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A.6 Forma Canónica de Jordan

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ea una transformación lineal . Sean los valores propios

iferentes de . Sea uno de esos valor propios, de multiplicidad cuyo diagrama de matthew,

iene columnas; la ésima columna tendrá altura ; además los vectores propios

eneralizados asociados a obtenidos con este diagrama son .

En esas condiciones, es posible encontrar dos matrices y tales que

(A.37)

(A.38)

(A.39)

(A.40)

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es conocida como la Forma canónica de Jordan de . La ecuación E.38 muestra que la matriz

es diagonal por bloques, es decir, esta formada por bloques organizados en la diagonal. Por fuera

e estos bloques sólo hay ceros en la matriz. es la matriz modal, y está formada por los vectores

ropios generalizados de . La matriz modal no es única.

Los bloques que forman tienen las siguientes propiedades:

q  Cada valor propio diferente tendrá asociados uno o varios bloques

q  El número de bloques asociados a será igual al número de columnas de su diagrama de

matthew,

q  Los bloques son cuadrados, y el tamaño del bloque (el número de filas o de columnas) es

igual a la altura de la columna correspondiente en el diagrama de Matthew, .

q  Cada bloque tiene en la diagonal al valor propio , tiene por encima de la diagonal,

y cero en las restantes casillas.

q  Cada valor propios que no se repita tendrá asociado un único bloque de tamaño 1

q  En el caso sencillo en que ningún valor propio se repita será una matriz diagonal que tendrá

en la diagonal a los valores propios .

Ejemplo A.42 Para obtener la forma canónica de Jordan de la matriz del ejemplo E.40, se

ecesita construir la matriz modal con todos los vectores propios generalizados. En el ejemplo

E.41 se calcularon los vectores asociados a . En vector propio asociado a será:

Por lo tanto la matriz modal será

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La forma canónica de Jordan será

Nótese que el valor propio tiene dos bloques de Jordan asociados de tamaño y

espectivamente, tal como se podría infereir de su diagrama de matthew: el diagrama tiene dos

olumnas, la primera de altura 3 y la segunda de altura 2.

El valor propio no se repite, y por tanto tiene un único bloque de jordan asociado de tamaño

.

Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18

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