Acción de los terremotos sobre los edificios de varios pisos

Normalmente los terremotos de gran magnitud tienen un efecto devastador sobre los edificios

Modelo de los desplazamientos de los pisos de un edificio.

En este proyecto trataremos de modelar el efecto de un terremoto sobre un edificio de varios pisos, para después resolver e interpretarlo matemáticamente. Supondremos que el i-ésimo piso de un edificio tiene masa mi, y que los adyacentes están unidos por un conector elástico, cuya acción se parece a la del resorte. En el caso nominal, los elementos estructurales de los grandes edificios son de acero, que es un material muy elástico. Cada unión suministra una fuerza de restitución cuando los pisos se desplazan entre sí. Supondremos que es válida la Ley de Hooke, cuando la constante de proporcionalidad es k i, entre los pisos i-ésimo e (i+1¿-ésimo. Esto es, que la fuerza de restitución entre esos dos pisos es

F=k i(x i+1−x i)

donde x i representa el desplazamiento horizontal del i-ésimo piso, respecto del equilibrio, y x i+1−x i es el desplazamiento del (i+1)-ésimo, en relación con el i-ésimo piso. También supondremos que hay una reacción similar entre el primer piso y el suelo, y que su constante de proporcionalidad es k 0. La figura 1 muestra un modelo de edificio con npisos, mientras que la figura 2 indica las fuerzas que actúan sobre el i-ésimo piso. Es posible aplicar la segunda ley de Newton del movimiento, F=ma, a cada sección del edificio, para llegar al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

m1 x' '1=−k0 x1+k1 (x2−x1 )

m2 x' '2=−k1 (x2−x1)+k2 (x3−x2)

. . (1)

. .

. .

mn xn' '=−k n−1( x¿¿n−xn−1)¿

Edificio de dos pisos

Como ejemplo sencillo, un edificio de dos pisos, cada uno con masa m=5000kg, y con constante de restitución k=10,000kg /s2. En este caso, el sistema de ecuaciones diferenciales (1) se simplifica así:

x1´ ´=−4 x1+2 x2

x2´ ´=2x1−2 x2 (2)

Se debe demostrar que una solución oscilatoria de las ecuaciones (2) es

x1 (t )=c1 cosω1t+c2 senω1t+c3ω2t+c3 cosω2+c4 senω2t

x2 ( t )=12

(4−ω12 )c1cosω1 t+12

(4−ω12 )c2 senω1t+12

(4−ω22 )c3 cosω2t+12

(4−ω22 )c2 senω2 t .

También, se tiene que determinar los valores en ω1 y ω2

En términos de matrices

X=(x1 (t )x2 (t )⋮xn (t ))

M=¿

K=¿

0 0 … 00 … 0

0 … 0

0 0 0 0 …

el sistema (1) se escribiría en la forma

M X ' '=KM .

A las matrices M yK se les llama matriz de masa y matriz de rigidez n×n del edificio, respectivamente. La matriz M es diagonal, donde la masa del i-ésimo piso del edificio es el i-ésimo elemento diagonal. Como la matriz M tiene inversa

m10⋮0

0m200

…………

00⋮mn

M=¿

Llegamos a la ecuación matricial de un sistema homogéneo de segundo orden, en la forma normal

X ´ ´=AX

La matriz de coeficientes en esta ecuación es A=M−1K .

Los valores propios de A indican la estabilidad del edificio durante un terremoto. Son negativos y distintos. Las frecuencias naturales del edificio son las raíces cuadradas de los valores propios, pero negativos. Si λ i es el i

-ésimo valor propio de A, entonces ωi=√−λies la i-ésima frecuencia siendo i=1 ,2 ,…,n . Durante un

terremoto, se aplica una gran fuerza horizontal a la planta baja. Si esta fuerza es de naturaleza oscilatoria; por ejemplo, de la forma F ( t )=Gcosγt , donde G es una matriz columna de constantes, se desarrollarían grandes desplazamientos en el edificio, en especial si la frecuencia γ del término a la fuerza F se aproxima a una de las frecuencias naturales, ωi , del inmueble.