2 833523 _ 0001-0004.indd 1 22/5/09 11:58:53 2 Presentacin Adems de responder a las cuestiones bsicas del programa de Fsica para segundo de bachillerato, el texto de Santillana pretende dar una respuesta a los conocimientos necesarios para superar con xito las pruebas de selectividad. Es por esto que casi la totalidad de las cuestiones y ejercicios seleccionados se incluyen dentro de las pruebas de selectividad de todo el territorio nacional. 833523 _ 0001-0004.indd 2 22/5/09 11:58:53 3 ndice prESEntAcin Tema 1 La interaccin gravitatoria 5 Tema 2 El campo gravitatorio 33 Tema 3 El campo electrosttico 73 Tema 4 El campo magntico 129 Tema 5 La induccin electromagntica 171 Tema 6 El movimiento armnico simple (MAS) 205 Tema 7 El movimiento ondulatorio. El sonido 245 Tema 8 La luz y la ptica 291 Tema 9 La fsica cuntica 335 Tema 10 relatividad. Fsica nuclear 369 Anexos Sistema peridico de los elementos 404 tabla de constantes fsicas y qumicas 406 Presentacin Adems de responder a las cuestiones bsicas del programa de Fsica para segundo de bachillerato, el texto de Santillana pretende

dar una respuesta a los conocimientos necesarios para superar con xito las pruebas de selectividad. Es por esto que casi la totalidad de las cuestiones y ejercicios seleccionados se incluyen dentro de las pruebas de selectividad de todo el territorio nacional. 833523 _ 0001-0004.indd 3 14/5/09 09:33:23 7 6 programacin de aula 1 La interaccin gravitatoria Estudio del movimiento de los cuerpos celestes. Modelos que lo explican. Comprensincinemtica del movimientodelos cuerpos que integran el Sistema Solar.Leyes de Kepler. La dinmicadelos cuerpos que integranel SistemaSolar. Ley de Newtonde lagravitacinuniversal. La interaccingravitatoria como interaccinadistancia. La interaccingravitatoria entre dos cuerpos cualesquiera. Relacinconla fuerza peso. Distincinentre pesoy masa. Interaccingravitatoria de unconjunto de masas.Principio de superposicin. Consecuencias de la interaccin gravitatoria. Explicacin de las mareas. Conceptos CONTENIDOS Adquirircapacidadpara manejardatos de ordende magnitud muy diferente. Utilizarconsolturaherramientas declculo como las calculadoras olas hojas de clculo. Relacionardatos y modelos matemticos confenmenos observados (interpretacindel calendario,las mareas,duracindel ao endistintos planetas,etc.). Adquirirsoltura enla representacingrfica de los problemas aestudiar.Manejarel lenguajesimblico. Serriguroso enel manejodemagnitudes vectoriales. Procedimientos, destrezas y habilidades 1. Educacin cvica Comosucedienel momento histrico enque surgieron,el establecimiento de unmodelocientficoqueseoponga alaideologaoficialmenteestablecida puede suponerunserioproblema para quienlosostenga.Serinteresante establecerdebates enlos queel alumnadodeba argumentaracerca de laindependenciadel conocimiento cientfico frente al poderestablecido. Puestoqueel debatesolo serfructferosi hay posibilidaddeofrecerdiversas posiciones,puede sernecesario el establecimiento previoderoles quelleven aunos aexponerargumentos afavor;y aotros,encontra.Puedeserilustrativo queendeterminadomomento del debateseestablezca el cambio de rol para sus miembros. Se sugierenalgunos posibles ttulos parael debate: Puedenlos cientficos establecerteoras queseoponganala ley natural? Puedenlos cientficos investigarsobrecualquiercosa? El trabajocientficopuededestruirlasociedad? EDUCACIN EN VALORES 1. Interpretar el movimiento de los cuerpos celestes de acuerdo con un modelo ge ocntrico. Conocer el esquema general y los recursos geomtricos que utiliza. Establecer las diferencias con respecto a un modelo heliocntrico. 2. Conocer las leyes de Kepler. Utilizarlas para obtener y relacionar datos de l

a posicin y la velocidad de los cuerpos celestes. 3. Hacer uso del concepto momento angular para demostrar el carcter central de la fuerza responsable del movimiento de los planetas y el hecho de que sus rbitas sean esta bles y planas. 4. Utilizar la ley de Newton de la gravitacin universal para comprender el movimi ento de los cuerpos celestes y hacer clculos relativos a su distancia al Sol y periodo orbital. 5. Calcular el peso de un cuerpo en distintos planetas. 6. Utilizar el clculo vectorial para obtener la fuerza gravitatoria que un conjun to de masas puntuales ejercen sobre otra masa. 7. Justificar los ciclos de las mareas a la luz de la interaccin gravitatoria. CRITERIOS DE EVALUACIN Reconocerel papel delacienciaparainterpretarel mundo enquevivimos. Respetarel trabajocientficoy suindependencia frente aideologas. Distinguirentre laconstanciadelos datos obtenidos porprocedimientos cientficos y lavulnerabilidadde las teoras quelos interpretan. Actitudes Discutirel modo enquese puedenobtenerlos datos que permitan estudiarel movimiento de los cuerpos celestes. Comprenderlanecesidadde establecermodelos que permitan interpretarel movimientodelos cuerpos celestes. Estudiarel modelogeocntrico.Analizarsujustificacinideolgica y la evolucingeomtrica querequiripara explicarlos datos. Estudiarel modeloheliocntrico.Justificarsuexistenciaa partir de los datos y analizarlos problemas ideolgicos que suscita. Comprenderlas leyes de Keplery utilizarlas para justificary predecir el movimientodelos cuerpos celestes. Entenderel razonamiento de Newtonpara darconlacausa del movimiento de los cuerpos celestes. Comprenderel alcancedela ley dela gravitacinuniversal. Manejarlaenel mbitoceleste y enel terrestre. Utilizarlaformulacinvectorial de lafuerza gravitatoria para comprenderla interaccinentre unconjunto de masas puntuales. Aplicarlos conocimientos sobre la fuerza gravitatoria para comprenderalgunos fenmenos observables,como el distintopeso de unmismo cuerpoenla Tierray enla Luna,los ciclos de las mareas,la duracinde las distintas estaciones del calendario,etc. OBJETIVOS 5 La interaccin gravitatoria 1 SeiniciaestecursodeFsicaabordandoel estudiodel movimiento delos cuerpos celestes.Es laprimeravez quelos alumnos van atratardecomprenderel movimientodecuerpos cuyaescalaes muy diferentealadeaquellos quemanejanhabitualmenteaplicando las leyes fsicas queconocen.El esfuerzoles permitiracercase alacomprensindeotros problemas interesantes alolargodel curso. Los diseos curriculares establecidos enlos ltimos tiempos buscan quelos alumnos alcancencompetenciatecnolgica,especialmente enel manejoderecursos informticos.El tratamientodelos datos queseempleanenestetemaproporcionarocasinparautilizar hojas declculoy representaciones grficas quefacilitarn lacomprensindelos problemas analizados.

PRESENTACIN 4 Introduccin 8 1 La interaccin gravitatoria 9 Solucionario 1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano. De acuerdo con la segunda ley de Kepler, la Tierra gira alrededor del Sol con velocidad areolar constante. Esto determina que su velocidad lineal es mayor en el perihelio que en el afelio. El hemisferio norte de la Tierra est en posicin opuesta al Sol cuando se mueve en la zona del perihelio, poca de las estaciones otoo-invierno. Este es el motivo por el que el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano. 2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano. (C. Valenciana. Septiembre, 2003) De acuerdo con la tercera ley de Kepler: T r 2 3 = cte. Por tanto, T r T T cte. 2 3 = T r M M cte. 2 3 = Adems, sabemos que r r M T = 1 468 , . Igualando: T r T r T r T r T M M T T M

T T T M 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 468 1 4 = = ( , ) , 668 1 468 1 468 1 78 3 2 2 3 2 3 = = = = T T T T T T T M T M T , , , TT Por lo tanto hay 1,78 aos terrestres en cada ao marciano. 3. El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol. De acuerdo con la tercera ley de Kepler: T r 2 3 = cte. Por tanto, T r T T cte. 2 3 = T r J J cte. 2 3 = Adems, sabemos que T T J T = 12 . Igualando: T r T r T r

T r r r J J T T T J T T J 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 12 12 1 = = = ( ) TT J T J T T 3 3 2 3 2 3 12 12 5 24 r r r r r = = = , Por lo tanto, la distancia de Jpiter al Sol es 5,24 veces mayor que la distancia de la Tierra al Sol. 4. El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 109 km. Determina en cul de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cunto mayor es en uno de ellos que en el otro. (C. Madrid. Junio, 1999) El momento angular se conserva: L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per = = perihelio afelio per km r v v 5 26 10 9 , = iihelio perihelio afelio km 8 75 10 5 26 7 , , v v =

iihelio

10 8 75 10 60 11 9 7 , , = vafelio Por lo tanto, la velocidad en el perihelio es 60,11 veces mayor que la velocidad en el afelio. 5. Venus describe una rbita elptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qu distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones. Dato: 1 UA = 1,496 1011 m. De nuevo se conserva el momento angular: L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per = = perihelio afelio pe m/ s r r r 3 48 10 4 , = rrihelio m/ s 3 53 10 4 , Adems, sabemos que: r r r afelio perihelio af UA m + = = 1 446 216 32 10 9 , , eelio perihelio m = 216 32 10 9 , r 23,5 23,5 Sol Afelio (verano en el hemisferio norte) Perihelio (invierno en el hemisferio norte) (El dibujo no est a escala.) En cualquier texto de Fsica los ejercicios y las cuestiones constituyen una parte fundamental del contenido del libro. En nuestro material, las actividades aparecen agrupadas en dos secciones: Junto a la teora, a pie de pgina. Al final de cada tema. En este libro se presenta, para cada uno de los temas del libro de

iihelio

texto: La Programacin de aula (objetivos, contenidos y criterios de evaluacin). La Resolucin de todos los ejercicios incluidos en el libro del alumno. Adems de este libro, al profesor se le ofrece como material de apoyo un CD con pruebas de acceso a la Universidad resueltas. 833523 _ 0001-0004.indd 4 14/5/09 09:33:24 5 La interaccin gravitatoria 1 SeiniciaestecursodeFsicaabordandoelestudiodelmovimiento deloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvan atratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaes muydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicando lasleyesfsicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiracercase alacomprensindeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso. Losdiseoscurricularesestablecidosenlosltimostiemposbuscan quelosalumnosalcancencompetenciatecnolgica,especialmente enelmanejoderecursosinformticos.Eltratamientodelosdatos queseempleanenestetemaproporcionarocasinparautilizar hojasdeclculoyrepresentacionesgrficasquefacilitarn lacomprensindelosproblemasanalizados. PRESENTACIN 833523 _ 0005-0032.indd 5 14/5/09 08:11:15 6 1 La interaccin gravitatoria Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican. Comprensincinemticadelmovimientodeloscuerposqueintegran elSistemaSolar.LeyesdeKepler. LadinmicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar. LeydeNewtondelagravitacinuniversal. Lainteraccingravitatoriacomointeraccinadistancia. Lainteraccingravitatoriaentredoscuerposcualesquiera. Relacinconlafuerzapeso. Distincinentrepesoymasa. Interaccingravitatoriadeunconjuntodemasas.Principio desuperposicin. Consecuenciasdelainteraccingravitatoria.Explicacindelasmareas. Conceptos CONTENIDOS Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitud muydiferente. Utilizarconsolturaherramientasdeclculocomolascalculadoras olashojasdeclculo. Relacionardatosymodelosmatemticosconfenmenosobservados (interpretacindelcalendario,lasmareas,duracindelao endistintosplanetas,etc.). Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemas aestudiar.Manejarellenguajesimblico. Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales. Procedimientos,

destrezas y habilidades 1. Educacin cvica Comosucedienelmomentohistricoenquesurgieron,elestablecimiento deunmodelocientficoqueseopongaalaideologaoficialmenteestablecida puedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Serinteresante establecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracerca delaindependenciadelconocimientocientficofrentealpoderestablecido. Puestoqueeldebatesoloserfructferosihayposibilidaddeofrecerdiversas posiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquelleven aunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativo queendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolpara susmiembros. Sesugierenalgunosposiblesttulosparaeldebate: Puedenloscientficosestablecerteorasqueseoponganalaleynatural? Puedenloscientficosinvestigarsobrecualquiercosa? Eltrabajocientficopuededestruirlasociedad? EDUCACIN EN VALORES 1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocntrico. Conocerelesquemageneralylosrecursosgeomtricosqueutiliza.Establecer lasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocntrico. 2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposicin ylavelocidaddeloscuerposcelestes. 3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcarctercentraldelafuerza responsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusrbitasseanestables yplanas. 4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitacinuniversalparacomprenderelmovimiento deloscuerposcelestesyhacerclculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital. 5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas. 6. Utilizarelclculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasas puntualesejercensobreotramasa. 7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccingravitatoria. CRITERIOS DE EVALUACIN Actitudes Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitan estudiarelmovimientodeloscuerposcelestes. Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitan interpretarelmovimientodeloscuerposcelestes. Estudiarelmodelogeocntrico.Analizarsujustificacinideolgica ylaevolucingeomtricaquerequiriparaexplicarlosdatos. Estudiarelmodeloheliocntrico.Justificarsuexistenciaapartir delosdatosyanalizarlosproblemasideolgicosquesuscita. ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecir elmovimientodeloscuerposcelestes. EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausa delmovimientodeloscuerposcelestes. Comprenderelalcancedelaleydelagravitacinuniversal. Manejarlaenelmbitocelesteyenelterrestre. Utilizarlaformulacinvectorialdelafuerzagravitatoriapara comprenderlainteraccinentreunconjuntodemasaspuntuales. Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriapara comprenderalgunosfenmenosobservables,comoeldistintopeso deunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelas mareas,laduracindelasdistintasestacionesdelcalendario,etc. OBJETIVOS 833523 _ 0005-0032.indd 6 14/5/09 08:11:16 7 programacin de aula La interaccin gravitatoria Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican.

Comprensincinemticadelmovimientodeloscuerposqueintegran elSistemaSolar.LeyesdeKepler. LadinmicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar. LeydeNewtondelagravitacinuniversal. Lainteraccingravitatoriacomointeraccinadistancia. Lainteraccingravitatoriaentredoscuerposcualesquiera. Relacinconlafuerzapeso. Distincinentrepesoymasa. Interaccingravitatoriadeunconjuntodemasas.Principio desuperposicin. Consecuenciasdelainteraccingravitatoria.Explicacindelasmareas. CONTENIDOS Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitud muydiferente. Utilizarconsolturaherramientasdeclculocomolascalculadoras olashojasdeclculo. Relacionardatosymodelosmatemticosconfenmenosobservados (interpretacindelcalendario,lasmareas,duracindelao endistintosplanetas,etc.). Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemas aestudiar.Manejarellenguajesimblico. Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales. 1. Educacin cvica Comosucedienelmomentohistricoenquesurgieron,elestablecimiento deunmodelocientficoqueseopongaalaideologaoficialmenteestablecida puedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Serinteresante establecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracerca delaindependenciadelconocimientocientficofrentealpoderestablecido. Puestoqueeldebatesoloserfructferosihayposibilidaddeofrecerdiversas posiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquelleven aunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativo queendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolpara susmiembros. Sesugierenalgunosposiblesttulosparaeldebate: Puedenloscientficosestablecerteorasqueseoponganalaleynatural? Puedenloscientficosinvestigarsobrecualquiercosa? Eltrabajocientficopuededestruirlasociedad? EDUCACIN EN VALORES 1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocntrico. Conocerelesquemageneralylosrecursosgeomtricosqueutiliza.Establecer lasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocntrico. 2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposicin ylavelocidaddeloscuerposcelestes. 3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcarctercentraldelafuerza responsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusrbitasseanestables yplanas. 4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitacinuniversalparacomprenderelmovimiento deloscuerposcelestesyhacerclculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital. 5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas. 6. Utilizarelclculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasas puntualesejercensobreotramasa. 7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccingravitatoria. CRITERIOS DE EVALUACIN Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundo enquevivimos. Respetareltrabajocientficoysuindependenciafrenteaideologas. Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidos porprocedimientoscientficosylavulnerabilidaddelasteoras quelosinterpretan. Actitudes

Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitan estudiarelmovimientodeloscuerposcelestes. Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitan interpretarelmovimientodeloscuerposcelestes. Estudiarelmodelogeocntrico.Analizarsujustificacinideolgica ylaevolucingeomtricaquerequiriparaexplicarlosdatos. Estudiarelmodeloheliocntrico.Justificarsuexistenciaapartir delosdatosyanalizarlosproblemasideolgicosquesuscita. ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecir elmovimientodeloscuerposcelestes. EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausa delmovimientodeloscuerposcelestes. Comprenderelalcancedelaleydelagravitacinuniversal. Manejarlaenelmbitocelesteyenelterrestre. Utilizarlaformulacinvectorialdelafuerzagravitatoriapara comprenderlainteraccinentreunconjuntodemasaspuntuales. Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriapara comprenderalgunosfenmenosobservables,comoeldistintopeso deunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelas mareas,laduracindelasdistintasestacionesdelcalendario,etc. OBJETIVOS 833523 _ 0005-0032.indd 7 14/5/09 08:11:16 8 1 La interaccin gravitatoria 1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano. DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierra giraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante. Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelio queenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestenposicin opuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,poca delasestacionesotoo-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodo otoo-inviernoduraseisdasmenosqueeldeprimavera-verano. 2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano. (C. Valenciana. Septiembre, 2003) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler: T r 2 3 = cte. Portanto, T r T T cte. 2 3 = T r M M cte.

2 3 = Adems,sabemosquer r M T = 1 468 , .Igualando: T r T r T r T r T M M T T M T T T M 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 468 1 4 = = ( , ) , 668 1 468 1 468 1 78 3 2 2 3 2 3 = = = = T T T T T T T M T M T , , , TT Porlotantohay1,78aosterrestresencadaaomarciano. 3. El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol. DeacuerdoconlaterceraleydeKepler: Portanto, Adems,sabemosque .Igualando: Porlotanto,ladistanciadeJpiteralSoles5,24vecesmayor queladistanciadelaTierraalSol. 4. El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol.

En el perihelio se encuentra a 8,75 10 7 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 10 9 km. Determina en cul de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cunto mayor es en uno de ellos que en el otro. (C. Madrid. Junio, 1999) Elmomentoangularseconserva: Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayor quelavelocidadenelafelio. 5. Venus describe una rbita elptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 10 4 m/s y en el perihelio es de 3,53 10 4 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qu distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones. Dato: 1 UA = 1,496 10 11 m. Denuevoseconservaelmomentoangular: Adems,sabemosque: 23,5 23,5 Sol Afelio (veranoen elhemisferio norte) Perihelio (inviernoen elhemisferio norte) (El dibujo no est a escala.) 833523 _ 0005-0032.indd 8 14/5/09 08:11:17 La interaccin gravitatoria 9 Solucionario Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano. DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierra giraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante. Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelio queenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestenposicin opuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,poca delasestacionesotoo-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodo otoo-inviernoduraseisdasmenosqueeldeprimavera-verano. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano. (C. Valenciana. Septiembre, 2003) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler: Portanto,

Adems,sabemosque .Igualando: T r T r T r T r T M M T T M T T T M 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 468 1 4 = = ( , ) , 668 1 468 1 468 1 78 3 2 2 3 2 3 = = = = T T T T T T T M T M T , , , TT Porlotantohay1,78aosterrestresencadaaomarciano. El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol. DeacuerdoconlaterceraleydeKepler: T r 2 3 = cte. Portanto, T r T T

cte. 2 3 = T r J J cte. 2 3 = Adems,sabemosqueT T J T = 12 .Igualando: T r T r T r T r r r J J T T T J T T J 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 12 12 1 = = = ( ) TT J T J T T 3 3 2 3 2 3 12 12 5 24 r r r r r = = = , Porlotanto,ladistanciadeJpiteralSoles5,24vecesmayor queladistanciadelaTierraalSol. 4. El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol.

En el perihelio se encuentra a 8,75 10 7 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 10 9 km. Determina en cul de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cunto mayor es en uno de ellos que en el otro. (C. Madrid. Junio, 1999) Elmomentoangularseconserva: L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per = = iihelio perihelio afelio per km r v v 5 26 10 9 , = iihelio perihelio afelio km 8 75 10 5 26 7 , , v v = 10 8 75 10 60 11 9 7 , , = v afelio Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayor quelavelocidadenelafelio. 5. Venus describe una rbita elptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 10 4 m/s y en el perihelio es de 3,53 10 4 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qu distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones. Dato: 1 UA = 1,496 10 11 m.

Denuevoseconservaelmomentoangular: L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio = = iihelio perihelio afelio pe m/ s r r r 3 48 10 4 , = rrihelio m/ s 3 53 10 4 , Adems,sabemosque:

per

r r r afelio perihelio af UA m + = = 1 446 216 32 10 9 , , eelio perihelio m = 216 32 10 9 , r Perihelio (inviernoen elhemisferio norte) 833523 _ 0005-0032.indd 9 14/5/09 08:11:18 10 1 La interaccin gravitatoria Sustituyendo: ( , ) , 216 32 10 3 48 10 9 4 m m/s perihelio perih = r r eelio perihelio m/ s m 3 53 10 216 32 10 3 4 9 , ,

r = ,, , , , 48 10 3 48 10 3 53 10 107 38 1 4 4 4 m/s m/s m/ s + = 00 9 m Entonces: r perihelio m m = = 216 32 10 107 38 10 108 94 1 9 9 , , , 00 9 m 6. Si la rbita de un planeta es elptica, en qu punto de su trayectoria tendr velocidad lineal mxima? Y si la rbita fuera circular? UnaconclusindelasegundaleydeKepleresqueelmomento angulardelosplanetasesconstante: L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per = = iihelio perihelio r Silarbitaeselptica,suvelocidadlinealsermximaenelperihelio, yaqueahladistanciaalcentrodegiro(r perihelio )esmenor. Silarbitafueracircular,suvelocidadlinealserlamismaentodalarbita. 7. Un cuerpo de masa m 1 est separado una distancia d de otro cuerpo de masa m 2 y entre ellos existe una fuerza de atraccin W F. Calcula el valor de la fuerza si: a) m 1 duplica su masa. b) m 1 reduce su masa a la mitad. c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce a la mitad. d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica. a) Sim m ' 1 1 2 = :

F m d F m d F m d ' ' ' ' = = 1 2 1 2 1 2 2 22

G m G m G m

=

2 2 2

2 F F ' = Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica. b) Sim m ' 1 1 1 2 = : F m d F m d F m ' ' ' ' = = = m G m G G m

1 2 1 2 1 1 2 1 2 22 2 1 2 d

2 2

F F ' = Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellos tambinsereducealamitad. c) Si : Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerza secuadruplica. d) Si : Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereduce alacuartaparte. 8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compr en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. Cunto pesar en la Luna si la mide con una balanza de resorte? Y si la mide con una balanza de platos? Conunabalanzadeplatospesarexactamentelomismo, yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetiene sumismamasa. Conunabalanzaderesortelamedidaseveraafectada porlagravedad. 9. Dnde tendr ms masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? Dnde pesar ms? TendrlamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesar msenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar. 10. La masa del planeta Jpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su dimetro es 11 veces mayor. Cul es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Jpiter es gaseoso y no tiene una superficie slida como la Tierra o Marte.) 833523 _ 0005-0032.indd 10 14/5/09 08:11:19 La interaccin gravitatoria 11 Solucionario Sustituyendo: ( , ) , 216 32 10 3 48 10 9 4 m m/s perihelio perih = r r eelio perihelio m/ s m

3 53 10 216 32 10 3 4 9 , , r = ,, , , , 48 10 3 48 10 3 53 10 107 38 1 4 4 4 m/s m/s m/ s = 00 9 m Entonces: Si la rbita de un planeta es elptica, en qu punto de su trayectoria tendr velocidad lineal mxima? Y si la rbita fuera circular? UnaconclusindelasegundaleydeKepleresqueelmomento angulardelosplanetasesconstante: Silarbitaeselptica,suvelocidadlinealsermximaenelperihelio, yaqueahladistanciaalcentrodegiro(r perihelio )esmenor. Silarbitafueracircular,suvelocidadlinealserlamismaentodalarbita. Un cuerpo de masa m 1 est separado una distancia d de otro cuerpo de masa m 2 y entre ellos existe una fuerza de atraccin W F. Calcula el valor de la fuerza si: a) m 1 duplica su masa. b) m 1 reduce su masa a la mitad. c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce a la mitad. d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica. a) Si : Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica. b) Si : Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellos tambinsereducealamitad.

c) Sid d ' = 1 2 : F m d F m d ' ( \ ) G m ' = G m

= 1 2 2 1 2 2 1 2 1 4 F G m m d F F ' ' = = 4 4 1 2 2 Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerza secuadruplica. d) Sid d ' = 2 : F m d F m d F m ' ' ' G G m G m

= = 1 2 1 2 1 2 1 4 ( m d

=

2 2 4 )

F F 2 2 1 4 ' = Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereduce alacuartaparte. 8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compr en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. Cunto pesar en la Luna si la mide con una balanza de resorte? Y si la mide con una balanza de platos? Conunabalanzadeplatospesarexactamentelomismo, yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetiene sumismamasa. Conunabalanzaderesortelamedidaseveraafectada porlagravedad. P m g P m g P Tierra Tierra Luna Luna Luna = = ' ! 1 1 + 1 1 == P g

g Tierra Luna Tierra 9. Dnde tendr ms masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? Dnde pesar ms? TendrlamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesar msenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar. 10. La masa del planeta Jpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su dimetro es 11 veces mayor. Cul es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Jpiter es gaseoso y no tiene una superficie slida como la Tierra o Marte.) P F G M m R = G = 2 833523 _ 0005-0032.indd 11 14/5/09 08:11:20 12 1 La interaccin gravitatoria EnlaTierraP T =750N.EnJpiter: P G M m R G M m R G M J J J T T T = = = 2 2 2 318 11 318 11 ( ) = = = = m R P P ( )

T T J 750 N 1971 N 2 2 2 318 11 318 11 11. En cada uno de los vrtices de un tringulo equiltero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg. a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del tringulo. b) Y si el cuerpo que est en el baricentro fuese de 100 kg? (Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un tringulo.) Elbaricentrodeltringuloeselpuntoenquesecortansusmedianas; seencuentraaunadistanciadecadavrticeiguala 2h 3 . Paraeltringulodelproblema: h h = = = = 6 3 3 5 20 3 2 2 5,20 m m 1,73 m , 2 3 2 5 20 3 = = h , m 3,47 m Dibujamoslafuerzaque cadamasaejercesobre elcuerpoqueest enelbaricentro. Porelprincipio desuperposicin, lafuerzaresultante delsistemapuede obtenersecomo W F T = W F

A + W F B + W F C . Elmdulodecadaunadelastresfuerzasesidntico: F G m m d i i 2 2 N m kg kg kg = = 2 11 2 6 67 10 5 10 3 47 , , mm N 2 = 2 77 10 10 , (i=A,B,C.) Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzas enfuncindesuscomponentescartesianas.Descomponemos W F A y W F B ensuscomponenteshorizontalyvertical: W F A =Fcos W

iFsen W j W F B =+Fcos W iFsen W j W F C =F W j W F T = W F A + W F B + W F C W F T =(Fcos W iFsen W j)+ (Fcos W iFsen W j )+ F W j Teniendoencuentaquelosngulosysonigu les: W F T =2Fsen W j +F W

j=2F0,5 W j +F W j=0 Conclusin: W F T =0Np r cu lquierm s quesecoloque enel ricentrodeuntringulo. 12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente: a) Explica por qu un mismo astro aparece unas veces ms brillante que otras. b) Explica el movimiento retrgrado de Marte. a) Unastroapareceavecesmsbrillanteporquesudistancia alaTierravaraenfuncindelpuntodelepiciclo enelqueseencuentrenensudeferente. 6m 6m C B 6m 2h 3 h 3 5kg 5kg 5kg 10kg W F C W F B W F A A 833523 _ 0005-0032.indd 12 14/5/09 08:11:21 La interaccin gravitatoria 13 Solucionario EnlaTierraP T =750N.EnJpiter: En cada uno de los vrtices de un tringulo equiltero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg. a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del tringulo.

b) Y si el cuerpo que est en el baricentro fuese de 100 kg? (Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un tringulo.) Elbaricentrodeltringuloeselpuntoenquesecortansusmedianas; seencuentraaunadistanciadecadavrticeiguala . Paraeltringulodelproblema: Dibujamoslafuerzaque cadamasaejercesobre elcuerpoqueest enelbaricentro. Porelprincipio desuperposicin, lafuerzaresultante delsistemapuede obtenersecomo W F T = W F A + W F B + W F C . Elmdulodecadaunadelastresfuerzasesidntico: F G m m d i i 2 2 N m kg kg kg = = 2 11 2 6 67 10 5 10 3 47 , , mm N 2

= 2 77 10 10 , (i=A,B,C.) Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzas enfuncindesuscomponentescartesianas.Descomponemos W F A y W F B ensuscomponenteshorizontalyvertical: sen sen = = = 1 73 3 47 0 5 , , , cos , , cos = = = 3 3 47 0 86 W F A =Fcos W iFsen W j W F B =+Fcos W iFsen W j W F C =F W j W F T = W F

A + W F B + W F C W F T =(Fcos W iFsen W j)+ (Fcos W iFsen W j )+ F W j Teniendoencuentaquelosngulosysonigu les: W F T =2Fsen W j +F W j=2F0,5 W j +F W j=0 Conclusin: W F T =0Np r cu lquierm s quesecoloque enel ricentrodeuntringulo. 12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente: a) Explica por qu un mismo astro aparece unas veces ms brillante que otras. b) Explica el movimiento retrgrado de Marte. a) Unastroapareceavecesmsbrillanteporquesudistancia alaTierravaraenfuncindelpuntodelepiciclo enelqueseencuentrenensudeferente. A B C W

F C W F Bx W F Ax W F By W F Ay W F B W F A B 5kg 833523 _ 0005-0032.indd 13 14/5/09 08:11:22 14 1 La interaccin gravitatoria b) Losplanetasgiranalrededor delaTierrasiguiendo unatrayectoriadepequeas circunferencias(epiciclos) cuyocentrodescribeuna circunferencia(deferente) concentroenlaTierra. Durantelamitaddel epiciclo,elmovimientodel planetaparecequeavanza conrespectoalaTierra; yenlaotramitad,retrocede conrespectoalaTierra. 13. Utilizando un modelo heliocntrico, justifica el movimiento retrgrado de Marte. ElmovimientoretrgradodeMarteeslatrayectoriairregular quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobserva desdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunque laTierralohaceconmayorrapidez. LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyeccin enlabvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemos observareneldibujo,laproyeccindelasdistintaslneasvisuales provocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanza yretrocede(movimientoretrgrado).

14. Si el Sol est en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicacin de por qu no se observa paralaje estelar; es decir, por qu no se ve que cambie la posicin de una estrella en el firmamento al cambiar la posicin de la Tierra. Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadas delaTierra. 15. En el lenguaje comn decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. Qu tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmacin? Geocntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencia laTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelacin aella. 16. Una partcula se mueve con movimiento rectilneo uniformemente acelerado alejndose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en direccin radial. Su momento angular: a) Es constante. b) Es cero. c) Aumenta indefinidamente. Porladefinicindemomentoangular: W L

= W r

tienenl mism direccinysentido, result queform nunngulode0,porloquesen0=0 yelresult doesnulo,L=0.Respuest correct : ). 17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partcula se acerca continuamente al origen. Lanicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,

W p = W r m W v sen Silosvectoresde W r y W v

enestecaso,losvectoresformanunngulode180,pero, nuevamente,sen180=0yelresultadoesnulo,L=0. 18. Una partcula se mueve en un plano con movimiento rectilneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante. Elmomentoangularesconstantesinovaraconeltiempo. Elvectorm W v esparaleloa W v.Elproductovectorial = W v (m W v )es0,yaqueelsenodelnguloqueformanes0. Silapartculasemueveconmovimientorectilneoyuniforme: Tierra Deferente Epiciclo Tierra Tierra Marte Marte Sol Sol Estrellas fijas Movimiento observadodeMarte 833523 _ 0005-0032.indd 14 14/5/09 08:11:23 La interaccin gravitatoria 15 Solucionario b) Losplanetasgiranalrededor delaTierrasiguiendo unatrayectoriadepequeas circunferencias(epiciclos) cuyocentrodescribeuna circunferencia(deferente) concentroenlaTierra. Durantelamitaddel epiciclo,elmovimientodel planetaparecequeavanza conrespectoalaTierra; yenlaotramitad,retrocede conrespectoalaTierra. Utilizando un modelo heliocntrico, justifica el movimiento retrgrado de Marte. ElmovimientoretrgradodeMarteeslatrayectoriairregular quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobserva desdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunque laTierralohaceconmayorrapidez. LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyeccin enlabvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemos observareneldibujo,laproyeccindelasdistintaslneasvisuales

provocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanza yretrocede(movimientoretrgrado). Si el Sol est en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicacin de por qu no se observa paralaje estelar; es decir, por qu no se ve que cambie la posicin de una estrella en el firmamento al cambiar la posicin de la Tierra. Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadas delaTierra. 15. En el lenguaje comn decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. Qu tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmacin? Geocntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencia laTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelacin aella. 16. Una partcula se mueve con movimiento rectilneo uniformemente acelerado alejndose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en direccin radial. Su momento angular: a) Es constante. b) Es cero. c) Aumenta indefinidamente. Porladefinicindemomentoangular: W L

= W r

tienenl mism direccinysentido, result queform nunngulode0,porloquesen0=0 yelresult doesnulo,L=0.Respuest correct : ). 17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partcula se acerca

W p = W r m W v sen Silosvectoresde W r y W v

continuamente al origen. Lanicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque, enestecaso,losvectoresformanunngulode180,pero, nuevamente,sen180=0yelresultadoesnulo,L=0. 18. Una partcula se mueve en un plano con movimiento rectilneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante. Elmomentoangularesconstantesinovaraconeltiempo. dL dt d r p dt d r dt m v r d m v dt = = ( (

) )

(

)

( ) 0 W W W W W W Elvectorm W v esparaleloa W v.Elproductovectorial d r dt m v v m v W W = W v (m W v )es0,yaqueelsenodelnguloqueformanes0. Silapartculasemueveconmovimientorectilneoyuniforme: d m v dt dL dt L ( ) = = = 0 0 cte. W Deferente Epiciclo 833523 _ 0005-0032.indd 15 14/5/09 08:11:23

= ( ) ( )

=

+

16 1 La interaccin gravitatoria 19. Si una partcula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas: a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante. Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, dL dt W W

W . Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccindelradio. Silapartculadescribeunmovimientocircularbajolaaccindeesta fuerzasecumplir W r

W F

=0,porloque W Lnopresentarvariacin respectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac). 20. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol: a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Vara el momento lineal y se conserva el momento angular. Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccindefuerzas centrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular. Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante, porloquesumomentolinealnoseconservar. RecurdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueve convelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelio sermayorqueenelafelio. 21. Las rbitas de los planetas son planas porque: a) Se mueven con velocidad constante. b) Se mueven bajo la accin de una fuerza central. c) Los planetas son restos materiales de una nica estrella. Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante, yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaforma desurbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajo laaccindeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante, ydeellosederivaquelasrbitassonplanas. Recurdeseque W L esentodomomentoperpendiculara W ry W p;

r

F =

paraqueladireccinde W L nocambie, W ry W pdebendefinirsiempre elmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescriban rbitasplanas. 22. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantnea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante. UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetasse muevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera: W L 1 = W L 2 W r 1 (m W v 1 )= W r 2 (m W v 2 ) Simplificamosm: W r 1

W v 1 = W r 2

W v 2 = W cte. 23. Explicar por qu los cometas que orbitan elpticamente alrededor

del Sol tienen ms velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carcter de fuerza central de la fuerza gravitatoria. (C. F. Navarra. Septiembre, 2006) Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaley deKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarrereasiguales entiemposiguales. Poresto,cuandoelcometaestmscercadelSol,tendrque recorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismarea quelarecorridaenelmismotiempocuandoestalejadodelSol. Paraello,debemoversemsrpido. 24. Dos satlites, A y B, cuyas masas son tales que m A = 50m B se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son v B = 2v A . El radio de la rbita de B ser: a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A. b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A. Sitienenelmismomomentoangular: L A =L B m A v A r A =m B v B r B 50m B v A r A =m B 2v A r B 50r A =2r B Porlotanto,larespuestacorrectaeslad).

25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, cmo sera su periodo de revolucin alrededor del Sol?: a) Igual. b) De 2 aos. c) De 4 aos. 833523 _ 0005-0032.indd 16 14/5/09 08:11:23 La interaccin gravitatoria 17 Solucionario Si una partcula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas: a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante. Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, . Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccindelradio. Silapartculadescribeunmovimientocircularbajolaaccindeesta fuerzasecumplir W r

W F =0,porloque W Lnopresentarvariacin respectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac). En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol: a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Vara el momento lineal y se conserva el momento angular. Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccindefuerzas centrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular. Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante, porloquesumomentolinealnoseconservar. RecurdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueve convelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelio sermayorqueenelafelio. Las rbitas de los planetas son planas porque: a) Se mueven con velocidad constante. b) Se mueven bajo la accin de una fuerza central. c) Los planetas son restos materiales de una nica estrella. Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante, yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaforma desurbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajo laaccindeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante, ydeellosederivaquelasrbitassonplanas. Recurdeseque W L esentodomomentoperpendiculara W ry W p; paraqueladireccinde

W L nocambie, W ry W pdebendefinirsiempre elmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescriban rbitasplanas. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantnea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante. UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetasse muevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera: W L 1 = W L 2 W r 1 (m W v 1 )= W r 2 (m W v 2 ) Simplificamosm: W r 1

W v 1 = W r 2

W v 2 = W cte. 23. Explicar por qu los cometas que orbitan elpticamente alrededor del Sol tienen ms velocidad cuando se encuentran cerca que cuando

se encuentran lejos del Sol, considerando el carcter de fuerza central de la fuerza gravitatoria. (C. F. Navarra. Septiembre, 2006) Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaley deKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarrereasiguales entiemposiguales. Poresto,cuandoelcometaestmscercadelSol,tendrque recorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismarea quelarecorridaenelmismotiempocuandoestalejadodelSol. Paraello,debemoversemsrpido. 24. Dos satlites, A y B, cuyas masas son tales que m A = 50m B se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son v B = 2v A . El radio de la rbita de B ser: a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A. b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A. Sitienenelmismomomentoangular: L A =L B m A v A r A =m B v B r B 50m B v A r A =m B 2v A r B 50r A =2r B Porlotanto,larespuestacorrectaeslad). 25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio

que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, cmo sera su periodo de revolucin alrededor del Sol?: a) Igual. b) De 2 aos. c) De 4 aos. Ms lento Ms rpido Afelio Sol Perihelio 833523 _ 0005-0032.indd 17 14/5/09 08:11:24 18 1 La interaccin gravitatoria DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire alrededordelSol, Porlotanto,lavelocidadyelradioderbitavarandeformainversa: vsermayorcuantomenorsear.Adems,lavelocidadnodepende delamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab). 28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 10 8 km y que la Tierra tarda 365,256 das en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 . (P. Asturias. Junio, 2006) CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol,F G =F C : Sabiendoque ,sustituyendoydespejando: 29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particu lar de rbitas circulares. b) Rhea y Titn son dos satlites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 das terrestres en recorrer sus rbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la rbita de Rhea es 5,27 10 8 m, calcula el radio medio de la rbita de Titn y la masa de Saturno. G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 . (Ar gn. Septiembre, 2006) a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo rbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse. 2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante; esdecir,elvectordeposicindecadaplanetaconrespecto alSol(elradiovector)barrereasigualesentiemposiguales.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira alrededordelSol, T r 2 3 = cte.LavariacindelradiodelaTierra noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiodo delaTierrapermanececonstanteaunquevaresutamao. Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuenta laleydegravitacinuniversal. CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:F G =F C . m v r G M m r T S T 2 2 = Sabiendoquev r T r = = 2 ,sustituyendoydespejando: 2 2 2 2 2 2 2 3 T r r G M r T r G M

= S S

=

( ) Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra, sinodelradiodesurbita.Larespuestacorrectaeslaa). 26. Qu cambio experimentara el periodo de revolucin de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen? DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira alrededordelSol, T r 2 3 = cte.LavariacindelradiodelaTierra noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiodo delaTierrapermanececonstanteaunquevaresumasa. Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuenta laleydegravitacinuniversal. CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:F G =F C . m v r G M m r T S T 2 2 = Sabiendoquev r T r = = 2 ,sustituyendoydespejando: 2 2 2 2 2 2

2 3 T r r G M r T r G M

= S S

=

( ) Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumen delaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningncambio. 27. Un objeto que describe rbitas circulares alrededor del Sol ir ms rpido: a) Cuanto mayor sea el radio de la rbita. b) Cuanto menor sea el radio de la rbita. c) Cuanto mayor sea la masa del objeto. 833523 _ 0005-0032.indd 18 14/5/09 08:11:25 La interaccin gravitatoria 19 Solucionario T 2 DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire alrededordelSol, T r 2 3 = cte. = = = = = 2 2

2 2 2 2 3 2 T v r T r v r v r

2

v r ; ( ) ( ) cte. cte. Porlotanto,lavelocidadyelradioderbitavarandeformainversa: vsermayorcuantomenorsear.Adems,lavelocidadnodepende delamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab). 28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 10 8 km y que la Tierra tarda 365,256 das en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 . (P. Asturias. Junio, 2006) CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol,F G =F C : m v r G M m r T S T 2 2 = Sabiendoquev r T r = =

2 ,sustituyendoydespejando: m T r r G M m r M T T S T S 2 2 2 2 2

=

=

=

2 3 6 2 31 558 10 r G M S s , 22 11 11 2 1 49 10 6 67 10 1 965 1 ( , , , m) N m kg 3 2 = 00 30 kg 29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particu lar de rbitas circulares. b) Rhea y Titn son dos satlites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 das terrestres en recorrer sus rbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la rbita de Rhea es 5,27 10 8 m, calcula el radio medio de la rbita de Titn y la masa de Saturno. G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 . (Aragn. Septiembre, 2006) a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo rbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse. 2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante; esdecir,elvectordeposicindecadaplanetaconrespecto

alSol(elradiovector)barrereasigualesentiemposiguales. dA dt = cte. DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira alrededordelSol, LavariacindelradiodelaTierra noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiodo delaTierrapermanececonstanteaunquevaresutamao. Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuenta laleydegravitacinuniversal. CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:F G =F C . Sabiendoque ,sustituyendoydespejando: Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra, sinodelradiodesurbita.Larespuestacorrectaeslaa). Qu cambio experimentara el periodo de revolucin de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen? DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira alrededordelSol, LavariacindelradiodelaTierra noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiodo delaTierrapermanececonstanteaunquevaresumasa. Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuenta laleydegravitacinuniversal. CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:F G =F C . Sabiendoque ,sustituyendoydespejando: Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumen delaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningncambio. Un objeto que describe rbitas circulares alrededor del Sol ir ms rpido: a) Cuanto mayor sea el radio de la rbita. b) Cuanto menor sea el radio de la rbita. c) Cuanto mayor sea la masa del objeto. 833523 _ 0005-0032.indd 19 14/5/09 08:11:26 20 1 La interaccin gravitatoria 3. Paratodoslosplanetas: T a k 2 3 = (constante).Dondeaes elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta. Demostramosestaleyconlaleydegravitacinuniversal. Paraunplanetaquedescribeunarbitacircular: F F m v r G M m r G C T

S = 2 2

T =

Sabiendoquev T r = = 2 ,sustituyendo: 2 2 2 2 T r r G M r

r

= S r T G M 3 2 2 = S ( 2 =

) cte. b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambos satlites: T r T r 1 2 1

3 2 2 2 3 2 8 3 5 27 10 = = ( ) ( , ) ( 4,52 das m 15,9 ddas T ) 2 3 r r T 15,9 das m 4,52 das = = ( ) ( , ) ( ) , 2 8 3 2 3 5 27 10 1 222 10 9 m ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformado poresteplanetayunodesussatlites,porejemplo,Rhea. CuandounsatliteestenrbitaalrededordeSaturnoF G =F C : m v r G M m r R S R 2 2 = Sabiendoquev r

T r = = 2 ,sustituyendoydespejando: 2 2 2 2 2 T r r G M r M T

=

=

S S 2 3 r G TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresados enunidadesSI: M T r G

S R R s =

= = 2 2 390 528 2 3 3 ,

10

2 8 11 2 5 27 10 6 67 10 ( , , m) N m kg 3 22 S kg M = 568 015

10

24 , 30. Jpiter es un planeta que est rodeado de una serie de lunas que giran en torno a l de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Jpiter. DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatlitesquegiran alrededordeunmismoplanetaverifican: Portanto, Igualando: YparaGanimedes: 31. El periodo de revolucin de Marte alrededor del Sol es de 687 das. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilmetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las rbitas descritas son circunferencias.) (C. F. Navarra. Junio, 2007) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran alrededordelSolverifican: Igualando: 833523 _ 0005-0032.indd 20 14/5/09 08:11:27 La interaccin gravitatoria 21 Solucionario 3. Paratodoslosplanetas: (constante).Dondeaes elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta. Demostramosestaleyconlaleydegravitacinuniversal. Paraunplanetaquedescribeunarbitacircular: Sabiendoque ,sustituyendo: b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambos satlites: ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformado poresteplanetayunodesussatlites,porejemplo,Rhea. CuandounsatliteestenrbitaalrededordeSaturnoF G =F C : Sabiendoque ,sustituyendoydespejando: TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresados enunidadesSI: 30. Jpiter es un planeta que est rodeado de una serie de lunas que giran en torno a l de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Jpiter. Nombre Radio orbital, en 10 6 m Periodo (das) o 421,6 1,769 europa 3,551 ganimedes 1070 calisto 1882 16,689 DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatlitesquegiran alrededordeunmismoplanetaverifican: T r

2 3 = cte. Portanto, T r I I cte. 2 3 = T r E E cte. 2 3 = T r G G cte. 2 3 = Igualando: T r T r r T T r E E I I E E I I 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 551 1 769 4 = = = , ,

221 6 3 3

670 89

, , = r Europa m = 670 89 10 6 , YparaGanimedes: T r T r T r r T G G I I G G I I 2 3 2 3 3 3 2 3 3 1070 421 6 1 7 = = = , , 669 7 152 2 = , T Gaminedes 7,152 das = 31. El periodo de revolucin de Marte alrededor del Sol es de 687 das. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilmetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las rbitas descritas son circunferencias.) (C. F. Navarra. Junio, 2007) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran alrededordelSolverifican: T r 2 3 = cte. T r M

M 2 3 = T r T T cte. 2 3 = Igualando: T r T r r T T r M M T T M M T T 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 687 365 150 = = = == = 228 67 228 67 10 6 , , r M km 833523 _ 0005-0032.indd 21 14/5/09 08:11:29 22 1 La interaccin gravitatoria 32. Europa, satlite de Jpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una rbita completa de 6,71 10

5 km de radio cada 3 das, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula: a) La velocidad lineal de Europa con relacin a Jpiter. b) La masa de Jpiter. Dato: G = 6,67 10 11 N m 2 /kg 2 . Obtenemoselperiodoensegundos: T = + 3 24 60 60 1 13 60 das h 1 da min 1 h s min h min 1 h 60 1 14 6 60 1 306 876 10 3 s min min s min s + + = , , a) v r T r = =

=

2 306 3 , 2 876 s 10

= = 6 71 10 13 74 10 9 3 , , m m/s b) CuandoEuropaestenrbitaalrededordeJpiter,F G =F C : m v r G M r M v r G E J E J 2 m/ s) = 2 2 2 3 13 74 10 m

= = ( , 66 71 10 6 67 10 1 899 10 8 11 2 27 , , , m N m /kg kg 2 = 33. Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 10 6 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384400 km. Dato: G = 6,67 10 11 N m 2 /kg 2 . CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierraF G =F C : m v r G M m r L T L 2 2 = Sabiendoquev r T r = = 2 ,sustituyendoydespejando: 2

2 2 2 2 T r r G M r M T

=

=

T T 2 3 r G M T 3 s m) =

2 2 3 10 388 400 10 6 6 2 3 , ( ,, , 67 10 6 35 10 11 2 24 N m kg kg 2 = 34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 R T . Calcula: a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra. b) El periodo de rotacin en das. Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s 2 ; R T = 6,37 10 6 m. a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,F G =F C : [1] EnlasuperficiedelaTierra: [2] Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelacinr=60 R T : b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:

35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen ms rpido los cuerpos:

a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rpido. Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminada porlaaceleracinquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolo dependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistancia quelosseparadelcentrodeesecuerpo. Comoseapreciaenlafrmula,enausenciaderozamientotodos loscuerposcaenconlamismaaceleracin;portanto,conlamisma rapidez.Larespuestacorrectaeslac). 833523 _ 0005-0032.indd 22 14/5/09 08:11:30 La interaccin gravitatoria 23 Solucionario Europa, satlite de Jpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una rbita completa de 6,71 10 5 km de radio cada 3 das, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula: a) La velocidad lineal de Europa con relacin a Jpiter. b) La masa de Jpiter. Dato: G = 6,67 10 11 N m 2 /kg 2 . Obtenemoselperiodoensegundos: T = + 3 24 60 60 1 13 60 das h 1 da min 1 h s min h min 1 h 60 1 14 6 60 1 306 876 10 3 s min min s min s

+ + = , , a) b) CuandoEuropaestenrbitaalrededordeJpiter,F G =F C : m v r G M r M v r G E J E J 2 m/ s) = 2 2 2 3 13 74 10 = = ( , 66 71 10 6 67 10 1 899 10 8 11 2 27 , , , m N m /kg kg 2 = Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 10 6 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384400 km. Dato: G = 6,67 10 m

11 N m 2 /kg 2 . CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierraF G =F C : Sabiendoque ,sustituyendoydespejando: M T 3 s m) =

2 2 3 10 388 400 10 6 6 2 3 , ( ,, , 67 10 6 35 10 11 2 24 N m kg kg 2 = 34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 R T . Calcula: a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.

b) El periodo de rotacin en das. Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s 2 ; R T = 6,37 10 6 m. a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,F G =F C : m v r G M m r v G M r L T L T = = 2 2 2 [1] EnlasuperficiedelaTierra: g M R g T T T T 2 2 [2] Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelacinr=60 R T : v M r g R R g R v 2 2 60 60 9 86 6 37 G R G M = = G

= = = T

=

T T T 2 m/s , , = 10 60 1 023 10 6 3 m m/s , b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares: v r T R = = 2 60 T T v R = = = 2 60 2 60 6 37 1 023 10 2 3 6 3 T m m/s , , , 55 10 6 s T = 6 , s 1 h 10

= 2 35

10

3600 s 1 das 24 h 27,17 das 35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen ms rpido los cuerpos: a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rpido. F G M m r g m G T = = 2 Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminada porlaaceleracinquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolo dependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistancia quelosseparadelcentrodeesecuerpo. Comoseapreciaenlafrmula,enausenciaderozamientotodos loscuerposcaenconlamismaaceleracin;portanto,conlamisma rapidez.Larespuestacorrectaeslac). 833523 _ 0005-0032.indd 23 14/5/09 08:11:31 24 1 La interaccin gravitatoria 36. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g. a) Si hicisemos la experiencia en la Luna, cuntas pesas tendramos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo? b) Y si hicisemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: g T = 9,8 m s 2 ; g L =1,7 m s 2 . Conunabalanzade latoshabrquecolocarlamismacantidadde esas. Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveraafectada orlagravedad. P m g P m g P Tierra Tierra Luna Luna Lun = = ' ! 1 1

+ 1 1 aa Tierra Luna Tierra Tierra = = P g g P 17 9 8 , , m/s m/ss =P Tierra 0 173 , 37. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. Cul es su peso? Y cul sera su peso a) si la masa de la Tierra se reduce a la mitad? b) si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g 0 = 9,8 m s 2 . P=F G =m g. a) EnlaTierra: g G M R g P = = = = = T T 2 2 m/ s kg 9,8 m s N 2 0 9 8 70 686 , b) SiM M ' T T = 2 : g G

M R g P g

m P

g

m

' ' ' = = = = = = T T N N 2 2 2 2 686 2 343 2 c) SiR R ' T T = 2 : g M R G M R g P m ' ' = ( \ ) G

=

= T T T

=

=

T 2 4 4 2 gg m d) Si : g P ' = 4 4 4 686 2744 = = = N N 2

38. Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrpeta a que est sometido en la superficie de la Tierra? Datos: G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; R T = 6370 km; M T = 5,98 10 24 kg. ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.Utilizamos unidadesdelSI: [1] Paracalcularlafuerzacentrpetatenemosencuentaqueelcuerpo queestenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotacin idnticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1da.Utilizamos unidadesdelSI: [2] Relacionandolasexpresiones[1]y[2]: 39. Calcula la aceleracin de la gravedad en un punto que est situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres). Llamamosg 0 alvalordelaaceleracindelagravedadenlasuperficie delaTierraysuponemosquevale9,8m/s 2 . 833523 _ 0005-0032.indd 24 14/5/09 08:11:32 La interaccin gravitatoria 25 Solucionario Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g. a) Si hicisemos la experiencia en la Luna, cuntas pesas tendramos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo? b) Y si hicisemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: g T = 9,8 m s 2 ; g L =1,7 m s

2 . Conunabalanzade latoshabrquecolocarlamismacantidadde esas. Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveraafectada orlagravedad. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. Cul es su peso? Y cul sera su peso a) si la masa de la Tierra se reduce a la mitad? b) si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g 0 = 9,8 m s 2 . P=F G =m g. a) EnlaTierra: g G M R g P = = = = = T T 2 2 m/ s kg 9,8 m s N 2 0 9 8 70 686 , b) Si : c) Si : d) SiM M R R ' ' T T T T y = = 2 2 : g M R G M R g P ' ' = G

= T T T T 2 2 2 4 2 2

=

=

2 = N N

mm g m g P = ' 2 2 2 686 1372 = = 38. Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrpeta a que est sometido en la superficie de la Tierra? Datos: G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; R T = 6370 km; M T = 5,98 10 24 kg. ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.Utilizamos unidadesdelSI: P F G M m r = = = G T 2 11 24 6 6 67 10 5 98 10 6 37 10 ,

, ( , 2 9 83 = m m [1] Paracalcularlafuerzacentrpetatenemosencuentaqueelcuerpo queestenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotacin idnticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1da.Utilizamos unidadesdelSI: F m v r m r r m T r C = = = 2 2 2 2 2 2 ( ) F m m C = = ( ) ( ) , 2 24 3600 6 37 10 0 034 2 2 6 , [2] Relacionandolasexpresiones[1]y[2]: P F m m C = = 9 83 0 034 289 , , 39. Calcula la aceleracin de la gravedad en un punto que est situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia , ))

a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres). Llamamosg 0 alvalordelaaceleracindelagravedadenlasuperficie delaTierraysuponemosquevale9,8m/s 2 . g G M R h G M R R G M R g = + = + = ( ) ( ) 2 2 2 60 1 61 T T T T T 2 == = = g 0 2 2 2 61 m/ s 3721 m/ s 9 8 2 63 10 3 , , 833523 _ 0005-0032.indd 25 14/5/09 08:11:33 26 1 La interaccin gravitatoria 40. La Luna describe una rbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 das. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna. b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces

la de la Tierra. c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, con qu velocidad llegar al suelo? d) Con qu velocidad llegar al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra? Datos: G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; M T = 5,98 10 24 kg; R T = 4R L ; R T = 6370 km. a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,F G =F C : m v r G M m r L T L 2 2 = Sabiendoquev r T r = = 2 ,sustituyendo(unidadesSI) ydespejando: 2 2 2 2 2 T r r

G M r r T G M

= L L T L L L

=

T

2 3 r L 2 =

6 67 10 5 98 10 27 3 24 60 60 11 24 , , ,

= = 2 3 6 383 06 10 , b) Enestecaso: F G M m r G M M r T T L L T T L N = = = = 2 2 11 81 1 81 6 67 10 , m kg ( kg) ( m) 2 2 2 2 = 5 98 10 383 06 10 200 24 6 , , ,668 10 18

m

N LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentido contrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra. c) Elcuerpoquecaetendrunmovimientouniformementeacelerado. Vendrdeterminadoporlasecuaciones: v v at y y v t a t = + = + + 0 0 0 2 1 2 ; Suponemosquev 0 =0yqueelorigendetiemposyespaciosest enelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento. Laaceleracinserencadacasoladelagravedad;utilizando unsistemadereferenciacartesiano,tendrsignonegativo. TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mser: Portanto: Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo. d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior. Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilar alvalorenlasuperficie: Portanto: Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo. 41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamao, cul ser su peso? Dato: g T = 9,8 m s 2 . P=F G =m g.EnlaTierra: Enelplaneta(M P =M T /10; R P =R T ): 833523 _ 0005-0032.indd 26 14/5/09 08:11:34 La interaccin gravitatoria 27 Solucionario La Luna describe una rbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 das. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna. b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra. c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, con qu velocidad llegar al suelo? d) Con qu velocidad llegar al suelo si se deja caer desde una altura

de 10 m de la Tierra? Datos: G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; M T = 5,98 10 24 kg; R T = 4R L ; R T = 6370 km. a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,F G =F C : Sabiendoque ,sustituyendo(unidadesSI) ydespejando: b) Enestecaso: F G M m r G M M r T T L L T T L N = = = = 2 2 11 81 1 81 6 67 10 ,

m ( ( 2

kg kg) m) 2

2 2 = 5 98 10 383 06 10 200 24 6 , , ,6 68 10 18 N LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentido contrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra. c) Elcuerpoquecaetendrunmovimientouniformementeacelerado. Vendrdeterminadoporlasecuaciones: Suponemosquev 0 =0yqueelorigendetiemposyespaciosest enelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento. Laaceleracinserencadacasoladelagravedad;utilizando unsistemadereferenciacartesiano,tendrsignonegativo. TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mser: g m R L L L = + = ( , , 2 11 24 6 67 5 98 81 6370 4 1 94 3 2 + ) h G

10 10 100 10

= , 2 y g t t t = = = 1 2 10 1 2 1 94 10 2 1 9 2 2 L 2 m m/ s m , , 44 m/ s 2 = 3,21 s Portanto: v g t t v L L L = = = = 1 94 1 94 3 21 , 2 33m/s Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo. d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior. Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilar alvalorenlasuperficie: g G M R h T = + = m/ s

,

, m/s

m/s

s

6,2

T T ( , , ( 2 11

)

24 6 67 10 5 98 10 6370 10 33 2 10 9 83 + = ) , m/ s 2 y g t t t = = = 1 2 10 1 2 9 83 10 2 9 8 2 2 T 2 m m/ s m , , 33 m/ s 2 = 1,43 s Portanto: v g t T T 2 m/s s = = = 9 83 1 43 , , 14,06 m/s Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo. 41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamao, cul ser su peso? Dato: g T = 9,8 m s 2 . P=F

G =m g.EnlaTierra: g G M R T T T 2 m/ s = = 2 9 8 , Enelplaneta(M P =M T /10; R P =R T ): g G M R G M R G M R g P P P T T T T T 10 = = = = = 2 2 2 1 10 1 10 1 10 9 8 0 98 10 0 98 9 8 , , , , m/s m/s kg m/s 2 2 2 = = = = = P m g NN

833523 _ 0005-0032.indd 27 14/5/09 08:11:35 28 1 La interaccin gravitatoria 42. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslacin de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la rbita. b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: la gravedad en la superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midisemos en Venus la constante de gravitacin universal, G, el valor obtenido sera el 90% del medido en la Tierra. (Andaluca, 2007) a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo rbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse. 2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante; esdecir,elvectordeposicindecadaplaneta conrespectoalSol(elradiovector)barrereasiguales entiemposiguales. dA dt = cte. 3. Paratodoslosplanetas: T a k 2 3 = (constante). DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiodo delplaneta. ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetas debenmoversemsrpidoalestarmscercadelSol (perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplica unalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoest msalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo. b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaraentrelaTierra yVenus;loquevaraeselvalordelaaceleracindelagravedad,g, encadacaso: g M R g M G R Venus Venus Venus Tierra Tierra Ti = = 2 ; eerra 2 43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. G

El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sera igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, en qu proporcin? Conunrazonamientoidnticoaldelejercicioanteriordemostraremos quegenEgabbacsereldoblequeenlaTierra.SiR P =2R T : ComoP=F G =m g,resultaqueelpeso(2mg T )sereldoble queenlaTierra. 44. La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su dimetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone cul sera el peso en Jpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que tarda Jpiter en dar una vuelta completa alrededor del Sol, expresado en aos terrestres. Datos: g = 10 m s 2 ; radio orbital terrestre = 1,5 10 11 m. (Andaluca, 2007) a) . Si b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira alrededordelSolverifica: Portanto, Adems,r J =5 r T .Igualando: Portanto,elperiododeJpiteresde11,18aosterrestres. Ms lento Ms rpido Sol Afelio Perihelio 833523 _ 0005-0032.indd 28 14/5/09 08:11:36 La interaccin gravitatoria 29 Solucionario a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslacin de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la rbita. b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: la gravedad en la superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midisemos en Venus la constante de gravitacin universal, G, el valor obtenido sera el 90% del medido en la Tierra. (Andaluca, 2007) a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo rbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse.

2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante; esdecir,elvectordeposicindecadaplaneta conrespectoalSol(elradiovector)barrereasiguales entiemposiguales. 3. Paratodoslosplanetas: (constante). DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiodo delplaneta. ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetas debenmoversemsrpidoalestarmscercadelSol (perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplica unalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoest msalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo. b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaraentrelaTierra yVenus;loquevaraeselvalordelaaceleracindelagravedad,g, encadacaso: 43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sera igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, en qu proporcin? Conunrazonamientoidnticoaldelejercicioanteriordemostraremos quegenEgabbacsereldoblequeenlaTierra.SiR P =2R T : d m V d M R d M R M M = = = = = P P T T T T P T 4 3 2 4 3 8 3 3 ( ) g M G

R g M R G M R g T T T P P P T T T = 2 8 2 G

= 2

2

=

=

2 ( ) ComoP=F G =m g,resultaqueelpeso(2mg T )sereldoble queenlaTierra. 44. La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su dimetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone cul sera el peso en Jpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que tarda Jpiter en dar una vuelta completa alrededor del Sol, expresado en aos terrestres. Datos: g = 10 m s 2 ; radio orbital terrestre = 1,5 10 11 m. (Andaluca, 2007) a) P F m g g G M R = = = G J J y J 2 . Si M M R R g G M R g J T J T T T T

y = = = = 300 10 300 10 3 2 J ( ) P m g = = = J 75 kg 3 10 m/ s 2250 N b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira alrededordelSolverifica: T r 2 3 = cte. Portanto, T r T T cte. 2 3 = T r J J cte. 2 3 = Adems,r J =5 r T .Igualando: T r T r T r T r T T J J T T J T

T

T T J T 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 = = ( JJ J 2 3 5 5 = = T T

5 = ) T T 3 T 2

1118 = T T

, Portanto,elperiododeJpiteresde11,18aosterrestres. Perihelio 833523 _ 0005-0032.indd 29 14/5/09 08:11:37 30 1 La interaccin gravitatoria Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquiera severatradoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrario alaqueejercelaLunasobrel. Porladefinicindefuerzagravitatoria: YqueremosqueF GT =F GL : [1] Ademssabemosque y .Retomando[1]: Desarrollandolaecuacinde2.gradoydescartandoelresultado negativo,resulta: Ylasolucinesindependientedelamasadelcuerpo. 47. En los vrtices inferiores de un rectngulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que est en el tercer vrtice, si la altura del rectngulo es de 3 m. LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg, respectivamente. W

F AC serlafuerzaejercidasobreelcuerpoC de2kgporelcuerpoA;y W F BC ,laejercidaporelcuerpoB. 45. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequea masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vrtices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro: a) A y B se acercarn uno al otro ms rpidamente. b) C y X se acercarn uno al otro ms rpidamente. c) Se acercarn ambas parejas con la misma aceleracin. Larapidezconlaqueuncuerpo seacercaaotrodependedesuaceleracin. Talycomoestnanunciadas lasposiblesrespuestas,estudiamos elacercamientodecadaparejademasas conindependenciadelapresencia delaotrapareja. LafuerzaconqueseatraenlasmasasA yBes: F G M M d G = 2 M:masadeA,B,C. m:masadeX. Comolosdoscuerpostienenlamismamasa: F M a G M d a a G A B = = = 2 LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes: F G M m d G = 2 LaaceleracindeloscuerposCyXesdistinta: F m a G M m d m a G M d a F M a G M GX X X X

GC C = = = = 2 2 mm d M a G m d a 2 2 = = C C ElcuerpoCsemueveconmenoraceleracinquecualquiera delosotrostres;portanto,laparejaA,Bseacercaunoalotro conmsrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemover haciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha; C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda. 46. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 10 8 m, en qu punto debiera situarse un satlite de 10 toneladas para que sea igualmente atrado por ambas? Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra. (P. Asturias. Septiembre, 1999) B A C X d d 833523 _ 0005-0032.indd 30 14/5/09 08:11:38 La interaccin gravitatoria 31 Solucionario Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquiera severatradoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrario alaqueejercelaLunasobrel. Porladefinicindefuerzagravitatoria: F G M m d F G M m d GT T GL L = =

1 2 2 2 ; YqueremosqueF GT =F GL : G M d G M d M d M d = T 1 2 2 2 1 2 2 2 = L T L m m

[1] Ademssabemosqued d d d M M 1 2 8 1 8 2 3 84 10 3 84 10 0 012 + = = L T y d d d d M M 1 2 8 1 8 2 3 84 10 3 84 10 0 012 + = = L T .Retomando[1]: M d M d d

= ,

,

,

m

m

y

= ,

,

,

m

m

y

T T ( , ) , , ( , 3 84 10 0 012 0 012 3 8 8 2 2 2 2 2 2 = = 44 10 8 2 2 d ) Desarrollandolaecuacinde2.gradoydescartandoelresultado negativo,resulta: d d 2 6 1 8 6 37 906 10 3 84 10 37 906 10 346 = = = , , , m y m m ,,094 10 6 m Ylasolucinesindependientedelamasadelcuerpo. 47. En los vrtices inferiores de un rectngulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que est en el tercer vrtice, si la altura del rectngulo es de 3 m. LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg, respectivamente. W F AC serlafuerzaejercidasobreelcuerpoC de2kgporelcuerpoA;y W F BC ,laejercidaporelcuerpoB.

Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequea masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vrtices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro: a) A y B se acercarn uno al otro ms rpidamente. b) C y X se acercarn uno al otro ms rpidamente. c) Se acercarn ambas parejas con la misma aceleracin. Larapidezconlaqueuncuerpo seacercaaotrodependedesuaceleracin. Talycomoestnanunciadas lasposiblesrespuestas,estudiamos elacercamientodecadaparejademasas conindependenciadelapresencia delaotrapareja. LafuerzaconqueseatraenlasmasasA yBes: Comolosdoscuerpostienenlamismamasa: LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes: LaaceleracindeloscuerposCyXesdistinta: ElcuerpoCsemueveconmenoraceleracinquecualquiera delosotrostres;portanto,laparejaA,Bseacercaunoalotro conmsrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemover haciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha; C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 10 8 m, en qu punto debiera situarse un satlite de 10 toneladas para que sea igualmente atrado por ambas? Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra. (P. Asturias. Septiembre, 1999) C X d Tierra Luna d 2 d 1 P W F GT W F GL 2kg B A C 1kg 0,5kg W F AC

W F BC 3m 833523 _ 0005-0032.indd 31 14/5/09 08:11:39 32 1 La interaccin gravitatoria W F AC tieneladireccinysentidoqueseindica,yelmduloser: F G m m d AC A C AC 2 N kg kg kg kg = = 2 11 6 67 10 0 5 2 , , 33 7 41 10 2 12 m N 2 = , Enformavectorial: W F AC = W F AC W j = 7,4110 12

W j N Ladistanciaquese aralasmasasCyBes: 3 5 5 83 2 2 + = , m W F BC tieneladireccinysentidoqueseindica,yelmduloser: F G m m d BC B C BC 2 N kg kg kg kg = = 2 11 6 67 10 1 2 5 , , 883 3 92 10 2 12 m N 2 = , Parapoderhacerlasumadeambasfuerzas,expresamos W F BC deforma vectorial.Obtendremossuscomponentesproyectandolafuerzasobre losejescartesianos: W F BC = F BC cos

W i F BC sen W j F i j BC = 3 92 10 5 5 83 3 92 10 3 5 83 12 12 , , , , N == = 3 36 10 2 02 12 12 , , i j N W W W W W Porsuperposicin: W F T = W F AC + W F BC . F j i T = + ( , ) ( , 12 12 122 12 12 3 36 10 9 43 = j F i j N) T

10

10 3 36 10 2 02 10

, 7 41 10

N , , W W W W W W W Elmduloser: F T N = + = ( , ) ( , ) 3 36 10 9 43 10 1 10 12 2 12 2 11 833523 _ 0005-0032.indd 32 14/5/09 08:11:40 33 El campo gravitatorio 2 TrasestudiarlaleydelagravitacinuniversalpropuestaporNewton, enestetemanosproponemosestudiarlainteraccingravitatoria comounaperturbacinquemodificalaspropiedadesdelmedio enelqueseencuentranloscuerposporelhechodetenermasa. Utilizaremoselconceptodecampoparadescribirlaperturbacin cuyovalorencadapuntonospermitirpredecirlainteraccinquesufrir uncuerpodeterminadoquesecoloqueenesepunto.Tantoelestudio delcampocomoeldelainteraccinsehardeformadinmica yenergtica. Lasegundapartedeltemasededicaaprofundizarenelconceptode campogravitatorioterrestreyensusimplicacionesenelmovimiento delossatlitesartificiales;dispositivostecnolgicoscadavezms utilizadospararealizarcomunicaciones,hacerpredicciones meteorolgicas,etc. PRESENTACIN Reconocerelconceptocampocomounrecursoadecuadoparaestudiar lainteraccinadistancia. Separarconceptualmentelaperturbacinprovocadaporuncuerpo enelespacioquelerodeadelaaccinquesufreotrocuerpo quepenetraenelcampo. Aprenderamanejarconsolturalafuncinintensidaddecampo ylafuncinpotencialcomodosfuncionesmatemticas(laprimera, vectorial,ylasegunda,escalar)quedefinenlaperturbacingravitatoria. Obtenerunarepresentacingrficadelcampogravitatorio. Comprenderlainteraccingravitatoriacomounainteraccin conservativa. Utilizarelprincipiodesuperposicinparadeterminarelvalordelcampo creadoporunconjuntodemasaspuntuales. IdentificarlaTierracomounadistribucincontinuademasayabordar elestudiodelcampogravitatorioquecreaendistintospuntosporencima ypordebajodesusuperficie. Reconocerelcampogravitatorioterrestrecomoelresponsable delmovimientodelossatlitesartificiales. Aplicarlaleydelagravitacinuniversalyelprincipiofundamental deladinmicaparaestudiarelmovimientodelossatlitesqueorbitan laTierra. OBJETIVOS 833523 _ 0033-0072.indd 33 14/5/09 08:07:34 34 2 El campo gravitatorio Elcampocomounconceptoparaestudiarlainteraccin queuncuerpocreaenelespacioquelerodea. Definicindelvectorintensidaddecampogravitatoriocreado

poruncuerpopuntual.Relacinconlaaceleracindecadalibre. Relacindelaintensidadenunpuntodelcampocreado poruncuerpoconlafuerzagravitatoriaqueejercesobreotrocuerpo colocadoenesepunto. Demostracindequeelcampogravitatorioesuncampoconservativo. Definicindelpotencialenunpuntodelcampoysurelacin conlaenergapotencialqueadquiereotrocuerpoquesecoloca endichopunto. Relacinentreeltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampocuando uncuerposedesplazadeunpuntoaotroylavariacindeenerga potencialeneldesplazamiento. Conservacindelaenergamecnica. Estudiodecamposcreadosporvariasmasaspuntuales.Principio desuperposicin. Representacingrficadelcampo:lneasdecampoysuperficies equipotenciales. EstudiodelcampogravitatorioquecrealaTierra;variacin enfuncindelaprofundidad,laaltitudylalatitud. ElmovimientodesatlitesentornoalaTierra.Estudio desuscaractersticasorbitales,delavelocidadparaquealcance unarbitadeterminadaydelavelocidaddeescape. Conceptos CONTENIDOS Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitud muydiferente. Llevaracabounesfuerzodeabstraccinparadiferenciar laperturbacinqueprovocauncuerpodelainteraccinquesufre unsegundocuerpoporlaperturbacincreadaporelprimero. Valorarlarepresentacingrficadeunapropiedadpormedio delaslneasdecampoolassuperficiesequipotenciales. Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemas aestudiar.Manejarellenguajesimblico. Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales. Reconocerlasmagnitudesylasrelacionesentreellas queserequierenparaestudiarelmovimientodesatlites. Procedimientos, destrezas y habilidades Estetemanospermiteabordarlaeducacinenvaloresbajodiversosaspectos. 1. Educacin cvica LasprimerasaplicacionesdelossatlitesartificialesqueorbitabanlaTierraeran decarctermilitar.Perohoyendalamayoraseempleanentareasdecomunicacin yprediccinmeteorolgica.Sucosteobliga,enocasiones,aquevariospases oinstitucionesseunanparaelmantenimientodeunservicio;sirvacomoejemplo elsistemaGalileodecomunicacionesqueestntratandodeponerenmarcha lospasesdelaUninEuropea. Alhilodeestasideassepuedereflexionarconelalumnadoacercadelcambio socialquehanprovocadolosavancestecnolgicosrelacionadosconlossatlites artificiales.Tambinsepuedeanalizarlarelacincoste-beneficiodeestosservicios ycompararloconelcostequesupondranotrosbeneficiosquerequieren conurgenciaciertossectoresdelahumanidad. 2. Educacin medioambiental Laactividaddelossatlitesartificialesprovocalaaparicindebasuraespacial. Sepuedereflexionarconelalumnadosobreestehechoafindeque,desde unaposicinmsampliaquelaquerepresentaservecinosdeunbarrio,tomen posturaytenganunaopininformadaacercadeloqueconvienehacer conesabasura.Qupuedesignificarlaideadereutilizar,reciclaryrecuperar labasuraespacial? EDUCACIN EN VALORES 1. Calcularelcampoyelpotencialgravitatoriosqueunamasapuntualcreaenunpunto

delespaciodeterminado. 2. Hallarelcampoyelpotencialgravitatoriosqueunconjuntodemasaspuntuales creaenunpuntodelespaciodeterminado. 3. Calcularlafuerzaqueactasobreuncuerpoqueestenundeterminadopunto deuncampocreadoporunaomsmasaspuntuales. 4. Averiguareinterpretarelsignodeltrabajoolaenergaqueserequierepara queuncuerposedesplacedeunpuntoaotrodeuncampogravitatorio. 5. Representargrficamenteelcampogravitatoriocreadoporunaomsmasas puntuales.Reconocerlaspropiedadesdelaslneasdecampoylassuperficies equipotenciales. 6. Calculareinterpretarelvalordelaintensidaddelcampogravitatoriocreado porlaTierraendistintospuntosporencimaypordebajodesusuperficie. 7. RealizarclculosrelativosalmovimientodelossatlitesartificialesqueorbitanlaTierra . Determinarelpesodelsatlite,elradiodelarbita,elperiodo,etc. 8. Determinarlaenergaqueserequiereparaponerunsatliteenunarbitaconcreta, paraquepasedeunarbitaaotraoparaqueescapedelcampogravitatorioterrestre. CRITERIOS DE EVALUACIN Intersporaplicarlosconocimientostericosqueaportaestetema paracomprenderelmovimientodelossatlitesartificiales. Comprenderelesfuerzocientficoytecnolgicoquesuponeenviar unanavealespacio.Valorarelesfuerzoquerequiere surecuperacin. Actitudes 833523 _ 0033-0072.indd 34 14/5/09 08:07:34 35 programacin de aula El campo gravitatorio Elcampocomounconceptoparaestudiarlainteraccin queuncuerpocreaenelespacioquelerodea. Definicindelvectorintensidaddecampogravitatoriocreado poruncuerpopuntual.Relacinconlaaceleracindecadalibre. Relacindelaintensidadenunpuntodelcampocreado poruncuerpoconlafuerzagravitatoriaqueejercesobreotrocuerpo colocadoenesepunto. Demostracindequeelcampogravitatorioesuncampoconservativo. Definicindelpotencialenunpuntodelcampoysurelacin conlaenergapotencialqueadquiereotrocuerpoquesecoloca endichopunto. Relacinentreeltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampocuando uncuerposedesplazadeunpuntoaotroylavariacindeenerga potencialeneldesplazamiento. Conservacindelaenergamecnica. Estudiodecamposcreadosporvariasmasaspuntuales.Principio desuperposicin. Representacingrficadelcampo:lneasdecampoysuperficies equipotenciales. EstudiodelcampogravitatorioquecrealaTierra;variacin enfuncindelaprofundidad,laaltitudylalatitud. ElmovimientodesatlitesentornoalaTierra.Estudio desuscaractersticasorbitales,delavelocidadparaquealcance unarbitadeterminadaydelavelocidaddeescape. CONTENIDOS Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitud muydiferente. Llevaracabounesfuerzodeabstraccinparadiferenciar laperturbacinqueprovocauncuerpodelainteraccinquesufre unsegundocuerpoporlaperturbacincreadaporelprimero. Valorarlarepresentacingrficadeunapropiedadpormedio delaslneasdecampoolassuperficiesequipotenciales.

Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemas aestudiar.Manejarellenguajesimblico. Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales. Reconocerlasmagnitudesylasrelacionesentreellas queserequierenparaestudiarelmovimientodesatlites. Estetemanospermiteabordarlaeducacinenvaloresbajodiversosaspectos. 1. Educacin cvica LasprimerasaplicacionesdelossatlitesartificialesqueorbitabanlaTierraeran decarctermilitar.Perohoyendalamayoraseempleanentareasdecomunicacin yprediccinmeteorolgica.Sucosteobliga,enocasiones,aquevariospases oinstitucionesseunanparaelmantenimientodeunservicio;sirvacomoejemplo elsistemaGalileodecomunicacionesqueestntratandodeponerenmarcha lospasesdelaUninE