9m dinamica y vibraciones

UNIVERSIDAD TECNOLOGIA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL MENDOZA

MECANICA Y MECANISMOS AO 2012

Chung Roger, Legajo 3441, TP N8 - TPN9 Dinmica y vibraciones Pgina 242

TP N9 Dinmica y vibraciones

Ejercicio N9.1.87

Utilizando conceptualmente la frmula de Dunkerley, determinar la velocidad critica de primer orden de un

eje que no soporta carga excepto su propio peso. El eje est montado sobre cojinetes a bolillas (rbol

apoyado), es de acero, tiene dimetro d constante y la distancia entre apoyos es L.

Como ejemplo numrico hacer el clculo para d=N (cm) L=20 A (cm)

Datos:

La flecha mxima para una viga simplemente apoyada es

Peso especfico del acero

El modo de elasticidad longitudinal del acero

El momento de inercia axial para una seccin circular es

Resolucin:

Calculo de d y L

d=5cm

L=20x5=100cm

Tenemos que determinar n crtico, aplicando Dunkerley

Para el caso de una viga simplemente apoyada sobre cojinetes la flecha mxima es:

Para determinar el peso

Como es una seccin circular de dimetro constante

El peso especfico del acero es

El modo de elasticidad longitudinal del acero que surge de la ley de Hook es

El momento de inercia axial para una seccin circular es

Reemplazamos en la ecuacin de la fecha.





* (

)+ (

)

Ponemos el valor de la flecha en funcin del d y L

*

(

)+ (

)

El n critico en funcin de d y L ser:

( )

De esta expresin podemos obtener la velocidad crtica para un eje que est montado sobre cojinetes a bolillas.

(De esta forma se saca el valor del apunte

)

Reemplazando los valores

( )





Ejercicio N9.2.88

El mismo ejercicio anterior ahora montado sobre bujes (rbol empotrado)

Datos: la flecha mxima para una viga montada sobre bujes es

Resolucin:

Teniendo como dato los resultados del ejercicio anterior:

Podemos decir que la flecha para este problema ser

El valor de la crtica ser:

De esta expresin podemos obtener la velocidad crtica para un eje que est montado sobre bujes. (De esta

forma se saca el valor del apunte

)

Reemplazando valores:

( )

Esta n crtica es mayor que el ejercicio anterior debido a que la flecha es 5 veces menor. En conclusin podemos

decir que tan solo cambiando el tipo de vnculo de la viga, estaramos modificando la velocidad de resonancia.





Ejercicio N9.3.89

Determinar las velocidades angulares crticas por flexin para el sistema con dos grados de libertad del

esquema siguiente. Compara el valor obtenido para la velocidad de primer orden con la que se puede calcular

por Dunkerley. Esquematizar las diferentes formas de vibrar.

Resolucin:

Calculo por el mtodo de ecuacin de frecuencias:

Necesitamos calcular los nmeros de influencia, luego para determinar los nmeros de influencia necesito

calcular a travs de la ecuacin de la lnea elstica cunto vale la flecha

Tenemos esta ecuacin que nos sirve cuando x < a

( )

Es decir que x tiene un valor menor que el lugar donde se encuentra aplicada la carga P

Esta ecuacin nos sirve cuando x> a

( )

( )

Es decir que tenemos que calcular del lado de la carga A hasta el apoyo B

Ahora Tenemos que determinar el nmero de fluencia

P=1kg a=300 b=820 x=300 Ec:1 x





Para determinar el nmero de influencia : es la deformacin en 1 cuando la carga est en 1 teniendo en

cuenta que el valor de P es de 1kg

El valor de a: seria la distancia A hasta la carga en 1 a=300

El valor de b: seria la distancia de B hasta la carga en 1 b=820

El valor de x: seria la distancia A hasta la deformacin en 1 x=300

Ahora como x = a aplicamos la ecuacin 1 (podamos haber ocupado la 2 , es indiferente cuando x=a)

( )

Reemplazamos los valores y los datos

( ) *

+

Luego el nmero de influencia ser:

Para determinar el nmero de influencia significara: es la deformacin en 1 cuando la carga est en 2

teniendo en cuenta que el valor de P es de 1kg

El valor de a: seria la distancia A hasta la carga en 2 a=720

El valor de b: seria la distancia de B hasta la carga en 2 b=400

El valor de x: seria la distancia A hasta la deformacin en 1 x=300

Ahora como x





Calculo de

Utilizamos la ecuacin 2

( )

( )

Reemplazamos los valores.

( )

( )


Calculo de

Utilizamos la ecuacin 2 (es indiferente cuando x=a)

( )

( )

Reemplazamos los valores.

( )


Armamos el determinante:

|

|





||

||

(

)(

) (

)(

)

Si hacemos

( )( ) ( )( )

Vamos a tener una ecuacin de 2 grado

( ) ( ) ( )

Reemplazando:

( ) ( ) ( )

( ) ( )





Ejercicio N9.4.90

Determinar las velocidades angulares crticas para el sistema con tres grados de libertad del esquema

siguiente:

Las masas de las poleas 1 y 3 son equivalentes al peso de 10kg.

La masa de la polea 2, es equivalente al peso de 20kg-

El eje es de acero de lo que da

Para el clculo de los nmeros de influencia utilizamos las expresiones obtenidas (por ejemplo) del Tomo 1

pgina 136 del tratado Resistencia de Materiales de Timoshenko:

( )

( )

( )

En las que reemplazando valores se tiene:





Estos nmeros de influencia son calculados como una flecha pero con una carga unitaria.

Ahora para poder armar la matriz necesito la masa

Los datos del problema nos dicen:

[ ]

[ ]

Ecuacin polinmica.

|

|

Donde

Que desarrollado nos da la siguiente ecuacin de tercer grado

La que resuelta da tres valores para t:

Que permiten calcular las tres velocidades angulares crticas del sistema

O bien





Esto quiere decir que la velocidad de resonancia del primer orden se da a 1081 rpm, la velocidad de resonancia

de segundo orden se da a 5384 rpm y la de tercer orden a 8971 rpm

Como tiene 3 masa tiene 3 frecuencias de resonancia

Esta sera el modo de calcular en modo exacto.

Aplicando el mtodo de Dunkerley:

La velocidad crtica de primer orden vale:

Modos de vibrar:

Vamos a hacer la relacin de la amplitud

y

Luego en la relacin de las amplitudes solo me interesa el signo.

Si me da positivo significa que las dos amplitudes van hacia el mismo lado

Si me da negativo significa que van en sentido contrario

Si me da cero significa que el numerador es cero.

Mirando desde el punto de vista resistivo el eje se opone a la deformacin en mayor medida para el 3 caso,

media 2 caso, mnimo 1 caso.





Para la relacin

tenemos:

1 -1 1

Modo de vibrar

Donde vemos que para la velocidad critica 1 y 3 puede haber dos formas de vibrar. Haremos otra relacin para

obtener el modo de vibrar correcto

Para la relacin

tenemos

+1.43 -0.03 -0.64

Modo de vibrar

Donde esta sera la forma definitiva de cmo van a vibrar a la 1,2 y 3 velocidad critica.





Ejercicio N9.5.91

El eje mostrado en la figura 8-6 soporta un engranaje cuyo peso es 50 lb y un volante cuyo peso es 100

lb. Se ha encontrado que las deformaciones esttica y son 0.0012 pul y 0.0003 pul, respectivamente.

Determinar la primera velocidad critica, ignorando la masa propia del eje.

Resolucin:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

Aplicando la ecuacin de Rayleigh Ritz

( ) ( )





Ejercicio N 9.6.92

Deducir la ecuacin

de la velocidad critica de un eje que soporta una carga concentrada aislada.

Resolucin:

Despreciando la pequea inclinacin de la masa, ignorando los efectos de rozamiento y suponiendo una

pequea excentricidad del centro de gravedad de la masa con respecto al centro del eje se tiene que.

( )

Donde KX es la fuerza elstica que el eje ejerce sobre la masa, k es

la constante de elasticidad del eje, esto es, la fuerza requerida en

el punto de localizacin de m para producir una deformacin

unitaria en dicho punto ( ) es la aceleracin del centro de

gravedad de la masa. Resolviendo para X, la deformacin del eje

en m es:

( )

( )

Se observa que, bajo las hiptesis hechas la deformacin X llega a

aser muy grande cuando . Por tanto, la velocidad crtica

es

Pero

as

( por definicin, la

deformacin esttica es la deformacin que sera producida por

una fuerza igual a W, por tanto Entonces





Ejercicio N 9.7.93

Deducir la ecuacin

de la primera velocidad critica de un eje con varias cargas concentradas.

Referirse a la figura 8-8

Resolucin:

Dibujamos el eje en vibraciones laterales libres a la frecuencia fundamental (primer modo de vibracin) y

concluimos que la energa potencial mxima almacenada en el eje debe ser igual a la energa mxima de las

masas en movimiento.

El movimiento de las masas es sinusoidal. Por lo

tanto la velocidad mxima para cualquiera de las

masas ser donde es la amplitud del

desplazamiento de esta masa.

Por tanto

( )

( )

La energa potencial mxima almacenada en el eje es

igual al trabajo necesario para deformar el eje a la

forma definida por las amplitudes , etc. As.

Donde cada k es una constante de elasticidad cuya definicin puede explicarse en la siguiente forma: sean

etc. Aquellas fuerzas que actuando simultneamente en las localizaciones 1 ,2 ,3 etc. Respectivamente,

producirn deformacin etc. Ahora, la forma de la curva de deformacin del eje depende de estas

fuerzas, independientemente de la forma como se aplican. Se podra haber supuesto por ejemplo que se

aplica primero, luego , luego , arbitrariamente. Podemos suponer que las fuerzas se aplicaron

simultneamente desde cero en relacin lineal a las deformaciones en sus puntos de localizacin. Vase el

diagrama de fuerza se representa por el rea sombreada bajo la lnea recta de pendiente k

Igualando la energa cintica mxima a la energa potencial mxima obtenemos





Se supone ahora que la forma de deformacin del eje durante la vibracin es la misma de la curva de

deformacin esttica, esto es, se supone que , etc., realmente esto es incorrecto pero da

una aproximacin razonable. Entonces

Ya que

y

Suponiendo que la frecuencia natural de la vibracin lateral es igual a la velocidad critica de rotacin y

eliminando los subndices n para simplificar, se obtiene finalmente

Ejercicio N9.8.94

Una rueda de automvil de peso se suspende de un alambre como se indica en la figura. La

constante de torsin del alambre es , la rueda rota 90 alrededor de la vertical, se

suelta y se mide el periodo de la oscilacin que resulta ser T=5 A seg. Encontrar el momento de inercia y el

radio de giro de la rueda.





Resolucin:

Se sabe que el periodo es

, donde P es la pulsacin natural del sistema torsional

Como

se puede despejar el momento de inercia:

( )

El radio de giro de la rueda se puede determinar por la expresin que sigue:





Ejercicio N 9.9.95

Sea el siguiente sistema vibrante en el cual:

Resolucin:

Si se desplaza de la posicin de equilibrio en el mismo sentido y y se liberan

simultneamente determinar la ley de movimiento de cada una de las masas.

Las expresiones que me determinan el movimiento son las siguientes:

Que para un instante t=0s resultan:





Se sabe que para la frecuencia mayor:

( )

Por lo que:

Para la frecuencia menor se tiene que

Por lo que:

De 1, 2, 3 y 4 se calculan

Resolviendo el sistema resulta:

Reemplazando en las ecuaciones nos queda:

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