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A los docentes de 6° grado
Nos acercamos a ustedes para ofrecerles esta primera secuencia, cuyo propósito es
acompañarlos en la tarea de fortalecer las trayectorias escolares de los alumnos de 6° grado, a
partir de la necesidad de priorizar contenidos, dado que los tiempos se han reducido y los
estudiantes tendrán que enfrentar muy pronto la etapa de transición a la escuela secundaria.
El estudio de los números racionales ocupa un lugar central en los aprendizajes del
segundo ciclo, cuyo tratamiento sistemático comienza en cuarto grado pero se extiende más
allá de la escuela primaria. Por ello, en esta primera secuencia, hemos priorizado algunos
significados y las relaciones que se establecen entre las fracciones.
La intencionalidad de esta propuesta es contribuir con el trabajo concreto del aula
pero a su vez no obstaculizar la autonomía del docente y la singularidad de cada grupo. Si bien
las actividades están secuenciadas y responden a un recorte y selección de saberes, su carácter
es orientador y el docente puede adaptarlas.
El tratamiento del campo numérico de los racionales es una tarea compleja y es necesario que los estudiantes superen ciertos obstáculos para comprenderlos. Efectivamente el funcionamiento de los números racionales supone una ruptura con relación a los números que conocen hasta ese momento: las fracciones se representan con dos naturales, hay infinitas representaciones para un mismo número, los racionales no tienen siguiente y existen infinitos racionales entre otros dos…
Las actividades están pensadas para que la clase sea el espacio en el que los niños
tienen la oportunidad de elaborar estrategias de resolución, las confronten, defiendan sus ideas,
produzcan justificaciones, analicen, comparen, validen procedimientos…
Las situaciones que se presentan como: “Para seguir pensando” pretenden que se
profundice sobre lo trabajado anteriormente y se enriquezcan los conocimientos.
Es esencial que después de cada actividad se organice una puesta en común que
permita a los estudiantes describir sus acciones, volver sobre sus propios procesos, comunicar
procedimientos y resultados, elaborar argumentos, tomar conciencia de su validez y tratar de
comprender los argumentos de sus compañeros… Es decir, se conviertan en genuinos espacios
de enseñanza y aprendizaje donde se involucra un saber matemático y se crean las condiciones
para que los niños avancen en sus concepciones.
Las autoras
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SECUENCIA 1
Fraccionar, ¿es partir, repartir o dividir?
Introducción
En el inicio de la escolaridad los niños trabajan únicamente con los números naturales. Si
bien, reconocen las escrituras fraccionarias en los contextos de uso, en la vida diaria, en los
envases, ofertas, compras, etc., el estudio de las fracciones se sistematiza en el segundo ciclo.
Esta secuencia tiene como propósito contribuir con el abordaje de las fracciones que si
bien en el Diseño Curricular se propone un tratamiento conjunto de los dos tipos de escrituras,
fraccionarias y decimales, decidimos en esta primera secuencia considerar sólo el estudio de las
fracciones.
Las fracciones como pares ordenados de números naturales escritos de la forma 𝑎
𝑏 se
utilizan en distintas situaciones y contextos, que aunque en muchos casos pareciera que no
tienen nada en común, ponen en juego diferentes significados de un mismo objeto matemático.
La complejidad del concepto de fracción conduce a que desde la enseñanza se promueva
un largo proceso, que a partir de los diferentes significados permita evolucionar en los
aprendizajes, de modo que en la escuela secundaria, se llegue a la conceptualización del
número racional como el constructo teórico que sintetiza esas interpretaciones.
Así lo afirman Llinares y Sánchez en su obra1... “Hay un largo camino por recorrer desde
las primeras ideas intuitivas de mitades y tercios hasta la consideración de las fracciones como
elementos integrantes de una estructura algebraica.”
Ante la perspectiva de diseñar el tratamiento de este tipo de números es necesario
analizar en qué tipo de problemas funcionan como herramientas óptimas de resolución.
Los números racionales son útiles para:
establecer relaciones entre cantidades enteras y las partes en que pueden serdivididas y entre las partes entre sí
expresar el resultado de un reparto equitativo determinar una medición a partir de establecer una relación con una unidad de
medida expresar una relación de proporcionalidad directa a través de porcentajes,
escalas, constantes de proporcionalidad…
1 Llinares, Salvador y Sánchez, Ma. Victoria. Fracciones 4. La relación parte todo Editorial Síntesis (1997)
5
Considerando lo que los niños han trabajado en años anteriores, en esta propuesta
presentamos situaciones que involucran los significados: relación parte-todo, reparto y
división, como así también el establecimiento de relaciones de equivalencia y orden entre
fracciones.
En 4to y 5° grado, seguramente, los niños se han enfrentado a problemas que les han
permitido interpretar, registrar o comparar resultados de particiones o repartos a través de
escrituras fraccionarias. Asimismo el repertorio de fracciones, que comenzó con medios, cuartos
y octavos se amplía a novenos, quintos, décimos y centésimos.
En 6° grado, las situaciones que se plantean tienen como intencionalidad analizar y
profundizar el comportamiento de estos números a partir del reconocimiento y uso de los
números fraccionarios, en situaciones que impliquen:
Utilizar las fracciones para expresar relaciones entre las partes y el todo, resultados derepartos y su vínculo con la cuenta de dividir.
Establecer relaciones entre fracciones y la división entre números naturales. Comparar fracciones de uso frecuente entre sí y con números naturales elaborando
diferentes argumentos que validen las relaciones. Utilizar diferentes estrategias para comparar fracciones.
Establecer relaciones de equivalencia y de orden entre fracciones.
En la secuencia se proponen nueve actividades de aprendizaje y una última que se
plantea como evaluación de todo lo trabajado.
Las tareas matemáticas hacen foco en el desarrollo de la capacidad de la resolución de
problemas e intentan recuperar el carácter productor de conocimientos que tienen los
problemas.
6
Actividad 1
Esta actividad propone el establecimiento de relaciones entre las partes y un todo sobre un contexto
continuo; y el uso de las fracciones para expresarlas. Su intencionalidad es promover la discusión,
justificación y validación de las situaciones en las que se plantea el análisis de la relación de una
figura con respecto a otra. Así por ejemplo se podrá afirmar que la figura A representa 1
3 de la figura
D porque con tres figuras A se cubre toda la figura D. O que la figura E representa la mitad de la
figura G, la estrella, porque si bien no tienen la misma forma con los triángulos de la estrella se
pueden armar dos hexágonos.
La noción de fracción que se pone en juego permite decidir que una determinada parte es fracción del
entero si con tantas partes, como indica el denominador, se cubre todo el entero.
Objetivos: Reconocer fracciones como expresiones de la relación parte-todo
Organización de la clase: Este trabajo se propone en grupos de cuatro integrantes
Las fichas del Triominó
El Triominó2 es un juego de mesa que deriva del popular dominó
cuyas fichas son triangulares. Es posible jugar individualmente o en
grupos de hasta 6 jugadores.
Para jugar, en su turno, cada jugador colocará una de sus piezas de
modo que coincidan los dos números y el número en cada esquina
debe coincidir con la esquina de la otra pieza. A veces en lugar de
números las fichas pueden tener figuras o pictogramas.
Los chicos de un grupo de 6° grado, estaban jugando al triominó y a Javier se le ocurrió sacar
fotos a las distintas figuras que quedaron formadas con los triángulos.
Aquí dibujamos algunas:
C D E
G
A
B F
De acuerdo a las figuras, analicen las expresiones de los chicos
y expliquen con cuáles están de acuerdo y con cuáles no
Sofía: - “el triángulo A representa 1
3 de la figura D”
Julián:- “la figura E representa la mitad de la figura G”
2Este juego fue inventado en el año 2007 en EE.UU por Allan Cowan.
Para distinguirlas cada
figura tiene una letra
Las expresiones en las que se
propone determinar su valor de
verdad llevan a analizar que una
parte representa una fracción de la
figura entera, si el área se cubre con
cierta cantidad de partes sin que
necesariamente tengan la misma
forma.
7
Marcos:-“la figura C es 2
6 de la figura G”
La tarea que sigue, exige que se reconozcan las relaciones entre una figura y la que se considera como
entero, y se expresen numéricamente con una fracción. Asimismo requiere que tomen decisiones acerca
de la validez de ciertas relaciones y justifiquen lo que piensan. Por ejemplo en el ítem d) podrán afirmar
que es verdad que la figura B representa 1
3 de la G porque con tres triángulos B se cubre toda la estrella
G. En el caso del ítem e) podrán afirmar que no es cierto porque la figura E no se cubre con cuatro
figuras B sino con tres
Ahora analicen las figuras y respondan:
a) ¿Qué parte de la figura F se cubre con la figura A?
b) ¿Qué parte de la figura E se cubre con la figura D?
c) ¿Es cierto que se necesitan seis figuras C para cubrir la figura G? Si es la respuesta essí, ¿cómo expresan numéricamente esa relación?
d) ¿Es verdad que la figura B representa 1
3 de la figura G? Justifiquen lo que piensan
e) ¿Es cierto que la figura B es 1
4 de la figura E? Expliquen por qué
En la puesta en común se pondrán a discusión los argumentos que permiten la toma de decisiones
acerca de la validez de las relaciones encontradas y la manera de explicitarlas. Por ejemplo podrán
decir que la figura A representa 1
6 de la E porque con seis triángulos se cubre el hexágono. Si en
algunos casos las respuestas fueran la mitad o la tercera parte será el momento oportuno para
plantear su escritura como fracción 1
2 ,
1
3…
En los ítems c) d) y e) las preguntas plantean interrogantes para validar las relaciones, lo que exige
que los chicos elaboren argumentos para justificar las respuestas. Por ejemplo en el ítem c) la figura C
representa 1
6 de la figura G porque con 6 figuras C se cubre la figura G.
Tarea Es interesante enfrentar a los niños a situaciones que
impliquen la reconstrucción del entero a partir de una
parte como la que se propone de tarea.
En una fiesta de cumpleaños se comieron dos tercios del pastel y quedó esto:
Para seguir pensando:
Lucía dice que la figura F representa 2 1
2 de la figura D ¿Están
de acuerdo? Registren como lo pensaron
Para leer y recordar
Si una figura se cubre con tres partes
iguales, entonces cada parte representa 1
3
de esa figura y es una fracción 1
3 numerador
denominador
8
¿Qué forma podría tener el pastel?
Actividad 2
Las situaciones de la actividad que sigue, plantean establecer relaciones entre fracciones que expresan
resultados de mediciones de capacidades o pesos. Las mismas exigen la reconstrucción del entero a
partir de las partes, es decir analizar cuántas partes completan el entero.
El ítem e) propone hallar escrituras equivalentes para un mismo número fraccionario, mientras que el
ítem f) exige establecer equivalencias entre octavos, cuartos y medios, para decidir qué fracción es
menor. Se podrá analizar, entonces, que dos octavos representan un cuarto, o 2
16representan
1
8. Entre
novenos y tercios es posible explicitar que tres novenos representan un tercio.
Objetivos: Resolver situaciones que involucran fracciones como expresiones de la relación
parte-todo
Organización de la clase: Se propone en parejas
Una fiesta de amigos
Para el día del amigo los chicos de 6° grado decidieron hacer una fiesta en la casa de Lucía.
a. Si compraron 3 3
4litros de gaseosa y quieren llenar vasitos de
1
4 litro, ¿para cuántos vasitos les
alcanzará?
b. Si los invitados serán 27 chicos ¿Cuántas botellas de 2 1
4 litros de gaseosa más tendrán que
comprar? ¿Les sobrará gaseosa para llenar otros vasos de 1
2 litro? ¿Cuántos?
c. La madre de Lucía preparó tortas y alfajores. Si para el relleno necesita dos kilos y medio de
dulce de leche ¿Cuántos potes de 1
2 kg tiene que comprar?
d. Cecilia y Clara compraron los helados. Si Cecilia compró 7 potes de 1
2 kg y Clara compró un pote
de 1 kg, 3 potes de 1
2kg y 5 vasitos de
1
4 ¿Es cierto que las dos compraron la misma cantidad de
helado? ¿Cómo lo pensaron?
e. La abuela de Mayra les quiere comprar caramelos. Si quiere comprar 2 kilos y en el
supermercado sólo hay paquetes de 1
8 kg,
1
4 kg y
1
2 kg. ¿De qué manera podrá realizar la compra?
Escriban dos formas diferentes de seleccionar los paquetes necesarios para comprar dos kilos.
f. Después de la fiesta Maxi, Pablo y Fede contaron las porciones de tarta de frutillas quecomieron ¿Cuál de los tres comió más tarta? ¿Quién comió menos?
Maxi Pablo
Yo comí 3 porciones
de 1
9 de la tarta
Yo comí 2 porciones
de 1
8 de la tarta
Mis porciones fueron 5 de 1
161
16 partes de la tarta
Fede
9
La propuesta “para seguir pensando” implica, no sólo establecer equivalencias sino explicitarlas
y producir justificaciones. Por ejemplo que 2
8 representan
1
4 kilo. En el caso de fracciones mayores
que un entero reafirmar la idea de reconstrucción del entero con la misma cantidad de partes que indica el denominador.
¿Cómo podrías explicarle a un compañero por qué con tres paquetes de 1
4
kilo se forma la misma cantidad que con seis paquetes de 1
8 kilo?
¿7
5 es más o menos que un entero? ¿Cómo hacés para darte cuenta?
Actividad 3
El juego de la escoba propone formar el entero a partir de las partes en que se ha dividido un círculo
(medios, tercios, cuartos, sextos, octavos y doceavos) y puedan reemplazar piezas por otras equivalentes
justificando esas elecciones.
Registrar las fracciones que permiten armar 1 contribuye con el uso de las escrituras fraccionarias. Así
por ejemplo: 1
2+
1
3+
1
6 = 1
Objetivos: Reconstruir enteros a partir de medios, cuartos, tercios, sextos, octavos y doceavos
Organización de la clase: Se juega en grupos de 4 integrantes
El Juego de la Escoba del 13
Materiales: Piezas de cartón con partes de círculos, una bolsa opaca, papel y lápiz para anotar.
3 Se encuentra en Juegos en Matemática EGB2 El Juego como recurso para aprender Material para docentes. Dirección Nacional de Gestión
Curricular y Formación Docente. Ministerio de Educación. Ciencia y Tecnología. (2004) http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL001222.pdf
Para seguir pensando:
10
Reglas del juego:
Se mezclan y se colocan las piezas en la bolsa. Sin mirar, cada jugador saca cuatro piezas. Además se ponen otras tres en el centro de la
mesa. Cada jugador, por turno, debe intentar formar un círculo (el entero) con una pieza propia
y una o más de las que hay en la mesa. Si lo logra, las recoge formando un montón. Si no puede formar el entero, coloca una de sus piezas sobre la mesa. En ambos casos,
pasa el turno al compañero. Cuando no tienen más piezas en la mano, sacan otra vez cuatro cada uno sin mirar, y se
juega otra mano, y así hasta que se terminan las piezas. Gana el que logró reunir la mayor cantidad de enteros.
También se puede jugar registrando las fracciones que se usan para armar el entero y, cuando se forma 1, se anota un punto y se devuelven las piezas a la bolsa para que haya más variedad. En este caso el juego termina luego de 5 o 6 rondas. Cada jugador registra con qué partes formó cada uno de sus enteros.
En la puesta en común del juego, sería importante que el docente planteara situaciones simuladas que los lleven a tomar decisiones con respecto a qué piezas permiten formar 1 o qué piezas faltan cuando ya hay algunas y a su vez elaborar argumentos para justificar esas decisiones. Es interesante que puedan anticipar qué fracciones permiten obtener 1 y luego verificarlo con las piezas del juego. Es importante que se recuperen ciertas conclusiones como, por ejemplo: 1
2 +
1
2 = 1
1
4+
1
4+
1
4+
1
4 = 1
2
3+
2
6 = 1
1
2+
2
8+
1
4 = 1 1-
1
4=
3
41 -
1
2=
3
6
Para seguir pensando:
¿Es cierto que si levantamos una pieza de 1
4, dos de
1
8y una pieza de
1
2,
completamos un entero?
Si tenemos 2 piezas de 1
6, y una de
1
3 ¿Qué piezas faltan para completar
un entero?
11
Actividad 4
Organización de la clase: El trabajo se propone en forma individual
La actividad que sigue pretende que los niños pongan en juego las representaciones y
equivalencias que asumieron en el juego para completar un entero. La toma de decisiones sobre
qué piezas conviene levantar para formar 1, estará basada en los argumentos que han podido
construir durante el juego y la puesta en común.
Para después de jugar a la Escoba del 1
a. Los chicos estaban jugando a la Escoba del 1. Alexis tiene una pieza de 1
4 y dos piezas de
1
8¿Qué piezas puede levantar para completar el entero si se sabe que no hay piezas de
1
2?
b. Milena tiene cuatro piezas de 1
8 ¿Es cierto que con tres piezas de
1
6 puede completar el
entero?
c. En la mesa hay dos piezas de 1
6; dos piezas de
1
3y cinco de
1
12. Pablo tiene en su mano dos
piezas de 1
6 ¿Qué piezas puede levantar?
d. ¿Qué pieza le falta a Pablo si tiene estas piezas: 1
4;
1
6;
1
6;
1
6?
e. Escribe dos maneras de armar un entero con las piezas del juego
Para resolver las
siguientes situaciones
puede usar las fichas del
juego la Escoba del 1
Para seguir pensando:
¿Qué fracciones faltan para que las sumas den 1? Expliquen cómo
lo pensaron
1
4+
1
2 +………….= 1
1
8+
1
8+
1
4 + …………..=1
1
6+
1
6+
1
6 +………….= 1
12
Las situaciones simuladas tienen la intencionalidad de que los chicos puedan explicitar las decisiones
que han tomado y las estrategias que han usado en el contexto del juego para armar un entero.
Los círculos permiten que puedan ir apropiándose de representaciones mentales acerca de las
fracciones que con distintos denominadores forman un entero y a establecer equivalencias.
En relación a los cálculos de sumas iguales a 1, es esperable que los chicos se apoyen en las relaciones
establecidas entre las piezas del juego. Es importante que de a poco puedan ir despegándose del
contexto lúdico y recuperen esos cálculos para enriquecer el repertorio de cálculos memorizados.
Para discutir en el grupo:
Para discutir se proponen situaciones para validar. Tomar decisiones sobre quién tiene razón exige
producir argumentos basados en conclusiones que se han elaborado con las actividades anteriores.
La idea de reemplazar algunas piezas por otras implica establecer equivalencias y explicitarlas para
justificar.
Javier dice que necesita 6 piezas de1
8 para completar el entero y como no hay piezas
de octavos, dice que las va a reemplazar con una piezas de 1
2y otra de
1
4 ¿A ustedes
qué les parece? ¿Tiene razón?
¿Es cierto que 5
6es equivalente a
6
12+
1
3? ¿Cómo lo explican?
En la puesta en común se explicitará que seis octavos se pueden reemplazar con piezas una pieza de 1
2 y
una de 1
4, porque
1
2equivale a
4
8y
1
4es equivalente a
2
8.
En el segundo ítem tendrán que elaborar argumentos o verificaciones para decidir que 5
6=
6
12 +
1
3 . Una
explicación podría ser que 6
12 representa a un medio y a
3
6 . Por otra parte
1
3equivale a
2
6 que sumado a
3
6es igual a
5
6
Actividad 5
La intencionalidad de la actividad que sigue es enfrentar a los chicos, a situaciones de reparto en las que
las fracciones se usan para expresar los resultados.
Para leer y recordar
Dos fracciones que representan la
misma parte son equivalentes
13
Es importante que los chicos comprendan que es necesario que todo sea repartido y no sobre nada.
En el caso que la cantidad de alfajores sea mayor al número de amigos entre los que se va a repartir el
resultado será un número mixto, y por tanto se hará hincapié en las diferentes formas de escrituras con
las que se puede expresar, y la equivalencia entre esas escrituras.
Objetivos: Utilizar fracciones para expresar resultados en contextos de repartos
Organización de la clase: Se propone el trabajo en parejas
Reparto de alfajores
1.- Javier y Any tenían que repartir 7 alfajores entre sus cuatro amigos de modo que todos
reciban lo mismo, sin que sobre nada. Miren como hicieron el reparto.
Javier lo hizo así Any los cortó de otra manera:
a) ¿Cómo escriben lo que recibió cada uno?
b) ¿Es cierto que todos recibieron la misma cantidad? ¿Por qué?
2.- a) El tío de Sofía quiere repartir 8 chocolates entre sus 5 sobrinos. ¿Cómo podría hacerse el
reparto de todos los chocolates de que modo de darles lo mismo a cada uno?
b) Una forma de repartir todo el chocolate es darle primero un chocolate a cada uno y luego 1
2
chocolate. ¿Se terminaron los chocolates o hay que seguir repartiendo? Expliquen o dibujen
el reparto
3. a) Para festejar su cumple Javier invitó a sus 8 amigos a comer pizzas. Si quiere repartir 6
pizzas entre sus amigos, de manera que todos reciban la misma cantidad y no sobre nada.
¿Cuánto le tocará a cada uno?
b) Si fueran 12 pizzas ¿entre cuántas amigos habría que repartirlas para que cada uno reciba
la misma cantidad que en el ítem anterior?
En la puesta común es importante que se explicite que en los casos que la cantidad de alfajores es
mayor al número de amigos se pueden entregar alfajores enteros y repartir lo que queda en partes
14
diferentes pero equivalentes. Así por ejemplo si el reparto es de 7 alfajores entre 4 amigos puede
expresarse como 1 + ¾ = 1 + ½ + ¼ = 7
4 con la justificación de que ¾ es equivalente a ½ + ¼
Si el reparto se hace con 8 alfajores entre 5 chicos el reparto se puede hacer de modo de expresarlo
de diferentes maneras: 1+ 3
5 = 1 +
1
5 +
1
5 +
1
5 =
8
5.
Es importante que cuando el ítem plantea que expliquen o dibujen, se compartan argumentos para
validar esas respuestas por ejemplo, si los alfajores son 8 y los chicos 5 es posible dar a cada uno 1 +
½ y aún sobra algo que se puede expresar como 1
5 de ½ ó
1
10.
En el ítem 3 se pide un reparto en el que no se reparten enteros sino 6 entre 8 lo que implica que se
puede expresar como 6/8 ó ¾ ó ½+ ¼ . En el inciso b) en el que se plantea el doble de pizzas, los chicos
tendrán que buscar formas de justificar que para que cada uno coma lo mismo debe repartirse al
doble de amigos .
En la propuesta de seguir pensando, se plantea comparar dos expresiones para un mismo reparto que
sin duda el contexto, es decir el reparto de chocolates, contribuye a analizar que 5
4 es equivalente a
1+ ¼ porque 1=4
4 .
La abuela de Sol quiere repartir 5 chocolates entre sus 4 nietas. Sol dice que cada una va a recibir un chocolate y 1
4. Su hermana Marisa dice que cada una va a recibir
cinco trocitos de 1
4
a) ¿Quién creen que tiene razón? Expliquen cómo lo
pensó cada una.
b) Si las nietas fueran 6 y los chocolates 20, ¿cómo se puede realizar el reparto?
En la puesta en común de esta actividad es importante que los chicos puedan explicitar argumentos
para validar la equivalencia entre 1 + 1
4 y
5
4 , lo que implicará clarificar que
4
4 equivalen a un entero.
En el caso del ítem b) sería interesante que los chicos puedan plantear diferentes formas de
expresar el resultado del reparto. Podrían decir que cada chico recibe 3 chocolates y 2
6 ó 3 chocolates
y 1
3 , o bien
20
6
Actividad 6
Es posible que al resolver problemas los chicos hayan asociado el reparto con la división, pero es a partir
de la enseñanza que podrán poner en relación la división de naturales con los números fraccionarios.
Para seguir pensando:
Para leer y recordar
Si el resultado de un reparto es una fracción mayor que
1, puede escribirse como número mixto
Por ejemplo 8
5 puede escribirse de esta forma 1
3
5
15
Cuando se comienza con el significado de fracción como división no siempre es visible la relación entre el
resultado de un reparto y los elementos de la cuenta.
En el problema del reparto de alfajores se tienen que repartir 26 alfajores entre 4 chicos, lo que significa
que a cada uno le corresponden 6 alfajores enteros que es el cociente de la división pero como todo tiene
que ser repartido los dos alfajores que sobran se reparten en cuartos y a cada uno le corresponden dos
cuartos que es la expresión de la división entre el resto y el divisor.
En el problema c) no están todos los elementos de la división con los datos del problema hay que armar
la cuenta para determinar el divisor y los otros elementos de la división.
El problema d) propone el análisis de la equivalencia entre repartos, lo que implica la equivalencia entre
las fracciones que son resultados del reparto.
Objetivos: Resolver situaciones que permitan establecer relaciones entre la división de números
naturales y las fracciones.
Organización de la clase: Este trabajo se propone en grupos de cuatro integrantes
¿Repartir o dividir?4
Como sobran dos alfajores y los tienen que repartir entre 4 chicos. Dicen que la respuesta
es 6 2
4. Decidan si el resultado es correcto. Expliquen cómo lo pensaron
b) En otro reparto, los chicos hicieron esta cuenta:
38 5
3 7
Decidan entre cuántos chicos se repartieron y cuanto se le entregó a cada uno
c) En una caja había 14 alfajores que fueron repartidos entre un grupo de chicos demanera que a todos les tocó la misma cantidad y todo fue repartido. A cada uno se le
entregó 14
5 de alfajores ¿Es posible saber entre cuántos niños se hizo el reparto? ¿De qué
otra manera se puede expresar el reparto? ¿Y si a cada uno le hubiera tocado 14
8?
d) En una bolsa había 3 chocolates que fueron repartidos entre 4 chicos. A todos les tocó lamisma cantidad y todo fue repartido. ¿Cuáles de las siguientes fracciones representa lacantidad que recibió cada uno?
4Problemas propuestos por Itzcovich, H., Becerril, M., Ponce, H. y Urquiza M. en Matemática 6. Tinta Fresca (2005)
Reparto de
alfajores
26 4
2 6
a) Mariano y Javier tienen que repartir 26 alfajores,en partes iguales, entre 4 chicos de manera que nosobre nada. Ellos realizan esta cuenta:
16
6
8
30
40
4
3
3
4
15
20
La tarea que sigue plantea analizar dos repartos equivalentes pero con números en el que no es
visible esa relación. Sólo puede establecerse la equivalencia si se analizan los resultados de los
repartos: 3+ 6
12 y 3 +
5
10
En la puesta en común de esta actividad, es importante que se explicite lo que se interpreta de la
cuenta y luego justificar por qué los resultados de los repartos son equivalentes, dado que 6
12y
5
10
representan ambas a un medio. En el primer caso cada uno de los doce chicos recibe 3 alfajores y
medio; y en el egundo caso cada uno de los diez chicos recibe tambien tres alfajores y medio
Actividad 7
En esta propuesta se trata de hacer explícita la relación de equivalencia que comenzó a ser funcional
en el juego de la escoba del 1.En el juego los chicos pudieron verificar, por ejemplo, que con tres
piezas de 1
6 cubrían la mitad de un entero. La equivalencia entre medios, cuartos y octavos, o bien
entre medios, tercios, sextos y doceavos que pudieron identificar con las piezas del entero tendrán
que convertirse en conclusiones matemáticas que permitirán establecer luego relaciones entre los
números fraccionarios, más allá de sus representaciones materiales.
A partir de escrituras diferentes que representan el mismo número fraccionario podrán los chicos
podrán establecer relaciones como que 2
6 es una fracción cuyos términos son el doble de los términos
de 1
3
Objetivos: Reconocer la relación de equivalencia entre fracciones.
Organización de la clase: Este trabajo se propone en parejas
Para seguir pensando:
Mariano y Javier discuten mientras hacen la tarea de Matemática. Mariano dice que si se reparten 42 alfajores entre 12 personas, cada uno recibe lo más que si se repartieran 35 de esos alfajores entre 10 personas Mariano escribió esta cuenta Pablo escribió esta otra:
10 35
3 5
Mariano sostiene que en ambos casos cada persona recibe 3 alfajores enteros más un pedazo,
y como 6 es más que 5, en el primer reparto se entrega más a cada uno. Javier insiste que ese
argumento está equivocado. ¿Quién de los dos tienen razón? ¿Cómo podrían explicarlo?
12 42
3 6
17
1. Mientras juegan a la Escoba del 1. Mariela dice que puede reemplazar
3
6 por dos piezas
de 1
4. Pero Any insiste en que se puede reemplazar por seis piezas de
1
12
¿Quién de las dos tiene razón? Expliquen cómo lo pensaron
2. Si para completar un entero Fede necesita una pieza de 1
4 pero en la mesa sólo hay
octavos y medios. ¿Con qué piezas te parece que lo puede completar?
3. ¿Es cierto que las fracciones 2
6 ;
1
3 ;
4
12 representan la misma parte? ¿Cómo lo justifican?
4. ¿Cuál podría ser el numerador de la fracción 40
para que sea equivalente a 3
5?
La propuesta “para seguir pensando” tiene como intencionalidad poner en juego que la relación de
equivalencia es multiplicativa y no aditiva, razón por la que aunque a ambas fracciones, le falta 1
fracción para completar el entero, no son equivalentes.
¿
Tarea
La actividad propuesta como “tarea” plantea seguir analizando las relaciones numéricas que se
establecen entre los términos de dos fracciones equivalentes, no sólo en contextos extramatemáticos
sino también intramatemáticos.
1. ¿Será cierto que si se reparten 32 pizzetas entre 5 personas cada una recibe la misma cantidad que si se reparten 64 pizzetas entre 10 personas?
2. Completen los para que las fracciones resulten equivalentes
Para seguir pensando:
Milena dice que 5
6 y
3
4 son equivalentes porque a las dos les falta 1
para llegar al entero. Zoe dice que no es así porque que a 5
6 le falta
1
6 y a
3
4 le falta
1
4 ¿Quién de las dos tienen razón? Si creen que no
son equivalentes ¿Cuál de ellas es la menor?
La misma Parte
18
1
4=
12 8=
1
4
12 =
2
1
10=
30
Actividad 8
Si bien las cartas tienen como denominadores a 2, 3, 4, 5, 6, 8,10 y 12 se pueden sacar algunas y
jugar con un mazo con menos cartas.
El juego promueve la comparación de fracciones a partir de las estrategias que elaboren los
chicos. En caso que no puedan decidirlo es posible comparar las representaciones que se
encuentran en el reverso de la carta.
Juego: Guerra de Fracciones5
Objetivos: Elaborar estrategias para decidir si una fracción es mayor o menor que otra.
Organización de la clase: Se juega en grupos de cuatro alumnos
Materiales6: 48 cartas con las fracciones representadas en forma numérica en una cara y en
forma gráfica en la otra (medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, octavos, décimos y
doceavos)
Reglas de Juego:
Se mezclan las cartas y se reparten en partes iguales a cada jugador con las que cada
uno forma una pila personal con la representación numérica hacia arriba.
Cada jugador toma la carta superior de su pila y, todos a la vez, ponen sus cartas en el
centro con el número hacia arriba.
5 Las cartas se encuentran en: Juegos en Matemática EGB2. El Juego como recurso para aprender Material para docentes. Dirección Nacional
de Gestión Curricular y Formación Docente. Ministerio de Educación. Ciencia y Tecnología. (2004) http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL001222.pdf
Para leer y recordar
Para encontrar una fracción equivalentes se puede
multiplicar o dividir el numerador y el denominador
por el mismo número
x 2 3
6 =
6
12
x 2
19
El que coloca la carta de mayor valor se lleva las cuatro cartas pero las coloca en otra
pila que será la de las cartas ganadas que no se vuelven a usar en ese juego.
Para decidir quién se lleva las cartas los jugadores pueden recurrir a comparar las
representaciones gráficas que se encuentran en el dorso de la carta. Pero eso se hará
sólo cuando sea necesario.
Gana el jugador que al terminar la ronda tenga más cartas.
Para después de jugar
1. En un grupo los chicos tenían estas cartas:
a) ¿Quién les parece que se llevó todas las cartas?
b) ¿Cómo se dieron cuenta?
2. Si las cartas son 1
3 y
2
3 ¿cuál es mayor? ¿Qué tenemos que mirar? ¿Quién lo determina?
¿Por qué?
En la puesta en común el docente planteará situaciones simuladas para promover que los chicos
expliciten las estrategias que les permitieron decidir cuál es la carta que tiene la fracción mayor. Para
realizar esa comparación habrán analizado si los numeradores o denominadores son iguales, la parte
del entero que representa la fracción, lo que le falta para completar el entero.
Así por ejemplo: Si salen 6
5 y
6
9 podrán explicar que la primera es mayor porque los quintos son
mayores a los novenos. Si se tienen que comparar 3
7 y
4
5 pueden afirmar que la segunda es mayor
porque la primera es menor que la mitad y la segunda pasa a la mitad.
Es interesante analizar en el contexto del juego, si con todas las cartas puede haber “guerra”,
lo que puede llevar a elaborar un criterio más general.
La propuesta de seguir pensando pretende que los chicos comiencen a recuperar y explicitar las
estrategias que les permiten tomar decisiones con seguridad.
Se puede jugar en
parejas. Para ello se
divide el mazo en
dos partes
1
3
2
5
5
62
3
Maxi Sofía Lucía Ana
Si dos fracciones tienen igual numerador ¿se puede saber cuál es
mayor? Expliquen cómo lo pensaron
Para seguir pensando:
20
Sería interesante que las razones que permiten a los chicos estar seguros de la decisión se formulen
como criterios de comparación y se registren en un cartel para colocar en el aula.
Actividad 9
La intencionalidad de la siguiente actividad es retomar y seguir elaborando estrategias para
comparar fracciones a partir de las usadas en el juego. Las situaciones presentadas pudieron darse en
el juego pero la tarea no se restringe a tomar la decisión sino también formular argumentos para
validar.
Para después de jugar a la Guerra de Fracciones
Objetivos: Elaborar estrategias para decidir si una fracción es mayor o menor que otra
Organización de la clase: Este trabajo se propone en forma individual
1. En un grupo, los chicos jugaban a la Guerra de Fracciones y les tocaron estas cartas
¿Cuál les parece que es la carta ganadora? ¿cómo se dieron cuenta?
1
3
4
3
1
4
5
6
2. Decidan qué cartas de las siguientes le ganan a3
51
5
2
10
4
4
5
6
Para completar el análisis de los procedimientos válidos para comparar fracciones, es necesario
proponer esta actividad, que plantea formular y analizar las estrategias que pueden convertirse en
criterios de acuerdo al par de fracciones que se compara.
1.- La maestra les pidió a los chicos que escribieran las estrategias que utilizaron para saber si
una fracción es mayor o menor que otra. Ellos lo hicieron pero al imprimir faltaron palabras. Les
pido que completen las expresiones con lo que crean que corresponde.
Para discutir en grupo
Para leer y recordar Cuanto mayor sea la cantidad de partes
en la que está dividido el entero, más
pequeña será cada parte
Así 1
6 es menor que
1
2
Se puede escribir1
6<
1
2
21
La actividad que sigue permite enriquecer los criterios ya elaborados pero también determinar su
utilidad para diferentes pares de fracciones.
En los casos que no sean útiles los criterios anteriores es importante reconocer que encontrar
fracciones equivalentes permite la toma de decisiones, en todo los casos.
2.- Milena dice que ella escribió otras estrategias para comparar fracciones pero no sabe si
sirven siempre, a veces o nunca. Den ejemplos de dos fracciones para las cuales sirva la
estrategia y decidan si sirve siempre.
En la puesta en común no sólo se promoverá el análisis de las estrategias válidas para comparar
fracciones sino se tratará de que se elaboren criterios de cuando es pertinente usarlas.
Si bien el procedimiento general que implica convertir ambas fracciones en otras equivalentes de
igual denominador es útil en todos los casos, no es necesario usarlo cuando es posible anticiparlo
por otras estrategias. Como en el caso de fracciones que tienen numeradores o denominadores
iguales, o si se comparan fracciones en la que una de ellas es mayor que la unidad.
La propuesta “para seguir pensando” propone utilizar los criterios para comparar fracciones en un
contexto extramatemático, es decir situaciones posibles de darse en la vida real.
Si dos fracciones
son de igual
numerador, es mayor
la que tiene
…………………………………..
Si dos fracciones tienen
igual denominador, es
mayor la que tiene
…………………………..
Encuentro dos
fracciones equivalentes a
las dadas, que tengan igual
denominador y luego
comparo los numeradores delas nuevas.
denominador
Ubico las dos fracciones
entre enteros y la que
está entre enteros más
grande es la mayor.
Para seguir pensando: a) Un paquete de chupetines pesa
2
4de kilogramo y una caja,
8
10 de kilogramo
¿Cuál pesa más?
b) Marita compró una tarta de frutillas y comió 1
3. Su hermana Julieta comió
3
4
de la misma tarta ¿quién de las dos comió menos?
22
En la puesta en común se confrontarán los procedimientos utilizados por cada grupo promoviendo
que formulen las razones que les permiten estar seguros de la relación que se establece entre las
fracciones.
Actividad 10
Esta actividad se podrá plantear tal como se presenta, si se desarrolló la secuencia completa. Se
proponen tareas para reconocer, utilizar y escribir fracciones a partir de la relación parte- todo, el
reparto y la fracción como división.
A partir situaciones extramatemáticas se plantea comparar fracciones para tomar decisiones acerca
de las relaciones que pueden establecerse entre ellas, si se trata de equivalencia o de orden. En el
caso que una sea mayor o menor que otra qué estrategias permiten determinarlo
¿Cuánto aprendimos de fracciones?
Objetivos: Poner en juego los conocimientos acerca de las fracciones que se han abordado en la
secuencia
Organización de la clase: Se propone una actividad individual
1. Reparto de alfajoresLucía tiene que repartir alfajores en partes iguales entre sus amigos sin que sobre nada.
Para saber cómo hacerlo escribió esta cuenta:
¿Cuántos alfajores repartió, entre cuántos amigos
y cuántos recibió cada uno?
2. En la panadería “Dulzuras”
a) El lunes hornearon 6 1
2kg de galletitas. Si usan paquetes de 1 kg, de
1
2kg. y de
1
4 kg.
Escribe dos maneras distintas en que es posible envasarlas.
b) También preparan pan rallado que venden en bolsas de diferentes pesos. Si producen
31
2kg de pan rallado ¿Cuántas bolsas de
1
4 kg pueden llenar? ¿Y si las bolsas fueran de
1
2kg?
3. ¿Helado de frutilla o chocolate?
Una heladería repartió en partes iguales y sin que sobre nada 32 kg de helado de
chocolate en 6 potes y 48 kg de helado de frutilla en 9 potes. ¿Es cierto que en cada pote
del helado de chocolate entró la misma cantidad que en cada pote del helado de frutilla?
21 4
1 5
23
4. En la Fiesta
Analizá y resolvé las situaciones que siguen:
a) Matías comió 1
3de pizza y Ana
1
2 de la misma pizza ¿quién comió más?
b) En una botella hay 3
5 litros de jugo de naranja y en otra
4
8 litros. ¿En qué botella hay
más jugo de naranja?
c) Para preparar la fiesta, Martina utilizó 7
8 de un retazo de tela para hacer manteles y
Luciana 5
6 de un retazo de tela de igual tamaño. ¿Quién usó menos tela?
5. ¿Cómo le explicamos?
Milena no estuvo en las clases de matemática y necesita saber cuándo dos fracciones son
equivalentes. Escribí cómo se lo explicarías
