UNIDAD 5 ACTIVIDAD 6 2015

PARTE A

Estructura algebraica

Una Estructura Algebraica es un objeto matemtico consistente en un

conjunto no vaco y una relacin ley de composicin interna definida en l.

En algunos casos ms complicados puede definirse ms de una ley de

composicin interna y tambin leyes de composicin externa.

Grupo

Sea el par (A , ) , donde A es un conjunto no vaco dotado de una ley de

composicin interna binaria :

(A , ) es un grupo se define sobre A una estructura de grupo s:

a) es asociativa.

Es decir a , b , c : a, b, c A a b c a b c

b) posee elemento neutro en A.

Es decir e A / a , si a A a e e a a

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .

Es decir a A , a A / a a a a e

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Tipos de grupo

Grupo Abeliano Grupo conmutativo

Es cuando adems de ser un grupo es conmutativa,

Es decir a , b : a, b A a b b a

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es

finito y su cardinal se llama orden del grupo.

Grupo cclico

Es un grupo conmutativo, finito o infinito, que puede ser generado por multiplicacin reiterada de un slo elemento.

Grupo de Lie.

Es una variedad diferenciable real o compleja que es tambin un grupo tal

que las operaciones de grupo (multiplicacin e inversin) son funciones

diferenciables o analticas.

Subgrupo

Un subconjunto no vaco B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y

solo s ( B , ) es un grupo.

Por ejemplo, ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).

Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composicin interna

con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A , , )

que tambin son estructuras algebraicas.

(A , , ) es un Anillo sii (A , ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un

semigrupo y la segunda operacin distribuye sobre la primera.

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Homeomorfismo

Un homomorfismo (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemtico a otro con la misma estructura algebraica, es una funcin que preserva las operaciones definidas en dichos objetos.

Si son grupos, segn la definicin una funcin es un homomorfismo de grupos si:

1. para todo par de elementos ;

2. , siendo los neutros de y ;

3. para todo .

Un -espacio vectorial (donde es un cuerpo) es un conjunto que tiene definida una suma entre elementos del grupo y un producto de escalares por elementos del conjunto; la suma tiene un neutro y cada elemento tiene opuesto. Por lo tanto, utilizando la definicin, para que una funcin entre dos espacios vectoriales sea un homomorfismo debe verificar:

1. , para todo ;

2. , para todo y todo ;

3. ;

4. para todo .