actividad 12
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Matemática
UNIDAD 3: DETERMINANTES
Alumno: Gallo, Liliana
Fecha. 20/05/2014
Actividad 12
¿Verdadero o falso?
Ejercicio 10.
Si A es 3x3, con detA = 4 entonces det (4A) vale 4detA.
Solución:
Como dato tenemos que A es de 3x 3 y detA=4
Calculamos det (4A) = Adet.43 64.4 = 256. Por propiedad )det(.)det( AccA n
nxn
En cambio 4detA= 4.4= 16
Por lo tanto es FALSO porque los dos valores no coinciden.
Fundamente en forma breve su respuesta
Ejercicio 26
det ( A)= 8 ¿cuánto vale det(-A) ?
Solución:
Dato det(A) =8, Como no especifica el orden de la matriz A, vemos el caso de 2x2
y 3x3, luego para el orden n x n.
Por propiedad : )det(.)det( AccA n
nxn , vemos que :
det (-A) = det ((-1).A) = (-1)n. det(A)
Si la matriz A es de 2x2 por ejemplo
El det (-A) = det ((-1).A)= Adet.)1( 2 1.8=8
Si A es de 3x3, tenemos que:
El det (-A) = det ((-1).A)= Adet.)1( 3 (-1).8=-8
En general Si A es de nxn, vemos que el determinante se multiplica por un factor
c por cada fila que multipliquemos por el escalar c, entonces, si multiplicamos
cada una de las n filas por (-1), el determinante se multiplicara n veces por (-1).
El det (-A) = det ((-1).A)= 8.)1(det.)1( nn A
Por lo tanto si n es par det (-A)= 8, si n es impar el det (-A) = -8.
Resolver, calcular, determinar, explicar.
Ejercicio 11: Calcule aplicando la Regla de Cramer la solución de
2
132
zx
zyx
0
2322
1
zy
zyx
zyx
2
2432
zyx
zyx
4222
2
2432
zyx
zyx
zyx
Regla de Cramer: para AX=B, la ecuación matricial de un SEL de n ecuaciones
en n variable con 0A
Cada variable se expresa como el cociente de dos determinantes, el
denominador es el determinante de la matriz de coeficientes y el numerador el
determinante de una matriz que se obtiene a partir de A reemplazando la columna
de los coeficientes de la variable x por el vector de términos independientes.
)det(
)det(
A
Ax i
i
Solución 1:
2
132
zx
zyx
No se puede calcular por la regla de Cramer por que el número de variables es
distinto al número de ecuaciones. La matriz de coeficientes no es cuadrada por lo
tanto no se puede calcular su determinante y también los determinantes de los
numeradores en la Regla de Cramer.
Nº de variables=3
Nº de ecuaciones=2
Solución 2:
0
2322
1
zy
zyx
zyx
La expresión matricial de la forma AX=B es :
A . X = B
0
2
1
110
322
111
z
y
x
El número de ecuaciones es igual al numero de variables. Para aplicar la regla de
Cramer, el 0A
1º Calculamos el determinante de A: utilizamos la matriz de coeficientes de A.
110
322
111
)det(A 1.2.(-1)+1.3.0+ 1.2.1- 1.2.(-1) – 1. 3.1- 1. 2.0 = -2+2+2-3= -1
det (A) = -1
Calculo del valor x:
11
1
)det(
)det(
110
322
111
110
322
111
A
Ax x , por lo tanto x=1
Calculo del valor de y:
01
0
1
22
1
0.1.1)1.(2.10.2.10.2.10.3.1)1.(2.1
)det(
)det(
110
322
111
100
322
111
A
Ay
y
Por lo tanto y= 0
Calculo del valor de z:
01
0
1
22
1
1.2.10.2.10.2.11.2.10.2.10.2.1
)det(
)det(
110
322
111
010
222
111
A
Az z
Por lo tanto el valor de z= 0
S= {(x, y, z) / x= 1,y=0, z=0}
Solución 3:
2
2432
zyx
zyx
No se puede calcular por la regla de Cramer por que el número de variables es
distinto al número de ecuaciones. La matriz de coeficientes no es cuadrada por lo
tanto no se puede calcular su determinante y también los determinantes de los
numeradores.
Nº de variables = 3
Nº de ecuaciones = 2
Solución 4:
4222
2
2432
zyx
zyx
zyx
A . X = B
4
2
2
222
111
432
z
y
x
Cálculo del determinante de A:
222
111
432
)det(A 2.1.2 +3.1.2+4.1.2- 4. 1.2- 3.1.2- 2.1.2= 4+6+8-8-6-4= 0
El det(A) = 0, por lo tanto no se puede aplicar la Regla de Cramer porque no
cumple la condición 0A .