UNIDAD 3 CALCULO DIFERENCIAL 16.08.2015

UNIDAD 3

ACTIVIDAD 3

DERIVACION DE ORDEN SUPERIOR E IMPLICITA

ALUMNO: DAVID CEN SANTOS

Docente: MARIA MONICA CONTRERAS OLIVER

E-MAIL:FA1009377@unadmexico.mx

Grupo: BI-B CDI-1502S-B1-002

Matrícula: AS15588718

E-MAIL: DAVIDP051X@GMAIL.COM

Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita

Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.

1. Calcula la siguiente derivada de funciones implícitas, suponiendo que depende de .

a. .

ddxsen2 (xy )+ d

dxx y2= d

dxx3+1

Siendo u=senxddu

(u2)=2u

Entonces ddxsen2 (xy )=2¿

Siendo u=xyddusenu=cosu

Entonces ddx

( sen ( xy ) )=cosxy( ddx xy )2 senxy=2cosxy ( ddx xy) senxy

ddxuv= d

dxxy=vu ´+uv ´ u=x v= y

ddx

( sen ( xy ) )=x ( ddx y )+ y ( ddx x )2cosxysenxy=2cosxysenxy ( y ´ ( x ) x+( ddx x) y )¿2cosxysenxy ( y+xy ´ ( x ))

Siendo u=x v= y2

Entonces

ddxx y2=x( ddx y2)+ y2( ddx x)=x ( ddx y2)+( ddx x) y2

Con u= ydduu2=2u

Entonces

ddxx y2=2 y ( ddx y) x+( ddx x) y2

Entonces

ddxx y2= y ´ ( x )2xy+( ddx x) y2=2 xyy ´ (x )+( ddx x) y2= y2+2 xyy´ (x )

Ahora buscando

ddxx3+1=3 x2

Sustituimos

y2+2 xyy´ ( x )+2cosxysenxy ( y+xy´ ( x ) )=3x2

Realizando

(2cosxysenxy ) y+ y2+2 xcosxysenxyy ´ ( x )+2xyy ´ (x )=3 x2

2 xcosxysenxyy´ ( x )+2 xyy´ (x )=3x2− (2cosxysenxy ) y− y2

(2 xcosxysenxy+2xy ) y ´ ( x )=3 x2− (2cosxysenxy ) y− y2

y ´ ( x )=3 x2−(2cosxysenxy ) y− y2

(2xcosxysenxy+2 xy )

y ´ ( x )=3 x2− ysen (2xy )− y2

x (sen (2xy )+2 y )

2. Dada la siguiente función:

Calcular y .

Calcular y .

Para calcular f ´ (0 )=0

Si x=0 entonces por definición de derivada

f ´ (0 )=limh→0

f (0+h )−f (0)h

=limh→0

senhh

−1

h=limh→0

senh−h

h2

limh→0

f (h)

g (h)=limh→0

f ´ ´ (h)

g ´ ´ (h)

Siendo este:

f (h )=senh−h→ f ´ (h )=cosh−1→f ´ ´ (h )=−senh

g (h )=h2→g´ (h )=2h→g´ ´ (h )=2

Quedando:

f ´ (0 )=limh→0

senh−h

h2=limh→0

cosh−1

2h=limh→0

−senh

2=0

Por lo tanto f ´ (0 )=0

Si x≠0 entonces derivando la función ocupando la regla del cociente

f ( x )= senxx→f ´ ( x )= xcosx−senx

x2

Definidamente la f ´ ( x )

f ´ ( x )={xcosx−senxx2si x ≠0

0 si x=0

Hallar f ´ ´ (x) derivando la función x≠0 que es:

f ´ ( x )= xcosx−senxx2

Aplicando regla de derivadas para la división entonces queda

f ´ ´ ( x )=−x2 senx−2 senx+2xcosxx3

=−(x2−2 ) senx+2 xcosx

x3