acta ix carem (2012)

SOCIEDAD ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA

ACTA DE LA

IX

Conferencia Argentina

de

Educacin Matemtica

Ao 2012

ACTA DE LA

IX CONFERENCIA ARGENTINA

DE EDUCACIN MATEMTICA

ACTA DE LA IX CONFERENCIA ARGENTINA

DE EDUCACIN MATEMTICA

Ao 2012

IX CAREM organizada por la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica y la

Universidad Nacional de Villa Mara, del 7 de octubre de 2010 al 9 de octubre de

2010, en la Provincia de Crdoba, Repblica Argentina.

Editora:

Daniela Cecilia Veiga

Sociedad Argentina de Educacin Matemtica

En la portada:

Imagen adaptada de la fotografa de la Universidad Nacional de Villa Mara,

http://www.unvm.edu.ar/index.php?mod=identidad e imagen de la Sociedad

Argentina de Educacin Matemtica, http://www.soarem.org.ar/

Diseo de portada y CD:

Nora Lerman


Edicin:

2012. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. [email protected]

ISBN: 978-987-28468-0-0

Derechos reservados.

SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. http://www.soarem.org.ar

Se autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente:

Veiga, D. (Ed.). (2012). Acta de la IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica,

Repblica Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de

Educacin Matemtica

COMISIN DIRECTIVA

SOCIEDAD ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA

2012

Presidente:

Cecilia Crespo Crespo

Sociedad Argentina de Educacin Matemtica

Colaboradores:

Vicepresidente 1: Oscar Sardella

Vicepresidente 2: Adriana Engler

Secretaria: Patricia Lestn

Prosecretaria: Hayde Blanco

Tesorera: Christiane Ponteville

Protesorera: Liliana Homilka

Vocales: Mara Ins Ciancio

Nora Lerman

Marcel Pochulu

Daniela Veiga

Irene Zapico

Comisin de Revisores de Cuentas Tribunal de tica

Titulares

Claudia Gimnez

Mnica Micelli

Jos Luis Rey

Titulares

ngela Pierina Lanza

Mara Rosa Rodrguez

Mabel Slavin

Suplente

Gloria Robalo

Suplente

Mariana Talamonti

COMIT

CIENTFICO DE EVALUACIN

Arboleas Fraga, Josefina Mercau, Susana

Arceo, Cristina Messina, Vicente

Benzal, Graciela Micelli, Mnica

Blanco, Hayde Milevicich, Liliana

Braicovich, Teresa Minaard, Claudia

Cadoche, Lilian Mller, Daniela

Cattaneo, Liliana Oliva, Elisa

Ciancio, Mara Ins Oropeza, Carlos

Crespo Crespo, Cecilia Otero, Rita

Del Puerto, Silvia Prez de del Negro, Mara Anglica

Engler, Adriana Prez, Mara del Carmen

Esper, Lidia Pochulu, Marcel

Fay, Alicia Ponteville, Christiane

Flores, Rebeca Rey, Jos Luis

Garca Zatti, Mnica Rodrguez Montelongo, Luca

Gonzlez de Galindo, Susana Rodrguez de Estofn, Maria Rosa

Gutierrez, Milagros Sardella, Oscar

Holgado, Lisa Torrente, Carmen

Homilka, Liliana Vzquez Cedeo, Rosa Alicia

Lerman, Nora Veiga, Daniela

Lestn, Patricia Veliz, Margarita

Lois, Alejandro Villalonga de Garca, Patricia

Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica

i

Presentacin

La Sociedad Argentina de Educacin Matemtica (SOAREM) realiz su Novena

Conferencia Argentina de Educacin Matemtica (IX CAREM) en la Ciudad de Villa

Mara (Crdoba) en octubre de 2010. Una vez ms, los asistentes a la reunin pudieron

participar de talleres, conferencias y discusiones propuestas a partir de las experiencias e

investigaciones dadas a conocer por otros colegas.

La IX CAREM, rene a cientos de investigadores y docentes de distintos niveles

interesados por dar respuestas a las problemticas que surgen en las clases, indagar

novedades acadmicas y explorar nuevas propuestas ulicas a fin de actualizar y mejorar

sus prcticas docentes. La convocatoria se extendi no slo a un gran nmero de docentes

argentinos, sino tambin a colegas de Brasil, Chile, Colombia, Espaa, Mxico, Uruguay y

Venezuela

La SOAREM invit a reconocidos investigadores en el rea de la Educacin

Matemtica de Argentina, Chile, Espaa y Mxico quienes compartieron con nosotros sus

valiosas propuestas, aportes y resultados obtenidos.

En esta publicacin se presentan algunos de los artculos presentados en la IX

CAREM luego de ser evaluados y aceptados para su publicacin por un selecto grupo de

docentes que conforman el Comit Evaluador quienes basaron su dictamen en la calidad de

los trabajos presentados en comparacin con los niveles internacionales de exigencia que

suelen pedirse para eventos acadmicos de este tipo. En esta ocasin, se organiza la

publicacin en cuatro captulos:

El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su formacin. Propuestas para la enseanza de las Matemticas. Uso de los recursos tecnolgicos en el aula de Matemtica. Pensamiento Matemtico Avanzado.

Queremos agradecer a los asistentes y ponentes de la IX CAREM, ya que ellos

hicieron posible que se lleve a cabo con xito este evento. A los evaluadores quienes

supieron mantener el nivel acadmico alcanzado tanto en la exposicin como en la

publicacin de trabajos. Y un especial reconocimiento y agradecimiento a Adriana Engler,

Daniela Mller y Mara Rosa Rodrguez de Estofn, quienes contribuyeron

significativamente en la edicin de esta publicacin.

Merece un agradecimiento especial la Dra. Cecilia Crespo Crespo por confiar en m

para este trabajo que represent, desde un primer momento, un gran desafo. Gracias por su

paciencia, colaboracin y orientacin permanente durante todo el proceso de edicin.

Agradecemos adems a la Universidad de Villa Mara por su apoyo durante la

reunin, y a todas las instituciones, empresas y personas que brindaron su apoyo a travs de

recursos materiales y humanos.


Buenos Aires, Argentina. Mayo 2012


ii

TABLA DE CONTENIDOS

Captulo I

El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su formacin

profesional

Construccin de la derivada desde la variacin. Resultados de una evaluacin

Silvia Vrancken; Adriana Engler; Daniela Mller 1

Entornos colaborativos mediados para el desarrollo del conocimiento

profesional del profesor de matemticas: el caso de los estudiantes para

profesor de matemticas de la licenciatura en matemticas de la universidad

distrital

Diana Gil; Yenny Caicedo; Libia Luz Barbeti; Fernando Guerrero 9

Componente terico para la descripcin de la competencia cognitiva: un

modelo de actuacin en prctica docente en estudiantes para profesor de

matemticas a partir de la reflexin en contextos de aprender a ensear

Fernando Guerrero Recalde; Neila Snchez Heredia 17

Modelos didcticos que priorizan los egresados del profesorado de

matemticas

Gladis Saucedo; Mara Laura Ruiz; Mara Victoria Vuizot 25

Evaluacin en el aprendizaje de ecuaciones no lineales

Nicols Llodra Schat; Mercedes Astiz; Silvia Vilanova; Perla Medina 33

Introduccin a los conceptos de creencias y concepciones

G. Rey; P. Sastre Vzquez; C. Boube; A. Caibano 41

La matemtica en la bsqueda de soluciones aproximadas de un problema de

la vida cotidiana

Marisa Quiroga; Estela Sorribas; Mara Ins Gonzlez 48

Una experiencia de taller sobre nmeros reales con ingresantes a la

universidad

Marcela Cifuentes; Martha Ferrero; Virginia Montoro 54

Aplicaciones matemticas sobre un implemento de uso agropecuario

A. Caibano; P. Sastre Vzquez; M. Gandini 62

Matemtica en una facultad de agronoma: concepciones y creencias de un

docente

C. Boube; P. Sastre Vzquez; A.M.G. Rey; O. Delorenzi 68

Evaluacin y acreditacin en matemtica 3

Leonor Irene Bumaln; Ana Mara Aramayo 76


iii

Diagnstico de los estilos de aprendizaje de ingresantes a travs de la

resolucin de problemas

Beatriz del P. Crespo; Mara C. Lentini; Marta Lentini; Miriam Matulovich 84

Condicionantes institucionales de las prcticas docentes en matemtica en la

formacin de maestros

Flavia Buffarini; Marta Bastn; Rosa Mabel Licera; Marcelo Lorenzo;

Federico Hernandez 89

Creencias de los docentes de matemtica sobre la naturaleza y enseanza de su

disciplina. El caso de dos profesores de nivel medio

Mnica Binimelis 97

Imgenes conceptuales sobre lmite funcional en estudiantes de profesorado de

matemtica

Vilma Colombano 105

A construo de conceitos de grandezas e medidas: comprimento, massa e

capacidade nos anos iniciais

Clia Cardoso Rodrigues da Silva; Cristiano Alberto Muniz 113

El texto de matemtica un estmulo o un obstculo para el aprendizaje

autnomo?

Mnica Beatriz Caserio; Martha Elena Guzmn; Ana Mara Vozzi 121

La matemtica en el sistema de admisin. Estudio descriptivo

Adriana Correa Zeballos; Gregorio Figueroa; Berta Chahar; Ricardo Gallo;

Ma. E. Nieva 126

Reflexiones sobre el ensear matemtica

Irene Zapico 133

Las conversiones entre los registros verbaly simblico en el aprendizaje del

lmite funcional

Cristina Cams; Mabel Rodrguez 138

La enseanza de las matemticas en situaciones desfavorecidas. Algunas

acciones que favorecen el aprendizaje de las matemticas en escuelas

primarias

Gloria Robalo 142

Anlisis de algunas competencias matemticas en alumnos ingresantes a dos

facultades de ciencias

Lidia B. Esper; Marta S. Golbach; Ma. Del C. Perez Carmona; Mirta G.

Jacobo 147


iv

Matemtica para ciencias econmicas en contexto o fuera de contexto?

Anlisis didctico de actividades

Julio Lpez; Marcel Pochulu 155

La clasificacin de los cuadrilteros es nica?

Mnica Micelli; Cecilia Crespo Crespo 160

Captulo II

Propuestas para la enseanza de las Matemticas

Algebra lineal para solucionar situaciones de geometra analtica y estadstica

Mara Ins Ciancio; Susana B. Ruiz; Elisa Silvia Oliva 169

Oh, no! tambin ah? Mabel Alicia Slavin 176

Estrategias didcticas en cursos numerosos

Mara Cristina Modarelli; Mara Rosa Nolasco; Liliana Elisabet Irassar;

Mara Beatriz Bouciguez; Mara de las Mercedes Surez; Mara Ins Berrino 184

Propuesta de enseanza y aprendizaje de la medicin de la magnitud superficie

desde una perspectiva unidimensional

Adriana Gabriela Duarte; Claudia Dolores Lagraa 191

Funciones y modelos matemticos

Marta Bonacita; Alejandra Haidar; Claudia Teti 199

Construccin de los conceptos de probabilidad y esperanza matemtica a

travs de juegos

Guillermina Emilia Vosahlo 207

La introduccin de las ecuaciones en la escuela secundaria: una propuesta de

estudio

Marta Bastn; Fabiana Rosso; Flavia Buffarini 213

Una propuesta para la enseanza de los fractales en el nivel medio

Cintia G. Cianciardo; Martha B. Fascella; Jos A. Semitiel 221

La generacin de preguntas: una estrategia de enseanza y de aprendizaje del

lgebra lineal

Vicente Messina; Gloria Cittadini ; Isabel Pustilnik; Alicia Sara; Carlos Pano 229

Competencias para el logro de un aprendizaje autorregulado

Margarita del V. Veliz; Mara Anglica Prez; Blanca E. Lezana 235


v

Los polinomios, una aproximacin a travs de libros de texto

Silvia Carona; Graciela Sklepek; Edith Abildgaard; Norma Martyniuk; Nora

Verdn; Marta Rivero; Roxana Operuk; Jorge Manzur 243

Los nmeros se relacionan

Teresa Fernndez 251

El tratamiento de ciertas nociones matemticas mediante los sistemas

dinmicos discretos

Lina Mnica Mara Oviedo; Ana Mara Kanashiro 258

Una propuesta para evaluar la comprensin de algunos conceptos bsicos del

lgebra lineal

Mara Beln Celis; Alicia Isabel Kurdobrin; Mariana del Valle Prez; Pablo

Agustn Sabatinelli; Martha Elena Guzmn 263

Material curricular: actividades para promover la metacognicin y la

autorregulacin del aprendizaje del clculo

P. M. Villalonga; S. E. Gonzlez; M. Marcilla; S. Mercau; L. Holgado 268

Pensando real-mente en nuestros alumnos

Virginia Montoro; Martha Ferrero 277

Resolucin de problemas en clculo

W. lvarez; E. Lacus; M. Pagano 283

Juegos de ingenio en el aula

Irene Zapico; Teresa Fernndez 288

Mtodos grficos para la formulacin de modelos matemticos de

fenmenos simples

Marta Bonacina; Claudia Teti; Alejandra Haidar 295

Bajo la mirada de Horus juguemos con las fracciones Mariana Talamonti Baldasarre 299

Formulando problemas para resolver utilizando conceptos de grafos

Teresa Braicovich; Raquel Cognigni; Claudia Reyes; Lorena Alfonso 307

De casi todo, un poco

Mabel Alicia Slavin; Marisa Barco; Melisa Ialungo; Ana Paula Krompiewski;

Mara Florencia Prez; Matas Samartino; Mnica Torre 313

El papel del juego y la intuicin en la enseanza de la probabilidad

Lorena V. Belfiori 321


vi

La exploracin matemtica a travs de Modelos Matemticos

Lina Mnica Mara Oviedo; Mnica Patricia Benzaquen; Mnica Beatriz

Gorrochategui 329

Captulo III

Uso de los recursos tecnolgicos en el aula de Matemtica

Eficiencia de un software educativo a travs de entornos virtuales para

dinamizar la enseanza de lmites y continuidad. Una experiencia con

estudiantes de administracin de la Universidad Venezolana

Franklyn Morales 336

Creacin de un ambiente interactivo de aprendizaje usando la TI-nSpire CAS

y la metodologa ACODESA

Jos Carlos Corts Zavala 344

Sucesiones numricas: una experiencia con Geogebra

Juliana Gonzalez; Perla Medina; Mercedes Astiz; Silvia Vilanova 350

Entorno virtual: experiencias en cursos de ingreso a la Facultad de Ciencias

Exactas

Leonor I. Bumaln; Mara Elena Higa 358

Visualizacin con geometra dinmica como estrategia de enseanza-

aprendizaje en los conceptos de vectores en el plano

Fabiana Montenegro; Mara Elina Daz Lozano 365

Los conceptos matemticos: semntica y sentido en escenarios digitales

Viviana Cmara; Luis Crdoba; Claudia Zanabria 370

Sistemas de clculo simblico. Instructivos

Horacio Caraballo; Cecilia Zulema Gonzlez 375

El mundo de las fracciones a travs de los cuentos y 123 Cabri

Alicia Noem Fay; Mara Cristina Fay; Mabel Trozzoli 383

Captulo IV

Pensamiento Matemtico Avanzado

El uso de las grficas en la matemtica escolar: una mirada desde la

socioepistemologa

Gabriela Buenda Abalos 388


vii

Cuando el lenguaje formal se torna en un obstculo en el aula, pero es vista

como parte del contrato didctico. Un estudio de caso

Cecilia Crespo Crespo; Liliana Homilka; Patricia Lestn 396

Escala Matson de habilidades sociales adaptada para alumnos universitarios:

una experiencia en el aula de matemtica

Lilian Cadoche; Sonia Pastorelli 404

Incidencia de las interpretaciones que hacen los estudiantes de normas

sociomatemticas en el proceso de aprendizaje del concepto de funcin

cuadrtica en noveno grado

Andrs Geovany Uribe Huertas 412

El problema del viajante: recorridos Hamiltonianos

Raquel Cognigni; Teresa Braicovich; Valeria Cerda 420

Nmeros complejos. Anlisis de errores desde la teora de registros semiticos

G. Andino; M. Baracco; M. Carranza; S. Mir; S. Muratona; F. Quiroga

Villegas 428

Una manera de aprender ms matemtica para ensearla: la reflexin guiada como herramienta de integracin matemtico-didctica

Silvia Colombo; Silvia Etchegaray 434

La Metacognicin en el Proceso Educativo

Estela M. Pascual; Silvia E. Carando; Liliana M. Isa; Dolores R. Solbes 442

Anlisis didctico de procesos de enseanza y aprendizaje basado en un

enfoque ontosemitico de la cognicin y de la instruccin matemtica

Vincenc Font 446

Construccin de representaciones de la geometra tridimensional y

visualizacin desde una mirada socioepistemolgica

Jos Luis Rey 450

Funciones lingisticas predominantes en argumentaciones gestuales y visuales

que se presentan en los escenarios de la matemtica educativa

Nora Ins Lerman; Cecilia Crespo Crespo 454

Anlisis didctico de objetos y procesos matemticos. La derivada como

contexto de reflexin

Vicen Font 462

Captulo I

El pensamiento del profesor,

sus prcticas y elementos

para su formacin profesional

El pensamiento del profesor, sus prcticas y

elementos para su formacin profesional

- 1 -

CONSTRUCCIN DE LA DERIVADA DESDE LA VARIACIN. RESULTADOS

DE UNA EVALUACIN

Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Mller

Facultad de Ciencias Agrarias - Universidad Nacional del Litoral - Argentina

[email protected]; [email protected]; [email protected]

Nivel Medio, Terciario y Universitario (ciclo bsico)

Resumen

El estudio del clculo resulta muy abstracto para el alumno y desemboca en problemas para

su enseanza. En relacin a la derivada, muchos pueden calcularlas a partir de frmulas,

pero difcilmente comprenden el para qu de los algoritmos que realizan y el significado de

los conceptos.

Esta situacin plantea la necesidad de la bsqueda de elementos que puedan hacer

significativo el aprendizaje de manera que permitan al alumno la construccin de

conocimiento.

A partir de una serie de estudios preliminares diseamos y pusimos en prctica una

secuencia didctica para la introduccin de la derivada. No se pretendi un estudio terico

riguroso sino una presentacin simple e intuitiva que tenga en cuenta las nociones

fundamentales. Tomamos como hiptesis bsica que el desarrollo de ideas variacionales

puede propiciar una mejor comprensin.

Con la finalidad de obtener datos que aporten a la valoracin de la experiencia, preparamos

una serie de actividades que fueron incluidas en el examen parcial con el que deban

evaluarse, entre otros, los contenidos desarrollados con la secuencia. Se disearon de

manera que permitan explorar los avances y obstculos en el desarrollo del pensamiento

variacional de los alumnos.

En este trabajo presentamos algunas de estas actividades, un breve anlisis de las mismas y

un estudio, esencialmente cualitativo, de las respuestas dadas por algunos estudiantes.

Haciendo una revisin general de las respuestas notamos que, a pesar de las dificultades, un

buen porcentaje de alumnos mostr manejar diferentes ideas variacionales, otorgando un

significado amplio a la derivada.

Palabras clave: enseanza, pensamiento variacional, derivada

Introduccin

A pesar de que la determinacin de razones de cambio, idea fundamental del clculo, est

presente de una u otra manera en la vida diaria, todo lo relacionado con su estudio resulta

muy abstracto para el alumno y genera problemas para su enseanza. Se observa que, si

bien el estudiante logra resolver ejercicios y problemas sencillos, surgen grandes

dificultades al momento de ingresar en el campo disciplinar y alcanzar a comprender los

conceptos y mtodos de pensamiento que rigen este campo de la matemtica.

En una investigacin sobre la didctica de la derivada, Dolores (2000) indica que muchos

estudiantes pueden obtener derivadas de funciones algebraicas a partir de frmulas, pero

difcilmente comprenden el para qu de los algoritmos que realizan y el significado de los

conceptos. En general, la enseanza del clculo diferencial no tiene en cuenta el desarrollo

de ideas y significados de sus conceptos bsicos, imponiendo el predominio del trabajo

algortmico. Discute tambin el papel que le es conferido a la interpretacin geomtrica de



- 2 -

la derivada, la cual es abordada como complemento o como una aplicacin. Esto no ayuda

a revelar la naturaleza del concepto ligada a fenmenos de la rapidez de la variacin.

Al privilegiar el contexto algebraico se deja de lado la posibilidad de construir

conocimiento a partir de la movilidad entre las diferentes representaciones del concepto. Es

conocido que el conocimiento matemtico se puede representar bajo diferentes formas pero,

muchas veces, no se tiene en cuenta la necesidad de coordinar distintos sistemas de

representacin como condicin imprescindible para que haya aprendizaje (Duval, 2008).

Esto produce limitaciones en el desarrollo de uno de los estilos de pensamiento, el visual.

Diversas investigaciones en Educacin Matemtica nos proporcionan ejemplos sobre

problemas de aprendizaje y el papel de la visualizacin en la comprensin del clculo

(Cantoral, Farfn, Cordero, Alans, Rodrguez y Garza, 2003). Si bien se reconoce su

importancia a fin de favorecer la comprensin matemtica, existe una gran resistencia de

los alumnos a visualizar. Eisenberg y Dreyfus (1991) opinan que las causas por las que los

estudiantes evitan la visualizacin estn relacionadas con distintos aspectos. Por un lado la

visualizacin demanda actividades cognitivas superiores a las que exige pensar

algortmicamente. Por otro, los aspectos visuales no son utilizados para comunicar las ideas

matemticas ya que stos suelen ser considerados como secundarios al concepto mismo.

Estos autores opinan que muchas de las dificultades del clculo se superaran si se enseara

a los estudiantes a interiorizar las connotaciones visuales de los distintos conceptos.

La situacin descrita plantea la necesidad de la bsqueda de elementos que puedan hacer

significativo el aprendizaje de manera que permitan al alumno la construccin de

conocimiento. Enmarcados en este contexto nos propusimos tomar uno de las nociones

bsicas del clculo diferencial, la derivada. Indagamos la construccin de este concepto

cuando se formulan actividades articuladas en torno a la idea de variacin y cambio, que

promueven el manejo y la utilizacin de diversos sistemas de representacin.

La base terica en la que se fundamenta nuestro trabajo es la del Pensamiento y Lenguaje

Variacional. Como parte del pensamiento matemtico avanzado, el pensamiento variacional

comprende las relaciones entre la matemtica de la variacin y el cambio y los procesos de

pensamiento. Tiene en cuenta adems, la necesidad de analizar la relacin de los saberes

con prcticas socialmente compartidas y con sentidos y significados extra matemticos.

El pensamiento y lenguaje variacional estudia los fenmenos de enseanza,

aprendizaje y comunicacin de saberes matemticos propios de la variacin y el

cambio en el sistema educativo y en el medio social que le da cabida. Hace

nfasis en el estudio de los diferentes procesos cognitivos y culturales con que

las personas asignan y comparten sentidos y significados utilizando diferentes

estructuras y lenguajes variacionales (Cantoral y cols., 2003, p. 185).

A partir de una serie de estudios preliminares diseamos y pusimos en prctica una

secuencia didctica para la introduccin de la derivada.

La secuencia didctica

Con la propuesta no se pretendi un estudio terico riguroso de la derivada sino una

presentacin simple e intuitiva que tenga en cuenta las nociones fundamentales. Tomamos

como hiptesis bsica que el desarrollo de ideas variacionales puede propiciar una mejor

comprensin. La idea es, siguiendo a Dolores (2007, p. 198):



- 3 -

...ubicar como eje rector de todo el curso de Clculo Diferencial al estudio de la

variacin, de modo que la derivada no sea un concepto matemtico abstracto sino

un concepto desarrollado para cuantificar, describir y pronosticar la rapidez de la

variacin en fenmenos de la naturaleza o de la prctica.

Se decidi partir de las concepciones previas que tienen los alumnos acerca de la velocidad,

utilizar las representaciones grficas de las funciones para visualizar ideas, en especial la de

razn de cambio media como pendiente de una recta.

La interpretacin geomtrica de la derivada como pendiente de la tangente a una curva en

un punto constituye un aspecto fundamental en su construccin. Sin embargo, su

presentacin como un proceso de aproximacin de una secante a la tangente, resulta de

gran dificultad didctica (Dolores, 2007). Se pretende resaltar la manera en la que la

pendiente de una curva est relacionada con la razn de cambio.

Las actividades se presentan en registros diferentes y requieren las traducciones entre los

mismos. La nocin de pendiente es tratada en un primer momento desde un punto de vista

grfico. La de razn permite el clculo numrico y su relacin con la pendiente. La

secuencia considera, en un camino a la abstraccin, la generalizacin mediante las

expresiones algebraicas. Con su resolucin se pretende que los alumnos:

Realicen un acercamiento a las nociones de velocidad media e instantnea.

Calculen razones de cambio medias.

Reconozcan la necesidad de emplear intervalos cada vez ms pequeos para hallar la

velocidad instantnea.

Identifiquen la razn de cambio media como la pendiente de la recta que une dos puntos.

Descubran la necesidad de realizar el paso al lmite para calcular la velocidad

instantnea y que la asocien a la pendiente de la recta tangente.

La secuencia se desarroll en tres clases consecutivas. Dado el carcter social del

conocimiento matemtico escolar y el reconocimiento de la importancia del papel de las

interacciones sociales en la construccin del conocimiento, se decidi privilegiar las

prcticas compartidas, de manera de proporcionar a los alumnos el mbito para contrastar

significados, ya sea en grupos pequeos como en la discusin de la clase completa. Al

finalizar cada clase, se revisaron las distintas actividades aprovechndolas para formalizar.

El cuestionario de contenidos

Con la finalidad de obtener datos que aporten a la valoracin de la experiencia, preparamos

una serie de actividades que fueron incluidas en el examen parcial con el que deban

evaluarse, entre otros, los contenidos desarrollados con la secuencia. Esta evaluacin forma

parte de la currcula y es condicin obligatoria para regularizar la asignatura.

Las actividades se disearon para explorar los avances y obstculos en el desarrollo del

pensamiento variacional de los alumnos. Especficamente indagamos sobre el

comportamiento variacional de las funciones relacionado a la nocin de derivada.

Pretendemos adems identificar el tratamiento en los registros de representacin verbal,

numrico, grfico y analtico, as como si existen rasgos de conversin entre ellos.

A continuacin presentamos algunas de las actividades, un breve anlisis de las mismas y

un estudio, esencialmente cualitativo, de las respuestas dadas por 16 alumnos.



- 4 -

Pregunta

Dada la funcin y f(x) definida grficamente,

determine la derivada en x 2 y x 4. Explique cmo la obtiene.

Se presenta una funcin por tramos y se pide el clculo de la derivada en dos valores del

dominio. Los mismos se pueden deducir fcilmente, sin ningn clculo, a partir del anlisis

grfico del comportamiento variacional de la funcin. Esto exige que los alumnos hagan la

correlacin entre la recta que representa una situacin de cambio constante, la pendiente de

la recta como la medida de la razn de cambio constante y la derivada (razn de cambio

instantnea) coincidiendo con ese valor. Por los temas desarrollados hasta el momento del

parcial, pueden tambin convertir al registro analtico, determinando la ley de la funcin y

calcular la derivada en cada punto, aplicando definicin o reglas prcticas.

Analizando las respuestas, notamos que slo dos alumnos parecen recurrir al

comportamiento variacional de la funcin. Determinan la pendiente de la ecuacin de la

recta correspondiente a cada tramo y la asocian al valor de la derivada. Observamos que,

aunque no era necesario porque los datos estaban dados grficamente, realizan los clculos

de las pendientes (con errores). Mostramos el trabajo de uno de ellos.

La mayora (11 alumnos, o sea el 68, 75%), recurre al registro algebraico para trabajar.

Obtienen la ley de la funcin y calculan la derivada en cada punto aplicando definicin y/o

reglas prcticas. Cuatro de ellos cometieron errores diversos (signos, mal la ley de la

funcin, clculo del lmite, incoherencias en la explicacin).

Un alumno da otra respuesta pero equivocada. Dos alumnos no contestaron esta pregunta.

No consideramos que no conozcan (por lo menos todos los alumnos) la relacin con el

comportamiento variacional de este tipo de funcin, sino que les resulta ms sencillo

trabajar analticamente o bien se sienten ms seguros justificando en este contexto.

Pregunta

Una epidemia azota a los habitantes de una ciudad y los mdicos estiman que la cantidad de

personas enfermas t das despus del principio de la epidemia est dada por e(t).

i) Explique el significado de e(30) 2700 y e' (30) 90 en la situacin planteada. ii) Por qu es significativo el signo de e' (30)?

A partir de una situacin de cambio presentada en los registros verbal y analtico se pide a

los alumnos el significado del valor numrico de la funcin que la modela en un punto y del

valor de la derivada de la funcin en el mismo punto. Esto permite analizar qu conocen

respecto de la informacin que proporciona la derivada acerca de la funcin, adems del



- 5 -

significado del signo de la derivada. Esperamos que los alumnos recurran a la

interpretacin fsica de la derivada, para explicar su significado en el problema.

Analizamos las dos ltimas cuestiones que son las que ocasionaron ms dificultades.

Con respecto a e'(30) 90, el 50% de los alumnos da una respuesta aproximada. Uno de ellos escribi: A los 30 das de iniciada la epidemia la enfermedad se est propagando a razn de 90 personas por da. Seis alumnos (37,5%) responden incorrectamente. Cinco de ellos confunden el valor de la

derivada con la imagen de la funcin en dicho punto. Uno expres: La cantidad de personas enfermas a los 30 das es 90. Dos alumnos no respondieron.

Para el significado del signo de la derivada, seis alumnos (37,5%) se acercan a la respuesta.

Uno escribi: El signo muestra que la cantidad de personas enfermas est aumentando ya que es positivo. Ocho alumnos (50%) dieron respuestas incorrectas.

Tres de ellos confunden la interpretacin del signo de la derivada con el crecimiento de la

velocidad, o sea de la funcin derivada. Una de las respuestas fue: La derivada es positiva porque la velocidad con que se estn enfermando las personas est creciendo. Otros tres fueron coherentes con la respuesta del punto anterior (dado que la derivada

representa cantidad de personas enfermas, no puede dar un nmero negativo). Un alumno

no respondi este inciso.

Destacamos que, a pesar de las dificultades observadas y si bien algunos en sus

explicaciones se refieren en primer lugar a la derivada como la razn de cambio instantnea

y relacionan el signo de la misma con una funcin creciente, la mayora intenta referirse al

enunciado del problema, utilizando trminos variacionales que describen el fenmeno.

En relacin a los registros, todos los alumnos explicaron verbalmente, utilizando algunos la

misma simbologa presentada en el enunciado de la pregunta.

Pregunta

Se le suministra suero a un paciente, inyectndole un medicamento para combatir cierta

deficiencia en la sangre. La cantidad de medicamento inyectado (en miligramos) est dado

por 32

t01,0ts donde t est expresado en segundos.

i) Cunto medicamento se inyect entre los 60 y los 120 segundos?

ii) Cul es la razn de cambio media de la cantidad de medicamento inyectado con

respecto al tiempo durante el segundo minuto?

iii) Para que el medicamento tenga efecto, al cabo de 64 segundos se debe estar

suministrando al paciente un mnimo de 0,0015 miligramos por segundo. Se cubre este

requerimiento? Por qu?

Esta actividad explora, a partir de la expresin algebraica de una funcin, la interpretacin

de una situacin especfica de cambio. Se trata de identificar el tratamiento en los registros

verbal y analtico as como la conversin de uno a otro y tambin al registro numrico.

En el primer inciso, 12 alumnos (75%) logran interpretar la situacin e identificar que

necesitan determinar el cambio de la variable dependiente en el intervalo [60, 120].

En el segundo punto se indaga sobre la determinacin numrica de la razn de cambio

media en el intervalo [60, 120]. Catorce alumnos (87,5%) escriben correctamente la

frmula necesaria. De ellos, dos no interpretan los datos del problema y plantean mal.



- 6 -

El tercer inciso requiere identificar en el enunciado la necesidad de calcular la derivada

para obtener a qu ritmo est cambiando la funcin en determinado instante. Fue razonado

correctamente por 11 alumnos (68,75%). Uno no respondi y los cuatro restantes

cometieron diversos errores.

Revisando todas las evaluaciones encontramos que interpretaron en mayor o menor medida

lo requerido en los distintos incisos. En un fenmeno de cambio en el que se plantea la

expresin algebraica de una funcin, realizan un tratamiento adecuado en los registros

verbal y analtico, as como la conversin de uno a otro y al numrico, de distintos aspectos

fundamentales para comprender la derivada. Mostramos el trabajo de un alumno.

Pregunta

Disponemos de la representacin grfica de una funcin f y nos piden que calculemos la

derivada de f en un punto, podramos hacerlo? En caso afirmativo, explique cmo lo hara

y muestre con un ejemplo.

La pregunta planteada en el registro verbal, indaga acerca de la interpretacin geomtrica

de la derivada en un punto como la pendiente de la tangente a la grfica en dicho punto.

Esperbamos que los alumnos expliquen verbalmente, apoyndose en el registro grfico.

Tres alumnos trabajaron de esta manera. Lo vemos en el trabajo siguiente.



- 7 -

Aprovechan el cuadriculado de la hoja para determinar la pendiente y asocian estos valores

a la derivada, mostrando mucha claridad en sus explicaciones y ejemplos.

Otros dos alumnos relacionan la derivada con la recta tangente o con una pendiente pero de

manera incorrecta.

Observamos que casi el 50% (siete alumnos) transit del registro grfico al analtico.

Dibujaron la grfica de una funcin sencilla, obtuvieron su ley y calcularon la derivada. Es

el caso del siguiente trabajo:

Finalmente, cuatro alumnos no respondieron esta pregunta.

Conclusiones Haciendo una revisin general de las actividades notamos que, a pesar de las dificultades,

un buen porcentaje de alumnos mostr conocer diferentes ideas variacionales. Observamos

un manejo aceptable de la derivada. Los alumnos dieron evidencias de poder relacionar,

interpretar y utilizarla correctamente como:

La velocidad instantnea. Convirtieron del registro simblico al verbal y dieron el significado en la situacin planteada. Tambin convirtieron del registro verbal al

simblico interpretando como una velocidad instantnea y relacionando con la derivada.

La pendiente de la recta tangente. Los resultados fueron mejores en el caso de que la actividad estaba planteada en el registro grfico.

Un lmite. En las distintas preguntas que se indaga sobre la definicin de derivada, los resultados fueron buenos, ya sea en el reconocimiento o su aplicacin en el clculo.

En relacin a la interpretacin del signo de la derivada, los resultados fueron mejores

cuando el enunciado de la actividad los llev a interpretar geomtricamente.

Aproximadamente la mitad de los alumnos dio una respuesta aceptable. Explicaron en el

registro verbal y mostraron grficamente, dibujando una funcin que cumple determinadas

condiciones dadas. Los porcentajes de respuestas correctas fueron menores cuando tuvieron

que explicar relacionando con la interpretacin fsica.

Con respecto a los sistemas de representacin, observamos que manejaron adecuadamente

los diferentes registros segn lo solicitado en las distintas preguntas, pero se nota

preferencia por el trabajo algebraico y algortmico.

Por ejemplo en la primera pregunta, no recurrieron a explicar el valor de la derivada segn

el comportamiento variacional de la funcin. Tuvieron necesidad de escribir la ley y

calcular la derivada por reglas prcticas. Lo mismo notamos en la ltima pregunta. No



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razonaron en el registro grfico. Si bien utilizaron este registro en otras actividades para

explicar no lo usaron en estos casos para obtener informacin variacional.

Dada una funcin sencilla definida analticamente (problema de suministro de suero a un

paciente), demostraron bastante dominio del registro algebraico para obtener los cambios

as como para calcular la razn de cambio instantnea evaluando el lmite.

En cambio les cost mucho interpretar los resultados obtenidos en esos incisos. Los

porcentajes ms bajos se obtuvieron en los que se trabajaron expresiones simblicas.

Consideramos que estos resultados confirman lo reportado por otras investigaciones

(Eisenberg y Dreyfus, 1991). Los alumnos estn ms acostumbrados a utilizar

procedimientos analticos y algortmicos, dejando de lado los argumentos visuales, que

adems, son de mayor dificultad cognitiva. Consideran que estos aspectos son los

esenciales y de esa manera trabajan tambin en las evaluaciones.

Los resultados obtenidos nos indican que han logrado visualizar en mayor o menor medida

los conceptos en juego. Las respuestas muestran que han representado, transformado,

generado, comunicado y reflejado informacin visual, aspectos requeridos en la definicin

de visualizacin (Cantoral y cols., 2003). Esto les permiti construir y otorgar un

significado a los conceptos que adems lograron plasmar en el papel.

Todos los aspectos mencionados exigen y, a su vez favorecen, el desarrollo del

pensamiento matemtico de los alumnos, en particular de su pensamiento variacional.

Como expresan Cantoral y cols. (2003), el desarrollo de este tipo de pensamiento necesita

de procesos temporalmente prolongados, que supone el dominio e integracin de distintos

campos numricos y geomtricos, adems de la comprensin de procesos especficos

complejos como son el paso al lmite, la nocin de variacin y de variable, entre otros. Esto

no se produce de manera instantnea. Las situaciones problemticas que necesitan de un

tratamiento variacional ayudarn a que el alumno, al enfrentarse a ellas, desarrolle su

pensamiento y lenguaje variacional, pero es necesario ir incorporando a lo largo de distintas

etapas actividades que lleven a su desarrollo.

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126). Washington: Mathematical Association of America.



- 9 -

ENTORNOS COLABORATIVOS MEDIADOS PARA EL DESARROLLO DEL

CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMTICAS: EL

CASO DE LOS ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMTICAS DE LA

LICENCIATURA EN MATEMTICAS DE LA UNIVERSIDAD DISTRITAL

Diana Gil, Yenny Caicedo, Libia Luz Barbeti, Fernando Guerrero

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas Colombia [email protected], [email protected], [email protected],

[email protected]

Educacin Universitaria Formacin inicial de profesores

Resumen

La prctica profesional en los ejes de formacin de prctica docente y contextos

profesionales est condicionada por distintos factores que influyen en la construccin de

conocimiento profesional. Uno de estos factores es la concepcin que tanto profesores

como estudiantes para profesores de matemticas (EPM) desarrollan sobre la resolucin de

problemas, en particular sobre los sistemas de actividad que generan dominios de

experiencia sobre Aprender a ensear matemticas para la educacin bsica y los

conocimientos pedaggicos para la actuacin del profesor como un profesional reflexivo y

crtico de su prctica.

Esta prctica del estudiante para profesor de matemticas se transforma e innova a partir del

diseo y configuracin de ambientes de aprendizaje, fundamentados en la concepcin

vigotskyana de zona de desarrollo prximo, a partir de la perspectiva de aprendizaje

colaborativo mediado, donde se engloban enfoques como la cognicin grupal, las

comunidades de aprendizajes, los artefactos culturales, el aprendizaje basado en problemas.

Estos aspectos se recogen en la sistematizacin de algunos factores incidentes como los

textos acadmicos, la visin de objetivo compartido, la seleccin de la tarea, los roles del

profesor y del estudiante, la dimensin temporal, los materiales didcticos como

dispositivos usados para la representacin de los contenidos (objetos de conocimiento),

entre otros.

Palabras Clave: Prctica profesional, Estudiantes para profesores de matemticas (EPM),

Entornos colaborativos, artefactos culturales

Problema de investigacin

Hemos detectado que una de las dificultades de los EPM vinculadas con la

conceptualizacin antes, durante y despus de sus actuaciones en las aulas universitarias en

el proyecto curricular LEBEM tiene que ver con la produccin e interpretacin de textos

acadmicos y la relacin de stos con la manera como se pone en escena en la interaccin

profesor-estudiante o estudiante-estudiante en la configuracin de ambientes propicios para

la construccin de significado vinculado con su razonamiento pedaggico y la construccin

de conocimiento prctico.

Creemos que existe una relacin entre la manera como se eligen las mediaciones, en este

caso particular el lenguaje. Bruner (1998) reconoce en el lenguaje la principal mediacin,

cuya preocupacin fundamental es el significado de la palabra o los actos de significado.

Como ejemplo, se pone las intervenciones de los estudiantes o del profesor a partir los

textos escogidos para la discusin en clase, necesario para el proceso de comunicacin en el

aula (tambin como requerimiento necesario para la argumentacin y la asuncin de

posiciones) y la manera como esto influye en los procesos de aprendizaje de los EPM, es



- 10 -

decir, lo que interesa sistematizar en esta propuesta de trabajo es la recuperacin de la

memoria, de los actores que intervienen en el aula de clase, sobre la ecologa del aula, a

partir de los mediaciones que posibilitan los textos acadmicos utilizados en los diversos

espacios acadmicos de los ejes de prctica y de contextos profesionales del proyecto

curricular LEBEM.

Contextualizacin del problema El proceso de sistematizacin pretendido parte de la idea de contribuir al plan de

mejoramiento del proyecto curricular de Licenciatura en educacin bsica con nfasis en

Matemticas. Para conseguir tal propsito, tenemos en cuenta que el mismo proyecto se

concibe como proyecto de investigacin, luego una de las caractersticas del mismo es la

necesidad de revisarse a s mismo, puesto que si tomamos la perspectiva del profesor

reflexivo y crtico, que reflexiona sobre su prctica, estamos pensando en la transformacin

de las practicas docentes del proyecto curricular, y por tanto en la misma direccin en la

posibilidad de formar un profesional con perfil de investigador, especialmente en lo

concerniente al Estudiante para profesor (EPM).

Se ha declarado tambin que el enfoque o modelo pedaggico propuesto para tal fin, se

orienta en la Metodologa de Resolucin de problemas, en lo propuesto por Charnay (1994)

y en el modelo de profesor investigador y reflexivo como Flores (1998).

La organizacin curricular del proyecto est dada por Ncleos problmicos, que para

nuestro caso se han denominado Ejes curriculares. Que son: el eje de Problemas y

pensamiento matemtico avanzado, el eje de Didctica, el eje de Prctica docente, el eje de

Contextos profesionales. Con 43 asignaturas que componen el plan de estudios y son

concebidas como lo espacios de formacin donde se vuelve realizativa la propuesta. As

mismo se contempla la practica como el eje integrador, con el supuesto de que el

conocimiento profesional del profesor es una amalgama entre Saber cientfico y

experiencia profesional, en las que unas y otras interactan dialcticamente, esta idea es

importante para entender la prctica profesional, en tanto constructo terico necesario para

analizar el desarrollo profesional del profesor de matemticas.

Al respecto de esto Bonilla y otros (1999) citando a Llinares (1995) afirma que: Se puede considerar el conocimiento profesional del profesor como el engranaje de los distintos tipos

de conocimiento (saberes) que debe poseer un profesor (saber cientfico, saber profesional

y saber comn practico y sus experiencias previas de formacin que le determinan unas

particulares rutinas de actuacin, la mayora de las veces de tipo inconsciente, pero que son

las que le permiten un desempeo en las aulas de clase (Bonilla y otros, 1999, p. 16-17) Segn Llinares (1997), la caracterizacin del conocimiento profesional del profesor, ha

venido siempre marcada por la tensin existente entre el conocimiento terico acumulado

por las investigaciones sobre la enseanza y el aprendizaje(terico) y el conocimiento

derivado de la prctica de los profesores que se ha ido formando a lo largo de su

experiencia profesional (practica).

Desde hace tres aos en un encuentro que se llevo a cabo para revisar y sistematizar el

desarrollo curricular, el grupo de profesores acord que para hacer posible la reflexin

sobre los contenidos de los ejes, se eligieran lecturas bsicas, representativas para las

temticas a desarrollar y hacer posible durante la resolucin de problemas la

conceptualizacin y apropiacin de los conceptos por parte de los EPM. Estas lecturas se

consideraban en la perspectiva de la metodologa asumida, como si fueran situaciones

problema o parte de ellas.



- 11 -

Por otra parte, se vena trabajando en talleres en forma de anlisis de caso, sobre

situaciones de aula de profesores o estudiantes para profesor, se les peda asumir una

posicin y decidir qu hacer en el caso que estuvieran en esa situacin, confrontando sus

concepciones iniciales con las que se pretenda que les garantizara el dominio conceptual y

procedimental sobre los objetos de enseanza. Lo mismo, que en el caso anterior, los

casos hacan parte de una estrategia general para modelizar procesos de instruccin.

De acuerdo con lo anterior, consideramos que la sistematizacin se ubica en la descripcin

de la experiencia particular para entender como se ha implementado la propuesta, los

obstculos y las rupturas que se han producido, consecuencia de la traslacin hacia un

modelo de formacin de profesores distinto al que prevaleca, y que dominaba en la

licenciatura en Matemticas.

Objetivos

GENERAL

Identificar y describir la configuracin de ambientes de clase, a partir de la recuperacin de

la memoria de las relaciones y actuaciones de los profesores formadores y de los

estudiantes para profesor mediados por los textos acadmicos, durante el desarrollo de

algunas clases del Proyecto Curricular de Licenciatura en Educacin Bsica con nfasis en

Matemticas.

ESPECIFICOS

Identificar y describir algunas relaciones entre el conocimiento declarativo y procesual tanto de profesores y EPM a partir de los programas y sus ejecuciones practicas.

Realizar una caracterizacin de algunos de los textos acadmicos utilizados en las asignaturas de Practica intermedia I, III, Investigacin en el aula III, Ambientes y

mediaciones I, II, Polticas educativas y PEI, y Resolucin de conflictos, en algunos

semestres iniciales, intermedios y avanzados del proyecto curricular LEBEM.

Identificar y describir algunas caractersticas relevantes de los ambientes generados por profesores y estudiantes mediados por diferentes tipos de textos acadmicos.

Metodologa de investigacin El tipo de enfoque considerado o seleccionado para tal fin se ubica en la metodologa

cualitativa desde una perspectiva descriptivo-interpretativa, dado que interesa mostrar

algunas caractersticas relevantes de los ambientes en sus contextos comunicativos

principalmente.

Se enmarca dentro de los procesos de sistematizacin de la experiencia de los actores en

sus contextos, que combina tcnicas de recoleccin de informacin con cuestionarios de

pregunta cerrada y anlisis de contenido a partir del diseo de rejillas de anlisis. Es decir,

que combina en el proceso de anlisis de resultados anlisis cuantitativos y cualitativos.

La sistematizacin constituye una posibilidad de reconstruccin del conjunto de

significaciones puestas en escena en las aulas y las experiencias de vida y vivencias

particulares de profesores formadores y estudiantes para profesores (EPM) resultado de la

innovacin curricular a partir de las mediaciones implementadas y los ambientes de clase

que emergen desde ellas..

Diseo de la investigacin



- 12 -

FASE ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIN

1. Fundamentacin conceptual

Revisin documental Definicin de parmetros conceptuales para el

desarrollo del proyecto.

Elaboracin y socializacin de la propuesta de sistematizacin con los participantes.

2. Definicin de los instrumentos para la

recoleccin de informacin

Elaboracin de rejilla de anlisis de los programas de las asignaturas.

Diseo de las encuestas. Validacin de los instrumentos.

3. Trabajo de campo Aplicacin de los instrumentos diseados.

4. Sistematizacin de la informacin recolectada

Categorizacin de la informacin recolectada a partir de la organizacin de la informacin recolectada en

cada uno de los instrumentos aplicados.

Triangulacin de la informacin recolectada segn las fuentes de informacin.

5. Anlisis, elaboracin del informe final y

socializacin

Anlisis e interpretacin de la informacin Elaboracin de informe final donde se plasman las

principales conclusiones y se propone un marco

comprensivo para el anlisis del problema de

innovacin en torno a las mediaciones (sus

componentes) y la influencia de ellas en los ambientes

de aprendizaje.

Socializacin y divulgacin de los resultados: Se presentaran los resultados o conclusiones del trabajo

en primera instancia a los participantes o actores,

luego al proyecto curricular que dio origen a este

estudio, a la comunidad universitaria, por ltimo se

extender la divulgacin a expertos en los tpicos

abordados en Encuentros locales, nacionales e

internacionales.

Alcances de los objetivos propuestos

Tomando en cuenta los resultados de la sistematizacin de la encuesta y el anlisis de los

programas, se puede concluir que la construccin de conocimiento profesional del

estudiante para profesor de matemticas (EPM) est condicionado por la concepcin de

aprendizaje constructivista, orientado por la idea de comunidad de aprendizaje, donde es

importante la relacin entre el sistema de actividad, las prcticas en dominios de la

experiencia como el aprendizaje basado en problemas, cuya caracterstica ms

sobresaliente es la adquisicin de experiencia, el conocimiento contextualizado y la

negociacin y elaboracin de significados, a partir de la reflexin sobre la prctica

profesional.

El currculo declarado vs el desarrollado

Para la construccin de conocimiento se proponen tanto en lo declarado como en la manera

como es percibido por los EPM, la participacin activa en comunidades de aprendizaje

donde es importante la propiedad de las tareas, el control sobre las mismas, la



- 13 -

responsabilidad compartida, la evaluacin crtica para la transformacin e innovacin de la

prctica profesional. En este sentido, las herramientas, instrumentos y artefactos culturales

se disponen de modo que en las comunidades se vuelven un factor crucial para la

interaccin sociocognitiva, para la elaboracin y negociacin de significados de los objetos

de conocimiento. Estos artefactos culturales fsicos (como videobeam, retroproyectores,

carteleras, etc.) o cualquier objeto del que se sirva el EPM como medio de

conceptualizacin y reflexin como documentos de la clase.

El aprendizaje colaborativo como metodologa

Por otra parte, al caracterizar la interaccin sociocognitiva como aprendizaje colaborativo

mediado, la comprensin del EPM sobre los objetos de conocimiento necesarios para la

reflexin sobre la prctica, es resultado de la participacin en la comunidad de aprendizaje:

la organizacin de las formas de trabajo (trabajo individual, trabajo en grupo, puesta en

comn, clase magistral para la institucionalizacin del conocimiento didctico de

contenido o de los conocimientos pedaggicos) y de las dinmicas concebidas como

estrategias metodolgica (mesa redonda, taller, seminario, foro, sociodrama, cine foro,

entre otros). En este sentido, los objetivos para la solucin de los problemas sobre la

prctica profesional se comparten y la responsabilidad no solo se distribuye sino se

comparte. Los roles del profesor y del estudiante suponen una interdependencia positiva.

La prctica en el aula y fuera de ella

Es tambin relevante que en los programas de los ejes de formacin como en la gestin

curricular que llevan a cabo profesores con estudiantes, implcitamente se pone nfasis en

la articulacin/integracin de la prctica profesional como integradora del conocimiento

profesional. Las prcticas in situ como en el caso del trabajo acadmico de los EPM en las

instituciones educativas distritales (para el desarrollo de secuencias de actividades de

enseanza y aprendizaje de los conceptos matemticos de la educacin bsica) o las

prcticas acadmicas (para el reconocimiento de experiencias con proyecto educativo

innovador) son algunos ejemplos de la necesidad de integrar la teora pedaggica-didctica

a la reflexin sobre la prctica profesional, para la toma de conciencia sobre el sentido de la

profesin profesor(a) de matemticas. Los textos escolares como mediacin en el aula

De acuerdo a la caracterizacin que Engestrm (1999) realiza de la mediacin, citado por

Gros (2008), se describe a partir de los instrumentos o artefactos culturales que hacen de la

interaccin sociocognitiva y los sistemas de actividad los medios para la construccin de

conocimiento profesional del EPM.

Estos artefactos culturales pueden ser cualquier tipo de objeto que medie en la interaccin

entre el sujeto que aprende, las reglas de participacin, los roles, la responsabilidad

compartida que sirvan de instrumento para la construccin de conocimiento profesional en

una comunidad de aprendizaje.

Segn Engestrm, (1999, citado por Gros, 2008), los artefactos culturales, entendindose

en este contexto de la investigacin como textos acadmicos, sirvieron para cumplir

distintas funciones denominativos y descriptivos (tipos qu) cuando se sugiere la presentacin del objeto de conocimiento de una temtica como en el caso de una idea o

proposicin terica a partir de una dinmica grupal; procesuales (tipos cmo) como una hiptesis en los casos, preguntas o problemas a partir del cuestionamiento a travs de la

pregunta en los grupos, diagnosticadores y explicativos (tipos por qu) como en el caso de los ensayos, aplicaciones de una teora para reflexionar sobre la accin (textos de meta

cognicin), si lo que se busca es la argumentacin como en el caso de las exposiciones



- 14 -

grupales, o la resolucin de un cuestionario individual para mirar asuncin de posiciones, y,

finalmente especulativos cuando lo que caracteriza es la institucionalizacin que se hace del

texto por el profesor. Estos artefactos de tercera generacin como los denomina

Engestrm, (1999 citado por Gros, 2008 p.74), se usan para comprender los dilogos, las

mltiples perspectivas y las redes de sistemas de actividad en interaccin puesto que a este

autor le interesa el proceso de transformacin social de las comunidades de aprendizaje.

Las relaciones con las otras personas determinan en un sistema de actividad, un dominio de

experiencia, que queda caracterizado por los artefactos culturales (textos acadmicos), ya

que en la actividad afirma Gros (2008, p.76) se va conformando un modo de comprender.

Las formas de relacin con el conocimiento o de aprendizaje estn contenidas en esas

prcticas.

Entornos de aprendizaje y artefactos culturales

La principal caracterstica de los ambientes generados con las comunidades de aprendizaje,

es la manera como se objetiva la comprensin en los grupos (parejas, grupos pequeos,

clase en sus distintas modalidades de trabajo acadmico, dinmicas y estrategias). La idea

de aprendizaje expansivo, implica la coordinacin de acciones entre los participantes en

esas comunidades para la elaboracin y negociacin del significado de los objetos de

conocimiento, que produce como resultado conciencia y sentido sobre la profesin

profesor(a) de matemticas o conocimiento prctico o modelo de un profesor reflexivo y crtico, que transforma e innova su prctica profesional.

En estos ambientes (entornos) generados, la metodologa de resolucin de problemas del

profesor y del estudiante para profesor de matemticas (EPM) se manifiesta a partir de la

concepcin de aprendizaje colaborativo mediado en la responsabilidad compartida, la

interdependencia positiva, la tarea (propiedad, carcter y control), los roles, los objetivos

compartidos, la evaluacin crtica, la toma de conciencia sobre la actividad llevada a cabo,

el aprendizaje intencional, la adquisicin de la experiencia, el uso de artefactos culturales

para mejorar la interaccin socio cognitiva y obtener comprensin de los objetos de

conocimiento de la prctica profesional.

Este conocimiento profesional se caracteriza en el EPM por ser descriptivo e interpretativo

de los contextos de aprender a ensear, de la identidad del profesor en sus contextos de

profesionalizacin y engloban la formacin pedaggica y didctica en los mbitos de la

prctica. Estos conocimientos como se ha mencionado cumplen la funcin de

articulacin/integracin de los distintos saberes en la prctica.

En trminos generales, sostiene Lipponen (2002, citado por Gros, 2008):

El aprendizaje colaborativo mediado est centrado en el estudio sobre la manera en que los artefactos culturales pueden mejorar la interaccin entre iguales y el trabajo en

grupo para facilitar el hecho de compartir y distribuir el conocimiento y la experiencia

entre los miembros de la comunidad de aprendizaje. (Lipponen, 2002, citado por Gross, 2008, p.91).

Conclusiones

Algunos factores estn relacionados con la manera como en ellos se inscribe la prctica profesional como integradora del conocimiento profesional del estudiante para profesor

de matemticas (EPM).

La comprensin lectoescritora se va conformando en la actividad que se lleva a cabo dentro del dominio de la prctica profesional del EPM en cada espacio de formacin de



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los ejes de prctica docente y contextos profesionales. Esta comprensin est

condicionada por la concepcin que tanto profesores como estudiantes para profesores

de matemticas (EPM) desarrollan sobre la resolucin de problemas, en particular sobre

los sistemas de actividad que generan dominios de experiencia sobre Aprender a

ensear matemticas para la educacin bsica y los conocimientos pedaggicos para la

actuar profesionalmente en los distintos contextos profesionales de la profesin

profesor(a) de matemticas, que hacen del profesor un profesional reflexivo y crtico de su prctica.

Esta prctica del estudiante para profesor de matemticas se transforma e innova a partir del diseo y configuracin de ambientes de aprendizaje, fundamentados en la

concepcin vigotskyana de zona de desarrollo prximo, a partir de la perspectiva de

aprendizaje colaborativo mediado, donde se engloban enfoques como la cognicin

grupal, las comunidades de aprendizajes, los artefactos culturales, el aprendizaje basado

en problemas. Estos aspectos se recogen en la sistematizacin de algunos factores

incidentes como los textos acadmicos, la visin de objetivo compartido, la seleccin

de la tarea, los roles del profesor y del estudiante, la dimensin temporal, los materiales

didcticos como dispositivos usados para la representacin de los contenidos (objetos

de conocimiento), entre otros.

Con la encuesta y el anlisis de los programas se evidenci que la comprensin que desarrollan los estudiantes para profesor de matemticas (EPM) est asociada con la

metodologa mediante las formas de trabajo acadmico que enfatiza el aprendizaje en

grupo sobre el aprendizaje individual y las estrategias se fundamentan sobre la mesa

redonda, el taller, el foro para tematizar la formacin en torno a los problemas de la

profesin profesor(a) de matemticas para la educacin bsica.

Los distintos textos acadmicos (artefactos culturales) son conceptos (conocimientos previos, concepciones y creencias sobre las temticas de cada espacio de formacin),

instrumentos fsicos (carteleras, retroproyectores, videobeam, documentos en fotocopias

de libros o artculos, internet, entre otros). Estos textos acadmicos como se

caracterizan en la investigacin son de distintos tipos en esta metodologa segn la

funcin que cumplen: denominativos y descriptivos, diagnosticadores y explicativos,

especulativos y procesuales.

La comunidad de aprendizaje est conformada por pequeos grupos o por la clase, donde se determinan los roles del profesor y del estudiante que estn caracterizados por

la manera como se asume o transfiere la responsabilidad de aprender en grupo, que

tanto para profesores como para los EPM en la clase estn relacionadas con la manera

como se orienta y ayuda a sistematizar las producciones, las discusiones en torno a los

problemas del profesor, lo cual requiere la toma de conciencia de su propio

aprendizaje, en su reflexin sobre la prctica.

En esta perspectiva, el rol del profesor y del estudiante, est enmarcado por acciones de responsabilidad individual y compartida como las clases magistrales para la

presentacin de las temticas, la coordinacin de talleres para la discusin y debate de

los tpicos y aplicacin adecuada de la teora para el anlisis de la experiencia

formadora de los EPM en sus distintos contextos, de aprendizaje autnomo y

colaborativo para la construccin y apropiacin por parte de los EPM de las distintas

perspectivas y planteamientos tericos a partir de la revisin de distintas fuentes.



- 16 -

De esta manera, el paradigma del aprendizaje basado en problemas se impone como la estrategia metodolgica y criterio para el avance de la generacin de acuerdos en la

clase, sobre lo que es conveniente y no para la toma de decisiones para superar

obstculos y dificultades surgidos en la prctica profesional. Adems esta estrategia

permite el debate y reflexin desde la prctica para la construccin del sentido de la

profesin profesor(a) de matemticas individual y colectivo en tanto propsito de formacin del proyecto curricular LEBEM.

La evaluacin se considera de modo crtico para superar la evaluacin por contenidos y sirve de instrumento para la autorregulacin del proceso de aprendizaje del trabajo en

los grupos que hacen parte de la comunidad, a partir de la valoracin del proceso de la

reflexin sobre la prctica. En este sentido cumple la funcin de retroalimentacin del

proceso de formacin y permite la construccin de criterios para la transformacin e

innovacin de la prctica, dado su carcter de control social del aprendizaje.

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Memorias XVII Coloquio Distrital de Matemticas y Estadstica. Bogot: Fondo

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Memorias. Bogot: Gaia, 1999. v.1. p.39 40.



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COMPONENTE TERICO PARA LA DESCRIPCIN DE LA COMPETENCIA

COGNITIVA: UN MODELO DE ACTUACIN EN PRCTICA DOCENTE EN

ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMTICAS A PARTIR DE LA

REFLEXIN EN CONTEXTOS DE APRENDER A ENSEAR

Fernando Guerrero Recalde, Neila Snchez Heredia

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas - Colombia

[email protected], [email protected]

Educacin Universitaria Formacin inicial de profesores

Resumen

La experiencia tiene lugar en el curso de prctica intermedia de octavo semestre del

proyecto curricular de Licenciatura en Educacin bsica con nfasis en Matemticas de la

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas.

Para ello en el espacio de formacin de la clase de prctica docente se pretende generar

conocimiento en la accin desde la tutora que lleva a cabo el profesor de prctica sobre el

diseo y planeacin, gestin y evaluacin de una secuencia didctica en torno a la

comprensin de conceptos matemticos en la Educacin bsica. La tutora del profesor de

prctica se asume como un practicum reflexivo a travs de la resolucin de problemas del

profesor. El modelo de devolucin planteado por Brousseau (1986) se explora en las

prcticas docentes de los Estudiantes para Profesores de matemticas para reflexionar

sobre y en la accin docente en el aula de matemticas.

El profesor de prctica genera condiciones para que en el espacio de formacin de la

tutora, los EPM (en adelante se usa la sigla EPM para referir a los Estudiantes para

profesor de matemticas de la Educacin bsica) aprendan a tomar decisiones sobre el

proceso instructivo, este conocimiento prctico les sirve para apoyar su propio juicio sobre

aprender a ensear.

Palabras Clave: Prctica docente, aprender a ensear, conocimiento didctico de contenido

(CDC), practicum reflexivo, Teora de las situaciones didcticas (TSD), modelo terico

local (MTL)

MARCO TERICO

Modelos tericos locales El presente trabajo parte del concepto de Modelo Terico Local propuesto por Eugenio

Filloy hace algunos aos, y desarrollado recientemente por Puig y Rojano. Para Puig

(2008) los estudios de este estilo parten de una toma de partido terica por no utilizar

teoras generales de la enseanza, el aprendizaje o la comunicacin; por el contrario, se

trata de elaborar modelos tericos locales para dar cuenta de los procesos que se desarrollan

cuando se ensea en el sistema educativo unos contenidos matemticos concretos a unos

alumnos concretos, y slo se pretende que esos modelos sean adecuados para los

fenmenos observados. Ahora bien, a la vez que se dice que el mbito de validez de los

modelos no se afirma que vaya ms all de los fenmenos observados, tambin se afirma

que la descripcin de los fenmenos que el modelo procura es profunda, compleja y

minuciosa, y, para ello, es preciso que los modelos tericos locales contemplen cuatro

componentes: el componente de competencia del Modelo Terico Local o, de forma

abreviada, el Modelo de competencia (formal, si es el caso); el componente de actuacin

del Modelo Terico Local o Modelo de actuacin (que, si hacemos la hiptesis de que las

actuaciones las podemos describir en trminos de procesos cognitivos, podemos denominar



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Modelo de cognicin); el componente de enseanza del Modelo Terico Local, o, Modelo

de enseanza; y, finalmente, el Componente de comunicacin del Modelo Terico Local o

Modelo de comunicacin.

Puig(2008) recalca que: El carcter local viene dado por el hecho de que el modelo se elabora para dar cuenta de los fenmenos que se producen en los procesos de enseanza y

aprendizaje de unos contenidos matemticos concretos a unos alumnos concretos y slo se

pretende que el modelo sea adecuado para los fenmenos observados. El carcter de

modelo viene dado, entre otras cosas, por el hecho de que no se hace la afirmacin fuerte de

que las cosas son tal y como las caracteriza el modelo, sino slo que, si las cosas fueran

como las caracteriza el modelo, los fenmenos se produciran como se han descrito. El

modelo tiene pues carcter descriptivo, explicativo y predictivo, pero no excluye que los

mismos fenmenos puedan describirse, explicarse y predecirse de otra manera (mediante

otro modelo). En esto se diferencia la pretensin de la elaboracin del modelo de la

pretensin que suele acompaar la elaboracin de una teora, que implica la exclusin de

cualquier otra teora que se avance para explicar los mismos hechos, a la que se combatir

como errnea. (Puig, 2008, p.12) Segn este autor los MTL se elaboran para dar cuenta de fenmenos que se producen en

situaciones de enseanza y aprendizaje, las cuales se entienden en este contexto como

situaciones de comunicacin y de produccin de sentido.

Resolucin de problemas del profesor o el modelo de actuacin en prctica docente

Segn Guerrero, Snchez y Lurduy (2000, 2005) constituye la resolucin de problemas un

aspecto fundamental de la prctica docente del profesor ya que indagando las concepciones

y creencias que ha desarrollado sobre ella, puede dar cuenta de qu tipo de gestin

curricular privilegia, en torno a lo declarado por l en su planeacin y diseo de

actividades, si es consistente con la gestin en el aula, cmo da cuenta de los aprendizajes

alcanzados por los estudiantes a partir de la evaluacin. De esta manera, la reflexin en la

prctica antes, durante y despus de la accin docente est mediada por la teora didctica

como herramienta en el anlisis de los procesos de enseanza y aprendizaje (Guerrero,

Snchez y Lurduy, 2005, p.3).

Contextos de aprender a ensear

A partir de las investigaciones sobre la formacin de los profesores sobre el pensamiento

del profesor en la formacin inicial algunos autores como Llinares (1997), Blanco (1996),

Flores (1998), se proponen el estudio del conocimiento profesional a partir de lo que estos

autores han denominado los contextos de Aprender a Ensear, tomando en cuenta el estudio

de distintos factores o variables de entrada como una manera de organizar Tareas

didcticas. En estudios recientes sobre prcticas en ltimos aos como se referencia a

Marcelo (2009) considera unos principios o preceptos que implicara considerar estos

contextos.

Segn este autor, estos preceptos se explicitan en los contextos de aprender a ensear en

comportamientos culturales y sociales en la formacin inicial de los profesores tanto en los

formadores como en los estudiantes para profesor, que se resumen en los siguientes

aspectos:

La formacin del profesorado es inevitablemente insuficiente y no puede preparar a los profesores para toda su larga carrera. Esto nos sugiere que la formacin del profesorado



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debe centrarse en cmo aprender de la experiencia y cmo construir conocimiento

profesional.

Aprender sobre la enseanza requiere una visin del conocimiento como una materia por construir en lugar de como contenidos ya creados.

Aprender a ensear requiere un cambio de nfasis desde el currculo hacia los alumnos: Un aspecto importante es que los profesores en formacin deben tener oportunidades para acceder a pensamientos y acciones de los docentes de

forma que les iluminen no slo las acciones de enseanza sino tambin los

sentimientos y las razones que justifican una prctica docente. Ello requiere

crear oportunidades para comprender lo que implica la planificacin de la

enseanza, el desarrollo de la enseanza, y reflexionar sobre ella (Korthagen et al., 2006, p. 1029, citado por Marcelo (2009)).

Aprender a ensear es un proceso que se construye a travs de la investigacin del profesor en formacin. Este principio descansa en la idea de que los profesores en

formacin pueden investigar sobre su propia prctica. Los profesores en formacin son

futuros profesionales que son capaces de dirigir su propio desarrollo profesional

investigando sobre su propia enseanza.

Aprender a ensear requiere trabajar con otros compaeros. Es importante que los profesores aprendan que la colaboracin con otros compaeros forma parte de la

profesin docente para romper el aislamiento caracterstico de la enseanza.

Aprender a ensear requiere relaciones significativas entre la escuela la universidad y los profesores en formacin. Los formadores de profesores deberan mantener una

relacin prxima con las escuelas y con la profesin docente.

El proceso de aprender a ensear se mejora cuando los enfoques de enseanza y aprendizaje promovidos en el programa de formacin son modelados por los

formadores de profesores de su propia prctica.

Descripcin de una experiencia en un curso de prctica docente de ltimo ao: el

prcticum reflexivo

1. El formato de la clase de prctica docente para generar razonamiento pedaggico y conocimiento prctico en el estudiante para profesor de matemticas

Adoptaremos aqu el enfoque de resolucin de problemas en la perspectiva de Charnay

(1994), para plantear lo que Guerrero, Snchez y Lurduy (2000) denominan La resolucin de problemas del profesor de matemticas. Este autor plantea unos momentos en el desarrollo de la situacin problemtica por parte del estudiante denominados Formulacin,

Argumentacin, Validacin e Institucionalizacin del conocimiento matemtico. En nuestra

interpretacin esto implica que, el profesor pone en juego distintos tipos de conocimientos

vinculados a la cognicin matemtica, la planeacin y diseo de actividades, la gestin en

el aula y la evaluacin por competencias de manera que en la transposicin didctica se

genere el contrato entre el y el alumno y las respectivas devoluciones. Asumiremos

entonces que en un primer momento el profesor se coloca en el papel de resolutor (hace

cognicin para comprender el problema, para formular conjeturas, dice que sabe sobre los

objetos matemticos involucrados en la situacin problemtica), luego investiga (procura

salirse del problema para buscar argumentos y razones matemticas que sustenten las



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conjeturas iniciales de sus alumnos) y por ultimo disea e implementa la situacin

problemtica (planea, disea, gestiona y evala).

Situacin problemtica

1. El profesor como resolutor (perspectiva cognitiva) Construya un proceso de solucin de la situacin problemtica, junto con la justificacin o

la manera como lo hizo. Debe incluir en ese proceso los razonamientos, conjeturas,

operaciones, etc y las razones matemticas que lo sustentan. (Formulacin, argumentacin,

validacin e institucionalizacin del proceso de solucin).

2. El profesor como investigador en el aula (Formula hiptesis de trabajo en el aula) Plantee que percibe que saben los alumnos de los grados 6, 7, 8, 9, 10 y 11 del colegio

acerca de los objetos matemticos vinculados a la situacin problemtica. Qu conjeturas,

razonamientos, operaciones, estrategias, etc. hacen los alumnos?

Enuncia referentes tericos para la planeacin de la situacin problemtica.

3. El profesor realiza la transposicin didctica Establece o fija los logros para los estudiantes con base en la situacin problemtica y los

referentes tericos.

Disea la situacin problemtica:

Enuncia la situacin problemtica.

Describe fases o momentos de desarrollo de la situacin problemtica.

Describe las actividades.

Propone preguntas orientadoras.

Gestiona la situacin problemtica, que implica, entre otras cosas, tener en cuenta formas de trabajo, tiempos, funciones del profesor y los alumnos, recomendaciones.

Selecciona estrategias de evaluacin, que implica precisar: que mirar de la situacin

problemtica, como mirarlo y como registrarlo.

Siguiendo estos pasos (1, 2 y 3) en el planteamiento anterior de enfoque en resolucin de

problemas del profesor, disee y desarrolle las siguientes situaciones problemticas:

2. Los problemas como pretexto para indagar por las concepciones de los EPM: el proceso de aprender a ensear en un curso de grado sptimo de educacin bsica

Situacin problemtica No 1

Semforos

Que necesitas: Papel, lpiz, regla

Martn Va y carolina Calle eran los ingenieros de trafico de la ciudad de Simpleton. Se lo

pasaron bomba diseando calles para que pasara el trafico de la ciudad, y construyeron

incluso una autopista que la rodeaba, pero ah fue donde comenz su gran problema.

Una de las calzadas de la autopista cruzaba la nueva carretera de circunvalacin, que a su

vez se cruzaba con muchas otras calles que tambin se cruzaban entre s. Estaba claro que

haba que poner semforos para que los coches no se chocaran pero, Cuntos semforos

hacan falta?

Vamos a dibujar un mapa, dijo Martn.



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Buena idea, contesto Carolina.

Pero se encontraron con que no saban cmo trazar el mapa de las carreteras y los

semforos.

Parece que vamos a necesitar un montn de semforos dijo Carolina, pero es dificilsimo hacer el mapa. Tiene que haber otro sistema para averiguar cuntos semforos

hacen falta.

Puedes ayudarles?

Puedes averiguar cuntos grupos de semforos haran falta para ocho calles que se

cruzaran entre s? Y para nueve calles, o 10, o 21, o...?

Niveles de interpretacin de la letra en los estudiantes de grado sptimo

Segn estudios de Kucheman (1978) citado por Pretexto (1996, 1999) las respuestas en

trminos algebraicos dadas por los estudiantes con relacin a la letra son las siguientes:

1) Letra evaluada: A la letra se le da un valor numrico sin tratarla como un valor desconocido

2) Letra no usada: Aqu la letra se ignora o a lo ms es reconocida, pero sin drsele algn significado

3) Letra como objeto: La letra es vista como un nombre para un objeto, o como el objeto propiamente dicho

4) Letra como incgnita: La letra se piensa como un nmero particular pero desconocido 5) Letra como nmero generalizado: La letra se ve como representante de varios valores, o

es capaz de tomar varios valores.

6) Letra como variable: La letra representa un rango de valores, y el muchacho es capaz de describir el grado con el cual los cambios en un conjunto se determinan por los cambios

en otro.

Es decir que lo esperado es que los estudiantes lleguen a las dos ltimas interpretaciones.

Otro modelo de clasificacin fue el presentado por el grupo Pretexto (1996, 1999) para la

bsqueda de patrones, los niveles correspondientes a esta clasificacin son los siguientes:

Nivel 0. No responde.

Nivel 1. No alcanza a encontrar el patrn de formacin en lo conceptual.

Nivel 2. Encuentra el patrn de formacin nicamente en lo perceptual.



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Nivel 3. Encuentra el patrn de formacin nicamente sobre lo concreto finito, es decir, para una posicin dada (nmero pequeo.

Nivel 4. Encuentra el patrn de formacin hasta lo concreto generalizado, es decir, para una posicin dada (nmero grande).

Nivel 5. Encuentra el patrn de formacin general y llega solo a verbalizarlo.

Nivel 6. Encuentra el patrn de formacin general, lo verbaliza y lo simboliza en lenguaje intermedio, es decir con una simbologa propia, pero con el lenguaje

algebraico formal.

Nivel 7. Encuentra el patrn de formacin general, lo verbaliza y lo simboliza en lenguaje algebraico formal.

Anlisis de las producciones de los estudiantes por los estudiantes para profesor de

matemticas (EPM)

Nivel 0: Ningn estudiante figura aqu dado que todos interpretan el enunciado y proponen

algun

acta ix carem (2012)

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