aa fisica_laboratorio i

LABORATORIO DE FISICA I

EXPERIMENTO N0 1

CALCULO DE ERRORES

1. Objetivo: Conocer y hallar el error de ciertas mediciones

hechas en el laboratorio. estudiar conceptos básicos sobre medidas aplicar los conceptos relativos a la teoría de la

medición y errores, a la medida y cálculos numéricos de cantidades obtenidas por observación.

hallar el valor más probable de una magnitud. Describir, identificar y reconocer los diversos

instrumentos de medida, e interpretar sus lecturas mínimas.

Explicar el grado de precisión y propagación de incertidumbres en los procesos de mediciones.

2. Equipos, instrumentos y materiales:

2.1 Una regla graduada en mm2.2 Un vernier (pie de rey).- Se utiliza para medir los diámetros

de cilindros, cuerpos esféricos y profundidades.2.3 Un micrómetro (Palmer).-también llamado tornillo

micrométrico sirve para medir espesores de platinas y diámetros pequeños.


2.4 Un cronómetro2.5 Una balanza.- sirve para medir las masas o pesos y verificar

el valor relativo de su fuerza dependiente del momento de fuerza a la inercia (centro).

2.6 Una lámina de plástico de 5x10 cm.2.7 Un cilindro metálico2.8 Una esfera metálica2.9 Arena2.1 0 Equipo para ¨Péndulo Simple¨

Un soporte base Una varilla de 50 cm Una varilla de 10 cm. Una nuez Cuerda Una pesa de 10 gr.

3. Base Teórica:

3.1. IntroducciónSiempre es importante medir pues siempre se busca conocer las dimensiones de objetos y entre objetos para el estudio de muchas áreas de aplicación aprenderemos a conocer el error que existe cuando se está efectuando una medición a un determinado objeto para esto aplicaremos formulas para hallar errores de medición.


Todas las medidas tienen errores experimentales (accidentales y sistemáticos) por la sensibilidad del instrumento. Es imposible conocer el valor verdadero X de una magnitud.La teoría de errores, establece los límites entre los cuales debe estar esa cantidad X. El error en las medidas, tiene un significado diferente a “equivocación”; toda medición tiene error.

3.2. Conceptos básicos

3.2.1. Magnitud.- Es todo lo que se puede medir, esto es, todo lo que se puede representar por un número.Ejemplo: longitud, tiempo, volumen, velocidad, aceleración, energía, fuerza, etc.

3.2.2. Medición.- Es la acción de poner un valor numérico a alguna propiedad de un cuerpo, como longitud o área. Estas propiedades son las magnitudes físicas, que se cuantifican por comparación con un patrón o con partes de un patrón.

Ejemplo: longitud, tiempo, temperatura, etc.

3.2.3. Unidad de medida.- Es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física.

3.2.4. Sistemas de unidades.- Es un conjunto, consistente de unidades de medida.Sistema Internacional de Unidades o SI.- Establece siete unidades básicas con sus múltiplos y submúltiplos correspondientes a siete magnitudes fundamentales.


Las magnitudes fundamentales son dimensionalmente:

Longitud (L), Masa (M), Tiempo (T), Intensidad de corriente

eléctrica (I), Temperatura absoluta (0K), Intensidad luminosa (J),

Cantidad de materia (N).

El SI, debería ser el único sistema de unidades pero no lo es, existen otros sistemas de unidades que todavía se usan, como el Métrico Decimal, el Cegesimal o CGS, el Natural, en este último las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan exactamente 1, el Técnico de Unidades o Gravitacional, y el Inglés, por lo cual es recomendable estar familiarizado con estos otros sistemas y las técnicas de conversión de un sistema a otro.

A las siete magnitudes fundamentales se le añade dos magnitudes complementarias: Angulo plano y Angulo sólido.


La demás magnitudes que se relacionan con las fundamentales mediante fórmulas, se denominan magnitudes derivadas.

3.2.5. Cifras significativas.- Son los dígitos de un número distintos de cero.

Regla Ejemplo

Son significativos todos los dígitos distintos de cero

2433, tiene cuatro cifras significativas

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos

402, tiene tres cifras significativas

Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra significativa no son significativos

0,0008, tiene una cifra significativa

Para números mayores a 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos

1,000, tiene tres cifras significativas


Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica.

7 x 102 tiene una cifra significativa7,0 x 102tiene dos cifras significativas

Notación científica.- Es el modo conciso de representar un número utilizando potencias de base diez (10). Los números se escriben como un producto: ax10n, (siendo a un número mayor o igual que 1 y menor o igual que 10, y n un número entero). Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Tabla 1: Denominación del prefijo y su equivalencia.

Prefijo Símbolo

Equivalencia

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo K 103

Hecto H 102

Deca da 101

Deci D 10-1

Centi C 10-2


Mili M 10-3

Micro µ 10-6

Nano N 10-9

Pico P 10-12

Femto F 10-15

Atto A 10-18

Cualquier número seguido de ceros puede expresarse como el producto de dicho número multiplicado por una potencia de 10 con exponente positivo, Ej.,

5000 = 5 x 1000 = 5 x 103

400 = 4 x 100 = 4 x 102

30000 = 3 x 10000 = 3 x 10 4

Cualquier número decimal con parte entera nula, puede expresarse como el producto de sus cifras decimales diferentes de cero multiplicado por una potencia de 10 con exponente negativo, Ej.,

0,002= 21000

= 2103

=2× 1103

=2×10−3

0,05= 5100

= 5102

=5× 1102

=5×10−2

3.2.6. Operaciones aritméticas con cifras significativas


Suma: La suma de dos o más medidas no debe ser más precisa que la menos precisa de las medidas.Ejemplo: Se tienen que sumar las siguientes medidas: 2,361 m; 8,16 m y 3,1 m, matemáticamente hablando, podríamos sumarlas de la siguiente manera,

2,361 m +8,16 m3,1 m

--------------13,621 m

Debemos considerar que estamos sumando medidas y la operación anterior no es correcta, ya que no podemos asumir que en la medida 8,16 m la cifra de las milésimas sea un cero, pues en realidad no lo sabemos. La misma situación se presenta con la medida 3,1 m ¿qué hacer entonces?, simplemente presentar todas la medidas con el mismo grado de precisión que la menos precisa de las mismas.

2,361 m 2,361 m 2,4 m 8,160 m 8,16x m 8,2 m 3,100 m 3,1xx m 3,1 m --------------- ------------- ------------ 13,621 m 13,5xx m 13,7 m

La suma de la derecha es fiable, ya que es el resultado de una suma de medidas fiables. Sin embargo, la suma de la izquierda no lo es, ya que desconocemos las cifras señaladas con x.Resta: La diferencia de dos medidas no debe ser más precisa que la menos precisa de las mismas.Ejemplo: Dadas las siguientes medidas 56,38 cm y 5,2 cm, encontrar su diferencia.


56,4 cm -5,2 cm

-------------51,2 cm

Producto: El producto de dos o más medidas no debe tener más cifras significativas que la medida que tiene el menor número de ellas.Ejemplo: Calcular la superficie de una pieza rectangular de 4,34 m de largo por 1,2 m de ancho.

(4,34 m)(1,2 m) = 5,208 m2 → resultado 5,2 m2

Cociente: El cociente de dos medidas no debe tener más cifras significativas que la medida que tiene el menor número de ellas.Ejemplo: Determinar la rapidez media de un móvil que recorre 8,825 m en 2,31 s.

V=8,825m2,31 sg

=3,82034 msg→resultado3,82 m

sg

Potenciación: Al elevar una medida a un exponente n, en el resultado se conservan tantas cifras significativas como tiene la medida.Ejemplo: Determinar el volumen de un cubo de 1,25 m de lado.

V = (1,25 m)3= 1,953125 m3 → resultado 1,95 m3

Radicación: Al extraer la raíz de una medida, en el resultado se conservan tantas cifras significativas como tiene la medida.Ejemplo: Una pieza cuadrada tiene una superficie de 2,38 mm2. Determinar la longitud de sus lados.


L=√2,38mm2= 1,54272... mm → resultado 1,54 mm2

Reglas de redondeo de númerosHemos visto en los ejemplos anteriores, la necesidad de eliminar dígitos que carecen de sentido, esto se conoce con el nombre de redondeo de números, y se aplica según las siguientes reglas:a) Si la cifra a eliminar es menor que 5, se procede a su

eliminación sin más.b) Si la cifra a eliminar es mayor que 5, se aumenta en una

unidad la última cifra retenida.c) Si la cifra a eliminar es 5, y la que le antecede es impar, se

aumenta ésta en una unidad y si es par se deja como está.También se utiliza la siguiente regla: si la cifra a eliminar es menor que 5, la última cifra retenida se queda igual. Si la cifra a eliminar es 5 o mayor que 5 entonces se aumenta en una unidad la última cifra retenida.Las calculadoras al redondear utilizan este método, compruébalo .Ejemplo: Redondear los siguientes números a las centésimas,


2,347..............2,354,374..............4,371,775..............1,788,865..............8,866,498..............6,503,295..............3,30,073..............0,070,089..............0,090,096..............0,10,999..............10,008..............0,016,089..............6,09 34,3579..........34,36 2,57999..........2,58234,878......... 234,88 0,00973......... 0,01

3.3. Clasificación de los errores

Si la medida de una magnitud se efectúa repetidas veces se obtienen generalmente diversos valores, aunque no muy distintos entre sí.3.3.1. Errores groseros, son los que afectan a las medidas que se separan notablemente del “conjunto” y deben desecharse de inmediato.3.3.2. Errores tolerables, son los que perduran una vez excluidos los errores groseros de la serie de mediciones y dan razón de la diversidad de valores hallados. Pueden atribuirse a diversas causas y se las clasifica en dos categorías:3.3.2.1. Errores sistemáticos


Influyen de igual manera en todas las mediciones (de ahí su nombre) y son muy difíciles de localizar. No aparecen estudiando las medidas hechas y a menudo se ignoran las causas que lo produce. En general provienen de la imperfección de las teorías físicas que sirven de fundamento a las experiencias o de los instrumentos empleados y de ciertas peculiaridades del observador. Actúan de igual modo en todas las ocasiones que se realice una medición, es decir sistemáticamente. Se caracterizan por actuar siempre en el mismo sentido (ya sea por exceso opor defecto) y porque su valor es, o bien constante o directamente proporcional al valor de la medición. Pueden ser de diversos orígenes, a saber:a) Errores de calibración de los instrumentos de medida: Si un amperímetro, por ejemplo, tiene su aguja corrida con respecto al cero de la escala, todas las mediciones que con él se hagan estarán afectadas de un error sistemático igual a la diferencia entre el cero de la posición de la aguja cuando el aparato está desconectado. Es el llamado "error de cero".

Otro ejemplo es el de un cronómetro que atrasa, en cuyo caso los tiempos leídos son menores que los reales.b) Error de lectura mínima (ELM): Cuando la expresión numérica de la medición resulta estar entre dos marcas de la escala de la lectura del instrumento. La incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la lectura mínima del instrumento.Ejemplo: Lectura mínima de 1/25 mm, ELM = ½(1/25 mm) = 0,02 mmc) Errores PersonalesTratándose de observadores experimentados, se constata siempre que, cada uno tiene una manera particular de apreciar determinado fenómeno. Por ejemplo, la demora en poner en


marcha un cronómetro al comienzo de un experimento o la tendencia permanente a leer desde la izquierda (o la derecha) sobre una escala con paralaje. Es notable el hecho de que cada observador repite este error con regularidad casi mecánicamente, derivando de allí el nombre de ecuación personal con que se lo designa. Es decir, son los causados por los hábitos individuales del observador.d) Errores por Condiciones ExperimentalesSe originan cuando las condiciones en que se utiliza el instrumento de medida difieren de aquéllas en las que fue calibrado. Por ejemplo, si una regla ha sido graduada a 15°C, las longitudes que se midan con ella a 20 °C estarán afectadas de un error sistemático por defecto debido a la dilatación.e) Errores por imperfección de técnicaPor ejemplo, la demora en pesar líquidos en recipientes abiertos trae aparejado la comisión de errores debido a la evaporación.3.3.2.2. Errores accidentales aleatoriosTambién conocidos hoy como DESVIOS o INDETERMINACIONES, se deben a causas fortuitas y variables y sus valores están comprendidos dentro de la aproximación de los instrumentos. Es a éstos, a los cuales se les aplica la “Teoría de errores”. En una gama de medidas es notable observar la presencia de errores tanto por defecto como por exceso y de valor variable e impredecible, si bien los pequeños se dan en mayor número que los grandes. Entre ellos se pueden citar:

a) Errores de Juicio:La apreciación a ojo, de la fracción de división en una escala es sólo aproximada y, por razones difíciles de conocer, dos fracciones iguales pueden ser leídas como distintas por un mismo observador.


b) Errores por Condiciones fluctuantes:Si se mide la intensidad luminosa de una fuente por comparación con una fuente patrón, los resultados estarán afectados por variaciones en la tensión de alimentación del patrón.

c) Errores por Definición:Cuando se mide la distancia desde una lente hasta la imagen dada por ella sobre una pantalla, la falta de precisión en la ubicación de la imagen produce error, lo mismo que el medirla temperatura de un líquido sin haber homogeneizado la mezcla.

Nota: Los errores a los que se ha hecho referencia son legítimos, es decir, el trabajo del experimentador que los ha cometido es aceptable. No sucede lo mismo con otro grupo de errores cuya comisión es un defecto que no puede aparecer en un buen trabajo, por ejemplo, error al leer un número en una escala o al anotarlo en los apuntes. Deben ser considerados, más propiamente, errores groseros o equivocaciones.3.4. Corrección de los errores en las medicionesLos errores sistemáticos conocidos y algunos errores accidentales pueden sere liminados mediante la aplicación de correcciones adecuadas. Así sucede, por ejemplo, con los errores de cero o los debidos a la dilatación de una escala por aumentos de temperatura. Ello obliga a controlar cuidadosamente las condiciones de trabajo. Las correcciones, en estos casos, tienen el mismo sentido, ya que la causa que provocó el error hizo que las mediciones fuesen siempre por exceso o siempre por defecto.No sucede lo mismo con los errores accidentales comunes, ya que ellos provocan, indiscriminadamente, lecturas por exceso y


por defecto. Puesto que las causas son fortuitas, se admite que los valores de las mediciones se reparten igualmente a un lado y a otro del “valor verdadero”.

3.4.1. Calculo Estadístico de las IncertidumbresComo todo proceso de medición está sujeto a incertidumbres, la manera de minimizar la incertidumbre o sea de mejorar nuestro resultado, es realizar varias mediciones. Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos3.4.1.1. Promedio de las medicionesSi consideramos n mediciones de una cantidad física, con lecturas:x1 , x2 ,…. , xn el valor estimado de esta magnitud se calcula tomando el promedio, de la siguiente manera:

x=x1+x2+…+xn

n=∑ x in

esto es, sumadas todas las mediciones, se divide entre el número de estas mediciones, lo que nos da el promedio.Generalmente en las prácticas de laboratorio de física, es costumbre tomar cinco (5) mediciones de la magnitud con la que estamos experimentando y la dividimos entre el número de estas, o sea cinco (5).

3.4.1.2. Desviación EstándarLa diferencia de cada medida respecto a x se llama desviación. El grado de dispersión de la medición, estadísticamente, se llama desviación estándar σy se calcula de la siguiente manera:


σ=√ (x−x1 )2+(x− x2 )2+…+ (x−xn )2

n−1 =√∑i=1n

(x−x i )2

n−1

En el tratamiento de los errores experimentales, estos se consideran de dos tipos: absolutos y relativos.

Error absoluto: Es el resultado de la suma de los errores sistemáticos y aleatorios,

EA=E s+Ea

La medida se expresa como:

X=x± EA=x± (E s+Ea )

Error relativo: es el cociente del error absoluto y el promedio de las medidas,

Er=EA

x



X=x± Er

Error porcentual:

E%=100 Er


X=x± E%

El error estándar de la media:

∆ x= σ√n

Error Experimental relativo: Se obtiene, tomando de las Tablas el valor, al que llamamos valor teórico de la medida, restándole el valor experimental obtenido de la magnitud y dividiendo entre el valor teórico:

Eexp ..−rel .=Valor Teórico−Valor Experimental

Valor Teórico


3.5 Precisión para las mediciones indirectasLas medidas indirectas son afectadas por los errores de las mediciones directas. Estos errores se “propagan” cuando se calcula el valor de la medición indirecta.Si A y B son medidas directas, medidas indirectas o una es una medida directa y la otra indirecta, entonces Z = Z(A, B) expresa la magnitud de una cantidad física cuya medición se realiza indirectamente.

donde:

A=A ±∆ A

y B=B±∆B

Las siguientes formulas, nos permiten trabajar con medidas indirectas:

Si, Z resulta de sumas y/o sustracciones: Z=A±B, entonces

∆ Z=√ (∆ A )2+(∆B )2

Si, Z resulta de productos y/o cocientes: Z=A ∙B y

Z= AB , entonces


∆ Z=Z√( ∆ AA )2

+(∆ BB )2

Si, Z resulta de una potenciación:Z=K An , entonces

Z=K (A )n , ∆ Z=n( ∆ AA )Z

Luego, la expresión para la medida indirecta, en cualquiera de los casos anteriores, será:

Z=Z+∆Z4. Montaje y Procedimiento:Fig.1 Montaje de los instrumentos que se usan en el Experimento. [RV]

4.1 Montaje


4.1.1 En una base trípode, ajustamos una varilla de 50 cm.4.1.2 En la varilla vertical, colocamos una nuez, en la cual ajustamos una varilla de 20 cm., en forma horizontal. 4.1.3 Amarramos una cuerda, a la varilla horizontal y en el extremo inferior de la cuerda colocamos una esfera metálica

4.2 Procedimiento

En el siguiente procedimiento, se van a realizar mediciones Directas e Indirectas, en las cuales se aplicará, la Teoría de Errores, para encontrar el valor más probable con su error estándar:

X=X ±∆ X

A.- Mediciones Directas

a) Medición del tiempo t:Con un cronómetro o reloj, medimos el tiempo en segundos, que transcurre para cinco oscilaciones completas del péndulo, repetimos las medidas cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 2.b) Medición de longitud lCon una regla, graduada en milímetros, medimos la longitud del largo de una mica, (podemos utilizar el DNI) repetimos la misma medición cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 3.c) Medición de masa M:

Con una balanza, medimos la masa de diez cucharadas de la arena del tarro, repitiendo la medición por cinco veces, cada vez


que medimos devolvemos la arena al tarro y anotamos los datos en la Tabla 4.

B.- Mediciones Indirectas

a) Determinación del valor de π:Con el Vernier, medimos el diámetro de la pesa cilíndrica y la longitud de su circunferencia, con la cinta métrica, repetimos las mediciones por cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 5.

b) Cálculo de la densidad (ρ):

Con el Vernier, medimos el largo y ancho de la mica, con un micrómetro medimos el espesor de la misma y en la balanza medimos su masa, repetimos las mediciones por cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 6.5. Resultados

5 .1 Datos

Tabla 2: Mediciones del tiempo para las oscilaciones del Péndulo.

No. Medida 1 2 3 4 5 t (seg) 1.28 1.28 1 1.06 1.22

Para simplificar el experimento, mantenemos constante la longitud delPéndulo: l = 30 cm

Tabla 3: Mediciones de la longitud de una mica No. Medida 1 2 3 4 5


l (mm) 85 86 85 86 81

Tabla 4: Mediciones de la masa de arena No. Medida

1 2 3 4 5

m (gr) 146.80 224.80

201.17 194.1 214.5

Tabla 5: Mediciones en la pesa cilíndrica No. Medida 1 2 3 4 5 d (mm)

c (mm)

d: diámetro c: longitud de la circunferencia

Tabla 6: Mediciones en la mica No. Medida 1 2 3 4 5

l (mm)

a (mm)

e (mm)

m ( gr)

l: largo a: ancho e: espesor m: masa

Luego de tomadas las medidas y colocarlas en las Tablas (Datos tabulados) se procede a realizar los cálculos con las operaciones


indicadas en las relaciones matemáticas de la Teoría de Errores para indicar los valores probables con sus errores.

5.2 Gráficos:

5.2.1 Hacer un gráfico del periodo de oscilación del péndulo en función de la longitud l

5.3 Cálculos:Tabla I: x=1.28+1.28+1+1.06+1.225

=1 .168

Tabla II:x=85+86+85+86+815=84.6

Tabla III:x=146.80+224.80+201.70+194 .1+214.5

5=16.38

Tabla IV:x=1.28+1.28+1.06+1.22+ ¿5=4.84¿

Tabla V:x=1.28+1.28+1.06+1.22+ ¿5=4.84 ¿

6. Evaluación:

6.1 Calcular el valor probable y su desviación estándar del tiempo empleado por las oscilaciones del péndulo. ¿Cuál es su error absoluto?

6.2 Mida el largo de la mica y calculesu desviación estándar de la media

¿Cuál es su error relativo?


6.3 ¿Cuál es el rango dentro del cual se encuentra el valor probable de la masa de la arena?

6.4 Calcular el valor de π. ¿Cuál es el rango dentro del cual se encuentra este valor?

6.5 ¿Cuál es el valor probable de la densidad de la lámina de mica, la desviación estándar del valor, su error absoluto y su error relativo?

7. Conclusiones: la teoría y aplicaciones que hemos tratado en este laboratorio resultan de gran utilidad en el trabajo experimental

8. Bibliografía:

aa fisica_laboratorio i

Documents