1. Demostrar que los siguientes límites existen:

2. Demuestre si la función h es continua en (0,0) si

h (x,y)= si (x,y) ≠ 0

0 si (x,y) = 0

3. Demuestre si la función g es continua en (0,0) si

h (x,y)= si (x,y) ≠ 0

2 si (x,y) = 0

4. Determine todos los puntos en lo que f es continua si:

f(x,y) = x2 + y2 si x2 + y2 ≤ 1

0 si x2 + y2 ≥ 1

5. Aplique la definición de derivada parcial para calcular D1 f(x,y) y D2 f(x,y) si:5.1. f(x,y)= 3x2 – 2xy + y2

5.2. f(x,y)= √(x2+y2)

6. Calcular las siguientes derivadas por definición:6.1. D1 f(3,-2), f(x,y)= 3x2 – 2xy + y2

6.2. D2 f(2,1), f(x,y)= xy2 – 5y + 6

7. Un envase metálico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto 6 pulgadas de altura interior, 2 pulgadas de radio interior y de 0,1 pulgadas de grosor. Si el costo del material es 40 centavos por pulgada cúbica, aproxime mediante diferenciales el costo total del metal empleando en la elaboración del envase.

8. Sean:

U= x2 + y3 x= r℮s y=r℮-s

Aplicar la regla de la cadena para calcular

9. Sean:

y= 2wz + z2 ω= ℮x z=cos x

Aplicar la regla de la cadena para calcular

10. Probar que se satisface la ecuación de Laplace en R2

En:

10.1. u(x,y)= ln(x2+y2)

10.2. u(x,y)=

11. Probar que se satisface la ecuación de Laplace en R3

En:

u(x,y,z)= (x2+y2+z2)-1/2