Dinámica de las Estructuras (S-05) - Espectros de RespuestaM.I. Carlos Villaseñor M.

La variación de la respuesta de un sistema en el tiempo bajo varios tipos de excitaciones es un tema de interé s. para propósitodde análisis y diseño estructural, los valore máximos (sobre el tiempo) de la respuesta contienen información determinante, dadoque dichos valores máximo está relacionados con las fuerzas y desplazamientos máximos que una estructura debe resistir. Enconsecuencia es de interé s la obtención de los "valores pico" de la respuesta a los cuales nos referiremos como "respuestapico", definida como el valor máximo absoluto de la respuesta.

Por definición la respuesta pico es positiva, esto es que el signo algebraico quepudiera tener la cantidad es irrelevante para propósitos de diseño

Con la obtención de la respuesta pico de desplazamiento, es posible determinarlas fuerzas internas en los elementos estructurales mediante dos tipos deanálisis:

Con el desplazamiento lateral máximo se pueden obtener las demásdeformaciones de la estructura, luego las fuerzas en los nudos de laestructura por le mé todo de las rigideces.

En este segundo enfoque se considera la introducción de una fuerza estática equivalente, este mé todo es el concepto central en el análisis de respuestade las estructuras sometidas a sismo.

Concepto de Espectro de Respuesta

El concepto de espectro de respuesta fue introducido por primera vez en 1932 por M.A. Biot como un medio de caracterizar elmovimiento del suelo y sus efectos en la estructuras, ahora es un concepto central en la ingeniería sísmica en donde larespuesta espectral proporciona un medio conveniente de resumir las respuestas pico de todos los posibles sistema lineales de1 G.L. a un componente particular del movimiento del suelo.

En general la construcción de un espectro de respuesta consiste en la graficación de los valores pico de la respuesta de unsistema sometido a un acelerograma contra la frecuencia angular natural o la frecuencia cíclica natural o el periodo natural. Seconsideran varios valores de amortiguamiento.

Programación del Método Numérico para la Construcción de un Espectro de Respuesta deDesplazamiento

Tomando en cuenta el programa (función del mé todo de las 8 constantes) desarrollado en la sesión anterior (S-04),construiremos ahora otra función que utilice la función de las 8 constantes, una vez calculada la respuesta y almacenada en un

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Espctr D8 Const Δt Tn ms p ξ ωn

2 π

Tni

k ms ωn2

ωD ωn 1 ξ2

u u8 Const Δt p k ξ ωn ωD

upicoimax u

i 1 length Tn for

upico

vector de datos se localizará el valor pico de la respuesta.

Función de las 8 Constantes

Implementación de la función de espectro de respuesta:

Tenemos que cada periodo corresponde aun sistema con frecuencia y rigidezparticular. Por esta razón para cada ciclodebe calcularse dicho juego de parámetros.

Se llama a la función de las 8 constantes paraque calcule la historia en el tiempo derespuesta del sistema para cada periodo.

Luego para cada historia en el tiempo,obtenemos el valor pico correspondiente. Sealmacena cada valor en otro vector, queprecisamente el elemento que regresa elprograma

Ejemplo 1.Construya el espectro de respuesta para un sistema con las características que se especifican a continuación. Considere losvalores del periodo de 0 a 5s, con ΔTn 0.05s y el acelerograma de "El Centro" Δt 0.02s .

ξ 2% ms 800Tons2

m construyendo el vector de periodos: i 1 100 Tn1

0.05s Tni 1ΔTn Tni

Cargando el archivo del acelerograma: AcelEl CentroEl Centro Sismo de 1940 (02).txt

p ms AcelEl Centro g

i 1 rows AcelEl Centro 1 t1

0 ti 1 Δt t

i

Construyendo el vector del tiempo:

Llamamos la función para construir el espectro de respuesta uEsprt Espctr D8 Const Δt Tn ms p ξ

0 10 20 30

0.4

0.2

0.2

0.4

AcelEl Centro

t

Espectro de respuesta de desplazamiento:

Pág.- 2 26/Apr/2011 00:39

0 1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

uEsprt in( )1

Tn

Ejemplo 2.Con los mismos datos del ejemplo anterior construya el espectro de respuesta con las relaciones de amortiguamiento de 0%,2%, 5%, 10% y 20%

uEsprt' ξ( ) Espctr D8 Const Δt Tn ms p ξ

0 1 2 3 4 5 6

10

20

30

uEsprt' 0%( ) in( )1

uEsprt' 2%( ) in( )1

uEsprt' 5%( ) in( )1

uEsprt' 10%( ) in( )1

uEsprt' 20%( ) in( )1

Tn

Espectros de Desplazamiento, Pseudo-velocidad y Pseudo-aceleración

El valor pico del desplazamiento lo podemos lo denotaremos con "D", de acuerdoa esto por cada pico de desplazamiento podemos obtener una fuerza estáticaequivalente que correspondería a una fuerza máxima por ser calculada a partir deuna despeluzamiento máximo o pico, de modo que:

fS k D= pero ωnk

ms= k ms ωn

2=

fS k D= ms ωn2

D=

Donde "Sa" la denominaremos como pseudo-aceleración, se llama de estamanera porque aunque tiene las mismasunidades que la aceleración no es unaaceleración, se le antepone "pseudo" paradiferenciarla de la aceleración real delsistema.

La ecuación se asemejaa la ley de Newton, demodo que si laexpresamos ahora como

Sa ωn2

D= fS ms Sa=

Vb ms Sa=

Mb ms Aa h= Se observa que con solo obtener eldesplazamiento pico, podemos obtener lapseudo-aceleración y luego la fuerza estática oel cortante basal y el momento de volteo.

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Sv ωn D= Está relacionada con el valor pico de la energía de deformación almacenadaen una sistema durante un sismo.

Respecto a lapseudo-velocidad

Es01

2k D

2=

1

2k

Sv

ωn

2

=1

2ms ωn

2

Sv

ωn

2

=1

2ms Sv

2= La energía de deformación se

relaciona con la energía ciné ticapor medio de la pseudo-velocidad

Programas para cálculo de la Pseudo-velocidad y la Pseudo-aceleración:

Espctr Sv Tn D ωn

2 π

Tni

Sviωn D

i

i 1 length D( )for

Sv

Espctr Sa Tn D ωn

2 π

Tni

Sviωn

2D

i

i 1 length D( )for

Sv

en cada uno de estos programas seproporcionan los vectores, uno es elespectro de respuesta dedesplazamiento y el otro, el periodocorrespondiente, luego calcula lafrecuencia natural y regresan elresultado esperado.

Ejemplo 3.Utilice una gráfica logarítmica tripartita para representar el espectro de la pseudo-velocidad con ξ 2% . Considere los mismosdatos de los ejemplos anteriores. Utilice el programa DPlot.

ξ 2% ΔTn 0.01s i 1 5000 1 Tn10.01s Tni 1

ΔTn Tni

Calculando el espectro de respuesta para el despeluzamiento, pseudo-velocidad y la pseudo aceleración:

D Espctr D8 Const Δt Tn ms p ξ Sv Espctr Sv Tn D

Para utilizar la gráfica tripartita debemos exportar los datos a un archivo externos y utilizar un programa especial

Datos augment Tn s( )1

Svin

s

1

Espectro 01.dat

Datos

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La representación integrada de los tres espectros en la gráficalogarítmica tripartita es posible porque los tres espectros estáninterrelacionados de la siguiente manera:

Sa

ωnSv= ωn D=

Tn

2 πSa Sv=

2 π

TnD=

De modo que para Sv 0.391606in

s Tn 0.02s Sa

2 π

TnSv 0.318649 g D

Tn

2 πSv 0.0012465 in

Sv 37.48649in

s Tn 1s Sa

2 π

TnSv 0.610053 g D

Tn

2 πSv 5.9661602 in

Ejemplo 4.Obtenga la gráfica tripartita para valores de relación de amortiguamiento de 0%, 2%, 5%, 10% y 20%

Para resolver este problema es conveniente implementar una programa que ejecute de manera iterada la función de cálculo delespectro de respuesta. Este programa nos proporciona una matriz de salida con los datos para utilizarlos directamente en elprograma DPlot.

Espctrfam Sv Δt Tn ms p ξ unidad Datos Tn s( )1

D Espctr D8 Const Δt Tn ms p ξi

Sv Espctr Sv Tn D

Datos augment Datos Sv unidad( )1

i 1 length ξ( )for

Datos

Calcula de manera iterada para cadarelación de amortiguamiento que se leespecifique.

Calcula el espectro de pseudo-velocidad,este vector es suficiente para obtener lagráfica tripartita.

ΔTn 0.01s i 1 5000 1 Tn10.01s Tni 1

ΔTn Tni

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ξ 0% 2% 5% 10% 20%( )T Datos Espctrfam Sv Δt Tn ms p ξ

in

s

Espectro (Familia) (S-05) (E-04).da

Datos

Un espectro de respuesta debe cubrir una rango de de periodos naturales de vibración para varios valores de amortiguamientode modo que se tengan contemplados todos los tipos de estructuras posibles.

Recapitulando, la fuerza lateral o el cortantebasal de un sistema de 1 G.L. está dada por: fS ms Sa= fS

w

gSa=

fS

w

Sa

g= se refiere al espectro de

pseudo-aceleraciónnormalizada

Para obtener un programa que nos calcule la familia de curvas de pseudo-aceleración, utilizamos el mismo programa quecalcula la pseudo-velocidad haciendo un pequeño ajuste

Espctrfam Sa Δt Tn ms p ξ unidad Datos Tn s( )1

D Espctr D8 Const Δt Tn ms p ξi

Sa Espctr Sa Tn D

Datos augment Datos Sa unidad( )1

i 1 length ξ( )for

Datos

Aquí reemplazamos la función quecorrespondiente para el cálculo de lapseudo-aceleración.

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Ejemplo 5.Obtenga la familia de curvas del espectro de pseudo-aceleración normalizada o coeficiente de cortante basal

ξ

0

0.02

0.05

0.1

0.2

Datos Espctrfam Sa Δt Tn ms p ξin

s2

Extraemos los datos necesarios de la matriz de datos:

Sa ξ=0% Datos2 in

s2

Sa ξ=2% Datos3 in

s2

Sa ξ=5% Datos4 in

s2

Sa ξ=10% Datos5 in

s2

Sa ξ=20% Datos6 in

s2

0 1 2

1

2

3

4

Sa ξ=0%

g

Sa ξ=2%

g

Sa ξ=5%

g

Sa ξ=10%

g

Sa ξ=20%

g

Tn

Ejemplo 6.Obtenga el cortante basal del marco mostrado en la figura bajo las siguientescondiciones:

a) El cortante basal del marco tal como se muestra en la figura.b) El cortante basal del marco insertando un contraventeo en "X" con ϕcontrv 2.5in .

Considere el espectro de respuesta de pseudo-aceleración

Datos del problema:

ms 55Tons2

m ξ 5% E 1 10

6

kgf

cm2

h 2m L 3.5m

Iv 16274.649 cm4

Ic 41744.475 cm4

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0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sa ξ=5%

g

Tn

a) El cortante basal del marco tal como se muestra en la figura.

k12 E Ic Iv

h2

Ic L 2 Iv h 965.004

Ton

m ωn

k

ms4.189

rad

s ω 0.65 ωn 2.723

rad

s Tn

2 π

ωn1.5s

Del espectro de respuesta encontramosque la pseudo-aceleración es: Sa 0.18876

in

s2

entonces, el cortantebasal es:

Vb ms Sa 0.264 Ton

b) El cortante basal del marco insertando un contraventeo en "X" con ϕcontrv 2.5 in .

Analizando la rigidez lateral que proporciona el contraventeo:

PA E

Lδ= Fx 0= P

fs

cos θ( )= δ u cos θ( )=

fs

cos θ( )

A E

L'u cos θ( )( )= fs

A E

L'cos θ( )

2 u= kcntrv

A E

L'cos θ( )

2=

θ atanh

L

29.745 ° Aπ

4ϕcontrv

2 31.669 cm

2

Lcntrv L( )2

h( )2

403.113 cm

k12 E Ic Iv

h2

Ic L 2 Iv h

A E

Lcntrvcos θ( )

2 6887.345

Ton

m ωn

k

ms11.19

rad

s Tn

2 π

ωn0.561s

Del espectro de respuesta encontramosque la pseudo-aceleración es: Sa 0.82069

in

s2

entonces, el cortantebasal es:

Vb ms Sa 1.147 Ton

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