i

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA

Volumen 21

ii

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA VOLUMEN 21

Editora:PatriciaLestn

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.EditoresAsociados:CeciliaCrespoCrespo,CarlosOropezaLegorretayHugoParra

DiseodeportadayCD:LilianalvarezDaz

DireccindeEducacinContinuadelInstitutoPolitcnicoNacionalJanetRamrezSandoval

CICATAIPN,LegariaDiseodeinteriores:JosFranciscoCanchGmez

CICATAIPN,LegariaDigitalizacin:JuanGabrielMolinaZavaletaChristianPrezBohorquez

CICATAIPN,LegariaEdicin:2008.ColegioMexicanodeMatemticaEducativaA.C.

CMM040505IC7PaseodelasLomas67.ParqueResidencialCoacalco,CP55720Coacalco,EstadodeMxicoMxico

www.cmmedu.comISBN:9789709971156

2008.ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.www.clame.org.mx

Seautorizalareproduccintotaloparcial,previacitaalafuente:

Lestn,P.(Ed.).(2008).ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa,Vol.21.Mxico,DF: Colegio Mexicano de Matemtica Educativa A. C. y Comit Latinoamericano deMatemticaEducativaA.C.

iii

Consejo Directivo GustavoMartnezSierra

Presidentepresidencia@clame.org.mx

GermnBeitaSecretario

secretario@clame.org.mx

JoaqunPadovaniTesorero

tesorero@clame.org.mx

JuanRalDelgadoRubVocalCaribe

vocal_caribe@clame.org.mx

EdisondeFariaVocalCentroamrica

vocal_centroamerica@clame.org.mx

GiselaMontielEspinosaVocalNorteamrica

vocal_norteamerica@clame.org.mx

CeciliaCrespoCrespoVocalSudamrica

vocal_sudamerica@clame.org.mx

20

04

- 2

00

08

iv

Consejo

Consultivo

Comisin

de Admisin

EgbertAgard

RicardoCantoral

FernandoCajas

GuadalupedeCastillo

EvaristaMatas

RosaMaraFarfn

TeresitaPeralta

SandraCastillo

EugenioCarlos

LilianaHomilka

Comisin de

Promocin Acadmica

Comit

Internacional de Relme

JavierLezama

EdisondeFaria

YolandaSerres

LeonoraDazMoreno

MayraCastillo

UldaricoMalaspina

LeonoraDazMoreno

MiguelSols

GustavoBermdez

OlgaPrez

v

Comit Cientfico de Evaluacin

Alans,JuanAntonioAparicio,EddieArcos,IsmaelArdila,AnalidaArriecheAlvarado,MariovilaGodoy,RamiroBermdez,GustavoBlanco,HaydeBlanco,RamnBuendaAbalos,GabrielaCabaasSnchez,MaraGuadalupeCadoche,LilianCamacho,AlbertoCampistrous,LuisCantoral,RicardoCarlosRodrguez,EugenioCarrasco,EduardoCarrillo,HugoCastaeda,ApoloCastillo,SandraCorderoOsorio,FranciscoCortsZabala,CarlosCrespoCrespo,CeciliaDalcn,MarioDeFaria,EdisonDelgado,RalDelgado,CsarDazMoreno,LeonoraDolores,CrislogoEngler,AdrianaEspinoza,LorenaEspinoza,PedroFarfn,RosaMaraGaitaIpaguirre,RosaCeciliaGarcaZatti,MnicaGrijalva,AgustnGutirrezAlvarez,MilagrosHomilka,LilianaIbarraOlmos,SilviaLaraGalo,ClaudiaLanza,Pierina

Lestn,PatriciaLezama,JavierMntica,AnaMaraMarcoliniBernardi,JosefinaMartaMariscal,ElizabethMartnezSierra,GustavoMingerAllec,LuzMaraMirandaMontoya,EduardoMolfino,VernicaMolina,JuanGabrielMontielEspinsa,GiselaMuoz,GermnOchoviet,TeresaCristinaOjedaSalazar,AnaMaraOlave,MnicaOropezaLegorreta,CarlosOrtegadelRincn,TomsOsorioAbrego,HctorParra,HugoPrezGonzlez,OlgaLidiaPrez,MaradelCarmenPicenoRivera,JuanCarlosPonteville,ChristianeResndiz,EveliaRey,JosLuisRizoCabrera,CeliaRosasMendoza,AlejandroRuiz,BlancaSalat,RamnSnchezAguilar,MarioSardella,OscarScaglia,SaraSerna,LuisArturoSerres,YolandaSierra,ModestoTejadadeCastillo,GuadalupeTestaRodrguez,YacirValdiv,CarmenValero,SocorroVelzquezBustamante,SantiagoZiga,Leopoldo

vi

Tabla de Contenidos

CATEGORA 1: Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de lasmatemticasTransformacinlinealencontextogeomtrico

JuanGabrielMolinaZavaleta

1

Unareflexinsobreelpropioaprendizaje.SuanlisisdesdelaperspectivadelosestilosdeaprendizajeMercedesAnido,AnaMaraCraveri,MaradelCarmenSpengler

11

La visualizacin, como estrategia de estudio en el concepto de dependencia eindependencialineal

CarlosOropezaLegorreta,JavierLezamaAndaln

23

AlgunasreflexionessobreresolucindeproblemasenmatemticasEdisonDeFariaCampos

32

LascompetenciasmatemticasenlaformacindelprofesionaldecienciaseconmicasMargaritadelValleVeliz,BlancaE.Lezana,MaraAnglicaPrez

40

DiferentesmarcosenlaresolucindeproblemaspordemostrarNoraFerreira,EstelaRechimont,CarlosParodi

50

LaubicacindelproblemaenlaplanificacindeclaseMercedesAnido,PatriciaC,MarthaGuzmn

60

ResolucindeproblemasenlosprogramasdeestudiodematemticadelministeriodeeducacinpblicadeCostaRica

EdisonDeFariaCampos

69

OrganizacindelcontenidodeladisciplinamatemticaparacienciastcnicasJosManuelRuizSocarras,GasparBarretoArgilagos,RamnBlancoSnchez

78

ElcurrculoescolarmexicanodelascienciasenelnivelmedioAdrianoBalmNarvez,EddieAparicioLanda

89

Unestudiodelcurrculomatemticoensistemaseducativosdenivelmedio,unavisinprospectiva

ErikaCanchGngora,LandySosaMoguel

99

LoscontenidosdegeometraentextosoficialesysutratamientodidcticoMarthaImeldaJareroKumul,MaraGuadalupeOrdazArjona

109

vii

Unestudiosobreeldiscursoen los librosde textodematemticas.Su relacincon laprcticaescolar

MildredMaldonado,MaraOrdaz,MaraRodrguez,JorgeTuyub

118

Sistemadeecuacioneslineales:secuenciadidcticaparasuenseanzaMaraReyGenicio,ClarisaHernndez,SilviaForcinito

128

Laproduccindetextos:unaalternativaparaevaluarenmatemticasSandraEvelyParadaRico,DianaJaramillo

139

UnaclasificacindelibrosdeclculobasadaenlosprogramasdecursoMaraRosado,ngelEstrellaGonzlez,BelnGamboa

150

Creenciasymatemtica:unestudiodecasosEdisonDeFariaCampos

159

ActitudesgeneralizadassobrelaenseanzadelamatemticaenelnivelmedioEduardoCanulPech,EddieAparicioLanda

169

Aspectosafectivos intervinientesenelaprendizajede laestadstica: lasactitudesysusformasdeevaluacin

AnaSofaAparicio,JorgeLuisBazn

180

SecuenciadidcticaparalaenseanzadeProgramacinLinealMaraReyGenicio,ClarisaHernndez,SilviaForcinito

190

UnestudiodelconceptodevariableenloslibrosdetextoLinaMoralesPeral,JosLuisDazGmez

201

LacomprensindeunconceptomatemticoylosregistrosderepresentacinsemiticaEstelaRechimont,NoraFerreyra,NoraAndrada,CarlosParodi

212

UnaexperienciadeautoevaluacinycoevaluacionengruposnumerososMarisaAnglicaDigin,BeatrizdelCarmenAutino

222

EnseanzaycomprensindeestocsticosentercergradodesecundariaOrlandoVzquezPrez;AnaMaraOjedaSalazar

234

Elconceptodefuncin:unamiradadesdelasmatemticasescolares.JhonyAlexnderVillaOchoa

245

ResultadosacadmicosconformealoshbitosyestrategiasdeaprendizajeMartaGolbach,AnalaMena,GracielaAbraham,MaraRosaRodrguez,GracielaGalindo,MabelRodrguezAnido

255

Algunasestrategiasdelaeducacinadistanciaenlaeducacinmatemticauniversitariatradicional

MaradelCarmenSpengler,LuisinaEgidi,AnaMaraCraveri

267

viii

Adquisicindelanocindecantidad:niospreescolaresconlenguajelimitadoIgnacioGarnicayDovala,HildaEneydaGonzlezOrtiz

278

ModelosdeenseanzasobreraznyproporcinElenaFabiolaRuizLedesma,MartaElenaValdemoroslvarez

289

Lafactorizacindepolinomios.Unaexperienciadocente.MarianaMoralesVilorio

299

Dificultades conceptuales y procedimentales en el aprendizaje de funciones enestudiantesdebachillerato

JessLpezCahun,LandySosaMoguel

308

SignificadoselementalesysistmicosdeunaecuacindesegundogradoLuisE.CapaceP.,MarioArrieche

319

Lasideaspreviassobreelclculointegralenlosalumnosdeprimeraodelauniversidad

LilianaMilevicich

329

La enseanza y aprendizaje del clculo integral en el contexto de primer ao de launiversidad

LilianaMilevicich

339

LaintegraldefinidacomoobjetodeunaingenieradidcticaIleanaPluss

350

MostrandolosconceptosdidcticosenunaclasedeanlisismatemticoAnaElisaIbaez

362

MatemticaaplicadaacrisisempresarialesMaraRosaRodrguez,JessA.Zeballos,EduardoM.Nieto

373

Implicaciones epistemolgicas en la comprensin de probabilidad en tercer grado desecundaria

SalElizarrarsBaena,AnaMaraOjedaSalazar

383

LashiptesispreviasparalaenseanzadelaestadsticabsicaenlauniversidadTeresitaE.Tern,MercedesAnidodeLpez

394

LibrosdetextoyprogramasdecmputoenelauladeltercerciclodeeducacinprimariaMaraPatriciaFloresMarroqun,AnaMaraOjedaSalazar

406

Unaactividadparaelaprendizajede laprobabilidad,diseadaconelmtodohistricoculturaldeVygotskiylateoradelaactividaddeLeontiev

JorgeGmezArias

416

ix

Modelosmatemticos a partir delmodelo nomolgico deductivo de la explicacincientfica

HoracioA.Caraballo.CeciliaZ.Gonzlez

427

Unestudiointerpretativosobreerroresdetectadosenalumnosuniversitariosalcalcularintegrales

RalKatz,NataliaSgreccia

436

Sobrequnosenseanloserroresdenuestrosalumnos?25aosdespuesMnicaCaserio,MarthaGuzmn,AnaMaraVozzi

447

UtilizaciondelmodelodeLagrangeparalaEnseanzadeextremoscondicionadosMarthaBeatrizFascella,HugoVctorMasa

457

Estudio del comportamiento de la funcin a partir de la derivada. Anlisis de unasecuenciadidctica.

Adriana Engler, Silvia Vrancken,Mara Ins Gregorini, DanielaMller,MarcelaHecklein,NataliaHenzenn

466

Identificacindedificultadesenlaenseanzayelaprendizajedelclculoapartirdelosresultadosdeexmenescolegiados

JosAlvaroEncinasBringas,LusngelContrerasNio,RuthElbaRiveraCastelln,MaximilianoDeLasFuentesLara,EnriqueRenBastidasPuga

477

TransformacionesbsicasdelasfuncionesTulioRafaelAmayaDearmas

487

Adquisicindelanocindecantidad:niospreescolaresconlenguajelimitadoIgnacioGarnicayDovala,HildaEneydaGonzlezOrtiz

496

DificultadesparaelaprendizajedematemticadiscretaMnicadelSastre,EricaPanella

507

x

CATEGORA2:Elpensamientodelprofesor,susprcticasyelementosparasuformacinprofesionalProgramadematemticaeducativaenlneadelCicataIPN

ElizabethMariscal,AlejandroMiguelRosas,MarioSnchez

517

PrcticasdocentesyerroresdelosalumnosPatriciaC,MnicadelSastre,EricaPanella

527

La integracin de una componente didctica en la formacin de profesoresuniversitarios

Anido,M.,RubioScola,H.

532

Estrategia de capacitacin para la profesionalidad del docente de matemtica enUNAPEC

GnovaFliz,NancyMontesdeOcaRecio

550

Contribuciones tericas para caracterizar clases reflexivas de matemtica en laescolaridadbsica

NataliaSgreccia,MartaMassa

560

Formacinycapacitacindeprofesores.Unaexperienciadefortalecimientodeldiscursomatemticoescolar

SantiagoRamiroVelzquez,OliverTextaMongoy

571

LapraxisdeladidcticadelamatemticaMartnAndoneguiZabala

582

LosprimerospasosdelosfuturosprofesoresdematemticaNildaEtcheverry,NormaEvangelista,EstelaTorroba,MarisaReid

594

Laobservacinenelaula,comoinstrumentodeevaluacin.UnaexperienciadidcticaLidiaBEsper,LidiaBnitez,MartaTorres,SoniaBentez

605

Reconocimientode algunasdificultades en laprcticadocente sobre la enseanzadefracciones:estudiodecaso

MartaElenaValdemoroslvarez,ElenaFabiolaRuizLedezma

616

Unestudio cualitativo sobre lasprcticasdocentesen lasaulasdematemticasenelnivelmedio

MarthaImeldaJareroKumul,MayraAnaharelySaraiBezMelendres,CristyArelyCantInterin,KarlaMargaritaGmezOsalde

627

xi

Criteriosde idoneidadyargumentacinen laevaluacinde loscambiosdentrodeunacomunidaddeprofesoresdematemtica

VicenFont,AnaB.Ramos

636

Eldilogoasncronodocente investigador,comoprocesodeconstruccincolaborativadelconocimiento

MaraEugeniaRamrezSols,LilianaSurezTllez,PedroOrtegaCuenca

646

Aproximacin a la dimensin normativa en didctica de las matemticas desde unenfoqueontosemitico

JuanD.Godino,VicenFont,MiguelR.Wilhelmi,CarlosdeCastro

656

Metforas y ontosemitica. El caso de la representacin grfica de funciones en eldiscursoescolar

VicenFont,JorgeI.Acevedo,MarinaCastells,JaneteBolite

667

Interpretacinde losprofesoresdel saberaensear.Reportedeunaexperiencia conprofesoresuniversitariosdelgebraenfacultadesdeingeniera

SilviaElenaIbarraOlmos,RamirovilaGodoy

677

Significadospersonalesdelparalelismoygeometradeloscuadrilterosenlaformacindeprofesoresdematemtica

MaryArrieche,MarioArrieche,BelnArrieche

686

Quseinvestigaeneducacinmatemtica? Perspectivas de un investigador endesarrollo

MarioJosArriecheAlvarado

695

Procesosenmatemticas.UnaperspectivaontosemiticaVicenFont,NormaRubio,ngelContreras

706

xii

CATEGORA 3: Consideracin de aspectos socioepistemolgicos en el anlisis y elrediseodeldiscursomatemticoescolarIntuicinyraznenlaconstruccindelconocimientomatemtico

CeciliaCrespoCrespo

717

ElconceptodesignificadoenlareconstruccindelconocimientomatemticoAlbertoCamachoRos

728

SocioepistemologaymatemticasRicardoCantoral,RosaMaraFarfn

740

SignificadosasociadosalpuntodeinflexinAlbertoCamachoRos

754

LoperidicoenlarelacindeunafuncinysusderivadasGabrielaBuendaAbalos

765

UnavisinsocioepistemolgicadelaresidenciaLilianaHomilka,JavierLezama

776

IdentificandoageometrianasconstruesindgenasLuclidadeFtimaMaiadaCosta

787

Elcontexto,laprediccinyelusodeherramientas;elementossocioepistemolgicosdelamatematizacindelaeconoma.

SalEzequielRamosCancino

795

Euler:suconceptodeserienumrica infinitaysu influenciaen lamatemticadelsigloXVIII.

AlejandroMiguelRosasMendoza

806

Las prcticas sociales que conforman la cultura matemtica de los profesores delInstitutoTecnolgicodeOaxaca.

LuzMaraMingerAllec

815

Acerca de la existencia de formas de argumentacin construidas fuera de escenariosescolaresquelleganalauladematemtica

CeciliaCrespoCrespo,RosaM.Farfn,JavierLezama

825

ConstruccindelinfinitoenescenariosnoescolaresPatriciaLestn,ApoloCastaeda

836

xiii

Comunicandocambioseneltiempo:elementosparaunasituacindidctica

EduardoCarrascoHenrquez,LeonoraDazMoreno

846

Sobre las rupturas conceptuales en la construccin escolar de las funcionestrigonomtricas

GustavoMartnezSierra

857

DesarrollodelanocindegraficacinenlaantigedadApoloCastaedaAlonso

868

MatricesdesentidoparalasnocionesdevelocidadytiempoLeonoraDazMoreno

878

Docencia enmatemticas: hacia unmodelo del profesor desde la perspectiva de lasocioepistemologa

JavierLezama,ElizabethMariscal

889

UnavisinsocioepistemolgicaatravsdelaprediccinenlaconservacindelaenergaHiplitoHernndezPrez

901

Elementostericosde la investigacin: laformacinde losdocentesysuscreenciasenelenfoquedelaenseanzadelasmatemticasatravsdelaresolucindeproblemas

LeticiaTllezHernndez,GustavoMartnezSierra

911

Elementoshistricos,epistemolgicosydidcticosdelconceptodefuncincuadrticaYadiraMarcelaMesa,JhonyAlexnderVillaOchoa

922

Laintegraldefinida:simplificacindellmiteenelprocesodeenseanzadeladefinicinEugenioCarlosRodrguez

931

Elcarcterevolutivodelasprcticassociales.ElcasodelaprediccinIvnLpezFlores,CarolinaCarrillo,HerminioAlatorre

939

xiv

CATEGORA4:Usodelatecnologa enelprocesodeaprendizajedelasmatemticasLainteraccindocenteantelavinculacindelentornotecnolgicoenelmbitoescolar

JuanaAcostaGanm,MiguelngelCruzCastillo

951

LosmediostecnolgicosdeapoyoenlaenseanzadelasmatemticasRogelioRamosCarranza,MiguellvarezGmez

962

LaenseanzayaprendizajedelclculointegralmedianteelusodeordenadorLilianaMilevicich,AlejandroLois

973

LagenesisinstrumentalenunasituacindemodelacindelmovimientoEduardoCarlosBriceoSols,FranciscoCorderoOsorio

983

ExperienciadectedrausandoherramientasinformticasyelaprendizajecooperativoMaraE.Ascheri,RubnA.Pizarro

993

IntroduccinallenguajeOCTAVE:aplicacionesaproblemasdematemticaMaraE.Ascheri,RubnA.Pizarro

1004

UnapropuestadidcticaparaelestudiodefuncionesconlautilizacindeunsoftwareDanielaMller,AdrianaEngler,SilviaVrancken

1015

EvaluacindeuntextointeractivoparaensearfuncionesJosLuisDazGmez,LinaMoralesPeral

1026

DiseodeactividadesdematemticasconelusodetecnologaLandySosaMoguel,EddieAparicioLanda,JorgeTuyubMoreno

1036

Modelacindelmovimientoenunambientetecnolgico:Unacategorademodelacingraficacinparaelclculo

LilianaSurezTllez,FranciscoCorderoOsorio

1046

UnlaboratoriotecnolgicocomosistemadidcticoparaelauladematemticasGabrielaBuendaAbalos,AdrianaCorderoGuadarrama

1057

Actividades de probabilidad y estadstica con tecnologas de la informacin y lacomunicacin

Jos Luis Torres Guerrero, Liliana Surez Tllez, Blanca Ruiz Hernndez, PedroOrtegaCuenca,MaraEugeniaRamrezSolis.

1067

DesarrollodeuntutorialwebdeclculonumricoconherramientasdegestindecursoparalaUniversidadNacionalExperimentaldeGuayana

SandraCastillo,LuzmnNez,GuillermoPerozo

1077

xv

AcercamientointuitivoalconceptodefuncinderivadaJosCarlosCortsZavala

1088

Aproximacionesalvalordelaintegraldefinidautilizandounacalculadoragraficadora.EstherAnsolaHazday,EugenioCarlosRodrguez,NelsonHernndezReyes,PabloGmezFuentes,DboraOlivaAlfonso,DaneliaSnchezCamaraza

1099

ConstruccionesgeomtricasconcalculadorasgraficadorasNelsonHernndezReyes,EstherAnsolaHazday,EugenioCarlosRodrguez,PabloGmezFuentes

1109

Asistentematemtico.HerramientanecesariaenlaenseanzadelamatemticaPedroCastaedaPorras,ArelyQuinteroSilverio,EugenioHernndezVargas

1118

EnseanzaaprendizajedeecuacionesdiferencialesordinariasconelusodeTICsEstelaTorroba,MarisaReid,NildaEtcheverry

1127

UsodelacalculadorabsicaenlaresolucindeproblemasaditivosEduardoBasurtoHidalgo

1136

Cursosdematemticasenlared.Cmobuscanlosalumnosyqulosmovilizaaabrirunsitio

AnaLasserre,JosefinaRoyo,CeliaTorres,EdnaAgostini,MercedesNaraskevicins

1144

Proyectoeducativo.ProcadDoraFernndezdeMusomecci,MartaSusanaGolbach,IdaCristinaKempfdeGil,CarolinaAnaRotger

1155

Propuesta para la enseanza del concepto de derivada, un acercamiento visual conGeogebra

ArmandoLpezZamudio

1166

Un tutor interactivopara laenseanzadellgebra:anlisisde lascondicionesparasuimplementacin

AnalaMenadePappalardo,MartaGolbach

1176

xvi

Presentacin ElActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa(Alme)presentaunanuevaedicin.Ymantienecomo lo hiciera desde su origen su espritu de difusin e intercambio de producciones deprofesoreseinvestigadoresenMatemticaEducativadetodaLatinoamrica.

Los trabajosque integranestaedicin fueronpresentadosduranteRelme21,VigsimoPrimeraReunin LatinoamericanadeMatemtica Educativa, llevada a cabo en la ciudaddeMaracaibo,Venezuela. Una vez finalizada la reunin, los ponentes sometieron sus trabajos a una nuevaevaluacin para incluirlos en esta Acta, con la intencin de hacer llegar sus propuestas einvestigaciones a un cada vezmayor nmero de colegas interesados y comprometidos con elcrecimientodenuestradisciplina.

Sebuscaconestapublicacinunfortalecimientodelaprofesionalizacindelatareadocenteydela investigacinenmatemticaeducativa,observando lascaractersticas localescompartidasporloscolegasdeLatinoamricaydistinguiendoenestatarea lanecesidaddegeneraruncampodeconocimiento cientfico, reconocido dentro y fuera de nuestra comunidad. Ao tras ao, ladifusinmedianteunapublicacindenivelacadmico,delestadodelarteenmateriadedocenciaeinvestigacinenelcampodelamatemticaeducativaenLatinoamricaesotrodelosobjetivosqueelComitLatinoamericanodeMatemticaEducativacumpleconestapublicacinperidica.

Lostrabajoshansidoorganizadossegncuatrocategoras:

Categora1:AnlisisdelCurrculumyPropuestasparalaEnseanzadelasMatemticas.

Categora2:ElPensamientodelProfesor,susPrcticasyElementosparasuFormacin.

Categora3:ConsideracindeAspectosSocioepistemolgicosenelAnlisisyRediseodelDiscursoMatemticoEscolar.

Categora4:UsodelaTecnologaenelProcesodeAprendizajedelasMatemticas.

Los integrantes del Comit Editor y Comisin Acadmica del ALME 21, agradecen a todos losprofesoreseinvestigadoresqueenviaronsusartculos.Todoeltrabajoqueserequiriparallegara este documento fue realizado con atencin y dedicacin, y especialmente, orgullo de poderhabercolaboradoconestatarea.

Se agradece especialmente a los rbitros por su contribucin solidaria y profesional, comoasimismo y demanera especial a todos los colegas que demanera generosa y entusiasta nosregalaronsutiempo,inteligenciaycreatividadparalarealizacindeesteproyecto.

ComisinAcadmicadel

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa2008

Mayo2008

Categora1

Anlisisdelcurrculumy

propuestasparala

enseanzadelas

matemticas

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

1

Resumen. En este documento se discuten algunas ideas producto de la investigacin deMolina (2004) que se trabajaron en un taller de la XXI Reunin Latinoamericana deMatemticaEducativa.Eltemaadiscusin,losmodelosmentalesintuitivos(enelsentidodeFischbein,1987,1989)queungrupodeestudiantesmanifestacercade laTransformacinLineal(TL)enuncontextogeomtrico.

Palabrasclave:intuicin,modelosmentales,transformacinlineal

Introduccinyobjetivo

Estetallertuvodospropsitos,enprincipiohacerconcientesalosparticipantesacercade

losmodelosintuitivosquepudiesenteneracercadelaTransformacinLinealencontexto

geomtrico, y por otra parte compartir los resultados de la investigacin realizada por

Molina(o.p.)acercade lasconcepcionesdeungrupodeestudiantessobre laTL.Loque

entendemos por intuicin y por modelos intuitivos est en trminos de la teora de

Fischbein(o.p.)sobreeltemayqueabordaremosenelsiguienteapartado.

La mecnica del taller fue la siguiente, plantear a los asistentes como tarea seis

actividadestomadasdelintrumentodiseadoenlainvestigacincitadayposteriormente

discutirlas, sealando el origen y propsito de stas en terminos de el acercamiento

tericodeltrabajo.Laprimeraactividadestuvocompuestaporcuatropreguntasabiertas

acercadelaTL.Lassiguientescincotareasfueronpreguntasacercadelaexistenciadela

TL,presentadasenformatogeomtrico.

Laintuicin

Segn Fischbein, las personas tenemos la necesidad de entrar en un estado de

convencimientoacercade los conceptosmatemticoscon losquenosencontramos,es

TRANSFORMACINLINEALENCONTEXTOGEOMTRICOJuanGabrielMolinaZavaletaProgramadeMatemticaEducativa,CICATAIPN Mxicojmolinaz@ipn.mxCampodeinvestigacin: Modelosmentales Nivel: Superior

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

2

decir, tener certeza de ellos. Lograr ese estado de convencimiento esmediado por la

intuicin, a travs demodelos intuitivos. Con respecto a la intuicin seala que este

trminonotienedefinicinnicayloquedebemosentenderporella,serefiereaaquellas

ideas que son aceptadas como ciertas por ser evidentes por smismas, es decir, no

requierenargumentacinparaseraceptadas.

La intuicinno es laprincipal fuentede conocimientosevidentes y verdaderos,peroparece serlo,

porquesupapelesexactamente:crearaparicindecerteza,conferiradistintas interpretacioneso

representacionesuncarcterdecerteza intrnsecae incuestionable(Fischbein,1987,p.12,nuestra

traduccin)

Fischbein (1987) hace una delineacin detallada acerca de la intuicin, discutiendo los

rasgoscaractersticosquepuedentenerlasnocionesintuitivas.

Losmodelosintuitivos

Ladelineacinqueesfundamentalparadarsentidoaestetrabajoeslareferenteaquse

entiendepormodelointuitivoycmoelmodelointuitivoinfluyeenlacognicin.

Para Fischbein, losmodelos intuitivos son nociones intuitivamente aceptables que se

desempeancomounsustitutodeotrasnociones:

Los modelos representan una herramienta esencial para moldear o para darle forma a las

cogniciones intuitivamente inaceptables.Cadavezqueunapersonasetienequeenfrentarconuna

nocinquees intuitivamente inaceptable, tiendeaproducir (algunasvecesdeliberadamente,otras

veces inconscientemente) substitutos de esa nocin que son intuitivamentems accesibles. Tales

sustitutossoncomnmentellamadosmodelosintuitivos(Fischbein,1987,p.121,nuestratraducciny

nfasis).

Con respecto a losmodelos, Fischbein entiende unmodelo en el sentido de Gentner

(1983):

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

3

Generalmentehablando,unsistemaB representaunmodelodeunsistemaAsi,en labasedeun

cierto isomorfismo,unadescripcinounasolucinproducidaentrminosdeApuedeserreflejada

consistentementeentrminosdeByviceversa(Gentner,1983,citadoenFischbein,1987,p.121).

En su trabajo, Fischbein realiza una categorizacin amplia acerca de losmodelos, sin

embargo,paranuestrosfines,solamenteretomaremoslasiguiente:

Modelosexplcitosymodelosimplcitos(otcitos)

Enestaclasificacindistingueentre losmodelosexplcitosy los implcitos.Losmodelos

explcitosseconstruyenoseescogenenformaconscienteparafacilitaraconseguiruna

solucin.Porejemplo,siconsideramosalgunafuncinquedainformacindelvolumende

unrecipienteentrminosdealgunodesuslados;estafuncinnosfacilitaraencontrarlas

dimensionesquedeberatenertalladoparaqueelrecipientecontengaelmayorvolumen

posible.

Unmodeloesimplcitootcitocuandoelsujetonoestconscientedesuinfluenciaodel

alcancedeste.Estadistincinjuegaunpapelimportanteenlainvestigacin.

Losmodelosintuitivosylacognicin,segnFischbein

Elpapeldelosmodelosintuitivosennuestropensamiento,eselsiguiente:

Losmodelostcitoso intuitivos(ambos,paradigmticosyanalgicos),jueganunrolfundamental

encualquierprocesode razonamientoproductivo.Nopuedeexistirunaactividadde razonamiento

productivosineventosproductivosqueconsistenenglobalizacin,concretizacin,extrapolacin,etc.

Losmodelosintuitivossongenuinamentebenficosconrespectoatodosestosaspectos.Unmodelo

ofreceaquienresuelve,unsustitutodeloriginal,quepormediodesuscualidadesesmejoradaptado

a la naturaleza del pensamiento humano que el original. Nosotros pensamos mejor con lo

perceptible,con loprcticamentemanipulable,con lo familiar,con loquese lepuedecontrolarsu

comportamiento,con lavalidez implcita,quecon loabstracto, loquenosepuede representar, lo

incierto,loinfinito(Fischbein,1987,p.122,nuestratraduccinynfasis)

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

4

LinchevskiyVinner(1988,citadosenFischbein,1989,p.10)comentanqueexistenvarias

concepciones errneas en estudiantes respecto al concepto de conjunto, como por

ejemploconsiderarqueloselementosdeunconjuntodebenposeerunaciertapropiedad

explcitacomnypensarqueunconjuntodebeestarcompuestopormsdeunelemento.

Si elmodelo intuitivo que sustituye el concepto de conjunto es el de la coleccin de

objetos,estasconcepcioneserrneassonprevisibles:

Elmodelo intuitivomanipulade trasdeescenaelsignificado,eluso, laspropiedadesdelconcepto

formalmente establecido. El modelo intuitivo parece ser ms fuerte que el concepto formal. El

estudiante tiende a olvidar las propiedades formales y tiende a mantener en mente aqullas

impuestasporunmodelo.Laexplicacinparecesermuysimple: laspropiedades impuestasporel

modelo concreto constituyen una estructura coherente, mientras las propiedades formales,

aparecen,almenosaprimeravista,msbiencomounacoleccinarbitraria(Fischbein,1989).

Para losfinesde la investigacines importante identificarqumodelos intuitivostienen

los estudiantes sobre la TL porque estos son fundamentales en sus razonamientos

productivos. Los modelos que los estudiantes tengan sobre la TL determinarn las

concepciones que de tal concepto se formen: lo que un individuo puede aprender, y

cmoloaprende,dependedelosmodelosconquecuenta(Papert,1981,p.13).

En Fischbein (1989) se explica, entre otras cosas, que los modelos tcitos en los

estudiantesnoson inalterables,quecon la intervencinapropiadasepuedenmodificar,

conelobjetodeafectarbenficamenteelentendimientode losconceptosmatemticos

en losestudiantes.Dentrode sus conclusiones,amanerade sugerencia, indicaqueun

primerpasoparadefinirlaestrategiaparaconseguirtalmodificacinconsistelgicamente

enidentificarlosmodelostcitosenlosestudiantesconrespectoalconceptomatemtico

deinters.

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

5

Mediante la discusin de las respuestas a las actividades y del acercamiento terico

discutidoanteriormentesepretendealcanzarelprimerobjetivodeestetaller.Elsegundo

propsitoseprocurarcomentandolosresultadosdelainvestigacinquenosocupa.

Lasactividadesysusaportes

A continuacin se discuten las actividades y los aportes de stas al trabajo deMolina

(2004).Esimportantesealarquemuchosdelosdetallesnoseretoman,perosepueden

consultarenlafuenteencuestin.

Actividad1

Contestarlassiguientespreguntas:

a) Quentiendesportransformacinlineal?

b) Propnunejemplodeunatransformacinlinealyargumentaporqueslineal.

c) Propnunejemplodeuna transformacinno linealyargumentaporquesno

lineal.

d) Qusignificalinealenlatransformacinlineal?

Conrespectoaestaspreguntassereportalosiguiente:

Incisoa.LamayoradelosestudiantesentiendenlaTLcomounaespeciedefuncin,quea

un conjunto de vectores los convierte en otro, pero no hicieron referencia a las dos

propiedades que debe cumplir para ser lineal. Solamente dos estudiantes de los cinco

entrevistadosafirmaronquesetratabadeunafuncinyquecumpladospropiedades.

Incisob. Lamayorapudoplantearunejemplo (algunos conerroresen la sintaxis), sin

embargo solo dos estudiantes pudieron demostrar algebraicamente que sus ejemplos

correspondanconunaTL.Cabemencionarque losestudiantesdelestudio tenan largo

tiempodehabertomadoalgncursodelgebralineal.Estasituacinnoafectelestudio

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

6

porquesegnlateoradereferencialosmodelosonocionesintuitivasquelosestudiantes

seformanentornoalosconceptosmatemticospredominanconeltiempo.

Inciso c. Esta cuestin en general cas dificultad, solo dos personas pudieron dar un

ejemplo,ambosejemplosincluanuntrmino 2x .

Incisod.Estapreguntafuecontestadaportodos,aqusalieronalaluznocionesintuitivas

asociadasaese trmino.Unestudiante lo relacionabancon segmentosde recta,lineal

vienedelnea;otroestudianteconunordenenelculsehacenoperaciones;otropupilo

conecuacionesdeprimergrado.Sinembargoningunohacareferenciaaquesteesun

adjetivoquese ledaaunoperadorcuandosatisface lasdoscondicionesparacualquier

escalar k y cualesquiera vectores 2,u v , ( ) ( )T ku kT u= y ( ) ( ) ( )T u v T u T v+ = + . En

palabrasdeFischbeinpodemosdecir elmodelo intuitivoparece serms fuertequeel

concepto formal. El estudiante tiende a olvidar las propiedades formales y tiende a

mantenerenmenteaqullasimpuestasporunmodelo.

Actividadestrabajadas

Lasactividadespresentanlasiguientepregunta:

Digasiesposiblequeexistaunatransformacinlinealqueconviertalosvectoresdela

Figura1enlosvectoresdelaFigura2.Argumenteporqu.

Actividad,incisoa

Figura1 Figura2

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

7

Pormotivosdeespaciono incluimos lasrestantesactividades,estassepuedenconsultar

enelsiguientehipervnculo:

http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=33500204&iCveNum=6262

Elresultadoprincipalquereportaesque losmodelos intuitivosdetectadosentodos los

estudiantessobre laTLsonunaseriedecasosparticularesdetransformaciones lineales.

stas son transformaciones lineales que se conocen en el ambiente escolar como

expansiones, contracciones, reflexiones, rotaciones y composiciones de stos. Los

estudiantes,conelconjuntoanteriorde transformaciones linealesen 2 comouniverso,

cuando laspreguntas involucransloestastransformaciones,en lamayorade loscasos

determinansi la transformacin involucradaen lacuestines lineal;encasodeque tal

transformacin no forme parte de su universo, sta es excluida de la clase TL. Para

justificarloantesdichoretomamosuncasoenquesereflejaestasituacin.

El caso de Hermes: En el transcurso de la entrevista este alumno contest con

desenvoltura y correctamente cada uno de los casos que se le plantearon,mostrando

facilidadparatransitarentre lasrepresentacionesgrficasy lasalgebraicas.Sinembargo

cuandollegalaactividadltuvodificultades.

Ante esta situacin, de entrada Hermes contesta negando la existencia de la TL; con

seguridaddice:

H159:No,stano,porqueestdejandofijoaByeste,esttransformandoa,A(sealalafigura2),y

puesno.

Resulta importante lo repentina y contundente de la reaccin de Hermes al negar la

posibleexistenciade laTL,porquedosrasgosde la intuicinsonsuevidenciaycerteza;

sonnocionesquequienlasexperimentanosientenecesidaddeargumentosparaaceptar

comociertasyHermespareceestarsegurodesurespuesta.Ante lareaccindeHermes

intervenimos pidiendo que agregara detalles a su explicacin.Como respuestaHermes

intentdaruna justificacinalgebraicaquerespaldarasuafirmacin,no laconsigui,sin

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

8

embargomantuvosupostura.Acontinuacinalpasara lasiguientepregunta (actividad

m):

Figura1 Figura2

Hermesestabaenprofundasmeditaciones,repentinamentetomlahojaenlaqueestaba

plasmado el caso anterior, la actividad l y a continuacin desarroll un elaborado

argumentoa favorde laexistenciade laTL, recurriendoa ideas relativasa losvectores

basedeunatransformacin;aqunosinteresaresaltarqueconmuchaseguridadcambi

depostura,ymostrqueenelcasode laactividad lspodraexistirunatransformacin

linealycomentquelomismoocurriraconlaactividadm.CuandoHermesdescubrique

spodraexistirlaTL,nosexpliclosrasgosquelconsiderabadelatransformacinlineal

yqufueconlosqueseapoyabaparaargumentar:

H181(Fragmento):Puestendraquecambiardeopininenvariasdeesas,pero[]

E182:Mjm,enculestendrasquecambiardeopinin?

H183:Puesenunmontn,sporqueestabayopensando,considerandotransformacionessolamente

rotacinyporescalar,ynoosea,nonecesariamente,dehechostavaaserunatransformacin,

transformacinlineal,adems.

PosiblementeloquecondujoinicialmenteaHermesaconcluirlanoexistenciadelaTLes

quelpensabaen latransformacin linealcomounafuncinquetieneelmismosimple

efectogeomtricoen todos los vectoresdelplano (expande todos, contrae todos, rota

todos, etc); cuando observa que el vector B semantiene constante, interpreta que la

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

9

transformacin no afect a un vector, entonces concluye que no es una TL. En otras

palabras,Hermestieneenmenteciertosmodelosintuitivosacercadecmosecomportan

lastransformacioneslineales,detalformaquecuandoseenfrentaaunasituacinqueno

encaja dentro de su universo demodelos, rechaza la existencia de la transformacin

lineal,comoenlaactividadl.

Hermes pensaba la transformacin lineal en trminos de movimientos geomtricos

simples,laexpansin,compresin,larotacinycombinacionesdeellos.Cuandoabordla

actividadm, l percibi una transformacin lineal que tena un comportamiento que

consideraba imposibleenellas,queunvector secontraigayotro seexpanda, teniendo

comoresultadoelcambidepostura,estaobservacinlarespaldanconeldilogoH109y

enH183; aunqueeneste caso suargumentoestbasadoenelno cumplimientode la

propiedaddelamultiplicacinporunescalar.

H109: Porque como estn alineados,deberande cumplir este, estodeberande cumplir (seala

, ( ) ( )A B T A T B = = ),aesto,sisecumpleesto,esosedebecumpliryveoque,quenopues,

unvectorseestirayelotroseencoge,esoesloqueveoquenosepuede.

Como discutimos en los prrafos anteriores, inicialmente Hermes semostr reacio en

aceptar laexistenciade laTL.Sureaccin,firmezaennoaceptar laexistencia,nopoder

argumentar,podra ser lamanifestacinde su intuicinejerciendo influenciaenl.Por

otraparte,sucambiodeposturadespusdeobservarelcasosiguienteesunejemplode

cmounanocin intuitivapuedesermodificada,cuandootromodelo intuitivoentraen

juego.Alreflexionarsobrelapregunta,loqueeraimplcitovolviexplcito[ver183arriba]

yestopermitielcambioensupostura.Lapreguntaplanteadaenlaactividadmtieneun

formatodiferentealasanteriores,estotambinpodratenerelefectodeevocarmodelos

mentalesdeotranaturalezaenHermes(unoconfigurasqueparalsesunaTL,porque

tal vez lo asocia con la frmula1

2

2x x

Ty y

=

que s cumple las propiedades), l logra

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

10

percibirenlaactividadmquesilosladosquedeterminanlafigura1representanvectores,

ocurra algo semejante a lo planteado en la actividadm: una TL que afecta en forma

diferentealosvectores,porconsiguientededucequeentalcasospodraexistir.

Conclusiones

EllgebralinealesunamateriamuyimportanteenelcurrculoescolarenMxico,porello

es importante mostrar explcitamente a profesores y estudiantes cmo los modelos

intuitivosinfluyenimplcitamenteennuestrorazonamiento,estobrindaunacomprensin

profunda del concepto TL, pues permite que nuestro conocimiento sobre el tema se

aproximemejoralquelamatemticaleasigna.

Referenciasbibliogrficas

Fischbein E. (1987). Intuition in science and mathematics: an educational approach.

Holland:Reidel.

Fischbein, E. (1989). Tacit Models and Mathematical Reasoning. For Learning of

Mathematics,9,914.

Molina,J.G.(2007).Concepcionesde laTransformacinLinealenContextoGeomtrico.

RevistaLatinoamericanadeInvestigacinenMatemticaEducativa,10(2),241273.

Molina,J.G.(2004).Lasconcepcionesque losestudiantestienensobre latransformacin

linealencontextogeomtrico.Tesisdemaestranopublicada.Mxico:CinvestavIPN.

Papert,S.(1981).Desafoalamente.Argentina:EdicionesGalpago.

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

11

Resumen.Enestetrabajoseanalizaunaencuestadeopinindelosalumnossobreunamodalidaddeaprendizajeque incorpora laherramientacomputacionalysuvinculacincon laTeorade losEstilosdeAprendizajeenlaconcepcindeAlonso,GallegoyHoney(1999),amododeevaluacindeunaexperienciadeaprendizajedetemasintroductoriosallgebraLineal,enunLaboratoriodeInformtica de la Facultad de Ciencias Econmicas y Estadstica de laUniversidadNacional deRosario (FCEyEde laUNR).Se tratade contar conunaautoevaluacin,queenunprocesodemetacognicin,aporteelementosparaevaluar lacomprensin,el inters,elesfuerzopersonaleneldesarrollodelostemaspropuestos,paraorientarlaprogramacindeactividadesyelaboracindematerialdidcticoquepotencienlosprocesosdeindagacin,reflexin,abstraccinyaplicacin.

Palabrasclave:estilosdeaprendizaje,encuestadeopinin,metacognicin

Introduccin

Setrataderelacionarlassiguientesindagacionesrealizadasconalumnosdeprimeraode

lacarreradeContadorquecursanMatemticaI.enlaFCEyEdelaUNR.:

a) los Estilos de Aprendizaje de la poblacin de anlisis mediante la aplicacin del

CuestionarioHoneyAlonsodeEstilosdeAprendizaje(CHAEA).

b) laopininde losalumnosatravsdeunaencuestasobre lamotivacin,facilitaciny

utilidad del trabajo interactivo con el computador en temas de lgebra Lineal

Surgeas,comoobjetivodeestetrabajo:contarconunaautoevaluacinqueconstituyaa

suvezunaestrategiademetacognicindeunprocesodeaprendizajeyapartirdeella

mejorar el diseo de las actividades de enseanza con herramientas CAS (Computer

AlgebraicSystem)

UNAREFLEXINSOBREELPROPIOAPRENDIZAJE.SUANLISISDESDELAPERSPECTIVADELOSESTILOSDEAPRENDIZAJE.MercedesAnido,AnaMaraCraveri,MaradelCarmenSpenglerFacultaddeCienciasEconmicasyEstadsticadelaUniversidadNacionaldeRosario

Argentina

anidom@fceia.unr.edu.ar,craveri@arnet.com.ar,mariaspengler@gmail.comCampodeinvestigacin: DidcticadelaMatemtica Nivel: Superior

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

12

Problemadeinvestigacin

Qu relacin existe entre las repuestas del alumno a la encuesta y su estilo de

aprendizajepredominante?

Seinsinantendenciasentrelasformasenquelosalumnosreflexionansobresutrabajo

ysuestilopersonaldeaprender?

Ladeterminacindelosestilosdeaprendizaje

QuentendemosporEstilosdeAprendizaje?

LasTeorasdelosEstilosdeAprendizajehanvenidoaconfirmarladiversidadyrelatividad

del aprendizaje y demostrado que las personas piensan demanera distinta, captan la

informacin, laprocesan, laalmacenany larecuperandeformadiferente.Proponenun

caminoparamejorarelaprendizajepormediodelaconcienciapersonaldeldocenteydel

alumno, de las peculiaridades diferenciales, es decir, de los Estilos Personales de

Aprendizaje(Alonsoetal.1999)

Existen distintas teoras de Estilos de Aprendizaje y cada una de ellas aporta su

correspondiente instrumentodediagnstico.Enestetemanuestrosreferenteshansido

losDres.CatalinaAlonsoyDomingoGallegoGilyelinstrumentodediagnsticoelCHAE.

LadefinicindeestiloqueseadoptaeslaqueproponeKeefe(1982),quienconsideralos

EstilosdeAprendizajecomolosrasgoscognitivos,afectivosyfisiolgicosquesirvencomo

indicadores relativamente estables, de cmo los alumnos perciben, interaccionan y

respondenasusambientesdeaprendizaje.

Para Honey y Mumford (1986), los Estilos de Aprendizaje se corresponden con el

recorridocclicodecuatroetapasdeKolb(1984):experimentacinconcreta,observacin

reflexiva, conceptualizacin abstracta, experimentacin activa y son cuatro

respectivamente:

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

13

Activo: Se entusiasman frente a tareas nuevas. Pasan rpidamente de una actividad a

otra. Se aburren con tareasde largoplazo.Tienden a centrar a su alrededor todas las

actividades.

Reflexivo:Lesgustaconsideraryobservarlasexperienciasdesdediferentesperspectivas.

Recogen datos y los analizan detenidamente antes de llegar a alguna conclusin. Son

prudentes.Observanyescuchana losdems. Intervienenslocuandosehanadueado

delasituacin.

Terico:Adaptane integran lasobservacionesdentrode teoras lgicas. Tienden a ser

perfeccionistas.AnalizanysintetizanBuscanlaracionalidadylaobjetividad.Huyendelo

subjetivoyambiguo.

Pragmtico:Supuntofuerteeslaaplicacinprcticadelasideas.Actanrpidamentey

con seguridad con aquellas ideas y proyectos que los atraen. Se impacientan ante

personas que teorizan. Su filosofa es: siempre se puede hacermejor, si funciona es

bueno.

ElCHAEAconstade80 temsbrevesyseestructuraencuatrogrupososeccionesde20

tems correspondientes a los cuatro Estilos de Aprendizaje: ActivoReflexivoTerico

Pragmtico.

Todoslostemsestndistribuidosaleatoriamenteformandounsoloconjunto.Cadatem

esunaafirmacinqueelalumnomarcarconunsigno+slosisesienteidentificadocon

ella.Laltimahojadelcuestionariocontienecuatrocolumnas(unaporcadaEstilo)donde

figuran impresos todos los 80 nmeros predistribuidos por estilo por los autores del

Cuestionarioydondesegncorrespondaelalumnomarcarconuncrculo losnmeros

de los temsa losquesealconsigno+.Lapuntuacinabsolutaqueelsujetoobtenga

encadagrupode20tems,eselnmerodemarcasquecuentaencadaunadelascuatro

columna,serelnivelquealcanceencadaunodeloscuatroEstilosdeAprendizaje.

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

14

La fiabilidad y validez del CHAEA ha sido demostrada a travs de las investigaciones

llevadas a cabo por Catalina Alonso en 1371 estudiantes de las Facultades y Escuelas

Universitarias,pertenecientesa lasUniversidadesComplutenseyPolitcnicadeMadrid.

LaeleccindelCHAEAestuvobasadaademsenlafactibilidaddesuaplicacinengrupos

numerososdealumnos.

Losestilosdeaprendizajeennuestraexperiencia

Lainterpretacindelpuntajeesrelativaalapoblacindondesetomaelcuestionario,por

lo que para interpretar las puntuaciones del mismo, se construye un baremo de

interpretacin.apartirdeunamuestrade381alumnos

La siguiente tabla contiene los lmitesde los intervalosque resultandel anlisisde las

estructuras de percentiles de las distribuciones de los puntajes para cada estilo. Esto

permite clasificar a los alumnos en la categora de preferencia que le corresponde de

acuerdoalpuntajedeclaradoencadaunadelascolumnasdelcuestionarioCHAEA.

BaremoGeneral.PreferenciasenEstilosdeAprendizaje.FCEyEUNR

Muybaja Baja Moderada Alta Muyalta

Activo 06 7 8 9 13 14 15 1620

Reflexivo 09 10 12 13 16 17 18 1920

Terico 08 9 11 12 14 15 16 1720

Pragmtico 07 8 10 11 14 15 1620

CmointerpretarelpuntajedelCHAEA,connuestrobaremo?

Unalumnoque ingresaalprimeraode laFCEyEde laUNRqueobtuvo,porejemplo9

puntosencadaEstilodeAprendizaje,tiene:

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

15

PreferenciamoderadaenEstiloActivo

PreferenciamuybajaenEstiloReflexivo

PreferenciabajaenEstiloTerico

PreferenciabajaenEstiloPragmtico

Laencuestadeopinincomoestrategiademetacognicion

Por qu consideramos que la encuesta, adems de su carcter como instrumento

evaluativodeunprocesodeaprendizaje,constituyeunaestrategiademetacognicin?

Cuando hablamos de metacognicin hablamos de la conciencia y el control que los

individuostienensobresusprocesoscognitivos.(TernyAnido,2007)

El trmino metacognicin de acuerdo a la mayora de los autores alude a dos

componentesbsicos,el saberacercade lacogniciny la regulacinde lacognicin.El

primer componente se refiere a la capacidad de reflexionar sobre nuestros propios

procesoscognitivos,y la regulacinmetacognitiva implicaelusodeestrategiasquenos

permiten controlar esfuerzos cognitivos. El propsito fundamental al ensear a los

estudiantes losmecanismos de lametacognicin es hacer posible que ellos asuman la

responsabilidad de sus propias actividades de aprendizaje y de comprensin. Los

psiclogosbasndoseen losplanteosdeVygotsky(1978)consideranque lamejorforma

de lograresteobjetivoes transferirgradualmentea los jvenes laresponsabilidadde la

regulacin.

HawkinsyPea (1987) sebasanexplcitamenteen laobradeVygotskyalabogarporun

enfoquedelaprendizajequepromuevalatransicindelaheterorregulacin(serregulado

por losotros)a laautorregulacin. Johnson (1985) comenta tambin la importanciade

que losestudiantesasumanelcontrolde supropioaprendizajede lacienciaysostiene

quecuando losestudiantesaprendenquetienenciertocontrolsobre la informacina la

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

16

que acceden, pueden verse a s mismos como directores responsables de su propio

aprendizajeynocomoreceptculosinertesdeinformacinqueotroslesvuelcan.

Enestecasosepidea losalumnosuna reflexinsobre lacomprensinde temasdeun

reaespecfica,enrelacinasucapacidaddeaplicaciny la interpretacindesupropia

experienciaenun trabajodeLaboratorio,encuantoal intersdespertadoyelesfuerzo

demandado.Setratadequelosestudiantestomenconcienciadelconocimientoadquirido

ydelasexperienciasrealizadas.Aesefinlaencuestadeopininconstituyeunaestrategia

paraesatomadeconciencia.

Metodologa

Seindaglaopinindelalumnoconrelacinalassiguientesvariablestcnicas:

Realizacindecursospreviosdecomputacin

Accesoaunacomputadora

Comprensindelostemas

Interpretacinyabstraccindesituacionesproblemticas

Necesidadderecurriraldocente

Esfuerzodemandadoporlatarea

Preferencia

Valoracindelosproblemaspresentados

ElDiseointegratresanlisis:

a)Elanlisisdescriptivodecadaunadelasvariablesqueintervienenenlaencuesta.

b) El anlisis de la asociacin entre algunas variables de la encuesta consideradas

relevantes.Enestepuntose indagasobre laposibilidaddeque losalumnosquenohan

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

17

realizado cursos previos de computacin son impactados demanera diferente por la

modalidad de trabajo en el Laboratorio que aquellos que podran tener mayores

facilidadesalahorademanejarunacomputadora.

Se analiza la significacin de la asociacin entre realizacin de cursos previos de

computaciny/oteneraccesoaunacomputadoray laadaptacina lamodalidadde

trabajopropuesta.Paraestosecruzanlasrespuestasacadavariabledelcuestionariocon

lavariablerealizacindecursospreviosdecomputacinyacontinuacinconlavariable

accesoaunacomputadora.

c) La vinculacin entre las respuestas del alumno y su estilo de aprendizaje

predominante.Enestepuntoseindagasobrelarelacinentrelasrespuestasalaencuesta

deopininyelEstilodeAprendizajepredominanteenelalumno.Porejemplo,alrespecto

sepreestablecequeenunalumnopredominaelestiloActivo,sienesteestilohaobtenido

elpuntajemsaltorespectodelosdemsestilos.

Esteltimoanlisis,darespuestaalsegmentode la investigacinqueseenfocaenesta

presentacin.

Algunosresultados

Lamayorade losalumnosposeeconocimientossobrecomputacin (74,6%),engeneral

adquiridosdurantelaescuelasecundaria.Adems,sloun16,7%declaranoteneracceso

aunacomputadora(GrficosN1yN2)

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

18

El 79,8% de los alumnos opinan que han comprendido satisfactoria o muy

satisfactoriamente los temas trabajadosconestamodalidad,el16,7%medianamentey

reconocenquehasidopocosatisfactoriael3,5%.

El73,6%delosalumnosencuestadosdeclaranquelamodalidaddetrabajolohaayudado

muchoenlainterpretacinyabstraccindesituacionesproblemticas,el26,4%considera

quelaayudahasidoescasaonula.

El70,8%delosalumnosdicenpreferirestametodologaporsobrelatradicional,el23,6%

semanifiestaporlanopreferenciayel5,6%nocontesta.

Laopininde losalumnosrespectode lademandadeesfuerzopara laresolucinde los

ejerciciosplanteadosenelLaboratoriocomparativamenteconelesfuerzorealizadopara

resolverlosejerciciosdelasprcticasanterioresesdispar.El48,6%opinaqueelesfuerzo

fueigual,un37,8%entiendequerealizunmenoresfuerzoyaun11,8%ledemandun

esfuerzomayor (GrficoN3). Losejerciciosplanteadosduranteel curso leparecieron

interesantesalamayoradelosalumnosencuestados(83,3%).El2,1%delosalumnoslos

considerarontriviales(GrficoN4).

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

19

Todos los alumnos requirieron al menos ocasionalmente la orientacin o apoyo del

docentepararesolverlasaplicacionesplanteadasduranteelcurso.El6,3%manifiestaque

siemprenecesitdelaorientacindeldocentepararesolverlosproblemasplanteados.

Esto podra indicar que la asistencia de la herramienta computacional no implica el

reemplazodeldocente,sinoquefuncionaracomounefectivocomplemento

b) El anlisis de la asociacin entre algunas variables de la encuesta consideradas

relevantes.

LavariableRealizacindecursospreviosdecomputacinesindependientede:

Comprensindelostemas(p=0.813)

Esfuerzoempleadoenlaresolucindelosejercicios(p=0.998)

Percepcinsobrelosproblemaspresentadosenlaprctica(p=0.556)

LavariableAccesoaunacomputadora,slosedetectasociadaalavariableEsfuerzo

empleadoenlaresolucindelosejercicios(p=0.018dequeseanindependientes)

c) La vinculacin entre las respuestas del alumno y su estilo de aprendizaje

predominante.

Con respecto a la Comprensin de los temas de lgebra Lineal, el nico estilo que

presentadiferenciaen ladistribucinde lasrespuestaseselestiloActivo(p=0.029).Una

mayorproporcindealumnossehanpronunciadoporlascategorasextremas(superioro

inferior)deestavariablecomparativamenteconlosrestantesestilosquesepronunciaron

mayormenteporlacategoracentral.ConrespectoalaPreferenciaporestamodalidad

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

20

ladiferenciaen las respuestas sedetecta tambinen losalumnospredominantemente

activos (p=0.038), quienes se manifiestan por la no preferencia por esta modalidad

diferencindoseasdelosrestanteEstilos.

Conclusiones

El alto porcentaje de alumnos quemanifiestan tener conocimientos de computacin y

disponerdeunacomputadorafueradelaFacultad,llevaasuponercondicionesadecuadas

para acceder en forma casi inmediata a la utilizacin de programas CAS en las clases

prcticas,lanivelacindelospocosnopreparadosesfactible.Enrelacinalesfuerzoque

significparaelalumnotrabajarconestamodalidad,comparativamentealrealizadocon

la metodologa tradicional (clase expositiva), poco ms del 10% percibe un esfuerzo

mayor, al cruzar esta informacin con la referida a la posibilidad de acceder a una

computadorafueradelLaboratorio,comoeradeesperar,menosdel10%delosalumnos

quepuedenaccederaunacomputadorapercibieronhaberrealizadounmayoresfuerzo,

mientras que este porcentaje se eleva a casi el 30% en los alumnos que no tienen

disponibleuncomputadorfuerade lashorasasignadasalLaboratorio.Porotraparte, la

mayora prefiere esta modalidad a la metodologa tradicional y considera que esta

propuestadetrabajocontribuyesatisfactoriamentealacomprensineinterpretacinde

los problemas de lgebra Lineal. Sobre la posible existencia de una relacin entre las

respuestasdelalumnoysuestilopersonaldeaprendizaje,independientementedelestilo

predominante, la mayora ha recibido bien esta modalidad. No obstante llaman la

atencinalgunosresultadosobservadosenlosalumnospredominantementeactivosenlo

que se refiere a preferir esta modalidad (Laboratorio de Computacin) por sobre la

metodologa tradicional (Clase Expositiva). El 40% de los alumnos predominantemente

activosmanifiestannopreferir lamodalidaddetrabajoenelLaboratorio,esenelnico

estilodondeseobservatanaltaproporcinpor lanopreferencia.Esteesunresultado

inesperado si se tiene en cuenta la interactividad (respuesta rpida, manejo de

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

21

comandos,posibilidaddeverificacionesinmediatas,etc.)queofreceeltrabajofrenteaun

computador.

Referenciasbibliogrficas

Alonso,C.M,Gallego,D.J.,Honey,P.(1999).LosEstilosdeAprendizaje.Procedimientosde

diagnsticoymejora.Bilbao:EdicionesMensajero

Baker, L. (1994).Metacognicin, lectura y educacin cientfica. EnMinnick Santa, C. y

Alvermann D. (Compiladoras). Una didctica de las ciencias. Procesos y aplicaciones.

BuenosAires:Aique.

Carin,A.A.,Sand,R.B.(1985).Teachingmodernscience(4ed.).Columbus,OH:Merril.

Carter, G. S. y Simpson, R. D. (1978). Science and reading: A basic duo. The Science

Teacher,45(3),pp.20.

Esler,W. K. y Esler,M. K. (1985). Teaching elementary science (4 ed.). Beltmont, CA:

Wadsworth.

Fischer, K.M., Lipson, J.K. (1986). Twenty questions about student errors. Journal of

ResearchinScienceTeaching,23,pp.783803.

Garner,R.(1987).Metacognitionandreadingcomprehension.Norwood,NJ:Ablex.

Hawkins, J.,Pea,R.D. (1987).Tools forbridging the culturesofeverydayand scientific

thinking.JournalofResearchinScienceTeaching,24,pp.291307.

Honey,PyMumford,A(1986)UsingourLearningStyles.P.Honey.Berkshire,U.K.

Johnson,V.R.(1985).Concentratingonthebrain.ScienceTeacher,52(3),pp.3336.

Keefe, J.W (1982). Assesing Student Learning Styles. An Overview. ERIC ED 227566.

Michigan.

Kolb, D (1984) Experiential Learning. Experience as the source of Learning and

Development.EnglewoodCliffs.NewJersey:PrenticeHall.

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

22

Maehr,M. L. (1983).Ondoingwell in science.Why Johnnyno longerexcels;why Sara

never did. En Paris, S., Olson, G. y Stevenson (Eds.). Learning and motivation in the

classroom,pp.179210.Hillsdale,NJ:Erlbaum.

Osborne,R. J.yWittrock,M.C. (1983).Learning science:Agenerativeprocess.Sciencie

Education,67,pp.489508.

Peterson,R.,Bowyer,J.,Butts,D.,Bybee,R.(1985).Scienceandsociety:Asourcebookfor

elementaryandjuniorhighschoolteacher.Columbus,OH:Merril.

Tern,T.,Anido,M.(2007).Metacognitionasadidacticstrategyinstatistics.EnActas56

thSessionoftheISIInternationalStatisticalInstitute.Lisboa.

Vygotsky,L.S.(1978).Mindinsociety.Cambridge,MA:HarvardUniversityPrees.

Watson,F.(1983).Onthedrawingboard:A21stcenturycurriculum.TheScienceTeacher,

50(3),pp.6263.

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

23

LAVISUALIZACIN,COMOESTRATEGIADEESTUDIOENELCONCEPTODEDEPENDENCIAEINDEPENDENCIALINEALCarlosOropezaLegorreta,JavierLezamaAndalnFESCUNAM,CICATAIPN Mxicocarlos_oropezamx@yahoo.es,jlezamaipn@gmail.comCampodeinvestigacin: Pensamientomatemticoavanzado Nivel: Superior

Resumen.Enestetrabajonosapoyamosdeexperienciasenclaseconestudiantesdelcursodelgebra Lineal, en las que se les proponen actividades que los conducen a elaborarrepresentacionesdecarctergeomtricodelosconceptosdecombinacinlineal,dependenciae independencia lineal. Estas experiencias ponen su atencin en representacionesgeomtricas,quenosbrindarnelementosparaproblematizarlaadquisicindelosconceptosdedependenciaeindependencialineal,reconociendoenellosunaespecialcomplejidaddebidoalniveldeabstraccinquepresentan.Esenlosescenariosgeomtricosquepodremos,apartirde la actividad matemtica desarrollada por los estudiantes, encontrar los indicios decomprensinonodedichosconceptosyestructurarpreguntasprecisassobrelaadquisicindelosconceptosenlgebraLinealporpartedelosestudiantes.

Palabrasclave:visualizacin,combinacinlineal,dependenciaeindependencialineal

Introduccin

Laenseanzayaprendizajedellgebra linealen lasescuelasde ingenierarepresentaun

conjuntodedificultadesdiferentesa lasque sepresenta,porejemploenelclculo.En

esta materia, es frecuente motivar la enseanza de los conceptos a partir de otros

conocimientosfsicosogeomtricospresentadospreviamente,peroenellgebralinealla

mayorpartedeconceptossonpresentadosporloslibrosdetextorecomendadosparasu

estudio,comodefinicionesformalesdeobjetoscuyaexistencianotiene(enlamayorade

loscasos)conexinconconocimientospreviosniargumentosgeomtricoso fsicosque

motiven la definicin presentada. En el mbito escolar, el carcter abstracto de esta

materiahaobligadoa lacomunidadmatemticadeestaespecialidadhareflexionarcon

relacinalabsquedaderepresentacionesdiferentesdeltema.Conelfindeclarificarlas

dificultades que enfrentan los alumnos al estudiar el concepto matemtico de

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

24

dependenciaeindependencialinealenpolinomiosdesegundogradoqueseabordaenla

asignatura de lgebra lineal, en esta investigacin se pretende hacer uso de las

representacionesvisualesparaque losalumnospuedan incorporarlasen labsquedade

significadosenelconceptoantes referido.Tradicionalmente losproblemasasociadosse

resuelvenusando ladefinicindada junto con argumentosderivadosde la lgica. Esto

hace que muchos estudiantes sientan que la materia es demasiado abstracta (se ha

observado que en curso convencional los estudiantes son capacesdedeterminar siun

conjunto de vectores forman o no un espacio vectorial, es decir pueden aplicar los

axiomas con la dificultad inherente correspondiente, pero cuando se les cuestiona

respectoasusignificado,ellosnopuedenarticularunarespuesta,entendemosestehecho

como una manipulacin algebraica carente de significado) y que los contenidos son

objetos que no tienen relacin con algo que se pueda aplicar en la realidad. Entre los

problemasrelativosalaprendizajedellgebralineal,estnlasdiferentesrepresentaciones

que puede tener un mismo objeto y para las cuales no resulta muy claro para un

estudianteque se tratadelmismoobjeto.Porejemploenunmomentodado sepuede

presentar al conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogneo

comounsubespaciovectorialyenotromomentoesemismoconjuntosepuedepresentar

comoelncleodeunatransformacinlinealobienesfrecuenteayudarsedelageometra

en R2 o R3 para visualizar la suma de vectores, pero es difcil usar la geometra para

visualizar las sumas en espacios vectoriales como polinomios omatrices. El alumno se

encuentra,entonces, condos representacionesdiferentesde la sumade vectores,una

geomtricaconunadefinicinformalyotraenteramenteformalparaespaciosvectoriales

generales.

EnbuscadeunMarcoTerico

Esmi intersencontrarunpuntodevistaquemepermita reflexionarestrategiasde la

visualizacin, dentro de las perspectivas generales, los investigadores han desarrollado

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

25

mltiplesmarcostericos localesymetodologasquecaracterizandeformasdistintasel

modoenque laspreguntasde investigacinseeligenyexpresanyelmodoenqueson

abordadas(afectando,portanto,eltipoderesultadosquesepuedeobteneryelmodoen

que son descritos). Artigue (2003). El desarrollo de las teoras que fortalecen la

importancia de la visualizacin matemtica, considerada como la habilidad para

interpretar y representar demanera diferente la informacin percibida y la reflexin

extradadeinformacinvisual,imponealosautoresdetextosconsiderarestasideaspara

presentar nuevas propuestas de enseanza. (Hitt, 2002). Arcavi (1999), admite haber

combinado las definiciones de Zimmermann y Hershkowitz, declarando que la

visualizacineslacapacidad,elprocesoyelproductodecreacin,interpretacin,empleo

de reflexin sobre cuadros, imgenes, diagramas, en nuestrasmentes, en papel o con

herramientas tecnolgicas, con el propsito de representar y comunicar informacin,

pensandoydesarrollandoideasdesconocidasyanticipandoelentendimiento.

Porotraparte, lavisualizacinnopuedeserentendidacomoelsimpleactodever,sino

como la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y

reflejar informacinvisualenelpensamientoyel lenguajedelqueaprende (Cantoral&

Montiel,2002,p.24).Enlavisualizacinseutilizanmatemticasrelacionadasconelcampo

de lonumrico, grfico, algebraico, verbal y tambinde lo gestual.Deestamanera, la

visualizacin opera con el funcionamiento de las estructuras cognitivas, las relaciones

entre las diversas representaciones de un objetomatemtico y adems intervienen en

una determinada cultura. La visualizacin de un problemamatemtico juega un papel

importante,ytienequeverconentenderunenunciadomediante lapuestaen juegode

diferentes representaciones de la situacin en cuestin y ello nos permite realizar una

accinqueposiblementepuedeconducirhacialasolucindelproblema.

Desde este punto de vista, en un primer acercamiento, no solamente es importante

entenderlasdificultadesparamanipularcadaunadeesasrepresentaciones,tambinloes

elanlisisde las tareasdeconversinentre representacionesquedebemosproponera

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

26

nuestrosestudiantes.Tambines importantenopriorizaralgunadeellasendetrimento

de otras cuando estamos promoviendo un proceso de construccin de un concepto

matemtico.

Unpardeexploraciones

El reporte que se presenta parte de experiencias escolares, hasta elmomento se ha

podido identificaralgunos rasgosquemuestran lasdificultadesen la interpretacindel

conceptodedependenciae independencia lineal,sehaobservadoporejemplo,que los

estudiantespuedenhacerusode lavisualizacincuandoalpartirdeunpardevectores

comodatolocalizancualquierpuntoenelplano,construyenunarectayconunconjunto

derectas forman la totalidaddelplano.Al finalde laactividadquesedescribe,algunos

estudianteslleganaladefinicindecombinacinlinealcomounresultadoquereflejaun

ciertogradodegeneralizacin,perocuandopasanaldesarrollode lasegundapartedel

diseoyloscuestionamientossonrelacionadosconaspectosvisualesdentrodeltemade

lospolinomiosde segundogrado, losparticipantesnopuedan llegaracategorizar siun

conjuntodeeste tipoes linealmentedependienteo independiente (tal como sepuede

apreciarenelpardeexploracionespropuestasenestedocumento).

Dentrodenuestrainvestigacin,otrodeloselementosquepretendemosestudiarsonlas

dificultadesquesepuedanpresentarenelusoymanejoporpartedelosestudiantesdel

conceptodenominado isomorfismoentre lospolinomiosde segundoordenyelespacio

R3,as comoestudiar lapropuestaque tienequever conelhechodeque losalumnos

logren transitarenel sentido inverso,esdecir,partirdeun vectordeposicinenR3 y

llegara larepresentacindeunpolinomiodesegundogradodealgunamanera.Adems

de utilizar el transito entre estas dos representaciones como una extensin de los

antecedentesycaractersticasdelosvectoreslibresconlosquecuentaelestudianteycon

elloreplantearunapropuestaalternativaquenosproporcioneevidenciasencuantoa la

disminucinonodelasdificultadesenelmanejodedichoconcepto.

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

27

Del grupo de estudiantes de ingeniera que participaron en la puesta en escena, se

muestrandosde las respuestasqueellosdieron. La comunidadestudiantilparticipante

resolvi todas y cadaunade las actividadesque sehandiseadohastaestemomento

para talefecto. La raznpor la cualdecidimosmostrar este extractode su trabajo, es

porqueenelsepuedendistinguiralgunosdelosrasgosquehemosencontradoenforma

regular:

Danevidenciadeque cuandohacenusode la visualizacin comoestrategiade

estudioenelespaciodelosvectoreslibres,stalespuedeayudarenlareflexiny

anlisisde suspropuestasde solucin y lespermite replantearen cierto grado

(cuando es necesario) las posibles correcciones de sus respuestas. Podemos

considerar entonces que en dicho espacio vectorial, la visualizacin puede

contribuirenelestudiodelosconceptosdecombinacinlinealydedependencia

lineal.

Elreconocimientodequelavisualizacinsepuedeconvertirenunobstculopara

caracterizar si un conjunto de polinomios de segundo grado es linealmente

dependiente o independiente cuando se realiza la grfica de las parbolas

respectivasenelplanocartesiano.

Manifiestan lanecesidaddeutilizarotrasestrategiasalternativaspara lograr su

objetivo,sindesprendersedelapropuestaemergidadelavisualizacin,debidoal

roldeesta,ensuvidacotidiana.

De esta reflexin, se abren nuevas interrogantes es el contexto de los objetos

matemticos lo que no permite ver con claridad los resultados? , Qu hace que los

estudiantes no puedan entender el concepto de combinacin lineal con polinomios de

segundogrado?Porqunoentiendenconlamismaclaridadelasuntosesumarorestar

unvector(polinomios)?

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

28

Porquen lospolinomioselestudiantenopuededecirenformadirectasielconjunto

queselepresentaesonolinealmentedependiente?

Enelmaterialde la figura1que semuestraa continuacin, seaprecian las respuestas

planteadas por un grupo de estudiantes, se observa que los estudiantes pensaron

intuitivamenteyproponenensusrespuestasqueladependenciaoindependencialineal

serelacionabaconlaexistenciaonodeunpuntodeinterseccin.

Figura1

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

29

Enlaprimerapartedeestafigurasepuedeobservarqueladependenciaeindependencia

linealenelespaciode lospolinomiosdesegundogradoesdeterminadaporelpuntode

interseccin entre las parbolas correspondientes. En la segunda parte, se puede

identificar la intencin de generalizar su idea inicial, se aprecia que hacen uso de la

definicin de combinacin lineal como un elemento que determina la produccin de

parbolasquese intersecanenunpuntocomn,podemosconsiderarquesupropuesta

centrada en el anlisis algebraico de casos particulares no les proporciona elementos

suficientesparaestructurarunplanteamientogeneral.

Ntese en la figura 2, que la exploracin realizada por este grupo de estudiantes se

relacionaconlaideademultiplicidadentredospolinomiosdesegundoordenylaintentan

relacionarconlospuntosquecontienenencomnlasgrficasdeestasparbolas.

Figura2

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

30

En la pregunta 3 que se les propone en esta actividad , los estudiantes ya no logran

encontrar la regularidad que haban focalizado, pues en el ejercicio se incluyen dos

polinomiosquesonmltiplosperoquenose intersecanyesto rompecon laestrategia

queelloshabanutilizado,situacinquepuedeserobservadaconclaridadaldarlecturaa

lapreguntaquealfinaldesutrabajolosestudiantesplanteanquimplicaqueenelcaso

3yanosecumplaquelasparbolastenganelmismopuntocomn?

Quaprendimosdelasexploracionesrealizadas?

Las reflexiones que nos ha proporcionado la puesta en escena de las actividades

mostradassonlassiguientes:

Ladependenciae independencia linealde lospolinomiosdesegundogradonose

relaciona con los puntos de interseccin entre las parbolas asociadas con los

mismos.

La dependencia e independencia lineal de polinomios de segundo grado no se

relacionaconlamultiplicidadentredosvectores.

Los estudiantes buscan dar respuestas aquello que no logran entender con

elementosconocidosyprivilegianelaspectoalgebraicopara lasusolucinde las

actividadespropuestas.

Hacerusodel isomorfismoentre lospolinomiosdesegundogradoy losvectores

en el espacio R3, podra proporcionarnos informacin para replantear

cuestionamientos relacionados con las dificultades al usar la visualizacin como

estrategiadeestudiodelconceptodeladependenciaeindependencialineal.

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

31

Referenciasbibliogrficas

Arcavi,A. (1999).The roleof visual representations in the learningofmathematics.En

Hitt, F., Santos,M. (Eds.), Proceedings of the AnnualMeeting of the North American

ChapteroftheInternationalGroupforthePsychologyofMathematicsEducation.(pp.55

80).Morelos,Mxico

Artigue,M. (2003). Qu se puede aprender de la investigacin educativa en el nivel

universitario?BoletndelaAsociacinMatemticaVenezolana,Vol.X(2),117134.

Cantoral, R.&Montiel,G. (2002).Una presentacin visual del polinomio de Lagrange.

Enseanzade laMatemtica.AsociacinVenezolanadeEducacinMatemtica,Vol.11

(1),2438.

Sierpinska,A.(1996)Problemsrelatedtothedesignoftheteachingand learningprocess

in linear algebra, Research Conference in Collegiate Mathematics Education, Central

MichiganUniversity.

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

32

ALGUNASREFLEXIONESSOBRERESOLUCINDEPROBLEMASENMATEMTICAS

EdisonDeFariaCamposUniversidaddeCostaRica CostaRicaedefaria@cariari.ucr.ac.crCampodeinvestigacin: Resolucindeproblemas Nivel: Medio,superior

Resumen.Elpropsitodeestecursoeseldecompartiralgunasreflexionesrelacionadasconlaestrategiametodolgicaderesolucindeproblemasmatemticos,revisar las ideasdePolya(1990),Schoenfeld (1985),del informePISA,de laNCTMyespecialmenteelenfoqueOpenEnded(BeckeryShimada,2005)utilizadoporlosjaponesesenelaula.

Tambin se describen aspectos histricos de la utilizacin de tecnologas digitales en elproceso de resolucin de problemas, principalmente las estrategias utilizadas porinvestigadoreseninteligenciaartificial.

Palabrasclave:resolucindeproblemas

Introduccin

Apartirdeladcadadelos60laresolucindeproblemasharecibidounenormeimpulso,

especialmente en la educacinmatemtica. En el documento Agenda para la accin

(1980) del Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM), la resolucin de

problemasfuecolocadacomoelfocode laeducacinmatemticapara ladcadade los

80.En losdocumentoselaboradospor laNCTMen1989yenel2000, la resolucinde

problemasrecibiundestaqueespecial.Enlosestndaresparalamatemticaescolar,la

resolucin de problemas es considerada como parte integral del aprendizaje de la

matemticayseconsideraquelosestudiantesdetodoslosnivelesdelsistemaeducativo

deberanserpreparadosparaconstruirnuevosconocimientosmatemticosmediante la

resolucindeproblemas; resolverproblemasqueaparecenenmatemticasyenotros

contextos; aplicar y adaptar varias estrategias para resolver problemas;monitorear y

reflexionarsobreelprocesoderesolverproblemasmatemticos.

Un importanteconceptoen resolucindeproblemaseseldeheurstica.Heursticason

mtodosexploratoriospara resolverproblemasy,utilizadacomosustantivo,significael

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

33

arteolacienciadeldescubrimiento.Comoadjetivoserefiereacosasmsconcretascomo

estrategias heursticas, reglas heursticas, silogismos heursticos. Son estrategias que

guaneldescubrimiento.

La nocin de heurstica se le atribuye a Pappus (300 D. C.). l propuso una rama de

estudios denominada analyomenos o el tesoro del anlisis o el arte de resolver

problemas.Encienciascomputacionales(ANSI/IEEEEstndar100,1984),heursticason

mtodosoalgoritmosexploratoriosdurantelaresolucindeproblemasenloscualeslas

soluciones sedescubrenpor la evaluacindelprogreso logrado en labsquedadeun

resultado final (bsquedaheurstica).Como adjetivo caracteriza tcnicaspor las cuales

mejoraenpromedioelresultadodeunatarearesolutivadeproblemas.Sedicequehay

bsqueda ciega, bsqueda heurstica (basada en la experiencia) y bsqueda racional

(usandointeligencia).Lapsicologahapropuestoqueunaheursticaesunareglasencillay

eficientepara explicar cmo tomandecisiones laspersonas, como llegan aun juicioo

solucionan un problema. Puede considerarse como un atajo a los procesosmentales

activos,ahorrandooconservandorecursosmentalesperoquepuedeconduciraerrores

enlatomadedecisiones.ParaPolya,valelapenautilizartalesrecursosanconsiderando

los riesgosmencionados. Su argumento es que si tomamos una conclusin heurstica

como una certeza entonces podemos equivocarnos y sentirnos engaados, pero si

rechazamos completamente las conclusionesheursticasentoncesno lograremoshacer

ningnprogresoenelprocesoderesolucindelproblema.

Lamentablemente,cuandounresultadomatemticoespublicadoenrevistascientficas,

se oculta el razonamiento heurstico llevado a cabo por el matemtico antes de

obtenerlo.Pero,desdeelpuntodevistadelaprendizaje,esterazonamientoheursticoes

bastanteimportante.

Polya presenta su teora heurstica a travs de una serie de preguntas e instrucciones

seguidasde varios ejemplosdeproblemas ypropone elmtodode cuatropasospara

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

34

resolverproblemas:comprenderelproblema;crearunplan;ejecutarelplanyfinalmente

examinar lo hecho (Polya, 1990). Posteriormente l public su obra Matemticas y

RazonamientoPlausibleendostomos:enelprimertomolpresentavariosejemplosde

problemas resueltos mediante induccin o analoga mientras que el propsito del

segundotomoeraeldedeterminarsiexisteonounalgicadelainduccinounclculo

de credibilidad para las hiptesis y propone el siguiente silogismo heurstico:

implica y es verdadera entonces es ms digna de crditoA B B A , factible o plausible

(Polya,1966).As,si A B ysilogramosprobarque B esverdadera,entonces,despus

deesademostracin,laconjetura A esmscreblequeantesdelademostracinde B ,

aunquenopodemosgarantizarque A seaverdadera.AestepatrnPolyalollamapatrn

fundamentalinductivo.

Otra excelente obra de Polya con Szego consiste en los dos tomos de problemas y

teoremas en anlisis (Problems and theorems in anlisis, 1976) con problemas que

constituyenunverdaderoretoparaloslectores.

Coneldesarrollode la cienciade la computacinaumentael intersenelprocesode

resolucin de problemas con la ayuda de las computadoras. Entre los primeros

investigadoresque intentaronconstruirprogramas inteligentespararesolverproblemas

se encuentran Newell y Simon (1959, 1972). Su primer programa conocido, el Logic

Theorist, intentabademostrarafirmacionesutilizandoreglasde la lgicadepredicados.

Elxitodelprograma fueenormepues,enel casode teoremas, lograbaproduciruna

demostracin generalmentems directa,ms corta que las encontradas en libros de

lgica. En 1957 Simon yNewell crearonunprograma computacional conocidopor sus

siglas como GPS (General Problem Solver), una mquina universal para resolver

problemas.Laideaesquecualquierproblemaquepudieraserescritoenformasimblica

pudieraserresueltopor laGPS:demostracionesdeteoremas,problemasgeomtricosy

juegosdeajedrezentreotros.Unproblemasedefinecomounasituacinen lacualun

individuodeseahaceralgo,perodesconoceelcursodelaaccinnecesariaparalograrlo

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

35

quequiere(NewellySimon,1972).Elentusiasmoinicialdebidoalxitodelaestrategiase

fue apagando, y no debido a la falta de capacidad computacional sino debido a la

profundidaddelosproblemastericos.Ladificultadfundamentalesqueestrategiaspara

resolver problemas generales son limitadas. El ser humano utiliza conocimiento de

dominioespecficopararesolverproblemasendiferentescontextosmientrasqueelGPS

tenaestrategiasbastante generalesperodbiles.Para fortalecerlohabraque agregar

conocimientosdedominioespecficopararesolverproblemas,posiblemente,detodaslas

reas, lo que es una tarea imposible. En 1967, 10 aos despus de haber empezado,

Newell anuncique elprogramaGPShaba terminado.Debido a ladificultadde crear

mquinas inteligentes de propsito general, una alternativa consiste en intentar

desarrollarmquinas que imiten el desempeo humano en dominios restringidos del

conocimiento.Elprimerintentoseriodeaplicaresteenfoquealternativoseconocecomo

Micromundos. La teoradetrsdeMicromundos fueelprimerpasoenel campode la

inteligenciaartificialparaproducir inteligenciaenunambienterestringido.Otra lneade

investigacinfructferaen inteligenciaartificiales laquetratadesistemasexpertosque

jueganalgn tipode juego,comoporejemploelajedrez.Elcasoms famoso fueelde

DeepBlue,unacomputadora IBMquevencialcampenmundialGaryKasparov.Este

programapuedeprocesar200.000.000demovimientos antesdedecidir la jugadaque

har.

En la dcada de los ochenta del siglo pasado, Schoenfeld (1985) escribi una obra

importanteenelcampoderesolucindeproblemasmatemticos.lrealizexperiencias

con estudiantes y profesores en las que les propona problemas a resolver. Los

estudiantes tenan los conocimientospreviosnecesariosparaafrontar su solucin y los

profesorestenanlaformacinpreviaparahacerlo.Schoenfeldobservabacmoactuaban

losestudiantesylosprofesoresdurantelaresolucindeproblemas,losfilmaba,grababay

anotaba sus observaciones.Un hallazgo de estos experimentos fue que las heursticas

planteadasporPolyanoeransuficientesparatenerxitoalresolverproblemasypropuso

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

36

cuatroestrategiasnecesariasparaunresolutordeproblemasdematemtica:losrecursos

(conocimientosprevios); lasheursticas; control (distribucinde los recursosduranteel

proceso, la forma de utilizar la informacin para resolver el problema que incluye el

monitoreodelprocesoylatomadedecisiones.Unmonitoreonoefectivopuedellevaral

fracasomientrasqueelprocesoopuestomejora laposibilidaddexito)yelsistemade

creencias(delprofesor,delosestudiantesylascreenciassociales).Schoenfeldargumenta

quelascreenciasacercadelanaturalezadelasmatemticas,laenseanza,elaprendizaje,

derivadosdelasexperienciasenelaulaofueradeella,influyendurantelaresolucinde

problemas.

Algunasiniciativasactuales

El Programa Internacional de Evaluacin de Estudiantes (Programme for International

StudentAssessment,PISA/OCDE)cuyoobjetivoprimordialeseldedesarrollarindicadores

que expresen elmodo en que los sistemas educativos de los pases participantes han

preparado a sus estudiantes de 15 aos para desempear un papel activo como

ciudadanosen lasociedad,contieneundominiodenominadoAlfabetizacinMatemtica

(Mathematical Literacy) relacionado con la formulacin y resolucin de problemas

matemticos en una variedad de dominios y situaciones (http://www.pisa.oecd.org/).

Para ellos la resolucin de problemas es una parte central del currculo explicitan las

caractersticasdeunproblemamatemticoenestembito:

Unasituacincontextualizada,ubicadaenlarealidad,quepodraocurrirenlavida

del estudiante o bien una situacin que el estudiante pueda identificar como

importante para la sociedad. Utilizar y hacermatemticas en una variedad de

situacionesycontextosesunaspectoimportantedelaAlfabetizacinMatemtica.

Unasituacinquenopuedeserresueltamedianteaplicacionesdeprocedimientos

rutinarios que el estudiante haya estudiado o bien practicado en el aula y que

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

37

invitealestudianteamoverseentredistintas representacionesyaexhibircierto

grado de flexibilidad en la forma en que accede, administra y evala la

informacin. Adems es importante resolver diferentes tipos de problemas

matemticosmedianteunadiversidaddevas.

Requiereconexionesentrecontenidosdediversasreas.

En la evaluacin utilizada en PISA 2003 se requiri que los estudiantes demostraran

habilidad para comprender el problema, identificar las variables involucradas en el

problemaysus interrelaciones; representarelproblemamediantedistintos registrosde

representacin(tabular,grfico,simblico,verbal);resolverelproblema, loquerequera

tomardecisionesodisearunsistemapertinenteobienhacerdiagnsticoyproponeruna

solucin;proporcionarsentidoa lasolucinmatemtica,entrminosde lasituacinreal

inicial y, finalmente, comunicar la solucin del problema, seleccionando para ello los

mediosylasrepresentacionesapropiadas.

En la dcada de 1970 se impuls en el Japn la investigacin sobre resolucin de

problemas.Por logeneral, losproblemas tradicionalesutilizadosenmatemtica sonde

respuestacorrectanicaysonconocidoscomocompletosocerrados.Losproblemas

quepermiten varias respuestas correctaso losquepermitenelusode variosmtodos

para obtener la nica respuesta correcta se denominan abiertos. El enfoque Open

Endedutilizadoenlasescuelasjaponesasconsisteen(BeckeryShimada,2005):

Presentarunproblemaabiertoalosestudiantes.

Dareltiempoapropiadoparaqueellostrabajenindividualmenteoengruposenla

bsquedadelasrespuestascorrectasalproblema.Lametaesqueelloslogren

encontraralgonuevoenelproceso.

Compararlassolucionesobtenidas,argumentar,buscarjustificativasparalas

solucionesencontradas,discutir,formularpreguntas.

ActaLatinoamericanadeMatemticaEducativa21

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

38

Por lo general las lecciones en las instituciones educativas japonesas son desarrolladas

alrededordeunanicaideacentralqueescuidadosamentedesarrolladayextendida.

Elprofesor,quin sirvedeguay soportepara losestudiantesen lasetapasanteriores,

buscanuevasideasycierralaleccinconlosaspectostericos,tomandoencuentatodos

losaportesdadospor losestudiantes.Lasventajasdeesteenfoqueson: losestudiantes

participanms activamente en las lecciones y expresan sus propias ideas; tienenms

oportunidades para utilizar su conocimiento y habilidadesmatemticas; se estimula la

creatividadenelaulayeltrabajocolaborativoentre losestudiantes;cada leccinpuede

proporcionar ricas experiencias cognoscitivas a los estudiantes y sube el autoestima

cuando un estudiante recibe la aprobacin de sus colegas. La principal desventaja del

enfoqueconsisteen ladificultadendisearproblemasabiertosquesean interesantesy

factiblesdeserdesarrolladosenunaleccin.

Lasprincipalescaractersticasenuna leccindematemticaenescuelas japonesas son:

relacin explcita entre los temas tratados en la leccin o en otras lecciones (mayor

coherencia e integracin cognoscitivas); ms tiempo dedicado a temas matemticos

importantes;mayor tiempo de trabajo en actividades no rutinarias, nuevas soluciones,

aplicaciones;msconceptosdesarrolladosqueaquellossoloestablecidos.

Conclusiones

En el curso tratamos con aspectos tericos e histricos acerca de la resolucin de

problemas y planteamos varios tipos de problemasmatemticos, algunos de ellos son

problemas que aparecieron en distintas olimpiadas matemticas regionales o

internacionales. Tambin ejemplificamos tipos de problemas que siguen el enfoque

OpenEndedutilizadoenlasescuelasjaponesas.

Categora1Anlisisdelcurrculumypropuestasparalaenseanzadelasmatemticas

ComitLatinoamericanodeMatemticaEducativaA.C.

39

Referenciasbibliogrficas

Becker, J., Shimada, S. (2005). TheOpenEndedApproach:Anewproposal for teaching

mathematics.Reston,Virginia:NationalCouncilofTeachersofMathematics.

NacionalCouncilofTeachersofMathematics(1980).Anagendaforaction:Directionsfor

schoolmathematicsforthe1980s.Reston,VA.

NacionalCouncilofTeachersofMathematics(1989).CurriculumandEvaluationStandards

forSchoolMathematics.Reston,VA.

NacionalCouncilofTeachersofMathematics(2000).PrinciplesandStandardsforSchool

Mathematics.NCTM.Reston,VA.

Newell,A.,Shaw,J.C.,Simon,H.A.(1959).Reportonageneralproblemsolvingprogram.

ProceedingsoftheInternationalConferenceonInformationProcessing.Pp.256264.

Newell,A.,Simon,H.A.(1972).Humanproblemsolving.EnglewoodCliffs,N.J.:

PrenticeHall.

Polya,G.(1990).Cmoplantearyresolverproblemas.Mxico:Trillas.

Santos Trigo, L.M. (1997). Principios ymtodos de la resolucin de problemas en el

aprendizajedelasmatemticas.(Segundaedicin).Mxico:GrupoEditorialIberoamrica.

Polya,G.(1966).Matemticasyrazonamientoplausible.Madrid:Tecnos.

Polya,G.ySzego,G.(1976).P