Este texto pretende ilustrar a forma como a fsica do som condiciona as escalas musicais, que constituem a base do discurso musical. Assim como a anatomia do aparelho fonador condiciona a lingustica, impondo caractersticas comuns a todas as lnguas humanas, tambm as leis da acstica fsica estabelecem padres que de alguma forma determinam a construo das escalas.

A FSICA DAS ES

Sendo a msica a arte dos sons, intuitivo associar-lhe a importncia dos fenmenos fsicos presentes na produo, transmisso e recepo daqueles. Tal explicitamente reconhecido nos curricula, mesmo elementares, de qualquer formao musical bsica, onde invariavelmente includa a disciplina de Acstica Musical, versando desde a simples mecnica das vibraes e ondas at alguns temas mais avanados de cincia fsica, como a electrnica ou a cincia dos materiais1. investigao cientfica sobre os fenmenos acsticos continua a ser dada bastante ateno, traduzida numa multiplicidade de aspectos2.

RUI CSAR VILO Departamento de Fsica, Universidade de Coimbra 3004-516 Coimbra ruivilao@ci.uc.pt Padres de Chladni numa tampa de violino, ilustrando um modo de vibrao

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CALAS MUSICAIS

variao de amplitude efectivamente percebida apresenta uma frequncia fb - fa. Esta designada pelos msicos por frequncia de batimentos, sendo este fenmeno usado para estabelecer o conceito musical de afinao. Dois sons dizem-se afinados se no produzirem batimentos. A srie dos harmnicos resulta tambm quase imediatamente de uma anlise elementar da vibrao de uma corda elstica ou do ar no interior de um tubo, podendo realizar-se a extenso a sistemas mais complexos3.

Se a presena e a importncia dos fenmenos fsicos imediatamente reconhecida no que diz respeito fsica do som propriamente dito, j o tema que ocupa este artigo pode ser fonte de perplexidade para muitos. De facto, as escalas musicais constituem a base do discurso musical: so a linguagem que os msicos utilizam para se exprimirem. So pois, como qualquer linguagem, necessariamente um produto cultural. Faz sentido ento falar da fsica das escalas musicais? O nosso objectivo tentar mostrar que efectivamente a prpria fsica do som condiciona aspectos essenciais do discurso musical. Tal como a anatomia do aparelho fonador condiciona a lingustica, impondo caractersticas comuns a todas as lnguas humanas (e.g., a qualidade e quantidade de vogais e consoantes que podem ser emitidas), tambm as leis da acstica fsica estabelecem padres que de alguma forma determinam a construo das escalas.

Fig. 1: Representao, num dado ponto do espao, da vibrao associada (a) a uma onda sinusoidal de frequncia fa; (b) a uma onda com a mesma amplitude, mas frequncia ligeiramente superior fb; (c) sobreposio das ondas (a) e (b), com uma frequncia mdia (fa + fb)/2, e cuja amplitude varia com a frequncia (fb - fa)/2; representa-se tambm a envolvente associada a esta variao de amplitude; (d) variao de amplitude efectivamente detectada, no caso de batimentos captados pelo tmpano, correspondendo a uma frequncia de batimentos fb - fa. Tomemos como exemplo a corda vibrante de extremidades fixas (no que seguimos a tradio histrica, quer no campo da acstica, que atribui descobertas significativas a Pitgoras, usando o monocrdio, quer no campo da mecnica aplicada, em que o estudo da corda vibrante por Taylor constituiu o primeiro exemplo de aplicao da mecnica newtoniana a sistemas contnuos). Qualquer soluo da equao de onda obedecendo a condies de fronteira particulares pode ser expressa como uma combinao linear dos modos de vibrao, esquematizados na Fig. 2 e a que chamaremos modos normais (ou estacionrios). O comprimento de onda de cada um destes modos, como se depreende da Fig. 2, n = 2L/n, onde L o comprimento da corda e n o nmero de ventres (mximos de amplitude de vibrao). Atendendo a que a velocidade v de propagao do som numa corda de den, conclusidade linear , sujeita tenso T, mos que a frequncia de vibrao de cada um destes modos .

FSICA DOS FENMENOS ACSTICOS E A CONSTRUO DAS ESCALAS Refira-se, de modo breve, dois conceitos que se revelam fulcrais para a compreenso da conformao fsica do discurso musical: os batimentos e a srie dos harmnicos. O fenmeno dos batimentos bem conhecido da fsica das ondas. Recordemos que a onda resultante da sobreposio de duas ondas sinusoidais com frequncias prximas, fa e fb, pode ser basicamente descrita como uma onda com a frequncia mdia (fa + fb)/2, cuja amplitude varia sinusoidalmente com a frequncia (fb - fa)/2. Este conceito encontra-se ilustrado na Fig. 1. No caso de batimentos de ondas sonoras detectados pelo tmpano, a

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Os modos normais de vibrao tm frequncias de vibrao que so mltiplos inteiros da frequncia do primeiro modo normal, tambm chamado modo fundamental. O conjunto de frequncias dos modos normais de vibrao recebe o nome de srie dos harmnicos. Por convenincia de notao, o modo fundamental costuma ser designado de primeiro harmnico pelos fsicos. Contudo, os msicos numeram os harmnicos de modo diferente: chamam fundamental ao que os fsicos chamam primeiro harmnico e chamam primeiro harmnico ao que os fsicos chamam segundo harmnico. Esta distino prende-se com o facto de o som emitido por um instrumento ser um som complexo, isto , em que diversos modos de vibrao (harmnicos) esto presentes, geralmente com diferentes pesos4. A percepo auditiva desse som efectua-se basicamente como um som de frequncia f1, ornado por um timbre caracterizado pelo peso relativo dos harmnicos5. Assim, por exemplo, uma nota com certa frequncia fundamental, emitida por uma flauta transversal, distingue-se claramente da mesma nota, emitida com a mesma intensidade, por uma flauta de bisel. Isto mesmo se encontra ilustrado na Fig. 3. No que se segue adoptaremos a designao dos fsicos para os harmnicos, fazendo corresponder ao n-simo harmnico a frequncia nf1.

Fig. 3a): Anlise espectral do som emitido por uma flauta transversa, com uma frequncia fundamental de 436 Hz (um pouco abaixo do L a 440 Hz usado modernamente); note-se a presena bem notria do segundo harmnico, com um peso praticamente idntico ao do primeiro harmnico; Fig. 3b): Anlise espectral do som emitido por uma flauta de bisel, com uma frequncia fundamental de 923 Hz (um pouco abaixo do D sustenido actual); o segundo harmnico, a 1846 Hz, praticamente inexistente. (Cf. Glenn Elert, http://hypertextbook.com/physics/waves/music/)

ELEMENTOS DA TEORIA DOS INTERVALOS MUSICAIS A srie dos harmnicos permite desenvolver uma teoria dos intervalos musicais. Um intervalo musical uma dada relao entre frequncias fundamentais. Neste ponto, convidamos o leitor a fazer uma pequena experincia: pea a um amigo e a uma amiga, j adultos, para cantarem em conjunto uma mesma melodia que ambos conheam e oua-os atentamente. Eles cantam as mesmas notas, mas as fundamentais dos sons que emitem no so as mesmas, sendo as notas cantadas pela sua amiga mais agudas (de frequncia fundamental mais elevada) que as cantadas pelo seu amigo. E a relao entre estas fundamentais, isto , o intervalo musical que executam, no aleatria. H dois pontos importantes a este respeito: o primeiro que, enquanto cantam a mesma melodia, mantm-se constante a razo entre as frequncias fundamentais das notas (e no a diferena); o segundo ponto que esta razo constante de frequncias igual a 2, coincidindo com a razo entre as frequncias do primeiro e do segundo harmnico ( la fsico). Este intervalo musical recebe, na teoria musical ocidental, o nome de oitava perfeita. Dois sons cujas fundamentais definam um intervalo de uma ou vrias oitavas perfeitas (isto , definindo

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Fig. 2: Representao da configurao dos primeiros cinco harmnicos de uma corda vibrante de extremidades fixas. A partir do que acabmos de expr, reconhece-se que se tomarmos dois sons complexos em que a frequncia fundamental f de um deles (som mais agudo) seja um mltiplo inteiro da frequncia fundamental f' do outro (som mais grave), f = m f', a frequncia fundamental do som agudo no s estar afinada com o m-simo harmnico do grave, como todos os seus harmnicos tambm estaro. De facto, os harmnicos do som mais agudo tm frequncias dadas por n f = n (mf') = (nm) f' = m' f', constituindo basicamente um subconjunto dos harmnicos do som mais grave. No ocorrero pois batimentos de nenhuma ordem. Em termos coloquiais, os harmnicos no desafinam6.

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as respectivas frequncias uma razo de 2, ou 4, ou 8, ou 16, etc.) so identificados como sendo a mesma nota musical. Assim, as escalas so definidas dentro do intervalo de oitava perfeita: uma vez estabelecidos os sons da escala dentro deste intervalo, basta ir multiplicando ou dividindo as respectivas frequncias por 2 para estender a escala tanto quanto se deseje e seja possvel.

um intervalo designado de terceiro maior (muitas fe-li-cidades, idem). Note-se que a afinidade entre as duas notas do intervalo, medida pelo nmero de harmnicos afins, vai diminuindo; ou seja, a nota mais aguda de um intervalo de quinta partilha metade dos harmnicos com a nota mais grave, reduzindo-se este nmero para um tero no caso do intervalo de quarta e para um quarto no caso do intervalo de terceira. Os trs intervalos que acabmos de referir desempenham um papel particularmente importante na polifonia, ou seja, na msica em que intervm mais do que uma melodia simultaneamente. Entre os exemplos mais primitivos de polifonia, para alm do j referido canto oitava praticado espontaneamente por homens e mulheres, conta-se o canto da mesma melodia a intervalos de quinta (organum de quintas), de quarta (organum de quartas), ou a intervalos de terceira (o gymel, este ainda hoje praticado entre ns, por exemplo no canto alentejano)7.

UM EXEMPLO SIGNIFICATIVO: A ESCALA DIATNICA MAIOR NATURAL Estamos agora em condies de apresentar a construo, baseada nos princpios que acabmos de expor, da escala diatnica maior. Esta escala (o bem conhecido D-R-Mi-F-Sol-L-Si-D) apenas uma de muitas possibilidades de organizar o material sonoro; trata-se, no obstante, de uma possibilidade que teve particular sucesso no Ocidente, resultado ela prpria de uma evoluo histrica longa e fascinante, que no possvel desenvolver no mbito deste trabalho. Assim, os intervalos escolhidos para a escala, sendo um resultado cultural, no deixam de traduzir, conforme reclammos no incio, a orientao conferida pela fsica subjacente srie dos harmnicos.

Detalhe do teclado do Orthotonophonium, um dos instrumentos propostos para resolver os problemas da afinao natural. Do mesmo modo, a razo de frequncias entre os harmnicos consecutivos de ordem mais reduzida definem intervalos relevantes em teoria musical. Assim, a razo entre a frequncia do terceiro e do segundo harmnico, f3/f2= 3/2, define um intervalo particularmente importante, que recebe no Ocidente o nome de quinta perfeita (corresponde, na conhecida melodia do Parabns a Voc, ao intervalo entre as notas cantadas sobre as slabas, adiante sublinhadas, do texto da-ta querida); a razo entre o quarto e o terceiro harmnico, f4/f3= 4/3, define a 4 perfeita (Parabns a voc, idem); entre o quinto e o quarto harmnico, f5/f4= 5/4, ocorre

Tabela 1: A escala diatnica maior natural.

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Da designar-se a afinao da escala assim construda por afinao natural. A escala encontra-se esquematizada na Tabela 1, tendo ns adoptado para frequncia base aquela que modernamente se usa para o chamado D central (264 Hz). Um resultado interessante da construo apresentada na Tabela 1 a existncia de trs intervalos distintos entre notas consecutivas: um tom maior (intervalo de 9/8), um tom menor (intervalo de 10/9) e um meio-tom (intervalo de 16/15).

PROBLEMAS, PROBLEMAS, PROBLEMAS: DA ESCALA NATURAL AO TEMPERAMENTO IGUAL A afinao natural representa uma soluo extremamente satisfatria, dada a pureza dos intervalos musicais assim conseguidos. No entanto, o desenvolvimento da msica acabou por levantar problemas de resoluo difcil, particularmente no que diz respeito a instrumentos de afinao fixa, como o caso dos instrumentos de tecla. Uma das questes levantadas prende-se com a modulao. Esta tcnica consiste em alterar o centro tonal no decurso do discurso musical e implica que se possa construir a escala comeando em qualquer uma das notas existentes. Apenas como exemplo dos problemas associados afinao natural, consideremos os intervalos entre as notas Mi e Si, por um lado, e R e L, por outro. Se o primeiro destes intervalos corresponde a uma quinta perfeita (15/8 : 5/4 = 3/2), j o segundo apresenta uma relao ligeiramente inferior (5/3 : 9/8 = 40/27 ~ 1,48), ocorrendo um batimento de 5,5 Hz entre o L e o segundo harmnico de R.

sete oitavas [(3/2)12= 129,7 27= 128]. Um temperamento possvel consiste pois em afinar 11 dessas quintas como quintas perfeitas, sendo a 12 quinta encurtada de forma a manter a 8 perfeita. Esta ltima quinta resulta de tal forma desafinada que lembrava a quem a ouvia os uivos dos lobos - da a designao quinta do lobo. Este temperamento, dito pitagrico, legou-nos a nossa actual configurao de 12 notas por oitava, que podemos ver em qualquer teclado moderno. Muitos outros temperamentos viriam a ser propostos ao longo dos sculos, medida que o debate ia evoluindo8. Muitas propostas passavam pelo abandono do modelo de 12 teclas por oitava, conforme se ilustra nas figuras 4 e 5. A soluo que viria finalmente a ser adoptada foi a do temperamento igual9, dividindo a oitava em 12 meios-tons iguais, correspondendo assim cada meio-tom ao intervalo (recorde-se que o meio-tom natural corresponde razo 16/15 1,067). Neste sistema, nenhum intervalo, excepo da oitava, corresponde afinao natural, mas todos os intervalos resultam suficientemente afinados para poderem ser tolerados pelo ouvido.10

Fig. 5: Proposta de teclado com 32 teclas por oitava, apresentada por Mersenne no seu tratado Harmonie Universelle (apud S. Isakoff, op. cit.).

OBSERVAES FINAIS

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Fig. 4: Proposta de teclado com 27 teclas por oitava, apresentada por Mersenne no seu tratado Harmonie Universelle (apud S. Isakoff, op. cit.). Ao longo dos sculos, persistiu a procura de um sistema de afinao que permitisse a coexistncia de modulao com os intervalos naturais. Aos poucos, os msicos foram experimentando solues de compromisso, alterando deliberadamente a afinao natural de alguns intervalos, num procedimento designado por temperamento da escala. Na procura do temperamento ideal envolveram-se, entre outros, e comeando na veneranda figura de Pitgoras, eminentes cientistas e filsofos como Bocio, Newton, Descartes, Huyghens, Mersenne, Galileu, d'Alembert e Kepler. Uma das solues mais antigas, remontando escola pitagrica, consiste na observao de que doze quintas correspondem aproximadamente, por excesso, a

As questes relacionadas com os fundamentos fsicos das escalas e da afinao musical permitem-nos entender alguns aspectos da prpria fruio esttica do discurso musical. Tal conhecimento contribui no s para uma melhor apreciao das obras musicais, do ponto de vista do ouvinte, e para um melhor entendimento destas, por parte do intrprete e criador musical. Assim, o tema que brevemente tratmos permite compreender, por exemplo, factos como: a existncia de enarmonia, isto , de notas diferentes que correspondem, no temperamento igual (e apenas neste) ao mesmo som, e.g. F sustenido e Sol bemol; o relativo insucesso associado interpretao em instrumentos com temperamento igual de obras concebidas para outros temperamentos, levando os intrpretes de msica antiga a procurar afinaes histricas; as queixas constantes de violinistas e cantores, bem como de outros msicos ligados a instrumentos de afinao no fixa, relativamente afinao do piano.

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No incio do Ano Internacional da Fsica, celebrando o centenrio do annus mirabilis da produo cientfica de Einstein (ele prprio, como sabido, um violinista amador), esperamos que estas pginas possam de alguma forma contribuir para mostrar a proximidade entre a fsica e a msica, no apenas atravs da acstica, mas tambm atravs de uma atitude comum em que o rigor dos modelos devidamente temperado pela experincia.

A definio de som complexo faz-se por oposio a som puro; nos sons puros apenas est presente um modo de vibrao, regra geral o modo de vibrao fundamental.4

O reconhecimento da altura de um som pelo ouvido humano um fenmeno bastante complexo e que excede a simples identificao da fundamental. H at ocasies em que pode ser reconhecida uma frequncia fundamental que no est presente. Tambm a percepo do timbre assunto de vivo debate e investigao actualmente. Para mais desenvolvimentos, cf. Lus Henrique, op. cit., p. 862.5

Este facto particularmente evidente na construo dos rgos de tubos, onde possvel reforar o registo principal com um ou vrios dos respectivos harmnicos, emitidos por tubos independentes de comprimento adequado. Para mencionar apenas um exemplo, refira-se que o rgo da Capela de S. Miguel da Universidade de Coimbra, verdadeiro tesouro da organaria portuguesa, dispe de registos como Oitava Real (refora o 2 harmnico), 8 e 12 (refora o 2 e o 3 harmnicos), 12 e 15 (refora o 3 e 4 harmnicos).6

Cf. Donald J. Grout e Claude V. Palisca, Histria da Msica Ocidental, Gradiva, 1994.7

Frontispcio do Trait de lHarmonie, de Jean-Phillippe Rameau

Cf. Stuart Isacoff, Alfred A. Knopf, Temperament: the idea that solved music's greatest riddle, New York, 2001.8

NOTAS A este respeito, veja-se, por exemplo, a excelente monografia Acstica Musical, de Lus Henrique, publicada em 2002 pela Gulbenkian e que foi j objecto de recenso em Gazeta de Fsica 26 (4), 2003.1 2

Costuma tomar-se como referncia a publicao em 1722 de duas obras fundamentais para o estabelecimento do temperamento igual: o Trait de l'Harmonie, de Jean-Phillippe Rameau, e o primeiro caderno de Das wohltemperierte Klavier (O teclado bem temperado), de Johann Sebastian Bach. Este ltimo, verdadeiro monumento da msica ocidental, um conjunto pedaggico de peas para teclado em todas as 24 tonalidades (12 maiores e 12 menores), demonstrando a sua exequibilidade num teclado devidamente temperado.9

Refira-se, por exemplo, que o ndice PACS (Physics and Astronomy Catalogation Scheme), utilizado para a catalogao de artigos de especialidade nas diversas reas da Fsica e Astronomia, e que por isso reflecte os rumos contemporneos da investigao fsica, contm tpicos que vo desde a acstica estrutural acstica quntica, passando pela modelao da produo e percepo da fala. O tpico 43.75.+a deste catlogo especificamente dedicado msica e aos instrumentos musicais. Cf. tambm Neville H. Fletcher e Thomas D. Rossing, The Physics of Musical Instruments, 2nd edition, Springer, New York (2000) e a abundante citao de artigos especializados a contida.

Um tratamento bastante completo oferecido por Neville H. Fletcher e Thomas D. Rossing, op. cit.3

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Consulte-se, a este respeito, a monografia Musical Temperaments, de Erich Neuwirth, Springer, Wien (1997), onde se comparam as afinaes natural, pitagrica, mesotnica (esta particularmente importante nos incios do sculo XVIII) e de temperamento igual; a comparao estabelecida tambm do ponto de vista sonoro, no CD que integra a obra.10

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