actividad 1 · 2019. 8. 27. · nia 8 182 oila de erramientas ae e siseas e eaines sesiÓn 3...

UNIDAD

178 En marcha

8

Al terminar esta unidad lograré:

-Resolver por el método gráfico un sistema de ecuaciones simultáneas.

-Expresar una situación, bajo condiciones establecidas, en un sistema de ecuaciones simultáneas.

-Resolver sistemas de ecuaciones por el método de igualación, sustitución y reducción.

-Comprobar que un sistema de ecuaciones puede resolverse por eliminación de varios métodos.

SESIÓN 1

Números curiosos

Paso 1Leemos:El número capicúa, es un número palíndromo y debe su nombre a las palabras catalanas cap y cua que significan: cabeza y cola.

Un número capicúa hace referencia a cualquier número que puede ser leído de la misma forma, así sea de izquierda a derecha, como de derecha a izquierda. Para entender mejor este número especial veamos los ejemplos del Cuadro 1:

Actividad 1

RED DE NÚMEROS, SÍMBOLOS Y RELACIONES

Paso 2 Leemos: ¿Cómo encontramos números capicúas?Para generar números capicúas se elige un número al azar y se le suma el número que resulta de invertir sus cifras, veamos el siguiente ejemplo: 126 + 621 = 747

Palíndromo se refiere a palabras o frases que se leen de igual manera hacia adelante o hacia atrás.Ejemplo: “la ruta natural”Revisamos el siguiente link:http://goo.gl/7nXBzP http://goo.gl/TKLSqC

Cuadro 1

33 2,992363

9,55964,146

21,022,012

UNIDAD8

179En marcha

ContinúaPaso 2Si el número resultante no fuera capicúa se repite el proceso a partir de este resultado hasta encontrar uno que lo sea.

Elegimos tres de los números que se encuentran en el Cuadro 2 y encontramos los números capicúas:

Paso 3Leemos: El número 153 es un número curioso.Revisamos el siguiente procedimiento:

- Escogemos un número múltiplo de 3 (de preferencia de 2 cifras). Ejemplo: 72. - Elevamos al cubo cada una de las cifras que lo componen; 73 = 343 y 23 = 8. - Sumamos los resultados: 343 + 8 = 351 (Es un número capicúa). - Elevamos al cubo cada una de las cifras que lo componen: 33 = 27, 53= 125 y 13 = 1. - El resultado es: 153, de donde ya no podremos avanzar más. - Demostramos con el procedimiento anterior, que con el número 39 se llega a 153. - Discutimos el resultado en clase.

Existen nueve números palindrómicos de dos dígitos:http://goo.gl/TihxPq

21 46 54 64 75

123 491 667 845 345

Dato curiosoEn la Biblia aparece el número 153, en Juan 21:11 donde Pedro saca una red a tierra llena con 153 peces.Revisamos las propiedades del 153 en el siguiente link:http://goo.gl/qnFblS

153 = 13 + 53 + 33

Cuadro 2

UNIDAD 8

180 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES

SESIÓN 2

TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES

UN SISTEMA CON SOLUCIÓN

Paso 1 Leemos:Alberto Yax les ha explicado a sus estudiantes que el álgebra permite escribir diversas situaciones en forma simplificada, mezclando números y letras.

Resolvemos: Alberto plantea ejemplos que pueden escribirse como ecuaciones:

- El perímetro de un rectángulo es 28. - El producto de dos números es 24. - La suma de las edades de tres hermanos es 43.

- Escribimos las ecuaciones lineales que representan cada situación anterior y exponemos nuestros resultados en clase.

Paso 2 Leemos:La tía Marta repartió entre sus tres sobrinos 9 billetes que sumados dan 60 quetzales. Ella recuerda que los billetes eran de Q 5.00 y Q 10.00, pero no sabe cuántos de Q 5.00 y Q 10.00 repartió entre sus sobrinos.

- ¿Cómo ayudamos a la tía Marta a saber cuántos billetes tenía de cada uno? - Seguimos el procedimiento.Planteamos el sistema de ecuaciones como lo presenta el Cuadro 1.

- Describimos: ¿Por qué la ecuación 1 está igualada a 9? y ¿Por qué la ecuación 2 esta igualada a 60?

- Copiamos las ecuaciones en el cuaderno y verificamos si x = 4 e y = 5, son solución del sistema.

Actividad 2

X + Y = 9 (1)

(2)10X + 5Y = 60

x billetes de Q. 10.00

x billetes de Q. 10.00

y billetes de Q. 5.00

y billetes de Q. 5.00

UNIDAD8

181TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas

- Completamos las siguientes tablas en el cuaderno:

Trazamos la gráfica en el cuaderno e identificamos el punto P (x, y), donde las rectas se intersectan.

- Verificamos si la gráfica obtenida es similar a la planteada en la Figura 1.

Respondemos a las siguientes preguntas: - ¿Qué coordenadas cartesianas (x, y), son la solución de este sistema?

- Si no queremos completar las tablas anteriores, ¿qué otra estrategia tenemos para trazar las rectas en el plano cartesiano?

SESIÓN 2

Figura 2

ContinúaPaso 2

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de la forma: ax+by=c, donde x y y son las incógnitas y los números a, b y c son conocidos. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución. La Figura 2 muestra el esquema general de un sistema de ecuaciones lineales.

Tabla de la ecuación:x + y = 9

Si “x” vale:

Entonces “y” vale:

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Tabla de la ecuación:10x + 9y = 60

Si “x” vale:

Entonces “y” vale:

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Recordamos que, para encontrar los valores de las tablas, hay que despejar y de ambas ecuaciones.

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Figura 1

x

y

1050–5–10

5

10

15

20

Recta de la ecuación (1)

Recta de la ecuación (2)

UNIDAD 8


SESIÓN 3

CONJUNTO SOLUCIÓN

Actividad 3

Paso 4 Leo:Lucía ha decidido resolver el sistema de ecuaciones de la Figura 1, empleando la siguiente estrategia:

- En x + y = 6, establece que si x = 0 entonces y = 6, luego, Lucía dice que si y = 0 entonces que x = 6.

- Con esto determina las parejas: (0, 6) y (6, 0), los ubica Figura 1

x + y =6

5x – 4y = 12

en el plano cartesiano y los une con una línea. - En 5x – 4y = 12, establece que si x =0 entonces y = –3, luego Lucía dice que si y = 0 entonces x =12/5 que es en números decimales 2.4, por lo tanto, determina las parejas (0, –3) y (12/5, 0), Luego, los ubica en el plano cartesiano y los uno con una línea.

Luego de la lectura, describo en el cuaderno de forma detallada la estrategia que ha

- Verifico que las rectas se cruzan en el punto de intersección (4, 2).

- Compruebo si este punto satisface o es la solución de este sistema.

Rectas Uno los puntos: (x, y)

Recta (1) (0, 6) y (6, 0)

Recta (2) (0, -3) y (12/5, 0)

Paso 5 Leo:En la finca de don Mariano Rodríguez se tiene una avícola y, Ernesto su hijo, se ha encargado esta semana de acomodar 510 huevos en cartones pequeños que tienen capacidad para 6 huevos y otros cartones grandes con capacidad para 12 huevos. En total, utilizó 50 cartones que

x

y

3

2

1

–3

–2

–1

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

Punto de intersección

seguido Lucía para encontrar las parejas (x, y).Completo en el cuaderno la tabla y gráfica mostrada a continuación:

x + y = 50Figura 2

serán llevados al mercado para la venta. Ahora, don Mariano necesita saber cuántos eran cartones pequeños y cuántos cartones grandes.La Figura 2 me sirve de guía.

- Escribo el sistema de ecuaciones para esta situación. - Resuelvo el sistema trazando las rectas en el plano cartesiano.

UNIDAD8


SESIÓN 4

MIS CONOCIMIENTOS ESTÁN A PRUEBA

Actividad 4

Paso 6

¿Qué necesitamos saber? El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume de la siguiente forma:

- Se encuentran, para cada una de las ecuaciones de primer grado obtenidas, dos puntos cartesianos: (x, y).

- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. - Si el sistema es compatible o consistente (las rectas se intersecan).

Observo los siguientes sistemas de ecuaciones del Cuadro 1 y selecciono de las cuatro opciones el punto de intersección que satisface el sistema.

- Dejo constancia en el cuaderno del trabajo realizado.

Leo y resuelvo en el cuaderno:El circo de los Hermanos Navarro llegó al departamento de San Marcos y el encargado de vender los boletos ha informado que en la función de la tarde vendió 10 entradas de adultos y 9 de niños por un valor de 77 quetzales, y que en la función de la noche vendió 17 entradas de niño y 15 entradas de adulto por 126 quetzales.

- ¿Cuál es el precio de una entrada de niño y una de adulto? - Establezco para esta situación un sistema de ecuaciones. - Trazo las rectas en el plano cartesiano. - Determino el punto (x, y), de intersección y respondo a la pregunta.

x – y = 1x + y = 7

a. (3, 4)b. (4, 3)c. (–3, 4)d. (No existe solución

x – 2y = 1x – 2y = 4

a. (1, 0)b. (4, 0)c. (0, –2)d. (No existe solución

2x + 3y = 183x + 4y = 25

a. (3, 4)b. (4, 3)c. (–4, 3)d. (No existe solución

1 2 3

Cuadro 1

UNIDAD 8


SESIÓN 5

OTROS CAMINOS

Actividad 5

Paso 1 Leemos y analizamos:En la meseta de los Cuchumatanes, Alfredo tiene una parcela que tiene forma rectangular que utiliza para la crianza de ovejas. El perímetro de la parcela es de 240 metros. Ver Figura 1.

Paso 2 Indicamos cuál de las gráficas de la Figura 2 es solución del sistema:

Respondemos: - ¿Qué estrategia empleamos para seleccionar una de las tres gráficas? - ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de ecuaciones del Cuadro 1? - ¿Cuál es la diferencia entre la Gráfica 2 y las Gráficas 1 y 3?

Figura 1

- Si el ancho es x y el largo es y, trazamos en el cuaderno la parcela y la ecuación de primer grado que representa el perímetro.

x + y = 10x – y = 2

Gráfica 1 Gráfica 2

x

y

321

456789

–1–2–3–2–3

321 4 5 6 7 8 90

x

y

32

1

45

–1–2–3–4

–2–3–4

–5

32

1

40–1

Gráfica 3

x

y

321

456789

–1–2–3–2–3

321 4 5 6 7 8 90

UNIDAD8


SESIÓN 5

En el Paso 1 de esta sesión se estableció una ecuación para el perímetro de la parcela.Alfredo el dueño del lugar y sabe que, si medimos la parcela, esta es el triple de largo que de ancho.

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar el método gráfico, tal como se hizo en las sesiones anteriores, además se pueden emplear cualquiera de los tres métodos siguientes:

- Método de sustitución - Método de igualación - Método de reducción

Cuadro 1

2x + 2y = 240 (1)

y = 3x (2)

- Si el ancho es x y el largo es y, escribimos una ecuación que exprese esta situación.

- Verificamos si el sistema de ecuaciones del Cuadro 1 representan a la parcela de Alfredo.

- Explicamos y escribimos nuestro razonamiento.

A continuación, se explica el método de sustitución para el sistema de ecuaciones del Cuadro 1:

- Observamos que las ecuaciones están numeradas. - Sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1) de la siguiente forma:

- El método de sustitución consiste en reemplazar una de las expresiones en la otra ecuación. Se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita tal como se muestra a continuación:

- Sustituimos x en la ecuación (1) o (2), seleccionamos la ecuación (2) y sustituimos:

y = 3x ∴ y = 3(30) = 90

- Comprobamos que el conjunto solución de este sistema resuelto por el método de sustitución es x = 30, y = 90.

2x + 2 (3x) = 240

y = 3x

2x + 2 (3x) = 240

2x + 6x = 240

- Determinamos el valor de x: 8x = 240 ∴ x = 240= 30

8

UNIDAD 8


SESIÓN 6

EL CAMINO DE LA IGUALACIÓN

Actividad 6

Paso 4

¿Qué necesitamos saber? Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se debe despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita. El ejemplo 1 muestra el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones.

Resolvemos:

3x + 4y = –7 x – 2y =1

Despejamos x en ambas ecuaciones:

x – 2y = 1 es x = 2y + 1

3x + 4y = –7 es x =–4y –7

3

- En el cuaderno dejamos constancia del procedimiento que fue necesario para despejar x.

- Igualamos ambas ecuaciones despejadas:

Recordamos que simplificar es reducir a la expresión mínima.Veo el link:https://goo.gl/FdJ

- Explicamos, ¿qué obtuvimos con esta igualdad? - Simplificamos la ecuación anterior y comprobamos que el resultado obtenido es: –4y –7 = 3(2y +)

- Verificamos que el valor de y obtenido es igual a –1. - Obtenemos el valor x, sustituyendo y = – 1, en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

- Verificamos que el resultado sea, x = –1.

Respondemos en el cuaderno. ¿Cuál es la principal diferencia entre el método de sustitución e igualación?

Resolvemos por el método gráfico este sistema de ecuaciones y el resultado lo exponemos en un cartel.

–4y –7= 2y + 1

3

UNIDAD8


Paso 5 La Figura 1 ilustra un sistema de ecuaciones resuelto por el método gráfico.

- Dado este sistema, resolvemos en el cuaderno, por el método de sustitución este sistema y demostramos que el resultado obtenido es el mismo.

- Exponemos nuestro resultado en clase en un cartel.

Paso 6 Leemos:

Sara ha establecido el sistema de ecuaciones del cuadro 1 que representa las edades de su madre y la de ella, las cuales describe de la siguiente manera:—Mi madre Ana y yo, su hija llamada Sara, tenemos en la actualidad 56 años entre las dos. Dentro de 18 años, yo, Sara, tendré 5 años más que la mitad de la edad de mi madre.

SESIÓN 7

SUMAR Y RESTAR MANZANAS Y PERAS

Actividad 7

- Consideramos que x es la edad de la madre y y la edad de Sara. - Explicamos cómo se construyen cada una de las ecuaciones. - Simplificamos la ecuación (2). - Utilizamos el método de sustitución o igualación para determinar la edad de Ana y Sara. - Dejamos constancia del procedimiento en el cuaderno.

Cuadro 1

x + y = 56 (1)

y + 18 = 5 + x + 18 (2)2

Figura 1

2x + y = 2

x – y = 1

1

2

0

0 1 2–1–2

–1

–2

(1,0)

UNIDAD 8


SESIÓN 8

ENCUENTRO LA SOLUCIÓN.

Paso 1 Leemos:Alberto y Ana tienen dos tipos de botellas para la venta de refrescos de tamarindo y rosa de Jamaica. Ellos han colocado las botellas sobre una balanza en dos formas distintas, tal como se muestra en la Figura 1 y Figura 2. Luego, ellos han medido el peso total de las botellas y registraron en su cuaderno la información.

- Con los datos obtenidos por Alberto y Ana, ¿cómo podemos determinar el peso de cada botella?

Paso 2 Respondemos: ¿Cuántos gramos tiene un hectogramo?

- Escribimos una ecuación lineal para la siguiente distribución de botellas de refresco. Consideramos que las botellas grandes son x, las botellas pequeñas son y.

- La Figura 3 muestra esta situación donde cada punto representa un hectogramo.

Actividad 8

Figura 1 Figura 2

Respondemos: ¿Es posible resolver la ecuación formada a partir de la Figura 3?

Las tres botellasPesan 30 hectogramos

Las tres botellasPesan 18 hectogramos

UNIDAD8


- Escribimos el sistema de ecuaciones formado a partir de las Figuras 4 y 5 en el cuaderno. - El facilitador tendrá en una bolsa varios papelitos con las siguientes palabras:

- Un integrante saca un papelito de la bolsa e indica a su grupo qué método les ha tocado. - Resuelven el sistema de ecuaciones planteado por el método asignado.

Comprobamos que los resultados obtenidos son los siguientes - Las botellas grandes tienen un peso de 14 hectogramos. - Las botellas pequeñas tienen un peso de 2 hectogramos.

- Construimos un sistema de ecuaciones a partir de las Figuras 4 y 5 ilustradas a continuación, debemos considerar las mismas condiciones empleadas en el inciso anterior para formar cada ecuación del sistema.

ContinúaPaso 2

Figura 4

Figura 5

Métodográfico

Método deigualación

Método desustitución

UNIDAD 8


SESIÓN 9

A REDUCIR SE HA DICHO.

Actividad 9

Paso 3 Leo:

¿Qué necesitamos saber? El método de reducción, también llamado de suma y resta, permite resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. En este método, el desafío está en hacer iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Veamos el ejemplo 1.

Seguimos el ejemplo 1, del Cuadro 1:No necestitamos que las ecuaciones tengan coeficientes iguales, por lo tanto la estrategia es multiplicar por –2 toda la ecuación.

- Comprobamos en el cuaderno que: x = 5 y y = 7 son las soluciones del sistema de ecuaciones.

Leemos:¿Qué logramos con esta operación?Igualar los coeficientes de la variable x, pero con diferente signo, ahora efectuamos la suma de las ecuaciones para eliminar la variable x, dado que tienen signos distintos y resolver la ecuación resultante.

- Seguimos el procedimiento del Cuadro 2:

Cuadro 1

x + y = 12

2x – 3y = 31

–2x – 2y = –24

2x + 3y = 31

por –2 toda la ecuación

dejamos igual la ecuación

Cuadro 2

x + y = 12x + 7 = 12x = 12 –7 = 5

Sustituimos y =7 en la acuación1, para obtener

–2x – 2y = –24

2x + 3y = 31

y = 7

UNIDAD8


Paso 4Leemos:En los siguientes sistemas de ecuaciones, la estrategia es eliminar la variable x, igualando coeficientes con signo distinto.

- Copiamos en el cuaderno los sistemas y reducimos.

SESIÓN 9

x + 3y = 6

5x – 2y =13Sistema de ecuaciones 1

7x – 15y = 1

–x – 6y =8Sistema de ecuaciones 2

- ¿Por qué número debemos multiplicar la ecuación 1, para reducir la variable x en el sistema?

- Dejamos constancia del procedimiento en el cuaderno del proceso de reducción. - Verificamos si la variable y = + 1 - Determinamos el valor de x.

- ¿Por qué número debemos multiplicar la ecuación 2, para reducir la variable x en el sistema?

- Dejamos constancia del procedimiento en el cuaderno del proceso de reducción. - Verificamos si la variable y = + 1 - Determinamos el valor de x. - Empleamos el organizador gráfico: Tabla de secuencias, que se muestra en la Figura 1, para describir el procedimiento que se emplea para resolver uno de los anteriores sistemas de ecuaciones simultaneas por el método de reducción.

Tabla de secuenciasEscribamos los pasos en orden cronológico

Tema

Primero

Siguiente

Siguiente

Siguiente

Siguiente

Último

Figura 1

UNIDAD 8


SESIÓN 10

EL CAMIÓN DE DON RAMIRO

Actividad 10

Paso 5 Leemos:Don Ramiro tiene un camión cargado con 150 paquetes de manzanas y duraznos que debe llevar al mercado de Tecpán para la venta. Los paquetes de durazno pesan 1 kilogramo y los de manzana 2 kilogramos.

- Respondemos: ¿Cuántos paquetes de cada fruta lleva en el camión sí el peso total es de 265 kilogramos?

Seguimos la guía para dar respuesta a este problema: - La Figura 1 muestra ilustra el sistema de ecuaciones de forma gráfica. Si los paquetes de manzana son x y los de durazno y, entonces escribimos el sistema de ecuaciones en el cuaderno.

- Explicamos porque la ecuación 1 está igualada a 150 y la ecuación 2 está igualada a 265, ¿Cuál es la diferencia?

- Resolvemos por el método de reducción el sistema de ecuaciones planteado. - Verificamos que Don Ramiro lleva en su camión 35 paquetes de manzana y 115 paquetes de durazno.

- Demostramos que todas las cajas pesan 265 kilogramos. - Exponemos los resultados en clase en un cartel.

Figura 1

150

265(1) (2)

UNIDAD8


SESIÓN 11

SON DOS VARIABLES, NO UNA.

Actividad 11

Paso 6 Leemos:Santiago coloca sobre una balanza 5 manzanas y 2 peras. Al registrar su peso resulta que estas pesan en total 750 gramos. Luego, deja sobre la balanza 2 manzanas y 2 peras. Registra ahora el peso y obtiene 700 gramos, tal como se ilustra en la Figura 1.

Figura 1

Figura 2

- Escribimos un sistema de ecuaciones que represente la Figura 1. Consideramos que x es la variable asociada a manzana y que y es la variable asociada a peras.

- Resolvemos por el método de reducción el sistema de ecuaciones y dejamos constancia del procedimiento en el cuaderno.

- Comprobamos que cada manzana tiene un peso de 100 gramos y que cada pera tiene un peso de 250 gramos.

- Explicamos qué sucede si Santiago decide que el arreglo de frutas mostrado en la Figura 2 se debe sustituir por la segunda ilustración de la Figura 1 ¿Cambian los resultados?

UNIDAD 8

194 Mochila de herramientas TALLER DE ECUACIONES

SESIÓN 12

ENCUENTRO LA RESPUESTA CORRECTA.

Actividad 12

Paso 1 Observo que en la Figura 1 se muestra 2 gráficas que son la solución de un sistema de ecuaciones simultaneas.

- Elijo la gráfica que corresponde a la solución del sistema que se muestra en el Cuadro 1.

Cuadro 1

2x + 3y = 4

5x – 6y = 17

Figura 1

- Explico los criterios que utilicé para elegir la solución correcta.

1

2

3

4

5

6

7

–1

–2

1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

Gráfica (a)

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5–1–2

Gráfica (b)

UNIDAD8

195TALLER DE ECUACIONES Mochila de herramientas

SESIÓN 12

Paso 2 Leo:Nora vende atol en el Mercado Central. Hoy, Alberto le ha pagado 24 quetzales por 3 vasos de atol de elote y 2 escudillas de atol blanco. Elena, que llega después, le compra 4 vasos de atol de elote y una escudilla de atol blanco, por lo que le paga 22 quetzales.

¿A qué precio vende Nora el vaso atol de elote y a cuál precio el vaso de atol blanco?

Resuelvo en el cuaderno: - Analizo la Figura 1 y planteo una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones simultaneas en el cuaderno para esta situación. Tomo en cuenta la información del Cuadro 2.

x = Precio de un vaso de atol de elote

y = Precio de un vaso de atol blanco

Cuadro 2

- Analizo la Figura 2 y planteo la otra ecuación que completa el sistema de ecuaciones para esta situación.

Resuelvo el sistema de ecuaciones planteado por cualquiera de los métodos de eliminación en el cuaderno.

- Explico cada uno de los procedimientos que realizo hasta llegar a la respuesta final. - Compruebo que la respuesta sea: x = 4, y = 6.

Atol de eloteQ. 4.00

Atol BlancoQ. 6.00

2424XX YY

Atol de elote Atol Blanco

22X Y

Figura 1

Figura 2

UNIDAD 8


Paso 3

SESIÓN 13

RESOLVEMOS UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Actividad 13

¿Qué necesitamos saber? Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones simultaneas, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resolver el sistema planteado empleando cualquiera de los métodos ya estudiados. El ejemplo 1 sirve de guía.

x = Billetes de Q. 10.00

y = Billetes de Q. 20.00

Cuadro 1

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Cuadro 2

Seguimos el orden: - Establecemos, quién es x y quién es y, tal como se muestra en el Cuadro 1:

- Escribimos las 2 ecuaciones que integran el sistema de ecuaciones. La Figura 1 muestra la primera ecuación ilustrada. Traducimos esta ecuación y la escribimos en el cuaderno.

Ejemplo 1:Antonio tiene en alcancía billetes de 10 quetzales y 20 quetzales, en total tiene 20 billetes y 440 quetzales, que servirán para la compra de zapatos de sus hijos.

- ¿Cuántos billetes tiene de cada valor?

- La segunda ecuación de este sistema se ilustra en la Figura 2. Completamos la ecuación.

Escribimos el sistema de ecuaciones de la forma que se muestra en el Cuadro 2, donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son números reales.

Figura 2

50 + 10 = 440

Figura 1

x + y =

UNIDAD8


Paso 4Leemos: En su librería, Alejandra vende cuadernos de 100 páginas en 6 quetzales y de 150 páginas en 9 quetzales. En esta semana, sólo de la venta de cuadernos, obtuvo 162 quetzales.

- Si vendió 16 cuadernos grandes menos que los cuadernos pequeños, escribimos el sistema de ecuaciones que representa esta situación. Nos guiamos por la Figura 3.

Paso 5Leemos:Rudy vendió en su ferretería, durante una semana, 48 cubetas de pintura a bajo precio, por las que obtuvo 3,660 quetzales. La cubeta de pintura blanca vale 70 quetzales y la de color tiene un precio de 85 quetzales.

- Realizamos para esta situación un planteamiento ilustrado que represente un sistema de ecuaciones. Luego, exponemos nuestro resultado en clase.

Paso 6 - Elegimos cualquiera de los sistemas planteados en el Paso 4 y 5 de esta sesión y lo resolvemos empleando cualquiera de los métodos estudiados.

- Justificamos cada paso y verificamos las respuestas. - Para justificar cada paso empleamos el cuadro que se muestra en la Figura 4.

SESIÓN 13

Tabla de secuenciasEscribamos los pasos en orden cronológico

Tema

Primero

Siguiente

Siguiente

Siguiente

Siguiente

Último

Figura 4

22 + 27 = 156

Figura 3

– = 16

Variable que representa los cuadernos pequeños.

Variable que representa los cuadernos grandes.

Esta ecuación se lee así: “La diferencia entre los cuadernos pequeños y grandes es 16”

UNIDAD 8

198 Mesa de Trabajo PROYECTO

Empoderamiento comunitario; una mejor calidad de vida.

Fase II: Alianzas, consensos y donacionesEn mi comunidadNivel Aula: VCCCooperación

Forma de integración donde las personas trabajan juntos, prestándose ayuda de forma organizada.

Pequeña IndustriaEntidad independiente conformada por un número pequeño de personas, se dedican a la producción, transformación y prestación de un servicio.

Crédito Es una operación financiera donde una persona (acreedor) o institución presta a otra (deudor).

FinanciamientoEs el recurso monetario financiero para llevar a cabo una actividad económica. Sumas tomadas a préstamo que complementan los recursos propios.

Inventario patrimonial Es el conjunto de bienes de considerable valor acumulados por una comunidad a lo largo de su existencia.

Plan de negocios Todo plan de negocios Incluye estudios financieros, de mercado y de impacto ambiental.

Paso 1 90 minutos Identificar la fuente de información y apoyo

- Realizamos el análisis acerca del emprendimiento comunitario y las posibilidades para la creación y funcionamiento de pequeñas industrias en la comunidad.

- Revisamos las funciones de los gobiernos de aula y del consejo estudiantil. - Disponemos del mapeo de instituciones comerciales o de servicios con las

que se pueda celebrar convenios a alianzas estratégicas, para financiar la pequeña industria local.

Paso 2 120 minutos Determinar la forma de ejecuciónPreparación del lugar para la atención de expertos:

- Gestionamos y preparamos el local (actividad organizada en el proyecto 7). - Coordinamos con las comisiones específicas y el gobierno de aula de cada

grado, así como con el consejo estudiantil del centro educativo, la atención correspondiente a los expertos, según las consideraciones de la agenda preparada para este día.

Reunión con los expertos- La comisión de emprendimiento dará la bienvenida a los expertos

invitados para este día, quienes compartirán su experiencia en los procesos comerciales que realizan. El orden de las presentaciones y su moderación estará a cargo de la comisión, con apoyo del gobierno de aula y el consejo estudiantil.

Presentación 30 minutos

¿En qué consiste este proyecto integrador? En establecer alianzas y consensos, para formar pequeñas industrias comunitarias, que proveen los bienes y servicios necesarios, para mejorar las condiciones de vida y alcanzar el desarrollo de la comunidad.

¿Cuál es el propósito de este proyecto? Generar progreso y desarrollo sostenible en la comunidad, con el aprovechamiento adecuado de los recursos naturales, con acciones cooperativas, a fin de tener calidad de vida para todos.

¿Qué necesito para la ejecución de este proyecto? - Conocer la organización estudiantil del centro educativo: quiénes

conforman los gobiernos de aula de cada grado, quiénes forman el consejo estudiantil.

- Análisis del inventario comercial y patrimonial de la comunidad. - Esquema integrador y cronograma de proyectos correspondiente al área

de emprendimiento (proyecto 4).

SESIÓN 14

Proyecto 8 Actividad 14

UNIDAD8

199PROYECTO Mesa de Trabajo

Mi ruta de salud Entrenamiento de hombrosPress Sentado Anterior.Ejecución del ejercicio: 3 series de 10.- Sentado en banco

o escritorio, con la espalda recta, sostengo una barra sobre la parte alta de mi pecho.

- Inhalo y elevo la barra verticalmente sobre mi pecho hasta la completa extensión de mis brazos.

- Desciendo la barra hasta la posición inicial. Exhalo.

En mi comunidadNivel Aula: VCC

Paso 5 30 minutosTexto paralelo

- Elaboro un inventario acerca del patrimonio comercial de la comunidad.

- Recopilo información relacionada con el recurso humano profesional en mi comunidad: agricultura, arte culinario, recreación, servicios de salud, seguridad, educación, transporte, vivienda, entre otros.

- Hago parte de mi texto paralelo, los comentarios y opiniones derivadas de mi proyecto empresarial, así como las reflexiones acerca de mis avances identificados a partir de las evaluaciones.

Paso 4 240 minutosEjecución de la actividad:Desarrollo de proyecto empresarial

- Elaboramos un plan de proyecto empresarial. Tomamos como base la información recabada a partir de exposiciones de los expertos e investigación de conceptos, según cintillo de la página anterior. Este plan incluirá la información básica, para formar una pequeña industria comunitaria.

Presentación de productos:Promoción y mercadeo

- Desarrollamos de manera creativa, alguna forma para dar a conocer nuestro proyecto empresarial. Puede hacerse uso de los recursos ya conocidos (afiches, volantes, anuncio de radio o televisión, entre otros).

- Elaboramos el plan de acción para la presentación de nuestros productos, actividad a realizarse en el próximo proyecto de emprendimiento: Feria de innovación empresarial.

Actividad 15

Sitios Web sugeridos - https://www.flickr.com - https://www.pinterest.com

Calidad de vida: - https://es.wikipedia.org/wiki/Calidad_de_

vidaEstrategias para una calidad de vida sostenible:

- http://www.eurosur.org/futuro/fut52.htmIniciativas comunitarias: casos de estudio:

- http://www.bvsde.paho.org/bvsacd/cd48/tools_compart.pdf

- http://www.unicef.org/spanish/sowc08/docs/sowc08_panel_3_7-sp.pdf

Fortalecimiento capacidades comunitarias:caso de estudio:

- http://www.indeso.org/pdfs/2010/ecoturismocuzalapa.pdf

- http://biblio3.url.edu.gt/Tesis/2011/04/06/Laynez-Martha.pdf

Ruta de la saludCon la orientación del facilitador, realizo mi ruta de la salud. En esta oportunidad, flexionaré la espalda baja.

Proyecto empresarialEs el conjunto de acciones que se realizan en un lapso determinado, en el cual se involucran una serie de recursos para su desarrollo. Todo ello con el fin de resolver una necesidad o aprovechar una oportunidad, obteniendo mediante su desarrollo, un beneficio para quien lo realiza.

SESIÓN 15

Paso 3 90 minutosDinámica de la presentaciónDurante las intervenciones de los expertos:

- Anotamos la información que consideremos relevante. - Formulamos, con respeto, preguntas y comentarios. - Grabamos de ser necesario, sus presentaciones para dejar constancia

de los modelos utilizados por los expertos. - Atendemos con mucho interés la presentación de los prototipos y planes

de negocios, necesarios para implementar la pequeña industria.

UNIDAD 8

200 Evaluación - UNIDAD 8-

SESIÓN 16

EVALUACIÓN DE CIERRE DE LA UNIDAD

VALORO MI APRENDIZAJE.

Problema 1 En la tienda de Don Juan, por la mañana Doña Mercedes le compra 3 naranjas y 2 zapotes y le paga por estas frutas 12 quetzales, luego por la tarde Doña Mercedes regresa a la tienda y le compra 4 naranjas y 1 zapote, por lo que paga 16 quetzales. La Figura 1 muestra el planteamiento de diferentes ecuaciones y solo dos de ellas cumplen con la compra realizada por Doña Mercedes.

Actividad 16

Figura 1

- Elijo 2 ilustraciones que cumplan con la compra de Doña Mercedes. - Escribo el sistema de ecuaciones. - Resuelvo el sistema de ecuaciones por el método de igualación o sustitución. - Indico el precio de una naranja y el de un zapote.

Resuelvo en el cuaderno las siguientes situaciones:

UNIDAD8

201Evaluación - UNIDAD 8-

SESIÓN 16

Problema 2Roberto tiene dudas sobre sí las ecuaciones planteadas en el Cuadro 1 forman un sistema de ecuaciones simultaneas. Ayudamos a Roberto a comprobar que estas ecuaciones forman un sistema “consistente”.

- Completo las tablas que se muestran en la Figura 1. - Trazo las rectas en el plano cartesiano y verifico si estas se cruzan. - Si se cruzan, identifico el punto (x, y) de intersección.

Problema 3Ana María compró dos libros de autores guatemaltecos. Tal como se indica en el Cuadro 1, ella pagó por los libros 170 quetzales. Si la diferencia entre el costo de un libro y el otro es de 20 quetzales, entonces:

- Escribo un sistema de ecuaciones para esta situación. - Resuelvo el sistema por el método de suma y resta (reducción). - Determino: ¿cuánto costó cada libro?

Recuerdo analizar y registrar mis progresos.

90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro

76-89: Lo logré. Color verde claro

60-75: Puedo mejorar. Color amarillo

0-59: En proceso. Color rojo

x = Precio del libro “Hombres de maíz”

y = Precio del libro “Guayacán”

Cuadro 1

Figura 2

x y

Ecuación (1)3x + 2y = 24

x y

Ecuación (2)4x + y = 22

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