis no está

sentado al lado de Ernesto ni de Juan, y Fran-

cisco no está al lado de Gustavo ni de Pablo,

quien se encuentra junto y a la derecha de Er-

nesto. Si Luis no está frente a Ernesto, ni junto,ni a la derecha de Pablo, ¿quién está sentado

frente a Pablo?

A) Ernesto B) Juan C) Gustavo

D) Luis E) Francisco

21. En un juego que consiste en lanzar dos dados

a la vez, Néstor, Víctor, Mario y Javier obtuvie-

ron los siguientes resultados: 3; 5; 8 y 12 aun-

que no necesariamente en ese orden. Si Víc-tor no obtuvo ningún valor en su lanzamiento

y Néstor obtuvo un puntaje mayor que el de

Javier, pero menor que el de Mario, ¿cuánto

suman los puntajes de Javier y Néstor?

A) 11 B) 13 C) 8

D) 15 E) 17

UNMSM 2010 - II

22. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa

circular, en forma simétrica. De ellos se sabe lo

siguiente:

• Miguel se sienta junto a Esteban.

• Pablo se sienta frente a Raúl.

• Esteban se sienta a la izquierda de Javier.

• César está junto a la derecha de Darío y

frente a Arturo.

• Raúl se sienta a la siniestra de Miguel.

¿Quién se sienta junto a la derecha de Arturo?

A) Miguel B) Pablo C) Raúl

D) Javier E) Esteban

23. En una carrera participan tres parejas de espo-

sos: los Sánchez, los Mendoza y los Fernández.

Se sabe que los esposos llegaron antes que sus

respectivas esposas; la señora Fernández llegó

antes que el señor Sánchez; el señor Mendoza

no llegó primero y fue superado por una dama.

La señora Sánchez llegó en quinto lugar; justo

después de su esposo. ¿En qué lugar llegaron

el señor y la señora Mendoza?

A) 3.º y 6.º B) 2.º y 4.º C) 3.º y 4.º

D) 1.º y 2.º E) 3.º y 5.º

24. Una enciclopedia está compuesta por 7 tomos,

los cuales se encuentran en fila en un estante.

De ellos se sabe lo siguiente:

• El tomo IV está a la izquierda del tomo I.

• El tomo II está a la izquierda del tomo V.

• El tomo VII está a la derecha del tomo IV.

• El tomo III solo tiene 3 tomos a su derecha.

• El tomo VII está a la izquierda del tomo II,

entre el tomo III y el tomo V.

• El tomo VI está entre el tomo I y el tomo III.

Según estos datos, ¿qué tomos están adyacen-

tes al tomo III?

A) VI y V

B) VII y II

C) VI y VII

D) I y VII

E) IV y VI

Planteo de ecuaciones I

25. Deseamos repartir una cantidad de soles en-

tre un cierto número de jóvenes. Si diéramos a

cada joven 15 soles, nos faltarían 70 soles; pero

si diéramos a cada joven 10 soles, nos sobra-

rían 10 soles. ¿Cuántos soles más necesitaría-mos para dar 12 soles a cada joven?

A) 11

B) 13

C) 22

D) 14

E) 16

UNMSM 2009 - II




7

26. Se reparten S/.155 entre cinco hermanos (A, B,

C, D y E) de la siguiente forma: lo que recibió

A excede en S/.10 a la mitad de lo que recibió

D; C recibió tanto como A y B juntos; B y C

recibieron tanto como A y D juntos; E recibió

dos veces más que B. ¿Cuánto recibió C?

A) S/.15 B) S/.25 C) S/.30

D) S/.40 E) S/.50

27. Los nietos de don Julio deciden comprarle un

obsequio. Si no colaborasen 5 de ellos, a cada

uno de los restantes les comprendería S/.4

más y si no colaborasen tres, a cada uno de

los otros les correspondería S/.2 más. ¿Cuántos

nietos tiene don Julio?

A) 13 B) 15 C) 16

D) 14 E) 11

UNMSM 2007 - II

28. En un estante se puede guardar 24 libros de RM

y 20 libros de RV o 36 libros de RM y 16 de RV o

42 libros de Física. Si al final se guardan de los

tres tipos en igual cantidad, ¿cuántos libros se

colocarán en total? Considere que en todos los

casos el estante queda completamente lleno.

A) 24 B) 20 C) 16

D) 36 E) 42

29. Si por S/.2 dieran 3 chirimoyas más de las que

dan, la docena costaría S/.1,8 menos, ¿cuánto

se paga realmente por tres docenas de chiri-

moya?

A) S/.7,2 B) S/.18 C) S/.14,4D) S/.14,1 E) S/.21,6

30. En un establo, el cuidador de las aves observa

que el exceso del número de patos sobre la

cantidad de pavos es al número de estos como

1 es a 4, respectivamente. Si al contar el total de

cabezas y patas resulta 81, halle la cantidad

de pavos que quedan al vender de estos la

mitad de los que no se venden.

A) 6 B) 4 C) 9

D) 10 E) 8

31. Se tienen un reloj, dos botellas iguales, una

taza y tres platos iguales. Se sabe que el reloj

se equilibra tanto con una botella como tam-

bién con un plato y una taza; y tres platos se

equilibran con 2 botellas. ¿Con cuántas tazas

se equilibra el reloj y cuántas de estas faltan

para equilibrarla?

A) 3 - 2 B) 2 - 1 C) 3 - 1

D) 4 - 1 E) 4 - 2

32. Con todos los alumnos de un colegio se forma-

ron dos triángulos equiláteros compactos (uno

de ellos tenía una fila más que el otro). Luego

se incorporaron 85 alumnos y se decidió que se

reunieran todos y formaran un cuadrado com-

pacto con dos filas más que el mayor de los

triángulos compactos formados inicialmente,

solo que se observó que faltaban 15 alumnos.

¿Cuántos alumnos había inicialmente?

A) 324 B) 525 C) 784

D) 576 E) 629

Planteo de ecuaciones II

33. A Mónica se le pregunta por su edad y ella res-

ponde: Si al triple de mi edad se le quitan 21

años, se obtendrá lo que me falta para tener

el triple de lo que tuve hace un año. ¿Dentro de

cuántos años, como mínimo, Mónica tendrá

una edad que es un número cuadrado perfecto?

A) 11 B) 8 C) 3D) 5 E) 7

34. ¿Cuántas veces, en total, la edad del herma-

no mayor será múltiplo de la edad del her-

mano menor si la diferencia de sus edades

es 18 años?

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10




8

35. Yo tengo la edad que tú tenías, cuando yo tenía

los 5/11 de tu edad actual, y cuando yo tenga

la edad que tiene él, la suma de sus edades

(la tuya y la de él) será 62. ¿Cuál es la suma de

cifras de tu edad actual?

A) 2 B) 4 C) 6

D) 7 E) 5

36. Yo tengo el doble de años que tú tenías cuando

yo tenía 11 años menos de la edad que tienes;

y cuando tengas el doble de mi edad actual, yo

tendré 26 años. ¿Cuántos años tenías cuando

yo nací?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

37. Ana le dice a Rosa: Hace 8 años tenía la edad

que tú tienes, pero cuando tú tengas el triple

de mi edad actual, nuestras edades sumarán

176 años. Rosa responde: Es cierto, y mi her-

mana tiene actualmente una edad igual a la

edad que tú tenías cuando yo nací . ¿Cuál es

la suma de edades actuales de Ana, Rosa y su

hermana?

A) 54 años B) 56 años C) 60 años

D) 62 años E) 64 años

38. Mi edad es el doble de la edad que tú tenías

hace 12 años, momento en que yo tenía 2/3 de

la cantidad de años que actualmente tienes.

¿Cuál será la suma de nuestras edades cuando

transcurran tantos años como la tercera parte

de la suma de nuestras edades actuales?



39. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú

tenías lo que yo tengo, yo lo que él tiene, y este

tenía la tercera parte de la edad que tú tendrás

cuando entre los tres tengamos 300 años, yo

tenga la edad que tú tienes y él tenga la edadque yo tenga. ¿Qué edad tengo ahora?



40. De un grupo de personas se observa que la

suma de edades actuales es a la suma de eda-

des de hace 4 años como 4 es a 3; pero dentro de

24 años, la suma de las edades será 200 años.

¿Cuántas personas conforman dicho grupo de

personas?

A) 4 B) 5 C) 10

D) 6 E) 8

CLAVES




2

Razonamiento lógico I

1. Se tienen 4 frascos cerrados y etiquetados que

contienen bolitas: uno contiene solo bolitas

de color rojo, dos de ellos contienen solo bo-

litas de color verde y el cuarto, solo bolitas decolor azul.

rojo verde verde azul

A B C D

Si todos los frascos han sido etiquetados de

manera equivocada, ¿cuántos y qué frascos setendrían que abrir como mínimo para averi-

guar el contenido de cada uno y reetiquetarlos

correctamente?

A) un frasco, A

B) un frasco, B o C

C) un frasco, D

D) dos frascos, B y C

E) dos frascos, A y DUNMSM 2009 - II

2. Raúl requiere un tornillo de 128 g, el cual se

encuentra en una caja junto con otros 7 tor-

nillos de pesos 1 g; 2 g; 4 g; 8 g; 16 g; 32 g y

64 g. Si al tacto no se puede diferenciar los

pesos y todos los tornillos de la caja tienen

igual apariencia, ¿cuál es el mínimo número

de pesadas que debe hacer con una balan-za de dos platillos para identificar el tornillo

deseado?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

3. Se tienen 10 cajas de bombones, de las cuales

en 9 de las cajas los bombones son de 1 g, y en

la otra caja todos los bombones son de 2 g.

Además, cada caja tiene un total de 20 uni-

dades. Si se emplea una balanza electrónica,

¿cuántas veces se tendrá que emplear dichabalanza para encontrar la caja que contiene

los bombones de 2 g?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 10 E) 20

4. En la orilla de un río se encuentran 6 personas

cuyos pesos son de 50 kg; 60 kg y 70 kg y los

otros tres pesan, cada uno, 100 kg. Si cuentancon un bote que soporta un peso máximo de

120 kg, ¿cuántos viajes tendrán que realizar

como mínimo para cruzar el río?

A) 11

B) 13

C) 15

D) 17

E) 19

5. La figura muestra 5 fichas de dominó. ¿Cuáles

deben ser invertidas para que la suma de los

puntos de la parte superior sea el triple de la

suma de los puntos de la parte inferior?

1.º 2.º 3.º 4.º 5.º

A) 1.º y 2.º

B) 1.º y 3.º

C) 2.º y 5.º

D) 2.º y 4.º

E) 3.º y 4.º

UNMSM 2009 - II




3

6. En la siguiente cuadrícula de 6×6 se han colo-

cado lanzarrayos cuya numeración representa

el número de cuadrados que alcanzan sus ra-

yos. Se puede lanzar un rayo o varios, en direc-

ción vertical u horizontal. Si los rayos alcanzan

todos los cuadrados de la cuadrícula, excepto

los cuadrados donde se ubican los lanzarra-

yos, halle la cantidad de rayos verticales.

6 3

3

2

4

4

7

A) 6 B) 5 C) 4

D) 7 E) 9

7. En el gráfico se muestra una habitación con

25 jaulas, algunas tienen instalada una tram-

pa por si el lobo (L) se escapa e intenta co-

merse a los corderos (C). Las cantidades

ubicadas en las jaulas sombreadas indicanel número de trampas que se encuentran a

su alrededor. En este instante, se muestra la

ubicación de tres corderos. El lobo escapó y

solo puede desplazarse de jaula en jaula de

manera horizontal o vertical.

22

22 CC

55

22 CC 11

LL 22

11CC

Si las jaulas sombreadas no tienen trampa y

en una jaula no pueden haber más de 2 corde-

ros, ¿cuántos corderos más pueden ubicarse,

como máximo, de modo que ninguno sea de-

vorado por el lobo o atrapado por una trampa?

A) 13 B) 17 C) 15

D) 19 E) 18

8. Se cuenta con 2 dados comunes, los cuales gi-

ran por el tablero y en la dirección mostrada,

hasta las casillas A y B. ¿Cuál es la suma de

los puntos de las caras superiores al final del

recorrido de los dados?

A) 7

B) 10

C) 6

D) 9

E) 8

Razonamiento lógico II

9. ¿Cuál es la menor cantidad de números que

debemos cambiar de posición en la figurapara que las sumas de los números, en los cír-

culos unidos por una línea recta, sean iguales,

y además sean la máxima suma posible?

29 11

1426

23 17

20

A) 3

B) 2

C) 5

D) 4

E) 6

UNMSM 2007 - II




4

10. Coloque los números del 1 al 10 en cada uno

de los círculos mostrados, de tal forma que la

suma de los números ubicados en cada uno

de los cinco lados sea la misma. ¿Cuál es el

valor de dicha suma?

A) 16

B) 18

C) 19

D) 22

E) 25

11. Se colocan los números del 1 al 20 en cada

una de las casillas circulares, de modo que

los números ubicados en cada cuatro casillas

consecutivas y colineales deben sumar 34.

Calcule el valor de w+ x+ y+ z.

x

z

w y

A) 14

B) 15

C) 16

D) 19E) 20

12. Distribuya los números del 1 al 10, uno en cada

casilla circular, de tal manera que la suma de

los números ubicados en cada rectángulo sea

la misma. Halle el máximo valor que puede to-

mar la suma constante.

A) 36 B) 35 C) 37

D) 34 E) 33

13. Distribuya los números naturales, del 7 al 15,

uno por casilla circular y sin repetir, de manera

que dos números primos entre sí cualesquieradeben estar conectados por una línea recta.

Calcule la suma de los números ubicados en

las casillas sombreadas. Considere que el nú-

mero 11 ya está ubicado.

11

A) 20 B) 24 C) 28

D) 22 E) 16

14. Un número N de diez cifras tiene las siguientes

características: La cifra de la izquierda indica

la cantidad de ceros que tiene N ; la siguiente

cifra, la cantidad de veces que aparece el dígito1 en N ; la siguiente, la cantidad de veces que

aparece el dígito 2 en N ; y así sucesivamente.

Halle la suma de cifras de N .

A) 10 B) 12 C) 16

D) 14 E) 8

UNMSM 2010 - II




5

15. Complete las casillas del recuadro mostrado

con los números del 1 al 6, de modo que no

se repitan en la misma fila o misma columna;

además, se debe cumplir que el número ubi-

cado en el rincón de cada bloque indique el re-

sultado de la operación matemática (marcada

con su símbolo entre paréntesis) obtenida con

los números de este bloque.

10(+)

5(+)

3(÷) 1(–)

5 7(+)2(÷)

6(+)

6(×)

1(–)

5(–)

3(÷) 15(×)

4 5

2(÷) 20(×)

12(×) 36(×)

Dé como respuesta el producto de los números

ubicados en las casillas sombreadas.

A) 9 B) 6 C) 12

D) 15 E) 8

16. Distribuya en las casillas circulares del gráfi-

co los ocho primeros números primos, unopor casilla y sin repetir, de manera que la

suma de los tres números ubicados en las ca-

sillas de cada lado sea la que se indica. Halle

la suma de los números ubicados en las casi-

llas sombreadas.

28

27

32

29

A) 35 B) 39 C) 37

D) 41 E) 40

Razonamiento lógico III

17. En un edificio de cinco pisos viven 5 amigos,

uno por piso. De ellos se sabe lo siguiente:

• Néstor vive más abajo que Francisco, pero

más arriba que Erick.

• Manuel vive más abajo que Néstor, pero no

vive más abajo que César.

¿Quién vive en el quinto piso?

A) Néstor

B) Erick

C) Manuel

D) Francisco

E) César

18. En una reunión se encuentran cuatro amigos: Juan, José, Félix y Fernando, cuyas edades son

21; 24; 27 y 32 años, no necesariamente en ese

orden. Si se sabe que la edad del menor más

la edad de José es igual al doble de la edad de

Fernando; y Félix es menor que Juan, ¿cuál es

la suma de las edades de Juan y José?

A) 53 años

B) 48 años

C) 56 años

D) 51 años

E) 59 años

UNMSM 2007 - II

19. Seis amigos están sentados simétricamente

alrededor de una mesa circular. Se sabe lo si-

guiente:

• Mario está frente a Nora y junto a Pedro.

• José está frente a Pedro y a la izquierda de

Nora.

• Silvia no está junto a José. • Rosa está leyendo.

¿Quién se sienta junto y a la derecha de Silvia?

A) Rosa

B) Pedro

C) Nora

D) Mario

E) José




6

20. Seis personas se sientan alrededor de una fo-

gata simétricamente dispuestas. Luis no está

sentado al lado de Ernesto ni de Juan, y Fran-

cisco no está al lado de Gustavo ni de Pablo,

quien se encuentra junto y a la derecha de Er-

nesto. Si Luis no está frente a Ernesto, ni junto,ni a la derecha de Pablo, ¿quién está sentado

frente a Pablo?

A) Ernesto B) Juan C) Gustavo

D) Luis E) Francisco

21. En un juego que consiste en lanzar dos dados

a la vez, Néstor, Víctor, Mario y Javier obtuvie-

ron los siguientes resultados: 3; 5; 8 y 12 aun-

que no necesariamente en ese orden. Si Víc-tor no obtuvo ningún valor en su lanzamiento

y Néstor obtuvo un puntaje mayor que el de

Javier, pero menor que el de Mario, ¿cuánto

suman los puntajes de Javier y Néstor?

A) 11 B) 13 C) 8

D) 15 E) 17

UNMSM 2010 - II

22. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa

circular, en forma simétrica. De ellos se sabe lo

siguiente:

• Miguel se sienta junto a Esteban.

• Pablo se sienta frente a Raúl.

• Esteban se sienta a la izquierda de Javier.

• César está junto a la derecha de Darío y

frente a Arturo.

• Raúl se sienta a la siniestra de Miguel.

¿Quién se sienta junto a la derecha de Arturo?

A) Miguel B) Pablo C) Raúl

D) Javier E) Esteban

23. En una carrera participan tres parejas de espo-

sos: los Sánchez, los Mendoza y los Fernández.

Se sabe que los esposos llegaron antes que sus

respectivas esposas; la señora Fernández llegó

antes que el señor Sánchez; el señor Mendoza

no llegó primero y fue superado por una dama.

La señora Sánchez llegó en quinto lugar; justo

después de su esposo. ¿En qué lugar llegaron

el señor y la señora Mendoza?

A) 3.º y 6.º B) 2.º y 4.º C) 3.º y 4.º

D) 1.º y 2.º E) 3.º y 5.º

24. Una enciclopedia está compuesta por 7 tomos,

los cuales se encuentran en fila en un estante.

De ellos se sabe lo siguiente:

• El tomo IV está a la izquierda del tomo I.

• El tomo II está a la izquierda del tomo V.

• El tomo VII está a la derecha del tomo IV.

• El tomo III solo tiene 3 tomos a su derecha.

• El tomo VII está a la izquierda del tomo II,

entre el tomo III y el tomo V.

• El tomo VI está entre el tomo I y el tomo III.

Según estos datos, ¿qué tomos están adyacen-

tes al tomo III?

A) VI y V

B) VII y II

C) VI y VII

D) I y VII

E) IV y VI

Planteo de ecuaciones I

25. Deseamos repartir una cantidad de soles en-

tre un cierto número de jóvenes. Si diéramos a

cada joven 15 soles, nos faltarían 70 soles; pero

si diéramos a cada joven 10 soles, nos sobra-

rían 10 soles. ¿Cuántos soles más necesitaría-mos para dar 12 soles a cada joven?

A) 11

B) 13

C) 22

D) 14

E) 16

UNMSM 2009 - II




7

26. Se reparten S/.155 entre cinco hermanos (A, B,

C, D y E) de la siguiente forma: lo que recibió

A excede en S/.10 a la mitad de lo que recibió

D; C recibió tanto como A y B juntos; B y C

recibieron tanto como A y D juntos; E recibió

dos veces más que B. ¿Cuánto recibió C?

A) S/.15 B) S/.25 C) S/.30

D) S/.40 E) S/.50

27. Los nietos de don Julio deciden comprarle un

obsequio. Si no colaborasen 5 de ellos, a cada

uno de los restantes les comprendería S/.4

más y si no colaborasen tres, a cada uno de

los otros les correspondería S/.2 más. ¿Cuántos

nietos tiene don Julio?

A) 13 B) 15 C) 16

D) 14 E) 11

UNMSM 2007 - II

28. En un estante se puede guardar 24 libros de RM

y 20 libros de RV o 36 libros de RM y 16 de RV o

42 libros de Física. Si al final se guardan de los

tres tipos en igual cantidad, ¿cuántos libros se

colocarán en total? Considere que en todos los

casos el estante queda completamente lleno.

A) 24 B) 20 C) 16

D) 36 E) 42

29. Si por S/.2 dieran 3 chirimoyas más de las que

dan, la docena costaría S/.1,8 menos, ¿cuánto

se paga realmente por tres docenas de chiri-

moya?

A) S/.7,2 B) S/.18 C) S/.14,4D) S/.14,1 E) S/.21,6

30. En un establo, el cuidador de las aves observa

que el exceso del número de patos sobre la

cantidad de pavos es al número de estos como

1 es a 4, respectivamente. Si al contar el total de

cabezas y patas resulta 81, halle la cantidad

de pavos que quedan al vender de estos la

mitad de los que no se venden.

A) 6 B) 4 C) 9

D) 10 E) 8

31. Se tienen un reloj, dos botellas iguales, una

taza y tres platos iguales. Se sabe que el reloj

se equilibra tanto con una botella como tam-

bién con un plato y una taza; y tres platos se

equilibran con 2 botellas. ¿Con cuántas tazas

se equilibra el reloj y cuántas de estas faltan

para equilibrarla?

A) 3 - 2 B) 2 - 1 C) 3 - 1

D) 4 - 1 E) 4 - 2

32. Con todos los alumnos de un colegio se forma-

ron dos triángulos equiláteros compactos (uno

de ellos tenía una fila más que el otro). Luego

se incorporaron 85 alumnos y se decidió que se

reunieran todos y formaran un cuadrado com-

pacto con dos filas más que el mayor de los

triángulos compactos formados inicialmente,

solo que se observó que faltaban 15 alumnos.

¿Cuántos alumnos había inicialmente?

A) 324 B) 525 C) 784

D) 576 E) 629

Planteo de ecuaciones II

33. A Mónica se le pregunta por su edad y ella res-

ponde: Si al triple de mi edad se le quitan 21

años, se obtendrá lo que me falta para tener

el triple de lo que tuve hace un año. ¿Dentro de

cuántos años, como mínimo, Mónica tendrá

una edad que es un número cuadrado perfecto?

A) 11 B) 8 C) 3D) 5 E) 7

34. ¿Cuántas veces, en total, la edad del herma-

no mayor será múltiplo de la edad del her-

mano menor si la diferencia de sus edades

es 18 años?

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10




8

35. Yo tengo la edad que tú tenías, cuando yo tenía

los 5/11 de tu edad actual, y cuando yo tenga

la edad que tiene él, la suma de sus edades

(la tuya y la de él) será 62. ¿Cuál es la suma de

cifras de tu edad actual?

A) 2 B) 4 C) 6

D) 7 E) 5

36. Yo tengo el doble de años que tú tenías cuando

yo tenía 11 años menos de la edad que tienes;

y cuando tengas el doble de mi edad actual, yo

tendré 26 años. ¿Cuántos años tenías cuando

yo nací?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

37. Ana le dice a Rosa: Hace 8 años tenía la edad

que tú tienes, pero cuando tú tengas el triple

de mi edad actual, nuestras edades sumarán

176 años. Rosa responde: Es cierto, y mi her-

mana tiene actualmente una edad igual a la

edad que tú tenías cuando yo nací . ¿Cuál es

la suma de edades actuales de Ana, Rosa y su

hermana?



38. Mi edad es el doble de la edad que tú tenías

hace 12 años, momento en que yo tenía 2/3 de

la cantidad de años que actualmente tienes.

¿Cuál será la suma de nuestras edades cuando

transcurran tantos años como la tercera parte

de la suma de nuestras edades actuales?



39. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú

tenías lo que yo tengo, yo lo que él tiene, y este

tenía la tercera parte de la edad que tú tendrás

cuando entre los tres tengamos 300 años, yo

tenga la edad que tú tienes y él tenga la edadque yo tenga. ¿Qué edad tengo ahora?



40. De un grupo de personas se observa que la

suma de edades actuales es a la suma de eda-

des de hace 4 años como 4 es a 3; pero dentro de

24 años, la suma de las edades será 200 años.

¿Cuántas personas conforman dicho grupo de

personas?

A) 4 B) 5 C) 10

D) 6 E) 8

CLAVES



Aritmética

2

Teoría de numeración I

1. Relacione correctamente ambas columnas.

I. el menor numeral cuya suma de cifras es 40

en el sistema heptanario

II. el menor numeral de 4 cifras diferentes ysignificativas en el sistema heptanario

III. el mayor numeral de tres cifras diferentes

a. 46666667

b. 987

c. 12347

A) Ia, IIb, IIIc B) Ib, IIa, IIIc C) Ib, IIc, IIIa

D) Ic, IIb, IIIa E) Ia, IIc, IIIb

2. Determine la cantidad de cifras del menor nu-

meral cuya suma de cifras es 249 en el sistema

nonario.

A) 29 B) 33 C) 30

D) 32 E) 31

3. Si los numerales 100212 b, mpbc, cb2a, 3 np7,

( p+1) ba n

están correctamente escritos, calcule

a+ b+c+ n.

A) 20 B) 16 C) 17

D) 15 E) 18

4. Si el numeral (a+ b)(3 b+1)( b+5)(2a – 3) es

capicúa, halle la suma de cifras de dicho nu-

meral.

A) 20 B) 28 C) 12D) 18 E) 24

5. ¿Cuántos numerales de la forma

(a –1)( b+3)(a+2)(4 – b)(c+2) existen en el

sistema duodecimal?

A) 480 B) 432 C) 360

D) 768 E) 400

6. Si el numeral 32( b+1)2(5 – b)8 está correcta-

mente escrito y la suma de cifras es n, halle la

cantidad de numerales de la forma

aa c c n

+

+( ) −( ) +( )

1

23 1 3

A) 72 B) 45 C) 80

D) 60 E) 42

Teoría de numeración II

7. Se tiene M =6 ∙ 82+13 ∙ 8

4+8 – 2 · 83+15.

Determine la suma de cifras al expresar M al

sistema octanario.

A) 26 B) 20 C) 24D) 22 E) 18

8. Se cumple que

a(a+1) bc7=(a+1)05c n

calcule el mayor valor de a+ b+c+ n.

A) 14 B) 12 C) 18

D) 15 E) 16

9. Se tiene mnpmnp k= a a2

81 5 4−( ) +( ) . Halle el valor de m+ n+ p+ k+a.

A) 4 B) 6 C) 7

D) 5 E) 8

10. Si el numeral 2451 n se expresa a la base ( n+1),

se obtiene que la suma de sus cifras es 15.

Halle el valor de n.

A) 6 B) 8 C) 7D) 9 E) 10

11. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales

que al expresarlos a los sistemas quinario y

cuaternario se escriben con 3 y 4 cifras, res-

pectivamente?

A) 26 B) 32 C) 30

D) 25 E) 61



Aritmética

4

24. En una división se cumple que el divisor y co-

ciente son números consecutivos crecientes,

lo mismo sucede con los residuos por defecto

y por exceso, en ese orden. Si el dividendo es

máximo y está comprendido entre 500 y 600,

calcule la suma de cifras del divisor.

A) 5 B) 6 C) 8

D) 9 E) 7

Teoría de divisibilidad I

25. Desde 40 hasta 320 determine lo siguiente:

• ¿Cuántos son múltiplos de 6 y 15?

• ¿Cuántos son múltiplos de 4, pero no de 8?

Dé como respuesta la suma de los resultadosobtenidos.

A) 40 B) 45 C) 38

D) 42 E) 44

26. ¿Cuántos números de cuatro cifras de la base 5

son múltiplos de 13?

A) 40 B) 39 C) 38

D) 37 E) 36

27. De todos los numerales de tres cifras en base 7

que inician con cifra 2, ¿cuántos son divisibles

entre 5?

A) 12 B) 9 C) 10

D) 13 E) 11

28. Calcule el residuo de dividir M entre 8.

M a a a a= + × + × + × +01 2 03 3 05 4 072 4 6 8

20

...

sumandos

A) 1 B) 3 C) 2

D) 4 E) 5

29. Un microbusero recaudó en uno de sus reco-

rridos S/.72,30. Por cada escolar cobró S/.0,50;

por cada universitario, S/.0,80; y por cada adul-

to, S/.1,50. ¿Cuántos pasajeros transportó si el

número de adultos es el mayor posible y trans-portó por lo menos un escolar y un universi-

tario?

A) 48 B) 49 C) 50

D) 51 E) 52

30. Un estudiante cuenta las hojas de su libro de 4

en 4 y le sobran 3, pero si los cuenta de 13 en

13 le sobran 12. ¿Cuántas hojas como máximo

tiene su libro si este es de 3 cifras y termina

en cifra 5?

A) 965 B) 985 C) 935

D) 995 E) 925

CLAVES



Aritmética

2

Teoría de numeración I

1. Relacione correctamente ambas columnas.

I. el menor numeral cuya suma de cifras es 40

en el sistema heptanario

II. el menor numeral de 4 cifras diferentes ysignificativas en el sistema heptanario

III. el mayor numeral de tres cifras diferentes

a. 46666667

b. 987

c. 12347

A) Ia, IIb, IIIc B) Ib, IIa, IIIc C) Ib, IIc, IIIa

D) Ic, IIb, IIIa E) Ia, IIc, IIIb

2. Determine la cantidad de cifras del menor nu-

meral cuya suma de cifras es 249 en el sistema

nonario.

A) 29 B) 33 C) 30

D) 32 E) 31

3. Si los numerales 100212 b, mpbc, cb2a, 3 np7,

( p+1) ba n

están correctamente escritos, calcule

a+ b+c+ n.

A) 20 B) 16 C) 17

D) 15 E) 18

4. Si el numeral (a+ b)(3 b+1)( b+5)(2a – 3) es

capicúa, halle la suma de cifras de dicho nu-

meral.

A) 20 B) 28 C) 12D) 18 E) 24

5. ¿Cuántos numerales de la forma

(a –1)( b+3)(a+2)(4 – b)(c+2) existen en el

sistema duodecimal?

A) 480 B) 432 C) 360

D) 768 E) 400

6. Si el numeral 32( b+1)2(5 – b)8 está correcta-

mente escrito y la suma de cifras es n, halle la

cantidad de numerales de la forma

aa c c n

+

+( ) −( ) +( )

1

23 1 3

A) 72 B) 45 C) 80

D) 60 E) 42

Teoría de numeración II

7. Se tiene M =6 ∙ 82+13 ∙ 8

4+8 – 2 · 83+15.

Determine la suma de cifras al expresar M al

sistema octanario.

A) 26 B) 20 C) 24D) 22 E) 18

8. Se cumple que

a(a+1) bc7=(a+1)05c n

calcule el mayor valor de a+ b+c+ n.

A) 14 B) 12 C) 18

D) 15 E) 16

9. Se tiene mnpmnp k= a a2

81 5 4−( ) +( ) . Halle el valor de m+ n+ p+ k+a.

A) 4 B) 6 C) 7

D) 5 E) 8

10. Si el numeral 2451 n se expresa a la base ( n+1),

se obtiene que la suma de sus cifras es 15.

Halle el valor de n.

A) 6 B) 8 C) 7D) 9 E) 10

11. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales

que al expresarlos a los sistemas quinario y

cuaternario se escriben con 3 y 4 cifras, res-

pectivamente?

A) 26 B) 32 C) 30

D) 25 E) 61



Aritmética

3

12. ¿En cuántos sistemas de numeración se escri-

be el menor numeral cuya suma de cifras dife-

rentes es 20 con tres cifras?

A) 10 B) 14 C) 12

D) 13 E) 11

Operaciones fundamentales I

13. Se tiene ac45+ b63a= ecba7 – dab8.

Halle el valor de a× b×c× d .

A) 480 B) 520 C) 240

D) 460 E) 524

14. Si a1 b+a2 b+a3 b+...+a7 b= x8 y1,

halle el valor de a+ b+ x+ y.

A) 14 B) 13 C) 11

D) 12 E) 15

15. Si la suma de todos los términos de la sustrac-

ción es 648, además, la diferencia excede al

sustraendo en 52, calcule la suma de cifras de

la diferencia.

A) 17 B) 18 C) 12D) 15 E) 19

16. En una sustracción, se cumple que el cuádru-

plo del minuendo excede en 48 unidades a la

suma de los términos de la sustracción. Halle la

suma de los dos resultados obtenidos si a la di-

ferencia se le suma el sustraendo y viceversa (al

sustraendo se le suma la diferencia), en ambos

casos tantas veces como indica el minuendo.

A) 700 B) 650 C) 600

D) 550 E) 500

17. Se cumple que

CA(abc)= bca

Calcule el valor de a× b×c.

A) 80 B) 120 C) 100

D) 60 E) 180

18. Se tiene CA( xyzw)=a2 b.

Además, zxw – wxz=2ca.

Calcule el CA(a+ b+c+ x+ y+ z+ w).

A) 58 B) 54 C) 44

D) 64 E) 56

Operaciones fundamentales II

19. En una multiplicación de términos enteros

positivos, si al multiplicando se le aumenta 2

unidades y al multiplicador se le aumenta en

7 unidades, el producto aumenta en 43 unida-

des. Calcule el producto inicial.

A) 28 B) 12 C) 38

D) 76 E) 20

20. Si CA(3 mn)= x27,

además, abc – cba=( x+1)(3 b) y,

determine la suma de los productos parciales

de la siguiente multiplicación xym×abc.

A) 2834 B) 3226 C) 3032

D) 8243 E) 8151

21.Se cumple que …abc×143=…27c. Calcule lasuma de valores que toma a+ b+c.

A) 33 B) 17 C) 36

D) 16 E) 18

22. En una división exacta, el dividendo es un nú-

mero de dos cifras, el divisor es 7 y el cociente

es la cifra de las unidades del dividendo. Cal-

cule el producto de cifras del dividendo.

A) 45 B) 18 C) 60D) 30 E) 15

23. En una división inexacta, la suma de cocientes

es 49 y el residuo por defecto es la mitad del

cociente. ¿Cuántos valores toma el dividendo,

si es de tres cifras?

A) 39 B) 29 C) 27

D) 38 E) 36



Aritmética

4

24. En una división se cumple que el divisor y co-

ciente son números consecutivos crecientes,

lo mismo sucede con los residuos por defecto

y por exceso, en ese orden. Si el dividendo es

máximo y está comprendido entre 500 y 600,

calcule la suma de cifras del divisor.

A) 5 B) 6 C) 8

D) 9 E) 7

Teoría de divisibilidad I

25. Desde 40 hasta 320 determine lo siguiente:

• ¿Cuántos son múltiplos de 6 y 15?

• ¿Cuántos son múltiplos de 4, pero no de 8?

Dé como respuesta la suma de los resultadosobtenidos.

A) 40 B) 45 C) 38

D) 42 E) 44

26. ¿Cuántos números de cuatro cifras de la base 5

son múltiplos de 13?

A) 40 B) 39 C) 38

D) 37 E) 36

27. De todos los numerales de tres cifras en base 7

que inician con cifra 2, ¿cuántos son divisibles

entre 5?

A) 12 B) 9 C) 10

D) 13 E) 11

28. Calcule el residuo de dividir M entre 8.

M a a a a= + × + × + × +01 2 03 3 05 4 072 4 6 8

20

...

sumandos

A) 1 B) 3 C) 2

D) 4 E) 5

29. Un microbusero recaudó en uno de sus reco-

rridos S/.72,30. Por cada escolar cobró S/.0,50;

por cada universitario, S/.0,80; y por cada adul-

to, S/.1,50. ¿Cuántos pasajeros transportó si el

número de adultos es el mayor posible y trans-portó por lo menos un escolar y un universi-

tario?

A) 48 B) 49 C) 50

D) 51 E) 52

30. Un estudiante cuenta las hojas de su libro de 4

en 4 y le sobran 3, pero si los cuenta de 13 en

13 le sobran 12. ¿Cuántas hojas como máximo

tiene su libro si este es de 3 cifras y termina

en cifra 5?

A) 965 B) 985 C) 935

D) 995 E) 925

CLAVES



2

Álgebra

Leyes de exponentes

1. Simplifique la expresión M .

M

x x

x=

+− ( )

+ +

+

−

2 2

2

1

3 2 3 1

3 1

1

2

2

A) 2 B) 4 C) 8

D) 16 E) 32

2. Si se sabe que

m n=n– m=2

halle el valor de

m n

m

n m

n

3 2+ −

−

A) 12 B) 24 C) 48

D) 16 E) 8

3. Calcule el valor de x que verifica la siguiente

ecuación.

4 3 3 2

1

2

1

2 2 1 x x x

x− = −

− +−

A)5

2 B)

3

2 C)

3

4

D)5

4 E)

4

3

4. Calcule el valor de M .

M =− +

+ −

⋅

−12 48 27

20 45 809 15

1

A)9

5 B)

3

5 C)

5

4

D)5

2 E)

5

3

5. Si se cumple que1

2 2a

n n n

= ∈ ∧ ≤ −−;

calcule el equivalente reducido de

a

a a n n n

−−−

A)1

2

B)1

4

C) 2

D) 4 E) 16

6. Si tenemos que

x x x x x m2

1

3( ) =

determine el valor de 11 m.

A) 20 B) 18 C) 24

D) 22 E) 33

Productos notables

7. Si se sabe que 5 x – 5– x=10

determine el valor de

50

2

3

75

x

x

x

x+

A) 98 B) 102 C) 100

D) 47 E) 78

8. Si x y= + = +15 5 13 5;

entonces, determine el valor de

( x+ y)2( x – y)2

A) 8 B) 6 C) 4

D) 2 E) 1

9. Simplifique la siguiente expresión.

1 1 1 1

1 1

21 1

133 33

2 2 2

+ − − −

+( ) − +( ) + −( )

≤ x x

x x x

x·

;

A) 1 B) 2 C) 1/2

D) –1/2 E) 4



3

Álgebra10. Sea x ∈R

+ de modo que

x

x x

x

M x

x

N + = + = ∧ + =1

3 1 12

2

3

3;

Entonces, indique la relación correcta entre M

y N .

A) M = N

B) N +9= M

C) N +2=3 M

D) 2 M +4= N

E) M +3=3 N

11. Si se sabe que

ax+ by=3; ay – bx=2; x2+ y2=13

calcule el valor de a6+ b6+3a2 b2.

A) 1 B) 1/2 C) –1

D) 2 E) 3

12. Determine el valor de la siguiente expresión.

7 1 49 7 1

5 1 5 1

4

8

3 3 3 2009

2009+( ) − +( )+( ) −( )

·

A) 2 B) 1/2 C) 1

D) 1/4 E) 0

Polinomios

13. Si el polinomio

P( x)=2 x n – 2+ x n+1 – 9 x2 – 2 x+1

se reduce a un trinomio, evalúe P( n).

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 3 E) 9

14. Dados los polinomios

P( x)=ax+2a; Q( x)= bx – 2; R( x)= x2 – (ab)2

calcule el valor de R P Q( )−( )( )1

.

A) ab B) a C) b

D) 1 E) 0

15. Dada la expresión

P

x x

x x

x x

x( ) =

− >

− =

+ <

1 1

1

1 1

;

;

;

si

si

si

evalúe P P P P 2( )( )( )( )

.

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 2 E) 3

16. Si P( x)=ax2 – x+ b es un polinomio cuadrático

tal que P( b)=a2 ∧ P(1)=1,

calcule el menor valor de ab.

Considere que a; b ∈Z.

A) – 8 B) – 4 C) – 2

D) 2 E) – 6

17. Dada la identidad

(2 x2 – 2)(3 x+a)≡( x2+3 x+2)(ax– 6)

entonces, ¿cuál es el valor de a?

A) 12 B) 6 C) 2

D) 3 E) 4

18. Dado el polinomio

P( x)=(3a+ b) x4+( b – 2a)( x+1)+2

si se cumple que la suma de coeficientes es 12 y

el término independiente es 7, calcule el valor

de ab.

A) 0 B) 15 C) – 3

D) 5 E) 9

División de polinomios

19. Determine el valor de (a+ b+c), si se sabe que

la siguiente división es exacta.

ax bx cx x x

x x

5 4 3 2

2

2 2

3 2

+ + + − −

− +

A) 2 B) 4 C) 1

D) – 4 E) – 1



4

Álgebra

20. Luego de efectuar la división

3 5 3

3

5 4 3 2

2

x x ax b x x

x x

+ + + − +

+ −

se obtuvo como resto R( x)=2 x+1; entonces,

indique el valor de a – b.

A) – 1 B) – 3 C) 4

D) 0 E) 1

21. Si los coeficientes del cociente de la división

algebraica

8

2 1

4 3 2

2

x ax bx cx d

x x

+ + + +

− +

disminuyen de uno en uno, y el residuo es

R( x)=5 x+1, calcule el valor de abcd .

A) 180 B) – 29 C) – 140

D) – 28 E) 280

22. De la siguiente división

6 13 6 5

2 3

5 4 2 3 x x x x x

x

− − − + +

−

indique verdadero (V) o falso (F) según

corresponda.

I. es una división exacta

II. el término independiente del cociente es 4

III. el cociente carece del término cuadrático

A) VFV B) FVV C) FFF

D) FFV E) VVF

23. Determine el cociente de la división

nx x nx x nx

nx

5 4 3 2

2 11

− − + + +

−

tal que n ≠ 0.

A) x4+ x2+2

B) nx4– nx2+2 n

C) nx4 – nx2– 2 n

D) x4 – x2 – 2

E) x4 – x2+2

24. Si R( x) es el residuo de la división algebraica

x x x

x x

−( ) + − −

−

1 2 135 10

2

evalúe R(2012).

A) 0 B) 4018 C) 2010

D) 37 E) – 2

Factorización de polinomios

25. Si f ( x)= x+2 es un factor algebraico de

P( x)= x3+2 x2+ax+ b, calcule el valor de ab– 1.

A) 2 B) 1 C) 1/2

D) – 1 E) – 1/2

26. Al factorizar el polinomio

P(a; b)=a3+a2 b+a2–a– b– 1, la suma de sus

factores primos es f (a; b).

Calcule f (1; 1).

A) 3 B) 5 C) 2

D) 4 E) 1

27. Indique un factor primo del polinomio

P(a; b)=a2 b+ab2+a2+2ab+b2+a+b

A) ab+1

B) a+ b+1

C) b+1

D) b+2

E) a+2


Q( n)=( n2+3 n)2+ n2+3 n – 2

indique la suma de coeficientes de los factores

primos lineales.

A) 3 B) 2 C) 4

D) 5 E) – 1



5

Álgebra29. Si el polinomio P( x)=6 x4– x3– 2 x2+3 x – 2 se fac-

toriza en la forma

P( x)=(ax2– bx+ b)(3 x – 2)( x+1)

calcule el valor de (a+b).

A) 0B) 1

C) 2

D) – 1

E) 3

30. Si f ( x) es un factor primo del polinomio

G( x)= x4+2 x3+3 x2+2 x – 3, evalúe f (– 1) e indi-

que su mayor valor.

A) – 1

B) 1

C) 3

D) 5

E) 7

CLAVES



2

Álgebra

Leyes de exponentes

1. Simplifique la expresión M .

M

x x

x=

+− ( )

+ +

+

−

2 2

2

1

3 2 3 1

3 1

1

2

2

A) 2 B) 4 C) 8

D) 16 E) 32

2. Si se sabe que

m n=n– m=2

halle el valor de

m n

m

n m

n

3 2+ −

−

A) 12 B) 24 C) 48

D) 16 E) 8

3. Calcule el valor de x que verifica la siguiente

ecuación.

4 3 3 2

1

2

1

2 2 1 x x x

x− = −

− +−

A)5

2 B)

3

2 C)

3

4

D)5

4 E)

4

3

4. Calcule el valor de M .

M =− +

+ −

⋅

−12 48 27

20 45 809 15

1

A)9

5 B)

3

5 C)

5

4

D)5

2 E)

5

3

5. Si se cumple que1

2 2a

n n n

= ∈ ∧ ≤ −−;

calcule el equivalente reducido de

a

a a n n n

−−−

A)1

2

B)1

4

C) 2

D) 4 E) 16

6. Si tenemos que

x x x x x m2

1

3( ) =

determine el valor de 11 m.

A) 20 B) 18 C) 24

D) 22 E) 33

Productos notables

7. Si se sabe que 5 x – 5– x=10

determine el valor de

50

2

3

75

x

x

x

x+

A) 98 B) 102 C) 100

D) 47 E) 78

8. Si x y= + = +15 5 13 5;

entonces, determine el valor de

( x+ y)2( x – y)2

A) 8 B) 6 C) 4

D) 2 E) 1

9. Simplifique la siguiente expresión.

1 1 1 1

1 1

21 1

133 33

2 2 2

+ − − −

+( ) − +( ) + −( )

≤ x x

x x x

x·

;

A) 1 B) 2 C) 1/2

D) –1/2 E) 4



3

Álgebra10. Sea x ∈R

+ de modo que

x

x x

x

M x

x

N + = + = ∧ + =1

3 1 12

2

3

3;

Entonces, indique la relación correcta entre M

y N .

A) M = N

B) N +9= M

C) N +2=3 M

D) 2 M +4= N

E) M +3=3 N

11. Si se sabe que

ax+ by=3; ay – bx=2; x2+ y2=13

calcule el valor de a6+ b6+3a2 b2.

A) 1 B) 1/2 C) –1

D) 2 E) 3

12. Determine el valor de la siguiente expresión.

7 1 49 7 1

5 1 5 1

4

8

3 3 3 2009

2009+( ) − +( )+( ) −( )

·

A) 2 B) 1/2 C) 1

D) 1/4 E) 0

Polinomios

13. Si el polinomio

P( x)=2 x n – 2+ x n+1 – 9 x2 – 2 x+1

se reduce a un trinomio, evalúe P( n).

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 3 E) 9

14. Dados los polinomios

P( x)=ax+2a; Q( x)= bx – 2; R( x)= x2 – (ab)2

calcule el valor de R P Q( )−( )( )1

.

A) ab B) a C) b

D) 1 E) 0

15. Dada la expresión

P

x x

x x

x x

x( ) =

− >

− =

+ <

1 1

1

1 1

;

;

;

si

si

si

evalúe P P P P 2( )( )( )( )

.

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 2 E) 3

16. Si P( x)=ax2 – x+ b es un polinomio cuadrático

tal que P( b)=a2 ∧ P(1)=1,

calcule el menor valor de ab.

Considere que a; b ∈Z.

A) – 8 B) – 4 C) – 2

D) 2 E) – 6

17. Dada la identidad

(2 x2 – 2)(3 x+a)≡( x2+3 x+2)(ax– 6)

entonces, ¿cuál es el valor de a?

A) 12 B) 6 C) 2

D) 3 E) 4

18. Dado el polinomio

P( x)=(3a+ b) x4+( b – 2a)( x+1)+2

si se cumple que la suma de coeficientes es 12 y

el término independiente es 7, calcule el valor

de ab.

A) 0 B) 15 C) – 3

D) 5 E) 9

División de polinomios

19. Determine el valor de (a+ b+c), si se sabe que

la siguiente división es exacta.

ax bx cx x x

x x

5 4 3 2

2

2 2

3 2

+ + + − −

− +

A) 2 B) 4 C) 1

D) – 4 E) – 1



4

Álgebra

20. Luego de efectuar la división

3 5 3

3

5 4 3 2

2

x x ax b x x

x x

+ + + − +

+ −

se obtuvo como resto R( x)=2 x+1; entonces,

indique el valor de a – b.

A) – 1 B) – 3 C) 4

D) 0 E) 1

21. Si los coeficientes del cociente de la división

algebraica

8

2 1

4 3 2

2

x ax bx cx d

x x

+ + + +

− +

disminuyen de uno en uno, y el residuo es

R( x)=5 x+1, calcule el valor de abcd .

A) 180 B) – 29 C) – 140

D) – 28 E) 280

22. De la siguiente división

6 13 6 5

2 3

5 4 2 3 x x x x x

x

− − − + +

−

indique verdadero (V) o falso (F) según

corresponda.

I. es una división exacta

II. el término independiente del cociente es 4

III. el cociente carece del término cuadrático

A) VFV B) FVV C) FFF

D) FFV E) VVF

23. Determine el cociente de la división

nx x nx x nx

nx

5 4 3 2

2 11

− − + + +

−

tal que n ≠ 0.

A) x4+ x2+2

B) nx4– nx2+2 n

C) nx4 – nx2– 2 n

D) x4 – x2 – 2

E) x4 – x2+2

24. Si R( x) es el residuo de la división algebraica

x x x

x x

−( ) + − −

−

1 2 135 10

2

evalúe R(2012).

A) 0 B) 4018 C) 2010

D) 37 E) – 2

Factorización de polinomios

25. Si f ( x)= x+2 es un factor algebraico de

P( x)= x3+2 x2+ax+ b, calcule el valor de ab– 1.

A) 2 B) 1 C) 1/2

D) – 1 E) – 1/2


P(a; b)=a3+a2 b+a2–a– b– 1, la suma de sus

factores primos es f (a; b).

Calcule f (1; 1).

A) 3 B) 5 C) 2

D) 4 E) 1

27. Indique un factor primo del polinomio

P(a; b)=a2 b+ab2+a2+2ab+b2+a+b

A) ab+1

B) a+ b+1

C) b+1

D) b+2

E) a+2


Q( n)=( n2+3 n)2+ n2+3 n – 2

indique la suma de coeficientes de los factores

primos lineales.

A) 3 B) 2 C) 4

D) 5 E) – 1



5

Álgebra29. Si el polinomio P( x)=6 x4– x3– 2 x2+3 x – 2 se fac-

toriza en la forma

P( x)=(ax2– bx+ b)(3 x – 2)( x+1)

calcule el valor de (a+b).

A) 0B) 1

C) 2

D) – 1

E) 3

30. Si f ( x) es un factor primo del polinomio

G( x)= x4+2 x3+3 x2+2 x – 3, evalúe f (– 1) e indi-

que su mayor valor.

A) – 1

B) 1

C) 3

D) 5

E) 7

CLAVES



Geometría

2

Triángulos

1. Del gráfico que se muestra, calcule x, si se sabe

que AB // PQ.

30º

25º

α

α

x

P

Q

A

B

A) 55º B) 60º C) 65º

D) 50º E) 70º

2. Del gráfico que se muestra

2(m ABD)+m BCA=140º, calcule x.

60º

3θ2θ

α α

A

B

C D

x

P

A) 41º B) 42º C) 43º

D) 44º E) 45º

3. Según el gráfico, AB=BC=CD. Calcule x.

45º

x

A

B

E

C D

60º60º

A) 30º B) 35º C) 40º

D) 45º E) 50º

4. Según el gráfico, calcule x.

7α

3α

β

2β

n

m m

n x

A) 57º B) 47º C) 72º

D) 75º E) 60º

5. Según el gráfico,

m MBC =a y m NDC = b, calcule la m MCN – m MAN .

α

α

θ

θ

A

B

C

D

L

M

N

A)a b+

2 B)

a b−

2 C) a+b

D) a – b E)a b+

3

6. En el gráfico, calcule x.

45º 45º

αα β

β

x

45º45º 45º45º

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 15º E) 25º



Geometría

3

Congruencia de triángulos I

7. Según el gráfico, las regiones triangulares BDC

y ABE son congruentes, calcule a.

α

A

B

C

D

E

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º

E) 35º

8. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC ,

se traza la ceviana exterior BD ( D en la prolon-

gación de AC ) y en la región interior de ABC se

ubica E , tal que, AE=CD, m ABE =mCBD y

BD=AE+EB. halle m AEB.

A) 90º

B) 106º

C) 120º

D) 127º

E) 150º

9. Según el gráfico; BC =8 y CG=6. Calcule MN .

α

α

A

B

C G

M N

A) 3 B) 4 C) 2

D) 2 E) 1

10. En el gráfico mostrado, L

es mediatriz de BC ,

si a+2b= 69º. Calcule x.

α

θ θL

B

C x

ββ

A) 23º

B) 37º

C) 33º

D) 21º

E) 53º

11. En el gráfico PQ es parte de la mediatriz de AN .

Calcule x.

A P

Q N

2αα

β

2β x

A) 70º B) 30º C) 90º

D) 45º E) 60º

12. En un triángulo ABC , AB=BC , en AC se ubica D,

tal que m DBC =3(m ABD), AD=a y la distan-

cia de D hacia AB es b, calcule CD.

A) a+b

B) a+2 b

C) b+2a

D) 2(a+b)

E) a b2 2+



Geometría

4

Congruencia de triángulos II

13. Según el gráfico; AM=MB y BC =2( MC ). Calcule q.

θ2θ

A C

M

B

A) 32º B) 24º C) 36º

D) 18º E) 48º

14. Según el gráfico, MA=2, NC =4, L y T son

puntos medios de MN y AC respectivamente.

Calcule LT .

60º

A C

L

M

N

T

A) 3 B) 2 3 C) 7

D) 2 2 E)3 2

2

15. En el gráfico ADE es un triángulo equilátero,

AM=ME , DN=NC y BC = 10 2 . Calcule MN .

45º A

B

C

D

E M

N

A) 10 B) 5 2 C) 5 3

D) 5 E) 15


AB BC BD CP

= = =

2

, calcule x.

30º

A

B

C

D

x

P

A) 60º B) 70º C) 75º

D) 80º E) 90º

17. Según el gráfico, EC =3( BH ). Calcule x.

α

α

A

B

C

E

H

x

A) 30º B) 37º C) 45º

D) 53º E) 36º


m BLM m BCL m LCH

5 3 2= = ,

LC =2 HC . Calcule m LCH .

A

B

C H

L

M

2α

A) 15º B) 20º C) 25º

D) 30º E) 35º



Geometría

5

Cuadriláteros

19. En un trapecio ABCD, BC // AD, se ubican los pun-

tos medios M y N , de AB y CD respectivamente;

AB=MN y m ABC =2(m ADC ). Calcule AD

BC .

A) 1 B) 3 C) 2,5

D) 1,5 E) 4

20. Se tiene un trapecio ABCD ( AD // BC ), M y N son

puntos medios de AC y BD, tal que, BCNM es

un paralelogramo, calcule la razón de las lon-

gitudes de las bases.

A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3

D) 3/4 E) 3/5

21. En un trapecio ABCD, de bases AB yCD, AB=3(CD),

m BCD=2(m DAB) y m BDC =90º. Calcule

m ADB.

A) 30º B) 45º C) 60º

D) 40º E) 50º

22. A partir del gráfico ABCD es un paralelogramo,

AB=8 y BC =6. Calcule AH .

2αα

α

A

B C

D E

H

A) 61

B) 5 6

C) 9 7

D) 3 7

E) 7 3

23. Del gráfico adjunto; O es centro del cuadrado

ABCD, si AE =3( BE ). Calcule a.

A

B C

D

E

x

O

A) 30º B) 45º C) 53º

D) 37º E) 60º

24.

Según el gráfico, AMND y ABCD son cuadrado yrombo respectivamente. Calcule x.

53º

2

A

B C

D

x

M N

A) 53º B) 37º C) 45º

D) 60º E) 74º

Circunferencia

25. Según el gráfico; R=6, calcule CD.

A

B

C

D

x5 x

O

R

A) 5 B) 12 C) 10

D) 8 E) 6



Geometría

6

26. Según el gráfico, R=5, calcule la distancia de

C hacia DH .

A) 4

A B

C

D

H O R

B) 10

C) 6

D) 3

E) 5

27. En el gráfico, se traza O M AP1 ⊥ y O2 N ⊥ AP, M

y N en AP, si AB=10, calcule MN .

A) 2

O1

O2

A

B

P

B) 1

C) 5D) 5,5

E) 2,5

28. Del gráfico, B es punto de tangencia, calcule la

m APB .

A) 240º

1

3

A

B

P

60º60º

B) 300ºC) 250º

D) 260º

E) 200º

29. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Cal-

cule x.

A

B C

D

x x

A) 135º B) 150º C) 127º

D) 120º E) 115º

30. Del gráfico mostrado; A y T son puntos de

tangencia, AB=OB. Calcule m MNT .

A

B

O

M

N

T

A) 37º/2 B) 53º/2 C) 15º

D) 36º E) 45º/2

CLAVES



Geometría

2

Triángulos

1. Del gráfico que se muestra, calcule x, si se sabe

que AB // PQ.

30º

25º

α

α

x

P

Q

A

B

A) 55º B) 60º C) 65º

D) 50º E) 70º


2(m ABD)+m BCA=140º, calcule x.

60º

3θ2θ

α α

A

B

C D

x

P

A) 41º B) 42º C) 43º

D) 44º E) 45º

3. Según el gráfico, AB=BC=CD. Calcule x.

45º

x

A

B

E

C D

60º60º

A) 30º B) 35º C) 40º

D) 45º E) 50º

4. Según el gráfico, calcule x.

7α

3α

β

2β

n

m m

n x

A) 57º B) 47º C) 72º

D) 75º E) 60º


m MBC =a y m NDC = b, calcule la m MCN – m MAN .

α

α

θ

θ

A

B

C

D

L

M

N

A)a b+

2 B)

a b−

2 C) a+b

D) a – b E)a b+

3

6. En el gráfico, calcule x.

45º 45º

αα β

β

x

45º45º 45º45º

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 15º E) 25º



Geometría

3

Congruencia de triángulos I

7. Según el gráfico, las regiones triangulares BDC

y ABE son congruentes, calcule a.

α

A

B

C

D

E

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º

E) 35º

8. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC ,

se traza la ceviana exterior BD ( D en la prolon-

gación de AC ) y en la región interior de ABC se

ubica E , tal que, AE=CD, m ABE =mCBD y

BD=AE+EB. halle m AEB.

A) 90º

B) 106º

C) 120º

D) 127º

E) 150º

9. Según el gráfico; BC =8 y CG=6. Calcule MN .

α

α

A

B

C G

M N

A) 3 B) 4 C) 2

D) 2 E) 1

10. En el gráfico mostrado, L

es mediatriz de BC ,

si a+2b= 69º. Calcule x.

α

θ θL

B

C x

ββ

A) 23º

B) 37º

C) 33º

D) 21º

E) 53º

11. En el gráfico PQ es parte de la mediatriz de AN .

Calcule x.

A P

Q N

2αα

β

2β x

A) 70º B) 30º C) 90º

D) 45º E) 60º

12. En un triángulo ABC , AB=BC , en AC se ubica D,

tal que m DBC =3(m ABD), AD=a y la distan-

cia de D hacia AB es b, calcule CD.

A) a+b

B) a+2 b

C) b+2a

D) 2(a+b)

E) a b2 2+



Geometría

4

Congruencia de triángulos II

13. Según el gráfico; AM=MB y BC =2( MC ). Calcule q.

θ2θ

A C

M

B

A) 32º B) 24º C) 36º

D) 18º E) 48º

14. Según el gráfico, MA=2, NC =4, L y T son

puntos medios de MN y AC respectivamente.

Calcule LT .

60º

A C

L

M

N

T

A) 3 B) 2 3 C) 7

D) 2 2 E)3 2

2

15. En el gráfico ADE es un triángulo equilátero,

AM=ME , DN=NC y BC = 10 2 . Calcule MN .

45º A

B

C

D

E M

N

A) 10 B) 5 2 C) 5 3

D) 5 E) 15


AB BC BD CP

= = =

2

, calcule x.

30º

A

B

C

D

x

P

A) 60º B) 70º C) 75º

D) 80º E) 90º

17. Según el gráfico, EC =3( BH ). Calcule x.

α

α

A

B

C

E

H

x

A) 30º B) 37º C) 45º

D) 53º E) 36º


m BLM m BCL m LCH

5 3 2= = ,

LC =2 HC . Calcule m LCH .

A

B

C H

L

M

2α

A) 15º B) 20º C) 25º

D) 30º E) 35º



Geometría

6

26. Según el gráfico, R=5, calcule la distancia de

C hacia DH .

A) 4

A B

C

D

H O R

B) 10

C) 6

D) 3

E) 5

27. En el gráfico, se traza O M AP1 ⊥ y O2 N ⊥ AP, M

y N en AP, si AB=10, calcule MN .

A) 2

O1

O2

A

B

P

B) 1

C) 5D) 5,5

E) 2,5

28. Del gráfico, B es punto de tangencia, calcule la

m APB .

A) 240º

1

3

A

B

P

60º60º

B) 300ºC) 250º

D) 260º

E) 200º

29. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Cal-

cule x.

A

B C

D

x x

A) 135º B) 150º C) 127º

D) 120º E) 115º

30. Del gráfico mostrado; A y T son puntos de

tangencia, AB=OB. Calcule m MNT .

A

B

O

M

N

T

A) 37º/2 B) 53º/2 C) 15º

D) 36º E) 45º/2

CLAVES



Trigonometría

2

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

1. En un triángulo ABC , recto en A, calcule el va-lor de la expresión

a B b C

b B c C

sen sec

csc cot

+

+

A) 1/2 B) 2 C) 1D) 1/4 E) 2

2. Del gráfico, calcule tan º tan452

+

−

αα

α

A C

B

1

m

A) m+1 B) m– 1 C) m

D) m – 1 E) m2

3. En un triángulo ABC recto en C , la longitud deun cateto se le adiciona la longitud de la hipo-tenusa, con lo que el área del nuevo triángulo

es el triple del anterior. Determine la tangentedel mayor ángulo en el triángulo ABC .

A) 3 B) 1 C) 2

D) 2 E) 5

4. Si ABCD es un cuadrado y M es un punto detangencia. Calcule tan(q+ a)

5

1

8

θ α

B C

D M A

A) 2/3 B) 3/2 C) 5/12D) 5/13 E) 4/5

5. Del gráfico, calcule cscq.

3

2

θ

O

A

B

A) 6 B)13

2 C)

26

2

D)5

2 E)

26

22

6. Si ABCD es un cuadrado, CH =2 y BH =3.Calcule cotq.

θ

B C

H E

D A

A) 15

B) 23

C) 24

D) 26

E) 5

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

7. Simplifique la expresión

sen º sen º sen º ... sen º

cos º cos º cos º ... cos º

1 2 3 89

1 2 3 89

+ + + +

+ + + +

A) tan1º B) cot1º C) 1D) 89 E) 0



Trigonometría

3

8. Considerando 0º < b < 20º y cumpliéndosetan3b – cot2b=tan20º – cot70º,

entonces el valor de sen(b+27º) será

A) 3/5 B)3

2 C)

22

D) 4/5 E) 1/2

9. Si sen º º .α α= < <5

130 90 y

calcule el valor de 2 90

90

cot tan( º )

sen( º )

α α

α

− −

−

A) 5/13 B) 13/5 C) 12/5D) 12/13 E) 13/12

10. Si x e y son ángulos agudos que cumplen (sen x – cos40º)2+(tan y – cot20º)2=0, calcule

sen( º )

cos( º )

x

y

−

+

40

10

A) 3 B) 2 C)1

2

D) 0 E) 1

11. Si x e y son ángulos agudos y se cumple quesen40º · tan2 x · tan(3 y+10º)=cos50º (I)

sen(40º+ x) · sec(40º – y)=1 (II) Calcule csc(3 x – 3 y)

A) 4 B) 3 C) 2D) 1 E) 2

12. Del gráfico, determine el valor de la expresión

sen( )

cos( )

tan( )

cot( )

sec( )

csc( )

x

y

x

y

x

y

−

− +

−

− +

−

−

α

β

β

α

α

β

α

y

x

A C

D

B

ββ

A)9

2

B)2

3

C) 3

D) 1

E)3

2

Resolución de triángulos rectángulos

13. Determine el radio del cuadrante AOB, si CO=n.

θ

O

C

B

A

A) n(secq+cosq)B) n(secq+cscq)C) n(senq+cscq)D) n(senq+cosq)E) n(senq+1+cosq)

14. Del gráfico, calculeS

S

1

2

S1: Área de la región triangular AMC . S2: Área de la región triangular ABM .

θα

2a

a

B

A C

M

A) 2cota · tanqB) 2seca · senqC) 2sena · senqD) 2sena · cscqE) 2tana · cotq



Trigonometría

4

15. Determine x en función de q y d .

θ

θ

d

x x

A) d (cos2q – sen2q · tanq)B) d (cos2qtanq– sen2q)C) d tanqD) d secqE) d tanq · sen2q

16. Si m BAC =q y AB=2 u. Calcule EC .

B

D C A

M

E

A) 2sen4q · secqB) 2sen3q · cotqC) 2sen2q · cos2q

D) 2sen3q · secqE) 2sen2q · secq

17. Determine AD en términos de a y b.

A C M

E

D

β

α

1

A) tanb · sena+1

B)tan sec

cot

α β

β

+

C) cosb(tana+cscb)

D)csc

tan cot

β

β α−

E)sec

cot tan

β

β α−

18. En el gráfico CD es perpendicular al plano quecontiene a la región triangular sombreada, siCD=h, calcule el área de dicha región.

A C

B

D

α

α

A) h2tana B) h2

2 C) h2cota

D) h2 2

2tan a E) h

2 2

2cot a

Identidades trigonométricas fundamentales I

19. Reduzca la expresión

( cot ) (cot )

csc

3 1 32 2

2

x x

x

+ + −

A) 9 B) 10 C) 2D) 14 E) 15

20. Si secq+tanq=6, calcule

1− sen

cos

θ

θ

A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2D) 5/6 E) 7/6



Trigonometría

2

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

1. En un triángulo ABC , recto en A, calcule el va-lor de la expresión

a B b C

b B c C

sen sec

csc cot

+

+

A) 1/2 B) 2 C) 1D) 1/4 E) 2

2. Del gráfico, calcule tan º tan452

+

−

αα

α

A C

B

1

m

A) m+1 B) m– 1 C) m

D) m – 1 E) m2

3. En un triángulo ABC recto en C , la longitud deun cateto se le adiciona la longitud de la hipo-tenusa, con lo que el área del nuevo triángulo

es el triple del anterior. Determine la tangentedel mayor ángulo en el triángulo ABC .

A) 3 B) 1 C) 2

D) 2 E) 5

4. Si ABCD es un cuadrado y M es un punto detangencia. Calcule tan(q+ a)

5

1

8

θ α

B C

D M A

A) 2/3 B) 3/2 C) 5/12D) 5/13 E) 4/5

5. Del gráfico, calcule cscq.

3

2

θ

O

A

B

A) 6 B)13

2 C)

26

2

D)5

2 E)

26

22

6. Si ABCD es un cuadrado, CH =2 y BH =3.Calcule cotq.

θ

B C

H E

D A

A) 15

B) 23

C) 24

D) 26

E) 5

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II


sen º sen º sen º ... sen º

cos º cos º cos º ... cos º

1 2 3 89

1 2 3 89

+ + + +

+ + + +

A) tan1º B) cot1º C) 1D) 89 E) 0



Trigonometría

3

8. Considerando 0º < b < 20º y cumpliéndosetan3b – cot2b=tan20º – cot70º,

entonces el valor de sen(b+27º) será

A) 3/5 B)3

2 C)

22

D) 4/5 E) 1/2

9. Si sen º º .α α= < <5

130 90 y

calcule el valor de 2 90

90

cot tan( º )

sen( º )

α α

α

− −

−

A) 5/13 B) 13/5 C) 12/5D) 12/13 E) 13/12

10. Si x e y son ángulos agudos que cumplen (sen x – cos40º)2+(tan y – cot20º)2=0, calcule

sen( º )

cos( º )

x

y

−

+

40

10

A) 3 B) 2 C)1

2

D) 0 E) 1

11. Si x e y son ángulos agudos y se cumple quesen40º · tan2 x · tan(3 y+10º)=cos50º (I)

sen(40º+ x) · sec(40º – y)=1 (II) Calcule csc(3 x – 3 y)

A) 4 B) 3 C) 2D) 1 E) 2

12. Del gráfico, determine el valor de la expresión

sen( )

cos( )

tan( )

cot( )

sec( )

csc( )

x

y

x

y

x

y

−

− +

−

− +

−

−

α

β

β

α

α

β

α

y

x

A C

D

B

ββ

A)9

2

B)2

3

C) 3

D) 1

E)3

2

Resolución de triángulos rectángulos

13. Determine el radio del cuadrante AOB, si CO=n.

θ

O

C

B

A

A) n(secq+cosq)B) n(secq+cscq)C) n(senq+cscq)D) n(senq+cosq)E) n(senq+1+cosq)

14. Del gráfico, calculeS

S

1

2

S1: Área de la región triangular AMC . S2: Área de la región triangular ABM .

θα

2a

a

B

A C

M

A) 2cota · tanqB) 2seca · senqC) 2sena · senqD) 2sena · cscqE) 2tana · cotq



Trigonometría

4

15. Determine x en función de q y d .

θ

θ

d

x x

A) d (cos2q – sen2q · tanq)B) d (cos2qtanq– sen2q)C) d tanqD) d secqE) d tanq · sen2q

16. Si m BAC =q y AB=2 u. Calcule EC .

B

D C A

M

E

A) 2sen4q · secqB) 2sen3q · cotqC) 2sen2q · cos2q

D) 2sen3q · secqE) 2sen2q · secq

17. Determine AD en términos de a y b.

A C M

E

D

β

α

1

A) tanb · sena+1

B)tan sec

cot

α β

β

+

C) cosb(tana+cscb)

D)csc

tan cot

β

β α−

E)sec

cot tan

β

β α−

18. En el gráfico CD es perpendicular al plano quecontiene a la región triangular sombreada, siCD=h, calcule el área de dicha región.

A C

B

D

α

α

A) h2tana B) h2

2 C) h2cota

D) h2 2

2tan a E) h

2 2

2cot a

Identidades trigonométricas fundamentales I


( cot ) (cot )

csc

3 1 32 2

2

x x

x

+ + −

A) 9 B) 10 C) 2D) 14 E) 15

20. Si secq+tanq=6, calcule

1− sen

cos

θ

θ

A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2D) 5/6 E) 7/6



Trigonometría

5


sen cos

sen coscos

4 4 x x

x x x

−

−−

A) 0 B) 1 C) sen x

D) cos x E) tan x


sen

cos

tan cos

sen

x

x

x x

x1

1

+

++ −

A) 1 B) sen x C) cos xD) csc x E) sec x

23. Determine A+ B de la siguiente igualdad

2 2 2 4

42

sen cos cos

cossec x x x

x A x B

⋅ += ⋅ −

A) 3 B) 1 C) – 2D) 2 E) – 3

24. Si tan sen ,θ θ⋅ = 5 calcule sec2q+cos2q.

A) 3 B) 5 C) 7D) 9 E) 11

Identidades trigonométricas fundamentales II

25. Simplifique la siguiente expresión

sec csc sec csc

sen cossec

2 22

1

x x x x

x x x

+ +

+

−

A) cos2q B) sec2q C) sen2q

D) csc2q E) 1

26. Reduzca la siguiente expresión

sec csc sec csc

sen cossec

2 22

1

x x x x

x x x

+ +

+

−

A) csc x B) csc2 x C) sec xD) sec2 x E) cot x

27. Si tan x+cot x=4, calcule sec x – csc x.

A) −2 2 B) 2 2 C) ±2 2

D) 3 2 E) ±3 2

28. Elimine q de las siguientes condiciones tanq+cotq=a (I) senq – cosq= b (II)

A) a(1 – b2)=2 B) b(1 –a2)=2C) a( b – 1)=2 bD) a(1+ b2)=2 E) b(1+a2)=2

29. Determine el valor de a para que la expresión M =sen4 x+cos4 x+(sen6 x+cos6 x)(a+1) No dependa de x.

A) – 1/2 B) 2 C) 3D) – 3/4 E) – 5/3

30. Si se cumple la igualdad

2 2 6 3 52 2sen sen cos cos ,θ θ θ θ+ ⋅ + =

calcule senq · cosq.

A)3

5 B)

6

4 C)

4 6

5

D) 5 6

3

E)6

5

CLAVES



Física

2

MRU - MRUV

1. El camión y el tren realizan MRU y sus longitu-

des son 12 m y 80 m respectivamente. A partir

del instante mostrado, ¿qué tiempo debe trans-

currir para que se crucen completamente?

28 m

25 m/s15 m/s

A) 3 s B) 4 s C) 5 s

D) 6 s E) 7 s

2. El helicóptero y el auto realizan MRU. A partir

del instante mostrado, ¿cuál es la distancia quesepara a los vehículos luego de 6 s?

13 m/s

40 m

18 m/s

A) 40 2 m B) 30 m C) 40 m

D) 50 m E) 60 m

3. La gráfica muestra el comportamiento de la

posición ( x ) en función del tiempo ( t) para el

movimiento de un atleta. Determine la rapidez

del atleta y su posición en el instante t=10 s.

x (m)

t(s)7

20

0

–15

A) 10 m/s; x=+30 m

B) 5 m/s; x= – 30 m

C) 7 m/s; x= – 20 m

D) 8 m/s; x=+15 m

E) 6 m/s; x= – 25 m


velocidad en función del tiempo, para dosautos A y B que se mueven sobre una misma

pista horizontal. Si, en el instante t=0 los autos

están separados 36 m y transcurren 9 s hasta

que un auto logre alcanzar al otro, ¿cuál es la

rapidez del auto B?

v (m/s)

t(s)

A17

0

B

A) 14 m/s B) 13 m/s C) 16 m/s

D) 18 m/s E) 20 m/s

5. Un auto que realiza MRUV triplica su rapidez

en 8 s. Considere que la rapidez del auto au-

menta 2 m/s en cada segundo. ¿Cuál es su re-

corrido en esos 8 s?

A) 128 m B) 160 m C) 64 m

D) 72 m E) 184 m

6. ¿Luego de qué tiempo el cuerpo retorna a P y

cuánto recorre durante ese intervalo de tiem-

po? Considere que el ascenso y descenso se

desarrollan con la misma aceleración.

6 m/s

2 m/s2

P P

A) 6 s; 18 m B) 6 s; 15 m C) 3 s; 18 m

D) 5 s; 16 m E) 4 s; 18 m



Física

3


velocidad y el tiempo de un móvil que se des-

plaza sobre el eje x. Si en el instante t=0 su

posición es x=+25 m, determine la veraci-

dad (V) o falsedad (F) de las siguientes posi-

ciones. (tanq=2). I. La velocidad del móvil en el instante t=10 s

es+10 m/s.

II. La posición de móvil, en el instante t=15 s,

es x= – 100 m.

III. El recorrido desde t=0 hasta t=15 s es 125 m.

v (m/s)

t(s)

θ0

–10

A) FFV B) FVV C) VFF

D) VVV E) VFV

8. Dos autos A y B se mueven sobre una pista ho-

rizontal y en el instante t=0 están separados

64 m. La gráfica adjunta muestra el cambio de

la velocidad en el tiempo. Determine el instan-

te de tiempo en el cual los autos se cruzan.

v (m/s)

t(s)

11

5

30

–7 B

A

A) 1 s B) 2 s C) 3 s

D) 4 s E) 5 s

MPCL - MCU

9. Una esfera pequeña es lanzada tal como se

muestra en la figura. Si la esfera impacta per-

pendicularmente en el punto P, determine la

rapidez de lanzamiento v. ( g=10 m/s2).

v0

P

120 m

45 m

A) 20 m/s B) 30 m/s C) 40 m/s

D) 50 m/s E) 60 m/s

10. En el gráfico se muestra la trayectoria para-

bólica que sigue un proyectil. Determine q.

( g=10 m/s2).

θ

60 m 60 m

2 s

2 s

g

v

A) 45º B) 60º C) 53º

D) 37º E) 74º

11. Las esferas luego de ser lanzadas simultá-

neamente, impactan justo cuando la esfera

B alcanza su altura máxima. Determine H .

( g=10 m/s2)

v=20 m/s

v=20 m/s

H

A

B

A) 20 m B) 30 m C) 40 m

D) 50 m E) 60 m



Física

4

12. La esfera impacta en el coche luego de 2 s del

instante mostrado. Indique las proposiciones

verdaderas (V) o falsas (F). Considere que el

coche experimenta MRU. ( g=10 m/s2).

I. La rapidez del coche es 10 m/s.

II. La rapidez con la que impacta la esfera so-bre el coche es 20 2 m/s.

III. La altura H es 15 m.

H

v

g

v=20 m/s

A) VFV B) FVF C) FFF

D) VVF E) VVV

13. Con respecto a la partícula que realiza MCU,

indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las

siguientes proposiciones:

I. Su rapidez es constante.

II. No presenta aceleración.

III. Su aceleración es perpendicular a la velocidad.

A) FFV B) VVF C) VVV

D) FFF E) VFV

14. Un disco rota con un periodo de 2 s. ¿Cuál es el

módulo de la aceleración, en m/s2, del punto

A? Considere que el disco realiza MCU.

A) 10 p2

A A

OO

10 cm10 cm

B) 0,1 p2

C) 0,01 p2

D) 100 p2

E) 0,001 p2

15. La partícula mostrada emplea 1 s de A hasta B,

¿qué tiempo emplea de B hasta C ? Considere

que la partícula experimenta un MCU.

(q=p /6 m/s2)

A) 1 s

ω

θ

B

C

A

B) 2 s

C) 3 s

D) 4 s

E) 5 s

16. A partir del instante mostrado, qué tiempo

transcurre hasta que las partículas experimen-

tan su menor separación por primera vez. Con-

sideren que ambas partículas presentan MCU.

α

π

=

6 rad

α

ω 2=4 rad/sω

1=6 rad/s

A) p /8 s B) p /4 s C) p /12 s

D) p /15 s E) p /7 s

Estática I

17. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio

mecánico. Si el bloque y la barra tienen una

masa de 2 kg y 7 respectivamente, calcule el

módulo de la reacción entre el piso y la barra.

Considere poleas ideales. ( g=10 m/s2).

g

A) 20 N B) 30 N C) 40 N

D) 50 N E) 60 N



Física

5

18. El sistema mostrado permanece en reposo.

Si todas las superficies son lisas, determine la

veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes

proposiciones. (3 M =2 m=12 kg; g=10 m/s2).

I. La lectura del dinamómetro es 60 N.

II. El módulo de la fuerza que ejerce la super-ficie inclinada sobre M es 80 N.

III. La fuerza elástica y la tensión sobre M , con-

forman un par acción y reacción.

A) FVF

37º37º

m m

M M

B) VVV

C) VVF

D) FVV

E) FFF

19. El sistema mostrado en la figura permanece en

reposo. Si el módulo de la tensión en la cuer-

da (2) es 75 N, determine la masa de la esfera.

( g=10 m/s2).

A) 4,4 kg 74º

37º

(1)

(2)B) 6,2 kg

C) 7,2 kgD) 7,8 kg

E) 8,8 kg

20. La barra homogénea de 4 kg está en reposo.

Determine la reacción de la superficie circular

sobre la barra en el extremo A. ( g=10 m/s2).

O R

60º

A A

A) 20 N B) 40 N C) 60 N

D) 70 N E) 80 N

21. Los bloques mostrados en el gráfico permane-

cen en reposo. Determine el módulo de la fuer-

za de rozamiento y de la fuerza del piso sobre

el bloque. ( M A=4,8 kg; M B=4 kg; g=10 m/s2).

A A B B37º

A) 24 N; 24 NB) 32 N; 24 NC) 24 N; 32 ND) 32 N; 40 NE) 48 N; 32 N

22. En el gráfico mostrado, el bloque de 3 kg seencuentra a punto de deslizar. Determine elcoeficiente de rozamiento entre el bloque y lasuperficie. ( F =6 N; g=10 m/s2).

F

g

37º37º

A) 0,4 B) 0,75 C) 0,5

D) 0,35 E) 0,6

23. Se muestra un bloque unido a un resorte

( K =500 N/m) sin deformar al cual se le apli-

cará una fuerza horizontal. Halle la máxima

deformación del resorte, de tal manera que el

bloque permanezca en reposo.

( mbloque=20 kg).

µ=0,6

0,4

A) 24 cm B) 18 cm C) 15 cm

D) 12 cm E) 8 cm



Física

6

24. Si el sistema está en reposo, halle la reacción

del piso. m A=5 kg; m B=9 kg; mC =10 kg

A A

B B

C C

53º53º

A) 10 2 N B) 20 2 N C) 30 2 N

D) 50 N E) 30 N

Estática II

25. El bloque de 10 kg resbala realizando un MRU

y sobre él actúa una fuerza constante F

. Halle

el coeficiente de rozamiento entre el bloque y

el piso. ( F =75 N)

53º53º

v

F

A) 9/16 B) 3/8 C) 5/32

D) 7/16 E) 9/32

26. El bloque A desliza con velocidad constante.

Si su masa es 2,1 kg, determine el coeficientede rozamiento entre el bloque A y la pared ver-

tical. Considere al bloque B liso. ( g=10 m/s2)

A) 0,5

A A

B B

F =28 NB) 0,4

C) 0,75

D) 0,3

E) 0,9

27. La barra que se muestra en el gráfico, perma-nece en reposo. Si la lectura del dinamómetroes 42 N, determine el módulo de la fuerza queejerce la articulación sobre la barra.

g

C.G.

3L L

A) 21 N B) 14 N C) 18 ND) 26 N E) 32 N

28. Un adorno está formado por barras rígidas demasa despreciable, hilos y esferas. Si la masade la esfera (1) es 48 kg, determine la masa dela esfera (2).

30 cm 40 cm

40 cm50 cm

(2)

(1)

A) 20 g B) 30 g C) 36 gD) 52 g E) 60 g

29. Determine el módulo de la tensión en la cuer-

da, si la barra homogénea de 12 kg permanece

en reposo. ( g=10 m/s2

).

g

37º

A) 80 N B) 90 N C) 120 N

D) 100 N E) 150 N



Física

7

30. Un disco homogéneo permanece en reposo

tal como se muestra en el gráfico. Si el disco

está a punto de resbalar, determine el módulo

de la fuerza que ejerce la pared sobre el disco.

( g=10 m/s2).

A) 30 Nµ= 0,75

0,5

9 kg

3 r 3 r r r

liso

B) 40 N

C) 60 N

D) 90 N

E) 50 N

31. La caja homogénea de 30 kg permanece en

reposo, apoyada sobre una superficie horizon-

tal. Determine la distancia que existe entre el

punto de aplicación de la reacción del piso y

el punto P.

A) 40 cm

6 kg

g

1,6 m

B) 50 cm

C) 60 cm

D) 70 cm

E) 80 cm

32. Se muestra una barra homogénea de 2 kg enreposo. Determine la masa del bloque, si lafuerza de rozamiento, entre la barra y el piso,tiene un valor de 15 N. ( g=10 m/s2)

m

45º

liso

A) 1,5 kg B) 2,5 kg C) 2 kg

D) 0,5 kg E) 0,8 kg

Dinámica rectilínea

33. Determine el módulo de la aceleración que ex-

perimenta el bloque si la fuerza de rozamiento

sobre él presenta un módulo de 18 N.

5 kg5 kg 16º16º

F =50 N

A) 10 m/s2 B) 12 m/s2 C) 3 m/s2

D) 6 m/s2 E) 18 m/s2

34. ¿Cuál es la deformación del resorte en el ins-

tante que la esfera de 4 kg presenta una acele-

ración de módulo 2 m/s2? ( K =200 N/m).

K liso v

A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm

D) 8 cm E) 10 cm

35. Determine la relación entre los módulos de lafuerza F y la reacción entre los bloques.

2 m2 m m m liso F

A) 2/3 B) 3/2 C) 3

D) 1/3 E) 1/2

36. Un bloque es lanzado con una velocidad hori-

zontal de 12 m/s sobre una superficie horizon-

tal. Si el coeficiente de rozamiento cinético en-

tre el piso y el bloque es 0,3, ¿luego de cuánto

tiempo se detiene? ( g=10 m/s2).

A) 1 s B) 2 s C) 3 s

D) 4 s E) 5 s



Física

8

37. Si el bloque apoyado en la pared está a punto

de resbalar, ¿cuál es el módulo de la aceleración

con la que se mueve el coche? ( g=10 m/s2).

µ S=1/2

A) 5 m/s2 B) 10 m/s2 C) 15 m/s2

D) 20 m/s2 E) 25 m/s2

38. El bloque A es soltado en la posición mostra-da. Determine el tiempo transcurrido desde

el instante mostrado hasta que se cruzan.

( m A=3 m B; g=10 m/s2)

A) 1 s

A A

B B

20 m

B) 2 s

C) 3 s

D) 4 s

E) 5 s

39. Determine la tensión de la cuerda que une a

los bloques idénticos. ( m1= m2=2 kg). Consi-

dere superficies lisas. ( g=10 m/s2).

m1

m1

m2

m2

30º30º

A) 3 N B) 5 N C) 8 N

D) 9 N E) 11 N

40.En el instante mostrado, la pequeña esfera de6 kg, experimenta una aceleración horizontal.

Determine el módulo de la fuerza que ejerce la

superficie cilíndrica sobre la esfera. ( g=10 m/s2).

37º37º

g

liso

A) 50 N B) 30 N C) 75 N

D) 60 N E) 80 N

CLAVES



Física

2

Análisis vectorial

1. Para los vectores mostrados, calcule el módulo

de su resultante.

3 u3 u

4 u

4 u

A) 6 u B) 10 u C) 8 u

D) 5 u E) 0

2. Del gráfico mostrado, determine el módulo del

vector resultante.

8 u

5 u

A) 18 u

B) 7 u

C) 13 u

D) 10 u

E) 3 u

3. Determine el vector resultante.

A

BC

A) 0 B) 2 A

C) 2 B

D) 2C

E) C

4. En el gráfico mostrado, calcule el módulo del

vector resultante.

4 u

4 u

60º

A) 8 u B) 4 u C) 4 3 u

D) 2 3 u E) 2 u

5. En el gráfico mostrado, calcule el módulo de

la resultante.

1 u1 u

1u1u

A) 1 u B) 2 u C) 3 u

D) 2 u E) 5 u

6. Si la resultante de los vectores mostrados es

nula, determine el módulo del vector C

.

A B

= =( )10 6 2u u;

45º53º

B

C

A

A) 9 u B) 12 u C) 10 u

D) 8 u E) 14 u



Física

3

Cinemática I

7. Desde la posición mostrada, ¿cuánto tiempo

transcurre para que el atleta se encuentre a

29 m de la pared? Considere MRU para el atleta.

5 m

8 m/s

A) 1 s B) 2 s C) 3 s

D) 4 s E) 5 s

8. El helicóptero y el atleta describen un MRU.

Si en el instante mostrado el helicóptero se

encuentra a 80 m por encima del atleta, de-

termine la distancia que estarán separados

luego de 4 s.

5 m/s

25 m/s

A) 130 2 m B) 130 m C) 80 2 m

D) 150 2 m E) 150 m

9. Si los motociclistas A y B realizan MRU, ¿cuánto

tiempo transcurre desde el instante mostradohasta que A alcance a B?

15 m/s

60 m

A12 m/s

B

A) 20 s

B) 16 s

C) 28 s

D) 30 s

E) 32 s

10. Dos autos se trasladan con velocidad constan-

te tal como se muestra en el gráfico. Determi-

ne el tiempo que debe transcurrir para que los

autos se encuentren separados 30 m por pri-

mera vez.

40 m/s20 m/s

120 m120 m

A) 1 s B) 2 s C) 1,5 s

D) 0,5 s E) 3 s

11. Un tren de 196 m realiza un MRU con una ra-

pidez de 25 m/s. Determine el tiempo que em-

plea para cruzar completamente el tramo AB,

desde el instante mostrado.

4 m

A A B B

A) 2 s B) 4 s C) 6 s

D) 8 s E) 10 s

12. El tren de 40 m longitud se desplaza con velo-

cidad constante, y recorre 25 m cada segundo.

Si emplea 4 s en pasar completamente el túnel

a partir del instante mostrado, calcule la longi-

tud del túnel.

A) 90 m B) 40 m C) 60 m

D) 100 m E) 80 m



Física

4

13. Los atletas A y B realizan MRU. El atleta B lle-

ga a la meta luego de 10 s a partir del instan-

te mostrado, y el atleta A llega a la meta dos

segundos antes que B. Calcule la rapidez del

atleta A.

4 m/s

d

56

A B

d

META

A) 4 m/s B) 6 m/s C) 5 m/s

D) 5,5 m/s E) 4,5 m/s

Cinemática II

14. Si el auto se detiene al cabo de 3 s, determi-

ne su recorrido. Considere que desarrolla un

MRUV.

12 m/s

A) 16 m B) 12 m C) 20 m

D) 18 m E) 24 m

15. Luego de 2 segundos de soltar el bloque,

como se muestra en el gráfico, su rapidez es

4 m/s. Si su aceleración es constante, determi-

ne su rapidez luego de 5 segundos desde que

fue soltado.

A) 9 m/s B) 10 m/s C) 12 m/s

D) 15 m/s E) 20 m/s

16. Un ciclista se desplaza por una superficie ho-

rizontal con una rapidez constante de 10 m/s,

pero luego ingresa a una pendiente aceleran-

do con 0,4 m/s2. Si la longitud de la pendiente

es 120 m, el tiempo en segundos en recorrer la

longitud de la pendiente es

A) 10 s B) 90 s C) 110 s

D) 80 s E) 100 s

17. Un auto que experimenta un MRUV inició su

movimiento recorriendo 2 m en el primero

segundo de su movimiento. Determine su re-

corrido durante el siguiente segundo de su mo-

vimiento.

A) 6 m B) 9 m C) 10 m

D) 5 m E) 8 m

18. Un auto que realiza MRUV cuadriplica su ra-

pidez en un tramo de 200 m, empleando para

ello 5 s. Determine el módulo de su acelera-

ción, en m/s2.

A) 10,2 B) 9,6 C) 8,4

D) 6 E) 12

19. El motociclista experimenta MRUV y luego de

3 s pasa junto al poste (1). Determine su rapi-

dez cuando pase junto al poste (2).

10 m

18 m

3 m/s

(1)(2)

A) 11 m/s

B) 13 m/s

C) 12 m/s

D) 9 m/s

E) 8 m/s



Física

5

20. Un bus de 10 m de longitud empieza a cruzar

un puente recto con una rapidez de 20 m/s y

termina de hacerlo con 30 m/s luego de 5 s.

¿Qué longitud tiene el puente? Considere que

el bus varía uniformemente su rapidez.

A) 145 m B) 230 m C) 115 m

D) 250 m E) 240 m

Cinemática III

21. Desde el piso se lanza verticalmente hacia

arriba una esfera, y luego de 8 s impacta en el

piso. Determine la altura máxima que alcanza

la esfera. ( g=10 m/s2).

A) 60 m

B) 80 m g

v0

C) 120 m

D) 45 m

E) 95 m

22. Una esfera es lanzada verticalmente hacia aba-

jo con rapidez v0, y luego de 6 s su rapidez se

triplica. Determine v0. ( g=10 m/s2

).

A) 30 m/s B) 20 m/s C) 40 m/s

D) 50 m/s E) 10 m/s

23. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba

desde la parte superior de un edificio. Si alcan-

za su altura máxima luego de 2 s, determine

el tiempo que demora desde que fue lanzado

hasta que duplique su rapidez. ( g=10 m/s2).

A) 10 s B) 5 s C) 4 s

D) 6 s E) 8 s

24. Desde cierta altura, una canica es lanzada

verticalmente hacia arriba con una rapidez de

10 m/s. ¿A cuántos metros del nivel de lanza-

miento se encontrará la canica, luego de 3 s de

su lanzamiento? ( g=10 m/s2).

A) 15 m B) 20 m C) 30 m

D) 10 m E) 5 m

25. Una piedra es lanzada verticalmente desde

una altura h y luego de 5 s llega al piso con una

rapidez de 30 m/s. ¿Cuál es el valor de h?( g=10 m/s2)

v0

h

A) 15 m B) 10 m C) 20 m

D) 25 m E) 45 m

26. Dos cuerpos son lanzados en la misma vertical

tal como se muestra en la gráfica. Determine

luego de cuánto tiempo los cuerpos chocan.

( g=10 m/s2)

100 m100 m

10 m/s

40 m/s

A) 6 s B) 4 s C) 5 s

D) 1 s E) 2 s

27. Una pelota, lanzada desde el piso verticalmente

hacia arriba con rapidez v1, alcanza una altura

máxima h1. Si la rapidez de lanzamiento de la

pelota se duplica, ¿cuál es la altura máxima

que alcanza?

A) 6 h1 B) 3 h1 C) h1

D) 2 h1 E) 4 h1

UNMSM 2007- I



Física

6

Estática I

28. En el gráfico (1) dos bloques cúbicos de 4 cm

de lado están unidos a un resorte cuya longitud

natural es 20 cm. Si luego son colocados como

se ve en el gráfico (2), ¿en cuánto se deformó elresorte y cuál es el módulo de la fuerza elástica?

23 cm

gráfico 2gráfico 1

sin deformar K =50 N/cm

A) 1 cm; 150 N

B) 3 cm; 200 NC) 5 cm; 250 N

D) 8 cm; 300 N

E) 10 cm; 350 N

29. En el sistema mostrado, indique el DCL de la

polea (1).

(1)

A) B) C)

D) E)

30. El gráfico muestra una esfera lisa y homogénea.

Indique el DCL

37º

OO

A)OO

53º53º B)OO

53º53º

C)OO

53º53º

D)OO

53º53º E)OO

53º53º

CLAVES



Química

2

Números cuánticos

1. ¿Qué relación es incorrecta respecto al orbital?

A) Acepta máximo 2e –.

B) Explica la trayectoria del electrón al girar

alrededor del núcleo.

C) Es una región energética.

D) En él hay la máxima probabilidad de ubicar

a un electrón.

E) Puede estar saturado o semilleno.

2. Indique aquel subnivel cuya notación cuántica

no es correcta.

A) 7p B) 3s C) 5d

D) 1p E) 4f

3. ¿Cuántos orbitales degenerados puede tener

un átomo con n=3 y =1?

A) 1 B) 3 C) 5

D) 7 E) 6

4. Respecto a la zona extranuclear, señale el

enunciado incorrecto.

A) n=5 nos indica el quinto nivel de energía.

B) Si n=3 y =2, se trata del subnivel 3d.

C) En un nivel pueden estar contenidos n2 or-

bitales atómicos.

D) A mayor alejamiento del núcleo atómico,

un electrón tendrá mayor estabilidad.

E) Un subnivel energético está conformado

por un conjunto de orbitales.

5. Se tiene el siguiente conjunto de númeroscuánticos.

n=4; =1 y m=0

Señale la proposición incorrecta.

A) Pertenece al subnivel 4p.

B) Puede contener 1e–.

C) El orbital es 4p y.

D) Brinda información del giro del electrón.

E) Acepta máximo 2e–.

6. Señale cuántas proposiciones son incorrectas.

I. Un subnivel insaturado tendrá orbitales

semillenos.

II. En el subnivel d se puede ubicar 6 electrones.

III. En el cuarto nivel existen 34 electrones.

IV. El tercer nivel presenta 9 orbitales.

V. Si un subnivel principal tiene 5 electrones,

habrá un orbital semilleno y 2 llenos.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

7. Indique cuál de los siguientes orbitales posee

menor estabilidad.

A) 6p B) 5d C) 4f

D) 3d E) 2p

8. Se tiene el siguiente conjunto de números cuán-

ticos para un electrón (4; 0; 0; +1/2). Respecto

al electrón, señale la proposición correcta.

A) Se ubica en el orbital 4s.

B) Gira horariamente.

C) Se encuentra en la capa energética M .

D) Su energía relativa es 3.

E) Su orbital sharp es 5s.

Configuración electrónica

9. ¿Cuál será el número de masa de un átomo

que posee 38 neutrones y su configuración ter-

mina en el subnivel 5s1?

A) 57

B) 65

C) 75

D) 70E) 66

10. El número atómico de cierto átomo es el 44%

del número de masa. ¿Cuál es el número de

electrones de su último nivel si se sabe que

tiene 28 neutrones?

A) 4 B) 2 C) 6

D) 3 E) 5



Química

3

11. Halle los electrones de valencia de un átomo si

su número de masa es 80 y la relación A / #nº

es 16/9.

A) 2 B) 5 C) 7

D) 9 E) 17

12. Indique la secuencia correcta de verdadero (V)

o falso (F) respecto a los siguientes enunciados.

I. Cada orbital se satura con electrones que

cumplen el principio de exclusión de Pauli.

II. Los orbitales de un subnivel se saturan de

acuerdo con el principio de aufbau.

III. Para todos los elementos se cumple la regla

de Sarrus.

IV. Si un átomo neutro posee 15 electrones enla capa N , entonces en su núcleo posee 45

protones.

A) FFFF B) FVFV C) FVFF

D) VFVF E) VFFV

13. ¿Cuántos electrones tiene un átomo que posee

17 orbitales llenos?

A) 26 B) 34 C) 32

D) 18 E) 35

14. Indique la configuración electrónica correcta-

mente representada.

A) 26Fe: [18 Ar]4s24p6

B) 28Ni+2: [18 Ar]3d8

C) 13 Al: 1s22s23s23p64s1

D)80

Hg+1: [54Xe]6s24f 145d9

E) 7N– 3: [2He]2s2

15. Si la configuración electrónica de un catión

divalente posee 2 orbitales desapareados de

energía relativa 6, halle el número atómico del

elemento.

A) 90 B) 100 C) 50

D) 52 E) 80

16. Si un anión divalente presenta 8 electrones en

la última capa y posee solo 3 niveles de ener-

gía, ¿cuál es su carga nuclear?

A) 14 B) 16 C) 18

D) 15 E) 17

Tabla periódica actual

17. Respecto a la descripción de la tabla periódica,

señale la proposición correcta.

I. Presenta 7 periodos y 18 grupos.

II. Tiene más elementos metálicos que no me-

tálicos.

III. Permite conocer las propiedades de los

elementos, tales como la temperatura defusión, la energía de ionización, entre otros.

IV. Presenta elementos naturales que en total

son 12.

A) I y II B) II y III C) I, II y IV

D) I, II y III E) II y IV

18. Respecto a la tabla periódica actual, señale la

secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F).

I. El periodo 4 contiene 18 elementos. II. Todos los elementos de un mismo grupo

tienen igual cantidad de electrones.

III. Los elementos de transición pertenecen al

grupo A.

A) VFF B) FFF C) FVF

D) VVF E) VFV

19. Marque la proposición incorrecta respecto al

estado físico de los elementos químicos. Con-sidere para cada caso condiciones de presión

y temperatura ambiental.

A) El F2 y Cl2 son gases.

B) El bromo y el mercurio son gases.

C) El As, Sb y B son semimetales.

D) El I, Al y Pt son sólidos.

E) En la tabla periódica hay más elementos

sólidos.



Química

4

20. El Sc es un elemento que en su núcleo atómico

tiene 21 protones. Indique cuál es su ubicación

en la tabla periódica.

A) grupo IIIB, periodo 3

B) grupo IB, periodo 4C) grupo IIIB, periodo 5

D) grupo IIIB, periodo 4

E) grupo IIIA, periodo 4

21. Un elemento tiene la configuración electrónica

final 3d104p2. ¿A qué grupo pertenece?

A) IVA

B) VIA

C) IIB

D) IIA

E) VA

22. ¿Cuál es el número atómico de un calcógeno

que presenta solo 4 niveles de energía?

A) 38 B) 32 C) 33

D) 36 E) 34

23. De acuerdo con la variación de las propiedades

periódicas de los elementos químicos según la

gráfica que se ilustra (ver sentido de flechas),

¿qué proposiciones son correctas?

I. El radio atómico aumenta.

II. El tamaño de los átomos disminuye.

III. Aumenta tanto el volumen atómico como la

electronegatividad.

A) I y II B) II C) III

D) ninguna E) II y III

24. De acuerdo las propiedades periódicas, indi-

que la proposición correcta.

I. RA(Na)<RA(K): radio atómico

II. A medida que aumenta la electronegati-

vidad en un mismo periodo, disminuye el

carácter metálico. III. Los gases nobles tienen alta electronegati-

vidad.

IV. El sodio tiene mayor radio atómico que el

cloro.

A) VVVV B) VVFV C) VFVF

D) FVFV E) VVVF

Enlace químico I

25. Respecto al enlace químico, ¿qué afirmaciones

son correctas?

I. Al enlazarse químicamente, cada átomo cum-

ple con la regla del octeto por lo general.

II. Cada átomo, una vez enlazado, tiene me-

nor energía respecto a su estado de átomo

libre.

III. Por lo general, los enlaces químicos se pue-

den romper por calentamiento.

A) solo I

B) solo II

C) solo III

D) I y II

E) I y III

26. Respecto a los electrones de valencia, señale

la proposición correcta.

I. Son todos los electrones que el átomo com-

parte en una unión química.

II. Son los primeros electrones en haber sido

distribuidos.

III. Deben ser un número par, de tal modo que

se pueda compartir.

A) solo II B) solo III C) I y III

D) I, II y III E) ninguna



Química

5

27. Se tienen los números atómicos (Z) de los ele-

mentos (H=1; O=8; B=5; Cl=17; P=15). Seña-

le la estructura de Lewis correcta.

A) H O H B) Cl B Cl

Cl

C) H P H

H

D) H Cl E) O O

28. Sean las notaciones de Lewis de X e Y.

X Y

Respecto a su compuesto formado, señale la

proposición correcta.

I. No conduce del calor ni la electricidad en

estado sólido.

II. Es electrovalente. III. Sus elementos constituyentes comparten sus

electrones.

A) solo I B) I y II C) I y III

D) solo II E) II y III

29. Indique la estructura de Lewis del cloruro de

potasio (KCl).

A) K – Cl B) K+Cl– C) KCl

D) K+ ← Cl– E) ClK+

–

30. ¿En cuál de los siguientes enlaces iónicos se

transfieren más electrones?

A) CaO B) CaCl2 C) KI

D) Al2O3 E) Na2O

31. El hidróxido de sodio es un compuesto terna-

rio, NaOH, que en el agua es muy soluble. Si suestructura de Lewis es

O HNa

+1–1

señale la proposición correcta.

I. El sodio comparte 1e– con el oxígeno.

II. El oxígeno cumple con el octeto electrónico.

III. El hidrógeno gana 1e– y se carga negativa-

mente.

IV. Hay enlace iónico y covalente.

A) solo I B) II y IV C) solo III

D) solo IV E) III y IV

32. Con respecto a las propiedades generales de

los compuestos iónicos, señale la proposición

incorrecta.

A) Tienen una estructura cristalina.

B) Son sólidos a temperatura ambiente.

C) La mayoría son solubles en agua.

D) Poseen altas temperaturas de fusión.

E) No son conductores de la electricidad en

estado fundido.

Enlace químico II

33. De los siguientes compuestos, ¿cuáles presen-tan enlace covalente?

H2SO4, NH3, NaCl, Fe2O3, CaO, H2O

A) H2SO4, NaCl, H2O

B) H2SO4, NH3, H2O

C) H2SO4, Fe2O3, CaO

D) NH3, CaO, H2O

E) NaCl, CaO, H2O

34. Indique la molécula en la cual el átomo central

no tenga octeto completo.

A) H2S B) NH3 C) PF3

D) BeH2 E) CO2

35. Para la estructura molecular de la aspirina

C

C

C

CC

H

H

C

CO OHH

H O CO CH3

¿cuántos enlaces covalentes simples y pares

de electrones no compartidos presenta su mo-

lécula, respectivamente?

A) 8 y 8 B) 14 y 10 C) 14 y 8

D) 16 y 8 E) 18 y 4



Química

6

36. Indique el número de enlaces sigma, simple y

pi (p) del ácido acético, respectivamente.

CH3 – COOH

A) 7; 6; 1 B) 6; 5; 1 C) 7; 6; 2

D) 6; 6; 1 E) 7; 5; 1

37. Para el tolueno nitrilo, cuya estructura de Lewis

abreviado es la siguiente

C C N

CH CH

CH CH

HC

indique el número de uniones Pi y de electro-

nes de valencia, respectivamente.

A) 5 y 28 B) 5 y 38 C) 6 y 40

D) 4 y 38 E) 5 y 36

38. Se tiene la siguiente estructura del anhidrido

perclórico, Cl2O7, cuyos átomos se distribuyen

según

Cl Cl

Complete su estructura de Lewis e indique

el número de enlaces covalentes normales ydativos, respectivamente.

A) 6 y 2 B) 4 y 4 C) 2 y 6

D) 3 y 5 E) 5 y 3

39. Indique qué sustancia química no presenta en-

lace covalente coordinado.

A) SO2 B) O3 C) HNO3

D) NH3 E) H3O

+

40. ¿Cuál de los siguientes enlaces covalentes pre-

senta mayor carácter polar?

EN: H=2,1; Cl=3,0; O=3,5; C=2,5

A) H – C B) C – Cl C) H – O

D) C O E) Cl – O

CLAVES



Química

2

Estructura electrónica del átomo

1. Con respecto a la zona extranuclear, indique

las proposiciones correctas.

I. En la capa M a lo más se encuentran 32

electrones. II. En un orbital existe la probabilidad de en-

contrar como máximo dos electrones con

espín opuestos.

III. El subnivel fundamental puede contener 10

electrones.

A) I y II B) I y III C) solo II

D) II y III E) solo III

2. Relacione adecuadamente.

I. capa N

II. orbital 4p x III. subnivel principal

a. Contiene como máximo 2e –.

b. Tiene 3 orbitales.

c. Posee 4 subniveles.

A) Ic, IIb, IIIa

B) Ia, IIb, IIIc

C) Ic, IIa, IIIb

D) Ib, IIa, IIIc

E) Ib, IIc, IIIa

3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son

correctas?

I. El subnivel sharp tiene forma esférica.

II. El subnivel difuso está constituido por cinco

orbitales. III. Un subnivel principal puede contener 6 elec-

trones.

A) solo I

B) I y III

C) solo II

D) II y III

E) I, II y III

4. ¿Cuáles de los siguientes subniveles no tienen

existencia real?

I. 1s2

II. 2d5

III. 4f 7

A) I y II

B) todos

C) solo II

D) II y III

E) solo III

5. La representación 4f 7 indica que

A) hay 7 electrones en el subnivel fundamental

del cuarto nivel.

B) el cuarto nivel tiene un subnivel fundamental

con 6 electrones.

C) hay 7 electrones en el orbital fundamental

del cuarto nivel.

D) en el cuarto nivel hay un subnivel principal

que contiene 7 electrones.

E) hay 4 electrones en el subnivel fundamental.

6. Determine el número de subniveles comomáximo que tiene un átomo con 3 niveles.

A) 3 B) 5 C) 2

D) 7 E) 4

Configuración electrónica

7. Si el número atómico del potasio, K, es 19,

entonces la configuración electrónica que lecorresponde es

A) 1s1 2s4 2p4 3s2 3p6 4s2.

B) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s3.

C) 1s2 2s4 2p4 3s2 3p6 4s1.

D) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1.

E) 1s1 2s3 2p6 3s1 3p6 4s2.

UNMSM 2004 - I



Química

3

8. Si un átomo contiene 5 electrones de valencia

en la capa N y su número másico excede en

12 unidades al doble del número de protones,

¿cuántos neutrones contiene?

A) 56 B) 33 C) 45D) 78 E) 38

9. Calcule el número de electrones de valencia

de un átomo que tiene 18 neutrones, cuyo nú-

mero de masa es 35.

A) 5 B) 2 C) 3

D) 7 E) 6

UNMSM 2010 - II

10. Indique las distribuciones que son correctas.

I. 9F: 1s22s22p2 x2p2

y2p1 z

II. 163 3 3 3

S Nes p p p

: [ ]èé èé èé

x y z

III. 6C: 1s22s22p2 x

A) solo I

B) solo II

C) solo III

D) I y II

E) I, II y III

11. ¿Cuál de las siguientes distribuciones es co-

rrecta para el subnivel 3p5?

A)èè èé è

3p 3p 3p x y z

B)èé èè è

3p 3p 3p x y z

C)èé èé èé

3p 3p 3p x y z

D)èè éé è

3p 3p 3p x y z

E)èé è èé

3p 3p 3p x y z

12. ¿Cuántos electrones desapareados tiene el ion

Co3+?

Número atómico: Co=27

A) 1 B) 5 C) 2

D) 3 E) 4

Tabla periódica actual

13. Determine el periodo y grupo al cual pertenece

un átomo cuyo número atómico es 18.

A) 3; 18 (VIIIA)

B) 2; 18 (VIIIA)

C) 3; 14 (IVA)

D) 3; 14 (IVB)

E) 2; 14 (IVA)

UNMSM 2005 - I

14. En relación con un elemento cuyo Z=35, deter-

mine la secuencia correcta de verdadero (V)

o falso (F).

I. Pertenece a la familia de los halógenos.

II. Pertenece al grupo 17 y periodo 4.

III. Su configuración electrónica tiene tres sub-

niveles.

A) VFF B) VFV C) VVF

D) FVV E) FFV

15. El elemento X tiene número atómico 21, en-

tonces está en el periodo ............... y en el

grupo ............... de la tabla periódica.

A) 4; 5 B) 3; 5 C) 4; 3

D) 4; 2 E) 3; 3UNMSM 2002

16. ¿Qué elemento tiene propiedades químicas

similares a las del bromo?

Número atómico: Br=35; S=16; O=8; As=33;

F=9; N=7

A) F B) O C) As

D) S E) N



Química

4

17. Marque la secuencia correcta de verdadero (V)

o falso (F) para el elemento 20Ca.

I. Tiene 20 protones y se encuentra en el 4.o

periodo.

II. En su configuración electrónica, existen

dos subniveles p. III. En el último subnivel, tiene dos electrones.

IV. Es un metal que tiene alta electronegati-

vidad.

A) VFVV B) VFFV C) FVVV

D) VFVF E) VVVF

UNMSM 2010 - II

18. Los elementos Q y R tienen propiedades quí-

micas similares. ¿Cuál es el número atómicode Q si está en el mismo periodo que el ele-

mento T?

Número atómico: R=12; T=37

A) 20 B) 38 C) 56

D) 40 E) 48

Enlace químico I

19. Indique las sustancias que presentan enlace

electrovalente.

I. Ca3N2

II. MgS

III. AlCl3

A) solo I

B) I y III

C) I y II

D) II y IIIE) solo II

20. ¿Cuáles de los siguientes compuestos presen-

tan sus estructuras de Lewis correctas?

I. ONa2O; Na2 –+

II. O32 –

Al2O3; 2 Al3+

III. Cl22 –

MgCl2; Mg2+

A) I y II B) II y III C) solo I

D) solo III E) solo II

21. Indique el número de electrones que se trans-

fieren en total al formarse los siguientes com-

puestos. I. KCl

II. CaO

III. Mg3N2

A) 9 B) 8 C) 7

D) 5 E) 10

22. Respecto al enlace químico, indique la se-

cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F)de las siguientes proposiciones.

I. Al formarse siempre libera energía.

II. Cuanto mayor sea la energía de enlace, la

intensidad de enlace será menor.

III. Los electrones que participan son aquellos

que están muy cerca del núcleo atómico.

A) VVV B) VVF C) VFV

D) VFF E) FFF

23. Identifique la notación de Lewis para un ele-

mento X cuyo número de masa es 78 y el nú-

mero de partículas neutras es 44.

A) X B) X C) X

D) X E) X

24. Un elemento químico X del segundo periodo y

grupo IA se une con otro elemento Y del tercer

periodo y del grupo VIIA. ¿Cuál es la fórmula

química del compuesto formado?

A) XY 3B) X3 Y

C) XY

D) XY 2E) X2 Y



Química

Enlace químico II

25. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es inco-

rrecta?

A) En los compuestos covalentes, los átomos es-tán enlazados por compartición de electrones.

B) La unidad estructural básica de una sustan-

cia covalente se denomina molécula.

C) Entre dos elementos iguales solo puede exis-

tir un enlace simple.

D) En un enlace triple existen dos uniones pi.

E) En un enlace simple solo existe una unión

sigma.

26. ¿En qué compuesto el átomo central no cum-

ple con el octeto electrónico?

I. BF3

II. BeCl2 III. H2S

A) I y III B) II y III C) solo III

D) I y II E) todos

27. Respecto al formaldehído, H2CO, señale lasproposiciones incorrectas.

I. El carbono y oxígeno tienen octeto electró-

nico.

II. Presenta un enlace múltiple.

III. El oxígeno es el átomo central.

A) II y III B) solo III C) I y III

D) solo I E) solo II

28. En los siguientes compuestos, indique la se-

cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F)

según corresponda.

a. O3

b. CO2

c. HCN

I. En (a) hay 2 enlaces sigma y 12 electrones

no compartidos.

II. En (b) hay 4 electrones pi y 2 enlaces sigma.

III. En (c) hay un enlace simple y un enlace

múltiple.

A) VFF B) VFV C) VVV

D) FVV E) FFV

29. ¿Cuáles de las especies químicas dadas pre-

sentan enlaces pi?

I. CF2Cl2 II. SO2

III. CH3CHCH2

A) I y II B) II y III C) I y III

D) todas E) solo II

30. Se tiene el siguiente cuadro

Sustancia Fórmula Halle

Ozono O3 a=número de enlace sigma

Ácido clórico HClO3 b=número de enlace dativo

Acetileno C2H4 c=número de enlaces simples

Calcule a+b+c.

A) 5 B) 7 C) 12

D) 9 E) 8

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