Control multi-objectivo para transporte cooperativode cargas con UAVs.

Javier Gimenez, Daniel C. Gandolfo, Lucio R. Salinas, Claudio Rosales, and Ricardo Carelli,Instituto de Automatica (INAUT), Universidad Nacional de San Juan - CONICET, Argentina.

Email: {jgimenez,dgandolfo,lsalinas,crosales,rcarelli}@inaut.unsj.edu.ar

Resumen—Se propone un nuevo controlador cinematico deformacion basado en la teorıa del espacio nulo para transportaruna carga por medio de cables con dos UAVs considerandoevasion de obstaculos, perturbaciones del viento y distribucionequitativa del peso de la carga. Para probar la propuesta enun escenario realista se considera un modelo dinamico no linealpreciso con 6 grados de libertad de un helicoptero y modelospara cables flexibles y para la carga. La estabilidad del sistemase demuestra usando la teorıa de Lyapunov y se valida sudesempeno con una simulacion completa del sistema.

I. INTRODUCCION

Debido a su movilidad en un espacio 3D, el uso devehıculos aereos no tripulados (UAV) para la manipulacion decargas esta ganando terreno en varias aplicaciones y atrayendola atencion de muchos investigadores. Se ha puesto muchoenfasis en los sistemas UAVs debido a su capacidad paramoverse en todas direcciones, volar a baja velocidad, mantenersu posicion, despegar y aterrizar verticalmente en espaciospequenos y bajo condiciones topograficas desafiantes.

Muchas aplicaciones requieren el transporte de una cargapesada, y para ellas, el uso de mas de un UAV es una (o launica) solucion. Los cables flexibles se utilizan generalmenteya que evitan el uso de manipuladores o pinzas a bordodel helicoptero permitiendo transportar objetos mas pesados.Ademas, los cables con una extension mas larga se puedenutilizar para conformar formaciones cooperativas con mayoresgrados de libertad. Ademas, distanciar la carga de las helicesla protege de la turbulencia [1].

El control cooperativo en cueston es una tarea desafiantey peligrosa ya que la carga cambia significativamente lascaracterısticas de vuelo de los UAVs. La presencia de zonasde imposibilidad de vuelo y los obstaculos son otras compli-caciones para el control de este tipo de formaciones [2].

Varios enfoques para el transporte aereo utilizando UAVshan sido reportados en la bibliografıa [3]–[7]. Estos enfoquestienen resultados validados interesantes, pero se utiliza unsolo UAV y el peso de la carga es limitado. Por otra parte,muchos autores han abordado la problematica utilizando doso mas UAVs [8]–[10]. Estas referencias presentan enfoquesinteresantes pero no se consideran perturbaciones tales comoel viento. Los autores en [11] y [12] consideran el problemaen presencia de incertidumbres parametricas y perturbacionesexternas tales como el viento. La planificacion y el control demultiples robots aereos que manipulan y transportan una cargase propone en [13], considerando dos medidas de calidad con

el fin de minimizar movimientos individuales de los robotsy maximizar la estabilidad de la carga. En [14] se presentauna arquitectura multi-UAV que permite diferentes niveles decooperacion y coordinacion entre UAVs y entre los UAVs yel ambiente. Estos enfoques realizan la planificacion de latrayectoria permitiendo que la carga navegue a traves de areasseguras, pero no se aborda la evasion de colisiones.

En este trabajo, se propone un nuevo controlador de for-macion cinematico basado en la teorıa del espacio nulo paraque una carga que cuelga por medio de cables flexibles dedos UAVs siga una trayectoria deseada. En esta propuesta decontrol se consideran tanto la perturbacion del viento como laevasion de obstaculos. Las salidas del controlador cinematicopropuesto pueden acoplarse con un modelo dinamico de cual-quier UAV a traves de una etapa de adaptacion para obtenerlas acciones de control necesarias para alcanzar las referenciascinematicas. En este trabajo se considera un modelo dinamicomuy preciso de un mini helicoptero [15] y un modelo para lacarga y los cables flexibles, con el fin de evaluar y validar laestrategia de control en un escenario de prueba real.

En la Seccion II se presentan las variables necesarias paracaracterizar el problema y los Jacobianos correspondientes.Los objetivos de control con sus respectivas prioridades yel controlador basado en espacio nulo se explican en laSeccion III. La estabilidad del controlador se discute en laSeccion IV. La Seccion V presenta los modelos dinamicos delos helicopteros y la carga utilizados para probar el contro-lador. Las simulaciones se muestran en la Seccion VI y lasconclusiones se detallan en la Seccion VII.

II. FORMULACION DEL PROBLEMA

Considere dos UAVs que llevan cooperativamente una cargasuspendida por medio de cables cumpliendo una serie de tareasordenadas de acuerdo con prioridades que establecen cualesde ellas puede omitirse en situaciones crıticas. La evasionde obstaculos es la tarea de mayor prioridad en este trabajo.El objetivo secundario es que los UAVs permanezcan a unadistancia de seguridad predeterminada que evite colisiones ouna separacion indeseable. Otro objetivo secundario es queel peso de la carga este distribuido uniformemente entre losUAVs. El tercer objetivo es que la carga siga una trayectoriapredeterminada reduciendo oscilaciones causadas por factoresexternos tales como el viento. Finalmente, se desea que la for-macion se desplace tangencialmente a la curva de trayectoriaevitando oscilaciones de la carga provocadas por la aceleracion

Actas de las IX Jornadas Argen�nas de Robó�ca

15-17 de noviembre, Córdoba, Argen�naAr�culo Cien�fico Completo

92

frontal de los UAVs. Todas estas tareas se pueden realizarsimultaneamente solo cuando no hay obstaculos cerca.

Sean ξ1 y ξ2 las posiciones de los UAVs, donde ξi =[xi, yi, zi]

T coincide con el centro de gravedad (c.g.) deli-esimo UAV. Sus orientaciones se denotan con ψ1 y ψ2

respectivamente. En esta seccion, se calculan las velocidadescinematicas q, con q = [ξT1 , ψ1, ξ

T2 , ψ2]

T , necesarias paracumplir tantas tareas como sea posible, y posteriormente, seproporcionan las acciones de control necesarias para alcanzarestas velocidades en un lazo externo.

II-A. Variables de estado

Considere que los cables tienen longitud ` y que la cargacon masa puntual realiza movimientos pendulares en el planoperpendicular al segmento virtual que une los UAVs y que pasapor el punto (ξ1+ξ2)/2. En la practica, la carga puede no estaren el plano mencionado debido a la elasticidad y deformacionde los cables. Sin embargo, estos efectos son insignificantes sise cumplen las tareas secundarias. La carga forma un anguloα con el plano perpendicular al plano x-y que contiene elsegmento mencionado (ver Fig. 2).

La formacion esta determinada por las siguientes variables(ver Fig. 1): la distancia entre los UAVs d = ‖ξ1 − ξ2‖, ylos angulos de orientacion del segmento virtual que los uneγ1 = atan((z2−z1)/d) y γ2 = atan((y2−y1)/(x2−x1)). Susderivados temporadas son dados por

d = Jdq, (1)

γ1 = Jγ1 q, (2)

γ2 = Jγ2 q, (3)

donde

Jd = Jd(q) =1

d

[x1 − x2 y1 − y2 z1 − z2 0 · · ·

· · · x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 0],

Jγ1 = Jγ1(q) =d

d2 + (z2 − z1)2[0 0 −1 0 0 0 1 0

]+

+z1 − z2

d2 + (z2 − z1)2Jd,

Jγ2 = Jγ2(q) =1

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2×

×[y2 − y1 x1 − x2 0 0 y1 − y2 x2 − x1 0 0

].

La posicion de la carga ξ` = [x`, y`, z`]T es otra variable de

interes. Uno de los objetivos primarios es que ambos UAVsvuelen a altitudes similares para distribuirse uniformementedel peso de la carga. Si γ1 = 0 resulta

ξ` =ξ1 + ξ2

2+ h

sαsγ2−sαcγ2−cα

, (4)

con h = h(q) =√`2 − d2/4 (ver Fig. 2). Cuando γ1 6= 0,

se supone que la posicion de la carga tambien se calculade acuerdo con (4). Esta suposicion implica que si γ1 6= 0,

entonces z` aumenta o disminuye (z1 − z2)/2 con respectoa la altitud de la carga calculada cuando z2 = z1. Estaes una suposicion practica que evita conflictos entre tareasintroduciendo errores insignificantes (ver Seccion III).

Figura 1. Postura de la formacion.

La velocidad de carga es dada por

ξ` = J`q+A`, (5)

donde

J` =

J`,xJ`,yJ`,z

= J`(q, α) =1

2

[I3 03×1 I3 03×1

]+

+d

4h

sαsγ2−sαcγ2−cα

Jd + hsα

cγ2sγ20

Jγ2 ,

A` =

A`,xA`,yA`,z

= A`(q, α, α) = h

cαsγ2−cαcγ2sα

α.Por ultimo, considere los Jacobianos correspondientes a las

orientaciones de los UAVs definidos por

Jψ1= [0 0 0 1 0 0 0 0], Jψ2

= [0 0 0 0 0 0 0 1].

Figura 2. Geometrıa de la posicion de la carga.

II-B. Campo Potencial de los obstaculos

Considere que en el ambiente de trabajo hay Nobstaculos dinamicos con posiciones ξo,i = ξo,i(t) =[xo,i(t), yo,i(t), zo,i(t)]

T , 1 ≤ i ≤ N . Teniendo en cuentael tipo de formacion, los UAVs deben navegar de forma

93

cooperativa a la hora de evadir estos obstaculos. En vista deello, el centro de formacion se define como ξc = [xc yc zc]

T =(ξ1 + ξ2 + ξ`)/3, cuya derivada temporal es

ξc =ξ1 + ξ2 + ξ`

3=

1

3

(J` +

[I3 03×1 I3 03×1

])q+

1

3A`.

Cada obstaculo tiene una zona de repulsion determinada porun campo potencial dado por

Vi = Vi(q, α, ξo,i) =

= exp

{− (xc − xo,i)n

ax− (yc − yo,i)n

ay− (zc − zo,i)n

az

},

donde ax > 0, ay > 0, az > 0 y n > 0 (numero par) sonparametros de diseno. Se considera Vi = 0 si Vi < ς , conς > 0 un umbral pequeno. Cuando la formacion esta cerca deli-esimo obstaculo (Vi ≥ ς), resulta Vi = JVi q+AVi , donde

JVi= JVi

(q, α, ξo,i) = −1

3aTi(J` +

[I3 03×1 I3 03×1

]),

AVi= AVi

(q, α, α, ξo,i, ξo,i) = aTi

(ξo,i −

1

3A`

),

con

ai = ai(q, α, ξo,i) = nVi

(xc − xo,i)n−1

ax(yc − yo,i)n−1

ay(zc − zo,i)n−1

az

.

Luego, el campo potencial total de los obstaculos se definecomo V = V (q, α, {ξo,i}) =

∑Ni=1 Vi, con

V = JV q+AV , (6)

donde JV = JV (q, α, {ξo,i}) =∑Ni=1 JVi

, y AV =

AV (q, α, α, {ξo,i}, {ξo,i}) =∑Ni=1 AVi .

III. CONTROLADOR DE FORMACION CINEMATICO

Hay incompatibilidades que hacen imposible cumplir variastareas a la vez. El controlador basado en espacio nulo paracuatro tareas que satisface tantas tareas como sea posible sinalterar prioridades es dado por

qc = q(1)c +

(I8 − J†1J1

)(q(2)c +

(I8 − J†2J2

)×

×(q(3)c +

(I8 − J†3J3

)q(4)c

)), (7)

donde cada q(j)c es la velocidad cinematica necesaria para

satisfacer la j-esima tarea sin importar el cumplimiento de lasdemas. El objetivo de la seccion es calcular estas velocidades.

El primer objetivo es la evasion de obstaculos, para el cual,la situacion ideal es navegar en zonas donde V = 0. Al entraren una zona de obstaculos (Vi ≥ ς para cualquier i), tambiense desea que V = 0 para evadir obstaculos navegando por lascurvas de nivel de V . De (6), la ley de control de mınimanorma para cumplir la primera tarea esta dada por

q(1)c = J†1(−kV V −AV ), (8)

con J1 = J1(q, α, {ξo,i}) = JV el Jacobiano de la tarea 1.Note que hay infinitas velocidades cinematicas para satisfa-

cer la tarea 1, y que la solucion de mınima norma se elige entretodas ellas. A partir de aquı, las velocidades definidas paracumplir las demas tareas se proyectan en el espacio nulo delos Jacobianos de las tareas de mayor prioridad, para no com-prometer su cumplimiento. Estas proyecciones modifican lasvelocidades requeridas si comprometen el cumplimiento de lastareas de mayor prioridad. Estas modificaciones comprometenel cumplimiento de las tareas de menor prioridad y, por ello,deben buscarse estrategias que produzcan soluciones mınimasno conflictivas. Una de estas estrategias consiste en calcular losJacobianos correspondientes a las tareas de menor prioridadasumiendo que se cumplen las tareas de mayor prioridad. Porello es que (4) y (5) se calcularon suponiendo que γ1 ≈ 0.

Colocar tareas conflictivas en el mismo nivel de prioridadpuede evitar un conflicto entre ellas. Por lo general, hayvelocidades que satisfacen dos tareas al mismo tiempo, y otrasque satisfacen solo una de ellas. Si ambas tareas tienen lamisma prioridad, la solucion de norma mınima (si existe) esun vector de velocidad que satisface ambas tareas. Pero sila tarea 1 tiene mayor prioridad que la tarea 2, la solucionde la norma mınima para la tarea 2 puede no satisfacer latarea 1. Entonces, esta solucion se modifica proyectandola enel espacio nulo de la tarea 1, y este nuevo vector de velocidadpuede no satisfacer la tarea 2.

Con las prioridades establecidas hasta ahora hay un conflictoentre la tarea de mantener una distancia entre los UAVs, y latarea en la que la altitud de la carga siga una trayectoria,produciendo un error de estado permanente en la altitud dela carga. Para evitar este error, ambas tareas se colocan enel mismo nivel de prioridad. Observese que (4) y (5) secalcularon sin suponer una distancia predeterminada entre losUAVs. En resumen, el segundo objetivo es la distribucionuniforme del peso de la carga manteniendo una distanciade seguridad dm ≤ d ≤ dM entre ellos mientras la cargapermanece a la altura deseada z`(t) = z∗(t).

El peso de la carga produce una fuerza Fi de norma fi encada UAV (ver Fig. 3 para mas detalles). Si ambos UAVs na-vegan a la misma altitud, el UAV de adelante hace un esfuerzomayor. El UAV que esta detras debe navegar un poco mas altopara compensar esta situacion. Por lo tanto, el nuevo objetivode control es que γ1 = kγ1,1 tanh(kγ1,2(f1 − f2))→ 0.

En cuanto a la navegacion a una distancia segura, se define

d =

−kd,1 tanh(kd,2(d− dm)) if d < dm,0 if dm ≤ d ≤ dM ,−kd,1 tanh(kd,2(d− dM )) if d > dM .

(9)

Esto produce acciones de control solo cuando d /∈ [dm, dM ].Note que de (1), (2) y (5), resulta dγ1

z`

= J2q+A2, (10)

94

donde J2 = J2(q, α) = [Jd Jγ1 J`,z]T , y A2 =

A2(q, α, α) = [0 0 A`,z]T . La ley de control de mınima norma

para cumplir la segunda tarea esta dada por

q(2)c = J†2

dγ1

z∗ − k`,z,1 tanh(k`,z,2(z` − z∗))−A`,z

. (11)

El tercer objetivo requiere que la carga siga la trayectoriax`(t) = x∗(t), y`(t) = y∗(t). De (5), se obtiene[

x`y`

]= J3q+A3, (12)

donde J3 = J3(q, α) = [J`,x J`,y]T y A3 = A3(q, α, α) =

[A`,x A`,y]T . Luego, la ley de control de mınima norma para

cumplir la tercera tarea es dada por

q(3)c = J†3

[x∗ − k`,x,1(tanh(k`,x,2(x` − x∗))−A`,xy∗ − k`,y,1 tanh(k`,y,2(y` − y∗))−A`,y

](13)

Note que las orientaciones de los UAVs, y sus respectivasvelocidades angulares, aun no se han especificado. Cinemati-camente hablando, la eleccion de estas velocidades angulares,y sus prioridades asignadas, no entran en conflicto con elcumplimiento de las otras tareas. Por otra parte, no es ne-cesario un estricto seguimiento de las referencias angulares.Por estas consideraciones, el cuarto objetivo de control definelas orientaciones deseadas para los UAVs y para la formacion.

Dada la trayectoria ya definida, la orientacion deseada dela formacion de los UAVs para navegar uno atras del otroes γ2(t) = γ∗2(t) = atan2(y∗(t), x∗(t)), y las orientacionesdeseadas para los UAVs son ψ∗1(t) = atan2(y∗1(t), x

∗1(t)), y

ψ∗2(t) = atan2(y∗2(t), x∗2(t)), donde[

x∗i (t)y∗i (t)

]=

[x∗(t)y∗(t)

]+

(−1)i+1d

2√(x∗(t))2 + (y∗(t))2

[x∗(t)y∗(t)

],

son las trayectorias deseadas sobre el plano x-y para los UAVs,donde por simplicidad se asume que d = (dm + dM )/2.

A partir de estas definiciones y de (3), la ley de control demınima norma para cumplir el cuarto objetivo viene dada por

q(4)c = J†4

γ∗2 − kγ2,1 tanh(kγ2,2(γ2 − γ∗2))ψ∗1 − kψ1,1 tanh(kψ1,2(ψ1 − ψ∗1))ψ∗2 − kψ2,1 tanh(kψ2,2(ψ2 − ψ∗2))

, (14)

donde J4 = J4(q) = [Jγ2 Jψ1Jψ2

]T .

IV. ANALISIS DE ESTABILIDAD

La prueba de estabilidad para el caso de seguimientoperfecto de velocidades (qc = q) es directa y no se haceen esta version por cuestiones de espacio. Sin embargo si sedemostrara que los errores permanecen acotados en el casogeneral qc 6= q siempre que ‖˜q‖∞ <∞, donde ˜q := qc−q esel error seguimiento de velocidades. Luego, la estabilidad delsistema de error requiere un ajuste apropiado del seguimientode velocidad en el control a bordo del UAV.

Considere la primera tarea de evadir obstaculos. De (6), (8)y (7), V = J1(qc− ˜q)+AV = −kV V −J1

˜q. Como el numerode observaciones de obstaculos y las funciones potenciales

estan acotadas, se sigue que ‖J1‖∞ < ∞, y entonces,‖J1

˜q‖∞ < ∞. Considere la funcion de energıa V = V 2/2,cuya derivada temporal es V = V V = −kV V 2 − V J1

˜q. SikV V > ‖J1

˜q‖∞ entonces V < 0 implicando que el potencialesta finalmente acotado por V ≤ ‖J1

˜q‖∞/kV . La constantede diseno kV y el error de seguimiento de velocidad ˜q regulanla cota y la repulsion de los obstaculos.

Respecto a la tarea 2, solo se analiza la cota para d, yaque los otros casos son analogos. De (6), (11) y (7), Jdqc =Jdq

(2)c = d. Ademas, ‖Jd‖∞ = 1 por la definicion de Jd.

Considerando V = d2/2, si |d| > ‖Jd ˜q‖∞ entonces

V = − dkd,1kd,2

cosh2(kd,2(d− d∗))Jd(qc − ˜q) < 0.

Luego | tanh(kd,2(d− d∗))| = |d|/kd,1 ≤ ‖Jd ˜q‖∞/kd,1, ypor ende, |d − d∗| esta finalmente acotado con cota reguladapor la constante de diseno kd,1.

Analogamente se demuestra que los sistemas de error de lasotras tareas estan acotados cuando no hay conflictos con tareasde mayor prioridad. Por lo tanto, los errores permanecen aco-tados cuando no hay un seguimiento perfecto de velocidades,y estas cotas estan reguladas por las ganancias del controlador.

V. ENTORNO DE SIMULACION Y APLICACION DELCONTROLADOR DE FORMACION CINEMATICA

En esta seccion se explican con mas detalle los modelospara los mini-helicopteros y los cables considerados junto conla interconexion entre ellos.

V-A. Modelo dinamico del Mini-helicoptero

El modelo de helicoptero utilizado en la simulacion es unmodelo dinamico no lineal muy realista de un vehıculo dealas rotativas utilizado en el Massachusetts Institute of Tech-nology [15]. Las ecuaciones de movimiento de cuerpo rıgidopara el helicoptero, que incorporan la fuerza y los torquesejercidos por la carga, estan dadas por las ecuaciones deNewton-Euler [15]. El modelo dinamico original del helicopte-ro se controla a traves de cinco comandos de entrada (Cmd).Las cuatro primeras entradas controlan los movimientos delhelicoptero (adelante/atras, izquierda/derecha, arriba/abajo yguinada), mientras que la ultima entrada controla la velocidaddel rotor principal. La conexion entre estos comandos deentrada (Cmd) y la ley de control cinematica (qc) se realizamediante una etapa de adaptacion descrita en la Seccion V-C.

V-B. Modelos dinamicos para los cables flexibles y la carga

Los cables se modelan utilizando treinta y nueve partıculas(ajustable segun el nivel de detalle deseado) con masa puntualunidas por resortes para permitir movimientos de balanceo yagitacion. La primera partıcula esta unida a una articulacionesferica debajo del c.g. del helicoptero (ver Fig. 3) y la ultimapartıcula es la carga en ambos cables. Los resortes que unencada par de partıculas tienen una longitud especıfica, una cons-tante de friccion y ganancias altas para evitar el estiramientodel cable. Ademas, la densidad y la constante de friccion delaire tambien se incluyen en la simulacion. El efecto del vientoen los enlaces del cable y en la carga se simula de acuerdo con

95

F1

x

y

z

ξ1

Fy,1

Fz,1

Fu,1

Fv,1

Fw,1

Fx,1

w1

r1

u1

p1v1

q1lℓ

Figura 3. Diagrama de fuerzas y torques ejercidos por la carga.

la siguiente formula: Fd = 12ρv

2cdA, donde ρ es la densidaddel aire, v es la velocidad relativa del viento, A es el areade la seccion transversal, y cd es el coeficiente de resistencia.El siguiente enlace muestra un video detallado relacionadocon la evolucion dinamica del cable y de la carga transpor-tada: https://www.youtube.com/watch?v=7kgfY9xIgmc. Noteque se ha considerado la perturbacion del viento, ası como ladistribucion del peso de la carga entre los helicopteros.

V-C. Implementacion del control de formacion cinematico

Con el fin de que los helicopteros alcancen los respectivoscomandos qc = [qTc,1, q

Tc,2]

T se anaden etapas de adaptacion(ver Fig. 4). Cada una esta compuesta por dos pasos: uncambio de coordenadas para las velocidades y un control PIDen cascada (ver detalles en [16], [17]). La Fig. 4 expone laflexibilidad de trabajar con controladores cinematicos, ya quemodificando solo la etapa de adaptacion, es posible utilizar elmismo controlador en otros tipos de UAVs [18].

γ1, γ2, α, d ξ1, ψ1

ξ2, ψ2

qc,1

Load Estimator

qc,2

Cmd,1

Cmd,2

ξ∗ℓ

ξo,i

Wind

Dynamic

Helicopter

Model

h1

Dynamic

Helicopter

Model

h2

Adaptation

Stage

Adaptation

Stage

Kinematic

Formation

Controller

ξ1, η1

ξ2, η2

f1

f2

ξℓ

Figura 4. Diagrama de la interconexion del sistema.

VI. SIMULACIONES

Seguir una trayectoria ascendente en forma de ocho es unatarea compleja, lo cual permite evaluar eficientemente el rendi-miento del controlador. Considere la trayectoria de referenciadada por ξ`(t) = [r cos(2πt/T ) r sin(4πt/T ) 2 + 10t/T ],donde T = 240seg es el tiempo total de simulacion, y r = 6mregula la escala de la misma. Las ganancias del controladorpara que la carga siga la trayectoria son: k`,x,1 = k`,y,1 =

k`,z,1 = 0,75, k`,x,2 = k`,y,2 = k`,z,2 = 0,475. Considereuna carga de 2kg, que cuelga de cables de 4m de largo. Lasposiciones iniciales de los UAVs son ξ1 = [7, 2, 0,25]T y ξ2 =[5, 2, 0,25]T , las orientaciones iniciales son ψ1 = ψ2 = 0, yla posicion inicial de la carga es ξ` = [6, 2, 0]T . El rangode distancia de seguridad entre los UAVs es [2, 4]m, y lasganancias de (9) para alcanzar este objetivo son kd,1 = 0,5,y kd,2 = 0,75. Las restantes ganancias del controlador sonkγ1,1 = 0,01, kγ1,2 = 0,1, kγ2,1 = 0,5, kγ2,2 = 0,75,kψ1,1 = kψ2,1 = 0,5 y kψ1,2 = kψ2,2 = 0,75. Se consideraun viento constante de 5,5m/s apuntando al eje x positivoque comienza en t = 37,5seg y termina en t = 120seg.El resto del tiempo el viento se considera nulo. Ademas,se colocan dos obstaculos (uno estatico y otro dinamico)con posiciones dadas por ξo,1 = [0 0 5]T y ξo,2(t) =[r2 cos(20πt/T ) r2 sin(20πt/T ) 11]

T , donde r2 = 0,9m es elradio de giro del obstaculo dinamico. Los parametros de loscampos potenciales son ax = ay = az = n = 2 y ς = 0,001.La ganancia de (8) es kV = 0,1. Esta configuracion produceuna evasion de obstaculos segura y suave. En la Fig. 5 semuestran diferentes vistas de las trayectorias de los helicopte-ros, la carga y los obstaculos. Tambien se grafica el estado delsistema en los tiempos t = 0, 40, 60, 100, 122,5, 160, 240seg.Los errores de control se muestran en la Fig. 6.

helicopter 1

helicopter 2

payload

desired trajectory

Figura 5. Resultados de la simulacion.

El viento se introduce repentinamente en t = 37,5, pro-duciendo nuevas oscilaciones en la formacion. El obstaculoestatico se detecta en t = 49,6 y la formacion lo evadesuavemente por arriba. Se observa un crecimiento de loserrores mientras se completa la tarea prioritaria de evasion.Aparece un error de seguimiento de trayectoria en t = 100porque la formacion gira y el viento comienza a influir per-pendicularmente. Una nueva oscilacion se observa al removerel viento en t = 120. El obstaculo dinamico se detecta ent = 128,9 y luego en t = 153,3. En la primera oportunidad,la formacion se mueve hacia atras debido a que el obstaculose dirige hacia la formacion, y posteriormente, el obstaculo

96

0

1

2

3

4x 10

−3

erro

rs o

f tas

k 1

V

−2

0

2

4

6

8

erro

rs o

f tas

k 2

d f1 − f2 zℓ

−4

−2

0

2

4

6

erro

rs o

f tas

k 3

xℓ yℓ

0 50 100 150 200

−1

0

1

Time [s]

erro

rs o

f tas

k 4

γ2 ψ1 ψ2

Figura 6. Errores discriminados por tarea.

es evadido por el costado. Finalmente, se permite evolucionaral sistema sin ninguna perturbacion y los errores convergena 0. Un video detallado de la simulacion se puede veren https://www.youtube.com/watch?v=gxEHl7Gjlns. La Fig. 7muestra las acciones de control cinematicas calculadas y lasvelocidades reales de cada helicoptero en el marco global. Laetapa de adaptacion PID ha sido convenientemente ajustada yse consigue un buen seguimiento de velocidades.

-1

0

1

2

Vel

ocity

[m/s

] x1 x1,c

-1

0

1

2

Vel

ocity

[m/s

] y1 y1,c

0 50 100 150 200

Time [s]

-1

0

1

2

Vel

ocity

[m/s

] z1 z1,c

-1

0

1

2

Vel

ocity

[m/s

] x2 x2,c

-1

0

1

2

Vel

ocity

[m/s

] y2 y2,c

0 50 100 150 200

Time [s]

-1

0

1

2

Vel

ocity

[m/s

] z2 z2,c

Figura 7. Comandos de velocidad calculados por el controlador cinematicoy velocidades reales de cada helicoptero.

VII. CONCLUSIONES

En este trabajo se propone un nuevo controlador multi-objetivo para transportar una carga por medio de cablesflexibles con dos UAVs siguiendo una trayectoria deseada. Lapropuesta de control se basa en la teorıa del espacio nulo con-siderando la perturbacion del viento y evasion de obstaculosestaticos y dinamicos. Ademas, se analiza la estabilidad dela ley de control propuesta mediante el uso de la teorıa deLyapunov. Se consideran modelos dinamicos precisos de unmini-helicoptero y la carga generando un escenario de pruebarealista. El enfoque de control cinematico es muy flexible yaque puede ser usado para otra arquitectura UAV con solo cam-biar la etapa de adaptacion dada en la Fig. 4. Las simulaciones

muestran el buen desempeno del controlador propuesto, elcual completa las tareas respetando sus prioridades sin causarconflictos entre ellas. La incorporacion del modelo dinamicodel helicoptero y la carga en las simulaciones permite unajuste muy fino de los parametros del controlador cinematico,reduciendo la brecha entre la simulacion y la experimentacion.

REFERENCIAS

[1] C. Masone, H. H. Bulthoff, and P. Stegagno, “Cooperative Transportationof a Payload using Quadrotors: a Reconfigurable Cable-Driven ParallelRobot,” in IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots andSystems (IROS), Daejeon, Korea, Oct 2016.

[2] M. Mattei and V. Scordamaglia, “Task priority approach to the coordi-nated control of a team of flying vehicles in the presence of obstacles,”IET Control Theory and Applications, vol. 6, no. 13, pp. 2103–2110,2012.

[3] G. V. Raffo and M. M. de Almeida, “Nonlinear Robust Control of aQuadrotor UAV for Load Transportation with Swing Improvement,” inAmerican Control Conference (ACC), Boston, USA, Jul 2016.

[4] Y. Alothman and D. Gu, “Quadrotor Transporting Cable-SuspendedLoad using iterative Linear Quadratic Regulator (iLQR) Optimal Con-trol,” in Computer Science and Electronic Engineering Conference(CEEC), Colchester, England, Sept 2016.

[5] C. de Crousaz, F. Farshidian, and J. Buchli, “Aggressive Optimal Controlfor Agile Flight with a Slung Load.” in Workshop on Machine Learningin Planning and Control of Robot Motion, Chicago, USA, Sept 2014.

[6] P. J. Cruz, M. Oishi, and R. Fierro, “Lift of a Cable-suspended Loadby a Quadrotor: A Hybrid System Approach,” in American ControlConference, Chicago, USA, Jul 2015.

[7] H.Lee and H. J. Kim, “Estimation, Control, and Planning for Autono-mous Aerial Transportation,” IEEE Transactions on Industrial Electro-nics, vol. 64, no. 4, pp. 3369–3379, 2017.

[8] Q. Jiang and V. Kumar, “The Inverse Kinematics of CooperativeTransport With Multiple Aerial Robots,” IEEE Transactions on Robotics,vol. 29, no. 1, pp. 136–145, 2013.

[9] T. Lee, “Geometric Control of Quadrotor UAVs Transporting a Cable-Suspended Rigid Body,” IEEE Transactions on Control Systems Tech-nology. In Press., 2017.

[10] J. Estevez, J. M. Lopez-Guede, and M. Grana, “Particle Swarm Op-timization Quadrotor Control for Cooperative Aerial Transportation ofDeformable Linear Objects,” Cybernetics and Systems, vol. 47, no. 1-2,pp. 4–16, Jan 2016.

[11] J. Estevez, M. Grana, and J. M. Lopez-Guede, “Online fuzzy modulatedadaptive PD control for cooperative aerial transportation of deformablelinear objects,” Integrated Computer-Aided Engineering, vol. 24, no. 1,pp. 41–55, 2017.

[12] R. Babaie and A. F. Ehyaie, “Robust optimal motion planning approachto cooperative grasping and transporting using multiple UAVs based onSDRE,” Transactions of the Institute of Measurement and Control, pp.1–18, Apr 2016.

[13] J. Fink, N. Michael, S. Kim, and V. Kumar, “Planning and controlfor cooperative manipulation and transportation with aerial robots,” TheInternational Journal of Robotics Research, vol. 30, no. 3, pp. 324–334,2011.

[14] I. Maza, K. Kondak, M. Bernard, and A. Ollero, “Multi-uav cooperationand control for load transportation and deployment,” Journal of Intelli-gent and Robotic Systems, vol. 57, no. 1-4, pp. 417–449, Jan 2010.

[15] V. Gavrilets, “Autonomous Aerobatic Maneuvering of Miniature He-licopters,” Ph.D. dissertation, Massachusetts Institute of Technology.Dept. of Aeronautics and Astronautics, Cambridge, MA, 2003.

[16] L. R. Salinas, E. Slawinski, and V. A. Mut, “Kinematic nonlinearcontroller for a miniature helicopter via lyapunov techniques,” AsianJ. Control, vol. 16, no. 3, pp. 856–870, 2014.

[17] D. Gandolfo, L. Salinas, A. Brandao, and M. Toibero, “Path followingfor unmanned rotorcraft - An approach on energy autonomy improve-ment,” Information Technology and Control, vol. 45, no. 1, pp. 87–98,2016.

[18] D. C. Gandolfo, L. R. Salinas, A. Brandao, and J. M. Toibero, “Stablepath-following control for a quadrotor helicopter considering energyconsumption,” IEEE Transactions on Control Systems Technology,vol. 25, no. 4, pp. 1423–1430, 2017.

97