acciones dinamicas s-01 - ec .de movimiento

Dinámica de las Estructuras (S-01) - Ecuaciones de Movimiento, Planteamientodel Problema de Análisis Dinámico de Estructuras

En la parte inicial de este curso de dinámicas de lasestructuras, el problema es formulado medianteestructuras simples que pueden ser idealizadas con unamasa conectada a una columna empotrada.

A estos sistemas nos referimos como estructuras de unsolo grado de libertad, es decir, que para realizar elplanteamiento del problema de el análisis dinámico,consideraremos un solo grado de libertad: eldesplazamiento lateral de las estructura. Lo cualimplicará encontrar la rigidez en la dirección de dichogrado de libertad: la rigidez lateral de la estructura o elelemento que sostiene la masa.

La ecuación básica que gobierna el desplazamiento lateral u t( ) de este tipo idealizado deestructura sin excitación externa ya sea por una fuerza o por sismo es:

es la segunda derivada del desplazamientocon respecto al tiempo y dicha derivada definela aceleración

a2

tu t( )

d

d

2=

m2

tu t( )

d

d

2 k u t( ) 0= m

2t

u t( )d

d

2

es la segunda ley de Newton F m a=

k es la rigidez lateral de la columna

Si resolvemos esta ecuacióndiferencial obtendremos la siguientefunción, que corresponde a unavibración libre que continúa parasiempre y este tipo de sistemaidealizado nunca ocurre en la realidad.

sin embargo, la intuición sugiere que en una estructura real, cuando es sometida a una excitación, la amplitud de la oscilacióndecrece con el tiempo hasta que eventualmente la estructura llega al reposo:

Respuesta de un modelo experimental de un grado delibertad hecho con plástico

Respuesta de un modelo experimental de un grado delibertad hecho con aluminio

Pág.- 1 08/Aug/2012 20:22

El proceso por el cual la vibración disminuye en amplitud en forma continua es llamado "amortiguamiento". En elamortiguamiento la energía cinética de la vibración es disipada por varios mecanismos que se mencionarán más adelante.

La ecuación de movimiento, considerando el efecto deamortiguamiento quedaría como: m

2t

u t( )d

d

2

cx

u t( )d

d

k u t( ) 0=

Revisando cada uno de los términos de la ecuación:

Relaciones Fuerza - Desplazamiento para Desplazamiento Lateral

Analizaremos el tercer término de la ecuación de movimiento:

Modelos de "Péndulos Invertidos"

Considerando el modelo de una masa conectada a una columna empotrada, podemos analizar larelación fuerza desplazamiento utilizando el método del trabajo virtual:

δQ 1

M x( ) PA x PA δMν x( ) δQ x x

ΔVA1

δQ0

L

xδMν x( )M x( )

E I

dL

3PA

3 E I

L

ΔVA

L3

PA

3 E I fVA

ΔVA

PA

L3

3 E I

ΔVA

PA

se obtuvo la relación fuerza desplazamiento por la flexibilidad Δ1

kP= P k Δ= k

1

fVA

3 E I

L3

1

fVA

de modo que la ecuación quedaríaexpresada como: m

2t

u t( )d

d

2

3 E I

L3

u t( ) 0= m2

tu t( )

d

d

2

cx

u t( )d

d

3 E I

L3

u t( ) 0=

Masas conectada a resortes

Esta clase de modelos tienen, la rigidez es directamentela constante del resorte, aquí lo interesante es cuandodichos sistema están constituidos por más de un resorteen una configuración paralela o en serie, entonces larigidez total o efectiva del sistema se debe calcularconsiderando los siguiente

Cuando los resortes están el serie

El desplazamiento total es la suma delos alargamientos de cada resorte:

utot δ1 δ2=

pero la fuerza en cada resorte debeser la misma

fs fk1= fk2=

fs k1 δ1= k2 δ2= δ1

fs

k1= δ2

fs

k2= Given

fs

ktot

fs

k1

fs

k2= ktot Find ktot simplify

k1 k2

k1 k2ktot

Pág.- 2 08/Aug/2012 20:22

Cuando los resortes están el paralelo

El desplazamiento total es elmismo en cada resorte

utot δ1= δ2=

pero la fuerza total que se aplica alsistema es la suma de la fuerza encada resorte

fs fk1 fk2=

fs

ktot

fk1

k1=

fk2

k2= fk1

fs k1

ktot= fk2

fs k2

ktot= Given fs

fs k1

ktot

fs k2

ktot= ktot Find ktot simplify k1 k2ktot

Marco de un Solo Nivel

Los marcos de un solo nivel también puedes se modelados como estructuras de un solo grado de libertad. Tenemos 3 casos deanálisis:

1.- Rigidez del cabezal es cero: E Iv 0= , A E

L∞=

Observamos que la parte superior de las columnapuede rotar libremente por lo que la rigidez lateralcorrespondiente de cada columna es:

k3 E I

L3

y considerando los resultados obtenidos con losresortes, dichas columnas actúan como losresortes en paralelo, entonces

klat 2 k( )6 E I

L3

2 k( )

2.- Rigidez del cabezal es infinita: E Iv ∞= , A E

L∞=

MA

PA

Plat

4 E I

L

0

6 E I

L2

0

A E

L

0

6 E I

L2

0

12 E I

L3

0

0

Δlat

6 E I Δlat

L2

0

12 E I Δlat

L3

E

tenemos que la relación fuerza desplazamiento lateral estará dadopor la configuración en "paralelo" de las rigideces de las doscolumnas:

Plat12 E I

L3

Δlat= klat 212 E I

L3

24 E I

L3

E

2.- Rigidez del cabezal es finita mayor que cero: E Iv a E Ic = , A E

L∞= E Iv

Tenemos que la rigidez lateral del marco depende queda en funciónde las rigideces de los demás grados de libertad. Aplicaremos elmétodo de la condensación estática:

Pág.- 3 08/Aug/2012 20:22

E Iv

En este ejemplo consideraremos quelos elementos tienen rigidez axialinfinita, por lo tanto los grados delibertad de la estructura se reducen a 3,entonces la relaciónfuerza-desplazamiento de todo el marcoqueda como:

El sistema de ecuaciones lo podemos expresar de la siguientemanera también:

fS

24 E Ic

h3

6 E Ic

h2

6 E Ic

h2

u1

u2

u3

=

fS

0

0

24 E Ic

h3

6 E Ic

h2

6 E Ic

h2

6 E Ic

h2

4 E Iv

L

4 E Ic

h

2 E Iv

L

6 E Ic

h2

2 E Iv

L

4 E Iv

L

4 E Ic

h

u1

u2

u3

=

0

0

6 E Ic

h2

6 E Ic

h2

u1

4 E Iv

L

4 E Ic

h

2 E Iv

L

2 E Iv

L

4 E Iv

L

4 E Ic

h

u2

u3

=

tomando la segunda expresión y despejando...

6 E Ic

h2

6 E Ic

h2

u1

4 E Iv

L

4 E Ic

h

2 E Iv

L

2 E Iv

L

4 E Iv

L

4 E Ic

h

u2

u3

= despejando para obtener los grados de libertas 2 y 3 en función delprimer grado de libertad (desplazamiento lateral):

u2

u3

4 E Iv

L

4 E Ic

h

2 E Iv

L

2 E Iv

L

4 E Iv

L

4 E Ic

h

1

6 E Ic

h2

6 E Ic

h2

u1

simplify

9 Iv u1

4 Ic L 6 Iv h

3 u1

2 h

9 Iv u1

4 Ic L 6 Iv h

3 u1

2 h

Iv

sustituyendo en la primer ecuación....

24 E Ic

h3

6 E Ic

h2

6 E Ic

h2

u1

u2

u3

simplify12 E Ic u1 Ic L 6 Iv h

h3

2 Ic L 3 Iv h fs Ic Iv E L h u1

12 E Ic Ic L 6 Iv h

h3

2 Ic L 3 Iv h

u1

Si tenemos las siguientes característicasdel marco:

Iv Ic Ic L 2 h h fs Ic Iv E L h u1 simplify96 E Ic u1

7 h3

Pág.- 4 08/Aug/2012 20:22

Fuerza de Amortiguamiento

El proceso por el cual la amplitud de la vibracióndisminuye de manera sostenida en el tiempo, esllamada amortiguamiento.

Con el amortiguamiento, la energía de vibración deun sistema es disipada por uno o variosmecanismos que pueden actuar al mismo tiempo,entre ellos tenemos lo siguientes:

Disipación de energía por calor debido a cargas y descargas cíclicas de loselementos estructurales y por fricción interna por deformaciónFricción entre las conexiones de los elementos.Apertura y cierre de microgrietas en el concreto.Fricción entre los elementos no estructurales....Y mucho otros más mecanismos pueden estar presentes...

Es un hecho que en el estado actual de conocimientos resulta casi imposible modelarmatemáticamente todos lo mecanismo de disipación de energía de vibración involucrados.Por esa razón actualmente el amortiguamiento se modela de forma muy simplificada poramortiguadores viscosos o amortiguadores de aire. El coeficiente de amortiguamientoequivalente es especificado de modo tal que la energía que disipa es equivalente a la energíadisipada por todos lo mecanismos presentes en un momento dado.

fd cx

u t( )d

d

=

Ecuación de Movimiento: Fuerzas Externa

p t( ) m2

xu t( )

d

d

2

fD fS 0= m2

xu t( )

d

d

2

fD fS p t( )=

Segunda ley de Newton: deacuerdo a los diagramasde cuerpo libre: Esta ecuación gobierna la deformación o

desplazamiento de una estructura elástica linealsujeta a una fuerza dinámica externa.Las unidades de la masa son fuerza/aceleración

m2

xu t( )

d

d

2

cx

u t( )d

d

k u t( ) p t( )=

Desplazamiento: u Velocidad: x

ud

dAceleración:

2x

ud

d

2

Pág.- 5 08/Aug/2012 20:22

Ecuación de Movimiento: Excitación por SismoEn zonas de riesgo sísmico, el principal problema delanálisis dinámico de las estructuras es el comportamientosujeto al movimiento inducido por los temblores en labase de la estructura. El desplazamiento del terreno esdenotado por ugy el desplazamiento total de la estructura

estará dado por:

utot

utot t( ) u t( ) ug t( )=

Aplicando el equilibriodinámico tenemos: fI fD fS 0=

El único movimiento relativo entre la masa yla base dela estructura es debido aldesplazamiento que produce fuerzaselástica y el amortiguamiento, por lo tantolas ecuaciones de movimiento planteadasanteriormente siguen siendo válidas,tomando en cuenta que:

fI m2

xutot t( )

d

d

2

= fI fD fS 0= m2

xutot t( )

d

d

2 c

xu t( )

d

d

k u t( ) 0=

m2

xu t( ) ug t( ) d

d

2

cx

u t( )d

d

k u t( ) 0=

comparando con las ecuaciones de movimiento, esta ecuaciónmuestra que el movimiento de la estructura está sujeto a dosexcitaciones por separado:

m2

xu t( )

d

d

2

cx

u t( )d

d

k u t( ) m2

xug t( )

d

d

2

=

la aceleración del terreno 2

xug t( )

d

d

2 y la fuerza externa m

2x

ug t( )d

d

2

, estas excitaciones son una y la misma.

Se observa que la fuerza externa m2

xug t( )

d

d

2

, actúa en sentido contrario a la aceleración del terreno. Es importante reconocer

que la fuerza efectiva inducida por el sismo es proporcional a la masa de la estructura, entonces el ingeniero estructuristaincrementará dicha fuerza si la estructura aumenta de peso y subsecuentemente su masa.

utot

Componente rotacional del sismo

Aunque al componente rotacional de un movimiento sísmico no esmedido durante un evento, éste puede ser obtenido mediante lascomponentes traslacionales de la estructura y es de interés alaplicar los conceptos precedentes: =utot t( ) u t( ) h θg t( )=

m2

xu t( )

d

d

2

cx

u t( )d

d

k u t( ) m2

xθg t( )

d

d

2

= Base estacionaria

Pág.- 6 08/Aug/2012 20:22

Ejemplo 1

Una losa uniforme y rígida con masa total "m" es soportada por cuatro columnas de altura "h", conectadas de forma muy rígida a lalosa y al sistema de cimentación, los segundos momentos correspondientes son Ix e Iy. Encuentre la ecuación de movimiento delsistema sujeto a rotación del terreno ugθ. Desprecie la masa de las columnas y no considere el amortiguamiento.

Planteando el equilibrio dinámico

fI MS 0= fI I0 2x

uθ tot t( )d

d

2

= uθ tot t( ) uθ ugθ=

I0 m b2

d2

=

I0 2x

uθ t( ) ugθ t( ) d

d

2

para encontrar la rigidez,debemos plantear la suma de lo momentos de las fuerzas que resisten el desplazamiento proporcionadaspor las columnas debido al desplazamiento relativo al suelo: uθ

f'S col x kxd

2 uθ= kx

d

2=

ky

12 E Ix

h3

= kx

12 E Iy

h3

= y tomando en cuenta que tenemos desplazamientopequeños, tenemos que la fuerza resistente de lacolumna al desplazamiento lateral estará dado por f'S col y ky

b

2 uθ= ky

b

2=

el momento resistente MS 2 kxd

2

d

2

2 kxd

2

d

2

2 kyb

2

b

2

2 kyb

2

b

2

= 4 kxd

2

2

4 kyb

2

2

=

MS12 E Iy

h3

d2

12 E Ix

h3

b2=

I0 2x

uθ t( ) ugθ t( ) d

d

2

12 E Iy

h3

d2

12 E Ix

h3

b2

0=

I0 2x

uθ t( )d

d

2

12 E Iy

h3

d2

12 E Ix

h3

b2 I02

xugθ t( )

d

d

2

=

Método de solución

Solución clásica

Para encontrar la solución complementaria, se utilizará el método que utiliza una ecuación auxiliar cuyas raíces corresponderán alas siguientes soluciones:

1.- Cuando las raíces son reales ydistintas:

yc x( ) c1 em1 x

c2 em2 x

... cn emn x

=

2.- Cuando las raíces son idénticas: yc x( ) c1 e m xc2 x e

m x c3 x

2 e

m x ... cn x

k 1 e

mx=

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3.- Cuando las raíces son númerocomplejo de la forma demultiplicidad k:

m1 α β i=yc x( ) e

α xc1 sin β x( ) c2 cos β x( ) c3 x sin β x( ) c4 x cos β x( )

c5 x2

sin β x( ) c6 x2

cos β x( ) ...

cn xk 1

sin β x( ) cn+1 xk 1

cos β x( )

=

m2 α β i=

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

1.- 32

xy x( )

d

d

2

xy x( )

d

d 0= ecuación auxiliar: ED m( ) 3m

2m E'D ED m( ) coeffs

0

1

3

polyroots E'D 0

1

3

y x( ) c1 c2 e

1

3x

c1 32

xy x( )

d

d

2

xy x( )

d

d 0

1.-2

xy x( )

d

d

23

xy x( )

d

d

0= ecuación auxiliar: ED m( ) m2


0

3

1

polyroots E'D 0

3

y x( ) c1 c2 e3x

c1 2x

y x( )d

d

23

xy x( )

d

d

0

2.- 22

xy x( )

d

d

2 5

xy x( )

d

d

0= ED m( ) 2m2


0

5

2

polyroots E'D 5

2

0

y x( ) c1 e

5

2x

c2 c1 22

xy x( )

d

d

2 5

xy x( )

d

d 0

3.-2

xy x( )

d

d

2

xy x( )

d

d 6 y x( ) 0= ED m( ) m

2m 6 E'D ED m( ) coeffs

6

1

1

polyroots E'D 2

3

y x( ) c1 e2 x

c2 e3x

c1 2x

y x( )d

d

2

xy x( )

d

d 6 y x( ) 0

4.- 22

xy x( )

d

d

2 3

xy x( )

d

d 4 y x( ) 0= ED m( ) 2m


4

3

2

polyroots E'D 0.75 1.199i

0.75 1.199i

y x( ) e

x

4c1 sin

6

5x

c2 cos6

5x

c1

5.-2

xy x( )

d

d

24

xy x( )

d

d 5 y x( ) 0= ED m( ) m


5

4

1

polyroots E'D 2 i

2 i

y x( ) e2x

c1 sin x( ) c2 cos x( ) c1

3.- 32

xy x( )

d

d

2

2x

y x( )d

d y x( ) 0= ED m( ) 3m

22 m 1 E'D ED m( ) coeffs

1

2

3

polyroots E'D 0.333 0.4

0.333 0.4

y x( ) e

x

3sin

2

3x

sin2

3x

Pág.- 8 08/Aug/2012 20:22

Para la solución particular, se utilizará el método de los coeficientes indeterminados con operadores diferenciales (D) de maneraque se debe identificar en el miembro a la derecha de la igualdad las siguientes condiciones:

1.- El op. diferencial: Dn anula a: 1 x x

2 x

3 ... x

n 1

2.- El op. diferencial: D α( )n anula a: e

α xx e

α x x

2e

α x .... x

n 1e

α x

eα x

sin β x( ) x eα x

sin β x( ) x2

eα x

sin β x( ) ... xn 1

eα x

sin β x( )3.- El op. diferencial: D

22α D α

2β

2

nanula a:

eα x

cos β x( ) x eα x

cos β x( ) x2

eα x

cos β x( ) ... xn 1

eα x

cos β x( )

Estos operadores diferenciales se consideran dela misma manera que las ecuaciones auxiliares,es decir, que las condiciones de sus raíces nos

proporcionan la estructura de la solución particular

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas:

1.-2

xy x( )

d

d

29 y x( ) 54= ED m( ) m

29 E'D ED m( ) coeffs

9

0

1

polyroots E'D 3

3

yc x( ) c1 e3 x

c2 e3 x

c1 para la solución particular... D 54( ) 0= D 0= yp x( ) c3 e0 x

c3 c3

2x

yp x( )d

d

29 yp x( ) 54= 9 c3 54= solve c3 6 y x( ) c1 e

3 x c2 e

3 x 6 c1

2.-2

xy x( )

d

d

28 y x( ) 5x 2e

x= ED m( ) m


8

0

1

polyroots E'D i

i

2 2

yc x( ) c1 sin 2 2 x c2 cos 2 2 x c1 ED m( ) m2

m 1( ) E'D ED m( ) coeffs

0

0

1

1

polyroots E'D 1

0

0

yp x( ) c3 ex

c4 c5 x c3 sustituyendo en la ecuación diferencial:

2x

yp x( )d

d

28 yp x( ) 5x 2e

x= 8 c4 9 c3 e

x 8 c5 x 5 x 2 e

x= c4 0 9 c3 e

x 2 e

x= solve c3

2

9

8 c5 x 5 x= solve c55

8

y x( ) c1 sin 2 2 x c2 sin 2 2 x 2

9e

x

5

8x c1

2.-2

xy x( )

d

d

2y x( ) x cos x( )= ED m( ) m


1

0

1

polyroots E'D i

i

Pág.- 9 08/Aug/2012 20:22

yc x( ) c1 sin x( ) c2 cos x( ) c1

α 0 β 1 n 2 ED m( ) m2

β2

n

E'D ED m( ) coeffs

1

0

2

0

1

polyroots E'D

i

i

i

i

Pág.- 10 08/Aug/2012 20:22

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