MATEMTICA IPARTE A. GRUPAL

La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4 inclusive (abajo mencionados) y resolverlo recreando el contexto. Donde por recrear entendemos complejizar as: agregando dos nodos o vrtices involucrados (que pueden ser personas, objetos, ciudades, etc.), agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.), realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la gua, que esa operacin da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y contestarla usando la operacin matricial. Tambin, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente cuadradas? Simtricas? Invertibles? Fundamente.Para operar use los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris y OnLineMSchool. Capture imgenes con la tecla Imr Pant, con el paquete PhotoScape o similar.Interprete la informacin dada por cada una de las matrices (generadas ya se con informacin de partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su totalidad, y en forma ms especfica una entrada genrica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo.Todo ello lo orienta a dejar indicios de que comprende la modelizacin matemtica de la situacin contextual planteada.

Modelo 2. Ejemplos 16, 17 y 18 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde las matrices y sus potencias se suman, pre o post multiplican por una matriz fila o columna de unos para obtener nuevas matrices que brindan la informacin requerida. Aparece la matriz de adyacencia y tambin la matriz de dominacin.

EnunciadoUna importante empresa de transporte en tren europea tiene conexiones entre 6 ciudades. Sus clientes solicitan saber la siguiente informacin:a. N de conexiones directas entre las distintas ciudades.b. N de conexiones indirectas entre las distintas ciudades. Es decir pasando por una ciudad intermedia antes de llegar a destino.c. Posibles conexiones entre esas ciudades pasando por 3 intermedios.La siguiente grfica nos muestra las conexiones entre las distintas estaciones de las 6 ciudades.Aclaracin: La flecha que se encuentra en rojo es para que no se mezcle con las otras.

Podemos representar esta informacin en un cuadro:

VarsoviaMnichVienaSevilla Paris Roma

Varsovia10210

Mnich02100

Viena01001

Sevilla11030

Paris10011

Roma01200

Se lee: Sale de.Llega a.

Con esto podemos sintetizar en un cuadro la cantidad de conexiones directas que hay entre las 6 ciudades.

A continuacin borramos el resto de los caminos luego de individualizar. Esto nos ayudar a responder b.

Luego podemos analizarlo y representarlo de la siguiente manera:Se multiplica elemento a elemento la primera fila con la cuarta columna y al sumar este resultado obtenemos el total de salidas de i hacia j de la primera fila, cuarta columna, y as sucesivamente hasta obtener todos los resultados, por ejemplo:1 fila x 4 columna:

Varsovia10210

Sevilla

2

1

0

0

1

0

0 x 2 + 1 x 1 + 0 x 0 + 2 x 0 + 1 x 1 + 0 x 0= 2 salidas que van desde Varsovia hasta Sevilla.Al ver el grfico comprobamos que esto es verdadero. Y as hacemos con todas las ciudades.

Pero podemos representar esto de una manera que organice fcilmente la informacin de la siguiente manera:

Para obtener el N de caminos que pasando por una ciudad intermedia llegan a destino representa a la matriz B= AA= A2

La matriz C (A2) nos da informacin sobre el N de viajes en tren que salen de una ciudad y llegan a la otra pasando por un punto intermedio. Ej: Hay 2 caminos que van desde Varsovia y llegan a Mnich pasando por un punto intermedio.Los clientes tambin necesitan saber las posibles conexiones entre una ciudad y otra pasando por 3 puntos intermedios. Esto se obtiene haciendo la matriz B=AAAA=A4

Entonces la matriz C representa las posibles conexiones entre distintas ciudades pasando por 3 puntos intermedios.

Con toda esta informacin llega una persona que pregunta por un viaje desde Varsovia con destino a Pars y necesita saber:Cuntos caminos hay para ir desde Varsovia a Pars sin pasar por puntos intermedios?Luego de observar la matriz podemos responder que hay un camino para ir desde Varsovia a Pars?Pero prefiere realizar ese viaje con un punto intermedio, es decir, llegando a otra ciudad antes de Pars.Observamos la segunda matriz obtenida luego de realizar A2y podemos responder que hay un camino que la llevar desde Varsovia a Pars pero parando en una ciudad intermedia.

La empresa ha estado contratando a nuevo personal. Una de las dudas que varios de ellos tienen es como se interpreta la matriz, por ejemplo Que significa la columna de Varsovia?El empleado que dise la matriz les explica:La 1 columna de A, es decir la columna de Varsovia significa que existe un camino que va desde Sevilla a Varsovia en viaje directo.Existe un camino que va desde Pars hasta Varsovia en viaje directo. Las dems ciudades cuyos valores son 0 en la 1 columna no tienen caminos que vayan desde esa ciudad hasta Varsovia en viaje directo. Y as ocurre con las dems ciudades.

Otra forma de organizar la informacin es observando el N de viajes directos que tiene cada ciudad. Para ello sumamos en cada rengln sus elementos y obtenemos el n de viajes directos que tiene cada ciudad:=Podemos observar que Sevilla es quien ms viajes directos tiene hacia otras ciudades con 5.

Tambin podemos realizar lo siguiente:

=

Esto nos dice cuntos viajes directos hay para cada ciudad. Ejemplo: Hay 2 viajes que van directamente hacia Varsovia y Roma. Y 4 viajes que van directamente hacia las otras ciudades.

Debido a un problema en las vas del tren de la estacin de Viena hace que sea imposible ir hacia esta estacin, por lo que todos los viajes que pasaban por all han sido desviados a otras estaciones en donde trabaja esta empresa, y su distribucin es la siguiente:

Y su matriz es la siguiente:

VarsoviaMnich SevillaParsRoma

Varsovia1210

Mnich0102

Sevilla1130

Pars1011

Roma0200

Con esta matriz obtenemos la informacin sobre las conexiones directas entre distintas ciudades, luego de haber quitado la estacin de Viena hasta su reparacin.

Para poder realizar este problema necesitamos que la matriz sea cuadrada y simtrica, ya que para poder multiplicar entre matrices, como hicimos anteriormente, necesitamos que el nmero de filas sea igual al nmero de columnas.

Parte B. GrupalRecreacin del Ejemplo 28.1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la accin que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.T= nueva matriz de transformacin.Elegimos la matriz N3 de la lista . Le daremos un valor a k, el mismo ser k=.T=

D= matriz de coordenadas.D=

TD=H= nueva matriz del transformado por T.A continuacin calcularemos H.Calculamos mediante Wiris.

Calculamos mediante Wolfram Alpha.

De esta manera obtenemos H que corresponde a las nuevas coordenadas de N.H=

La siguiente imagen muestra la letra N con las coordenadas de la matriz D.

La siguiente imagen muestra la letra N con las coordenadas de la matriz H.

Las imgenes que se han mostrado anteriormente se realizaron con la misma escala de valores.

La matriz con la cual obtenemos las coordenadas de la letra original es la matriz inversa de T multiplicada por la matriz H.A continuacin lo demostramos.Calculamos T-1 mediante Wiris.

Calculamos T-1 mediante Wolfram Alpha.

Luego realizamos la multiplicacin de T-1.H lo que nos dar como resultado la matriz de las coordenadas de la letra original.Mediante Wiris

Mediante Wolfram Aplha.

Entonces queda demostrado que

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.S= nueva matriz de transformacin.Elegimos la matriz N6 de la lista . Le daremos un valor a k, el mismo ser k=1S=

H= nueva matriz de coordenadas.H=

SH=J= nueva matriz del transformado por S.A continuacin calculamos J.Calculamos mediante Wiris.

Calculamos mediante Wolfram Alpha.

De esta manera obtenemos J que corresponde a las nuevas coordenadas de N.J=

La siguiente imagen muestra la letra N con las coordenadas de la matriz H.

La siguiente imagen muestra la letra N con las coordenadas de la matriz J.

Las imgenes que se han mostrado anteriormente se realizaron con la misma escala de valores.La matriz con la cual obtenemos las coordenadas de la letra original (matriz H) es la matriz inversa de S multiplicada por la matriz J.A continuacin lo demostramos.Calculamos S-1 mediante Wiris.

Calculamos S-1 mediante Wolfram Alpha.

Luego realizamos la multiplicacin de S-1.J lo que nos dar como resultado la matriz de las coordenadas de la letra original (matriz H).Mediante Wiris.

Mediante Wolfram Alpha.

Entonces queda demostrado que

Clavero, Melina.Ortega, Cindy.