Figure 1.1:

Part I

Paridad.1. (I) Alternación.

(1) Problema.Sobre un plano están ubicados 11 piñones unidos como se muestra en la fig.l.

?'Pueden todas las ruedas girar al mismo tiempo?Solución.Supongamos que el primer piñón gira en el sentido de las manecillas del reloj.

Entonces el segundo piñón deberá girar en sentido contrario de las manecillas delreloj. El tercer piñón de nuevo girará en el sentido de las manecillas del reloj, elcuarto girará en sentido contrario y así sucesivamente. Es claro, que los piñonesimpares deberán girar en el sentido de las manecillas del reloj, y los piñones paresen sentido contrario. Pero entonces el primer y el undécimo piñón giran al mismotiempo en el sentido de las manecillas del reloj. Contradicción.

Lo principal en la solución de este problema es que los piñones que giran en elsentido de las manecillas del reloj y en contra, se alternan.

La búsqueda de los objetos alternados es la principal consideración para lasolución de los problemas siguientes.

(2) Problema.Asignemos coordenadas a las casillas del tablero de ajedrez como sigue Un

caballo salió de la casilla al y después de varias jugadas regresó a ella. Demuestre,que el caballo hizo un número par de jugadas.

(3) Problema.?'Puede el caballo recorrer de la casilla oí hasta la casilla hS, pasando por

cada una de los demás casillas exactamente una vez?(4) Problema.7'Puede una línea recta, que no contenga ninguno de los vértices de una línea

quebrada y cerrada compuesta por 11 segmentos, intersectar todos sus segmentos?(5) Problema.Sobre un campo de hockey hay tres discos A, B y C. El jugador de hockey

golpea a uno de estos discos de tal forma, que el disco pasa volando entre los otrosdos. Esta forma de golpear los discos se repite 25 veces. ?'Puede suceder que losdiscos resulten en las posiciones iniciales?

(6) Problema.María y sus amigos están ubicados en forma de círculo. Resulta que los dos

vecinos de cada persona son del mismo sexo. Entre los amigos de María cinco sonniños. ?'Y cuántas niñas hay?

Comentario.Indicamos una consideración complementaria, surgida en la solución del prob-

lema anterior: en la cadena cerrada alternada hay la misma cantidad de objetostanto de un tipo (niños) como de otro tipo (niñas).

2. (II) Partición en parejas.

(7) Problema.?'Se puede dibujar una línea, quebrada y cerrada de 9 segmentos, cada uno de

cuales se intersecta exactamente con uno de los segmentos restantes?Solución.Si esto fuera posible, entonces todos los segmentos de la línea quebrada se

partirían en parejas intersectadas. Pero entonces el número de segmentos tieneque ser par.

Comentario.Notemos que la principal idea del razonamiento es la siguiente: si los objetos

se pueden partir en parejas, entonces su número debe ser par.A continuación varios problemas similares.

(8) Problema.?'Se puede llenar un tablero de dimensión 5 x 5 con fichas de dimensión 1x2 .(9) Problema.Dado un polígono de 101 lados con un eje de simetría. Demuestre que el eje

de simetría pasa por uno de sus vértices. ?'Qué se puede decir en el caso de unpolígono de 10 lados?

(10) Problema.Todas las fichas de un dominó están ubicadas en forma de cadena. En un

extremo obtuvimos 5 puntos. ?'Cuántos puntos hay en el otro extremo?(11) Problema.De un juego de dominó botaron todas las fichas vacias ?'Se puede colocar las

fichas restantes en serie?(12) Problema.?'Se puede dividir un polígono convexo de 13 lados en paralelogramos?(13) Problema.Sobre un tablero cuadriculado de dimensión 25 x 25 están ubicadas 25 fichas,

además su posición es simétrica con respecto a la diagonal principal. Demuestreque una de las fichas está ubicada sobre la diagonal.

Observaciones metódicas.En la solución del último problema frecuentemente surgen dificultades lógicas.

Esto es debido a que en la diagonal puede haber no necesariamente una ficha,sino un número impar cualquiera de fichas. Nuestra afirmación sobre la particiónen parejas para este problema puede ser formulada así: si se han formado variasparejas de objetos de un número impar, entonces al menos un objeto está sinpareja.

(14) Problema.Admitimos ahora que la posición de las fichas en el problema (13) es simétrica

con respecto a dos diagonales. Demuestre que una de las fichas está ubicada enel centro del tablero.

(15) Problema.En cada casilla de una tabla cuadrada de dimensión 25 x 25 está escrito uno de

los números siguientes 1, 2,3,..., 25. Además, primero en dos casillas cualesquierasimétricas, con respecto a la diagonal principal, están escritos números iguales,segundo en ninguna fila y en ninguna columna no hay dos números iguales. De-muestre que todos los números en la diagonal principal son diferentes dos a dos.

3. (III) Paridad e imparidad.

(16) Problema.¿Es posible cambiar un billete de 25 rublos en billetes de 1 rublo,3 rublos y 5 rublos para recibir 10 billetes en total? ( en Rusia había billetes de1, de 3, de 5, de 25 rublos).

La solución de este problema está basada en una simple observación: la sumade un número par de los números impares es par. La generalización de estaafirmación se puede representar así: la paridad de la suma de varios númerosdepende de la paridad del número de sumandos impares: si el número de sumandosimpares es (im)par, entonces también la suma es (im)par.

(17) Problema.Pedro compró un cuaderno cuyo volumen es de 96 hojas, las enumeró en orden

de 1 hasta 192. Iván arrancó de este cuaderno 25 hojas y sumó todos los 50números que habían escritos en las hojas. ¿Pudo Iván obtener el número 1990?

(18) Problema.El producto de 22 números enteros es igual a 1. Demuestre que su suma no es

igual a cero.(19) Problema.?'Se puede construir un cuadrado mágico con los 36 primeros números primos?(20) Problema*.En fila están escritos los números de 1 hasta 10. ?'Se puede entre ellos ubicar

los signos "+" y "-" de tal forma, que el valor de la expresión obtenida sea iguala cero?

Observación: tenga en cuenta que los números negativos también pueden serpares e impares.

(21) Problema*.Un grillo salta en línea recta, la primera vez que saltó lo hizo a una distancia de

Icm en alguna dirección, la segunda vez saltó 2cm y así sucesivamente. Demuestreque después de 1985 saltos el grillo no puede resultar en el lugar inicial.

(22) Problema.En una tabla están escritos los números 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Es permitido

borrar de la tabla dos números cualesquiera y en vez de ellos escribir el valorabsoluto de su diferencia. Al fin y al cabo en la tabla quedará un solo número.¿Puede ese número ser igual a cero?

4. (IV) Problemas diferentes.

En este párrafo están reunidos los problemas más difíciles, cuyas soluciones,además de paridad, tienen como regla algunas consideraciones complementarias.

(23) Problema.¿Se puede cubrir un tablero de ajedrez con fichas de dimensión 1 x 2 de tal

forma, que sólo queden las casillas oí y h8 libres?-¿ (24) Problema.

A un número de 17 dígitos le añadieron un número, escrito con las mismascifras pero en orden contsirio. Demuestre que al menos una cifra de la sumaobtenida es par.

(25) Problema.En el cuerpo de policía hay 100 personas y cada tarde tres de ellos hacen la

guardia. ?'Puede resultar que en algún momento cada policia con otro hizo laguardia una vez exactamente?

(26) Problema.Sobre una recta hay 45 puntos que están fuera del segmento AB. Demuestre

que la suma de las distancias desde esos puntos hasta el punto A no es igual a lasuma de las distancias desde esos puntos hasta el punto B.

(27) Problema.Sobre un círculo hay 9 números: 4 unos y 5 ceros. Cada segundo con los

números se hace la siguiente operación: entre los números vecinos se coloca uncero, si estos son diferentes, y un uno si ellos son iguales. Después de esto losnúmeros viejos se borran. ?'Puede suceder que en algún momento todos losnúmeros sean iguales?

(28) Problema.25 caballeros y 25 doncellas están sentados alrededor de una mesa redonda.

Demuestre que los vecinos de al menos una persona son dos caballeros.(29) Problema.Un caracol se arrastra sobre un plano con una velocidad constante, cada 15

minutos voltea en un ángulo recto. Demuestre que el caracol puede regresar alpunto inicial sólo después de un número entero de horas.

(30) Problema.Tres grillos juegan sobre una recta a saltacabrillas. Toda vez uno de ellos salta

por encima del otro (pero no por encima de los dos simultáneamente!). ?'Puedenellos resultar en las posiciones iniciales después de 1991 saltos?

(31) Problema.

Hay 101 monedas, de las cuales 50 son falsas. Cada moneda falsa se diferenciade la verdadera moneda en un gramo exactamente, puede ser más, puede sermenos . Pedrito tomó una moneda y quiere determinar si es falsa, utiliza paraesto una balanza con flecha, la cual muestra la diferencia de los pesos de losplatillos. ¿Podrá Pedrito hacerlo pesando las monedas solo una vez?

(32) Problema.¿Se pueden escribir en serie las cifras desde 1 hasta 9 de tal manera que entre

el uno y el dos haya un número impar de cifras y también entre el dos y el tres,..., entre el ocho y el nueve?

(33) Problema. (A.Fomín, Olimpiada Soviética, 1984)?'Para qué valores de n el sistema de ecuaciones

• -xn = n

tiene solución en números enteros?

5. Paridad

(2) Solución.Por cuanto en cada jugada cambia el color de la casilla, en la cual está el

caballo, entonces tiene lugar la permutación de colores: blanco y negro.(3) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no puede. Como el caballo debe hacer 63

jugadas, entonces en la última jugada (impar) el caballo estará en una casilla deotra paridad, que al; pero hS tiene el mismo color.

(4) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no puede. Si recorremos el contorno de

la línea quebrada, pasando por cada vértice al siguiente, entonces cada vez queintersectemos a la recta, resultaremos en otro semiplano (la línea recta divide elplano en dos mitades). De esta manera, tiene lugar la permutación, y significaque la cantidad de vértices debe ser par.

(5) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no pueden. Vamos a llamar correcta a la

posición de los discos, si recorriendo los vértices del triángulo ABC en ordendesde A via B a C obtenemos un movimiento en el sentido de las manecillas delreloj, e incorrecto en caso contrario. Es fácil ver, que por cada golpe el tipo deposición cambia.

(6) Solución.

La respuesta es la siguiente: cinco. Si, entre los amigos de María hay algunapersona con vecinos del mismo sexo, entonces es claro que todas las personas queestán en el círculo son del mismo sexo. Significa que las niñas y los niños se turnany por lo tanto hay igual cantidad de niñas y de niños.

(8) Solución.No se puede, por cuanto la cantidad total de casillas (25) no es divisible por

dos, y cada ficha cubre dos casillas.(9) Solución.Si el eje de simétria no pasa por el vértice, entonces los 101 puntos dados

deberán dividirse en parejas simétricas, lo que es imposible.(10) Solución.Por cuanto dentro de la cadena de dominó todos los números se encuentran

por parejas, y el número total de cincos es 8, entonces en el otro extremo de lacadena debe haber un cinco también.

(11) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Demostramos esto desde lo

contrario. Si tal cadena existe, entonces por lo menos uno de los números 1,2,3 nose encuentra en los extremos. Sea ese número 3. Pero como dentro de la cadenael número de los treses es par y el número total de los treses ahora es 7 (despuésde botar las fichas con ceros). Entonces obtemos una contradicción.

(12) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Si el polígono convexo se puede

cortar en paralelogramos, entonces sus lados se dividen en parejas paralelas nece-sariamente.

(13) Solución.Por cuanto en caso contrario las fichas se dividen en parejas simétricas, en-

tonces sobre las diagonales necesariamente habrá un número impar de fichas.(14) Solución.Supongamos que esto no es así. Unimos con un hilo las fichas simétricas con

respecto a una de las diagonales. Después de esto, ubicamos todas las fichas enun "collar" osea un grupo de fichas unidas con hilos. Entonces en cada uno de los"collares" hay o dos, o cuatro fichas. Significa que el número total de fichas debeser par. Contradicción.

(15) Solución.Puesto que hay 25 unos en el tablero, entonces en la diagonal principal habrá

por lo menos un uno (ver la solución 13). Análogamente hay en la diagonalprincipal un dos, un tres y así sucesivamente.

(17) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no pudo. En cada hoja la suma de los números

de las páginas es impar, pero la suma de 25 números impares es impar también.(18) Solución.Entre estos números hay un número par de menos unos. Para que la suma sea

igual a cero, el número de menos unos debe ser 11 exactamente.(19) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Entre estos números sólo un

número (2) es par y los otros son impares. Por eso la suma de los números esimpar en esa fila, donde está el dos, y es par en las otras.

(20) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. La suma de los números desde

uno hasta diez es igual a cincuenta y cinco (55) y al cambiar algún signo, cambi-amos toda la expresión por un número par.

(21) Solución.Se demuestra de la misma manera como en el problema (20), por cuanto la

suma 1 + 2 + ... + 1985 es impar.(22) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Verifique(n) por favor que para

las operaciones dadas, la paridad de la suma de todos los números escritos en eltablero no cambia.

(23) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Cada ficha de dominó cubre

dos casillas una negra y una blanca, pero al botar las casillas al y hS. las casillasnegras quedan en dos menos que las blancas.

(24) Solución.Consideremos dos casos: La suma de la primera y la última cifra es menor que

diez, y la suma de la primera y la última cifra no es menor que diez. Si admitimosque todas las cifras de la suma es impar, entonces en el primer caso el uno no selleva a la siguiente columna para ninguna columna, esto nos conduce a la evidentecontradicción. Y en el segundo caso la presencia de la translación del uno a lasiguiente columna en el movimiento de izquierda a derecha ó derecha a izquierdase alternan con la ausencia de la translación. En resultado obtenemos que la cifrade la suma en el noveno orden debe ser par necesariamente.

(25) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Por cuanto en cada guardia,

en la cual participa el policia dado, este hace la guardia con otros dos. entonces

podemos partir en parejas a todos los demás policias. Pero el número 99 es impar.(26) Solución.Para cualquier punto X que está fuera de AB, tenemos AX — BX = ±AB. Si

suponemos que las sumas de las longuitudes son iguales, entonces obtenemos quela expresión ±AB ± AB ± ... ± AB en la cual participan 45 sumandos, es igual acero. Pero esto es imposible.

(27) Solución.Es claro, que la combinación de nueve unos no se puede obtener antes de la

combinación de nueve ceros. Si obtuvimos nueve ceros, entonces en el anteriorpaso los ceros y los unos debieron alternarse, lo que es imposible, por cuanto sunúmero total es impar.

(28) Solución.Supongamos que esto es falso. Enumeramos a todos los que están alrededor

de la mesa en orden, empezando por cualquier lugar. Si en la k — esima silla hayun caballero, entonces es claro que en la (k — 2) — esima y en la (k + 2) — esimasilla hay doncellas. Pero por cuanto la cantidad de doncellas y caballeros es igual,entonces para cualquier doncella, que está sentada en la n — esima silla, es correctoque en la (n — 2) — esima y en la (n + 2) — esima silla hay caballeros. Si ahoraconsideramos sólo las 25 personas, que están sentados en las sillas pares, entoncesobtenemos que entre estas personas los caballeros y las doncellas se alternan sirecorremos la mesa en alguna dirección. Pero 25 es un número impar.

(29) Solución.Es claro, que la cantidad a de secciones, en los cuales el caracol se arrastró

hacia arriba o hacia abajo, es igual a la cantidad de secciones, en los cuales elcaracol se arrastró hacia la derecha o hacia la izquierda. Queda sólo notar que aes un número par.

(30) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no pueden. Denotamos los grillos A, B y

C. Llamaremos a las posiciones de los grillos ABC, BCA y CAB (de izquierdaa derecha) correctas, y ACB, BAC y CBA incorrectas. Es fácil ver que concualquier salto el tipo de posición cambia.

(31) Solución.Es necesario separar la moneda dada, después dividir las 100 monedas restantes

en dos grupos de a 50 monedas y comparar el peso de estos grupos. Si los pesosde estos grupos se diferencian en un número par de gramos, entonces la monedaque nos interesa es verdadera. Si la diferencia de los pesos es un número impar,entonces la moneda es falsa.

(32) Solución.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. En caso contrario todas las cifras

en la serie estarían en lugares de una misma paridad.(33) Solución.Respuesta: El sistema tiene solución solo y solo sí, cuando n es divisible por

4.(1) Sí n es un número impar, entonces todos los números x\,...,xn también

son impares. La suma de un número impar de números impares es un númeroirnpar, por eso no puede ser igual a 0.

Por lo tanto el sistema no tiene solución en números enteros.(2) Sí n = 4fc4-2, entonces uno de los números x\,x-¿,...,xnes par y los otros

n — 1 números son impares. La suma de un número impar n — 1 de númerosimpares más un número par es un número impar también. Por eso como en elpunto anterior obtenemos que el sistema no se puede resolver en números enteros.

(3) Sí n = 4fc, entonces para los k impares obtenemos la siguiente solución:n — 2(—2fc) l 3 f c ~ 2 (—l) f c , y para los k pares obtenemos la siguiente solución: n =

10