MATEMTICA IACTIVIDAD 5

Parte C. Grupal.Seleccionecon su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construyauna transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luegoexplicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica):a) El vector genrico TX.b) El ncleo de esta TL.c) Los autovalores de la TL.d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.Adems:e) Grafiquecada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado.f) Analicesi A es diagonalizable. En caso de serloconstruyaP y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar:Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?g) Planteela transformacin inversa.Use paquetes informticos en los clculos.Las matrices que se dan originan diferentes casos: diagonalizable, no diagonalizable; uno, dos, tres autovalores diferentes; autovalor de multiplicidad superior a 1; uno, dos, tres, autovectores LI, etc., etc. La idea es cubrir diversidad de situaciones quenos lleven a esclarecer ideas. Pregunte sus dudas estudiamos y aprendemos juntos! No est solo!O no nota que le tengo su mano?

La matriz seleccionada es:

Transformacin matricial:

A. El vector genrico TX:

B. Ncleo de sta TL:

Buscamos el vector X que satisfaga lo planteado anteriormente.Calculamos el determinante de A con WIRIS:

Al ser el det(A)=-6 sabemos que el sistema admite una nica solucin. Por lo cual el vector que buscamos es .

C. Autovalores de la TL:A partir de la siguiente definicin:Dado un cierto escalar k, siempre existe un X tal que AX=kX. Ese X es nicamente nulo o bien forma parte de un subespacio vectorial llamado autoespacio o espacio propio asociado a k. Tales X no nulos reciben el nombre de vectores propios o autovectores y los correspondientes k valores propios o autovalores.

Resolvemos ecuacin cuadrtica para as obtener sus races:

Los valores a reemplazar son:a=1b=1c=-6

Obtenemos k1=2 y k2=-3, que son nuestros autovalores.

D. Base de los autovectores asociados a cada autovalor:Para k=2

Entonces, a partir de la definicin planteada en el punto C, tenemos:

Entonces: -2x1=x2. Concluimos:

Para k=-3:

Entonces, a partir de la definicin planteada en el punto C, tenemos:

Entonces: 3x1=x2. Concluimos:

Verificamos la solucin:

E. Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado:

F. Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?

Si A es diagonalizable se debe cumplir:

Referencias:

Calculamos el determinante de P:

Como el det (P)0existe P-1 y es:

Verificamos:

G. Plantee la transformacin inversa:

La inversa de A:

La transformacin quedar:

Clavero, Melina.Ortega, Cindy.