Instituto Universitario Aeronutico Facultad de Ciencia de la Administracin

Materia: MATEMATICA I

ACTIVIDAD GRUPAL N 4

Alumno: FRAIRE, Emiliano y VILETA, Erico - Resolucin: PARTE A (enunciado 28), PARTE B (enunciado 22 y 28)

FRAIRE, EMILIANO - Resolucin: PARTE C - Actividad individual

Parte A

28) Cada vez que A y B son invertibles A+B lo es? Una matriz es invertible si solo si su determinante es distinto a cero.

|| 0 || 0

La suma de matrices invertibles no siempre es invertible, ahora vamos a dar un ejemplo para demostrar tal caso

= [4 110 4

] ; = [2 32 4

]

Calculamos los determinantes para ambas matrices

|| = (4 4) (1 10) = 6 Esta matriz si es invertible porque su determinante es 0

|| = (2 4) (3 2) = 2 Esta matriz si es invertible porque su determinante es 0

Ahora sumando las dos matrices A + B

+ = [4 1

10 4] + [

2 3

2 4] = [

6 412 8

]

Le calculamos su determinante a la suma de A+B

| + | = (6 8) (4 12) = 48 48 = 0

det( + ) = | + | = 0

Basndonos en la frmula para calcular matriz inversa a travs del determinante

( + )1 = 1

det( + )( + )

Vemos que para que una matriz sea invertible su determinante (denominador) debe ser distinto de cero. Por lo que A+B

no es invertible.

Parte B

22)

El personal de las dependencias operativas del aeropuerto de Mendoza (TWR, ACC y ARO AIS)

Se distribuye segn la tabla. Se realiza una reunin con todo el personal de las dependencias operativas a fin de informarlos de novedades laborales de importancia pero se produce la novedad que slo 20 operadores concurren (debido a la falta de informacin oportuna sobre la ocurrencia de la misma). De los 20 asistentes un 12% eran oficiales, 62% suboficiales y 26% civiles. Cuntos operadores concurrieron de cada dependencia?

TWR ACC ARO - AIS

Oficiales 5% 10% 15%

Suboficiales 80% 65% 55%

Personal Civil 15% 25% 30%

Datos: conocemos que para cada dependencia operativa del aeropuerto posee un porcentaje de asistentes que se

componen de oficiales, suboficiales y civiles.

Como se observa en la tabla para cada dependencia hay un porcentaje de cada grupo de asistentes; es decir que, por

ejemplo, para la dependencia del aeropuerto TWR posee un 5% de oficiales, un 80% de suboficiales y un 15% del total

de los asistentes. Tambin conocemos que el total de los asistentes es de 20 y que se reparten en distintos porcentajes

(un 12% eran oficiales, 62% suboficiales y 26% civiles)

Definimos las variables:

Definimos a x como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia TWR.

Definimos a y como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia ACC.

Definimos a z como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia ARO-AIS

A partir de todos estos datos podemos plantear el sistema de ecuaciones:

= {5 + 10 + 15 = 1280 + 65 + 55 = 6215 + 25 + 30 = 26

Construimos la matriz aumentada

[58015 106525 155530 126526 ]

Resolviendo el siguiente SEL por la regla de Cramer:

= [58015 106525 155530 58015 106525] = (9750 + 8250 + 30000) (14625 + 6875 + 24000) = 2500

= [126226 106525 155530 126226 106525] = (23400 + 14300 + 23250) (25350 + 16500 + 18600) = 500

= [58015 126226 155530 58015 126226] = (9300 + 9900 + 31200) (13950 + 7150 + 28800) = 500

= [58015 106525 126226 58015 106525] = (8450 + 9300 + 24000) (11700 + 7750 + 20800) = 1500

=

=500

2500= 0.2

=

=500

2500= 0.2

z =z

s=1500

2500= 0.6

Corroborando con el paquete informtico OnlineMSchool:

Mtodo de la inversa por OnlineMSchool:

En conclusin el resultado que tenemos es el siguiente

1 =1

5; 2 =

1

5; 3 =

3

5; 1 = ; 2 = ; 3 =

Verificacin:

{

5

1

5+ 10

1

5+ 15

3

5= 1 + 2 + 9 = 12

801

5+ 65

1

5+ 55

3

5= 16 + 13 + 33 = 62

151

5+ 25

1

5+ 30

3

5= 3 + 5 + 18 = 26

Como se observa en la verificacin los resultados coincides.

{

=

1

5

=1

5

=3

5

: = {(, , )/ =1

5, =

1

5, =

3

5}

Conclusin:

De acuerdo con los resultados obtenidos los operadores que concurrieron de cada dependencia fueron:

Sabemos que el total de asistentes es de 20 personas y x la cantidad porcentual de operadores que concurrieron a la

dependencia TWR.:

20 1

5 = 4

20 1

5= 4

20 3

5= 12

Para saber qu cantidad de asistentes para cada dependencia hay:

Dependencia TWR:

4 personas en total, de los cuales 5% = 0,2 oficiales, 80% = 3,2 de suboficiales y 15%= 0,6 civiles. Como hablamos de

personas no podemos trabajar con decimales por lo que podemos estimar que para esta dependencia no hay oficiales,

hay 3 suboficiales y 1 civil.

Dependencia ACC:

4 personas en total, de los cuales 10% = 0,4 oficiales, 65% = 2,6 de suboficiales y 25%= 1 civiles. Lo que podemos estimar

que para esta dependencia no hay oficiales, hay 3 suboficiales y 1 civil.

Dependencia ARO-AIS:

12 personas en total, de los cuales 15% = 1,8 oficiales, 55% = 6,6 de suboficiales y 30%= 3,6 civiles. Lo que podemos

estimar que para esta dependencia hay 2 oficiales, hay 6 suboficiales y 4 civil.

PARTE B Continuacin y cambio de consigna

28)

Determine el valor de k para la cual el SEL asociado a la correspondiente matriz de coeficientes A no pueda resolverse

usando la Regla de Cramer ni el mtodo de la inversa.

1 8

0 1

53 6 1

k

A k

Tomando la fila 2 calculamos el determinante

= [1 8 0 153 6 1

] = | 86 1

| + 0 |1 853 1

| + 1 |1 53 6

|

= ( + 48) + (6 + 53)

= 2 48 + 53 6

= 2 + 5 6

Aplicamos la formula cuadrtica para obtener el valor de K

(1,2) = 2 4

2=

=5 52 4 (1) (6)

2

=5 1

2

1 =5 + 1

2= 2

2 =5 1

2= 3

: {( = 2), ( = 3)}

Parte C

Actividad individual

Alumno: Fraire Emiliano

3.1.41.

Tilde las afirmaciones correctas.

El determinante es un nmero real

El determinante es un nico para una dada matriz cuadrada

El determinante es una matriz u otro arreglo rectangular de nmeros

El determinante de una matriz es siempre positivo

El determinante de una matriz es un real no nulo

Para cualquier matriz no nula puede calcularse su determinante

Para estas afirmaciones verdaderas podemos fundamentar lo siguiente

El determinante es una relacin entre dos conjuntos, por un lado el conjunto de las matrices

cuadradas y por el otro el conjunto de los nmeros reales R, es una asignacin: a cada matriz A le asocia un nmero real det(A), es una Funcin: a cada matriz le corresponde un y solo un nmero real, es decir para cada A su det(A) es nico. Lo explicado anteriormente se simboliza matemticamente de la siguiente manera

: det()

3.2.84.

Tilde la opcin correcta para la afirmacin siguiente. Se llama cofactor del elemento o entrada ij de la matriz A, al deteminante de la submatriz de A que se obtiene eliminando la fila i y la columna j, multiplicado por 1 si i+j es par y por (-1) si i+j es impar. Se lo usa para calcular la matriz de cofactores de A, y por ende la adjunta de A. Y puede usarse para calcular la inversa de A.

Falso

Verdadero

Cofactor del elemento

El menor del elemento ij se denota por y se define como el determinante de la submatriz que deja al

eliminar de A la fila i y la Columna j. El elemento (1)+ = se conoce como el cofactor del elemento ij.

A partir de estas definiciones tenemos

11 = |22 2332 33

| = 2233 3223

11 = (1)1+1 11 = 2233 3223

21 = |12 1332 33

| = 1233 3213,

21 = (1)2+121 = (1233 3213) = 3213 1233

31 = |22 2332 33

| = 1223 2213,

31 = (1)3+1 31 = 1223 2213

det() = 1111 + 2121 + 3131

En un desarrollo por cofactores se calcula el det(A) al multiplicar los elementos de una fila o columna por sus

respectivos cofactores y al sumar los productos resultantes, por ello la mejor estrategia para evaluar un

determinante por medio del desarrollo de cofactores es tomar la fila o columna con mayor cantidad de

elementos nulos.

En general, si A es una matriz de n x n

det() = 11 + 22+. . +. .

=1

det ()

det() = 11 + 22+. . +. .

=1

det ()

La matriz [11211

12222

13233

.. 12

] = Se conoce como la matriz de cofactores de A, la Transpuesta

de esta matriz se conoce como la adjunta de A y se la denota por adj (A) Esta nueva matriz (transpuesta) definida, da origen a una nueva frmula para obtener la inversa de la matriz

1 = 1

det()()

3.3.35.

Tilde la opcin correcta para la afirmacin siguiente. Cualquiera sea A:

|| = ||

|| ||

, || = ||

, || = ||

La propiedad que podemos llegar a concluir es que

Si A es anti simtrica entonces |A|= (-1)n|A|. Y si n es par, |A|=0.

|-A|= (-1) n

|A|. Con lo cual tenemos la propiedad.

Por otro lado si n es par, quiere decir que

|A|=|-A|, en cuyo caso |A|=0

3.4.05.

La ecuacin lineal de la recta que pasa por los puntos (-1,-1) y (0,0) viene dada por -x+y=0

La ecuacin lineal de la recta que pasa por los puntos (1,1) y (0,0) viene dada Por la matriz

Calculando el determinante de esta matriz A

|| = | 11 1 10 0 1

| = + = 0