INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTLA GUTIERREZ2013MATERIA: SIMULACIONJOSE DEL C. VAZQUEZ HDEZ INGENIERIA INDUSTRIAL 21/02/2013

ndice general Unidad1TemasIntroduccin a la Simulacin de eventos discretosSubtemas1.1. Introduccin 1.2. Definiciones y Aplicaciones 1.3. Estructura y caractersticasde la simulacin de eventos discretos. 1.4. Sistemas, Modelos y Control 1.5. Mecanismos de tiempo fijo y tiempo variable 1.6. Etapas de un Proyecto de simulacin 2.1. Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas 2.2. Propiedades de los nmeros pseudoaleatorios. 2.3. Pruebas estadsticas de aleatoriedad para los nmeros pseudoaleatorios: de medias, de varianza, de independencia y de bondadde ajuste. 2.4. Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales. 2.5. Mtodo de Monte Carlo 3.1. Introduccin 3.2. Generacin de variables aleatorias discretas y continuas utilizando paquetes computacionales como Excel, ProModel, Arena. 4.1. Antecedentes de los lenguajes de simulacin y simuladores 4.2. Aprendizaje y uso de un Simulador como: ProModel, Arena, entre otros. 4.3. Caractersticas del software 4.4. Construccin de modelos 4.5. Consideraciones econmicas enla simulacin. 4.6. Realizar prcticas utilizando el simulador para procesos productivos, de transporte, lneas de espera, calidad, inventarios, entre otros. 4.7. Interpretacin de los resultados obtenidos y generacin de propuestas de mejora para el modelo analizado. 5.1. Elaboracin de un proyecto final 5.2. Anlisis, modelado, simulacin e interpretacin de resultados para sistemas reales de empresas de manufactura o de servicios, a fin de detectar las mejoras posibles a realizar y proponer acciones que mejoren su desempeo, considerando aspectos econmicos2Generacin de Nmeros Aleatorios3Generacin de Variables Aleatorias4Lenguajes de Simulacin y Simuladores de Eventos Discretos5Proyecto de Aplicacin

Unidad I. Introduccin a la Simulacin de eventos discretos 1.1. IntroduccinEn aos recientes, el advenimiento de nuevos y mejores desarrollos en el rea de lacomputacin ha trado consigo innovaciones igualmente importantes en los terrenos dela toma de decisiones y el diseo de procesos y productos. En este sentido, una de las tcnicas de mayor impacto es la simulacin. Hoy en da, el analista tiene a su disposicin una gran cantidad de software de simulacin que le permite tomar decisiones en temas muy diversos. Por ejemplo, determinar la mejor localizacin de una nueva planta, disear un nuevo sistema de trabajo o efectuar el anlisis productivo deun proceso ya existente pero que requiere mejoras. Sin duda, la facilidad que otorga a la resolucin de stas y muchas otras problemticas, ha hecho de la simulacin una herramienta cuyo uso y desarrollo se han visto significativamente alentados. Cada vez resulta ms sencillo encontrar paquetes de software con gran capacidad deanlisis, as como mejores animaciones y caractersticas para generacin de reportes. Engeneral, dichos paquetes ya sea orientado a procesos, a servicios o de ndole general nos proveen de una enorme diversidad de herramientas estadsticas que permitenun manejo ms eficiente de la informacin relevante bajo anlisis, y una mejor presentacin e interpretacin de la misma. El concepto de simulacin engloba soluciones paramuchos propsitos diferentes. Por ejemplo, podramos decir que el modelo de un avin aescala que se introduce a una cmara por donde se hace pasar un flujo de aire, puede simular los efectos que experimentar un avin real cuando se vea sometido a turbulencia. Por otro lado, algunos paquetes permiten hacer la representacin de un proceso de fresado o torneado: una vez que el usuario establezca ciertas condiciones iniciales, podr ver cmo se llevara a cabo el proceso real, lo que le permitira revisarlo sin necesidad de desperdiciar material ni poner en riesgo la maquinaria. Entre los distintos tipos de procesos de simulacin que podemos utilizar, en este libro nos ocuparemos del que se basa en el uso de ecuaciones matemticas y estadsticas, conocido como simulacin de eventos discretos. Este proceso consiste en relacionar los diferentes eventos que pueden cambiar el estado de un sistema bajo estudio por medio de distribuciones de probabilidad y condiciones lgicas del problema que se est analizando. Por ejemplo, un proceso de inspeccin donde sabemos estadsticamente que 0.2% de los productos tiene algn tipo de defecto puede simularse con facilidad mediante una simple hoja de clculo, considerando estadsticas de rechazos y productos conformes, y asignando una distribucin de probabilidad con 0.2% de oportunidad de defecto para cada intento de inspeccin. En el presente captulo abordaremos las definiciones bsicas de los conceptos de la simulacin de eventos discretos. En los siguientes se presentarn algunos otros elementos relevantes, como los nmeros pseudoaleatorios y las pruebas estadsticas necesarias para comprobar esta aleatoriedad, la generacin de variables aleatorias y la caracterizacin de algunas

distribuciones de probabilidad de uso comn en la simulacin, lo cual nos permitir realizar una simulacin sencilla con ayuda de una hoja de clculo. Por ltimo, describiremos la utilizacin de un software comercial: Promodel, una versin limitada del cual se incluye en este curso. La simulacin consiste bsicamente en construir modelosinformticos que describen la parte esencial del comportamiento de un sistema de inters, as como en disear y realizar experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados para apoyar la toma de decisiones. Tpicamente, se utiliza enel anlisis de sistemas tan complejos que no es posible su tratamiento analtico omediante mtodos de anlisis numricos. Sus orgenes estn en los trabajos de Student paraaproximar la distribucin que lleva su nombre, y los mtodos que Von Neumann y Ulamintrodujeron para resolver ecuaciones integrales. Desde entonces, la Simulacin ha crecido como una metodologa de experimentacin fundamental en campos tan diversoscomo la Economa, la estadstica, la Informtica o la Fsica, y con enormes aplicaciones industriales y comerciales, como los simuladores de vuelo, los juegos de simulacin, o la prediccin burstil o meteorolgica. La crisis del petrleo de los aos setentaoblig a la industria en general a enfocar sus esfuerzos en ser enrgicamente ms eficientes, inicindose as una etapa de desarrollo tecnolgico encaminado a mejorar los procesos existentes y a disear otros nuevos ms eficientes. Este fue el caldo de cultivo necesario para motivar el desarroll en simulacin de procesos. El comienzo fuelento y se dio en forma conceptual, experimental y acadmica en algunas compaas y universidades en Estados Unidos, Canad y Europa. Para 1975 se haba generalizado eldesarrollo de simuladores con algunas aplicaciones industriales reducidas. En 1980 empezaron a surgir compaas elaboradoras de software, que desarrollaban paquetesde simulacin para su comercializacin, pero tenan la desventaja de que la entrada ysalida de la informacin eran muy rgidas y se presentaban en forma de listados dedifcil interpretacin. A finales de los aos 80s se inici el desarrollo de paquetes desimulacin interactivos y su comercializacin marc el comienzo de un uso ms intensivoy generalizado en la industria y las universidades. Entre 1991 y 1995 se iniciala comercializacin de paquetes de simulacin dinmica y de integracin de energa. En losltimos aos, la simulacin de procesos en estado estacionario ha llegado a ser una herramienta de apoyo para el diseo de procesos industriales y adems su uso se est extendiendo en las instituciones de formacin de ingenieros industriales. La simulacin de procesos est jugando un papel muy importante en la industria de procesos, como una herramienta adecuada y oportuna para el diseo, caracterizacin, optimizacin ymonitoreo del funcionamiento de procesos industriales.

Aun cuando en sus inicios la simulacin de procesos estuvo enfocada principalmentea la industria petroqumica y de refinacin del petrleo, su aplicacin se ha ido extendiendo a otras industrias tales como la de combustibles sintticos, pulpa y papel,cemento, metales, minerales, alimentos, etc., en donde se involucra la fase slida. La simulacin de procesos industriales ha involucrado ambos comportamientos deprocesos estacionarios y dinmicos. Historia de la simulacin El galopante desarrollo tecnolgico de las ltimas dcadas hace que los trminos que hasta hace poco tiempo eran exclusivos de las novelas de ficcin formen parte de nuestro da a da. Con la capacidad de clculo de los ordenadores ms rpida, y tcnicas visuales perfeccionadas, surgen nuevas ideas sobre desarrollos de herramientas de entrenamiento basadas en tecnologas innovadoras. El empleo de la simulacin se presenta como uno de los mtodosms efectivos a la hora de trasmitir los conocimientos y anlisis en determinadas materias, pero por su elevado coste solamente es alcanzable para las grandes empresas, o entidades con importante financiacin pblica. Gracias a los avances tecnolgicos la simulacin ha evolucionado enormemente, permitiendo alcanzar excelentes cotas de fiabilidad. Las capacidades de clculo actuales permiten ejecutar una serie de Modelos Matemticos que conjuntamente con las tcnicas visuales reflejan fielmentela realidad en toda su complejidad. El reto que nos depara el presente es una aplicacin masiva de la simulacin con formacin a un amplio sector de la sociedad. Ofrecer las bondades de esta tcnica hasta ahora accesibles a un pequeo porcentaje dela poblacin es uno de los principales objetivos de Lander. Y lo estamos logrando,los productos como Sistema Lander Multipropsito y Lander Simbio suponen un autntico punto de inflexin y acercamiento de esta tcnica de formacin a un mayor nmero de personas. Con ellos un amplio sector de la sociedad es capaz de adquirir un simulador, mejorar la calidad y el contenido de la formacin.Esto no quiere decir que ya hemos cumplido nuestros retos. El progreso contina ycon l cada avance en el plano tecnolgico debe estar traducido en beneficio de laspersonas. Lo que nos deparar el futuro no lo sabemos, pero estaremos ah para utilizarlo de la mejor manera posible. Este hito histrico abri las puertas a la aplicacin de la simulacin en el campo del proceso de control industrial as como a las sinergias que generaba esta simulacin basada en la experimentacin y tcnicas de anlisis para descubrir soluciones exactas a problemas clsicos de la industria y la ingeniera.

A mediados de los aos 40 dos hechos sentaron las bases para la rpida evolucin del campo de la simulacin: La construccin de los primeros computadores de propsito general como el ENIAC. El trabajo de Stanislaw Ulam, John Von Neumann y otros cientficos para usar el mtodo de Montercarlo en computadores modernos y solucionar problemas de difusin de neutrones en el diseo y desarrollo de la bomba de hidrgeno. Ulamy Von Neumann ya estuvieron presentes en el proyecto Manhattan. En 1960, Keith Douglas Tocher desarroll un programa de simulacin general cuya principal tarea erala de simular el funcionamiento de una planta de produccin donde las mquinas ciclaban por estados: Ocupado, Esperando, No disponible y Fallo; de manera que las simulaciones en los cambios de estado de las mquinas marcarn el estado definitivo dela produccin de la planta. Este trabajo produjo adems el primer libro sobre simulacin: The Art of Simulation (1963).Para aquel entonces, IBM desarroll entre 1960 y 1961 el Sistema de Simulacin de propsito general o General Purpose Simulation System (GPSS). El GPSS se dise para realizar simulaciones de teleprocesos involucrando por ejemplo: control de trfico urbano, gestin de llamadas telefnicas, reservas de billetes de avin, etc. La sencillez de uso de este sistema lo populariz como el lenguaje de simulacin ms usado de la poca.Por otro lado, en 1963 se desarroll SIMSCRIPT, otra tecnologa alternativa al GPSSbasada en FORTRAN, ms enfocada a usuarios que no tenan por qu ser obligatoriamenteexpertos informticos en RAND CORPORATION.Complementariamente a los desarrollos llevados a cabo por RAND e IBM, el Royal Norwegian Computing Center inici en 1961 el desarrollo del programa SIMULA con ayuda de Univac. El resultado fue SIMULA I, probablemente el lenguaje de programacinms importante de toda la historia.En 1967 se fund el WSC (Winter Simulation Conference), lugar donde desde entoncesy hasta ahora se archivan los lenguajes de simulacin y aplicaciones derivadas, siendo en la actualidad el referente en lo que a avances en el campo de los sistemas de simulacin se refiere.

Periodo de expansin 1970-1981 Duranteramientas de modelado y de anlisis deobtenidos en la generacin de datos ye datos, la simulacin llega a su faseiples campos

este periodo se desarrollaron avanzadas herresultados. Gracias tambin a los desarrollosa las tcnicas de optimizacin y representacin dde expansin donde comienza a aplicarse en mlt

Anteriormente, los datos de salida obtenidos de una simulacin por computadora sepresentaban en una tabla o matriz, de manera que se mostraba el efecto que los mltiples cambios en los parmetros tenan sobre los datos. El empleo del formato de matriz se deba al uso tradicional que se haca de la matriz en los modelos matemticos.Sin embargo, los psiclogos advirtieron que los seres humanos perciban mejor los cambios en el desarrollo de las situaciones si miraban grficos o incluso imgenes enmovimiento animaciones generadas a partir de dichos datos, como las que se ejecutan en las animaciones de imgenes generadas por computadora. Tabla 1.1. Cronologade la simulacin Ao1942-1945 1950 s 1961 1961-1979 1977 J 1980 s 1990 sEventoJ. V. Neumann S. Ulman desarrollan el mtodo de Montecarlo Estudios de capacidad de las lneas telefnicas G. Gordon disea el lenguaje de simulacin GPSS Impulso de losordenadores por transistores, Conferencias sobre Aplicacin de la simulacin Henriksen mostr el pseudocdigo para la implementacin de modelos de simulacin de eventos discretos Nuevos lenguajes donde integran resultados de simulacin, animacin SIMAN IVy CINEMA IV. Surgen metodologas independientes del lenguaje de simulacin Nuevos sistemas donde el proceso de simulacin est totalmente integrado, acercamiento de lasimulacin a la empresa privada1.2.Definiciones y Aplicaciones Definiciones Es una tcnica numrica para conducir experimentos en un computador digital, la cual incluye ciertos tipos de relaciones lgicas y matemticas necesarias para describir la estructura y comportamiento de un sistema complejo del mundo real sobre un periodo de tiempo.

Tambin se considera a la simulacin como un proceso para describir la esencia de larealidad, el cual incluye la construccin, experimentacin y manipulacin de un modelo complejo en un computador. Conjunto de relaciones lgicas, matemticas y probabilsimas que integran el comportamiento de un sistema bajo estudio cuando se presentaun evento determinado (Garca Dunna Eduardo. Garca reyes Heriberto y Crdenas Barrn Leopoldo Eduardo). Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora digital, estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y laestructura de sistemas complejos del mundo real a travs de largos periodos de tiempo (Thomas H. Naylor). Simulacin es el desarrollo de un modelo lgico matemtico deun sistema, de tal forma que se tiene una imitacin de la operacin de un proceso de la vida real o de un sistema a travs del tiempo. La simulacin involucra la generacin de una historia artificial de un sistema, la observacin de esta historia mediante la manipulacin experimental, nos ayuda a inferir las caractersticas operacionales de tal sistema (JERRY BANKS). Simulacin es una tcnica numrica para realizar experimentos en una computadora digital, estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemticos y lgicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios, econmicos, sociales, biolgicos, fsicos o qumicos a travs de largos periodosde tiempo (H. MAISEL y G. GNUGNOLI). Simulacin es el proceso de disear y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real y conducir experimentos con el propsitode entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentrode lmites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operacin delsistema (Robert. Shannon). Aplicaciones generales Sistemas de computacin: redes de ordenadores, componentes, programacin, bases de datos, fiabilidad. Fabricacin: manejo de materiales, lneas de montaje, equipos de almacenamiento, control de inventario, mantenimiento, distribucin en planta, diseo de mquinas Negocios: anlisis deexistencias, poltica de precios, estrategias de marketing, estudios de adquisicin,anlisis de flujo de caja, prediccin, alternativas del transporte, planificacin demano de obra.

Gobierno: armamento y su uso, tcticas militares, prediccin de la poblacin, uso delsuelo, prevencin de incendios, servicios de polica, justicia criminal, diseo de vasde comunicacin, servicios sanitarios. Ecologa y medio ambiente: contaminacin y purificacin del agua, control de residuos, contaminacin del aire, control de plagas, prediccin del tiempo, anlisis de sismos y tormentas, exploracin y explotacin de minerales, sistemas de energa solar, explotacin de cultivos. Sociedad y comportamiento:estudios de alimentacin de la poblacin, polticas educativas, estructuras organizativas, anlisis de sistemas sociales, sistemas de asistencia social, administracin universitaria. Biociencias: rendimiento en el deporte, control de epidemias, ciclos de vida biolgicos, estudios biomdicos 1.3. Estructura y caractersticas de la simulacin de eventos discretos Sistema: La definicin bsica de sistema nos dice que setrata de un conjunto de elementos que se interrelacionan para funcionar como untodo; desde el punto de vista de la simulacin, tales elementos deben tener una frontera clara. Por ejemplo, podemos hablar del sistema de atencin de clientes en un banco, del sistema de inventarios de una empresa o del sistema de atencin en lasala de emergencia de un hospital.Atributos: Un atributo es una caracterstica de una entidad. Por ejemplo, si la entidad es un motor, los atributos seran su color, peso, tamao o cilindraje. Los atributos son muy tiles para diferenciar entidades sin necesidad de generar una entidad nueva, y pueden adjudicarse al momento de la creacin de la entidad, o asignarse y/o cambiarse durante el proceso.Son las caractersticas de las entidades, con las cuales se describen y diferencian. Por ejemplo, son atributos de los pacientes, como la edad, el sexo, la duracinde su enfermedad, la gravedad de sta y el cumplimiento del tratamiento.Un atributo importante en las evaluaciones econmicas, fundamental en los estudiosde costoutilidad, sera la calidad de vida. sta se puede estudiar de forma detallada incluyndola mediante un atributo.Todas las entidades tienen los mismos tipos de atributos, pero con diferentes valores para cada entidad; los valores de los atributos estn, por tanto, ligados auna entidad concreta. Por

ejemplo, todos los pacientes tienen edad o presin arterial, pero cada uno posee un valor especfico. El atributo puede asignarse como un valor especfico, una muestra deuna distribucin o el resultado de una expresin (p. ej., de una ecuacin condicional).Existen varios tipos de atributos Tipos de Atributos

P: Parmetros son atributos fijados durante el diseo del sistema U: Variables de entradas o exgenos, fijadas por el entorno D: Variables de entradas fijadas por elusuario Y: Variables de salida son las variables de estado o combinacin de ellascorrespondiente a medidas del sistemaSucesos: Hechos que ocurren en un instante de tiempo y que dan lugar a cambios en el estado del sistema.Colas: Estados pasivos de una entidad mientras espera el inicio de una actividadEstados: Condiciones del modelo o sus entidades, de forma que se puede saber siuna accin se puede ejecutar o si se puede elegir entre varias.Reloj de simulacin Puesto que en este tipo de simulacin se est considerando la evolucin temporal del sistema, cuyo estado se modifica slo en instantes discretos de tiempo a causa de la aparicin de algn evento, ser necesario introducir un reloj de simulacin que registre el tiempo virtual transcurrido desde la puesta en marcha delsistema, y que permita referenciar el instante exacto en que ocurre cada uno delos eventos. Es importante no confundir el tiempo virtual

que marca el reloj de simulacin con el tiempo de computacin, el cual registra el tiempo real transcurrido desde que la simulacin se puso en marcha.El tiempo marcado por el reloj de simulacin hace explcito el paso del tiempo a lolargo del modelo. Esto hace posible sealar el comienzo y el final de la simulacin,y la aparicin de eventos clnicos en su momento exacto, sin necesidad de ciclos deduracin fija. Esto permite una simulacin ms eficiente y realista en funcin de la aparicin de los eventos durante el curso de la enfermedad en los pacientes.Tambin permite la creacin de relojes secundarios que marcan tiempos importantes, como la estancia hospitalaria, el tiempo de ausencia de efectos adversos o la supervivencia.Puesto que los cambios en el sistema se producen slo cuando ocurre algn evento, queda claro que el estado del sistema no sufrir ninguna variacin entre 2 eventos consecutivos. Este hecho da sentido a una de las polticas ms habituales para controlar el reloj de simulacin: si se sabe que el evento n se acaba de producir en el instante virtual actual , y que el evento n + 1 se producir en el instante virtual, dado que entre ambos instantes no pasar nada de inters, se avanzar el reloj de simulacin hasta el instante tn+1, y se asignar dicho instante a la variable del programa que representa el reloj de simulacin. Tras avanzar el reloj hasta el instante, se lleva a cabo la actualizacin de las variables de estado y estadsticas del sistema. Este proceso de avance hasta el siguiente evento y actualizacin de variablesse repite de forma indefinida hasta que se verifique alguna condicin de fin de lasimulacin.Entidades Son los elementos dinmicos que se simulan a travs del modelo, cambian deestatus, afectan y son afectados por otras entidades y son los protagonistas delos eventos clnicos de estudio del modelo.Normalmente, en la simulacin de una enfermedad se representan pacientes, pero pueden representarse tambin distintos componentes, como enfermeras, familiares o mdicos. Estas entidades suponen una diferencia importante respecto a los rboles de decisin o a los modelos de Markov, en los cuales se especifican los resultados clnicos, estados o transiciones de los pacientes, pero stos en s no son caracterizadoscomo elementos explcitos del modelo, tal como ocurre en los MSED.

Eventos Es todo aquello que puede ocurrir durante la simulacin en funcin del proceso que estamos estudiando. Por ejemplo, un evento puede ser un efecto adverso, una admisin hospitalaria, el alta del hospital, un cambio de dosis o una baja laboral. El concepto de evento va ms all de las transiciones de los modelos de Markov,ya que la aparicin de un evento no necesariamente implica el cambio de estado desalud del paciente (p. ej., una visita al mdico). A pesar de que hay una secuencia temporal dada, los eventos pueden suceder de forma casi simultnea y pueden hacerlo en cualquier secuencia lgica en relacin con la historia plausible del procesode estudio (p. ej., fallo en un rgano diana o fallo multiorgnico en un paciente con sepsis). Al contrario que en los modelos de Markov, estos eventos no presentan ningn tipo de restriccin de memoria.Los riesgos de que los diferentes eventos ocurran pueden tomar la forma de funciones dependientes de los datos y depender de algunos atributos y variables. Estas funciones pueden cambiar durante la simulacin.Variables Las variables definen el modelo y reflejan una caracterstica del conjunto, no de entidades especficas. Son especificaciones que se mantienen a lo largodel modelo, aunque sus valores pueden cambiar durante el proceso de simulacin, yvan a definir el entorno de la simulacin afectndolo a lo largo de todo el proceso.Las variables de uso comn son: el horizonte temporal (duracin de la simulacin), las tasas de descuento para los costos y los beneficios, las tasas de incidencia,la proporcin de cada tratamiento al inicio, la tasa de admisin o la perspectiva deuso. Slo hay una copia de cada variable que se mantiene para todo el modelo.Recursos Definidos en un tiempo determinado, su consumo lleva asociado el gastode una serie de unidades de dichos recursos en momentos de tiempo concretos. Enel mbito sanitario estos recursos se pueden dividir en personas (mdicos, enfermeras, cuidadores), bienes (medicamentos, pruebas de laboratorio), espacios (camas hospitalarias, quirfanos) entre otros.Algunos recursos pueden consumirse de manera simultnea en un momento dado, pero lo ms frecuente es que las entidades tengan que competir por estos recursos, que adems tienen un costo unitario de uso.

Un recurso puede tener diferentes unidades de capacidad (pensemos, por ejemplo,en las camas en una sala de emergencia o en el nmero de mdicos en una zona geogrfica determinada).Acumuladores estadsticos Son variables que acumulan la informacin de lo que ha pasado sin participar en el suceso mismo, es decir, son pasivos. Dependen de la caracterizacin de los resultados pedidos al modelo. Al final de la simulacin, se usanpara obtener el resultado final, y las medidas de stos (cocientes costo efectividad). Algunos ejemplos de acumuladores estadsticos son la supervivencia, los costos asociados a los pacientes o el nmero de visitas en un tiempo determinado.Colas Cuando un paciente utiliza un determinado recurso, ste deja de estar disponible para el resto de los pacientes, lo cual puede generar colas en el sistema.Esta situacin no suele tenerse en cuenta en otro tipo de modelos, en los que losrecursos parecen gozar de una capacidad infinita (lo cual est alejado de la mximade la escasez de recursos en funcin de las necesidades de la poblacin, que es unacaracterstica de la toma de decisiones en sanidad). Esta conceptualizacin est vinculada a la idea del costo de oportunidad de los recursos en la propia estructuradel modelo.Retrasos Se pueden generar 2 tipos de retrasos: explcitos, que son los que se generan por algn tipo de accin o proceso (p. ej., la duracin de los exmenes mdicos), e implcitos, causados por otras acciones o condiciones en la simulacin del modelo (p.ej., colas para acceder a una prueba diagnstica).Cuando se escribe un programa de simulacin para MSED se puede realizar una aproximacin del esquema temporal de funcionamiento de las entidades en el sistema. As, deber describirse la secuencia de eventos y actividades que realizarn las entidadesdurante su estancia en el sistema y cmo se modificarn. Algunos de los sistemas msestudiados son los problemas de colas que se aplican en determinadas situaciones, como la espera que deben tener los pacientes entre visita y visita, si los centros donde son tratados no pueden absorber toda su demanda (p. ej., en un centroe instante de tiempo slo puede ser tratado un paciente a la vez).

A modo de resumen, para llevar a cabo la simulacin del sistema se deben seguir una serie de etapas, ampliamente identificadas y discutidas en la literatura cientfica (Figura):Clasificacin de modelos 1. Esttico. Las variables de estado no dependen del tiempo2. Dinmico. El valor de las variables de estado es modificado en el tiempo 3. Determinista. Si el sistema no contiene ningn elemento aleatorio es un sistema determinstico. 4. Estocstico. En este caso algn elemento del sistema tiene una conductaaleatoria. Para valores de entradas conocidas no es posible asegurar los valores de salida. 5. Continuo. Se tiene un sistema continuo cuando las relaciones funcionales entre las variables del sistema slo permiten que el estado evolucione enel tiempo en forma continua (basta que una variable evolucione continuamente).Matemticamente, el estado cambia en infinitos puntos de tiempo.

6. Discreto. Se tiene un sistema discreto cuando las relaciones funcionales delsistema slo permiten que el estado vare en un conjunto finito (contable) de puntostemporales. Las causas instantneas de los cambios de estados se denominan eventos.1.4. Sistemas, Modelos y Control Un Sistema se define como una coleccin de entidades (por ejemplo, personas, mquinas, etc.) que actan e interactan juntas para lograr un fin comn. En la prctica, qu se entiende por sistema?, depende de los objetivosdel estudio particular que se pretenda hacer. El conjunto de entidades que componen el sistema para un estudio puede ser slo un conjunto de todas las entidades utilizadas para otro estudio.Se puede definir el estado de un sistema con un conjunto de variables necesariaspara describir el sistema en un punto particular de tiempo, relativo a los objetivos del estudio. Los sistemas se pueden clasificar en dos tipos, discretos y continuos. Un sistema discreto es aquel en el que las variables de estado cambianinstantneamente en puntos separados en el tiempo. Un sistema continuo es aquel en el que las variables de estado cambian continuamente con respecto al tiempo. En la prctica muchos sistemas no son completamente discretos o continuos, usualmente es posible clasificarlos en base al tipo de cambios que predominen en el mismo.En algunos momentos en la vida de un sistema es necesario estudiar el mismo paraentender las relaciones entre sus componentes o predecir su comportamiento bajonuevas condiciones que se consideran. Existen diferentes formas de estudiar unsistema (Figura 1.1):Experimentar sobre el sistema actual frente a experimentar con un modelo del sistema. Lo primero es preferible siempre y cuando se pueda alterar el sistema conlas nuevas condiciones y no sea muy costoso. Sin embargo es muy raro que esto sepueda llevar a cabo, ya que normalmente estos experimentos suelen ser muy costosos o muy destructivos para el sistema. Incluso puede ocurrir que el sistema noexista pero se quiera estudiar posibles alternativas de construccin del mismo (sistemas de fabricacin, armas nucleares, etc.). Por estas razones es necesario construir un modelo que represente al sistema y estudiar ste para poder responder a las cuestiones planteadas sobre el sistema.Modelo fsico frente a modelo matemtico: Para muchos la palabra modelo, evoca imgenes de miniaturas, cabinas separadas de los aviones para el entrenamiento de los pilotos, etc. Estos son ejemplos de modelos fsicos (tambin conocidos como modelos icnicos). Sin embargo la mayora de los modelos construidos para estudiar los sistemas son matemticos, los cuales

representan un sistema en trminos de relaciones cuantitativas y lgicas que puedenser cambiadas para ver cmo el modelo reacciona y ver as como debera comportarse elsistema, si el modelo es vlido.Solucin Analtica frente a Simulacin: Una vez que se ha construido un modelo matemtico, ste debe examinarse para poder concluir el comportamiento del sistema y as responder a las cuestiones planteadas sobre el mismo. Si el modelo es simple, es posible trabajar con estas cantidades y relaciones y obtener una solucin analtica exacta. Sin embargo hay veces en las que obtener una solucin analtica resulta complejo y necesita muchos recursos de computacin. En estos casos el modelo puede ser estudiado por medio de simulacin, es decir, se ejercita el modelo numricamente por medio de entradas para ver cmo stas afectan a las medidas de salida o ejecucin.Los modelos deben contener slo los aspectos esenciales del sistema real que representan. Aquellos aspectos del sistema que no contribuyen significativamente en su comportamiento no se deben incluir, ya que lo que haran sera obscurecer las relaciones entre las entradas y las salidas. En qu punto se debe parar de incluir realismo en el modelo? Esto depende del propsito para el cual el modelo se haya desarrollado.

Caractersticas que deben presentar los modelos:Deben ser fciles de entender y manejar. Deben ser simples y de costo no excesivo. Deben ser una buena aproximacin del sistema real, que controle el mayor nmero posible de aspectos del mismo y que stos contribuyan de forma significativa al sistema (hay relaciones en el sistemaque no son significativas y pueden obviarse en el modelo).El diseo y control de modelos de modelos obliga a tener conocimientos de cuatro reas de conocimiento distintas:Modelizacin: necesarios para disear el modelo que permita dar respuestas vlidas del sistema real que represente. El diseo es una fasemuy importante, ya que los errores proporcionarn modelos falsos. Programacin: ya que el modelo se ha de implantar con un lenguaje de programacin. Probabilidad y Estadstica: la probabilidad es necesaria para definir y estudiar las variables aleatorias de las entradas, y la estadstica para permitir el diseo y anlisis de los experimentos. Mtodos Heursticos: para permitir llegar a una solucin buena del problemaplanteado.

Control: Es el elemento de verificacin de datos del sistema, mediante el cual, automticamente vuelve a traer los datos necesarios relacionados con la rutina de procedimiento que se controla. Un Sistema de Control est definido como un conjuntode componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con elfin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados. La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la manipulacin de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo que estas alcancen unos valores prefijados (consigna). 1.5. Mecanismos de tiempo fijo y tiempo variable Parte de la construccin de modelos es el mecanismo de avance de tiempo. Este dependerde la aproximacin elegida para describir el comportamiento del sistema. Si se eligi la aproximacin de flujo fsico, este diagrama de flujo podra refinarse para convertirse en el diagrama de flujo del programa. Si se sigui la aproximacin de cambio de estado, el

diagrama de flujo desarrollado debera describir el procedimiento que efecta los cambios de estado en el tiempo. Otros dos factores inciden en la construccin del diagrama de flujo del programa: elegir un mecanismo de avance del tiempo y el lenguaje de programacin que se seleccione. Hay fundamentalmente dos formas de considerar el avance del tiempo en un modelo de simulacin: Incrementos fijos de tiempo:se considera un intervalo fijo de tiempo y el estado del modelo se comprueba despus de transcurrido cada uno de estos incrementos constantes. Incrementos por loseventos (N.E.T.A., Next Event Time Advance): las comprobaciones y modificaciones de las variables afectadas se realizan slo despus de la ocurrencia de un evento.Aqu el incremento de tiempo es variable, va desde la ocurrencia de un evento a otro. El avance del tiempo de simulacin depende de cul de las aproximaciones se elija. Si se elige el incremento por eventos, el reloj se inicializa a 0, y se incrementa al siguiente tiempo en que vaya a ocurrir un suceso, en ese momento, en este momento de actualizacin del reloj se modifican las variables que se vean afectadas por la ocurrencia del suceso. Si por el contrario se elige un incremento de tiempo fijo, el reloj se inicia a 0 y se va actualizando cada vez que pase elincremento de tiempo fijado. En esos instantes se observar el sistema para realizar los cambios. En ese momento puede ocurrir que no haya sucedido ningn cambio oque por el contrario que hayan ocurrido ms de un suceso con lo cual se tendr que decidir cul atender antes (por ejemplo dando prioridad a los sucesos). En esta aproximacin pueden ocurrir errores de redondeo, que hacen referencia a la diferencia de tiempo que pasa desde que sucede un suceso hasta que ste se computa (cuando elreloj se incrementa). Hay que tener cuidado en la eleccin del incremento de tiempo. Si ste es demasiado pequeo se realizar trabajo intil, ya que se comprobarn cambioscuando en realidad no ha ocurrido ningn suceso. Por el contrario si es demasiadogrande se producirn muchos errores de redondeo y la dinmica del modelo ser ineficiente. Avance del reloj de simulacin segn los sucesos. Avance del reloj de simulacinen incrementos fijos.

1.6. Etapas de un Proyecto de simulacin 1. Definicin del sistema bajo estudio. Enesta etapa es necesario conocer el sistema a modelar. Para ello se requiere saber qu origina el estudio de simulacin y establecer los supuestos del modelo: es conveniente definir con claridad las variables de decisin del modelo, determinar lasinteracciones entre stas y establecer con precisin los alcances y limitaciones que aquel podra llegar a tener. Antes de concluir este paso es recomendable contarcon la informacin suficiente para lograr establecer un modelo conceptual del sistema bajo estudio, incluyendo sus fronteras y todos los elementos que lo componen, adems de las interacciones entre stos, flujos de productos, personas y recursos,as como las variables de mayor inters para el problema. 2. Generacin del modelo desimulacin base. Una vez que se ha definido el sistema en trminos de un modelo conceptual, la siguiente etapa del estudio consiste en la generacin de un modelo desimulacin base. No es preciso que este modelo sea demasiado detallado, pues se requiere mucha ms informacin estadstica sobre el comportamiento de las variables de decisin del sistema. La generacin de este modelo es el primer reto para el programador de la simulacin, toda vez que debe traducir a un lenguaje de simulacin la informacin que se obtuvo en la etapa de definicin del sistema, incluyendo las interrelaciones de todos los posibles subsistemas que existan en el problema a modelar.En caso de que se requiera una animacin, ste tambin es un buen momento para definirqu grfico puede representar mejor el sistema que se modela. Igual que ocurre en otras ramas de la investigacin de operaciones, la simulacin exige ciencia y arte enla generacin de sus modelos. El realizador de un estudio de simulacin es, en estesentido, como un artista que debe usar toda su creatividad para realizar un buen modelo que refleje la realidad del problema que se est analizando. Conforme seavanza en el modelo base se pueden ir incluyendo las variables aleatorias del sistema, con sus respectivas distribuciones de probabilidad asociadas. 3. Recoleccin y anlisis de datos. De manera paralela a la generacin del modelo base, es posible comenzar la recopilacin de la informacin estadstica de las variables aleatorias del modelo. En esta etapa se debe determinar qu informacin es til para la determinacin de las distribuciones de probabilidad asociadas a cada una de las variables aleatorias innecesarias para la simulacin. Aunque en algunos casos se logra contarcon datos estadsticos, suele suceder que el formato de almacenamiento o de generacin de reportes no es el apropiado para facilitar el estudio. Por ello es muy importante dedicar el tiempo suficiente a esta actividad. De no contar con la informacin necesaria o en caso de desconfiar de la que se tiene disponible, ser necesario realizar un estudio estadstico del comportamiento de la variable que se deseaidentificar, para posteriormente incluirla en el modelo. El anlisis de los datosnecesarios para

asociar una distribucin de probabilidad a una variable aleatoria, as como las pruebas que se debe aplicar a los mismos, se analizarn ms adelante. Al finalizar la recoleccin y anlisis de datos para todas las variables del modelo, se tendrn las condiciones necesarias para generar una versin preliminar del problema que se est simulando. 4. Generacin del modelo preliminar. En esta etapa se integra la informacinobtenida a partir del anlisis de los datos, los supuestos del modelo y todos losdatos que se requieran para tener un modelo lo ms cercano posible a la realidad del problema bajo estudio. En algunos casos sobre todo cuando se trata del diseo deun nuevo proceso o esquema de trabajo no se cuenta con informacin estadstica, porlo que debe estimarse un rango de variacin o determinar (con ayuda del cliente) valores constantes que permitan realizar el modelado. Si ste es el caso, el encargado de la simulacin puede, con base en su experiencia, realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad que comnmente se asocien al tipo de procesoque se desea incluir en el modelo. Al finalizar esta etapa el modelo est listo para su primera prueba: su verificacin o, en otras palabras, la comparacin con la realidad. 5. Verificacin del modelo. Una vez que se han identificado las distribuciones de probabilidad de las variables del modelo y se han implantado los supuestos acordados, es necesario realizar un proceso de verificacin de datos para comprobar la propiedad de la programacin del modelo, y comprobar que todos los parmetros usados en la simulacin funcionen correctamente. Ciertos problemas, en especialaquellos que requieren muchas operaciones de programacin o que involucran distribuciones de probabilidad difciles de programar, pueden ocasionar que el comportamiento del sistema sea muy diferente del que se esperaba. Por otro lado, no se debe descartar la posibilidad de que ocurran errores humanos al alimentar el modelocon la informacin. Incluso podra darse el caso de que los supuestos iniciales hayan cambiado una o varias veces durante el desarrollo del modelo. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que el modelo que se va a ejecutar est basado en los ms actuales. Una vez que se ha completado la verificacin, el modelo est listo para su comparacin con la realidad del problema que se est modelando. A esta etapa se le conoce tambin como validacin del modelo. 6. Validacin del modelo. El proceso de validacin del modelo consiste en realizar una serie de pruebas al mismo, utilizando informacin de entrada real para observar su comportamiento y analizar sus resultados.Si el problema bajo simulacin involucra un proceso que se desea mejorar, el modelo debe someterse a prueba con las condiciones actuales de operacin, lo que nos dar como resultado un comportamiento similar al que se presenta realmente en nuestro proceso. Por otro lado, si se est diseando un nuevo proceso la validacin resultams complicada. Una manera de validar el modelo en este caso, consiste en introducir algunos escenarios sugeridos por el

cliente y validar que el comportamiento sea congruente con las expectativas quese tienen de acuerdo con la experiencia. Cualquiera que sea la situacin importante que el analista conozca bien el modelo, de manera que pueda justificar aquellos comportamientos que sean contrarios a las experiencias de los especialistas enel proceso que participan de su validacin. 7. Generacin del modelo final. Una vezque el modelo se ha validado, el analista est listo para realizar la simulacin yestudiar el comportamiento del proceso. En caso de que se desee comparar escenarios diferentes para un mismo problema, ste ser el modelo raz; en tal situacin, el siguiente paso es la definicin de los escenarios a analizar. 8. Determinacin de losescenarios para el anlisis. Tras validar el modelo es necesario acordar con el cliente los escenarios que se quiere analizar. Una manera muy sencilla de determinarlos consiste en utilizar un escenario pesimista, uno optimista y uno intermedio para la variable de respuesta ms importante. Sin embargo, es preciso tomar en cuenta que no todas las variables se comportan, igual ante los cambios en los distintos escenarios, por lo que tal vez sea necesario que ms de una variable de respuesta se analice bajo las perspectivas pesimista, optimista e intermedia. El riesgo de esta situacin radica en que el analista podra caer en un diseo de experimentos capaz de generar una gran cantidad de rplicas, lo que redundara en un incremento considerable de costo, anlisis y tiempo de simulacin. Es por ello que muchos paquetes de simulacin cuentan con herramientas para realizar este proceso, eliminando la animacin y acortando los tiempos de simulacin. Estas herramientas permiten realizar varias rplicas del mismo escenario para obtener resultados con estadsticasimportantes respecto de la toma de decisiones (por ejemplo, los intervalos de confianza).Por su parte, el analista tambin puede contribuir a la seleccin de escenarios, sugiriendo aquellos que considere ms importantes; al hacerlo dar pie a que se reduzcael nmero de combinaciones posibles. 9. Anlisis de sensibilidad. Una vez que se obtienen los resultados de los escenarios es importante realizar pruebas estadsticas que permitan comparar los escenarios con los mejores resultados finales. Si dos de ellos tienen resultados similares ser necesario comparar sus intervalos de confianza respecto de la variable de respuesta final. Si no hay interseccin de intervalos podremos decir con certeza estadstica que los resultados no son iguales;sin embargo, si los intervalos se traslapan ser imposible determinar, estadsticamente hablando, que una solucin es mejor que otra. Si se desea obtener un escenario"ganador" en estos casos, ser necesario realizar ms rplicas de cada modelo y/o incrementar el tiempo de simulacin de cada corrida. Con ello se busca acortar los intervalos de confianza de las soluciones finales y, por consiguiente, incrementarla probabilidad de diferenciar las soluciones.

10. Documentacin del modelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el anlisis de los resultados, es necesario efectuar toda la documentacin del modelo.Esta documentacin es muy importante, pues permitir el uso del modelo generado en caso de que se requieran ajustes futuros. En ella se deben incluir los supuestosdel modelo, las distribuciones asociadas a sus variables, todos sus alcances y limitaciones y, en general, la totalidad de las consideraciones de programacin. Tambin es importante incluir sugerencias tanto del uso del modelo como sobre los resultados obtenidos, con el propsito de realizar un reporte ms completo. Por ltimo,debern presentarse asimismo las conclusiones del proyecto de simulacin, a partir de las cuales es posible obtener los reportes ejecutivos para la presentacin final.Ventajas e inconvenientes de la simulacin de eventos discretos Como hemos visto hasta ahora, la simulacin es una de las diversas herramientas con las que cuenta el analista para tomar decisiones y mejorar sus procesos. Sin embargo, es necesario destacar que, como todas las dems opciones de que disponemos, la simulacin de eventos discretos presenta ventajas y desventajas que, es preciso tomar en cuentaal determinar si es apta para resolver un problema determinado.Dentro de las ventajas ms comunes que ofrece la simulacin podemos citar las siguientes: a) Es muy buena herramienta para conocer el impacto de los cambios en losprocesos sin necesidad de llevarlos a cabo en la realidad. b) Mejora el conocimiento del proceso actual al permitir que el analista vea cmo se comporta el modelogenerado bajo diferentes escenarios. c) Puede utilizarse como medio de capacitacin para la toma de decisiones. d) Es ms econmico realizar un estudio de simulacin que hacer muchos cambios en los procesos reales. e) Permite probar varios escenarios en busca de las mejores condiciones de trabajo de los procesos que se simulan. f) En problemas de gran complejidad, la simulacin permite generar una buena solucin. g) En la actualidad los paquetes de software para simulacin tienden a ser mssencillos, lo que facilita su aplicacin. h) Gracias a las herramientas de animacin que forman parte de muchos de esos paquetes es posible ver cmo se comportar un proceso una vez que sea mejorado.

Entre las desventajas que pueden llegar a presentar la simulacin estn: a) Aunque muchos paquetes de software permiten obtener el mejor escenario a partir de una combinacin de variaciones posibles, la simulacin no es una herramienta de optimizacin. b) La simulacin puede ser costosa cuando se quiere emplearla en problemas relativamente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analticas que sehan desarrollado de manera especfica para ese tipo de casos. c) Se requiere bastante tiempo generalmente meses para realizar un buen estudio de simulacin; por desgracia, no todos los analistas tienen la disposicin (o la oportunidad) de esperarese tiempo para obtener una respuesta. d) Es preciso que el analista domine el uso del paquete de simulacin y que tenga slidos conocimientos de estadstica para interpretar los resultados.

Unidad II. Generacin de Nmeros Aleatorios En este captulo se discuten las tcnicas detransformacin inversa, el mtodo de convolucin y ms brevemente la tcnica de aceptacinrechazo. Otra tcnica el mtodo de composicin, es discutida por Fisherman [1978] y Law y Kelton [1991]. Todas las tcnicas en este captulo consideran que se conoce comofuente la uniformidad U(0,1) de los nmeros aleatorios R1,R2,...., donde cada Ritiene una funcin de densidad de probabilidad (FDP). ( ) [Y la funcin de densidad acumulada de probabilidad (FDA) ( ) {2.1. Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas Historia En el siglo XVII, un noble francs, Antoine Gombauld (1607-1684), puso en tela de juicio el fundamento matemtico del xito y fracaso en las mesas de juego. Formul esta pregunta al matemtico francs Balies Pascal (1623-1662): Cules son las posibilidades deque me salgan dos seises por lo menos una vez en veinticuatro lanzamientos de un par de dados?, Pascal resolvi el problema, pues la teora de la probabilidad empezaban a interesarle tanto como a Gombauld. Ambos compartieron sus ideas con el famoso matemtico Pierre de Fermat (16011665), y las cartas escritas por los tres constituyen la primera revista acadmica dedicada a la probabilidad. Algunos de losproblemas que ellos resolvieron haban permanecido si solucin durante unos 300 aos.Sin embargo, ciertas probabilidades numricas para ciertas combinaciones de dadosya haban sido calculadas por Giordamo Cardano (1501-1576) y por Galileo Galileo(1564-1642).Ms tarde, Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) inventaron formulas y tcnicas de probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simn, marqus de Laplace (1749-1827), unifico esas primeras ideas y formul la primera teora general de la probabilidad, la cual fue aplicada inicialmente con buenos resultados a los juegos de azar;con el tiempo tambin se aplic en la bsqueda de soluciones analticas a problemas de naturaleza no determinstica. La teora de la probabilidad ha sido constantemente desarrollada desde el siglo XVII y ampliamente aplicada en diversos campos de estudio. Hoy es una herramienta importante en la mayora de las reas

de ingeniera, ciencias y administracin, y se constituye en la base para el estudiode las leyes de azar.Definicin Los nmeros aleatorios son aquellos que pueden ser generados a partir defuentes de aleatoriedad, las cuales, generalmente, son de naturaleza fsica (dados, ruletas, mecanismos electrnicos o mecnicos), y son gobernados por las leyes delazar; stos exhiben verdadera aleatoriedad en la realizacin de experimentos. Por suparte, los nmeros pseudo-aleatorios son aquellas que tienen un comportamiento similar a la naturaleza aleatoria, pero estn ceidos a un patrn, generalmente de naturaleza matemtica, que hace que su comportamiento sea determinante.Los nmeros aleatorios son nmeros que deben de cumplir los requisitos de espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la eleccin de uno no dependa de la eleccin del otro. Son generados por medio de una funcin determinista (no aleatoria) y que aparentan ser aleatorios.Propiedades de los nmeros aleatorios 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Cualquier nmero que pertenezca al rango de inters debe tener la misma probabilidad de resultar sorteado. La distribucin de los nmeros debe ser uniforme en todo el intervalo [0,1]. La aparicin de un nmero en la secuencia, no afecta la probabilidad de sortear otro (o el mismo) nmero. Los nmeros deben ser independientes dentrode toda la serie generada. El ciclo del generador debe ser lo suficientemente grande. La serie debe volverse a repetir. Capaz de generar nmeros pseudo-aleatorios a altas velocidades. Requerir una mnima cantidad de la capacidad de memoria deComputadora Estadsticamente independientes. Su media debe ser estadsticamente igual a 1/2. Su varianza debe ser estadsticamente igual a 1/12. Su periodo o ciclo devida debe ser largo. Deben ser generados a travs de un mtodo rpido. Generados a travs de un mtodo que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora

Generadores de nmeros aleatorios Los mtodos para generar nmeros aleatorios involucran algn proceso fsico cuasi-aleatorio, que genera sucesiones de nmeros aleatorios de determinada longitud. El requisito general para las sucesiones es la independencia estadstica. Para esto, existen varios mtodos:Mtodos manuales: Dispositivos mecnicos o electrnicos, lanzamientos de monedas o dados, empleo de barajas, ruletas. Son menos prcticos pero simples, lentos, atractivos, pedaggico. Pero no pueden reproducirse.Tablas de bibliotecas: Generados por los mtodos anteriores. Estn en tablas. Siempre pueden reproducirse, pero es un sistema lento. Determinados problemas requieren ms nmeros aleatorios que los publicados.Mtodos de computacin analgica: Dependen de procesos fsicos aleatorios, por ejemplo:el ruido trmico de un circuito con semiconductores, que convertido en un nmero binario, representa un valor numrico aleatorio. Se considera que conducen a verdaderos nmeros aleatorios.Mtodos de computacin digital: Se han sugerido tres mtodos para producir nmeros aleatorios cuando se usan computadoras digitales; provisin externa, generacin interna,relacin de recurrencia.En los modelos estocsticos existirn una o ms variable aleatorias interactuando. Estas variables siguen distribuciones de probabilidad tericas o empricas, diferentesa la distribucin uniforme (0-1). Para generar nmeros que sigan el comportamiento de stas variables, se pueden utilizar algunos mtodos como los siguientes: 1. Mtodo de la transformada inversa 2. Mtodo de rechazo 3. Mtodo de composicin, y 4. Procedimientos especialesExisten en la actualidad tcnicas para generar con una computadora, variables aleatorias uniformemente distribuidas, r (en donde r 0 y 1 r). Los nmeros generados por estas subrutinas de computadora se denominan nmeros pseudo-aleatorios, porquese generan a partir de una frmula totalmente determinstica mediante la computacin.Sus propiedades

estadsticas, coinciden con las de los nmeros generados a travs de un dispositivo fortuito idealizado que selecciona nmeros de un intervalo unitario (0,1) de un modoindependiente en donde son igualmente probables todos los nmeros. A condicin de que estos nmeros pseudo aleatorios puedan pasar el conjunto de pruebas estadsticas(las de frecuencia, auto correlacin, producto rezagado, corridas, de distancia yas sucesivamente) implicadas por un dispositivo fortuito idealizado, tales nmerospseudoaleatorios se pueden tratar corno si "en realidad lo fueran" a pesar de que no lo son.

Ejemplos de aplicacinSimulacin: La reproduccin de fenmenos naturales necesaleatorios. En Fsica los ejemplos clsicos: Fsica Estadstica, Fsica de Partculas Muestreo: Muchas veces es poco prctico examinar todos los casos posibles. Un muestreoaleatorio puede revelar un comportamiento tpico. Anlisis Numrico: Tcnicas numricas necesitan nmeros aleatorios Programacin de ordenadores: Tests de efectividad de algoritmos Toma de decisiones: Se rumorea que algunos ejecutivos tiran monedas al aire para tomar decisiones. Esttica: Un toque de aleatoriedad puede resultar agradable Juegos: De aqu proviene el propio mtodo para generacin de nmeros aleatoriosGeneracin de nmeros pseudo-aleatorios Para realizar una simulacin se requieren nmeros aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales se har referencia como es decir,una secuencia que contiene n nmeros, todos ellos diferentes; n recibe el nombrede periodo o ciclo de vida del generador que cre la secuencia . Los constituyen la parte medular de la simulacin de procesos estocsticos, y generalmente se usan para generar el comportamiento de variables aleatorias, tanto continuas como discretas. Debido a que no es posible generar nmeros realmente aleatorios, consideramos los como nmeros pseudo aleatorios, generados por medio de algoritmos determinsticos que requieren parmetros de arranque. Para simular el comportamiento de una oms variables aleatorias es necesario contar con un conjunto suficientemente grande de que permita, por ejemplo, que la secuencia tenga al menos un periodo de vida de . De acuerdo con L Ecuyer una secuencia de con periodo de vida de es relativamente pequea; de hecho, incluso una secuencia de que contenga un ciclo de vidade se considera pequea. En la

actualidad contamos ya con generadores y procesadores capaces de construir una secuencia de con periodo de vida de . Algoritmo de cuadrados medios Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la dcada de los cuarenta del siglo XX por VonNeumann y Metrpolism. Requiere un nmero entero detonador (llamado semilla) con D dgitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dgitosdel centro; el primer nmero r se determina simplemente anteponiendo el "0."a esosdgitos. Para obtener el segundo se sigue el mismo procedimiento, slo que ahora seelevan al cuadrado los D dgitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer Este mtodo se repite hasta obtener n nmeros A continuacin se presentan con msdetalle los pasos para generar nmeros con el algoritmo de cuadrados medios. 1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dgitos (D > 3). 2. Sea Xo = resultado de elevardgitos del centro. 3. Sea Y. = resultado de elevar =0.D dgitos del centro para toda al cuadrado; sea X, = los D dgitos del centro, y seaal cuadrado; sea= los D dgitos del centro, y sea4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n nmerosdeseados. agregue ceros a laNota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro del nmero izquierda del nmero . Ejemplo 1. Generar los primeros 5 nmeros observar que D = 4 dgitos. a partir de una semilla, de donde se puede

El algoritmo de cuadrados medios generalmente es incapaz de generar una secuencia de t con periodo de vida n grande. Adems, en ocasiones slo es capaz de generar unnmero, por ejemplo, si ;, entonces ; y se dice que el algoritmo se degenera conla semilla deAlgoritmo de productos mediosLa mecnica de generacin de nmeros pseudo aleatorios de este algoritmo no congruencial es similar a la del algoritmo de cuadrados medios. La diferencia entre ambosradica en que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas conD dgitos; adems, en lugar de elevarlas al cuadrado, las semillas se multiplican ydel producto se seleccionan los D dgitos del centro, los cuales formarn el primernmero pseudo aleatorio = 0.D dgitos. Despus se elimina una semilla, y la otra se multiplica por el primer nmero de D dgitos, para luego seleccionar del producto losD dgitos que conformarn un segundo nmero ri. Entonces se elimina la segunda semillay se multiplican el primer nmero de D dgitos por el segundo nmero de D dgitos; delproducto se obtiene el tercer nmero . Siempre se ir eliminando el nmero ms antiguo,y el procedimiento se repetir hasta generar n nmeros pseudo aleatorios. A continuacinse presentan con ms detalle los pasos del mtodo para generar nmeros con el algoritmo de producto medios. 1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dgitos (D > 3). 2. Seleccionar una semilla (X}) con D dgitos (D > 3). 3. Sea 4. Sea ( centro para toda ; sea = los D dgitos del centro, y sea = los D dgitos del centro, y sea dgitos del centro. dgitos del) sea5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n nmeros r deseados. Nota: Si no es posibleobtener los D dgitos del centro del nmero /^agregue ceros a la izquierda del nmeroEjemplo 2. Generar los primeros 5 nmeros a partir de las semillas que ambas semillas tienen D = 4 dgitos. y ; observe

Algoritmo de multiplicador constante Este algoritmo no congruencial es similar al algoritmo de productos medios. Los siguientes son los pasos necesarios para generar nmeros pseudo aleatorios con el algoritmo de multiplicador constante. 1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dgitos (D > 3). 2. Seleccionar una constante (a)con D dgitos (D > 3). 3. Sea 4. Sea para toda ; sea X, = los D dgitos del centro,y sea ; sea = los D dgitos del centro, y sea dgitos del centro. dgitos del centro5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n nmerosdeseados. agregue ceros a laNota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro del nmero izquierda del nmero Ejemplo 3Generar los primeros 5 nmeros ri a partir de la semilla Xo = 9 803 y con la constante a = 6 965. Observe que tanto la semilla como la constante tienen D = 4 dgitos.

Algoritmo lineal Este algoritmo congruencial fue propuesto por D. H. Lehmer15 en 1951. Segn Law y Kelton, este algoritmo ha sido el ms usado. El algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de nmeros enteros por medio de la siguiente ecuacin recursiva: ( ) ( )Donde es la semilla, a es la constante multiplicativa, c es una constante aditiva y m es el mdulo; X_o >0, a>0, c>0 y m>0 deben ser nmeros enteros. La operacin "mod m" significa multiplicar por a, sumar c y dividir el resultado entre m para obtener el residuo . Es importante sealar que la ecuacin recursiva del algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de nmeros enteros y que para obtener nmerospseudo aleatorios en el intervalo (0,1) se requiere la siguiente ecuacinEjemplo 4 Generar 4 nmeros entre (0=2FE 11.500 6.483FO 11 7(FE-FO)2/FE 0.020 0.004 X02 = 0.024Como el valor calculado de 0.024 es menor que el valor en tablas de Ji-cuadrada, no se puede rechazar la independencia de los nmeros aleatorios.2.4. Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales. Loslenguajes precursores en Simulacin fueron los de propsito general, entre ellos pormencionar solo algunos tenemos: FORTRAN, ALGOL, COBOL, RPG, BASIC, PASCAL, MODULA, PL/1, etc. Los principales lenguajes utilizados en Simulacin son:Simulacin de cambio continuo y de cambio discreto en computadoras hbridas H01; Simulacin de incremento continuo con orientacin a ecuaciones directas con nfasis en ecuaciones diferenciales DSL/90, MIMIC, BHSL, DIHYSYS y S/360 CSMP; Simulacin de

incremento continuo con simuladores orientados a bloques con nfasis en ecuacionesdiferenciales MIDAS, PACTOLUS, SCADS, MADBLOC, COBLOC y 1130 CSMP; Simulacin deincremento continuo con simuladores orientados a bloques con nfasis en ecuacionesde diferencias DYNAMO, DYSMAP 2; Simulacin de incremento discreto con orientacina actividades CSL, CLP, GSP, GERT, FORSIM, ESP, MONTECODE y MILITRAN; Simulacin de incremento discreto con orientacin a eventos SIMSCRIPT, GASP, SIMCOM, SIMULATEy SIMPAC; Simulacin de incremento discreto con orientacin a procesos SIMULA, OPS,SLAM y SOL; Simulacin de incremento discreto con orientacin a flujo de transacciones GPSS y BOS. Los paquetes de mayor utilizacin en Simulacin son: EXCEL, STELLA, SIMAN, RISK, STORM, LINDO, CRYSTAL BALL, QSB, MOR/DS, OR/MS, BEER GAME, GREENPACE, SIMULACION, TAYLOR II, CAPRE, SIMNET II, PROMODEL, ITHINK, URBAN DYNAMICS y POWERSIM. En Simulacin Gerencial podemos citar: FISH BANK, FINANACAT, BUGA-BUGA y MARKOPS, TREE PLAN entre otros.2.5. Mtodo de Monte Carlo El mtodo Montecarlo es un mtodo numrico que permite resolver problemas fsicos y matemticos mediante la simulacin de variables aleatorias. Lovamos a considerar aqu desde un punto de vista didctico para resolver un problemadel que conocemos tanto su solucin analtica como numrica. El mtodo Montecarlo fue bautizado as por su clara analoga con los juegos de ruleta de los casinos, el ms clebre de los cuales es el de Montecarlo, casino cuya construccin fue propuesta en 1856 por el prncipe Carlos III de Mnaco, siendo inaugurado en 1861. La importancia actual del mtodo Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difcilsolucin por mtodos exclusivamente analticos o numricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilstica artificial (resolucin de integrales de muchas variables, minimizacin de funciones, etc.). Gracias al avance en diseo de los ordenadores, clculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy en da se presentan como asequibles para la resolucin de ciertos problemas. En estos mtodos el error , donde N es el nmero de pruebas y, por tanto, ganar una cifra decimal en la precisin implica aumentar N en 100 veces. La base es la generacin de nmeros aleatorios de los que nos serviremos para calcular probabilidades. Conseguir un buen generador de estos nmeros as como un conjunto estadstico adecuado sobre el que trabajar son las primeras dificultades con la nos vamos a encontrar a la hora de utilizar este mtodo. En el caso que presentamos hemos hecho uso de la funcin random(x) incluida en la clase Math que la mquina virtual Java trae por defecto como generador. Las pruebas realizadas, algunas de las

cuales se propondrn como ejercicio, verifican su calidad a la hora de calcular nmeros aleatorios sin tendencia aparente a la repeticin ordenada. El mtodo de Montecarlo permite resolver problemas matemticos mediante la simulacin de variables aleatorias. John Von Neumann, en los aos 40 y con los primeros ordenadores, aplica lasimulacin para resolver problemas complejos que no podan ser resueltos de forma analtica. Montecarlo y su casino estn relacionados con la simulacin. La ruleta, juegoestrella de los casinos, es uno de los aparatos mecnicos ms sencillos que nos permiten obtener nmeros aleatorios para simular variables aleatorias. EjemploUna cadena de distribucin de material informtico ha de decidir cuantas licencias de un nuevo sistema operativo ha de comprar para maximizar su beneficio. Disponede informacin histrica que le informa sobre la probabilidad de vender cierto nmerode copias. El costo de adquisicin de cada licencia es de 75 , el precio de venta de 100 . Cuando salga a la venta el nuevo S.O. el almacn podr devolver al fabricantelas copias no vendidas obteniendo un ingreso de 25 por cada licencia devuelta.nLic.Vendidas Prob. 100 0.30 150 0.20 200 0.30 250 0.15 300 0.05Prob. Acum. 0.30 0.50 0.80 0.95 1.00Ext.Inf.Interv. 0.00 0.30 0.50 0.80 0.95Ext.Sup.Interv. 0.30 0.50 0.80 0.95 1.00nLic.Vendidas 100 150 200 250 300Costo de cada licencia Precio de venta unitario Ingresos por devolucin Cantidad Lic. a comprar B Media muestral Desv. Estandar Mx. B Mn. B Nivel significacin (alpha) Amplitud intervalos confianza75.00 100.00 25.00 200 1,625 3175.724685 5000 -2500 0.05 622.43

IC para la madia a nivel (1-alpha)%1,002.57 2,247.43 Resumen de escenario Celdas cambiantes: nLic.Vendidas Celdas de resultado: B Mediamuestral Desv. Estandar Mx. B Mn. B Nivel significacin (alpha) Amplitud intervalor confianza IC para la madia a nivel (1alpha)%Vtas. BajasVtas. Medio BajasVtas. MediasVtas. Medio AltasVtas. Altas100 2,500 0 2500 2500 0.05 - 2,500.00 2,500.00 150 2,646 1721.320178 3750 0 0.05 33.63 2,626.12 2,688.05 200 2,033 3279.37797 5000 -2500 0.05 63.98 1,950.91 2,125.47 250 267 4155.016529 6250 -5000 0.05 82.51 129.47 319.45 300 2,053 4530.576624 7500 -7500 0.05 88.74 - 2,144.08 - 2,013.20 Aleat. 0.984 0.215 0.476 0.725 0.368 0.416 0.124 0.452 0.376 0.626 0.907 0.076 0.648 0.289 0.952 0.308 0.724 0.209 0.965 0.254 0.273 0.178 0.343 0.439 0.048Vtas. 200 100 150 200 150 150 100 150 150 200 200 100 200 100 200 150 200 100 200 100 100 100 150 150 100Dev. 0 100 50 0 50 50 100 50 50 0 0 100 0 100 0 50 0 100 0 100 100 100 50 50 100

Costo 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,00000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,00015,000 15,000 15,000

Ing. Vtas 20,000 10,000 15,000 20,000 15,000 15,000 10,000 15,000 15,000 2020,000 10,000 20,000 10,000 20,000 15,000 20,000 10,000 20,000 10,000 10,000 15,000 15,000 10,000 -

Ing. Dev. 2,500.00 1,250.00 - 1,250.00 1,250.00 2,500.00 1,250.00 1,250.00 ,500.00 - 2,500.00 - 1,250.00 - 2,500.00 - 2,500.00 2,500.00 2,500.00 1,250.00 2,500.00

Benef, 5,000 - 2,500 1,250 5,000 1,250 1,250 - 2,500 1,250 1,250 5,000 5,,500 5,000 - 2,500 5,000 1,250 5,000 - 2,500 5,000 - 2,500 - 2,500 - 2,50 1,250 - 2,500

0.247 0.371 0.931 0.741 0.577 0.5 0.273 0.685 0.063 0.521 0.164 0.402 0.168 0.875 0.928 0.803 0.13 0.338 0.031 0.699 0.531 0.68 0.081 0.23 0.493 0.259 0.927 0.205 0.538 0.057 0.853 0.361 0.305 0.945 0.362 0.317 0.874 0.232 0.757 0.25 0.9230.055 0.255 0.297 0.778100 150 200 200 200 150 100 200 100 200 100 150 100 200 200 200 100 150 100 200200 200 100 100 150 100 200 100 200 100 200 150 150 200 150 150 200 100 200 100200 100 100 100 200100 50 0 0 0 50 100 0 100 0 100 50 100 0 0 0 100 50 100 0 0 0 100 100 50 100 0 100 0 100 0 50 50 0 50 50 0 100 0 100 0 100 100 100 0

15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 ,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,00

10,000 15,000 20,000 20,000 20,000 15,000 10,000 20,000 10,000 20,000 10,000 10,000 20,000 20,000 20,000 10,000 15,000 10,000 20,000 20,000 20,000 10,000 15,000 10,000 20,000 10,000 20,000 10,000 20,000 15,000 15,000 ,000 15,000 20,000 10,000 20,000 10,000 20,000 10,000 10,000 10,000 20,00

2,500.00 1,250.00 - - - 1,250.00 2,500.00 - 2,500.00 - 2,500.00 1,250.00 - - - 2,500.00 1,250.00 2,500.00 - - - 2,500.00 2,500.00 1,250.00 ,500.00 - 2,500.00 - 1,250.00 1,250.00 - 1,250.00 1,250.00 - 2,500.00 - 2,500.00 2,500.00 2,500.00 - - 2,500 - 2,500 0 1,2505,000 -

1,250 5,000 5,000 5,000 1,250 - 2,500 5,000 - 2,500 5,000 - 2,5005,000 5,000 5,000 - 2,500 1,250 - 2,500 5,000 5,000 5,000 - 2,500 - 2,500 5,000 - 2,500 5,000 - 2,500 5,000 1,250 1,250 5,000 1,22,500 5,000 - 2,500 5,000 - 2,500 - 2,500 - 2,500 5,000

0.065 0.576 0.079 0.433 0.488 0.358 0.199 0.803 0.424 0.618 0.846 0.846 0.816 0.763 0.611 0.483 0.678 0.937 0.964 0.299 0.876 0.423 0.058 0.449 0.201 0.824 0.440.996 0.885 0.389100 200 100 150 150 150 100 200 150 200 200 200 200 200 200 150 200 200 200 100200 150 100 150 100 200 150 200 200 150100 0 100 50 50 50 100 0 50 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 100 0 50 100 50 100 0 50 0 0 50

15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000

10,000 20,000 10,000 15,000 15,000 15,000 10,000 20,000 15,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 15,000 20,000 20,000 20,000 10,000 20,000 15,000 15,000 10,000 20,000 15,000 20,000 20,000 15,000

2,500.00 - 2,500.00 1,250.00 1,250.00 1,250.00 2,500.00 - 1,250.00 - - ,250.00 - - - 2,500.00 - 1,250.00 2,500.00 1,250.00 2,500.00 - 1,250.000.00

- 2,500 5,000 - 2,500 1,250 1,250 1,250 - 2,500 5,000 1,250 5,000 5,000 000 5,000 5,000 1,250 5,000 5,000 5,000 - 2,500 5,000 1,250 - 2,500 1,20 5,000 1,250 5,000 5,000 1,250 3,000 2,000 1,000 - -1,000 -2,000 -3,000 Licencias Vendidas 100 150 200 250Beneficio esperado300B medio B peor B mejor

Unidad III. Generacin de Variables Aleatorias 3.1. Introduccin Una vez obtenida toda la informacin, es decir, los datos de entrada del sistema real, es necesario convertirlos en informacin o datos de entrada del modelo de simulacin. Es posible distinguir dos tipos de informacin:Informacin determinstica. Esta informacin entra directamente al modelo con su valor correspondiente en el sistema real. Informacinprobabilstica. Es necesario crear modelos de simulacin que imiten el comportamiento de esas variables. De esta forma, al crear un modelo de simulacin debemos sercapaces de crear ese comportamiento y modelarlo. Los nmeros aleatorios uniformes(0-1) son la base en los modelos de simulacin donde hay variables estocsticas, yaque dichos nmeros son la herramienta para generar eventos de tipo probabilstico. La generacin de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generacin previa de una distribucin uniforme (0,1). Y las transformaciones de dichos nmeros generados en valores de otras distribuciones. La mayora de las tcnicas utilizadas para lageneracin se pueden agrupar en: Mtodo de la transformada inversaMtodo de aceptacinrechazoMtodo de composicinMtodo de convolucin MTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA INTODUCCIN Existen varios mtodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria. La eleccin del mtodo adecuado se puede basar en una serie de factores como:

Exactitud. Se prefiere un mtodo exacto frente a mtodos aproximados, como soluciones numricas. Velocidad. Uno de los datos que se toma en consideracin es el em tiempode generacin de la variable. Espacio. Necesidades de memoria del mtodo utilizado.En general, los mtodos no consumen mucha memoria. Simplicidad.

La mayora de las tcnicas utilizadas para la generacin se pueden agrupar en:Mtodo de la transformada inversa Mtodo de aceptacin-rechazo Mtodo de composicin Mtodode convolucinGENERACIN DE VARIABLES ALEATORIAS La variabilidad de eventos y actividades se presentan a travs de funciones de densidad para fenmenos continuos, y mediante distribuciones de probabilidad para fenmenos de tipo discreto. La simulacin de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generacin de variables aleatorias.MTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA El mtodo de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la funcin acumulada f(x) y la generacin de nmeros pseudoaleatorios ( ).El mtodo consiste en:

Definir la funcin de Densidad f(x) que representa la variable a modelar. Calcularla funcin acumulada f(x). Despejar la variable aleatoria x y obtener la funcin acumulada inversa f(x)-1. Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valorescon nmeros pdeudoaleatorios ( ). en la funcin acumulada inversa.El mtodo de la transformada inversa tambin puede emplearse para simular variablesaleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geomtrica, discreta general, etc. La generacin se lleva a cabo a travsde la probabilidad acumulada P(x) y la generacin de nmeros pseudoaleatorios ( ).

Metodologa para generar variables aleatorias continuas.Metodologa para generar variables aleatorias discretas.Distribucin Uniforme A partir de la funcin de la densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b.

Se obtiene la funcin acumulada

Igualando la funcin acumulada F(x) con el nmero pseudoaleatorio despejando x se obtiene:(), y( () ( ) )Ejemplo 1: Los datos del tiempo de servicio en la caja de un banco se comportande forma exponencial con media de 3 minutos/cliente. Una lista de nmeros pseudoleatorios ( )y la ecuacin generadora exponencial xi = -3In (1 - ri) nos permite simular el comportamiento de la variable aleatoriaDistribucin de Bernoulli A partir de la distribucin de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con media p(x) = px (1 p)1 x para x=0,1 Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtenerX P(x) 0 1-p 1 pAcumulando los valores de p(x) se obtiene:X P(x) 0 1-p 1 pGenerando nmeros pseudoaleatorios{(( ()se aplica la regla:) )

La tabla siguiente muestra la demanda diaria de cepillos dentales en un supermercado.Da Demanda 1 1 2 2 3 2 4 1 5 3 6 0 7 3 8 1 9 3Simular el comportamiento de la demanda mediante el mtodo de la transformada inversa. A partir de la informacin histrica se calculan las probabilidades puntuales ylas acumuladas paraX 0 1 2 3 P(x) 0.111 0.222 0.333 0.333 P(x) 0.111 0.222 0.666 1La regla para generar esta variable aleatoria estara dada por:{ ( ( ( ( ) ) )Con la lista de nmeros pseudoaleatorios ( )y la regla anterior es posibles simular la demanda diaria de cepillos dentales, tal como se muestraDia 1 2 3 4 5 0.213 0.345 0.021 0.987 0.543 Demanda diaria 1 2 0 3 2Ejemplo. La distribucin exponencial Supongamos que tiene una distribucin exponencial de media beta. La funcin densidad de probabilidad es:La funcin de distribucin (acumulativa) es:

Mtodo de aceptacin rechazo Este mtodo es ms probabilstico que el anterior. Los mtodosde inversin, composicin y convolucin son mtodos de generacin directos, en el sentidoen que tratan directamente con la funcin de distribucin. El mtodo de aceptacin-rechazo es menos directo en su aproximacin. Se va aplicar este mtodo en el caso de quela variable aleatoria sea continua, el caso discreto es anlogo y est tratado en Prob. En este caso tenemos la funcin de densidad f(x) de la variable y necesitamosuna funcin t(x) que la acote, es decir t(x)f(x) "x. Hay que notar que t(x) no es,en general, una funcin de densidadPero la funcin r(x)=t(x)/c, si es claramente una funcin de densidad. (Suponemos que t es tal que c