actividad n ¦2 jose a valladares l
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UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
Facultad de Ingeniería Evaluación de Análisis Numérico 10%
Actividad Virtual II 10%
Nombres y Apellidos:_ José Armando Valladares Loyo CI:__24001921__
Sección:_______SAIA C_____________ Fecha:__ 25/11/2014 ___
EJERCICIOS 10%
Facilitador: Prof. José E. Linárez
Reciban un cordial saludo los siguientes ejercicios propuestos deberán resolverlos y
enviarlos al link correspondiente hasta el 25/11/2014 pueden enviarlas utilizando
cualquier argumento, escaneo, Word, entre otros. Nota deben participar luego en el
foro de soluciones para poder ser evaluado.
1. Mediante la regla del punto medio y con n = 4, aproximar la ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6
0
Solución:
REGLA DEL PUNTO MEDIO
Sea f una función continua en [a, b]. La regla del punto medio para aproximar su
integral viene dada por:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
≈𝑏 − 𝑎
𝑛∑ 𝑓
𝑛
𝑖=1
(�̅�𝑖)
Donde xi es el punto medio del i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], es decir, �̅�𝑖 =𝑥𝑖−1+𝑥𝑖
2
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 0; 𝑏 = 1,6 𝑦 𝑛 = 4, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
∆𝑥 =𝑏 − 𝑎
𝑛
∆𝑥 =1,6 − 0
4= 0,4
Por lo que:
𝑥0 = 𝑎 = 0
𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥 = 0 + 0,4 = 0,4
𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 = 0,4 + 0,4 = 0,8
𝑥3 = 𝑥2 + ∆𝑥 = 0,8 + 0,4 = 1,2
𝑥4 = 𝑥3 + ∆𝑥 = 1,2 + 0,4 = 1,6 = 𝑏
�̅�1 =𝑥0 + 𝑥1
2=
0 + 0,4
2= 0,2; �̅�2 =
𝑥1 + 𝑥2
2= 0,6; �̅�3 =
𝑥2 + 𝑥3
2= 1,0; �̅�4 =
𝑥3 + 𝑥4
2= 1,4
Luego:
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6
0
≈ ∆𝑥 · ∑ 𝑓
4
𝑖=1
(�̅�𝑖)
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6
0
≈ ∆𝑥 · [𝑓(�̅�1) + 𝑓(�̅�2) + 𝑓(�̅�3) + 𝑓(�̅�4)]
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6
0
≈ 4 · [𝑓(0,2) + 𝑓(0,6) + 𝑓(1,0) + 𝑓(1,4)]
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6
0
≈ 4 · [𝑠𝑒𝑛(0,22) + 𝑠𝑒𝑛(0,62) + 𝑠𝑒𝑛(1,02) + 𝑠𝑒𝑛(1,42)]
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6
0
≈ 8,635784292
2. Mediante la regla del trapecio estimar el error que se comete cuando se
aproxima la ∫ 𝑒−𝑥2𝑑𝑥
2
0 con n=10
Solución:
Una cota para el error del método del trapecio para una partición de 𝑛 es dado por
|𝐸𝑇| ≤(𝑏 − 𝑎)3
12𝑛2𝑀𝑇
los valores de 𝑎 y 𝑏 son conocidos el valor de 𝑛 es el que debemos encontrar, por lo
tanto, debemos primero encontrar un valor para 𝑀𝑇 , para esto, recordemos que
𝑀𝑇 ≤ sup𝑥∈[𝑎,𝑏]
|𝑓′′(𝑥)|
por lo cual debemos conocer la segunda derivada, en este caso sabemos que para
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2
Se tienen las derivadas:
𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)
𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(−2𝑥) + 𝑒−𝑥2
(−2)
𝑓′′(𝑥) = 4𝑥2𝑒−𝑥2− 2𝑒−𝑥2
𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(4𝑥2 − 2)
Por lo que solo debemos acotar |𝑓′′(𝑥)| , para esto previamente acotamos 𝑒−𝑥2, como:
0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 4
Multiplicando por -1 a ambos miembros:
−4 ≤ −𝑥2 ≤ 0
Mediante la función exponencial:
𝑒−4 ≤ 𝑒−𝑥2≤ 𝑒0 = 1
Portando:
𝑒−𝑥2≤ 1
Quedando acotado el primer factor, para el segundo factor partimos de 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
con lo cual:
0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 4
Multiplicando por 4 ambos miembros:
0 ≤ 4𝑥2 ≤ 16
Restando 2
−2 ≤ 4𝑥2 − 2 ≤ 16 − 2
Tomando valor absoluto:
−14 ≤ −2 ≤ 4𝑥2 − 2 ≤ 14
|4𝑥2 − 2| ≤ 14
Luego:
|𝑓′′(𝑥)| = |𝑒−𝑥2(4𝑥2 − 2)| = |𝑒−𝑥2
||4𝑥2 − 2| ≤ 1 · 14
|𝑓′′(𝑥)| ≤ 14
Por lo que:
𝑀𝑇 = 14
El error para n = 10 nos queda:
|𝐸𝑇| ≤(𝑏 − 𝑎)3
12𝑛2𝑀𝑇 =
(2 − 0)3
12 · 10214
Por lo que tenemos:
|𝐸𝑇| ≤ 0,093333333
De todo lo anterior se obtiene que para 𝑛 = 10 particiones se obtiene un error
menor o igual a 0,093333333.
3. Hallar el numero n tal que la aproximación a través de la regla de Simpson de la
∫ 𝑒𝑥22
0𝑑𝑥 tenga una exactitud de 0,0001
Solución
Una cota para el error del método de Simpson para una partición de 𝑛
subintervalos es dado por
|𝐸𝑆| ≤(𝑏 − 𝑎)5
180𝑛4𝑀𝑆
Los valores de 𝑎 y 𝑏 son conocidos el valor de 𝑛 es el que debemos encontrar,
por lo tanto, debemos primero encontrar un valor para 𝑀𝑠, para esto, recordemos que
𝑀𝑆 ≤ 𝑠𝑢𝑝𝑥∈[𝑎,𝑏]
|𝑓(𝑖𝑣)(𝑥)|
Por lo tanto debemos conocer la cuarta derivada, en este caso sabemos del ejercicio
anterior,
𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(4𝑥2 − 2)
Derivando nuevamente:
𝑓′′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(4𝑥2 − 2) + 𝑒−𝑥2
8𝑥
𝑓′′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2[(−2𝑥)(4𝑥2 − 2) + 8𝑥]
𝑓′′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−8𝑥3 + 12𝑥)
𝑓(𝑖𝑣)(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(−8𝑥3 + 12𝑥) + 𝑒−𝑥2
(−24𝑥2 + 12)
𝑓(𝑖𝑣)(𝑥) = 𝑒−𝑥2(16𝑥4 − 24𝑥2 − 24𝑥2 + 12)
𝑓(𝑖𝑣)(𝑥) = 4𝑒−𝑥2(4𝑥4 − 12𝑥2 + 3)
Así, para hallar 𝑀𝑆 tenemos que acotar |𝑓(𝑖𝑣)(𝑥)| , para esto primero acotamos al igual
que en ejercicio anterior: 𝑒−𝑥2 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 y obtenemos
𝑒−𝑥2≤ 1
Quedando acotado el primer término.
Para el segundo término utilizaremos la desigualdad triangular en los reales (es decir,
|𝑎 + 𝑏 + 𝑐| ≤ |𝑎| + |𝑏| + |𝑐|) y obtenemos
|4𝑥4 − 12𝑥2 + 3| ≤ |4𝑥4| + |−12𝑥2| + |3| = 3 + 12|𝑥2| + 4|𝑥4|
Por lo tanto, lo único que es necesario acotar es: |𝑥2| y |𝑥4| a partir de 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, de lo
cual tenemos
|𝑥2| ≤ 4
|𝑥4| ≤ 16
Sustituyendo en la desigualdad anterior aseguramos que
|3 − 12𝑥2 + 4𝑥4| ≤ 3 + 12(4) + 4(16) = 115
Y así, podemos elegir: 𝑀𝑆 = 4(115) = 460.
La cota del el error tomara la forma
|𝐸𝑆| ≤(3)5
180𝑛4460 =
111780
180𝑛4
donde estamos buscando a su vez que sea menor que 0,0001 es decir,
111780
180𝑛4< 0,0001
Despejando n tenemos:
√111780
180 · 0,0001
4
= 49,91980728 < 𝑛
Tomando el siguiente valor entero par, en este caso 𝑛 = 50 particiones lo cual
garantiza un error menor o igual a 0,0001.
4. Use el método de la cuadratura de Gauss para evaluar la ∫𝑑𝑥
3+𝑥2
1
−1
Para n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después compárelo con el
resultado exacto.
Número de puntos, n Puntos, xi Pesos, wi
1 0 2
2 ±√1/3 1
3
0 8⁄9
±√3/5 5⁄9
4
±√(3 − 2√6/5)/7 18 + √30
36
±√(3 + 2√6/5)/7 18 − √30
36
5
0 128⁄225
±1
3√5 − 2√10/7
322 + 13√70
900
±1
3√5 + 2√10/7
322 − 13√70
900
Para n = 2:
2n – 1 = 2·2 – 1 = 3
Se tiene para:
𝑓(𝑥) =1
3 + 𝑥2
Para n = 2 se puede resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de
grado igual o menor a 3 para f(x).
∫𝑑𝑥
3 + 𝑥2
1
−1
≈ ∑ 𝜔𝑖𝑓 (1 − (−1)
2𝑥𝑖 +
1 + (−1)
2)
2
𝑖=1
∫𝑑𝑥
3 + 𝑥2
1
−1
= 𝜔1𝑓(𝑥1) + 𝜔2𝑓(𝑥2)
∫𝑑𝑥
3 + 𝑥2
1
−1
≈ 1 · 𝑓 (−1
√3) + 1 · 𝑓 (−
1
√3)
∫𝑑𝑥
3 + 𝑥2
1
−1
≈1
3 + (−1
√3)
2 +1
3 + (1
√3)
2
∫𝑑𝑥
3 + 𝑥2
1
−1
≈1
3 +1
3
+1
3 +1
3
=110
3
+110
3
∫𝑑𝑥
3 + 𝑥2
1
−1
≈ 0,6
Te deseo el mayor de los éxitos.
Prof: José E. Linárez