a21- calculo financiero empresarial by maya umed

FMIC UNIVERSIDAD MEXICANA DE EDUCACIN A DISTANCIA

CLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMN

MISIN Y VISIN DE LA UMED

MISIN

La UMED tiene la misin de contribuir a la socializacin de la educacin, ofreciendo la oportunidad de acceder a la educacin superior a aquellas personas que no pueden asistir al sistema escolarizado, poniendo a su disposicin servicios educativos de calidad en la modalidad abierta a distancia, formando profesionales con perfiles de egreso acordes a las necesidades del campo de trabajo profesional, estimulando valores como la honestidad, el respeto, la confianza, el profesionalismo, la cooperacin y la lealtad.

VISIN La UMED tiene como visin la de ser reconocida como la institucin ms prestigiada de Mxico en el campo de la educacin abierta a distancia, teniendo presencia en todas las entidades federativas del pas, extendiendo sus servicios a otros pases. Siendo adems una universidad en toda la extensin de la palabra, que atienda tanto el aprendizaje de sus estudiantes como la produccin del nuevo conocimiento a travs de la investigacin, y que difunda y extienda a la sociedad los bienes de la cultura.



Segunda Edicin. 2007 Copyright 2006 Segunda Edicin. 2006 Por Jorge Luis Maya Alemn Cuernavaca, Morelos. Los derechos de esta obra son propiedad de: Fundacin Morelense de Investigacin y Cultura, S.C. Coronel Ahumada N 33 Col. Lomas del Mirador 62350 Cuernavaca, Morelos, Mxico. Queda hecho el depsito que marca la Ley. Derechos Reservados. Impreso en Mxico.



FUNDACIN MORELENSE DE

INVESTIGACIN Y CULTURA, S. C.

UNIVERSIDAD MEXICANA

DE EDUCACIN A DISTANCIA

GUA DE AUTOESTUDIO

CLCULO FINANCIERO EMPRESARIAL

ING. JORGE LUIS MAYA ALEMN



NDICE

Pg. I. INTRODUCCIN.................................................................... 7 II. INSTRUCCIONES DE MANEJO............................................ 9 III. OBJETIVO GENERAL............................................................. 11 IV. CONTENIDO TEMTICO....................................................... 13 UNIDAD I INTRODUCCIN...................................................................... 15 UNIDAD II INTERS SIMPLE.................................................................... 26 UNIDAD III INTERS COMPUESTO.................. 43 UNIDAD IV ANUALIDADES................. 64 UNIDAD V AMORTIZACIN Y FONDOS DE AMORTIZACIN.................. 75 V. GLOSARIO.......................................................................... 99 VI. BIBLIOGRAFA BSICA..................................................... 108 VII. ACTIVIDADES DE APLICACIN........................................ 109



7

I. INTRODUCCIN

El estudio del Clculo Financiero Empresarial permite al alumno elaborar modelos matemticos encaminados a interpretar y resolver los problemas financieros que se le presentan en su vida diaria. La mayora de ellos es probable que adquieran en el futuro un automvil, una casa, o cualquier tipo de artculo a plazos, o bien, se soliciten crditos, contraten plizas de seguros de vida, etc. Asimismo, pueden buscar un segundo ingreso invirtiendo sus ahorros en obligaciones, acciones u otro tipo de inversin rentable. El conocimiento del Clculo Financiero Empresarial les permitir por tanto, prestar o invertir su dinero de una manera ms racional. Para efectuar una adecuada decisin financiera, es fundamental tomar en cuenta el valor temporal del dinero. Esta consideracin se recuerda a lo largo de esta gua, particularmente cuando se plantea el estudio sobre la elaboracin de presupuestos de capitales. El inters, que es la cantidad pagada por un crdito, juega un papel de suma importancia en el desarrollo econmico de las naciones. El creciente nfasis que los gobiernos conceden para lograr un desarrollo econmico equilibrado, sugiere nuevas e interesantes aplicaciones para el Clculo Financiero Empresarial. A lo largo de esta Gua de Autoestudio se plantean problemas prcticos ilustrativos que aplican las frmulas y tablas que en el mismo se definen y presentan. La mayor parte de los problemas estn basados en informacin tomada de transacciones comerciales reales y es interesante descubrir que crditos en apariencia ventajosos para el solicitante, encierran intereses altos que pueden ser determinados fcilmente con los mtodos desarrollados en esta Gua. Las tablas son parte indispensable de cualquier texto de Clculo Financiero Empresarial.



9

II. INSTRUCCIONES DE MANEJO

Siguiendo los lineamientos del material preparado por la institucin, en esta Gua se incluyen: a) Unidades. (5) b) Glosario. c) Bibliografa. d) Actividades de Aplicacin. Cada una de las unidades comprende: - Presentacin. - Objetivo de la Unidad. - Contenido. - Autoevaluacin. Por lo anterior es necesario explicar al alumno la manera de utilizar la presente Gua de Autoestudio: En primer lugar deber leer el ndice con la finalidad de observar tanto el contenido como la organizacin del material. En segundo lugar analizar cada una de las partes en que se divide a fin de familiarizarse con la Gua. A continuacin, iniciar en el estudio de las Unidades e ir avanzando de acuerdo a sus posibilidades.

La evaluacin de cada Unidad se realizar a travs de un cuestionario de Autoevaluacin con preguntas elaboradas en el material contenido en la Gua de Autoestudio. Al finalizar el desarrollo del Contenido Temtico, se incluye un Glosario para que el alumno consulte en caso necesario los conceptos ms usuales en el curso.



10 La Bibliografa Bsica abarca los textos indispensables bsicos para el estudio de esta materia. Cabe destacar la importancia de que el alumno realice las lecturas y ejercicios sugeridos en las Actividades de Aplicacin a efecto de consolidar los conocimientos.



11

III. OBJETIVO GENERAL

AL FINALIZAR EL CURSO EL ALUMNO ADQUIRIR

DESTREZA EN LA INTERPRETACIN Y MANEJO DE

TEOREMAS Y FRMULAS; ADEMS CREARA

NUEVOS SISTEMAS Y MODELOS MATEMTICOS



13

IV. CONTENIDO TEMTICO

UNIDAD I INTRODUCCIN I.1 Indicadores econmicos. I.2 Inversiones. I.3 Progresiones Matemticas y Geomtricas. Autoevaluacin. Actividades de Aplicacin. UNIDAD II INTERS SIMPLE II.1 Monto. II.2 Valor actual. II.3 Tasa y tipos de inters. II.4 Plazo. II.5 Descuento. Autoevaluacin. Actividades de Aplicacin. UNIDAD III INTERS COMPUESTO III.1 Conceptos generales. III.2 Monto compuesto. III.3 Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente. III.4 Valor actual. III.5 Valor futuro. III.6 Ecuaciones de valor equivalente. Autoevaluacin. Actividades de Aplicacin.



14

UNIDAD IV ANUALIDADES IV.1 Introduccin y terminologa. IV.2 Anualidades ordinarias. IV.3 Anualidades anticipadas. IV.4 Anualidades diferidas. IV.5 Anualidades caso general. Autoevaluacin. Actividades de aplicacin. UNIDAD V AMORTIZACIN Y FONDOS DE AMORTIZACIN V.1 Conceptos generales. V.2 Tablas de amortizacin. V.3 Importe de los pagos. V.4 Nmero de pagos. V.5 Tasa de inters. V.6 Depsitos a un fondo de amortizacin. V.7 Nmero de depsitos. V.8 Tasa de inters. Autoevaluacin. Actividades de aplicacin.



15

UNIDAD I

INTRODUCCIN

PRESENTACIN

Para poder comprender y estudiar los principios fundamentales del Clculo Financiero Empresarial, es recomendable que el estudiante conozca algunos aspectos bsicos de los indicadores econmicos, las inversiones y progresiones matemticas y geomtricas. A continuacin se establecern los conceptos tericos y prcticos de los conceptos sealados anteriormente y que sern de gran utilidad para el estudiante en el presente curso. Al finalizar esta Unidad, el alumno tendr como:

CONTENIDO I.1 Indicadores econmicos. I.2 Inversiones. I.3 Progresiones Matemticas y Geomtricas. Autoevaluacin. Actividades de Aplicacin.

Objetivo

Comprender los conceptos tericos y prcticos del Clculo Financiero Empresarial a travs del conocimiento de los indicadores econmicos, las inversiones y las progresiones matemticas y geomtricas.



16 I.1 Indicadores econmicos. Los economistas buscan averiguar que ocurre en el mundo que los rodea, para ello se basan en la teora y en la observacin, para crear y contrastar teoras macroeconmicas con la realidad existente. La estadstica econmica proporciona una fuente de informacin sistemtica y objetiva, los gobiernos encuestan peridicamente a los hogares y a las empresas para obtener informacin sobre su actividad econmica: as obtienen los indicadores econmicos que son empleados por los economistas para estudiar la economa y por los responsables de la poltica econmica para vigilar las tendencias econmicas y formular las medidas oportunas. Esta informacin debe ser utilizada activamente por los administradores de negocios, para estar preparado ante cambios en el entorno. ndices financieros ndices financieros, ndices de precios de ttulos valores que se comercian en los mercados financieros. Los ms conocidos son los que se publican en los tres centros financieros ms importantes del mundo: los ndices Nikkei publicados en Japn por el Nihon Keizai Shimbun, el ndice DowJones publicado en Estados Unidos por la compaa DowJones y el ndice del Financial Times publicado por este peridico britnico. De stos los ms conocidos son aqullos que miden la evolucin de los precios de las principales empresas que cotizan en los mercados, como el Nikkei Stock Average, el Financial Times Stock Exchange (FT-SE o Footsie) y el DowJones Industrial Average. Existen otros indicativos que permiten estudiar la evolucin del precio de las acciones de las empresas de los distintos sectores industriales, como el del tabaco, los transportes, la construccin, las empresas de productos alimenticios, de comunicacin y de espectculos, entre otras. Esto permite a los inversores comparar la evolucin de los distintos sectores y de las empresas dentro de cada sector. Pero los ndices analizan tambin todos los aspectos de los mercados financieros: los instrumentos financieros con intereses fijos



17 (como los bonos emitidos por los gobiernos), los precios de las materias primas o los tipos de cambio. La complejidad de los mercados financieros es tan grande que estos ndices ayudan a disponer de una visin general del funcionamiento del mercado y representan un mecanismo de medida para que los inversores comparen la evolucin de un instrumento financiero en funcin de la evolucin del ndice. Esta medida tambin puede utilizarse para juzgar la gestin de los agentes financieros que emiten fondos de inversin: si un fondo de inversin crece ms que el ndice burstil, se dice que el fondo evoluciona de un modo ms positivo que el promedio. De hecho, lo importante en realidad es la evolucin del fondo respecto a la de otros fondos de inversin. Aunque el papel de los ndices financieros consiste en ayudar a aquellos agentes que operan en los mercados financieros, son tambin indicadores de la economa, mostrando las expectativas de los mercados sobre los diferentes sectores o sobre toda la economa. Sin embargo, para poder juzgar la evolucin general de la economa conviene analizar un ndice general y no tan slo un ndice sectorial, porque el ndice general est menos influido por algunos comportamientos errticos de determinadas industrias. As pues, es mejor analizar el comportamiento del ndice general del Financial Times que el Footsie. I.2 Inversiones. El dinero en la bolsa del pantaln o el de una cuenta de cheques, siempre est disponible para efectuar pagos o compras, pero aparte de esa funcin, no reporta utilidad alguna. Con las altas tasas de inters que se conceden hoy en da, tener demasiado dinero en efectivo, constituye un lujo caro. Quienes saben administrar hbilmente el dinero, desde las prudentes amas de casa hasta sagaces ejecutivos de las empresas, tienen un objetivo comn; poner el dinero a trabajar. Este propsito puede conseguirse tanto prestando como adquiriendo bienes con el. As por ejemplo, los prestamistas compran boletas de



18 empeo que les reditan beneficios y los inversionistas adquieren valores de renta variable con la esperanza de que la empresa tenga xito y produzca ganancias de capital superior a las que obtendra mediante obligaciones u otros instrumentos de inversin. Todas las personas deberan conocer la forma de como se transfiere la propiedad de valores en el mercado financiero. Un Valor al portador, es aquel que se paga a su poseedor en el momento de su presentacin, es decir, que puede ser cobrado por cualquiera que posea el ttulo. Debido al creciente aumento de robos de valores al portador, algunas instituciones solicitan evidencia sobre su propiedad antes de aceptarlos. Otros instrumentos negociables que tienen la leyenda de pagarse a la orden de, pueden transferirse por simple endoso, con su correspondiente entrega. Todas estas personas con dinero ocioso, pueden encontrar un lugar apropiado donde produzca beneficios econmicos entre los mltiples y diversos instrumentos de inversin que existen en los actuales mercados financieros .Sin embargo, no es conveniente efectuar una sola inversin, sino realizar un minucioso estudio de las diferentes alternativas que se presentan, a efecto de seleccionar la mejor combinacin, debe efectuarse conforme a los siguientes criterios: Liquidez. Rpida conversin en dinero de la inversin, con mnima o nula prdida de capital. Seguridad. Proteccin del dinero. Beneficios reales a corto plazo. Rpida realizacin de beneficios. Ganancias de capital. Incrementos en el valor de la inversin. Cotizabilidad. Existencia de un mercado secundario activo, que permita efectuar rpidas ventas en capital a costos razonables de transaccin.



19 Ventajas Fiscales. Ingresos reales no gravados y tasas favorables sobre las ganancias de capital. I.3 Progresiones Matemticas y Geomtricas. Progresiones. Son una serie de nmeros o trminos algebraicos en la que cada trmino posterior al primero puede obtenerse del anterior; sumndolo, multiplicndolo o dividindolo por una diferencia o razn comn. Con un criterio similar al expuesto sobre logaritmos, se estudiaran brevemente las progresiones y su aplicacin en el Clculo Financiero Empresarial. En esta Gua las progresiones se agrupan en tres categoras:

Progresiones aritmticas. Progresiones geomtricas. Progresiones geomtricas infinitas.

Progresin aritmtica. Es una sucesin de nmeros, llamados trminos, en la que cualquier trmino posterior al primero puede obtenerse del anterior, sumndole (o restndole) un nmero constante llamado diferencia comn (d).

Frmula del ltimo trmino de una progresin aritmtica ( )dnau 1+=

Donde: u = ltimo trmino; a = primer trmino: n = nmero de trminos; d = diferencia comn.



20 Ejemplo: Encontrar el vigsimo trmino de la progresin aritmtica: 115; 112; 109; 106;

Utilizando la frmula ( )dnau 1+= En donde a = 115; n = 20; d = -3 ( )( )

( )( )5857115

3191153120115

==+=

+=

uuu

Suma de una progresin aritmtica La suma de una progresin aritmtica puede hallarse mediante una frmula, la cual se la a continuacin:

Frmula de la suma de trminos de una progresin aritmtica

( )unnS +=2

Ejemplo: Encontrar la suma de los treinta primeros trminos de la progresin aritmtica 15; 21; 27; 33;.



21 Es necesario calcular el ltimo trmino:

( )( )( )

( )( )

306020415

189152

30

18917415

6130151

?;7;6;30;15

==

+=

=+=

+=+=

=====

SS

S

uuu

dnauxudna

Progresin geomtrica. Es una sucesin de nmeros tales que cada uno de ellos se deduce del anterior multiplicndolo o dividindolo por una cantidad constante llamada razn. Ejemplo: 980; 490; 245; 122,5; 61,25; es una progresin geomtrica descendente cuya razn es 0,5. Ejemplo: 3; 9; 27; 81; es una progresin geomtrica ascendente cuya razn es 3.



22

Frmula del ltimo trmino de una progresin geomtrica 1= nrau

Donde: u = ltimo trmino; a = primer trmino; r = razn comn; n = nmero de trminos.

Frmula de la suma de una progresin geomtrica cuya razn es menor que 1

11

= r

raraS

n

Frmula de la suma de una progresin geomtrica

cuya razn es mayor que 1

11

= r

raarS

n

Ejemplo:

Encontrar el trmino 10 y la suma de los 10 primeros trminos de la progresin 1.000 ; 1.500; 2.250; 3.375;.

( )( ) ( )

359,433.38443359,38000.15,1000.1

5,1000.1

5.1

9

110

1

===

===

uu

u

arur

n

Trmino 10 de la progresin.



23 Se aplica la frmula cuya razn es mayor que 1: ( )

08,330.1135,0

000.1039,665.5715,1

000.15,1000.11

10

===

=

S

raarS

n

Ejemplo: Encontrar el trmino 10 y la suma de los primeros 10 trminos de la progresin geomtrica 100; 50; 25;..

( )

raraS

u

arur

n

n

=

====

1

195312,050,0100

50,0

9

1

Utilizamos esta frmula puesto que la razn es menor que 1. ( )

80469,19950,0

902344,9950,0097656,0100

50,0150,0100100 10

==

==

S

S



24 Progresin geomtrica infinita. Es aquel tipo de progresin geomtrica cuya razn es menor que 1, el nmero de trminos es ilimitado, pero la suma de sus trminos es cuantificable.

Frmula de la progresin geomtrica infinita

raS = 1

Ejemplo: Encontrar la suma de todos los trminos de la progresin

;......161;

81;

41;

21

250,01

50,011

;5,0;21

===

===

S

nra

LECTURAS. Hernndez Hernndez, Abraham. Matemticas Financieras. Editorial ECAFSA.1996 Mxico. p.p. 45 a 65. Daz Mata, A, y V. Aguilera Gmez.Matemticas Financieras. Editorial McGraw Hill. 1987 Mxico. p.p.23 a 33 y 250. Ayres Jr., Frank Matemticas Financieras. Editorial McGraw Hill. Mxico. 2003. p. 32.



25 Mora Zambrano, Armando. Matemticas Financieras. Editorial Alfaomega. 2006 Mxico. p.p.15 a 20. Cissel. Cissel. Flaspohler. Matemticas Financieras. Editorial CECSA. Mxico. 2005. p.p. 27 a 29. Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004. Autoevaluacin

1. Qu es porcentaje? 2. Cmo se expresa el porcentaje en forma decimal? 3. En qu se diferencia el clculo del precio como porcentaje del

precio de costo y como porcentaje del precio de venta? 4. Qu es la depreciacin? 5. Qu es una progresin aritmtica descendente? 6. Qu es una progresin geomtrica ascendente? 7. Cul es la frmula de la suma de una progresin aritmtica?



26

UNIDAD II

INTERS SIMPLE

PRESENTACIN

En esta Unidad se analizaran algunos conceptos o bases conceptuales de lo que significa el inters simple, con sus diferentes variables: capital, tasa de inters, tiempo, valor actual, monto y sus aplicaciones en el mbito financiero y comercial. Es necesario que el alumno se familiarice con dichos conceptos y con las respectivas frmulas para su clculo, ya que en el medio financiero la aplicacin del clculo de inters simple es permanente en operaciones de crdito, ahorros, inversiones de corto plazo, prstamos, etctera.

CONTENIDO II.1 Monto. II.2 Valor actual. II.3 Tasa y tipos de inters. II.4 Plazo. II.5 Descuento. Autoevaluacin. Actividades de aplicacin.

Objetivo

Conocer el clculo del inters simple en sus modalidades y aplicaciones en el mbito comercial y financiero.



27 Inters simple. La suma de dinero prestada en una operacin con inters, se denomina el capital inicial o principal. La cantidad recibida por el prestatario constituye el valor presente o valor actual del prstamo. En los prstamos a inters simple el capital inicial y el valor presente coinciden. El tiempo o duracin del prstamo es el periodo durante el cual el prstamo utiliza todo o parte del dinero prestado. En los prstamos a inters simple el clculo de intereses se efecta nicamente sobre el capital inicial. El costo de un prstamo a inters simple se expresa en trminos de una tasa de inters, que se define como aquella parte fija de capital que se paga por su uso. Las tasas de inters se expresan generalmente como un porcentaje especifico por unidad de tiempo. As, el 1 % significa una parte entre cien. Si la tasa de inters es del 5 % anual, la cantidad recibida por concepto de intereses en un ao, ser de

05.0100

5 = del capital inicial. Una tasa de inters del %21

mensual,

representa intereses cada mes del orden de 005.01000

5 = del capital inicial. El inters simple se define como el producto del capital inicial, la tasa de inters y el tiempo. Esta definicin conduce a la siguiente frmula del inters simple:

CitI = En donde el inters simple (I) est en funcin directa del capital (C), la tasa de inters ( i ) y el tiempo (t). Segn esta premisa, el inters simple puede calcularse de manera simple y sencilla con la frmula anterior.



28 Ejemplo: Calcular el inters simple que gana un capital de $ 500.000 al 12 %, desde el 15 de marzo hasta el 15 de agosto del mismo ao. Antes de resolver el problema del inters, hay que calcular el tiempo que transcurre entre las dos fechas. Se calcula tomando una de las dos fechas extremas:

Tiempo exacto Tiempo aproximado

Marzo Abril Mayo Junio Julio

Agosto

Total

16 30 31 30 31 15

153

15 30 30 30 30 15

150 das

El problema propuesto puede resolverse de cuatro formas: Con el tiempo aproximado y el ao comercial:

( )( ) 000.25$36015012.0000.500 ==I

Con el tiempo exacto y el ao comercial:

( )( ) 500.25$36015312.0000.500 ==I



29 Con el tiempo aproximado y el ao calendario:

( )( ) 53,657.24$36515012.0000.500 ==I

Con el tiempo exacto y el ao calendario:

( )( ) 68,150.25$36515312.0000.500 ==I

Como podemos apreciar, el inters ms alto se da en el segundo caso, con el tiempo exacto y el ao comercial, y equivale a 25.500; mientras que el ms bajo est dado en el tercer caso, con el tiempo aproximado y el ao calendario y es igual a 24.657,53. Para operaciones bancarias, el ms utilizado es el segundo caso. II.1 Monto. El monto a inters simple es la suma del capital original ms los intereses generados en el transcurso del tiempo. Se representa con la letra M.

Frmula del monto ( )tiCM += 1

Ejemplo: Calcular el monto de un capital de $ 150.000 al 1.8% mensual durante 180 das.



30 ( )

200.166$30

180018.01000.150

1

=

+=+=

M

M

itCM

Se calcula primero el inters:

( )( ) 200.16$30

180018.0000.150 ==I

Sumando el capital, se obtiene el monto:

200.166$200.16000.150 =+=M

II.2 Valor Actual. Valor actual o presente de un documento o deuda es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento del documento, deuda o pago. Se representa por la letra C. Valor actual o presente de una suma, con vencimiento en una fecha futura, es aquel que, a una tasa dado y en un periodo de tiempo determinado hasta la fecha de vencimiento, alcanzar un valor igual a la suma debida. Estas definiciones resumen el concepto de valor actual y establecen que el tiempo faltante para el vencimiento de un documento financiero o deuda es el que interesa y el que debe tomarse en cuenta para el clculo.



31

Frmula del valor actual a inters simple

tiMC += 1

El valor actual puede calcularse con tasa de inters anual, semestral, mensual, etc. y con el tiempo expresado en das, meses, aos, etc. En el clculo se determina siempre el tiempo que falta para el vencimiento del documento, deuda o pago por cuanto se considera el monto final. Ejemplo: De un documento de $ 100.000, con vencimiento en 180 das, se desea conocer su valor actual 60 das antes de su vencimiento, considerando una tasa de inters del 18% anual.

38,087.97$

3606018.01

000.100 =

+=C

Comprobacin:

000.100$3606018.0138,087.97 =

+=M

II.3 Tasa y tipos de inters. Tasa de inters Es la razn del inters devengado al capital en la unidad de tiempo.



32 Esta dada como un porcentaje o su equivalente; generalmente se toma el ao como unidad de tiempo. Se representa por la letra i Designamos por C a una cierta cantidad de dinero en una fecha dada cuyo valor aumenta a S en una fecha posterior: C se conoce como capital. S se conoce como monto o valor acumulado de C I = S C se conoce como inters. Ejemplo:

15.0%1510015 ====

CapitalIntersi

Ejemplo: B obtiene de L un prstamo de $ 500 y al final de un ao le paga $ 525 En este caso C = $ 500, S = $ 525: En este caso se tiene lo siguiente:

25$500$525$ === CSi

La tasa de inters devengada o cargada es la razn del inters devengado al capital, en la unidad de tiempo. A menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es de un ao. La tasa anual de inters, representada por i, est dada como porcentaje (por ejemplo: 6%) o como su equivalente en forma decimal (0.06). En los clculos se utiliza la fraccin decimal.



33 Ejemplo:

En el ejemplo antes mencionado 05.050025, ===

PIii ; es decir, que L

carga intereses a la tasa de 5%. Tipos de inters. Cuando el plazo de una transaccin a inters simple est dado en da y la tasa de inters es anual, es necesario convertir los das en trminos de fraccin de ao para aplicar las frmulas de inters simple. Cuando el inters se calcula utilizando un divisor de 360, se le denomina inters ordinario. Cuando el divisor es de 3653 0 366, se le denomina inters exacto. Si se establece la tasa de inters, un documento de 360 da por resultado que el prestamista pague ms inters que el que le correspondera en caso de usar 365 366. En prstamos individuales la diferencia puede ser pequea, pero es sustancial si se efectan muchas operaciones de este tipo. Este beneficio extra hace que el ao de 360 das sea muy popular entre los prestamistas. Ejemplo: Determinar el inters ordinario e inters exacto sobre un prstamo de $300 a 60 das, si la tasa es del 8%. Sustituyendo en la siguiente frmula: CitI = en donde C = $ 300 y i = 0.08 se tiene lo siguiente: Inters ordinario = 300 x 0.08 x 60 / 360 = $ 4.00 Inters exacto = 300 x 0.08 x 60 / 365 = $ 3.95 Observe que el inters ordinario es mayor que el inters exacto y ms sencillo de calcular cuando no se dispone de calculadora.



34 II.4 Plazo. El nmero de das en el ao tambin puede variar: ao comercial: 360 das; ao calendario: 365 das; ao bisiesto: 366 das. Con esta premisa, el clculo de das para encontrar el inters ganado puede realizarse en forma aproximada o en forma exacta. En forma aproximada: con el objeto de facilitar los clculos de tiempo, se acostumbra suponer el ao de 360 das, dividido en 12 meses de 30 das cada uno; esto se denomina clculo aproximado del tiempo. Ejemplo: Del 15 de marzo al 15 de junio hay 90 das.

Marzo Abril Mayo Junio Total

15 das 30 das 30 das 15 das 90 das

En forma exacta: se toma como referencia el nmero de das calendario, es decir, meses de 30 y 31 das, ao de 365 0 366 das, segn corresponda. Como puede observarse, tomando el ejemplo anterior y considerando una de las dos fechas extremas, son 92 das.

Marzo Abril Mayo Junio Total

16 das 30 das 31 das 15 das 92 das



35 II.5 Descuento. Es la operacin de adquirir, antes del vencimiento, los valores generalmente endosables. Operacin por la que un banco entrega al tenedor de un efecto de comercio, antes de su vencimiento, el importe del mismo con ciertas deducciones. Es la operacin que consiste en adquirir letras, pagars o documentos financieros por un importe efectivo menor al valor en la fecha de vencimiento. Es decir, es la diferencia entre el valor del documento antes de la fecha en que vence y su valor al vencimiento. Es la accin de recibir o pagar un dinero hoy a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura, segn las condiciones convenidas en el pagar. Descuento Racional Descuento racional o descuento simple, a una tasa de inters, es la diferencia entre monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento o deuda y el valor presente. Se representa con la sigla Dr. Se interpreta tambin como el inters simple del valor actual. Para calcular el descuento racional se debe conocer primero el valor actual y luego restarlo del monto, formulando:

tiMMDr

tiMC

CMDractualvalorMontoDr

+=

+=

==

1

1



36 En el descuento racional, al igual que para el clculo del valor actual, pueden darse dos tipos de problemas: cuando el documento no gana intereses desde la emisin, esto es, cuando el valor nominal coincide con el monto y cuando es necesario calcular el monto, pues el documento genera intereses desde la emisin. A continuacin se presentan dos ejemplos que sirven para analizar estos casos. Ejemplo: Calcular el descuento racional de un documento de $ 250.000 suscrito el 30 de junio a 180 das de plazo, si se descont el 30 de noviembre del mismo ao con una tasa de inters del 24 % anual. En este ejemplo el valor nominal es igual al monto, puesto que no gana intereses. M = $ 250.000 Fecha de vencimiento: 27 de diciembre. Fecha de descuento: 30 de noviembre. Das que faltan para el vencimiento: del 30 de noviembre al 27 de diciembre = 27 das.

57,579.245$

3602724.01

000.250 =+

=C

Solucin grfica del problema:



37 Dr. = 250.00 245.579,57 = $ 4.420,43 Ejemplo: Calcule el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de $ 100.000 a 180 das de plazo, suscripta el 31 de marzo del 2003 al 18% anual desde su suscripcin, si se descuenta el 29 de julio del mismo ao al 21% anual.

( ) 000.109$36018018.01000.100 =

+=M

Fecha de vencimiento: 27 de septiembre. Fecha de descuento: 29 de julio. Das que faltan para el vencimiento de la letra de cambio: 60 das.

( ) )(01,341.105$3606021.01

000.109 racionaldescuentoconactualValorC =+

=

Aplicando la frmula que corresponde se tiene lo siguiente: Dr = 109.000 105.314,01 = $ 3.685,99 (descuento racional) La solucin del problema se puede expresar grficamente:



38 Esto puede comprobarse calculando el inters simple del valor actual:

( )( ) DrI === 99,685.3$3606021.001,314.105

Descuento bancario, comercial o burstil. Se utiliza en las operaciones comerciales y consiste en cobrar los intereses por adelantado. Su Clculo se realiza sobre el monto o valor al vencimiento. Se emplea una tasa de descuento para diferenciarla de la tasa de inters que se aplica al clculo del valor actual. Se expresa como Db . Se denomina tasa de descuento al inters porcentual que se aplica al valor nominal del documento a la fecha de su vencimiento. Se expresa como un porcentaje. Al descontar una letra se recibe una suma inferior al valor nominal, si sta no genera intereses desde la fecha se suscripcin. Si se establece lo contrario, es decir, si gana intereses desde la fecha de suscripcin, se debe proceder a calcular los montos al vencimiento del descuento. Para descontar una letra en un banco, sta debe contener una promesa de pago en una fecha posterior a la cual se va a descontar el documento. Frmula del descuento bancario o burstil. Este tipo de descuento es comn en las operaciones, transacciones y prstamos bancarios y burstiles (aquellas que se realizan en las bolsas de valores).



39 Como es un inters sobre el valor del documento o deuda a la fecha de vencimiento o monto, se expresa en forma similar a la frmula de inters simple.

Db = Mdt En dnde: Db = Descuento bancario o descuento burstil. M = Valor del descuento a la fecha del vencimiento. d = Tasa de descuento. t = Tiempo en das, comprendido entre la fecha de descuento y la fecha del vencimiento. Ejemplo: Calcular el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagar de $ 80.000 en el da de hoy, a 120 das plazo, considerando una tasa de descuento del 12 % anual. Monto: $ 80.000 Para calcular el descuento bancario se aplica la frmula:

MdtDb =

200.3$200.3$

200.336012012.0000.80

deesbancoelaplicaquedescuentoElDb

Db

==

=



40 Ejemplo: Calcular el descuento bancario de un documento de $ 35.000, suscrito el 15 de marzo a 180 das de plazo, si se descuenta el 15 de junio del mismo ao a una tasa del 18% anual. Primero se representa el problema grficamente:

Clculo del tiempo: el nmero de das entre la fecha de descuento, 15 de junio y la fecha de vencimiento 11 de septiembre.

Plazo Tiempo de descuento Marzo Abril Mayo Junio Julio

Agosto Septiembre

Total

16 30 31 30 31 31 11

180 das

Junio Julio

Agosto Septiembre

Total

15 31 31 11

88 das



41 Aplicando la frmula, se tiene:

( ) 540.1$3608818.0000.35 ==Db

LECTURAS. Daz Mata, A, y V. Aguilera Gmez. Matemticas Financieras. Editorial McGraw Hill. 1987 Mxico. p.p. 46, 43, 50, 52 y 55. Ayres Jr., Frank. Matemticas Financieras. Editorial McGraw Hill. Mxico. 2003. p. 40. Mora Zambrano, Armando. Matemticas Financieras. Editorial Alfaomega. Mxico. 2006. p.p.31 a 34 y 81. Cissel. Cissel. Flaspohler. Matemticas Financieras. Editorial CECSA. Mxico. 2005. p.p. 32 a 38 y 4, 75. Autoevaluacin

1. Cul es la frmula para calcular el inters simple? 2. Cul es la diferencia entre tasa de inters e inters? 3. Cul es la diferencia entre tiempo exacto y tiempo aproximado?



42 4. Dibuja una grfica de tiempos y valores. 5. Cul es la frmula para calcular el monto a inters simple?



43

UNIDAD III

INTERS COMPUESTO

PRESENTACIN

El conocimiento y manejo del inters compuesto es necesario en las operaciones financieras a largo plazo, en operaciones de inversiones de capital, en los clculos del monto, del inters y del tiempo. Este tipo de inters se va capitalizando de acuerdo con el tiempo, medido en periodos de capitalizacin o de conversin. Igualmente, el concepto y aplicacin del valor actual es bsico en el inters compuesto para manejar en documentos e inversiones financieras en el largo plazo. Al finalizar esta unidad, el alumno tendr como:

CONTENIDO III.1 Conceptos generales. III.2 Monto compuesto. III.3 Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente. III.4 Valor actual. III.5 Valor futuro. III.6 Ecuaciones de valor equivalente. Autoevaluacin. Actividades de Aplicacin.

Objetivo

Conocer el concepto de inters compuesto y sus aplicaciones en la liquidacin de documentos financieros, endeudamiento e inversiones a cualquier plazo.



44

III.1 Conceptos generales. Es el inters de un capital al que se van acumulando los rditos para que produzcan otros. Cuando se calcula inters compuesto, el capital aumenta por la adicin de los intereses vencidos al final de cada uno de los perodos a que se refiere la tasa. Siempre que no se pague efectivamente el inters al final de un perodo, sino que se adicione al capital, se dice que los intereses se capitalizan. El inters compuesto se caracteriza porque el inters generado, en una unidad de tiempo, se suma al capital y este valor nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y as sucesivamente, tantas veces como perodos de capitalizacin se hayan establecido. III.2 Monto compuesto. El monto de un capital a inters compuesto o monto compuesto, es el valor del capital final o capital acumulado despus de sucesivas adiciones de los intereses. A diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como inters compuesto. Para cualquier periodo de capitalizacin y tasa de inters por periodo, se obtiene la frmula del monto en inters compuesto:

Frmula del monto en inters compuesto ( )niCM += 1



45 Entonces:

Frmula de inters compuesto

CMI =

El factor ( )ni+1 puede hallarse mediante calculadoras electrnicas, variando i y n o buscarse en tablas matemticas en funcin de las referidas variables. La frmula del monto tambin puede expresarse tomando en cuenta los periodos de capitalizacin menor de un ao: semestral, trimestral, bimestral, mensual, diaria o continua.

Frmula del monto en inters compuesto en funcin de m y t

tm

mjCM

+= 1

M = Monto. C = Capital inicial. j = tasa de inters nominal capitalizable varias veces. m = nmero de capitalizaciones en el ao. t = nmero de aos. Si la capitalizacin es anual (tasa efectiva), la frmula del monto en un ao es:

( )niCM += 1



46 Si la capitalizacin es semestral:

2

21

+= jCM

Si la capitalizacin es trimestral:

4

41

+= jCM

Si la capitalizacin es bimestral:

6

61

+= jCM

Si la capitalizacin es mensual:

12

121

+= jCM



47 Si la capitalizacin es quincenal:

12

241

+= jCM

Si la capitalizacin es diaria:

365360

3651,

3601

+=

+= jCMojCM

Si la capitalizacin es continua o instantnea, el valor del capital se capitaliza continuamente: j = tasa nominal C = capital inicial M = Monto t = nmero de aos

718281.2)11(lim =+= xx xe Ejemplo: Calcular el monto de un capital de $ 200.000 a inters compuesto durante 5 aos, si la tasa de inters es del 12% anual capitalizable en la siguiente forma:



48 Tasa del 12% efectiva:

( ) 34,468.352$12.01000.200 5 =+=M Tasa del 12% anual capitalizable semestralmente:

54,169.358$212.01000.200

10

=

+=M Tasa del 12% anual capitalizable trimestralmente:

25,222.361$412.01000.200

20

=

+=M Tasa del 12% anual capitalizable bimestralmente:

32,272.362$612.01000.200

30

=

+=M Tasa del 12% anual capitalizable mensualmente:

34,339.363$1212.01000.200

60

=

+=M Tasa del 12% anual capitalizable diariamente:

33,387.364$360

12.01000.2001800

=

+=M



49 Tasa del 12% anual capitalizacin continua:

( )( )( ) 76,423.364$718281.2000.200 512.0 ==M Como puede notarse, cuando el periodo de capitalizacin aumenta, se incrementan el monto y el inters compuesto. Ejemplo: Una empresa obtiene un prstamo de $ 3.000.000 a 6 aos de plazo, con una tasa de inters del 15% anual capitalizable semestralmente: Calcular el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento y el inters.

( )

( ) ( )( )

80,388.145.4$000.000.380,338.145.7

:

80,338.145.7$381780.2000.000.3075.1000.000.3075.01000.000.3

000.000.3

%5,7075.0215.0

126

126

:718281.2

1212

.

===

===+=

===

=

=

=

==

ICMI

pagardebequecompuestoInters

MM

C

semestrali

perodosn

nyicalculanSee

eCM tj



50 Monto compuesto con perodos de capitalizacin fraccionarios. Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de capitalizacin, se presenta el caso de los perodos de capitalizacin fraccionarios. Ejemplo: El tiempo de pago de una deuda es 4 aos y 9 meses y la tasa de inters del 14% capitalizable semestralmente. Se tiene que:

( ) semestresn 5.9657

69124 ==+=

Es decir, 9 semestres y una fraccin de semestre. Para el clculo del monto compuesto con periodos de capitalizacin fraccionario pueden aplicarse dos mtodos.

a) El matemtico que toma el valor exacto de n en la frmula del monto compuesto.

b) El comercial.

Ejemplo: Calcular el monto de una deuda de $ 4.000.000 a inters compuesto durante 6 aos y 3 meses de plazo, con una tasa de inters del 14% anual capitalizable semestralmente.



51 a). Clculo matemtico. ( )

( ) ( )34,740.318.9$

329685.2000.000.407.01000.000.4

07.0214.0

5,12675

63126

5.12

==+=

==

==+=

MM

i

ssemestralen

b). El clculo comercial que aplica la parte entera de n en la frmula del monto compuesto (inters compuesto) y la parte fraccionaria en la frmula del monto de inters simple. En otras palabras, el mtodo comercial aplica inters compuesto a la parte entera e inters simple a la parte fraccionaria. En el ejemplo anterior, con el mtodo comercial se tiene:

( )( )( ) 18,073.324.9$035.125219159,2000.000.4

6307.0107.1000.000.4 12

==

+=

M

M

Como puede apreciarse, el mtodo comercial da un resultado mayor que el mtodo matemtico. * En este procedimiento es necesario destacar que en la parte del clculo con inters simple debe relacionarse la tasa de inters por perodo con los meses o das que tiene el correspondiente perodo.



52 III.3 Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente. Tasas equivalentes Tasa nominal es aquella que puede ser capitalizable varias veces en un ao y se denomina ( )j . Tasa efectiva de inters es la que realmente acta sobre el capital una vez en el ao y se denomina ( )i . Se dice que dos tasas anuales de inters con diferentes perodos de conversin (capitalizacin) son equivalentes si producen el mismo inters compuesto al final de un ao. Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando producen la misma cantidad de dinero al final del ao. Ejemplo: Un capital de $1, al 18% anual capitalizable mensualmente, ser:

( ) ( ) 1956182,1$1956182,1105.111218.011 12

12

===

+=M A una tasa de inters efectiva del $ 19,56182 %: ( ) ( ) 1956182,1$1956182,111956182,011 ==+=M En este ejemplo se puede apreciar que la tasa nominal de 18% anual capitalizable mensualmente, es equivalente a la tasa efectiva del $19,56182 %, puesto que las dos producen el mismo resultado.



53

Frmula de equivalencia tasa nominal / tasa efectiva

( ) mmji

+=+ 11

Ejemplo: A qu tasa efectiva equivale un tasa nominal del 18% anual capitalizable trimestralmente?

( ) mmji

+=+ 11 En este caso:

( )( ) ( )( ) ( )( )

%25186,191925186,011925186,1

1925186,11045.11

045.011

418.011

4%18?

4

4

4

===

=+=+

+=+

+=+===

ii

ii

i

i

mji

Tambin se puede plantear el problema inverso: A qu tasa nominal capitalizable trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19,25186 %?



54 Para la solucin de este problema utilizamos la ecuacin de equivalencias:

( ) mmji

+=+ 11 Y reemplazamos

( )( ) 4

4

411925186,1

411925186,01

+=

+=+

j

j

Para encontrar la respuesta pueden emplearse dos mtodos: exponentes o radicales y logaritmos. Por exponentes o radicales. Elevamos ambos miembros a la misma potencia y la igualdad no se altera.

( )

( )%1818.0

045.044

045.0

41045.1

41045.1

41192518,1

44

41

===

=

=

+=

+=

jjj

j

j

j

j



55 Por logaritmos:

( )

( )

( )%1818.0

4045.04

045.0

41045.1

41045.1

41019116.0log

41log

4076465.0

41log4076465.0

41log192518,1log

4

===

=

=

+=

+=

+=

+=

+=

jjj

j

j

j

janti

j

j

j

III.4 Valor actual. El valor actual a inters compuesto es el valor de un documento, bien o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de inters. Por ejemplo: las siguientes preguntas y otras similares, se pueden responder mediante el clculo del valor actual: Cunto vale hoy una deuda de $ 1.000.000 que vencer en 5 aos? y En cunto se puede vender un documento de $ 5.000 que vence en 4 aos?



56

La expresin valor actual significa el valor de un pago futuro en una fecha determinada antes del vencimiento. El valor actual. Valor en el momento presente de los beneficios o de los costos del futuro, actualizados al costo de oportunidad o de sustitucin del capital. Para efecto se considera la frmula siguiente:

Frmula del valor actual a inters compuesto ( ) niMC += 1

Frmula del valor actual a inters compuesto en funcin de m y t

tm

MjMC

.

1

+=

Para capitalizaciones continas: tjeMC .=

e = 2.718281 Grficamente se puede ubicar el valor actual:



57 El valor actual puede calcularse en cualquier fecha comprendida entre la fecha de suscripcin y la fecha de vencimiento, segn las condiciones en que se establezca el clculo. Pueden haber dos casos generales: cuando el documento no gana inters y el valor nominal coincide con el monto o, cuando el documento gana inters y se requiere calcular el monto. Ejemplo: Calcular el valor actual de un pagar cuyo valor al vencimiento, al final de 4 aos, es de $ 3.500.000, considerando una tasa de inters del 12% anual capitalizable semestralmente (este es un ejemplo tpico del primer caso).

( )

( )( )

30,943.195.2$627412.0000.500.306.1000.500.3

212.01000.500.3

1

2;12.0;000.500.3$

8

42

.

===

+=

+====

CCC

C

mjMC

mjMtm

Entonces el valor actual es de $ 2.195.943,30



58 III.5 Valor futuro. Una de las tareas ms importantes del economista es la prediccin del comportamiento futuro de la economa. Los hombres de negocios utilizan estos pronsticos para la toma de decisiones referentes a inversin, produccin y mercadeo con la esperanza de obtener buenos resultados para sus compaas. Basndose en las predicciones del gobierno, los administradores adecuan sus polticas para promover el crecimiento econmico, el empleo y la estabilidad de los precios. En el Informe Econmico del Presidente de 1967, el Concejo de Economistas Estadounidense indicaba: Todos los encargados de la poltica nacional para el crecimiento econmico se han percatado de la importancia del inters compuesto. Si la economa estadounidense contina creciendo a razn del 4% anual, la produccin se duplicar en 18 aos se triplicar en 28 aos y se cuadruplicar en 35 aos. Si este potencial se reparte sabia y eficazmente mediante prcticas competitivas estn asegurados grandes avances en el sistema econmico de todos los estadounidenses. La tendencia estadounidense de aplaudir el crecimiento material ha dado como resultado no prestar ms que una mnima atencin a la calidad de vida de los habitantes, menos fcil de medir. La preocupacin por los problemas sanitarios, nutricin, contaminacin, etc., indica un cambio en la ordenacin de las prioridades, insistiendo tanto en la cantidad como en la calidad de los mismos. Cuando el economista se interesa por el aspecto monetario de los cambios que est estudiando, expresa los datos correspondientes en la unidad monetaria en uso. Otra vez su inters se centra en las modificaciones del producto real o actual, en cuyo caso debe presentar los datos de forma que se eliminen los efectos de las alteraciones de los precios y del valor del dinero. Una medida del volumen del producto se puede obtener mediante datos expresados en trminos de los precios de un ao base o en relacin a un poder de compra constante de ese ao base.



59 Un ejemplo de las clases de las series de tiempo con las que se acostumbran trabajar los economistas es la referida al Producto Nacional Bruto. El PNB (En ingles, GNP Gross National Product) es el indicador ms importante de la economa. Es el valor total en los precios de mercado corriente de todas las mercancas terminadas y los servicios producidos por la economa nacional en un ao o expresado a una tasa anual. Algunos economistas piensan que las polticas fiscales gubernamentales como los impuestos y los programas de gasto pblico son la causa fundamental del progreso econmico. Otros se inclinan por dar la mxima importancia a la poltica monetaria. Una poltica monetaria seguida por algunos economistas es el mantenimiento de un crecimiento uniforme de la oferta monetaria. El control de la cantidad de dinero es responsabilidad de las autoridades monetarias. Las existencias de dinero deban ser incrementadas hasta adecuarse a las que un incremento muy rpido de tales existencias puede provocar inflacin.

III.6 Ecuaciones de valor equivalente. Al igual que en inters simple, en inters compuesto tambin se utilizan las ecuaciones de valor cuando se requiere reemplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto de diferentes valores o capitales disponibles en diferentes tiempos, tomando en consideracin una fecha comn, llamada tambin fecha focal. Relacionando los valores y fechas con la fecha focal, se obtiene la ecuacin de valor, que permite igualar el conjunto de obligaciones iniciales con el conjunto de nuevas obligaciones. La siguiente grfica nos ayuda a explicar el procedimiento:



60

Sea, 321, MyMM las obligaciones que vencen en los perodos: dos, cuatro y siete, respectivamente, y se quiere reemplazarlas por un solo valor al final del quinto perodo, con una tasa de inters ( )i y una capitalizacin por perodo. Sea x el valor que reemplaza las tres obligaciones y al final del quinto perodo la fecha focal. Al relacionar sta con las obligaciones, se puede plantear la ecuacin de valor, de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ) 231231 111 +++++= iMiMiMS El primer valor M1 acumular inters durante 3 perodos; el segundo valor M2 acumular inters durante 1 perodo y el tercer valor M3 deber calcularse como valor actual por dos perodos. Ejemplo: Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $ 900.000 a 12 meses de plazo; $ 1.300.000 a 18 meses de plazo y $ 1.800.000 a 24 meses de plazo. Desea reemplazarlas por un solo pago el da de hoy, cul ser el valor de ese pago, considerando una tasa de inters del 15% capitalizable semestralmente?



61

Para resolver el problema se toma como fecha focal el da de hoy, por ser la fecha en que parar las deudas y se asigna la letra x al valor de reemplazo. Todos los valores que hay que calcular sern valores actuales.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

80,090.173.3$80,841.347.130,449.046.170,799.778

748801.0000.800.1804961.0000.300.1865333,0000.900075.1000.800.1075.1000.300.1075.1000.900

215.01000.800.1

215.01000.300.1

215.01000.900

432

432

=++=

++=++=

++

++

+=

xxxx

x

Si en el mismo problema la empresa consigue que sus acreedores le acepten consolidar sus tres deudas para cancelarlas al final de 24 meses, cul ser el valor de este pago?



62 Se toman 24 meses como fecha focal por ser la fecha de pago; los dos primeros valores sern montos por cuanto ganarn intereses por 2 y 1 perodos y el ltimo no se altera: x = 900.000(1 + 0.075)2 + 1.3000.000(1 + 0.075)1 + 1.8000.000 x = 900.000(1,155625) + 1.3000.000(1.075) + 1.8000.000 x = 1.040.0625,50 + 1.397.500 + 1.800.000 x = $4.237.652,50 Como puede observarse, el resultado es mayor que el del primer problema, puesto que se realiza el pago al final, en consecuencia, tiene que pagar ms intereses. LECTURAS. Hernndez Hernndez, Abraham. Matemticas Financieras. Editorial ECAFSA. Mxico. 1996. p. 133. Daz Mata, A, y V. Aguilera Gmez.Matemticas Financieras. Editorial McGraw Hill. Mxico. 1987. p.p. 65, 73 a 74, 78, 80 y 84. Mora Zambrano, Armando. Matemticas Financieras. Editorial Alfaomega. Mxico. 2006. p.p.111, 116, 122, 138 y 147. Cissel, Flaspohler. Matemticas Financieras. Editorial CECSA. Mxico. 2005. p.p. 107, 119, 129, 150 y 161.



63 Autoevaluacin

1. Cul es la diferencia entre el inters simple y el inters

compuesto? 2. Cul es la frmula del monto en inters compuesto? 3. Cmo se calcula el inters compuesto? 4. En qu se diferencia una tasa de inters efectiva de una tasa de

inters nominal capitalizable varias veces en el ao? 5. Qu es ms conveniente para un inversionista: una tasa de inters

del 45% efectiva o una tasa del 39% anual capitalizable mensualmente?

6. Cmo se calcula el precio de un documento con un inters

compuesto?



64

UNIDAD IV

ANUALIDADES

PRESENTACIN

Las anualidades o rentas son utilizadas con mucha frecuencia en operaciones financieras de endeudamiento y de formacin de capitales, mediante cuotas peridicas o series de pagos o depsitos, es decir, sirven para formar capitales o para reducir deudas mediante cuotas peridicas. Son muy tiles para la elaboracin de tablas de amortizacin gradual, tablas de valor futuro, para el clculo de cuotas peridicas, ya sea para cancelar una deuda o formar un capital. La anualidades o rentas se emplean en los clculos de plizas de seguros, cuotas de pago, cuotas de depsito, clculo actuarial, compras a plazo, prstamos a largo plazo, prstamos hipotecarios y otros, por lo tanto, analizarlas en el rea financiera. Para estudiarlas y manejarlas adecuadamente, es imprescindible dominar el inters simple y el inters compuesto. Al finalizar esta Unidad, el alumno tendr como:

Objetivo

Conocer y manejar los mecanismos de clculo que faciliten la forma de acumular capitales o de amortizar endeudamientos mediante cuotas peridicas.



65 CONTENIDO IV.1 introduccin y terminologa. IV.2 Anualidades ordinarias. IV.3 Anualidades anticipadas. IV.4 Anualidades diferidas. IV.5 Anualidades caso general. Autoevaluacin. Actividades de Aplicacin. IV.1 Introduccin y terminologa. Una anualidad es una serie de pagos peridicos iguales. Puede consistir en el pago o depsito de una suma de dinero a la cual se le reconoce una tasa de inters por perodo. Renta: el valor de cada pago peridico recibe el nombre de renta, o simplemente anualidad. Es la renta o anualidad que aparece asociada con los pagos o depsitos peridicos de sumas de dinero, como los dividendos de acciones, cupones de bonos, cuotas, pensiones, cuotas de amortizacin, cuotas de depreciacin, etctera. Las anualidades o rentas constituyen una sucesin o serie, de depsitos o de pagos peridicos, generalmente iguales, con sus respectivos intereses por perodo, y se las puede expresar grficamente, como se observa en el ejemplo siguiente donde aparecen 6 perodos y sus correspondientes 6 pagos o depsitos (R):



66

Clasificacin de las anualidades o rentas. Antes de esbozar una clasificacin de las rentas, es necesario definir algunos conceptos: Perodo de pago o perodo de la anualidad: tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos; puede ser diario, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral, anual, etctera. Tiempo o plazo de una anualidad: intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer perodo de pagos y el final del ltimo. Tasa de una anualidad: tipo de inters que se fija para el pago de las rentas o anualidades; puede ser nominal o efectiva. Renta: valor del pago o depsito peridico. Renta anual: suma de los pagos o depsitos efectuados en un ao. Rentas perpetuas: serie de pagos que han de efectuarse indefinidamente. Justin H. Moore y Lincoyn Portus Govinden coinciden en clasificar las anualidades o rentas de la siguiente forma: Anualidades eventuales o contingentes: aquellas en la que el

comienzo y el fin de la serie de pagos son imprevistos y dependen de algn acontecimiento externo. Ejemplo: los seguros de vida, de accidentes, incendios, robo, etctera.

Anualidades ciertas: aquellas en las que su fecha inicial y

terminal se conocen por estar establecidas en forma concreta. Ejemplo: las cuotas de prstamos hipotecarios o quirografarios, pago de intereses de bonos, etctera.



67 IV.2 Anualidades ordinarias. Son aquellas en las que el depsito, pago o renta y la liquidacin de intereses se realiza al final de cada perodo. Ejemplo: pago de cuotas mensuales por deudas a plazo. R R R R R R 0 1 2 3 4 5 6 IV.2 Anualidades anticipadas. Son aquellas en las que el depsito, el pago y la liquidacin de los intereses se hacen al principio de cada perodo. Ejemplo: pago de cuotas por adelantado. R R R R R R 0 1 2 3 4 5 6 IV.4 Anualidades diferidas. Son aquellas cuyo plazo comienza despus de transcurrido determinado intervalo de tiempo establecido. Ejemplo: prstamos con perodos de gracia. Perodo de gracia R R R R 0 1 2 3 4 5 6



68 IV.5 Anualidades caso general. Son aquellas cuyos perodos de pago o de depsito y de capitalizacin no coinciden. Por ejemplo, cuando se hace una serie de depsitos trimestrales y la capitalizacin de los intereses es semestral. Las anualidades ciertas y las eventuales pueden ser vencidas o anticipadas; y stas a su vez pueden ser diferidas, perpetuas y perpetuas diferidas.

Cuadro resumen de la clasificacin de las anualidades

Anualidades ciertas Anualidades eventuales

Vencidas Anticipadas Vencidas Anticipadas

Diferidas perpetuas Perpetuas diferidas




Anualidades vencidas Del conjunto de anualidades que se acaban de detallar, se explicarn las ms comunes, que son las anualidades ciertas vencidas simples, es decir, aquellas que vencen al final de cada perodo y cuyo perodo de pago coinciden con el de capitalizacin. El valor de una anualidad calculada a su terminacin es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual a presente. El monto de una anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos depsitos, cada uno acumulado hasta el trmino del plazo. El valor actual A de una anualidad es la suma de los valores actuales de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo.



69 Estas dos definiciones bastante completas, radica la base de la expresin prctica del monto y del valor presente o valor actual de una anualidad, as como la deduccin de las respectivas frmulas. Para la deduccin de la frmula del monto de una anualidad, se toma como fecha focal el trmino de la anualidad .Para la deduccin de la frmula del valor actual de una anualidad, se toma como fecha focal el tiempo cero o inicio de la anualidad. Monto de una anualidad Sea una anualidad o renta de $ 10.000 al final de cada 6 meses durante 3 aos, al 12% anual capitalizable semestralmente (anualidad vencida).

Frmula del monto de una anualidad

( )

+=

iiRS

n 11

Para calcular el monto (S) de la anualidad, se toma como fecha focal el final del ao 3.

06.0212.0;6: === inEntonces



70 Cada renta ganar intereses durante los perodos que falten hasta el trmino de la anualidad, o hasta el ltimo depsito renta. Por lo tanto, se pueden sumar: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 000.1006.1000.1006.1000.1006.1000.1006.1000.1006.01000.10

2

345

++++++=S

Se puede sacar el factor comn: 10.000

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]5432 06.106.106.106.106.11000.10 +++++=S Resulta una progresin geomtrica cuya razn es (1.06)

6;06.1;11

====

nrar

aarSn

Entonces:

( ) ( )183,753.69$

975318.6000.10106.1

106.1000.106

==

=

S

S



71 Generalizando: R = $ 10.000; i = 0.06; S = monto; n = 6 Valor actual de una anualidad El valor actual de la misma anualidad puede calcularse tomando como fecha focal el inicio de la anualidad. Cada renta se calcular con el valor actual que le corresponde, relacionada con el inicio de la anualidad y con la respectiva tasa de inters. Para la demostracin, se utilizar un ejemplo similar al anterior, pero en este caso se trata de una serie de pagos semestrales de $ 10.000 durante 3 aos con una tasa de inters del 12% anual, capitalizable semestralmente.

Frmula del valor actual de una anualidad ordinaria simple

( )

+=

iiRA

n11

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 654

321

06.1000.1006.1000.1006.1000.10

06.1000.1006.1000.1006.01000.10

++++++=A



72 Encontrar el factor comn: [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]654321 06.106.106.106.106.106.1000.10 +++++=A Resulta una progresin geomtrica cuya razn ( ) 106.1 1

raraS

n

=

1

Entonces:

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( )

( ) 24,173.49$917324.4000.1006.06.01000.10

06.1106.1

06.106.11

06.11

000.10

06.1106.106.106.1000.10

6

6

1

6111

==

=

=

=

A

A

A

A



73 Los smbolos utilizados en las frmulas de monto y de valor actual de las anualidades son: R = el pago peridico o renta. I = tasa de inters por perodo de capitalizacin. j = tasa nominal anual. n = nmero de perodos de pago. S = monto de una anualidad o suma de todas sus rentas. A = valor actual de una anualidad o suma de los valores actuales de las rentas. Tanto la S como A pueden calcularse directamente mediante calculadoras electrnicas, por logaritmos o utilizando las tablas de valores por tasa de inters (i) y por perodo de pago (n).

LECTURAS. Daz Mata, A, y V. Aguilera Gmez.Matemticas Financieras. Editorial McGraw Hill. Mxico. 1987. p.p. 80, 125 a 126, 155, 171, 180 y 187. Ayres Jr. Frank. Matemticas Financieras. Editorial McGraw Hill. Mxico. 2003. p. 80. Mora Zambrano, Armando. Matemticas Financieras. Editorial Alfaomega. Mxico. 2006. p.p. 165, 167 a 168 y 178. Cissel. Cissel. Flaspohler. Matemticas Financieras. Editorial CECSA. Mxico. 2005. p.p. 177 a 178, 224, 235 y 261.

Autoevaluacin 1. En qu consiste una anualidad o renta?



74 2. Cmo se clasifican las anualidades? 3. Qu es una anualidad cierta, ordinaria y simple? 4. Cul es la frmula del monto de una anualidad ordinaria? 5. Cul es la frmula del valor actual de una anualidad ordinaria? 6. Cul es la frmula del monto de una anualidad anticipada?



75

UNIDAD V

AMORTIZACIN Y FONDOS DE AMORTIZACIN

PRESENTACIN

La amortizacin y los fondos de valor futuro, o fondos de amortizacin, son aplicaciones de las anualidades o rentas estudiadas en la Unidad anterior. En el caso de las amortizaciones se utiliza para programas de endeudamiento a largo plazo y de los fondos de amortizacin, para construir fondos de valor futuro. Actualmente, el sistema de amortizacin gradual tiene una utilizacin bastante acentuada en todo el sistema financiero, compuesto por bancos, cooperativas, mutualistas, financieras, etc., en lo que respecta al crdito a mediano y largo plazo, ya sea para la compra de bienes inmuebles como terrenos, casas o departamentos- o para la adquisicin de automotores, maquinaria o crdito comercial. Asimismo, para la construccin de fondos de valor futuro o fondos de depreciacin, con el propsito de reponer activos fijos o para formar capitales o seguros cuyo propsito sea otorgar pensiones. Al finalizar esta Unidad, el alumno tendr como:

Objetivo

Manejar el proceso de amortizacin gradual, as como el proceso de formacin de fondos de valor futuro.



76 CONTENIDO V.1 Conceptos generales. V.2 Tablas de amortizacin. V.3 Importe de los pagos. V.4 Nmero de pagos. V.5 Tasa de inters. V.6 Depsitos a un fondo de amortizacin. V.7 Nmero de depsitos. V.8 Tasa de inters. Autoevaluacin. Actividades de Aplicacin. V.1 Conceptos generales. Amortizacin Es muy frecuente la utilizacin del trmino amortizar como el proceso de extincin de una deuda, con su inters compuesto, mediante una renta o pago durante un determinado nmero de perodos. En esta Gua de Autoestudio se emplear este trmino en ese sentido. Amortizar es el proceso de cancelar un deuda y sus intereses por medio de pagos peridicos. Amortizar: se dice que un documento que causa intereses est amortizado cuando todas las obligaciones contradas (tanto capital como intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos (generalmente iguales) hechos en intervalos de tiempo iguales.



77 Clculo de la cuota o renta En al amortizacin cada renta o pago sirve para cubrir los intereses y reducir el capital, es decir, cada pago est compuesto por capital e intereses. La composicin del pago o renta, aunque es constante en su cantidad, vara en funcin del nmero de periodos de pago: mientras aumenta el nmero, disminuir el inters y se incrementar el capital por cuota .En el siguiente grfico puede observarse el comportamiento de la amortizacin.

En general, cuando el nmero de cuotas es grande, en las primeras cuotas se paga ms inters y en las ltimas ms capital. Para el clculo de la cuota o renta se utiliza la frmula de la renta en funcin del valor actual de una anualidad vencida.

( )i

niAR += 11



78 Ejemplo: Una empresa consigue un prstamo de $ 3.000.000 con una tasa de inters del 14% anual capitalizable semestralmente, el cual ser amortizado mediante pagos iguales, cada semestre, durante 3 aos y 6 meses. Calcular el valor del pago semestral.

( )i

niAR += 11

( )( )[ ]

( ) 66,659.556$389289,5000.000.3

07.007.11000.000.3

07.0214.0

21803607

66123;?;000.000.3$

7 ===

==

===+===

R

i

mnRA

El valor del pago o cuota semestral ser de $ 556.659,66. En esa cuota estn incluidos el inters y el capital, este ltimo se utiliza para reducir la deuda. Con el transcurso del tiempo y a medida que se van pagando cuotas, disminuye el inters y aumenta el capital por cada cuota, como se muestra en el grfico anterior del comportamiento de una amortizacin.



79 V.2 Tablas de amortizacin. Capital insoluto y tabla de amortizacin. La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha. El capital insoluto, justamente despus de que se ha efectuado un pago, es el valor presente de todos los pagos que an faltan por hacerse. La parte de la deuda no pagada constituye el saldo insoluto, como se muestra en el siguiente cuadro denominado Tabla de amortizacin. Utilizando los datos del ejemplo anterior. Se detallan los periodos, el capital insoluto, el inters, la cuota y el capital pagado.

Forma de elaboracin de la tabla de amortizacin gradual. El inters vencido al final del primer perodo es: ( )( ) 000.210$107.0000.000.3; === ICitI



80 El capital pagado al final del primer perodo es: Cuota- inters = 556.659,66 210.000 = $ 346.659,66 El capital insoluto para el segundo perodo, que es a la vez el saldo de la deuda al final del primer perodo, es: Capital al principio del primer perodo capital pagado al final del primer perodo.

34,340.653.2$66,659.346000.000.3 == El inters vencido al final del segundo perodo es: ( )( ) 82,733.185$107.0340.653.2 ==I El capital pagado al final del segundo perodo es:

84,925.370$82,733.18566,659.556 = El capital insoluto para el tercer perodo es:

20,414.282.2$84,925.37034,340.653.2 = Y as sucesivamente hasta el ltimo perodo, en el cual debe coincidir el capital insoluto al principio del ltimo perodo con el capital pagado al final del ltimo perodo, cuando se cancela la deuda. La columna 4 de la tabla Cuota o Pago , menos la columna 3, Inters vencido al final del perodo, deben dar como resultado la columna 5: capital pagado al final del perodo.



81 La columna 6 es la diferencia de la columna 2 menos la columna 5 en cada perodo, tanto horizontal como verticalmente. A veces pueden ocurrir pequeas diferencias debido a las aproximaciones; en estos casos, deben reajustarse. V.3 Importe de los pagos. Como en las secciones siguientes se utilizaran las tablas de amortizacin por el momento es suficiente con esta ilustracin. De lo que se ha visto aqu, se puede apreciar que las operaciones de amortizacin se resuelven utilizando las frmulas de anualidades de acuerdo con las condiciones de amortizacin planteadas. Como el tema de anualidades ya ha sido cubierto ampliamente, en las secciones siguientes se hace hincapi en el anlisis de las cuatro principales incgnitas que se pueden plantear en una operacin de este tipo, a saber: El importe de los pagos. El nmero de pagos. La tasa de inters. Los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del

acreedor.

Frmula del importe de los pagos en una amortizacin

( ) niCiR += 11

Ejemplo: Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortizacin para saldar un adeudo de $4.000 contratado a 42% convertible bimestralmente, si la deuda ha quedar saldada al cabo de un ano, haciendo pagos bimestrales comenzando dentro de dos meses.



82

07.0642.0

6000.4

====

i

nC

( ) niCiR += 11

( )( ) 18.83933365778.0

28007.11

07.040006 === R

FECHA PAGO

BIMESTRAL 7% INTERS

SOBRE SALDO AMORTIZACIN SALDO

Al momento de la operacin 4 000.00 Fin del bimestre 1 839.18 280.00 559.18 3 440.82 Fin del bimestre 2 839.18 240.86 598.32 2 842.50 Fin del bimestre 3 839.18 198.97 640.21 2 202.29 Fin del bimestre 4 839.18 154.16 685.02 1 517.27 Fin del bimestre 5 839.18 106.21 732.97 784.30 Fin del bimestre 6 839.20* 54.90 784.30 0.00

Totales 4 195.90 1 035.10 4 000.00

*Se ajust para compensar las diferencias por redondeo. Una situacin en la que no todos los pagos son iguales. Ejemplo: Una deuda de $1.000 se debe amortizar en 12 meses haciendo 3 pagos de $ 350 al final de otros tantos periodos de 3 meses y un pago que salde la deuda al cabo de 12 meses el tipo de inters es de 20% capitalizable trimestralmente, elabore una tabla de amortizacin para la deuda.



83 Ver tabla siguiente:

Fecha Pago cada 3

meses

5 % inters sobre

saldo

Amortizacin Saldo

Al momento de la

operacin

Fin del trimestre 1

Fin del trimestre 2

Fin del trimestre 3

Fin del trimestre 4

Totales

350.00

350.00

350.00

56.96

1.106,96

50.00

35.00

19.25

2.71

106.96

300.00

315.00

330.75

54.25

1.000.00

1.000.00

700.00

385.00

54.25

0.00

Ntese como sabiendo el importe de los primeros pagos se puede ir construyendo directamente la tabla para llegar exactamente al ltimo periodo, calcular el valor del ltimo pago sumando el saldo a los intereses (54.25 + 2.71 = 56.96). V.4 Nmeros de pagos.

Frmula de nmero de pagos en una amortizacin ( )

iiRC

n+= 11



84 Ejemplo: Cuntos pagos mensuales de $ 119.00 son necesarios para saldar una deuda de $ 1.800.00 contratada hoy a 32.4% convertible mensualmente?

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) 70314897.19

01157045.022797430.0

027.1log59159664.0log

027.1log119

027.000.800.11log

1log

1log

1log1log

11

11

11

?119

027.012324.0

00.800.1

===

=+

=

=+

=+

+=

+===

===

n

iRCi

n

RCiin

RCii

iRCi

iiRCDe

nR

i

C

n

n

n

Sera necesario:

a) Hacer 18 pagos de $ 119.00 y un pago final mayor o. b) Hacer 19 pagos de $ 119.00 y un pago final menor a saber.



85

a).- Al final del pago 18 el saldo insoluto sera (derechos del acreedor):

( ) ( )52.19512,712.264,907.2027.0

1027.1119027.100,800.117

18

==

Este saldo quedara en manos del deudor otro mes, por lo que su valor al final de este ltimo mes sera: ( ) 80.200027.152.195 = Que sera lo que habra de pagar en el decimonoveno mes para liquidar totalmente la deuda. b).- Como alternativa de pago, si abona 19 mensualidades de $ 119.00 el saldo al cabo del vigsimo pago sera:

( ) ( )80.8135,904.215,986.2027.0

1027.1119027.100,800.119

19

==

Si realiza el ltimo pago en el mes 20, el valor de este saldo en ese momento sera: ( ) 01.84$027.180.81 = Y con este pago se lquida tambin totalmente la deuda.



86 Debe notarse que las dos maneras de liquidar el pago final son equivalentes; la adopcin de una u otra alternativa dependern de lo que resulte ms conveniente para acreedor y deudor. V.5 Tasa de inters. En ocasiones es necesario determinar la tasa de inters que se carga en la operacin. Ejemplo: Una mquina de coser usada cuesta $ 820.00 al contado. El plan a crdito es de $ 270.00 de enganche y 10 pagos quincenales de $58.00. Cul es la tasa de inters que se cobra en la operacin?

( )( ) 48275862.911

1158550

?1258550

10

10

=+

+=====

ii

ii

inRC

Para determinar i , en primer lugar, se ensayan diferentes valores de i que arrojen el valor ( )

ii 1011 +

lo ms prximo posible a

9.48275862:



87 ( )

( )( )( ) 48656454.9

0097.00097.110097.0

496757904.90095.00095.110095.0

47130453.901.001.1101.0

98258501.802.002.1102.0

10

10

10

10

==

==

==

==

i

i

i

ipara

Interpolando.

( )( )00977482.0

00007482.00097.024940482.00003.00097.0

24940482.048656454.947130453.948656454.948275862.9

0097.001.00097.0

=+=+==

=

ii

i

Para verificar que tenemos el valor correcto:

( ) 48275526.900977482.000977482.11 10 =

9.4865 6454 9.48275862 9.47130453

0.0097 i 0.01



88 Con slo una diferencia pequea y despreciable. Debida al redondeo. As pues, la tasa de inters que se cobra en la operacin es de 0.97% quincenales (23.46% anual convertible quincenalmente). V.6 Depsitos a un fondo de amortizacin. Como se vio en la introduccin, el caso de fondo de amortizacin se distingue porque aqu la deuda que se va a amortizar se plantea a futuro, y lo que se hace es constituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales y peridicos) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que permita pagar la deuda a su vencimiento. En seguida se presenta un ejemplo que ilustra el caso en el que es necesario determinar el valor de los depsitos: Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $ 400.000,00. Para asegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo mediante depsitos mensuales a una cuenta que paga 9% convertible mensualmente. a).- De cunto deben ser los depsitos? b).- Haga una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo. a).- En este caso los $ 400.000,00 son un monto, ya que su valor es a futuro por lo que:

60075.01209.0?00,000.400 ===== niRM



89

Y ( )

iiRM

n 11 +=

( )( )

( )56,427.65

56,427.65045852.03000

10075.10075.000,000.400

11 6

====+=

RiMiR n

b).-La tabla: Fecha Depsito por

perodo

Intereses Total que se

suma al fondo

Saldo

Fin del mes 1

Fin del mes 2

Fin del mes 3

Fin del mes 4

Fin del mes 5

Fin del mes 6

Tota

a21- calculo financiero empresarial by maya umed

Documents