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ACÚSTICALa acústica es la rama de la física que estudia el so-nido, entendiéndose por tal a la oscilación de un me-dio elástico en un intervalo de frecuencias a la que essensible un oído normal, es decir entre 16 y 20000 Hz .Un Hz (se lee Hertz) equivale a un ciclo por segundo(vaivén completo de ida y vuelta en ese tiempo).

Vibraciones y Ondas

Las deformaciones locales (perturbaciones) sobre unmedio material elástico y homogéneo creadas por al-gún agente excitador (el martillazo sobre el gong o elpellizco sobre la cuerda), se propagan por dicho mediodesde la zona perturbada inicialmente con una veloci-dad constante a lo largo del tiempo y del espacio, quedepende de las características y condiciones del mate-rial. A esta velocidad se la llama velocidad del sonidoen el medio en cuestión y en las condiciones dadas.

Si la excitación es periódica, o sea que se repite a in-tervalos de tiempo iguales T, se propagarán por el me-dio perturbaciones equidistantes llamadas ondas. Lasexcitaciones periódicas, (llamadas genéricamente os-cilaciones o vibraciones) se producen por cuerpos quevibran naturalmente de manera definida (cuerdas, dia-pasones, membranas, tubos, etc.), y que comunicanesas vibraciones al medio en los que están inmersos oen contacto. Son las fuentes de la excitación.

Las ondas forman en el medio en que se propagan untren que corre a la velocidad v del sonido propia delmedio, separadas con una distancia característica λllamada “longitud de onda”, que es la que separapuntos contiguos de igual apartamiento de la posiciónde equilibrio (elongación). La cantidad de ondas quepasa por un punto fijo del medio por unidad de tiempoes la frecuencia f = 1/T cumpliéndose entonces queλ= v.T = v/f . Las ondas se caracterizan también porsu amplitud, o sea por la distancia que recorre elpunto del medio desde su posición de equilibrio hastala de máximo apartamiento de ella (máxima elonga-ción).

Quede claro que en el fenómeno de propagación on-dulatorio, lo que se propaga es deformación o varia-ción de alguna otra cualidad (presión, densidad), nohabiendo transporte neto del material que compone elmedio.

En cambio las ondas conllevan energía. La potencia(o energía por unidad de tiempo) que transmite unaonda por unidad de superficie perpendicular a su di-rección es proporcional al cuadrado de su amplitud ya su frecuencia. Si el medio por el que se propaga unaonda no absorbe energía, la potencia del emisor ofuente se distribuye sobre la superficie abarcada por laonda. Así en una onda esférica espacial, la potencia sereparte en una superficie esférica proporcional al cua-drado de la distancia del centro, desde donde parte laexcitación producida por la fuente. Eso significa que sino hubiera pérdida de energía (por absorción en elmedio), la amplitud de las ondas esféricas sería inver-samente proporcional a esa distancia.

Cuando una sopranocanta en medio delescenario un la nor-mal (440 Hz) produceondas esféricas concentro aproximado ensu boca, que se pro-pagan a unos 340m/s , con una distan-cia entre ellas (entredos puntos de igualelongación que seancontiguos) igual a

340/440=0,773 m. En un disco plano que se excitaconvenientemente se establecen ondas bidimensio-nales planas, por ejemplo cuando se hace sonar un“gong”. Sobre la superficie curva de una campana gol-peada con el badajo, corren por la misma también on-das bidimensionales aunque no planas. Por último enun medio con una dimensión predominante, como unavarilla o una cuerda tensa excitadas convenientemen-te, se observan ondas a lo largo de ellas.

Las ondas pueden ser longitudinales o transversa-les, según que la perturbación del medio sea en la di-rección de la propagación o perpendicularmente a ella.Ello depende de las características de dicho medio yde la forma de la excitación. Por ejemplo, el sonido enla atmósfera está constituido por un movimiento devaivén de una masa de aire hacia adelante y haciaatrás de la dirección de propagación sea cuál fuere suforma de producción. En cambio, se producirán ondastransversales al aplicar una excitación conveniente so-bre medios que puedan transmitir esfuerzos de corte.Por ejemplo, haciendo oscilar sobre su eje a una esfe-ra rígida incluída en una masa de gelatina, se propaga-rán por ésta ondas transversales. Cuerdas, varillas yplatillos vibran transversalmente cuando son golpea-dos perpendicularmente a su dimensión predominante.Martillando la punta de una varilla, o pegando un esti-rón en en el extremo de una cuerda tensa, se lograránperturbaciones longitudinales de las mismas.

La propagación de ondas mecánicas en un medio fuéanalizada por el matemático y filósofo francés Jean leRond D’Alembert en el siglo XVIII, quién dedujo para elfenómeno una ecuación que sale de aplicar las leyesde la dinámica al movimiento de una cuerda tensa quese abandona libremente después de apartarla trans-versalmente de su posición de equilibrio. La soluciónmatemática de dicha ecuación (ecuación de la cuerdavibrante, de D’Alembert) se verifica para un movi-miento periódico en el tiempo y en el espacio, es decirque representa a una perturbación que corre a unavelocidad determinada. En el caso de la cuerda, lasecuaciones indican que el cuadrado de dicha velocidades proporcional a la tensión aplicada e inversamenteproporcional al peso específico. En un gas, la veloci-dad del sonido está ligada a la presión. Aplicada a laelectricidad por James Clerck Maxwell en el siglo XIX,la ecuación de D’Alembert indicó que las variacionesde campo eléctrico están asociadas a las de campomagnético, y que ambas se propagaban por el espaciovacío a la velocidad de la luz.

λ = 0,77 m

LA “PRIMA DONNA” CANTA UN “LA” NORMAL

2Ecuación de D’Alembert

Consideremos un pequeño trozo de longitud dx de una cuer-da de densidad δ=dm/dx sometida a la tensión T. Cuando lacuerda está vibrando transversalmente, cada punto de lacuerda posee una elongación y (x,t).

La condición de equilibrio exige que las fuerzas de inerciaigualen a la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas alelemento de cuerda. Así, siendo ∂2y/∂t2 la aceleración del

elemento de cuerda de masa dm, deberá cumplirse que

dT+dP = ∂2y/∂t2.dm = ∂2y/∂t2.δ.dx [1].

Para una cuerda liviana es P<<T lo que nos autoriza a des-preciar dP frente a dT Considerando además que su direc-ción no se aparta mucho de la horizontal (α pequeño) y que elmódulo de la tensión T se mantiene en toda su longitud, es:

dT=T [(sen(α)-sen(α+dα)], [2]

y ya que α es pequeño se verifica que

sen(α) ≈ α ≈ tg(α) , de donde

dT = T.dα = T.d [tg(α)].

Por el significado geométrico de la derivada resulta quetg(α)= ∂y/∂x , de donde dT=T.d(∂y/∂x) [3]

De [1] y [3] es ∂2y/∂x2 = δ/T . ∂2y/∂t2 [4]

La [4] es una ecuación en derivadas parciales que se verificapara y=f(x+vt)+g(x-vt), con f y g cualquiera y v =(T/δ)½ ,que como sabemos representa a dos ondas f y g de cualquierforma, la f que avanza en el sentido de las x positivas y la gen sentido contrario, ambas a la velocidad v.

En efecto, reemplazando la solución en la ecuación diferen-cial [4] es:

∂y/∂x = (∂y/∂f) ∂f/∂x + (∂y/∂g). ∂g/∂x = (∂y/∂f) + (∂y/∂g)

∂2y/∂x2 = ∂2y/∂f 2 + ∂2y/∂g 2 [5]

∂y/∂t = (∂y/∂f) ∂f/∂t + (∂y/∂g). ∂g/∂t = [(∂y/∂f)-(∂y/∂g)].v

∂2y/∂t2 = [∂2y/∂f 2 - ∂2y/∂g2] v2 [6]

de [5] y [6] resulta

∂2y/∂x2 = 1/v2 . ∂2y/∂t 2 [7]

que comparada con la [4] nos da v2 =(T/δ)

Las perturbaciones sufren reflexión en el lugar en queel medio por el que se propagan presenta una discon-tinuidad o cambio de características. (véase impe-dancia, más adelante). Por ejemplo, en la cuerda de lafigura la perturbación llega al extremo fijo, y allí se re-fleja cambiando de dirección y con una forma simétricaa la de incidencia. El extremo fijo puede considerarsecomo un medio imposible de perturbar en razón de suenorme masa. La amplitud de la onda reflejada (queen este caso se mantiene igual) así como el sentido de

la perturbación (en sentido contrario en el caso des-cripto) dependerá en general de cuán rígido es el me-dio en que se refleja. Si el otro medio no es absoluta-mente rígido, además de una onda reflejada de menoramplitud en sentido contrario, progresa una ondatransmitida en el nuevo medio, también con menoramplitud.

En la transmisión la onda mantiene la fase, esto es elsentido de la elongación de la onda incidente. En cam-bio en la reflexión hay cambio a fase opuesta si, comoen el caso de la cuerda del ejemplo, el medio cambia auno de mayor masa específica. Si en cambio se pasade un medio a otro menos denso, la perturbación re-flejada mantiene el sentido de su elongación.

El principio de conservación de la energía exige quela suma de los cuadrados de las amplitudes de ondareflejada y transmitida sea igual al cuadrado de la am-plitud de la onda incidente en la interface entre ambosmedios. Desde ya que la frecuencia se mantiene igual.

Impedancia

Las características de transmisión de ondas de un me-dio vibrante se miden a través de la relación entre laacción que origina una perturbación y la velocidad delas partículas del medio que ésta produce (no confun-dir con la velocidad de propagación de las ondas).Esta relación se llama impedancia del medio. En casode ondas esféricas, la acción es la presión por unidadde superficie y la velocidad es la de la masa de fluídoque pone en movimiento dicha diferencia de presión.En el pasaje de ondas de un medio a otro, la diferenciade impedancias determina que la onda se refleje máso menos. Si las impedancias son iguales, no hay refle-xión y si transmisión total.

Vibración de cuerpos

En los cuerpos vibrantesde extensión limitada, lasondas progresivas quevienen de la zona excita-da (fuente) se componencon las ondas regresivasreflejadas en los bordes.Esta composición se hacede acuerdo al principio desuperposición de movi-

mientos independientes, sumándose algebraicamentesus amplitudes punto a punto e instante a instante. Sila reflexión es de la misma intensidad que la incidente,es decir que en el extremo no hay transmisión, la com-posición puede producir una resultante nula en ciertos

arco de violín

arena fina

placa

soporte

la perturbación se desplazamanteniendo su forma

y se refleja cambiandode sentido y con

velocidad contraria

PROPAGACIÓN DE UNA PERTURBACIÓNTRANSVERSAL EN UNA CUERDA TENSA

se crea una perturbación enun extremo fijo

llega al otro extremo fijo

dx

dyα

dαT’

T T

dT

T’

T

T dT=(d2y/dt2).δ.dx

3lugares, en los que el medio no vibrará y que se ca-racterizarán por su quietud permanente (nodos). Entredos nodos consecutivos hay un lugar de máxima am-plitud (vientre).

En estas condiciones, no se observa una propagaciónde perturbaciones propiamente dicha, sino un estadoestacionario en que todos los puntos entre nodos vi-bran al unísono, aunque con diferentes amplitudes. Lamanera de sujeción del cuerpo impone restricciones almovimiento, fijando las condiciones de los borde o ex-tremos. Un borde fijo con un soporte que pueda girarimpone un nodo en ese extremo (cuerda). Un empo-tramiento en un extremo (varilla en la morsa) imponeno sólo la inmovilidad del extremo, sino también su di-rección. Un extremo libre (cadena que pende) suponereflexión sin cambio de fase. Se comprende así quepara que se produzcan tales ondas estacionarias esnecesario que la distancia desde la fuente al borde y alos puntos fijos esté en relación con la longitud de on-da.

Un cuerpo que puede vibrar presenta así varios mo-dos de vibración, tantos como maneras en que sepuedan acomodar en él ondas estacionarias. Cuerdas,varillas, campanas y tambores que sean asiento deondas estacionarias, son fuentes de vibraciones cuyasfrecuencias estarán regidas por sus dimensiones, mo-do de sujeción y características del material. Se puedever cómo vibra una placa plana cuadrada cubierta dearena fina en su superficie. Ésta se acumula en las zo-nas nodales, que están determinadas por el lugar deexcitación (con el arco) y la manera de sujeción (so-porte central y dedo en un vértice).

Armónicos

Los cuerpos pueden vibran en varios de sus modos devibración simultáneamente, aunque generalmente condiferente amplitud. De la cuerda de la figura se handibujado tres modos posibles de vibración, que puedencoexistir. Cada uno de ellos producirá una nota simpleo armónico. Al armónico de menor frecuencia (que co-rresponde a λ1) se lo llama tono fundamental. Produceun sonido de frecuencia f1= v/λ1 , siendo v la velocidaddel sonido en la cuerda, que se mantendrá constantemientras lo sea la tensión producida por la pesa. El to-

no armónico que le sigue, correspondiente a λ2, gene-ra una frecuencia doble al fundamental, ya que λ1=2.λ2Se lo llama “segundo armónico”. Vibrando con el tercerarmónico (tercer dibujo, empezando a contar desdearriba), la cuerda produce un sonido de frecuenciaf3=3.f1 . El cuarto dibujo representa un modo de vibra-ción combinado de fundamental y segundo armónico.De hecho las cuerdas de los instrumentos al ser toca-das producen notas que contienen además del funda-mental, tonos armónicos superiores de amplitudes de-crecientes con el orden de los mismos. La cantidad eintensidad de los mismos caracteriza el timbre del ins-trumento, cualidad del sonido característica por la quese reconoce un instrumento musical o en general unafuente determinada.

Resonancia

Cuando un cuerpo que puede vibrar es alcanzado poralguna onda de frecuencia cercana o coincidente conalguna de sus frecuencias propias, comienza a vibraren esa frecuencia. Se dice que el cuerpo “resuena” .La resonancia refuerza pués el sonido excitador. Lascajas de los instrumentos de cuerdas y los tamboresde los de percusión ofician de resonadores, al poten-ciar el sonido de los elementos vibratorios (cuerdas yparches). Los ambientes de paredes reflectoras tam-bién ofician de resonadores de los sonidos que se ge-neran en su interior (por ejemplo la resonancia del ór-gano en una iglesia). La resonancia acústica es un ca-so especial de la que se produce en todo sistema quepueda oscilar en una serie de modos discretos.

Veremos que el oído es capaz de detectar sonidosporque tiene en su interior órganos (fibras de Corti)que pueden resonar a distintas frecuencias, transfor-mándose su vibración en impulsos que corren hacia elcerebro por el nervio auditivo. Ocurre en él lo que enun piano, cuando cantamos una nota dentro de su ca-ja: si las cuerdas del arpa están libres (apretar el pedalque separa las almohadillas de fieltro sobre las cuer-das), la cuerda que corresponde a la nota cantada co-mienza a vibrar.

Los cuerpos que no presentan resonancia es porqueno tienen un modo definido de vibración, o que dichomodo está a una frecuencia muy diferente a la de laexcitación que reciben. En tal caso, pueden transmitir,reflejar o absorber al sonido, en una proporción quedepende de la naturaleza de sus materiales, dimensio-nes y superficies. Por ejemplo, una pared rígida y lisarefleja gran parte del sonido y el resto lo transmite, ab-sorbiendo muy poco. En cambio lo absorbe en granmedida si la cubrimos con un tapiz mullido.

Respuesta a frecuencia

La amplitud que puede alcanzar el sistema resonanteante una excitación está limitada sólo por la pérdida deenergía. Si ésta es escasa, es decir si el sistema vibracon poco amortiguamiento, la resonancia se produceen un intervalo muy estrecho alrededor de la frecuen-cia propia. La amplitud puede alcanzar valores muysuperiores a los de la excitación. Si el sistema pierdemucha energía a cada oscilación (muy amortiguado),

MODOS DE VIBRACIÓN DE DIVERSOS OBJETOS

λ/4

λ/2

3/2 λ3

λ1/2

λ2

Cuerda vibrando en el modofundamental más el segundo

armónico

4la resonancia es de menor amplitud y se produce enun intervalo de frecuencias más amplio.

Veremos que enrazón de la formade respuesta loga-rítmica que tienennuestros sentidos,se adopta comomedida de la am-plificación de unsistema al logarit-mo decimal de larelación entre po-tencias de entradade salida, a la quese llama ganancia. La forma de responder que tieneun sistema a una determinada excitación se ve en lafunción ganancia versus frecuencia. En la figura se re-presenta dicha función para un parche de tambor con ysin caja de resonancia. Las frecuencias de resonanciay de corte caracterizan el sistema. A la frecuencia deresonancia corresponde la ganancia máxima. A la fre-cuencia de corte la potencia de salida se reduce a lamitad, y corresponde a una atenuación (ganancia ne-gativa) de 3 dB , puesto que es 10-0,3≅1/2

Audición

La sensación que producen las ondas sobre el oídose llama audición. La sensación auditiva responde ala potencia del tren de ondas incidente en el oído se-gún leyes no lineales, cuya simplificación más conoci-da es la de Weber-Fechner. Según dicha ley, que ri-ge aproximadamente no sólo para el oído sino para losotros sentidos, un incremento en la excitación dP creaun incremento de sensación dS que depende de lasensación S preexistente. En el caso del oído, la exci-tación P se mide por la potencia por unidad de super-ficie de la onda sonora que incide en el mismo. Se en-tiende así que el oído se va endureciendo a medidaque crece la excitación recibida, constituyendo ello unacaracterística muy conveniente que le permite soportarenormes rangos de potencia incidente traducida enrangos de excitación mucho más comprimidos. Mate-máticamente, lo anterior se expresa en la ecuación:dS = S.dP , de donde ln P = S + ln Po , siendo Po lamenor potencia a la que es sensible el oído, debajo dela cual no hay audición. Para un oído normal, esteumbral vale Po=10-12 W/m2

Se valora convenientemente la potencia de un sonidoa través de la sensación que produce en escala loga-rítmica, con la relación log10 (P/Po) = S . Se asigna aesa ganancia decimal una unidad llamada Bell (en ho-nor a Alexander Graham Bell, inventor del teléfono). Laganancia con relación al umbral auditivo es pués unamedida adecuada de la potencia del sonido, tomandocomo patrón al oído normal. Así el umbral de audicióntiene un valor de 0 Bell, ya que para P=Po es S =log10(1) = 0 . Se usa preferentemente un submúltiplodel Bell, el deciBell (dB), que vale 0,1 Bell

Un nivel de sensación de 70 dB (7 B) es tolerable sinmolestias para el que escucha. Esto corresponde auna potencia específica de la onda sonora correspon-

diente a P = Po.107 = 10-5 W/m2. Más allá de este valorlas normas internacionales de higiene exigen el uso deprotectores auditivos (orejeras) para preservar el oídode un nivel lesivo.

Un equipito portátil de sonido que emita una potenciasonora Pot = 5 W uniformemente en todas las direc-ciones, debería así escucharse a una distancia no me-nor a r tal que se cumpla que Pot/(4.π.r2)=10-5 , dedonde r = 200 m. ¡Pensar que en una discoteca nues-tros jóvenes están a pocos metros de parlantes queemiten potencias a veces muy superiores a los 100W!

Producción, propagación, absorción ydetección del sonido

El sonido se produce pués por las vibraciones de loscuerpos materiales (cuerdas, varillas, tubos sonoros,etc.) que se llaman así genéricamente fuentes. Setransmite a través del medio elástico que rodea a lasfuentes, de ordinario un fluído (agua, aire), aunquetambién el medio puede ser un sólido (las paredes).

Los medios materiales por los que se propaga el soni-do no son perfectamente elásticos. Gases, sólidos y lí-quidos presentan resistencias internas molecularesque absorben energía sonora transformándola en ca-lor. Así, el sonido se va extinguiendo con la distanciaa la fuente, porque eventualmente se va distribuyendoen una superficie cada vez mayor, pero además por-que el medio va absorbiendo energía. Consideremosla propagación de la onda en una cuerda homogéneade sección constante y longitud l, que vibra en el va-cío. Sea P la potencia que incide en el punto de longi-tud l. El material de la cuerda absorbe una potenciaproporcional a la longitud l y a la potencia incidente, detal manera que se cumple -dP=k.P.dl y entoncesP=Po.e-kl. O sea que la onda se va amortiguando ex-ponencialmente con la distancia al origen, en el quetiene una potencia Po. El coeficiente de absorción kdepende del material de la cuerda. En el caso de unacuerda de piano, de acero muy resistente y elástico, ktiene valores muy pequeños. Sin embargo, a lo largode repetidas idas y venidas la onda se va debilitando,en parte porque se consume energía dentro del acerode la cuerda, pero fundamentalmente porque éstatransmite energía al aire que la rodea que no es re-puesta si no se martillea nuevamente la tecla.

El oído humanoDespués de saber cómo es y cómo funciona ese maravillosoinstrumento con el que Dios nos ha dotado, quizás estemosmás inclinados a valorarlo y cuidarlo, permitiendo que sóloentren en él sonidos en calidad y cantidad acordes con tantaperfección. Me refiero a la música y a las palabras cuyo con-tenido y tono nos ayuden a comprender, estudiar, conocer,deleitarnos, emocionarnos sanamente, y nunca a aturdirnos oconfundirnos, que para eso fuésemos mejor sordos.

<--- Haciendo doble clic en el ícono,sabremos la respuesta a frecuencia denuestro oído. ¡Probémoslo!

El oído es el órgano de la audición y también delequilibrio, como veremos a continuación. Está situadodentro del cráneo, como si el hueso temporal hubiera

0,1

1

10

100

P/Po

0

10

20

dB

Hz200 300100 400

Respuesta a frecuenciade un parche de tambor

frecuencia deresonancia

-10

-3

frecuencia de corte

0,5

con caja deresonancia

sin caja deresonancia

Sonido.exe

5sido excavado ex profeso para alojarlo debidamente.En ese estuche óseo se alojan los órganos del oídoprotegidos por un acolchado de una sustancia viscosa,la perilinfa, según se muestra en el dibujo esquemáticoque acompaña el texto.

Se distinguen del oído tres partes: el oído externo, elmedio y el interno.

El oído externo comprende la oreja y el conducto au-ditivo que termina en el tímpano. El sonido que llega alpabellón u oreja es orientado y concentrado sobre elconducto, que desemboca en el tímpano, una mem-brana flexible y hermética que separa el oído exteriordel oído medio. Debido a sus dimensiones, el conductoauditivo resuena a una frecuencia de alrededor de3000 Hz, reforzando así los tonos de la palabra y lamúsica. El pabellón de la oreja, en cambio, sólo reflejahacia adentro frecuencias más altas, como las quecomponen los ruidos. El tímpano, de estructura pareci-da al cono de un parlante, tiene una frecuencia propiadel orden de lo 2000 Hz, aunque muy amortiguada, porlo que responde a una amplia gama de frecuencias.

No es el oído un aparato de alto rendimiento, pués dela potencia incidente aprovecha menos del 1%, refle-jando el resto. Lo que capta en intensidad y rango defrecuencia es sin embargo suficiente para un estímuloadecuado del nervio auditivo, que transforma vibracio-nes en impulsos electroquímicos enviándolos al cere-bro. Allí es donde la vibración recogida se interpretadebidamente como voz, sonido o ruido, y también mo-vimiento y posición.

En el oído medio existe una cadena cinemática de treshuesillos delicadamente balanceados, que transmitenlos minúsculos movimientos del tímpano al medio lí-quido que llena el oído interno detrás de la ventanaoval (perilinfa). Los huesillos son el martillo, que apo-ya en la cara interior del tímpano, el yunque (huesointermedio) y el estribo (por su parecido con el estribode montar), que apoya en otro diafragma llamado ven-tana oval. Martillo y yunque están vinculados a la ca-vidad ósea por sendos músculos, que regulan la pre-sión entre los huesos de acuerdo a un reflejo operadopor la intensidad de la sensación auditiva. Así aflojansu acoplamiento mecánico ante intensos estímulos, ylo ajustan al prestar atención. La relación de palancadel sistema óseo es de 1,7 veces, y varía levemente

por el ajuste de los músculos mencionados, aumen-tando en estado de atención. La vibración del tímpanoproduce ondas de presión en el aire que llena el oídomedio. La presión interna del oído medio se compensacada vez que tragamos saliva o bostezamos por latrompa de Eustaquio, que comunica la cavidad con lafaringe.

El oído interno está formado por un circuito de con-ductos y sacos, que se dividen en tres partes: el vestí-bulo (con sus dos cavidades, el utrículo y el sáculo), lacoclea o caracol, y los conductos semicirculares.Estas unidades anatómicas se alojan, como se dijo,dentro de otras tantas cavidades en el hueso y sepa-radas de él por la perilinfa. Sus interiores están ocupa-do por otro líquido acuoso llamado endolinfa. Amboslíquidos, prácticamente incompresibles, son de natu-raleza diferente: la perilinfa es más viscosa y densa,similar al líquido encéfalo raquídeo, o al humor acuosodel ojo; la endolinfa es similar al plasma sanguíneo. Elinterior del oído interno está tapizado por varios tiposde células sensibles, prolongaciones del nervio auditi-vo en sus dos ramas: la coclear o auditiva propia-mente dicha y la vestibular o del equilibrio. La cocleao caracol es un conducto en forma de espiral en elque, como se ha dicho, terminan las fibras del nervioauditivo especializadas en transmitir las sensacionessonoras. Esas terminaciones son ramilletes de fibrasde distinto largo (fibras de Corti), que resuenan a susdiferentes frecuencias propias, cubriendo el rango au-ditivo normal (de 16 a 20000 Hz). Los conductos semi-circulares son tres tubos curvos orientados en planosperpendiculares entre sí. Cuando la cabeza está er-guida, uno de ellos está en el plano horizontal mientrasque los otros están en planos verticales a 90º. En elvestíbulo, cerca de los conductos semicirculares, sealojan las terminaciones del nervio auditivo que trans-miten la información sobre posición y movimiento re-querida para la orientación y el equilibrio de la perso-na, de acuerdo a efectos inerciales y gravitatorios so-bre la endolinfa que los llena, y sobre pequeños cris-tales de sales cálcicas, llamados otolitos, que oficiande resonadores.

El oído interno está separado del oído medio por dosdiafragmas que están bañados por la perilinfa: son laventana oval sobre la que apoya el estribo, y la ven-tana redonda, que cede con las variaciones de pre-sión del medio incompresible. Se produce así dentrode los fluídos del oído una oscilación de amplitud mi-núscula (se estima inferior al micrón) de la misma fre-cuencia que la de la excitación sobre la ventana oval.Las ondas de presión del aire en el oído medio llegancasi al unísono sobre las ventanas oval y redonda. Allíse reflejan en gran parte, ya que membranas y líquidosubyacente son de densidad mucho mayor que el aire(impedancias muy distintas). Por lo tanto, se puedeconsiderar que normalmente el estímulo llega al oídointerno casi exclusivamente por vía del efecto mecáni-co transmitido desde el tímpano por la cadena de hue-sillos. Sin embargo, en razón de la menor superficie dela ventana redonda frente a la oval, la resultante depresión sobre el líquido del oído interno no es nulaaunque no se tuviera en cuenta la acción potenciadoradel tímpano y la cadena de huesillos. Esto significaque en caso de lesión que impida la acción de éstos, el

canalessemicirculares

estriboyunquemartillo

tímpano

conducto auditivoexterno

trompa de Eustaquio

ventana oval

ventana redonda

terminaciones del nervio auditivorama coclear y rama vestibular

caracol ococlea

vestíbulo

perilinfaendolinfa

6oído aún puede percibir sonidos que lleguen directa-mente a su parte media a través del aire, pero con unumbral mucho más elevado que un oído normal (apro-ximadamente 60 dB)

Recordatorio físico-matemático:

Oscilaciones o vibraciones

Oscilación y vibración son prácticamente sinónimos,aunque el lenguaje común reserva la segunda parareferirse a oscilaciones de frecuencias sonoras. En eltexto se usarán con este significado.

Se estudia en los tratados de mecánica el movimientooscilatorio armónico, definiéndolo como el de la pro-yección y sobre un diámetro del extremo de un radio-vector de longitud A que gira con velocidad angular ωconstante. Matemáticamente la elongación y (aparta-miento de la posición media) que tiene el punto en uninstante t viene dado por y=A.sen(ω.t) . A viene a ser

la amplitud del movimiento oscilatorio amónico y α=ω.tes el ángulo de giro instantáneo (o ángulo de fase)que corresponde al tiempo t. La frecuencia f del movi-miento, o sea las veces que se repite la oscilación enla unidad de tiempo, coincide con la cantidad devueltas que en el mismo tiempo ejecuta el radiovector,o sea f=α/t/(2π)=ω/(2π)

Ondas

Vimos que se llama ondas a perturbaciones de cual-quier forma que se repiten a intervalos regulares, for-mando un tren o seguidilla, que se desplaza a ciertavelocidad. A veces se llama onda (en singular) a unaperturbación aislada, como cuando se dice que “elpunto es alcanzado por una onda” . Esto se notará porel sentido de la oración. Las ecuaciones que repre-senten a un fenómeno ondulatorio deben contener lainformación necesaria para saber la elongación de to-dos los puntos del medio en cualquier instante, es de-cir que deben contener además de la variable “tiempo”,la variable “posición”. Así una onda unidimensional,como la que recorre un cable tenso a velocidad +v enla dirección de las x positivas, será de la formay=f(x+vt). Una onda en sentido contrario podría ser dela forma y=g(x-vt) . Las funciones f y g serían igualesen el caso de una onda reflejada, que como sabemos,mantiene su forma. (ver “Ecuación de D’Alembert”)

La onda más simple es la senoidal, cuya ecuación esy = A.sen (ωt+2πx/λ). Representa una sinusoide deamplitud A y longitud de onda λ, que avanza sin cam-biar de forma en el espacio a velocidad v=λ.ω/2/π , conlo que queda y= A.sen [2.π/λ (x+vt)]

La ecuación precedente da la elongación y correspon-diente a la coordenada x (distancia al origen x=0) en elinstante t (medido a partir de un cierto instante t=0).

Composición de ondas

Se dijo antes que la composición de dos movimientososcilatorios armónicos cumplía con el principio de su-perposición, por el que se sumaban elongacionespunto a punto y momento a momento. Así pués, unpunto del medio que sea solicitado simultáneamentepor dos ondas diferentes, vibrará con un movimientocompuesto de la manera anterior. Dos ondas interfie-ren de manera distinta según sean de igual o distintafrecuencia, y de igual o distinta dirección. La superpo-sición de ondas de distinta frecuencia es importantecuando éstas son múltiplos entre sí, porque dan unaonda de forma definida y constante. Ya vimos quecuando son de igual frecuencia, dirección e intensidad,la superposición da como resultado una resultante nulaen ciertos puntos fijos llamados nodos, en los que laselongaciones de cada una de las ondas son de igualmagnitud y sentidos opuestos (diferencias de fase deun número impar de veces 180º)

Batimiento

El batimiento o pulsación es un fenómeno que resultade la composición de dos movimientos vibratorios defrecuencias muy próximas. Los que afinan instrumen-tos lo emplean para igualar exactamente dos tonos.Tómese por ejemplo una guitarra y tóquese simultá-neamente la misma nota en dos cuerdas vecinas. Sepercibe así un sonido reforzado del que produciría unasola cuerda. Desafínese ahora ligeramente una de lascuerdas y se percibirá un sonido con refuerzos y de-biltamientos periódicos. Es el batimiento o pulsación.

La frecuencia propia del batimiento es igual a la dife-rencia de frecuencias entre los dos sonidos. En la figu-ra se puede observar la composición de dos ondas(roja y azul). La onda azul tiene una frecuencia ligera-mente superior a la roja, a la que adelanta en un ciclocada dieciséis. La suma de ambas da una onda deprácticamente la misma frecuencia con refuerzos pe-riódicos cada dieciséis ciclos. Cuando las ondas tienenla misma amplitud, como es este caso, el debilita-miento periódico es total, o sea que se extingue el so-nido entre dos máximos.

Formas de onda

Además de energía,una onda lleva infor-mación. La manerade transportar infor-

ω.tt

y=A sen(ωt)A y 2π

/ω

3π/ω

π /ω

0

BATIMIENTOO

PULSACIÓN

7mación más común y rápida (radio, televisión) esmontar el mensaje sobre ondas electromagnéticasportadoras simples. El mensaje o “señal” (palabra, mú-sica o pulsos digitales que conforman órdenes e imá-genes), está impreso en ondas de forma compleja ycambiante, como la que muestra el osciloscopio de lafigura. Veremos luego cómo funcionan éste y otrosaparatos registradores e inscriptores del sonido y delas señales en general

Gracias a los trabajos de Jean Baptiste Fourier en elsiglo XVII, está demostrado que se puede construiruna onda de prácticamente cualquier forma con unasuma de una serie de ondas más simples, todas delmismo tipo y de frecuencias múltiplos de la funda-mental. La cantidad de términos de esta serie y lasamplitudes de cada uno dependen de lo complicadaque sea la forma de la onda de que se trate.

En particular, Fourier estudió las series de senos y cosenoscomo funciones básicas. Luego vinieron otros (Legendre,Tchebichev, Hermite, Haart), que encontraron otras formasbásicas o “madres”, con las que podían componer tambiéncualquier forma de onda. La elección del tipo de madre másapropiada depende de la forma que se quiere reproducir. On-das suaves y redondeadas se construyen bien con un numerodiscreto de armónicos sinusoidales. En cambio, para funcio-nes con picos y discontinuidades (saltos) requieren un grannúmero de términos de senos y cosenos. Conviene usar enestos casos madres también abruptas, como las propuestasrecientemente por Haart. La conveniencia reside en un menornúmero de términos para llegar a una forma muy aproximadaa la original.

Esta posibilidad permite también afirmar la proposiciónrecíproca, a saber: Se puede descomponer una ondade forma cualquiera en una serie suma de términos defunciones simples.

Todas esas funciones simples deben cumplir una condiciónmatemática ineludible para que permitan un desarrollo que seajuste lo mejor posible a la forma real, y es que multiplicadasentre sí dos cualesquiera diferentes den producto nulo en elintervalo de longitud de onda básico. Por analogía con dosvectores perpendiculares, cuyo producto vectorial es nulo, lasfunciones básicas usadas para representar otras funcionesmás complicadas se dicen “ortogonales” entre sí en el inter-valo de representación.

Descomposición en armónicos

En acústica se emplean las funciones básicas sinusoi-dales sen(nx), cos(nx), (con n=1,2,3...) empleadas porFourier para resolver problemas de distribución de ca-lor en los cuerpos.

Este grupo es ortogonal en el intervalo 0-2π, ya que:

o∫ 2π sen (n1.x).sen(n2.x).dx=0 si n1≠n2

La integral anterior es el producto vectorial de las funcionessen (n1.x) y sen(n2.x), que simbolizaremos más abreviada-mente como sen (n1.x) * sen(n2.x)

La serie de Fourier permite aproximar eficientementecon relativamente pocos armónicos la forma de ondassonoras de instrumentos y voz. Esto se debe que estetipo de fuentes vibran, según ya se explicó) con mo-dos definidos sunusoidales, que se superponen dandoel sonido más o menos complejo que los caracteriza(el timbre)

Por ejemplo, tratemos de construir una onda cuadra-da, con medio ciclo de amplitud constante positiva y elotro medio de la misma amplitud pero negativa. Des-pués de probar un poco, veríamos que conviene usarcomponentes de frecuencias impares.

Así, con sólo tres ondas llegamos a poder formar algoque se va acercando a la cuadrada: la onda en trazonegro grueso de la figura es la superposición de tresondas de frecuencias impares: la fundamental en azul,la tercera armónica en rojo y la quinta armónica enverde. Las amplitudes van decreciendo con el gradode la armónica. En el ejemplo, todas las armónicasarrancan en fase con la fundamental. Con más armó-nicas impares de amplitud conveniente se podría acer-car la resultante a una onda cuadrada.

No es sin embargo por tanteos que se llega matemáticamentea la mejor combinación para una forma dada, sino aprove-chando la condición de ortogonalidad de las funciones ma-dres elegidas. Este procedimiento se describe sucintamente acontinuación, remitiendo a los interesados en profundizar eltema a los libros especializados de series ortogonales.

Sea F(x) la ecuación de la forma que se quiere representarcon un sistema ortogonal f0,f1,f2,f3...fn . El desarrollo que sepropone es F(x) = C0.f0 + C1.f1 + C2.f2 +...+Cn.fn. Para encon-trar los coeficientes C0, C1, C2,..Cn, , se aprovecha el hecho deque fi*fj=1 si i=j y fi*fj=0 cuando i≠j. Así, para hallar el coefi-ciente Ck se multiplican vectorialmente ambos miembros dela serie por fk, obteniéndose F(x)*fk = C0.f0*fk + C1.f1*fk +C2.f2*fk +...+Ck.fn*fk+....Cn.fn*fk . Del segundo miembro sóla-mente el término késimo es distinto de cero, y al ser fk*fk =1 re-sulta Ck= F(x)*fk . En particular, para la serie de Fourier com-pleja (que abarca senos y cosenos), dondefk(x)=eikx=cos(kx)+i.sen(kx), resulta Ck=o∫

2πF(x).eikx.dx

Los coeficientes de la serie de Fourier compleja, también sonnúmeros complejos. Su módulo da la amplitud del armónicocorrespondiente y su argumento, el ángulo de desfasaje ini-cial.

Espectro del sonido

El sonido, entendido como una mezcla de vibracionesarmónicas, puede descomponerse en ellas a través deprocesos físicos o matemáticos denominados de “aná-lisis armónico”. El oído posee un analizador armóniconatural en el órgano de Corti, que como vimos poseefibras que resuenan cubriendo la gama de frecuenciasentre 16 y 20000 Hz. Al igual que el oído, con una ga-ma de resonadores podríamos llegar a determinar lasarmónicas que componen un sonido, por ejemplo ha-ciendo incidir las ondas sobre una serie de cuerdasafinadas, y anotando cuáles entran a vibrar y con quéamplitud. Llevando estos datos en un gráfico de am-plitud versus frecuencia, se obtiene lo que se llama“espectro” del sonido incidente.

La Óptica nos enseña que la luz se separa en las vi-braciones simples que la componen gracias a que la

F o r m a c i ó n d e u n a o n d a c u a d r a d ap o r s u m a d e a r m ó n i c o s i m p a r e s

8velocidad de las ondas de luz en un medio transpa-rente son proporcionales a su longitud de onda. Elprisma hace de analizador armónico, transformando unrayo de luz blanca en un espectro de colores.

Matemáticamente se obtienen espectros de ondas decualquier forma sometiéndolas a operadores quetransforman la función amplitud-tiempo en la funciónamplitud-frecuencia o potencia-frecuencia. Dicha ope-ración es análoga a la que da el desarrollo en serie deuna función, pero extendiendo el procedimiento a fun-ciones de las que no se conoce su período. Éste es elcaso de una serie de datos meteorológicos o económi-cos, de los que se quiere conocer si tienen ciclos repe-

titivos. Para ello, el algoritmo de la Serie de Fourier,aplicable al análisis armónico de ondas de períodobien definido y constante, se extiende con el de laTransformación de Fourier a la obtención de espectrosde señales de período indeterminado.

El espectro sencillo de una onda como se ve en las figurascontiene sólo el módulo de los coeficientes de Fourier y no suargumento, por lo que no basta para reconstruirla. En efecto,las ondas 1 y 2, que poseen idénticas componentes, perodesfasadas en 0º y 180º respectivamente, dan el mismo es-pectro de módulos. Para completar la información, hace faltadar o bien el argumento de cada coeficiente complejo, o loque es equivalente, trabajar con la serie desdoblada en dossubseries: la de senos y la de cosenos, cada una con su coe-ficiente para cada armónico. Sin embargo, el dato del módulobasta en la mayoría de los casos de análisis de un sonidocompuesto.

Registro y reproducción del sonido

Se puede visualizar el sonido a través de la gráfica dela oscilación en el tiempo que realiza un punto del me-dio que vibra. Esa representación llamada oscilogra-ma muestra para el caso del sonido una curva periódi-ca, que puede ser armónica simple o compuesta, se-gún la manera de vibrar de la fuente, y de amplitudconstante o amortiguada, según que la fuente repongao no la energía perdida en cada oscilación.

Por ejemplo, para registrar el sonido de un diapasónque vibra en el modo fundamental según se indica enla figura, se le adosa a una de sus ramas un lápiz li-

viano, que imprime un trazo sobre el papel que se des-liza con movimiento uniforme. Se obtiene así una cur-va muy amortiguada (debido al rozamiento del lápizsobre el papel) que sin embargo mantiene la frecuen-cia propia del diapasón. Conociendo la velocidad rela-tiva de traslación v entre diapasón y papel, se puedecalcular la frecuencia f del sonido producido, contandoel número n de oscilaciones completas en una distan-cia d. Resulta así f=n.v/d . Si el diapasón fuera uno delos que se usan para afinar instrumentos, está calibra-do para producir 440 vibraciones por segundo (la3).Moviendo rápidamente el papel a razón de 1m/s po-dríamos contar en el registro n/d = f/v = 440 ciclos pormetro (aproximadamente medio ciclo por milímetro)

Los medios mecánicos de inscripción y eventualmentede reproducción del sonido se basan en recoger lasondas sonoras en una membrana que tiene adosadoun estilo o punta. Ésta inscribe (como el lápiz adosadoal diapasón) un oscilograma sobre una superficie rela-tivamente blanda, en forma de hélice sobre la genera-triz de un cilindro que gira sobre se eje (antiguo gra-mófono de Edison) o un espiral sobre la cara plana deun disco. Ese surco, endurecido convenientemente porfraguado, sirve para guiar por el mismo camino sinuo-so una punta parecida a la que le dió origen. Estapunta o “púa” movía directamente una membrana quetransmitía al aire la vibración (gramófonos de principiosde siglo). Se puede aún hoy escuchar estos registros,en los que distorsiones y ruido a la púa (ruido produci-do por frotamiento del estilo contra los gránulos delmaterial) se compensan ampliamente con la emociónde revivir grandes artistas. Con el advenimiento de laamplificación electrónica en las primeras décadas delsiglo XX, la púa movía la membrana de un teléfono(fonocaptor magnético) o presionaba un cristal decuarzo (fonocaptor de cristal), produciendo respecti-vamente variaciones de impedancia o diferencias depotencial eléctrico proporcionales a la elongación delsurco sinuoso.

La grabación moderna también reemplazó el uso debocinas y tubos resonadores con captores que tradu-cían la voz en señales eléctricas (micrófonos). Estaseran amplificadas mediante circuitos con válvulas ter-moiónicas. El disco de pasta (ebonita) de 78 rpm , quese acababan en menos de diez minutos, fué reempla-zado después de la segunda guerra mundial por dis-cos de plástico de grano fino menor velocidad (45 y33,33 rpm) y surcos más juntos, que duraban más demedia hora. Se pusieron luego de moda los magnetó-fonos, en los que la señal se traducía en valores pro-porcionales de la magnetización de un alambre o unacinta de material ferromagnético que corría entre lospolos de un electroimán. Este elemento servía tantopara imprimir la señal como para captarla. Los grandesrollos de cinta dieron paso a los de menor tamaño

O soave fanciulla,o dolce viso.....

GRABACIONES MUSICALES A PRINCIPIOS DEL SIGLO XX

78 rpm

A

t

onda compuesta

A

t

onda 1transformacióna espectro defrecuencias

A

t

fundamental

f1=ω1/2/π

A

t

2ª armónicaf2=2f1

f2=2f1

f

Aespectro

f2f1

A

t

onda 2

transformacióna espectro defrecuencias

9(cassettes) y menor velocidad gracias a la mejora enlos materiales magnéticos. Por último, en los setentaaparecieron los CD’s (discos compactos), en donde laseñal va impresa en pistas concéntricas de adentrohacia afuera, no ya como una variable continua sinodigitalizada en bytes. El sonido que va a ser grabadose sigue captando con un micrófono, que produce unaseñal analógica, esto es en forma de variable continua.Esa señal se amplifica y se muestrea, tomando su am-plitud a intervalos tan frecuentes como sea necesariopara poder luego reconstruir la onda a partir de esasmuestras discretas. El valor de cada muestra se tradu-ce a un número entero, que se pasa a binario. La re-producción de discos compactos se hace con un lectorláser especial que sigue los minúsculos trazos del laspistas en el CD, reflejándose o no según encuentre uncero o un uno. Los pulsos binarios del rayo reflejado setransforman en eléctricos y se envían a una computa-dora, que los decodifica y transforma en señal eléctricaanalógica. Las señales digitales de sonido se puedentratar con un software adecuado, que realce efectosdeseables o reduzca el ruido indeseable que se cuelaen las etapas analógicas del proceso de grabación.

Otras fuentes de sonido

Cuerdas

Ya se vió cómo por una cuerda tensa pueden despla-zarse perturbaciones que se reflejan en sus extremos,produciendo ondas estacionarias. El sonido que emi-ten las cuerdas depende pués de su longitud, masa ytensión a la que están sometidas.

Ejemplo: Se dispone de un trozo de alambre de acerode alta resistencia (σ proporcionalidad = 25 Kgf/mm2), de 1mm2 de sección y de poco más de 1 m de largo. ¿Sepuede construir con él un dispositivo que vibre a 5000Hz?

De acuerdo a la ecuación de D’Alembert la velocidaddel sonido en la cuerda de densidad lineal δ sometidaa tensión T vale v=(T/δ)½

Sostenida por ambos entremos, en la cuerda de lon-gitud L se puede acomodar una onda estacionaria delongitud λ=L/2, resultado de la interferencia entre unaonda progresiva y la onda reflejada, ambas de fre-cuencia f tal que v/f = λ

De tal manera es f = (T/δ)½ / (L/2) , de donde

T = f2.δ.L2/4

La densidad del acero es de 7900 Kg/m3. Como lacuerda tiene una sección de s=1 mm2 y una longitudde L=1m , posee un volumen:

V=s.L =10-6m2 x 1m =10-6 m3 , y una masa deM =V.7900 = 7,9 x 10-3 Kg

Entonces es δ=M/L=7,9 x 10-3 Kg/m

La tensión T necesaria para que la cuerda vibre a lafrecuencia f=5000 Hz valdrá:

T=(5000.1/s)2.(7,9x10-3 Kg/m).(1m)2/4=390 Kg.m/s2 [N]

Respuesta: NO, porque el alambre sometido a laenorme tensión necesaria de 390 N estaría fuera dellímite de proporcionalidad del material, hasta el cual elalargamiento es proporcional a la tensión. es deciraproximadamente a los 25x9,8 = 245 N/mm2.

A esta tensión que no es aconsejable superar, la cuer-da vibrará a una frecuencia límite de:

f = 2/δ/L.(T)½ = 2/(7,9 x 10-3)/1.(245)½ =3963 Hz (algomás de una la5)

Tubos sonoros

Al igual que una cuerda, lacolumna de gas contenidadentro de un tubo puede vi-brar de diferentes formas omodos, generando sonidosde distinta frecuencia. Elsoplo que se introduce enun extremo a través de unaboquilla es interceptado porel borde afilado, saliendohacia afuera y hacia aden-tro del tubo en rápida suce-sión. Se generan así per-turbaciones en una ampliagama de frecuencias, cuyovalor promedio depende dela velocidad de la corrientede aire que ataca el borde afilado. De todas esas fre-cuencias resuenan en el tubo las que corresponden aondas estacionarias que se acomodan a las condicio-nes de los bordes o extremos. Tanto en el tubo abiertocomo en el cerrado, hay un vientre a la altura del bordeafilado, ya que allí se genera la perturbación. En elabierto es de esperar que haya un vientre en el extre-mo superior, considerando que allí el gas puede vibrarlibremente. (En rigor el vientre está un poco más haciaafuera del borde abierto, donde la influencia de éste nose hace sentir). Se pueden acomodar así en un tuboabierto un número entero de medias ondas tal queL=k.λ/2 , con k=1,2,3... La frecuencia del sonido emiti-do será f = v/λ = k.v/2/L siendo v = velocidad del soni-do en el medio gaseoso que llena el tubo. Si éste esaire en condiciones normales será aproximadamentev=340 m/s. Para que un tubo abierto de órgano pro-duzca como sonido fundamental un la3 (f=440 Hz) de-berá tener un largo mínimo (k=1) de L = k.v/2/f =340/2/440 = 0,386 m. Aumentando la velocidad del ai-re, se enriquece en frecuencias más altas la perturba-ción en el borde afilado, y la resonancia se producepara k>1, produciendo el tubo sonidos de frecuenciasmúltiplos de la fundamental (armónicos) . En un tubocerrado, que tiene un nodo en su extremo superior, sepueden acomodar un número impar de cuartos de on-das, es decir L=(2k+1)λ/4, de donde f = v/λ =(2k+1).v/4/L . Para producir el mismo sonido de antes,se debe usar un tubo cerrado de por lo menos (k=0)una longitud de L= (2k+1).v/4/f = 340/4/440 = 0,193 m,es decir la mitad de longitud del abierto. Por tal motivo,abriendo un tubo cerrado, éste producirá una nota deldoble de frecuencia, es decir una octava más alta. Lostubos, como la mayoría de los instrumentos musicales,no dan un sonido puro, sino que éste contiene armóni-

L

10cas cuyo número e intensidad depende principalmentede la velocidad del aire sobre el borde afilado y en me-nor medida de cómo vibran las paredes del tubo. Estacontribución es importante en tubos de paredes metá-licas, que le dan al instrumento un timbre especial. Lostubos de madera gruesa vibran poco y contribuyen es-casamente a caracterizar el sonido emitido por la masagaseosa.

Ruido

En acústica se llama ruido a un conjunto de vibracio-nes desordenadas. Al contrario de lo que ocurre con elsonido, el ruido es más difícil de descomponer en vi-braciones armónicas simples porque en general estácompuesto por ondas abruptas, que requieren grancantidad de armónicos para su fiel representación. Enel dominio de las señales, que abarca un intervalo másamplio de frecuencias que las acústicas, se clasificacomo ruido a una señal no deseada, cuya informaciónse confunde con la información deseable o útil hacién-dola menos inteligible. En ese campo, ruido y señalpueden cambiar sus roles según se centre el interésen la información que lleven uno u otro.

En el dominio de la acústica, en cambio, la distinciónentre sonido y ruido es clara, aunque a veces el ruidode la estática se confunda con las dudosas sonorida-des de alguna pieza de música moderna.

En la siguiente tabla se ensaya un principio de clasifi-cación de los ruidos acústicos:

Los sonidos muy amortiguados son ruidos que tie-nen un dejo de sonido, como los golpes sobre objetosque resuenan brevemente. Por ejemplo, el martillazoque hace “ting” sobre el yunque (ver figura).

Pueden clasificarse dentro de los ruidos impulsivos alos que producen los golpes o choques con poca reso-nancia y los estampidos, como el de las armas de fue-go y el rayo. En el habla, la pronunciación de las con-sonantes entran dentro de esa categoría. El espectrode los ruidos impulsivos tiende a ser muy extendido enel dominio de las frecuencias, y su forma se parece alde los ruidos estadísticos, salvo por su brevísima du-ración.

Los ruidos que perduran en el tiempo pueden estudiar-se estadísticamente o no, según su espectro se man-tenga o no aproximadamente constante mientras dureel sonido. De acuerdo a la forma de la distribución defrecuencia, se clasifican en gausianos (forma acam-panada simétrica), blanco (cuadrada en el intervaloaudible), ruido 1/f (hiperbólica, tendiendo a infinito pa-ra frecuencia cero y a cero a frecuencias muy altas) ytérmico (acampanada asimétrica, con la cola hacia lasfrecuencias crecientes). Es difícil clasificar los ruidosestadísticos sin ver su espectro. La sensación auditivay el oscilograma de todos ellos son muy parecidos.Pertenecen al grupo de ruidos estadísticos los queproducen el frotamiento de superficies rugosas, el de-rrame de gases o vapores a presión, algunas conso-nantes largas que se pronuncian sin hacer vibrar lascuerdas vocales, como cuando imponemos silencio,con la SHHH! (ver figura).

Ruidos como el retumbe del trueno, el crepitar de unafogata o la estática en la radio, tienen un espectrocambiante y por lo tanto son difícilmente clasificablesestadísticamente. Van a parar así a la categoría quereúne los no tipificables en la clasificación anterior.

Como una buena clasificación no debe dejar afuera aninguna especie, está claro que la anterior es muy im-perfecta. Aliento al lector a que la critique y mejore, o aque encuentre otra basada en mejores criterios.

Acústica musical

Definen los viejos libros a la música como “El arte decombinar los sonidos”. La palabra sonido está tomadaaquí en el sentido más amplio que incluye notas, silen-cio, voces y ruidos. Arte supone transmisión de senti-mientos y sensaciones del autor al oyente o al espec-tador, en un marco de ciertas reglas o cánones. Enmateria de gustos no hay nada escrito. Ni falta que ha-ce escribirlos, ya que los sentidos, en especial la vistay el oído, dictan sus propias reglas a través de ciertapredisposición innata por algunas sensaciones “bellas”o “agradables” de carácter cultural y hereditario. Estaspreferencias estéticas están incluídas dentro de las re-

Ruido

Breves

Sostenidos

impulsivos (muy breves)

sonidos muy amortiguados

estadísticos

gausiano

blanco

ruido 1/f

térmicono clasificablesestadísticamente

0,01 s2700 Hz

Oscilograma (izquierda) y espectro (derecha) correspondientea la voz ¡SHHH!

Oscilograma (izquierda y espectro (derecha) de un golpe de martilloen el yunque

0,05 s 6000 Hz

11

Escala.exe

glas del arte de cada región o cultura. Cada tanto, porimpulso de innovadores o transgresores, según se losvea, se enriquece el arte con nuevas formas

Así, el oído de los occidentales recibe con agradocombinaciones de notas consonantes o “acordes” y re-cibe con cierta incomodidad otras combinaciones, quecalifica como “disonantes”.

Se llama intervalo a la relación entre frecuencias dedos sonidos. Cuando el intervalo es de 2, 3/2 y 4/3, lasnotas forman respectivamente una octava, una quintay una cuarta. Estos intervalos son los más armoniosospara el gusto occidental.

Se llama escala a una serie de notas comprendidas enuna octava, definidas por sus intervalos.

La más usada es la escala natural mayor:

nota do re mi fa sol la3 si dointervalo a do 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

intervalo a do 1 1.125 1.25 1.33 1.5 1.67 1.875 2

Los intervalos do-re, fa-sol y la-si valen 9/8 y se lla-man tonos mayores.

Los intervalos mi-fa y si-do valen 16/15 y se llamansemitonos mayores.

Los intervalo re-mi y sol-la valen 10/9 y se llaman to-nos menores.

Entre una nota sostenida y la misma nota natural hayuna intervalo de 25/24, que se llama semitono menor.Este intervalo también existe entre una nota natural ysu bemol

De acuerdo a lo anterior, para obtener un sostenido semultiplica la frecuencia de la nota por 25/24, y paraobtener un bemol se la multiplica por 24/25.

Así resulta que un la3# tiene una frecuencia de440x25/24=458,33 Hz. El si3 tiene 440x9/8 (tono ma-yor)=495Hz y el si3 bemol resulta tener495x24/25=475,2Hz. Es decir que el si bemol no coin-cide con el la sostenido, cosa que también pasa con

las demás notas.

A principios del siglo XVII, en un intento de normaliza-ción, el ahora célebre músico alemán J.S.Bach porentonces reputado clavecinista y organista, propuso alos constructores de instrumentos de teclado fundir enuna sola nota el bemol de cada nota con el sostenidode la nota anterior. Esta nueva manera de afinación sellamó ” bien temperada”, (que significa bien afinada otemplada). Bach compuso numerosas obras para cla-vecín en esta modalidad, que se agrupan en el volu-men “El clave bien temperado”

Otro paso más reciente fué pasar de los intervalos de-siguales entre notas (tonos mayores y menores, se-mitonos mayores y menores) a dividir la octava en do-ce semitonos de igual intervalo de 21/12=1,05946,creando así la escala templada.

Hace no más de cincuenta años, la afinación francesaque asignaba al la3 435 Hz fué reemplazada univer-salmente por la alemana de 440Hz.

En los cuadros siguientes se da cuenta de tales cues-tiones:

Haciendo doble clic sobre el iconoadjunto, se escucharán respectiva-mente dos sucesiones de notas queempiezan en el la3, y que progresanrespectivamente según intervalos iguales de 21/12

(templada) e intervalos desiguales (escala tradicionalmayor). Sólamente un oído muy entrenado puedecaptar la leve diferencia entre ambas.

La voz humana

Así como el oído es el captor de sonido más sofistica-do, la voz humana es el instrumento musical más ma-ravilloso, versátil y expresivo. No sólo produce los so-nidos del habla y del canto, sino que la garganta en-trenada imita casi cualquier instrumento o ruido. Conpocos ajustes pasa del tono suave del amor y la per-

466,

16

440523,25

554,

37

587,33

622,

25

740

830 ,

61

415 ,

30

392

370

311,

1327

7,18

493,88

659,26698,46 784

349,23329,62293,66

880

AFINACIÓN MODERNA (TEMPLADA)

ESCALAS TEMPLADA Y MAYORnota TEMPL intervalo relación nota MAYOR intervalo relación

la 440 1,0594631 1 la 440 1,041667 1

la# 466,164 1,0594631 1,05946 la# 458,333 1,08 1,041667

si 493,883 1,0594631 1,12246 si 495 1,066667 1,125

do 523,251 1,0594631 1,18921 do 528 1,041667 1,2

do# 554,365 1,0594631 1,25992 do# 550 1,08 1,25

re 587,33 1,0594631 1,33484 re 594 1,041667 1,35

re# 622,254 1,0594631 1,41421 re# 618,75 1,066667 1,40625

mi 659,255 1,0594631 1,49831 mi 660 1,066667 1,5

fa 698,456 1,0594631 1,5874 fa 704 1,041667 1,6

fa# 739,989 1,0594631 1,68179 fa# 733,333 1,08 1,666667

sol 783,991 1,0594631 1,7818 sol 792 1,041667 1,8

sol# 830,609 1,0594631 1,88775 sol# 825 1,066667 1,875

la 880 2 la 880 2

bemoles si re mi sol la

475,2 570,24 633,6 760,32 844,8

458,3333 550 618,75 733,33333 825

sosten la do re fa sol

octava do-sol do-faMAYOR 2 1,5 1,33333

TEMP 2 1,4983071 1,33484

12suasión a los terribles gritos de guerra y amenaza.Además de expresar las ideas a través del habla, lavoz humana, mediante sus sutiles matices y entona-ciones, es capaz de transmitir todos los estados deánimo.

Se genera la voz en la laringe,órgano situado en la parte su-perior de la tráquea. En el es-quema puede verse un cortevertical de frente de este órga-no, mostrando cartílagos, mús-culos y las membranas vibrato-rias llamadas “cuerdas voca-les”. Éstas son capaces de os-cilar impulsadas por la corrientede aire que viene de los pul-mones, en una gama de fre-cuencias de 80 a 400Hz en los bajos y barítonos, y de300 a 1400 Hz. en las sopranos (mas de dos octavasde rango en cada tipo).

Las diferentes frecuencias se logran gracias a la ten-sión que sobre las cuerdas ejercen una serie de mús-culos, que hacen que se cierre más o menos el espa-cio por donde pasa la corriente de aire.

La vibración de la laringe pone en oscilación la colum-na de aire superior, que resuena en la parte suprala-ríngea (epiglotis, boca y conductos nasales), y se mo-difica por la posición de la lengua y los labios, dandolugar a la emisión de vocales y consonantes.

La potencia sonora de la voz puede alcanzar a variasdecenas de watt, equivalente a un equipo de sonidorespetable.

La zona cerebral destinada a regular los movimientosde la laringe y controlar así el habla y el canto es delmismo tamaño que la que regula la parte motora delcuerpo (piernas y brazos). Ello da la pauta de que enla expresión verbal y el canto se ponen en juego unagran parte de toda la habilidad neurológica humana.

tráquea

glot

is

cuerdasvocales

superiores

cartí

lago

tirói

deo

ventrículos

cuerdasvocales

inferiores

aire de lospulmones

LARINGE

-o-o-o-

ACÚSTICA 1

VIBRACIONES Y ONDAS 1IMPEDANCIA 2VIBRACIÓN DE CUERPOS 2ARMÓNICOS 3RESONANCIA 3RESPUESTA A FRECUENCIA 3AUDICIÓN 4PRODUCCIÓN, PROPAGACIÓN, ABSORCIÓN Y DETECCIÓN DEL SONIDO 4EL OÍDO HUMANO 4RECORDATORIO FÍSICO-MATEMÁTICO: 6OSCILACIONES O VIBRACIONES 6ONDAS 6COMPOSICIÓN DE ONDAS 6ESPECTRO DEL SONIDO 7OTRAS FUENTES DE SONIDO 9RUIDO 10ACÚSTICA MUSICAL 10LA VOZ HUMANA 11