actividades para calculo diferencial[1]

Asignatura:

Elaborado por:

Brenda Ariadna Miranda BribiescayMartha Jazmín Jiménez Rayón

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Cálculo Diferencial Página 1

ACTIVIDADES PROPUESTAS A TRABAJAR EN EL MARCO DE

EDUCACIÓN BASADA EN COMPETENCIAS

Abril del 2010

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ÍNDICE DE TEMAS CONTENIDOS

Unidad 1. Números reales ………..…. Página 6

Unidad 2. Funciones …………… Página 13

Unidad 3. Límites y Continuidad …………... Página 28

Unidad 4. Derivadas ………..…. Página 38

Unidad 5. Aplicaciones de la Derivada ……..……. Página 49

Anexo 1. Rúbricas de Evaluación ……..……. Página 56

Anexo 2. Formatos de Planeación por unidad.

……..……. Página 57


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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE IRAPUATO

ITESI

ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LA MATERIA DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Este trabajo pretende ser una ayuda para que el profesor encargado de impartir el curso de Cálculo Diferencial tenga opciones de trabajo en la materia, basándose en el desarrollo de competencias. A lo largo del cuadernillo, podrá encontrar actividades propuestas para cada tema de la materia; cabe aclarar que dichas actividades son ideas presentadas; sin embargo el docente podrá adaptarlas a su grupo en particular o enriquecerlas con su toque personal.

Podrá verse que en la mayoría de las actividades, la principal carga de trabajo radica en el alumno, pues es él mismo quien debe ser constructor de su propio conocimiento; convirtiéndose entonces el profesor en guía y creador de ambientes propicios para el aprendizaje; diseñando actividades, ejercicios, prácticas que favorezcan el descubrimiento del conocimiento por parte del alumno.

Debe tomarse en cuenta que todos los ejercicios seleccionados por el profesor, deberán ir encaminados a la práctica de los conocimientos estudiados en los temas respectivos; al mismo tiempo, deberían contener un reto para el estudiante en cuanto al análisis de los mismos.

Procuremos en el estudio de cada tema, cuando se haya expuesto la parte teórica y practicado la aplicación de la misma, ligar los conocimientos con la parte práctica y la utilidad en una realidad diaria; si bien no en todos los casos se podrá hacer ésto, Cálculo Diferencial tiene una parte en la cual podemos sacar provechosos ejemplos en donde el alumno pueda ver plasmados los conocimientos adquiridos y el beneficio de los mismos.

A lo largo del presente, se hará alusión continua a un portafolio de evidencias que es una herramienta de evaluación muy provechosa y elegida para trabajarse en esta materia. Al inicio del curso deberá pedirse al alumno que


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diseñe su propio portafolio de evidencias, en el cual se guardarán trabajos que sirvan para demostrar la participación activa durante las clases y en las actividades que en éstas se llevaron a cabo; cabe mencionar que el profesor decidirá aquellas actividades que convendría guardar en este portafolios; aunque se recomienda que aquellas actividades evidencia de la participación activa del estudiante en los trabajos dentro de clase (como por ejemplo mapas mentales después de un debate que se llevó a cabo en clase; caricaturas, dibujos después de alguna explicación o exposición, etc.) si sean guardados en portafolios ya que prueban la participación del estudiante y la atención puesta; el trabajo realizado durante las actividades hechas en las sesiones, etc. El docente decidirá si estas actividades son marcadas de una forma especial para evitar el hecho de que algún estudiante que no haya cumplido con este tipo de labores anexe posteriormente la actividad (ya que los alumnos guardarán su propio portafolio de evidencia).

Los portafolios serán revisados en cada examen parcial; por lo tanto los alumnos deberán tener el mismo en buen estado a lo largo del semestre y los trabajos debidamente separados y organizados por parciales. Esta herramienta de evaluación brinda una gran oportunidad a los jóvenes para que plasmen toda su creatividad en el diseño de sus portafolios; así mismo, resulta conveniente indicarles que el mismo jugará un papel muy valioso, tanto para el profesor como para ellos, ya que guardará todas las pruebas de su trabajo a lo largo de la materia. Lo cual ayudará a una evaluación más clara y objetiva.

En la revisión de los portafolios el profesor puede aplicar una lista de cotejo para aquellas actividades que no requieran de ser calificadas, es decir, que son solamente evidencia de la colaboración o presencia en actividades durante las sesiones; como suelen ser los dibujos, caricaturas, mapas mentales (algunos que sean dejados como tarea sí serán necesarios de evaluar) evidencia de exposiciones hechas, etc.

Para aquellos trabajos en los que se debe llevar a cabo una evaluación del desempeño, el profesor contará con rúbricas para la evaluación de cada actividad y se incluyen como anexo al final del presente.

Resulta importante mencionar que las rúbricas que aquí se plantean son propuestas solamente y que el profesor podrá modificar las mismas si acaso considera pertinente incluir nuevas categorías para evaluación o quizás omitir algunas que para el desarrollo de las competencias propias de la materia no impacten demasiado. Sin embargo, recuerde que la materia tiene como objetivo el


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trabajar competencias específicas como genéricas y las rúbricas contienen elementos que van encaminados a actuar en ambos tipos de competencias.

En cuanto a las actividades podrá percatarse que se trata de que en cada tema se trabajen los tres canales de comunicación (auditivo, visual y kinestésico) por ello, se plantean collages (canal visual) mapa mental (canal visual y kinestésico) composiciones musicales (canal auditivo) exposiciones (visual y auditivo) realización de ejercicios (canal kinestésico) elaboración de prácticas en donde se observe la parte gráfica de lo que se realiza (visual-kinestésico) etc. Resulta vital que el profesor explote su parte creativa y enriquezca este trabajo con nuevas ideas que trabajen estos medios de comunicación y tratando siempre de que la mayoría de sus clases esté dirigida a estos tres diferentes canales a bien de fomentar el aprendizaje de nuestros alumnos.

Siguiendo con el tema de las actividades, se hace mucho énfasis también en el trabajo en equipo, ya que resulta muy favorable en el proceso de aprendizaje; al mismo tiempo, aquellos estudiantes que dominan rápidamente algún tema pueden llegar a ser nuestros mejores aliados a la hora de trabajar en grupos numerosos, ya que podrán apoyarnos como cabezas de equipo y brindar explicaciones personalizadas a los alumnos a quienes les cuesta más trabajo y tiempo entender conceptos y problemas vistos. Como profesores, durante estas actividades deberemos estar atentos a la óptima participación de cada uno de los educandos actuando siempre como guías, nunca abandonándolos y dejándolos solos en sus dudas y problemas; ya que entonces el trabajo en equipo podrá convertirse en una pesadilla en lugar de conseguir nuestro objetivo de impactar positivamente en el proceso de aprendizaje. Deberemos también vigilar que la convivencia en este tipo de actividades se lleve en armonía y respeto, por lo tanto, habrá que cuidar mucho la hora de las exposiciones de los equipos. Por esto último, en el anexo de rúbricas se ha incluido una propia de evaluación de actitudes en el trabajo en equipo, que el profesor puede tomar como base y si lo cree oportuno, ligarlo a algún indicador de la materia relacionado a este aspecto.

Respecto a aquellas actividades en las que se señala una asignación de ejercicios a los estudiantes, es necesario mencionar que el guardar éstos en el portafolio de evidencias no es muy conveniente si son tareas muy grandes; recuerde el profesor que en cada parcial tendrá que revisar el portafolio de cada alumno y las tareas consistentes en resolución de problemas deberán ser revisadas también; por lo tanto, el docente se encontrará ante un problema realmente grave en cuanto a los tiempos de revisión. Además, debe tenerse presente que este tipo de trabajos nos sirven más bien como un medio para


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verificar si el alumno presenta un avance en cuanto a la adquisición de conocimientos o si está practicando los temas estudiados, así que si son guardados en el portafolios de evidencia no podremos llevar ese seguimiento constante del alumno; por lo tanto, se recomienda que las tareas que consistan en la resolución de ejercicios y sean asignadas al portafolio sean significativas, lo cual quiere decir, que serán un reto en el que el estudiante aplicará todos los conocimientos que adquirió en un bloque de temas y será la aplicación de éstos, por lo tanto, deberán ser especialmente preparadas y pueden consistir de 3 o 5 ejercicios muy bien pensados para que abarquen todos los temas que queremos evaluar o bien, que hayan sido vistos durante el parcial. Dicho esto, es recomendable que el resto de las tareas mencionadas anteriormente (baterías de ejercicios a fin de que el estudiante practique temas recién vistos) se revisen continuamente (cada clase o cada semana según el profesor se organice). Pudiéramos introducir pequeños exámenes (1 o 2 problemas) al inicio de clase o actividades que consistan en ejercicios extraídos de las tareas que el estudiante va realizando; esto nos podrá servir para constatar que el educando efectivamente realiza sus trabajos (no copia de sus compañeros) y además juega el papel de una evaluación formativa para verificar el avance de cada uno de nuestros estudiantes.

En cuanto a mapas mentales, conceptuales o collages, se hizo mención anteriormente de que algunas veces serían evaluados asignando calificación y en ocasiones no. Lo anterior se debe a que existen actividades dentro de las sesiones en las cuales resulta necesario evidenciar la participación activa del estudiante en los temas tratados; formas de llevar a cabo la generación de evidencia es que los alumnos construyan este tipo de productos; tómese en cuenta que bajo el tiempo que se otorga sería difícil obtener un producto que se realizaría excelentemente bien bajo otras circunstancias; sin embargo, sí es posible visualizar en estos trabajos si el alumno puso atención (tendrá mucha información contenida y coherente con lo que se habló) si estuvo presente pero llegó tarde (trabajo incompleto) u otras situaciones. Por lo anterior, las veces que se lleven a cabo estas actividades como reforzadoras del conocimiento o retroalimentación de información recibida después de tratar un tema serán tomadas solamente como entregadas o no entregadas. Por otro lado habrá aquellas ocasiones en que se asignarán tareas de investigación de ciertos temas y posterior a esto y en base a lo estudiado realizar un mapa mental, conceptual o collage; será entonces válido y necesario revisar puntualmente estos productos y asignar una calificación a lo entregado por los educandos. Para estos casos, se han incluido rúbricas de evaluación de cada una de estas actividades.


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Tengamos en cuenta también que la recomendación de que el estudiante genere un producto inmediatamente después de habérsele expuesto un tema o realizado una actividad en clase, surge de la necesidad de que él nos retroalimente acerca de la información que ha recibido por nuestra parte o por parte de los compañeros; es por estos medios que podremos asegurarnos de que lo que él percibió fue correcto o bien, también podremos ver qué tanto material logró asimilar.

Por último, se aclara que las actividades propuestas en cada tema se han planteado sin establecer tiempos; no crea el docente que es necesario llevarlas a cabo todas en una sola sesión, pues esto depende del ritmo del grupo, del tiempo de establecido para las sesiones, en fin, diversos factores; será el docente quien decida los tiempos para cada actividad y como distribuirlas en cada sesión.

Unidad 1. Números Reales

1.1 La Recta Numérica.

Actividades sugeridas:

1. Para comprender este tema se recomienda que el profesor encargue la lectura previa del tema en libros, internet, o bien, videos disponibles; las actividades para propiciar el reforzamiento de la información leída será:

2. Preparar por equipos con anticipación un collage en donde se aprecien distintas mediciones unidimensionales con el fin de que el alumno visualice la escala y lugar de los números (negativos, 0, positivos) en la recta numérica. Este collage será discutido en clase aclarando el profesor cualquier duda acerca del tema. Ejemplos de imágenes pueden ser: termómetros, medida de longitud, etc.

3. A continuación, el instructor realizará una recta numérica en clase aclarando los puntos importantes que debe contener esta (origen, divisiones, señalamiento de dirección, etc.)

4. Como segunda actividad de reforzamiento, se pueden preparar algunas rectas numéricas (como las que se muestran en la figura 1.1) en donde los alumnos


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descubrirán los patrones de la recta, completarán los números faltantes y ubicaran las cifras indicadas.

Evidencia para la evaluación (a guardar en portafolios de evidencia):

1. Collage realizado por equipo (ver rúbrica para evaluación de un collage)

2. Trabajo de las rectas realizadas por el alumno (ver rúbrica para evaluación de resolución de problemas de forma individual).


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1.2 Los números reales y 1.3 Propiedades de los números reales.


1. Como tarea previa, el profesor encargará la lectura de los temas 1.2 y 1.3; realizando el alumno un reporte investigativo de la información encontrada.

2. Por equipos antes de acudir a clase, se realizará un mapa mental de los números reales y un mapa conceptual de las propiedades de los números reales.

3. Ya en clase, el docente buscará analizar (de forma grupal) cada uno de los mapas realizados, explicando al mismo tiempo los conceptos y propiedades a estudiar.

4. Como actividad de reforzamiento se realizarán los ejercicios que el instructor considere pertinentes para los números reales y sus propiedades; dichos ejercicios bien pueden ser resueltos en equipo a fin de propiciar el entendimiento de los estudiantes con ayuda de las aportaciones de sus compañeros.


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Nota: Para complementar el trabajo en las competencias del alumno, el profesor puede tomar en cuenta las actitudes de los estudiantes durante el trabajo colectivo (ver rúbrica para la evaluación de actitudes en el trabajo en equipo) dicha calificación puede ser introducida en alguno de los indicadores de este rubro.

Evidencia para la evaluación:

1. Reporte investigativo hecho por el alumno de manera individual en su cuaderno (ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo).

A guardar en el portafolios de evidencias:

2. Mapa mental de los números reales hecho por equipo (ver rúbrica para la evaluación de un mapa mental).

3. Mapa conceptual de los números reales hecho por equipo (ver rúbrica para la evaluación de un mapa conceptual).

4. Ejercicios realizados por equipo (ver rúbrica para la evaluación de la resolución de problemas matemáticos en equipo). 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.


1. El docente puede encargar a los alumnos, una lectura previa al tema. El alumno generará un reporte investigativo.

2. En clase puede aplicar un breve examen diagnostico, el cual debe contener preguntas claves, que le puedan indicar al docente, el grado de comprensión de dicho tema.

3. Posteriormente el puede dar una explicación más amplia y a detalle del tema y llevar a cabo, la solución de ejercicios, que él considere pertinentes.

4. Sesión de dudas y preguntas, y dejar ejercicios que refuercen la compresión y aprendizaje del tema.


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Evidencias para la evaluación:

Reporte investigativo.

Examen Diagnostico.

Tarea solución de ejercicios.

La evidencia puede ser evaluada de acuerdo a las rubricas que se presentan en el anexo del presente, o bien, de acuerdo a las rubricas creadas por el propio docente.

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.


1. Que el alumno estudie temas relacionados al despeje de incógnitas.

2. Que traigan 5 ejercicios de desigualdades de primer grado con una incógnita y 5 de desigualdades cuadráticas con una incógnita.

3. Durante la clase preguntar alguna duda que tengan referente a los ejercicios a los ejercicios que entregaron.


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4. Dar la explicación pertinente al tema y aclarar las dudas y preguntas que hayan hecho los alumnos.

5. Solución de ejercicios durante la clase.

6. Encargar ejercicios extra clases.

7. En una sesión posterior, aplicar una evaluación formativa, la cual sirva al docente para saber el grado de compresión del tema y el dominio del mismo al momento de solucionar los ejercicios.

Evidencias para la evaluación:

Los 10 ejercicios en cargados al alumno.

Solución de los ejercicios extra clase.

Evaluación formativa.

1.6 Valor absoluto y sus propiedades y 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.


1. Lectura previa tanto del concepto valor absoluto y sus propiedades. Elaboración de reporte investigativo.

2. Al inicio de clase, comenzar con la discusión grupal acerca de las definiciones encontradas de valor absoluto y sus propiedades. Es importante, que se trate de ver este tema además de la forma algebraica tradicional, de forma gráfica; tanto la definición de y = │x│ como de diversos ejemplos que el profesor disponga para su


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análisis; de esta forma el alumno podrá visualizar el efecto que produce el valor absoluto en las funciones. El docente puede preparar anticipadamente gráficas de diversas funciones antes y después de aplicar el valor absoluto, presentarlas y producir a través de cuestionamientos y/o comentarios que el estudiante llegue al efecto causado por el valor absoluto.A manera de ejemplo y para abrir el análisis se pueden presentar las gráficas de y = x y y = │x│y comenzar con las reflexiones.

3. Para evidenciar la participación activa del estudiante en la actividad anterior, se pueden dar alrededor de 15 min. para la elaboración de un mapa conceptual acerca de lo debatido en clase, sirviendo al mismo tiempo como actividad de refuerzo a la teoría.

4. Una vez comprendido el concepto valor absoluto, se puede comenzar con el análisis de desigualdades introduciendo el nuevo tema a ellas.

5. Para fortalecer la práctica, se complementará la sesión con ejercicios preparados a fin de que el estudiante practique los conceptos y propiedades vistas. Los ejercicios pueden ser debatidos en equipos y el docente jugará el rol de guía aclarando dudas y/o inquietudes surgidas en el grupo.


1. Reporte investigativo del alumno en su cuaderno (ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo).

A guardar en portafolios de evidencia:

2. Mapa conceptual de los temas discutidos en la clase (ver rúbrica para la evaluación de un mapa conceptual).


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3. Ejercicios resueltos en forma de equipo (ver rúbrica para la evaluación de de resolución de problemas matemáticos en equipo).

Unidad 2. Funciones

2.1 Concepto de Variable, Función, Dominio, Codominio y recorrido de una Función



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1. Una sesión previa a este tema el docente, puede encargar a los alumnos una lectura previa de los conceptos del subtema 2.1; el alumno podrá realizar un mapa conceptual, mapa mental, solución de crucigramas (que el profesor halla diseñado previamente y lo entregue al alumno para resolver de tarea).

2. Durante clase, se puede hacer uso de la lluvia de ideas, es una actividad muy útil para cumplir este objetivo, le ayudará a percibir que es lo que saben del tema y que es lo que le falta por aprender, de esta actividad el alumno debe tomar nota, para contar con evidencia de la actividad realizada.

3. El docente puede realizar una exposición del tema, mostrando con ejemplos lo que es una función, el dominio, el codominio y el recorrido de una función.

Preguntar si existen dudas y aclarar las dudas expuestas por los alumnos.


Dependiendo de la actividad encargada al alumno y de la actividad realizada durante la clase, las evidencias con las que contara pueden ser las siguientes:

Mapa conceptual. Mapa mental. Crucigrama resuelto. Notas de clase. Preguntas realizadas. Collage. Resumen de la lectura realizada. Presentación hecha por el docente.

La evidencia puede ser evaluada de acuerdo a las rubricas que se presentan en el anexo del presente, o bien, de acuerdo a las rubricas creadas por el propio docente. 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.


1. Una sesión previa a este tema el docente, puede encargar a los alumnos una lectura previa de los conceptos del subtema 2.2; en su investigación, el educando tendrá que detectar la principal diferencia entre estas funciones. El alumno podrá


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realizar un mapa conceptual, mapa mental, solución de crucigramas (que el profesor haya diseñado previamente y lo entregue al alumno para resolver de tarea).

2. Durante clase, se puede hacer uso de la lluvia de ideas personal es una actividad muy útil para cumplir este objetivo, le ayudará a percibir que es lo que saben del tema y que es lo que le falta por aprender, de esta actividad el alumno debe tomar nota, para contar con evidencia de la actividad realizada.El docente puede realizar una exposición del tema, mostrando con ejemplos lo que es una función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

3. Que de acuerdo a lo visto se muestren diferentes graficas (preparadas por el docente) en las que el alumno identifique los tipos de funciones.

4. Realizar diversos ejercicios en clase y para reforzar el conocimiento que el alumno realice ejercicios extra clase.





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2.3 Función real de variable real y su representación gráfica.



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1. Una sesión previa a este tema el docente, asignará una lectura correspondiente a este subtema; posteriormente, el alumno elaborará un producto que plasme la información encontrada (mapa mental, conceptual, collage, otro)

2. Durante clase, se puede hacer uso de la lluvia de ideas es una actividad muy útil para cumplir este objetivo, le ayudará a percibir que es lo que saben del tema y que es lo que le falta por aprender, de esta actividad el alumno debe tomar nota, para contar con evidencia de la actividad realizada.

3. El docente puede realizar una exposición del tema, mostrando con ejemplos lo que es una función real de variable real, por supuesto la representación grafica de la misma.

4. De acuerdo a lo visto el alumno visualizará diferentes graficas (elaboradas previamente por el profesor) e identificará los tipos de funciones.

5. El profesor seleccionará los ejercicios que considere pertinentes a fin de que el grupo refuerce el conocimiento y practique los conocimientos adquiridos, dicho trabajo se manejará dentro y fuera de clase.

6. Realizar prácticas en el laboratorio de ciencias básicas y/o utilizar algún software (se recomienda GeoGebra ya que no son necesarios grandes conocimientos de programación, recordemos que esta materia pertenece al primer semestre y el alumno aún no tiene muchos fundamentos para programar).




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Mapa conceptual. Mapa mental. Prácticas de laboratorio. Ejemplos realizados con algún Software. Crucigrama resuelto. Notas de clase. Preguntas realizadas. Collage. Resumen de la lectura realizada. Presentación hecha por el docente.


2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.


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1. Se recomienda encargar una sesión previa a este tema una lectura de tipo investigativo. El alumno generará algún producto evidencia de esta actividad, como puede ser un mapa mental, conceptual, reporte investigativo, otro, de acuerdo a su elección, o bien, la designación del profesor.

2. Durante clase, el docente puede hacer uso de la lluvia de ideas personal es una actividad muy útil para cumplir este objetivo, le ayudará a percibir que es lo que saben del tema y que es lo que le falta por aprender, de esta actividad el alumno debe tomar nota, para contar con evidencia de la actividad realizada.

3. El docente puede realizar una exposición del tema, mostrando con ejemplos lo que es una función algebraicas: función polinomial, racional e irracional y su representación grafica.

4. Construir funciones algebraicas de cada uno de sus tipos.

5. De acuerdo a lo visto podría el maestro haber preparado diferentes gráficas ya sea en collage, presentación de rotafolio, diapositivas, etc.; Lo anterior para que el alumno identifique los tipos de funciones estudiadas.

6. Realizar prácticas en el laboratorio de ciencias básicas utilizando quizás el software GeoGebra a fin de que ayude al mejor entendimiento del tema.




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2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.


1. Se recomienda encargar una sesión previa a este tema una lectura de tipo investigativo. El alumno generará algún producto evidencia de esta actividad, como puede ser un mapa mental, conceptual, reporte investigativo, otro, de acuerdo a su elección, o bien, la designación del profesor.

2. Durante clase, el docente puede hacer uso de la lluvia de ideas personal es una actividad muy útil para cumplir este objetivo, le ayudará a percibir que es lo que saben del tema y que es lo que le falta por aprender, de esta actividad el alumno debe tomar nota, para contar con evidencia de la actividad realizada.

3. El profesor puede realizar una exposición del tema, mostrando con ejemplos lo que son las funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.





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2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto.


1. El docente puede explicar lo que es el tema, de acuerdo a lo que el docente exponga, puede mostrar ejemplos, la relación que guarde con las otras funciones y las diferencias principales.

2. Graficar funciones que involucren valores absolutos.

3. Dejar a los alumnos ejercicios que involucren las relaciones entre las diferentes funciones.

4. Realizar prácticas de laboratorio (que el profesor halla diseñado previamente en donde se incluyan preguntas que el alumno resolverá a lo largo del desarrollo del trabajo).


Prácticas de laboratorio. Ejemplos realizados con algún Software. Notas de clase. Graficas realizadas. Preguntas realizadas. Presentación hecha por el docente.



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2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.


1. La clase puede abrirse con una exposición por parte del docente (ésta puede ser preparada en diapositivas, rotafolio, o cualquier otro medio que el maestro disponga).

2. Se darán aproximadamente 15 minutos para que el alumno genere un producto evidencia y retroalimentación de la información que se le fue proporcionada.

3. Dejar a los alumnos ejercicios que involucren las relaciones entre las diferentes funciones.

4. El profesor puede diseñar una práctica relativa a los temas estudiados en donde los educandos visualicen quizás dos funciones en un principio (la forma de su gráfica) y posteriormente, la forma gráfica después de haber realizado alguna operación con éstas (por ejemplo suma de funciones, otros). Se recomienda el software GeoGebra por su fácil uso. 5. Seleccionar grupos de ejercicios que involucres las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones.



Notas de clase. Prácticas de laboratorio. Ejemplos realizados con algún Software. Preguntas realizadas. Graficas realizadas.


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Presentación hecha por el docente.


2.8 Función inversa, Función logarítmica, Funciones trigonométricas inversas.


1. Lectura previa al tema y elaboración de un reporte investigativo.

2. Durante clase, se puede hacer uso de la lluvia de ideas personal es una actividad muy útil para cumplir este objetivo, le ayudará a percibir que es lo que saben del tema y que es lo que le falta por aprender, de esta actividad el alumno debe tomar nota, para contar con evidencia de la actividad realizada.

3. El docente puede realizar una exposición del tema (formato libre), mostrando con ejemplos lo que es la función inversa, función logarítmica, funciones trigonométricas inversas.





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2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.


1. El docente puede explicar lo que es el tema, de acuerdo a lo que el docente exponga, puede mostrar ejemplos, la relación que guarde con las otras funciones y las diferencias principales.

2. Graficar funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.

3. Dejar a los alumnos ejercicios referentes al tema.

4. Realizar prácticas de laboratorio.



Notas de clase. Prácticas de laboratorio. Ejemplos realizados con algún Software. Preguntas realizadas. Graficas realizadas. Presentación hecha por el docente.


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2.10 Función implícita.


1. Una lectura previa del tema podrá ser encargada una sesión anterior al estudio de este punto.

2. Durante clase, se puede hacer uso de la lluvia de ideas personal es una actividad muy útil para cumplir este objetivo, le ayudará a percibir que es lo que saben del tema y que es lo que le falta por aprender, de esta actividad el alumno debe tomar nota, para contar con evidencia de la actividad realizada.

3. El docente puede realizar una exposición del tema, mostrando con ejemplos lo que es la función implícita.

4. De acuerdo a lo visto, se pueden realizar diferentes gráficas de funciones, ya sea en el pintarrón, en algún software, preparadas en un collage por el docente; con el fin de que el alumno identifique los tipos de funciones.





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Unidad 3. Límites y Continuidad

3.1 Límite de una sucesión


1. Como actividad previa a la clase, el instructor podrá asignar la lectura del tema; después de lo cual, el educando tendrá que resolver los cuestionamientos encargados por el profesor (como por ejemplo ¿qué es una sucesión? ¿Puedes dar un ejemplo de una sucesión? ¿Cuándo decimos que una sucesión es finita? ¿Cuándo decimos que una sucesión es infinita? ¿Cuándo una sucesión es creciente? ¿Cuándo una sucesión es decreciente? Otros que el profesor considere pertinentes). El alumno elaborará un reporte investigativo de esta actividad.

2. Al inicio de clase se tendrá un intercambio de la información que cada estudiante recolectó y el guía utilizará ésta para introducirlos al tema.

3. Se darán alrededor de 15 minutos a fin de que el alumno genere evidencia acerca de la información que recibió (podrá ser un mapa mental, conceptual, dibujo, etc. Dependiendo de lo que considere el maestro)


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4. A continuación, el instructor explicará cómo obtener el límite de una sucesión, realizando un ejemplo paso a paso (puede prepararlo en presentación, rotafolio, pizarrón, etc.).

5. Se dividirá el grupo en equipos y se les asignarán ejercicios a realizar a fin de reforzar lo expuesto anteriormente. Durante la formación de equipos será bueno procurar que la cabeza de equipo sea un estudiante que haya entendido el concepto y la forma de aplicación a fin de que tengamos en cada grupo una persona con el rol de guía y evitar que el equipo se pierda, desmotive o no trabaje en caso de no entender el tema.


1. Reporte investigativo (Ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo)

2. Evidencia (mapa mental, dibujo, cualquier otro) de la actividad de discusión en grupo.

3. Problemas resueltos en equipo acerca del tema (Ver rúbrica para la evaluación de resolución de ejercicios por equipo).

3.2 Límite de una función de variable real, 3.3 Cálculo de Límites y 3.4 Propiedades de los Límites.


1. Como actividad previa a la clase, el profesor puede formar grupos de trabajo (el número de equipos dependerá del tamaño del grupo) a cada grupo le encomendará un tema de preparación (podría ser un equipo encargado de explicar la parte teórica del límite de una función de variable real; dos o tres equipos encargados de realizar un ejemplo relativo al tema asignado; un equipo que explicará la forma de calcular límites y dos o tres equipos más con ejemplos; un equipo encargado de exponer las propiedades de los límites y dos o tres equipos más exponiendo la resolución de ejercicios aplicando estas propiedades; por último, habrá un equipo que se encargará de exponer situaciones, fenómenos o casos en donde se aplique el cálculo de límites).

2. Al inicio de clases comenzarán las exposiciones, teniendo el guía pleno cuidado en la información otorgada por los expositores a fin de que intervenga en aquellos


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casos en que existan errores, dudas, información confusa, etc. El instructor buscará que la reflexión en los participantes y fomentará la participación activa de todos y buscando también que las preguntas sean respondidas en primer lugar por el equipo que presenta el tema; en caso de no poder hacerlo lo hará el docente.

El maestro puede preparar un formato de evaluación para que los espectadores puedan evaluar a quienes exponen cada uno de los temas; el profesor contará con uno (puede ser igual o con más puntos a evaluar) en el que irá evaluando la presentación de cada grupo.

3. Se darán alrededor de 15 minutos para generar evidencia (mapa mental, dibujo, tira cómica, mapa conceptual, el que el profesor decida) de la información recibida por el grupo; esto nos servirá para ver si se los alumnos captaron los conceptos, que tanta de la información dada retuvieron; al mismo tiempo, será una prueba de la atención prestada y en casos extremos la atención no prestada.

4. Se preparará una batería de ejercicios por parte del instructor a fin de ser realizados en equipos ya cuando los temas estudiados hayan sido comprendidos. Se puede trabajar una parte en clase y el resto asignarla como tarea extraclase.


A guardar en portafolio de evidencias:

1. Evidencia de la exposición llevada a cabo que incluya los nombres de todos los integrantes del equipo (hojas de notas si fue en pizarrón, diapositivas impresas, hoja de rotafolio, etc.) (Ver rúbrica para la evaluación de exposición en una clase de matemáticas)

2. Hoja de evaluación de exposición que llenaron los estudiantes en forma individual.

3. Evidencia generada acerca de la información recibida (la que el profesor haya indicado)

4. Batería de ejercicios del tema resueltos por equipo (Ver rúbrica para la evaluación de resolución de ejercicios matemáticos por equipo)


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3.5 Límites Laterales


1. Una lectura previa a la clase será encargada acerca del tema límites laterales.

2. El profesor puede comenzar la exposición con un ejemplo preparado con anterioridad, ya sea en diapositivas, hoja de rotafolio o bien, en el pizarrón; en este ejemplo se mostrará la función y su gráfica; pedirá que al azar seleccionen un punto x = a y a partir de este comenzará a elegir valores alejados de x = a (ya sea menores o mayores; pero procúrese que si se eligen menores, todos los demás números elegidos sean igualmente menores, lo mismo aplica si el número elegido es mayor) y pidiendo a los estudiantes que calculen los valores de f(x) en todos los puntos que vayan analizando; luego, comenzará a elegir valores acercándose a x = a y haciendo que los alumnos igualmente calculen el valor de f(x) se continuará


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de esta forma hasta que los alumnos observen que entre más cercano sea el valor al de x = a f(x) irá tendiendo al mismo valor; entonces el profesor hará notar el lado por el que se acercan al valor de a e introducirá la definición de límite latera por la izquierda y por la derecha.

3. Luego de que el alumno comprenda el concepto de límite por la izquierda y derecha, el guía puede proponer el análisis de otra función (cuya presentación haya sido también preparada previa a la clase) pero esta vez con alguna discontinuidad; se puede presentar la función y su gráfica y cuestionar al estudiante acerca de lo que observa; que ideas se le vienen a su mente; qué diferencia observa respecto a la gráfica anterior y la presente, etc. Queremos llegar al punto en que los estudiantes se enfoquen en el hecho de aquellos puntos que no está tocando la función y que se cuestionen el valor de estos.

4. Una vez planteada la situación, el maestro invitará a los estudiantes a hacer lo mismo que se hizo en el ejercicio pasado; que comiencen a elegir puntos x y calcular f(x) hasta que observen que a medida que estos valores seleccionados se acercan más al valor de x de interés, los resultados de f(x) van tendiendo a un punto en común.

Así pues, el profesor complementará la exposición del tema con los puntos que considere pertinentes aclarar, remarcar, etc.

5. A continuación serán necesarios alrededor de 15 min. para que se asigne alguna actividad que evidencie (dibujo, tira cómica, mapa mental, conceptual, cuadro sinóptico, etc.) la atención en el tema, la participación y sobre todo la información captada por el estudiante.6. Una colección de ejercicios será asignada para su análisis y resolución con ayuda de la información vista en clase, procure que los problemas contengan funciones simples y compuestas. Estos ejercicios pueden combinarse como actividad dentro de clases y extraclase e inclusive, el profesor podría enriquecer esta tarea pidiendo que el alumno utilice GeoGebra para visualizar lo que está obteniendo anlíticamente.

7. Para reforzar la información vista, se puede establecer una tarea que consista en una investigación por parte del alumno acerca del tema límites unilaterales y sus aplicaciones; el estudiante elaborará un collage de las aplicaciones de este tipo de límites (Por ejemplo en economía, física, otras áreas).


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1. Evidencia generada en clase acerca del material expuesto por el profesor (mapa mental, conceptual, dibujo, tira cómica, cualquiera que el profesor haya designado) A guardar en portafolio de evidencias

2. Ejercicios resueltos en forma individual (Ver rúbrica para la evaluación de resolución de ejercicios matemáticos en forma individual)

3. Collage realizado por los estudiantes (Ver rúbrica para la evaluación de un collage) A guardar en portafolio de evidencias

3.6 Límites Infinitos y Límites al Infinito y 3.7 Asíntotas


1. El profesor puede abrir la clase recordando el concepto de indeterminación; procurando que sean los estudiantes mismos quienes en un principio describan en qué consiste ésta, cuándo nos encontramos frente a una indeterminación, etc. Se procurará listar las situaciones en las que se tiene una indeterminación.


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2. Una vez que el grupo se ha ubicado en el tema de estudio, el maestro puede seguir con la explicación de que en ocasiones podremos remover algunas indeterminaciones aplicando operaciones algebraicas. Para lo anterior, se resolverán algunos ejercicios paso a paso relativos a estas situaciones, el instructor puede realizar uno o dos y para el resto de los ejercicios puede pedir a los alumnos que pasen al frente para poner en práctica lo visto. A fin de que el grupo de no se distraiga en este tipo de actividades (cuando un compañero pasa al frente) el profesor puede ofrecer estímulos para que los alumnos trabajen en su lugar (por ejemplo participaciones a quienes terminen primero, a quienes encuentren algún error en el procedimiento del compañero que está al frente, etc. La creatividad del profesor jugará aquí un papel muy importante)

3. A continuación el guía planteará el análisis de la obtención del límite de una función en la cual no pueda removerse la indeterminación y promoverá que los estudiantes intenten conseguirlo (como en la actividad anterior) una vez que se haya llegado a la conclusión de que por ninguna forma es posible, será bueno introducir los teoremas de límites infinitos y posteriormente aplicarlos al ejercicio visto.

4. Se continuará con una serie de ejercicios a fin de que los estudiantes practiquen, mismos que pueden ser resueltos en equipo.

5. El profesor seguirá el estudio de este tipo de límites presentando dos gráficas (previamente preparadas ya sea para pizarrón, en diapositivas, rotafolio, otro) un gráfico mostrará una función que contiene un punto (x = a) en el cual se dispara el valor de f(x) por otro lado, en el gráfico dos se plasmará una función cuyo dominio se extienda al infinito y se observe una tendencia a algún valor en específico; vistas al mismo tiempo estas funciones, el profesor promoverá un intercambio de comentarios acerca de lo que el estudiante observa y las ideas que vienen a su mente. Quizás en cierto punto se logre diferenciar el hecho de que una función al acercarse a un valor se dispara y otra gráfica al acercarse al infinito tiende a un valor específico. Cuando se logre lo anterior, puede ser un buen momento para que el guía señale que la gráfica en la cual se observa un disparo pertenece al tipo de problemas que se vieron anteriormente y que el segundo caso es el que a continuación se estudiará.

6. El docente puede comenzar la exposición del siguiente tema a estudiar exponiendo la resolución de ejercicios relativos a este describiendo paso por paso el correcto proceder.


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7. Hasta aquí, se puede generar la evidencia correspondiente brindando alrededor de 15 minutos para realizar un mapa mental de los conceptos tratados anteriormente.

8. Pasado el tiempo, se puede asignar un grupo de ejercicios a fin de que los estudiantes pongan en práctica lo visto con límites al infinito.

9. Cuando se han expuesto ya los conceptos necesarios, el profesor presentará gráficamente una función que contenga alguna asíntota y volverá a fomentar el análisis de ésta por parte del grupo ¿qué observan? ¿qué pasa con la función en el punto x = a? cuando se hayan agotado los comentarios, o bien, cuando haya surgido la idea que el maestro busca, se puede dar la explicación de lo que es una asíntota, cómo se representa gráficamente y por qué es una línea que no termina nunca; así como qué es lo que sucede con la función a medida que se acerca a la asíntota.

10. Seguido esto, se pueden brindar ejercicios de práctica, pero combinándolas con el software GeoGebra a fin de que el estudiante visualice los conceptos estudiados.

Nota: Como en esta parte se utiliza una buena parte de fundamentos de álgebra se recomienda elegir alumnos (aquellos más adelantados, que entiendan mejor el tema, etc.) como cabeza de equipo a fin de tener una atención personalizada en cada grupo formado.


1. Grupos de ejercicios resueltos de los temas estudiados (Ver rúbrica para la evaluación de resolución de ejercicios matemáticos en equipo)


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2. Evidencia generada (la que el profesor halla designado) de los temas discutidos durante la (s) sesión (es). A guardar en el portafolio de evidencias

3. Reporte de resultados de práctica (en caso de que el docente haya dispuesto una con el software GeoGebra) (Ver rúbrica para la evaluación de prácticas).

3.8 Funciones Continuas y Discontinuas en un punto y en un intervalo y 3.9 Tipos de Discontinuidades.


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1. El profesor puede asignar como tarea previa a la sesión en que se estudiará el tema una lectura de tipo investigativo acerca de Funciones Continuas y Discontinuas, planteando además ciertas interrogantes (por ejemplo ¿A qué nos referimos al decir que una función es continua? ¿A qué nos referimos al decir que una función es discontinua? ¿Cómo sé si una función es continua? ¿Qué diferencia hay cuando se dice que la función es discontinua en un punto y en un intervalo?, etc.) El alumno elaborará un reporte de la información encontrada y con las respuestas a las preguntas realizadas por el instructor.

2. El profesor puede abrir la clase con las aportaciones de lo que los alumnos encontraron en su investigación; aprovechando los comentarios para comenzar a introducir al grupo en el tema de estudio.

3. Prepare el profesor un collage o presentación en donde se incluyan funciones varias (continuas y discontinuas) iniciada la clase, el profesor presentará el material y propiciará un intercambio de ideas acerca de lo que se observa.

4. Como actividad de reforzamiento para verificar que el estudiante ha captado el concepto de continuidad y discontinuidad el estudiante puede generar un dibujo que plasme la información que recibió.

5. Se continuará con la exposición por parte del profesor acerca de los requerimientos necesarios de continuidad (teoremas) aplicándolos a algunos ejercicios (recuerde que el estudiante tendrá ya esta información en su reporte investigativo).

6. Se trabajará en equipos la resolución de otros ejercicios más a fin de practicar lo visto.

7. A fin de reforzar los aspectos necesarios para la continuidad de una función se puede organizar un concurso de composiciones musicales que incluyan las pruebas hechas para probar la continuidad de una función (que exista la función en el punto indicado, que exista el límite, etc.)

8. Como tarea también se puede encargar una investigación acerca de los tipos de discontinuidad que se pueden presentar; en este caso, el alumno elaborará un mapa mental que plasme la información encontrada.


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9. El docente puede preparar una presentación (en diapositivas o rotafolio) o collage con las gráficas de varias funciones que presenten diferentes tipos de discontinuidad. Llegado el momento, se pueden mostrar las gráficas y ya en pizarrón proceder al análisis de éstas, estableciendo como conclusión el tipo de discontinuidad que se tiene en cada una de las gráficas mostradas. En el caso de discontinuidad removible se indicará como redefinir la función y será el alumno quien construya la nueva gráfica. Se realizarán algunos ejercicios más para dejar más claro el procedimiento de prueba de discontinuidad y los tipos que existen.

10. Una serie de ejercicios será necesario para reforzar este tema.

11. El profesor puede diseñar una práctica en la que se visualice lo estudiado en este tema con ayuda del software GeoGebra.


1. Reporte investigativo de los temas encargados (Ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo)

2. Dibujo que plasma la información recibida en clase.

3. Resolución de los ejercicios indicados por el profesor (Ver rúbrica para la evaluación de resolución de ejercicios matemáticos en equipo)

4. Evidencia de la composición musical realizada con los nombres de los integrantes del equipo.

5. Mapa mental de los tipos de discontinuidad existentes (Ver rúbrica para la evaluación de un mapa mental)

6. Reporte de práctica utilizando GeoGebra (Ver rúbrica para la evaluación de un reporte de prácticas)

Unidad 4. DerivadasCálculo Diferencial Página 40

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4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.


1. Lectura previa por parte de los alumnos de los conceptos incremento y razón de cambio.

2. El instructor puede con anticipación preparar un pequeño examen (aproximadamente 5 a 10 min) de dos o tres preguntas (relativas a los temas de estudio encargados) para evidenciar la búsqueda de información y realizar un diagnóstico rápido del entendimiento del grupo en estos temas.

3. Al terminar el examen rápido el docente guiará un intercambio de ideas e información por parte de los alumnos; sirviendo como guía e induciéndolos a los conceptos a través de preguntas. Es importante que al terminar la discusión el profesor cierre la actividad exponiendo una conclusión con las ideas de los alumnos y aquella información que no se haya tocado durante los comentarios.

4. Una vez que se ha entendido el concepto de incremento y razón de cambio, se pueden formar equipos y elaborar un collage en el cual se visualicen situaciones en las que existan incrementos de variables y razones de cambio; se realizará una especie de galería dentro del salón (pueden ocuparse paredes, ventanas, etc.) y durante el recorrido cada uno de los equipos irá mostrando su collage, explicando las imágenes que se incluyeron, la idea que se quiso captar, así como las variables que intervienen en la situación planteada y como es la relación entre éstas (por ejemplo, si se incluyó un coche en apariencia de frenado, se pudiera identificar las variables velocidad y tiempo y explicar la relación de dependencia o independencia entre ambas, la razón de cambio, etc. Lo mismo si la apariencia del coche fuera de arranque).

5. Con anticipación el maestro preparará diversos planteamientos de situaciones en las cuales intervengan diversas variables (puede redactarlas en pequeños papeles a fin de ser repartidas); formará tantos equipos como situaciones haya preparado y asignará una a cada equipo. Se establecerá un tiempo de trabajo durante el cual cada equipo analizará su caso y tratará de identificar las variables


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que intervienen, aquellas que sufren algún incremento, si existe dependencia entre ellas, cuál de éstas juega el papel de variable dependiente y cuál de independiente; así como el planteamiento de los incrementos y razones de cambio para éstas. Al terminar el tiempo de trabajo, se procederá a la exposición grupal de los casos asignados a los equipos y se propiciará un análisis también grupal acerca de los resultados presentados por los estudiantes, siendo el profesor siempre guía y aclarador de dudas surgidas entre los jóvenes.

6. El profesor preparará una serie de problemas del tema a fin de ser resueltos por los alumnos; comenzará exponiendo la resolución de alguno de éstos paso a paso, buscando la participación activa de los jóvenes mediante preguntas y comentarios hechos. Posteriormente, repartirá los demás ejercicios a fin de que sean resueltos por el grupo, los mismos pueden ser resueltos en equipo a fin de que los estudiantes se enriquezcan con los comentarios y puntos de vista de sus compañeros. El docente jugará el rol de guía para los estudiantes aclarando dudas surgidas durante el ejercicio.

7. Para verificar el entendimiento de este tema y la participación de todos los miembros del equipo, se puede realizar un examen rápido (de uno a tres problemas escogidos al azar de la serie de ejercicios asignados)


A guardar en portafolio de evidencias:

1. Exámen rápido correspondiente al estudio de temas incremento y razón de cambio.

2. Collage alusivo los temas incremento y razón de cambio (ver rúbrica para la evaluación de un collage).

3. Hoja de caso analizado en equipo y el análisis hecho para el mismo (como se entregará por equipo incluir en éste los nombres de todos los miembros del grupo).


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4. Examen corto relativo a los ejercicios de incrementos y razón de cambio.

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.


1. Antes de iniciar clase, el instructor puede haber preparado una presentación en power point, rotafolio o algún otro medio en el cual se aprecie la interpretación gráfica de la derivada. Fungiendo el profesor como detonador de preguntas y expositor se llevará a cabo el análisis del gráfico, para así lograr que el grupo llegue a la definición matemática de derivada.

2. Para evidenciar esta parte y para ayudar a que los alumnos graben la parte vista, se darán 15 minutos a los estudiantes para que produzcan la imagen de la definición de derivada en una hoja, haciendo uso de colores y dándole su toque personal (sin alterar la parte matemática de lo visto) anexando en esta imagen comentarios personales acerca de lo que se vio anteriormente.

El software GeoGebra es un software libre de muy fácil uso que sirve para la elaboración de gráficas matemáticas. En esta parte, el software mencionado puede ser de mucha utilidad, ya que los estudiantes aún no han llevado materias de programación y esta herramienta les permitirá visualizar las gráficas estudiadas y jugar con ellas sin necesidad de grandes conocimientos en programación.

3. Una vez que se ha explicado la parte matemática que fundamenta a la definición de la derivada, el docente puede hacer una exposición de la misma en Geogebra; se graficará una función y a continuación se irá trazando una recta que pase por dos puntos de dicha función, acercando éstos cada vez hasta que el alumno logre visualizar la recta tangente final.

4. El maestro preparará ejercicios de práctica para la definición de derivada; expondrá algunos en el pizarrón, explicando paso a paso la aplicación de la definición de derivada; luego, a manera de comprobación puede realizarlos en GeoGebra para que los alumnos visualicen el análisis matemático y la forma gráfica de los ejercicios que llevan a cabo.


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5. A continuación se dará un tiempo aproximado de 10 minutos, para que los alumnos generen un mapa mental de los pasos que tienen que llevar a cabo al aplicar la definición de derivada.

6. Después de la explicación llevada a cabo por el docente, se formará el grupo en equipos y se les asignarán ejercicios que pueden consistir en el análisis de problemas y su comprobación en el software GeoGebra. Los alumnos entregarán el análisis de los ejercicios y las gráficas de los mismos hechos en el software indicado.

7. Como tarea, el instructor podría encargar ejercicios extra para que el estudiante los resuelva mediante el análisis matemático visto y además que muestre gráficamente (con ayuda de GeoGebra) lo que se obtuvo. Por ejemplo, si alguno de los ejercicios consistía en encontrar una recta tangente a una curva, el joven puede encontrarla analíticamente y luego visualizarla en el software.


1. Dibujo de la interpretación gráfica de derivada con comentarios personales.

2. Mapa mental de los pasos a seguir en la aplicación de la definición de derivada. (Ver rúbrica para la evaluación de mapas mentales).

3. Ejercicios resueltos y sus gráficas (ver rúbricas para la evaluación de resolución de problemas en equipo y evaluación de gráficas)


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4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.


1. Como tarea anterior a la clase, se puede dividir al grupo en varios equipos y encomendar la lectura de diferentes fuentes acerca de este tema, lo cual enriquecerá el material a analizar en clase y ofrecerá diversas formas de explicar un mismo tema; el profesor por anticipado puede listar algunas preguntas que los estudiantes tendrán que contestar también de tarea y después de haber realizado la lectura (como ejemplo de posibles preguntas a realizar son ¿qué es un diferencial? ¿cómo se relaciona el término diferencial con el de incrementos? ¿cuál es la diferencia entre un dx y un ∆x? ¿cuál es la ventaja de usar diferenciales en lugar de incrementos? ¿cuáles las desventajas?, etc.) Cada alumno elaborará un reporte de la información encontrada y la respuesta a los cuestionamientos encomendados en su cuaderno.

2. Durante la clase el docente propiciará el intercambio de la información encontrada por cada uno de los equipos, en caso de que exista información contradictoria y/o confusa, tratará por medio de preguntas de lograr que los estudiantes mismos lleguen a una conclusión; de no ser posible lo anterior, el profesor puede explicar esta dificultad.

3. Una vez que se analizaron las aportaciones hechas por cada uno de los equipos, como actividad de reforzamiento del material leído, el maestro dibujará en el pizarrón la interpretación geométrica de los diferenciales, así como la parte matemática de los mismos.

4. Se pueden dar alrededor de 15 minutos para que el estudiante genere el gráfico visto anteriormente (interpretación geométrica y matemática de los diferenciales)


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pero enriquecido por su toque personal. En el mismo incluirá ideas y comentarios que le haya dejado el debate grupal que se tuvo al principio (lo cual también servirá para evidenciar su participación activa en el mismo).

5. A continuación, el instructor expondrá el planteamiento y resolución de algunos problemas que haya preparado con anticipación. Al terminar de realizar el cálculo mediante diferenciales puede realizar el mismo problema a través de incrementos y propiciar una comparación entre los resultados, lo cual servirá para reforzar los conceptos de diferencial e incremento y la diferencia que existen entre éstos dos.

6. Se repartirán a los equipos una serie de problemas y se les designará un tiempo para trabajar en ellos.

7. Después de pasado el tiempo establecido en la actividad anterior, cada equipo puede explicar el planteamiento y solución de algún ejercicio. El docente propiciará la participación del resto del grupo para que pregunten, o bien, que debatan en caso de haber planteado el mismo problema de manera diferente. En este debate el profesor fungirá como guía y aclarador de dudas.

8. Para evidenciar la participación activa del estudiante en la exposición de los diversos ejercicios el profesor dará alrededor de 15 minutos para que cada uno de los estudiante produzca un dibujo relativo a lo comentado anteriormente.


1. Reporte investigativo del tema de diferenciales (Ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo).

Para el portafolio de evidencias:

2. Dibujo que incluya la interpretación geométrica y matemática de los diferenciales; así como también incluyendo los comentarios respectivos a la discusión mantenida al inicio de clase.

3. Problemas resueltos por equipo del tema de diferenciales (Ver rúbrica para la evaluación de resolución de problemas matemáticos en equipos).


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4. Dibujo respectivo al debate mantenido durante la exposición de los problemas resueltos en equipo.

4.4 Propiedades de la derivada y 4.5 Regla de la cadena


1. Como tarea previa a la clase el maestro asignará por equipos la lectura de diferentes fuentes bibliográficas o páginas web (confiables) a fin de que investiguen las propiedades de las derivadas y regla de la cadena; las lean, analicen y comprendan. La información será reportada en su cuaderno.

2. El profesor comenzará la clase invitando a los diferentes equipos a que pasen al pizarrón y vayan colocando alguna de las propiedades encontradas, así como explicando en qué consiste cada una; lo anterior se repetirá hasta que se hayan abarcado todas las propiedades a estudiar de las derivadas. Es importante que el profesor ponga atención en la explicación que den los equipos acerca de las propiedades a fin de intervenir en caso de ser necesario (explicación incorrecta, poco clara o dudas en las mismas).

3. Cuando se tengan escritas las propiedades de la derivada en el pizarrón, el profesor puede buscar como “estrategia” que los estudiantes relacionen las propiedades con algún otro concepto o idea a fin de que sea fácil para ellos volver a recordar la propiedad en cuestión mediante una asociación. Por ejemplo, quizás alguno de ellos visualice que la derivada de una suma de funciones obedece el mismo principio que la multiplicación de una constante por una suma y que podemos separar éstas aplicando la cte. a cada término; entre otros ejemplos que los estudiantes mismos propondrán. Resulta substancial que el guía haga la aclaración de que esto son solo estrategias, que para algunas personas puede


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servir, pero a otras no; y que cada uno de ellos debe buscar la mejor asociación para sí mismo.

4. Como evidencia de la participación en las actividades anteriores, se puede dar alrededor de 15 min. al estudiante para que genere un mapa conceptual con la propiedades vistas y algunas aportaciones (trabajadas en la actividad 3) relativas a asociaciones que puede realizar para recordar con mayor facilidad dichas propiedades.

5. Una vez que se hayan entendido las propiedades de la derivada, el docente puede exponer la regla de la cadena. Es primordial que se haga énfasis en la misma debido a su importancia dentro del cálculo diferencial. Una vez que se expuso el tema, se pueden repartir ejercicios a los estudiantes para que practiquen los conocimientos vistos (los ejercicios podrán ser resueltos en equipo para facilitar el aprendizaje con las aportaciones de los compañeros) durante el trabajo de equipo, el maestro puede seleccionar a algunos estudiantes que ya hayan captado la forma de aplicar la regla de la cadena y con ellos hacer “cabezas de equipo” esto asegurará que todos los grupos cuenten con al menos una persona que entienda el tema.

6. Como actividad de reforzamiento extraclase, el guía puede previamente haber seleccionado algunos videos en donde se muestre la aplicación de la regla de la cadena, a fin de que el estudiante pueda revisarlos y captar mejor el tema. En la página de www.youtube.com.mx puede tenerse acceso a gran variedad de estos videos en donde se explica el tema; basta poner el tema de regla de la cadena; es importante que todo el material recomendado sea previamente revisado por el profesor para no causar confusión en el estudiante por posibles errores en el análisis de los ejercicios vistos. El estudiante realizará un reporte de la información revisada.


1. Reporte investigativo acerca de las propiedades de la derivada y regla de la cadena (ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo).


http://www.youtube.com.mx/

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2. Mapa conceptual de las propiedades de la derivada enriquecido con las posibles asociaciones para recordar dichas propiedades (ver rúbrica para la evaluación de un mapa conceptual). A guardar en el portafolio de evidencias.

3. Ejercicios resueltos por equipo (ver rúbrica para la evaluación de resolución de problemas matemáticos por equipo).

4. Reporte del video analizado extraclase (ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo).

4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación


1. Lectura e investigación previa del tema; el educando se encargará de dar con las fórmulas de derivación y diferenciación; de tal manera que al llegar a su clase, cuente con éstas ya sea en su cuaderno o a manera de formulario o tabla.

2. Al inicio de clase, el instructor conformará equipos de trabajo.

3. Se establecerá un tiempo de trabajo, durante el cual, cada equipo tendrá la tarea de componer una canción con las fórmulas de derivación y diferenciación (el equipo podrá elegir canción, ritmo, género, etc.)

Recordemos, que la música ayuda a la memorización de conceptos y que si es un ritmo o canción que nos gusta, la aprendemos con mayor facilidad.

4. Una vez pasado el tiempo el profesor puede organizar una exposición de los temas compuestos y propiciar una votación para designar a la mejor canción compuesta.


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5. El guía puede continuar con la exposición de resoluciones de algunos ejercicios (hechos pasa a paso) y aplicando las fórmulas estudiadas.

6. Posteriormente, el maestro puede formar al grupo en equipos de 3 personas y asignarles ejercicios del tema.


1. Reporte (en el cuaderno) de las propiedades de la derivada encontradas (ver rúbrica para la evaluación de un reporte investigativo).

A guardar en el portafolio de evidencias:

2. Canción compuesta durante la actividad con el nombre de todos los integrantes del equipo.

3. Ejercicios resueltos en equipo (ver rúbrica para la evaluación de resolución de ejercicios en equipo). 4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hopital y 4.8 Derivadas de funciones implícitas.


1. Previo al comienzo del estudio de estos temas, el docente puede formar equipos y repartir mediante sorteo los temas a estudiar (el número de equipos dependerá del tamaño de grupo, aunque con 3 integrantes en cada agrupación será un buen número para evitar la no participación de algunos). La distribución del trabajo puede hacerse de la siguiente forma: 1 equipo expondrá la teoría de derivadas de orden superior, otros equipos (pudieran ser 3) se encargarán de exponer la resolución de un ejercicio relativo al tema (cada equipo expondrá un problema diferente) un equipo más expondrá la parte teórica de la regla de L´Hopital y otros 3 equipos la resolución de ejercicios diferentes (1 por equipo) acerca del tema mencionado.

Es importante que el maestro juegue el rol de guía, siempre atento a lo mencionado por los estudiantes e interviniendo en caso de que se exponga en forma equivocada algún concepto o procedimiento; se puede también lanzar


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preguntas detonadoras a fin de que el grupo vaya reflexionando acerca de lo estudiado.

Se pedirá a los alumnos que aunado al tema expuesto, deberán preparar actividades de reforzamiento del tema; por ejemplo, quienes expongan la parte teórica podrán preparar un cuestionario para verificar la información recibida; pueden encomendar la realización de un mapa mental o conceptual, etc. En el caso de los grupos que expongan resolución de ejercicios, podrían preparar algunos otros para dejar de tarea, pasar a algún compañero espectador al pizarrón para que los resuelva, etc.

2. El guía puede preparar un formato (antes de clase) de evaluación de la exposición con los indicadores contenidos en la rúbrica para la evaluación de una exposición de clase de matemáticas (ver anexo) de esta forma, puede ir evaluando a los integrantes del equipo durante su exposición; además, este formato será también repartido al resto del grupo, a fin de que evalúen a sus compañeros expositores. Cabe mencionar, que esta evaluación servirá para retroalimentar a los expositores acerca de sus áreas de oportunidad y de sus fortalezas; así mismo, esta hoja podrá servirnos como evidencia en la evaluación de participación en la actividad de exposición.

3. El profesor puede ir preparando un cuestionario que incluya los conceptos que son importantes pero que los equipos han dejado fuera durante las actividades puestas al grupo, este cuestionario puede realizarse al final de la clase.

4. Se asignará la resolución de ejercicios respectivos al tema; estos problemas serán resueltos de forma individual; sin embargo, los estudiantes podrán acudir a asesorías con alguno de los integrantes del equipo encargado del tema en el cual se tenga la duda; por ejemplo, si el equipo 1 se encargó de la exposición de la teoría de las derivadas de orden superior, y algún joven tiene una duda en esta temática; podrá realizar su pregunta a algún integrante del equipo 1; ya en caso de que no se pueda esclarecer esta duda, el guía intervendrá para aclararla y realizar observaciones.



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1. Evidencia del tema expuesto en donde se incluyan los nombres de los integrantes del equipo (por ejemplo, si es una presentación en power point, el equipo puede imprimir las diapositivas y entregar esto como evidencia; si el tema fue preparado en pequeñas notas, estas serán la evidencia a otorgar con el nombre de todos aquellos que conforman el equipo; etc.)

2. Ejercicios resueltos en forma individual por parte de los alumnos que estuvieron como espectadores (ver rúbrica para la resolución de ejercicios matemáticos en forma individual) en el caso de los equipos expositores, su evidencia será la hoja con los problemas que prepararon para asignar al grupo (de la misma forma resueltos y se evaluarán con la rúbrica ya mencionada)

3. Formato de evaluación de exposición llenado en forma individual.

4. Cuestionario que el profesor aplicó (en caso de haberse hecho)

5. Grupo de problemas resueltos en forma individual (ver rúbrica para la evaluación de ejercicios matemáticos en forma individual)

Unidad 5. Aplicaciones de la derivada

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto dado. Curvas ortogonales.


1. Un repaso de conceptos geométricos tales como: recta, ecuación de la recta, recta tangente, recta normal, pendiente de una recta, entre otros, serán encargados para su estudio previo a la clase en que se estudiará el tema 5.1.

2. El instructor puede abrir el tema con un examen rápido (alrededor de 5 preguntas sencillas, como por ejemplo: ¿cuál es la ecuación de la recta? ¿qué característica tiene una recta que es tangente a una curva? ¿Cuál es la características de una recta normal? ¿Qué significa el término ortogonal? ¿Cómo es interpretada la derivada de una función? Este examen, servirá para hacer un


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rápido diagnóstico acerca del estado del grupo respecto a este tema; siendo al mismo tiempo, evidencia del tiempo de estudio que se les fue encomendado como tarea.

3. El maestro con anterioridad habrá preparado diferentes problemas propios al tema (recta tangente y normal) los redactará y formará equipos asignando a cada uno algún problema de los que fueron preparados. Explicará que cada grupo planteará una solución a su ejercicio y posteriormente será expuesto el mismo. Se establecerá el tiempo de trabajo para esta actividad. La forma de exposición de sus ejercicios será libre y cada equipo decidirá si prepara alguna presentación, mapa mental, otros.

4. Cuando el tiempo de trabajo termine, cada equipo pasará, leerá su problema; expondrá el planteamiento hecho, el procedimiento seguido para su resolución y finalmente sus resultados. El docente propiciará el análisis tanto del planteamiento, como del procedimiento y resultados; así como también buscará la participación del resto del grupo en un debate acerca de lo anterior. Es importante que el maestro juegue el rol de guía y aclarador de dudas surgidas durante las discusiones del grupo. Se procurará dirigir los debates propiciando siempre una actitud de respeto y madurez ante los comentarios de todos los participantes. Vale la pena mencionar que en ocasiones la solución planteada por los equipos si bien es correcta, lógica o convincente, quizás no aterrizó en el tema de nuestro interés o el que estudiamos; en estos casos no podemos invalidar el planteamiento solución, sino presentarlo como una opción y si es posible invitar al grupo a reflexionar en otras formas de solución o bien, mediante cuestionamientos ir guiando al grupo para llegar a plantear una forma que aplique nuestro tema de estudio.

5. Una vez más, se puede introducir un trabajo de “comprobación” de resultados con la ayuda de GeoGebra; en donde el alumno puede obtener de manera analítica los resultados de los ejercicios y mostrarlo gráficamente. Esta actividad se introducirá como práctica (en donde el docente puede incluir los ejercicios que considere pertinentes, así como las hipótesis y/o planteamientos iniciales que dependerán de lo que desea que descubra el estudiante).



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A guardar en el portafolio de evidencias.

1. Examen rápido aplicado al inicio de clase.

2. Evidencia de la exposición de la solución de los ejercicios, la misma se entregará con los nombres de todos los integrantes del equipo (ver rúbrica para

3. Reporte de práctica (Ver rúbrica para la evaluación de un reporte de práctica de matemáticas)

5.2 Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange o Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial.


1. El profesor puede iniciar la clase con la exposición del tema.

2. Posteriormente, el docente resolverá algunos ejercicios paso a paso para que el grupo pueda visualizar la forma de resolución de los mismos.


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3. Se puede proporcionar un grupo de ejercicios a fin de que los alumnos practiquen lo que se ha visto (resueltos en forma individual).

4. Formando equipos, el instructor podría encomendar la tarea de realizar una búsqueda de situaciones en las que este tema pueda ser aplicado; una vez encontradas y seleccionadas éstas, el grupo realizará un collage en el que plasme la información encontrada. Una segunda sesión puede abrirse con la exposición de estos collage y con la explicación de cada equipo acerca de su trabajo.


1. Grupo de ejercicios resueltos por los estudiantes (Ver rúbrica para la resolución de ejercicios matemáticos en forma individual).

2. Collage entregado por equipos (Ver rúbrica para la evaluación de un collage).

5.3 Función Creciente y Decreciente. Máximos y Mínimos de una función. Criterio de la Primera Derivada para Máximos y Mínimos. Concavidades y Puntos de Inflexión. Criterio de la Segunda Derivada para Máximos y Mínimos y 5.4 Análisis de la variación de funciones.



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1. Lectura previa a la clase en la que se estudiarán estos conceptos. El estudiante elaborará un reporte investigativo de la información encontrada.

2. Antes de iniciar la clase, el instructor puede preparar ya sea un collage o bien una presentación en donde se incluyan imágenes de diferentes curvas en las que se aprecien los conceptos a estudiar (funciones con puntos máximos y mínimos; algunas otras que no los contengan; otras más con diferentes formas, etc.)

3. Se puede abrir la clase con las imágenes preparadas e invitar a los estudiantes a que comiencen a describir lo que ven (ligando sus comentarios con lo que estudiaron previamente, por ejemplo, un comentario podría ser: “yo veo que esa función contiene dos puntos máximos” a lo que el guía puede comenzar a cuestionar el por qué de sus dichos, etc.) El instructor aprovechará esta actividad para ir explicando con palabras sencillas (por el momento sin definiciones matemáticas) el significado de que un punto sea máximo o mínimo; lo que es un punto de inflexión; como es una concavidad hacia arriba o abajo, etc.

4. Se dará un tiempo aproximado de 15 min. a fin de que el estudiante genere un mapa mental que contenga una explicación (con sus palabras) de los conceptos estudiados.

5. Posteriormente, el docente puede continuar con la exposición de cómo analizar una función, en la cual dará todos los fundamentos matemáticos y definiciones formales de los conceptos estudiados; continuando con la realización de ejercicios en donde se aplique lo enunciado anteriormente. Se tratará de que la explicación dada contenga paso a paso todo aquello que se debe llevar a cabo (aplicación del criterio de la primera y segunda derivada y como obtener conclusiones a partir de los resultados obtenidos).

6. Ejercicios seleccionados por el profesor pueden ser asignados a equipos de trabajo a fin de que los estudiantes practiquen el análisis de funciones.

7. El instructor diseñará una práctica utilizando GeoGebra a fin de que el alumno constate que lo que está obteniendo analíticamente es correcto o no. Se procurará que la práctica contenga premisas o cuestionamientos a ser respondidos durante el desarrollo de la actividad.

Recordemos que en GeoGebra podemos graficar una función y haciendo click sobre la gráfica ver el valor del punto de interés para nosotros; lo cual ayudará mucho en este tema.


I T E S I

8. Como trabajo extra clase y de la misma forma en equipos, se puede asignar una tarea de investigación acerca de la utilidad que podemos dar al tema estudiado; es decir, los diferentes campos de aplicación que tienen estos conceptos. Se recomendará que en el trabajo incluyan por lo menos una aplicación respectiva a su carrera. Los grupos plasmarán la información encontrada en un collage; presentación, otro medio. La clase siguiente se pueden analizar los trabajos generados por los educandos. Es conveniente que el guía recuerde a los alumnos la importancia de que sus investigaciones se lleven a cabo en fuentes confiables, que desechen aquellas en las que la veracidad de la información que contienen es dudosa, poco clara o bien errónea. Para ello, cabe recomendar el siguiente link de búsqueda: http://scholar.google.com.mx/ página de google académico y muy apropiado, ya que nos entrega artículos, publicaciones, documentos serios acerca del tema en cuestión. Aunque también en los buscadores normales se puede encontrar muy buen material; resulta de vital importancia para nuestros estudiantes comenzar a fomentar la habilidad de discernir y analizar la información que llegan a tener en sus manos.


1. Reporte investigativo del tema (Ver rúbrica de evaluación para un reporte investigativo).

2. Mapa mental de la información analizada en clase. A guardar en portafolios

3. Ejercicios resueltos (Ver rúbrica de evaluación de resolución de ejercicios matemáticos por equipo).

4. Reporte de práctica

5. Collage de aplicaciones de los temas estudiados (Ver rúbrica de evaluación de un collage). A guardar en portafolios

5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.



http://scholar.google.com.mx/

I T E S I

1. Con anterioridad a la sesión en la que se verá este tema, el docente puede preparar un conjunto de problemas respectivos a optimización y una segunda colección referente a tasas de cambio.

2. Al inicio de la sesión el profesor formará grupos de trabajo, luego de lo cual explicará que cada equipo tendrá la tarea de dar solución al problema que le será entregado; que deberá analizarlo y dar la solución que le parezca más conveniente al mismo. El docente dejará que cada conjunto proponga la solución que decida (aún si no cae dentro del tema de estudio) esto ayudará a que los alumnos aprecien diferentes puntos de vista y puedan analizar los mismos y entender por qué si o no se puede aplicar cierta solución (ventajas y desventajas). Será conveniente que se les entregue el mismo problema a 2 o 3 equipos para analizar diferentes enfoques de una misma situación; si el número de equipos lo permite se entregarán algunos otros problemas (procurando también que algunos equipos tengan el mismo problema). Se establecerá un tiempo de trabajo durante el cual el instructor caminará por entre los grupos aclarando dudas y vigilando la participación activa de cada uno de los integrantes de los diversos equipos. La manera de exposición del problema será libre, así que el equipo decidirá si preparan alguna presentación, hoja de rotafolio, en pizarrón, etc.

3. Al terminar el tiempo asignado, los equipos a quienes les tocó el mismo problema expondrán el planteamiento de los ejercicios y sus resultados; el instructor propiciará un razonamiento de lo expuesto por parte del resto del grupo; analizando entre todos los pros y contras de su análisis. En el cierre de cada exposición el docente podrá indicar a los estudiantes el por qué su solución no fue la adecuada (en caso de ser así). Se continuará haciendo lo mismo con el resto de los equipos y problemas.

4. El proceso anterior se repetirá, pero ahora para el grupo de problemas relativos a tasas de relación.

5. Después del debate de las soluciones de los ejercicios anteriores, el profesor les planteará ahora un problema real y podrá manejarlo a manera de concurso entre equipos. Por ejemplo, puede asignarles algún tipo de material a los grupos (cartón, papel, cartulina, fumy, otro) y encargar la construcción de un recipiente (cúbico, rectangular, cilíndrico, etc.) ganará el equipo que logre construir el recipiente al que le quepa mayor volumen (de frijoles, harina, arena, tierra o alguna otra opción). Los equipos tendrán que fundamentar la construcción de su recipiente ¿en qué se basaron para elegir las medidas de éste? U otros cuestionamientos que el profesor establezca.


I T E S I

6. El guía asignará un segundo reto a los grupos, pero en esta ocasión respectivo a tasas relacionadas. La forma de trabajo será la misma que en la actividad anterior.

7. Para reforzar los conocimientos adquiridos se dejarán ejercicios a realizar por el estudiante en forma individual.

Evidencia para evaluación.


1. Evidencia de la exposición de la solución de sus problemas relativos a optimización con los nombres de los integrantes del equipo (pueden ser sus notas, diapositivas impresas, la hoja de rotafolio utilizada, cualquiera que haya sido su forma de presentación).

2. Evidencia de la exposición de la solución de sus problemas relativos a tasas relacionadas con los nombres de los integrantes del equipo (pueden ser sus notas, diapositivas impresas, la hoja de rotafolio utilizada, cualquiera que haya sido su forma de presentación).

3. Evidencia de la solución del reto de optimización que contenga los nombres de todos los integrantes del equipo (puede ser el objeto construido, el esquema planteado, hojas con el análisis hecho por el equipo, etc.)

4. Evidencia de la solución del reto de tasas relacionadas que contenga los nombres de todos los integrantes del equipo (puede ser el objeto construido, el esquema planteado, hojas con el análisis hecho por el equipo, etc.)

5. Ejercicios resueltos en forma individual (Ver rúbrica para la evaluación de la resolución de ejercicios matemáticos en forma individual)


I T E S I

En esta sección se proponen rúbricas para evaluar las distintas actividades que se han recomendado para trabajar.

A manera de ejemplo, se han elaborado dos rúbricas (evaluación de una exposición y elaboración de gráficas) con puntuaciones; las restantes se han dejado en limpio a fin de que sea el docente quien personalice sus rúbricas, quitando aquellos rubros que a juicio de él no sea necesario tomar en cuenta y asignando a cada uno el valor que considere pertinente.


I T E S I

En esta sección se proporcionan para las unidades de esta materia los formatos de planeación didáctica (llenos) requeridos por DGEST. Cabe mencionar que la calendarización dependerá de los tiempos que el docente asigne a cada tema; así mismo, las actividades de aprendizaje y enseñanza han sido planteadas de acuerdo a lo que aquí se ha propuesto; en caso de que el docente cambie y/o enriquezca las mismas; el cambio también se hará en estos formatos.


actividades para calculo diferencial[1]

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