8687100-matematicas-1-fasciculo7

Gérard DavidPintor flamenco (1450/60-1523)En Las bodas de Caná, David logró combinar las característicasde cuadro colectivo y las convenciones de cuadro religioso, endonde destacan al frente unas vasijas para guardar agua, queparecieran tener la misma capacidad de almacenaje. Esta hasido una constante de búsqueda en los matemáticos y físicos,el conseguir el recipiente que contenga más cantidad de líquido,sea resistente, manejable y de fácil apilamiento.

Mario BenedettiPoeta y escritor uruguayo (1920- )

Todo está lejos, pero es un modo de decir.En realidad no tengo patrón universal paramedir cercanos y remotos...

...En mi mejor historia ha habido lontananzasa granel y mi experiencia dice que lo remotoa veces se aproxima.

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

E s t i m a n d o m e d i d a sFascículo

Medidas III

Estimando medidas

En la vida diaria nos encontramos ante muchas situaciones en las que se hace necesario estimar, esdecir, valorar de manera cuantitativa una determinada magnitud. Por ejemplo, estimamos el tiempo parallegar de un lugar a otro, la cantidad de alimentos necesarios para alimentar a una familia en una semana,la cantidad de tela requerida para hacer un traje, la cantidad de ingredientes para preparar una comida,la cantidad de pintura que hace falta para pintar una ventana o una casa.No siempre es fácil asignar un número exacto a una magnitud, por ejemplo, conocer la cantidad deasistentes a una manifestación, la cantidad de cabellos que tenemos en la cabeza, la cantidad de aguaque utilizamos para bañarnos, la cantidad y el costo del material necesario para hacer una construccióno la extensión de alguna superficie. Así también, hay algunas magnitudes de las cuales es imposibleobtener un valor exacto, por ejemplo, la cantidad de población y la cantidad de agua caída comoconsecuencia de las lluvias. No obstante, la estimación permite asignar valores numéricos a estasmagnitudes manteniendo al mismo tiempo un control sobre la validez de esa valoración.

Interesante

Esta figura representa el cálculo

que Fermat hizo con el fin de

determinar el área entre el eje

horizontal, las verticales a izquierda

y derecha y la curva definida por la

función y=x . Fermat generalizó el

cálculo para curvas de ecuación

y=x .

Observa que la suma de las áreas

de esos rectángulos da un valor

aproximado del área antes descrita.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Pierre de FermatMatemático francés (1601-1665)

Este personaje estudió y ejerció el Derechoy fue consejero en el Parlamento. En sutiempo libre se ocupó de la literatura y dela matemática llegando a ser uno de losprincipales matemáticos del siglo XVII ygloria universal de esta ciencia debido anumerosos aportes en sus diversas áreas.Publicó poco sus resultados, figurandoalgunos de ellos como notas y apéndicesa libros escritos por otros, en los márgenesde esos tratados. Varios de sus trabajos seperdieron.

13

pq

M1

R≈2,2


Estimando la longitud de una circunferencia

Se han medido los lados L1 y L2 con una regla graduada y por esto resultan aproximaciones. Asimismo, consideremosun polígono regular S1 circunscrito a la circunferencia C y llamemos P1 a su perímetro. Construyamos otro polígonoregular S2, circunscrito a la misma circunferencia y con el doble de lados que S1. Llamemos P2 al perímetro de S2,entonces se cumple que P1 > P2 . En forma análoga al caso anterior, si duplicamos indefinidamente el número delados, los perímetros de los polígonos obtenidos serán cada vez menores y más cercanos a la medida de la longitudde la circunferencia L: P1 > P2 > P3 > P4 > .... > Pn > .... > L.

Consideremos un polígono regular M1 inscrito en una circunferencia C y llamemos p1 a su perímetro. Construyamos

otro polígono regular M2, inscrito en la misma circunferencia y con el doble número de lados que M1, y llamemos

p2 a su perímetro; entonces se cumple que p1 < p2. Si continuamos construyendo polígonos inscritos a esa

circunferencia, duplicando indefinidamente el número de sus lados, los perímetros de los polígonos serán cada vez

mayores y más cercanos a la medida de la longitud de la circunferencia L: p1 < p2 < p3 < p4 < ..... < pn < ..... < L.

M1

M2

R≈2,2

Cuadrado inscrito

L1 ≈ 3,1 cm

p1 ≈ 4 • L1 ≈ 12,4 cm

Octógono inscrito

L2 ≈ 1,7 cm

p2 ≈ 8 • L2 ≈ 13,6 cm

L= 2πR ≈ 13,82 cm

Calculando los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos, notamos que se aproximan a un mismo valorL. Estos perímetros son valores aproximados de L. Los errores cometidos en estas aproximaciones se hacen máspequeños a medida que tomamos los polígonos regulares con mayor número de lados.

InteresanteLos cálculos de esos perímetros se pueden hacer, aplicando propiedades geométricas, enfunción del radio (R). Por ejemplo:

P1 = 4 • 2 R ≈ 12,4 cm P2 = 8 • 2 - 2 • R ≈ 13,47 cm

P1 = 8R ≈ 17,6 cm P2 = 8 • 2 • (2- 2) • R ≈ 14,58 cm

S1

R

L2

R

Cuadrado circunscrito

L1 ≈ 4,4 cm

P1 ≈ 4 • L1 ≈ 17,6 cm

Octógono circunscrito

L2 ≈ 1,8 cm

P2 ≈ 8 • L2 ≈ 14,4 cm

L = 2πR ≈ 13,82 cm

Lpn Pn P3 P1P2p2p1 p3

C

R≈2,2

M1

C

L1

L1

L2

L

S2C C


Error en la estimaciónAl estimar utilizamos expresiones como: "entre tanto y tanto","alrededor de", "aproximadamente", etc., para indicar que no es lacantidad exacta, sino que existe un margen de error, es decir, quepuede ser más o menos la cantidad exacta. Error es el términoutilizado para designar la diferencia que un valor aproximado (Va),tiene respecto del valor exacto (Ve) al que representa. Este errores conocido como error absoluto (Ea), es decir,Ea = |Ve - Va|, donde | | indica el valor absoluto.En casi todas las estimaciones se comete un error, más aún,podríamos decir que regularmente la medición de las magnitudesfísicas son inexactas, aun cuando éstas sean realizadas coninstrumentos de medida, ya que existen algunos imponderablescomo las imperfecciones de los objetos, los defectos de construcciónde los instrumentos de medida y los errores que cometemos en sumanipulación, que impiden la exactitud.No obstante, lo importante es saber cuándo un error es aceptable,por ejemplo, en la estimación de la cantidad de agua al prepararuna comida, un error de 1 cm3 no es significativo, no así, si esemismo error se comete en la dosis de un medicamento.Para tener una mejor idea de cuán buena es la estimación realizada,calculamos la razón entre el error cometido (Ea) y el tamaño de lamagnitud medida (Ve). Esta razón es lo que se conoce con elnombre de Error relativo (Er). Es decir, Er = .Cuando este valor relativo (Er) lo expresamos en porcentaje,multiplicando la relación referida por cien, hablamos entonces deerror porcentual.

Uno de los teoremas notables de Arquímedes se refiere a: “Lalongitud de la circunferencia de un círculo es igual al triple deldiámetro, más una parte de éste, que es menor que su séptimaparte, y mayor que diez setenta y un avos del mismo” ya que losnúmeros 3 y 3 son dos valores aproximados por defectoy por exceso, respectivamente, del conocido número π.Arquímedes determinó estos números utilizando el método deinscribir y circunscribir polígonos duplicando el número de lados,partiendo del hexágono regular, para llegar al polígono regularde 96 lados y calculando aproximadamente sus perímetros.

ArquímedesMatemático griego (siglo III a.C.)

1071

17

Escuela de Atenas (Fragmento)Rafael Sanzio (1483-1520)

EaVe

Estimando áreas


Pancho QuiliciPintor caraqueño (1954- )Para conocer un mundo, unaisla basta y sobra. 1988

Veamos el caso de una región como la dibujada y tratemos de calcular suárea. Para la región S no hay una fórmula que permita calcular su superficie.

Cuando no tengamos una fórmula para calcular el área hayque buscar otro procedimiento para ello.Uno de estos procedimientos es emplear instrumentos demedida, otro sería buscar alguna herramienta matemáticapara hacerlo, o una combinación de los procedimientos antesnombrados.En todo caso, esto nos conduce a una estimación del valordel área y no a un cálculo exacto.¿Qué nos muestran las dos figuras a la derecha? En ellashemos superpuesto una cuadrícula a la región a la cualqueremos calcular el área.¿Por qué hacemos esto? Lo hacemos porque tenemos unprocedimiento, una fórmula, para calcular el área de uncuadrado.¿Cómo estimar el área de S por intermedio de la cuadrícula?Basta contar cuántos cuadrados quedan encerrados en laregión y multiplicar este número por el área de cada cuadrado.El resultado obtenido es menor que el área de S. Esto es,obtenemos una aproximación del área por defecto. Podemostambién contar el número mínimo de cuadrados que cubrena S, esto es, los que están dentro más aquellos que tienenuna parte dentro de S y una parte fuera. En este caso tambiénhay que multiplicar el número de cuadrados por el área decada uno de ellos para obtener la estimación del área de S.El resultado obtenido es mayor que el área de S. En estecaso obtenemos una aproximación del área por exceso.

S

Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

60 cuadrados de 0,25 cm2 = 15 cm2

103 cuadrados de 0,25 cm2 = 25,75 cm2

No siempre la última aproximación del área es mejor que las anteriores

Area de la figura = (15 + 25,75) = 20,37 cm2

Otra estimación la obtenemos promediando ambos valores

2


Estimando áreas

1 cm

1 cm equivale a 104 km

Consideremos un estado venezolano. Ejemplo: el estadoBolívar. Veamos un Atlas (hemos consultado el LibroImagen de Venezuela: Una visión espacial. PDVSA, 1990)y en él hallamos el mapa del estado que nos concierne.En este libro aparece que el área del estado es 238 000km2. Por otra parte, hemos de tener cuidado en mirar laescala de nuestro mapa.Según la escala gráfica del mapa un cm de éste esequivalente a 104 km en la realidad. Si lo transformamos,1 cm equivale a 10.400.000 cm, por lo que la escala delplano es 1:10.400.000.

Estado Bolívar

Amazonas

Guárico Anzoátegui Delta

1 cuadrado = 0,5 cm • 0,5 cm equivale a 52 km • 52 km ≈ 2 704 km2

Cálculo con la misma cuadrícula utilizada en elejercicio anterior (0,5 cm x 0,5 cm)Nº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 63Nº de cuadrados dentro y fuera = 110Los valores que se obtendrán son estimados.Estimación por defecto (color amarillo) = 63 • 2.704 km2 =170.352 km2.Estimación por exceso = 110 • 2.704 km2 = 297.440 km2.El promedio de los dos valores anteriores =(170.352 + 297.440) = 233.896 km2.

1 cuadrado = 1 mm • 1 mm equivale a 10,4 km • 10,4 km ≈ 108.16 km2

Para saber cuán buenas son estas aproximaciones debemos calcular el error cometido. La siguiente tabla recogelas estimaciones anteriores y el cálculo de errores tomando como valor exacto 238.000 km2

Área aproximada Error Absoluto Error relativo Error PorcentualAd= 170 352 km2 |170 352 - 238 000| = 67 648 km2 67 648 / 238 000 ≈ 0,2842 28,42 %Ae= 297 440 km2 |297 440 - 238 000| = 59 440 km2 59 440 / 238 000 ≈ 0,2497 24,97 %Ap= 233 896 km2 |233 896 - 238 000| = 4 104 km2 4 104 / 238 000 ≈ 0,0172 1,72 %A’d= 219 889 km2 |219 889 - 238 000| = 18 111 km2 18 111 / 238 000 ≈ 0,0761 7,61 %A’e= 248 227 km2 |248 227 - 238 000| = 10 227 km2 10 227 / 238 000 ≈ 0,0430 4,30 %A’p= 234 058 km2 |234 058 - 238 000| = 3.942 km2 3 942 / 238 000 ≈ 0,0166 1,66 %

Observa que el menor error porcentual (1,66%) corresponde a A’p, esta es la mejor de las aproximacionesefectuadas.

2

Cálculo con papel milimetradoNº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 2.033Nº de cuadrados dentro y fuera = 2.295Los valores que se obtendrán son estimadosEstimación por defecto (color amarillo) = 2.033 • 108,16 km2=219.889,28 km2.Estimación por exceso = 2.295 • 108,16 km2= 248.227,20 km2.El promedio de los dos valores anteriores =(219.889,28 + 248.227,20) = 234.058,24 km2.

2

Estimando volúmenes


En todos estos objetos podemos calcular sus áreas y/o volúmenes (capacidades) con sólo medir ciertas longitudesy luego aplicar fórmulas:

¿Y cómo calculamos las longitudes, áreas o volúmenes de estos otros objetos?

El volumen de estematero

La capacidad de estacesta de moriche

La superficie territorialabarcada por el Delta

del Orinoco

Los restosarqueológicos

encontrados enBarinas

Las curvas de losadornos en las rejas

PirámideParalelepípedo másprisma

Tanque esféricoCilindroCírculo

Hay muchos otros objetos para los que no existen fórmulas, o no las conocemos, que permitan calcular suslongitudes, áreas o volúmenes.

Todo ello se hace mediante un proceso de aproximación que permite estimar

las medidas respectivas, bien sea por defecto (menores que la medida considerada

como exacta) o por exceso (mayores que la medida considerada como exacta).

En casos como el de la cesta moriche o del matero de las fotografías, su capacidad

puede determinarse experimentalmente: se llena de agua o arena el recipiente hasta

el tope y luego se trasvasa el contenido a una jarra graduada con la que medimos

volúmenes.

Reto

Si el radio de una esfera aumenta en 10%.

¿En qué porcentaje aumenta el volumen de esa

esfera?

R +10% de R

R


Consideremos el sólido de color amarillo claro, dibujado al lado, enel que se han medido las longitudes allí indicadas (diámetro de latapa superior y altura).¿Cómo calcular su volumen V?

Esto se hace mediante aproximaciones.

Primera aproximación (por defecto) Color verde:El volumen aproximado del cilindro interior al sólido es Vf=πR2 • H3,14 • ( )2 • 1,4 m = 1,8573 m3 (1 857,3 l)

Segunda aproximación (por exceso) Color azulMedimos con algún instrumento el diámetro (o la circunferencia)mayor y supongamos que el resultado da igual a 1,52 m. Entonces,el volumen del cilindro exterior al sólido es 3,14 •( )2 • 1,4 m =2,5391 m3 (2 539,1 l).

Observemos que 1,8573 < V < 2,5391 y el promedio entre esos dosvolúmenes es 2,1982 m3:

Tercera aproximación:Si queremos mejorar la aproximación para el volumen V se divideel sólido en pequeños cilindros interiores (de color rojo), por ejemplodividiendo la altura como se muestra en el dibujo, y luego haciendola suma de los volúmenes de esos cilindros (da un valor aproximadode V por defecto).

En forma análoga se puede hacer con cilindros exteriores y obtenerun valor aproximado de V por exceso. ¿Cómo realizarías los cálculos?

Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones1,3 m

1,52 m

1,3 m

1,4 m

Un sólido Aproximación del volumen del sólidomediante la suma de volúmenes de

cilindros

Reto

Un envase cilíndrico de diámetro d, acostado, con un volumen total

de 60 litros, sólo queda lleno hasta las tres cuartas partes de d.

¿Cuántos litros más de agua hacen falta para llenar el envase?

1,3 m2

1,52 m2

1,3 m

1,52 m

1,3 m

0,35 m

0,35 m

0,35 m

0,35 m

E s t i m a n d o m e d i d a s

Fascículo

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

2 cm

2 cm

1 cm

2 cm

3 cm

2 cm

0 cm

2 cm

3 cm

2 cm

2 cm

2 cm

4 cm

2 cm

1 cm


Consideremos un cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8cm. ¿Cómo podemos determinar aproximadamente, el volumen V deeste cono a partir del conocimiento del volumen de un cilindro y sinutilizar la fórmula que da el volumen del cono?

Para ello dividimos la altura del cono, digamos en cuatro partes igualesde longitud 2 cm. De aquí se obtienen tres troncos de cono y unpequeño cono, todos de altura 2 cm, como se muestra a continuación:

8 cm

4 cm

2 cm

2 cm

2 cm

4 cm

2 cm

Ahora calculamos la suma de los volúmenes de los cilindros mostrados a continuación:

V < (π • 42 • 2 + π • 32 • 2 + π • 22 • 2 + π • 12 • 2) cm3 = 60 π cm3

Cilindros que contienen esos sólidos

V > (π • 32 • 2 + π • 22 • 2 + π • 12 • 2 + π • 02 • 2) cm3 = 28 π cm3

Cilindros que son contenidos por esos sólidos

Este pequeño cono nocontiene ningún cilindro,por lo que se coloca 0.

VE1 VE2 VE3 VE4

VE < VE1 + VE2 + VE3 + VE4

VD > VD1 + VD2 + VD3 + VD4

VD1 VD2 VD3 VD4

3 cm2 cm

1 cm

V = π • R2 • H

2 cm

Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones


8 cm

4 cm

Consideremos el mismo cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8 cm.Si dividimos la altura del cono en ocho partes iguales de longitud 1 cm obtendremossiete troncos de cono y un pequeño cono, todos de altura 1 cm, como se muestraa continuación:

Al calcular de manera análoga a lorealizado antes, la suma de los volúmenesde los cilindros es la siguiente:

1 cm

4 cm

3,5 cm

1 cm

3 cm

1 cm

2,5 cm

1 cm

2 cm

1 cm

1,5 cm

1 cm

1 cm1 cm

1 cm

0,5 cm

1 cm

4 cm

3,5 cm

1 cm

3 cm

1 cm

2,5 cm

1 cm

2 cm

1 cm

1,5 cm

1 cm

1 cm1 cm

1 cm

0,5 cm

V < [π • 1• (4)2 + π • 1 • (3,5)2 + π • 1 • (3)2 + π • 1 • (2,5)2 + π • 1 • (2)2 + π • 1 • (1,5)2 + π • 1 • (1)2 + π • 1 • (0,5)2] cm3 = 51 π cm3

V > [π • 1 • (3,5)2 + π • 1 • (3)2 + π • 1 • (2,5)2 + π • 1 • (2)2 + π • 1 • (1,5)2 + π • 1 • (1)2 + π • 1 • (0,5)2+ π • 1 • (0)2] cm3 = 35 π cm3

Por lo tanto:

28π < 35π < V < 51π < 60π

Si continuamos ese proceso de dividir la altura en partes de igual longitud, observamos que cada vez los valores obtenidos

se aproximan al valor V.

V cono= π • R2 • H V = ( ) x π cm3 ≈ 42,67 x π cm31283

28π 35π 42,67π 51π 60π

V

Los radios obtenidos anteriormente 3 cm, 2 cm, 1 cm, etc., se determinan utilizando el Teorema de Tales.

13

El número π (pi) presenta una larga historia, comenzando con que tradicionalmentese entendía ese número como el cociente entre la longitud L de una circunferenciay su diámetro D, por lo que se denota con la letra griega π, inicial de la palabra

que significa perímetro. La notación π la popularizó L. Euler a partir de1737, aun cuando había sido utilizada por William Jones en 1706.Todavía en nuestros días se hacen cálculos sobre π, llegando a estimarlo con 109

cifras decimales. Este número figura en muchas fórmulas relacionadas con medidas:longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen deun cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entreotros.En las civilizaciones más antiguas, los Babilonios y los Egipcios, si bien no se leda ese nombre ni ese símbolo, se le atribuye (los Babilonios) el valor 3 obtenidoa partir de aproximar la longitud L de una circunferencia mediante 6R que es elperímetro del hexágono regular inscrito (de la relación 6R= 2πR se obtiene π=3).También de un pasaje de la Biblia se puede deducir ese valor 3:

"Él hizo también un vaso de metal fundido, la grancuba, que tenía diez codos de diámetro y eraperfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto,en tanto que un cordón de treinta codos medía lacircunferencia en derredor".

(Lo que equivale a tomar π=30 codos/10 codos = 3).El primer matemático que calculó π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fueel inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio delDescubrimiento” (Museo de Ciencias) en París. Esta cúpula se encuentra en unasala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro.El ingeniero y matemático venezolano Francisco José Duarte (Maracaibo, 1883-Caracas, 1972) también calculó el número π con muchas cifras. Él escribió, en1956, una monografía sobre los números π y e.


RetoConsideremos una pirámide con base rectangular de lados

4 cm y 5 cm, y altura 10 cm. ¿Cómo procedes para estimar

el volumen V de esa pirámide a partir del conocimiento del

volumen de un paralelepípedo recto y sin utilizar la fórmula

que da el volumen de una pirámide? Explica con detalle y

haz los dibujos respectivos.

Esfinge y pirámide de Kefrén2.600 a.C. (Egipto)

5 cm4 cm

10 c

m

R

R

RetoEn el papiro Rhind (aproximadamente 1650 a.C.), uno de los principales documentos

para el estudio de la matemática egipcia, se encuentra un problema relacionado con

el cálculo del área de un círculo de diámetro D, aproximándola al área de un cuadrado

de lado ( )D. ¿Qué valor aproximado de π, con dos cifras decimales, se obtiene a

partir de esa consideración y cuál es el error porcentual cometido si tomamos como

valor exacto π= 3,1416?

Leonardo EulerMatemático suizo (1707-1783)

89

Ventana didácticaEstrategias sugeridas al docente


Cálculos y estimacionesEn la enseñanza de la matemática a nivel de educación básica, es importante hacerhincapié en los contenidos que sustentan los cálculos y la estimación en diversoscontextos. Así, se pueden desarrollar en los estudiantes habilidades cognitivas queles permitan, además de emplear los cálculos y la estimación en la resolución deproblemas, utilizar la estimación para verificar lo razonable de los resultados. Laestimación se utiliza en muchas situaciones de la vida cotidiana tales como calcularel número de baldosas que se necesitan para cubrir un piso o pared de una casa.Por otra parte, hemos presentado algunos aspectos que intervienen en el proceso demedición de magnitudes. Entre ellos está la utilización de instrumentos de medida. Uninstrumento tiene escalas graduadas, como se puede notar en el gráfico.Llamaremos apreciación del instrumento a la menor división de su escala. En formade ecuación matemática la apreciación se calcula de la siguiente manera:

Apreciación =

De esta manera se puede observar la apreciación de diferentes instrumentos.Sin embargo, en algunos casos las divisiones de la escala del instrumento permitenque el experimentador pueda estimar visualmente una cantidad menor a la apreciacióndel instrumento. Esta cantidad se denomina estimación de una lectura. En las figurasse muestran algunos ejemplos de estimación.Es conveniente plantear a los estudiantes situaciones como la siguiente: suponga queal medir con una cinta métrica la longitud de una barra de metal, se obtiene una medidade 15 cm. Además, ya sea por la apreciación de la cinta o por estimación del obsevadorse Ie puede asignar un error de 0,1 cm. A partir de estos datos promueva una discusiónque le permita a los estudiantes concluir que:1.- El valor verdadero de la medida está en el rango comprendido entre 14,9 cm y

15,1 cm.2.- Por estimación, el mínimo valor que se puede distinguir es de 0,1 cm.Comente que este mínimo valor determina las cifras significativas del resultado de lalectura. Así, es necesario que al expresar la medición de la barra se consideren lasdos conclusiones y, en consecuencia, la expresión más adecuada para registrar elvalor obtenido es:Longitud = (15,0 ± 0,1) cm, como se presenta en el siguiente gráfico.

Para finalizar la clase, es recomendable inducir a los estudiantes para que valorenel hecho de que los resultados obtenidos al realizar una medida no son exactos,es decir, por diversas razones presentan un error. La eficacia del resultado estádeterminada por un análisis adecuado del error, en el conocimiento que se tengade ellos y en la habilidad del experimentador para minimizar sus efectos. Loserrores más usuales que se presentan en la ciencia se caracterizan en dos tipos:Errores casuales: Su característica es el azar. Pueden proceder de Ia interacciónde un experimento con un sistema físico, o de un cambio en el ambiente.Errores sistemáticos: Aquellos que varían en una misma dirección la magnituda medir. Se deben a fallas en los equipos o a errores en los procedimientosrealizados.

1

23

4

01,1

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,02,1

2,2

A = = 0,05

A = = 0,02

1

23

4

01,1

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,02,1

2,2

Estimación: 2,975

Estimación: 1,95

14,9 cm 15 cm 15,1 cm

0,1 cm0,1 cm

Lectura mayor - Lectura menorNúmero de divisiones

20

52,2 - 2,1

4 - 3

Para determinar el área de una región planade forma irregular se puede proceder de la

siguiente manera: pesa un recorte de cartóncuya forma coincida con la de la región y luegocompara el peso del recorte con el peso de un

pedazo rectangular del mismo cartón, cuyasdimensiones son conocidas. Explica por qué

este procedimiento conduce a determinaraproximadamente el área de la región.

Piensa en otros procesos que te permitandeterminar el área de una región plana.


Tengo que pensarlo

Un fósforo tiene aproximadamente 3 cm de largo. Hacen falta 16 fósforospara hacer una escalera de 15 cm de largo y 3 cm de ancho como lamostrada.¿Cuántos fósforos se necesitan para hacer una escalera similar de 90cm de largo por 3 cm de ancho?

Los cohetes que impulsan los transbordadores espaciales tiene distintos tanques de combustible: tanque de oxígenolíquido, tanque de hidrógeno líquido y el intertanque conectando esos dos tanques.En los dibujos siguientes tienes esos tanques con sus dimensiones.

Calcula los volúmenes aproximados de los tanques de hidrógeno líquido y de oxígeno líquido y compáralos con losvalores exactos que son 1.450 m3 y 541 m3 respectivamente, determinando los errores cometidos.Fuente: Space Mathematics. A resource for Secondary School Teachers. Por B. Kastner & S. Fraser, NASA (1985).

Tanque de oxígeno líquidoTanque de hidrógeno líquido Intertanque

29,6 m

8,4

m

8,4

m

4,2m 4m 8,1 m

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

¡A jugar!Magnitudes, instrumentos,fórmulas y unidades

Materiales:24 piezas de forma triangular cortadas en cartón. En

12 de éstas (color marrón) se escriben nombres de

magnitudes, en las otras 12 (color amarillo) se escriben

intrumentos de medición, fórmulas y unidades

correspondientes a las magnitudes seleccionadas,

en forma similar a las del dibujo.

¿Cómo jugar?:1. Se colocan los 24 cartoncitos boca abajo,

se revuelven y se reparten entre los

jugadores que pueden ser 2, 4 o 6.

2. Comienza el juego la persona que tiene la pieza

que dice CAPACIDAD, que coloca al centro de la

superficie de juego.

3. El jugador que está a su derecha debe colocar,

en coincidencia con uno de los lados del triángulo,

una pieza en la que aparezca un instrumento,

fórmula o unidad referentes a capacidad. Si no

posee una pieza del juego con esas características

pasa, y juega el siguiente participante. Y así

sucesivamente hasta que uno de los jugadores

se quede sin cartones y es considerado el ganador.

Termóm

etro

Segundo

Kiló

met

ro LONGITUD

Decím

etro

TIEMPO Minuto

Metro cuadrado

cm

Gram

o

largo x ancho x altura

Rel

oj

VOLUMEN

m3

25 °C

larg

o x

anch

o

ÁREA

m2

TEMPERA-TURA

Termóm

etro

Regla Cili

ndro

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duad

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Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

Bibl iografíaDel Olmo R. y Moreno C., et al (1993) Superficiey volumen ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº19, Editorial Síntesis, Madrid.

Prada V. María Dolores (1990) Cómo enseñar lasmagnitudes, la medida y la proporcionalidad.Cuadernos de matemáticas, Nº 1, Editorial Ágora,Málaga.

VideoDonald en el país de las matemáticas. ProducciónWalt Disney. California, Estados Unidos.

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Gustavo Ponce

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*Nació en Caracas en 1952. Licenciado

en Matemáticas en la Universidad Centralde Venezuela, en 1976, realizó su

posgrado en el Instituto Courant deCiencias Matemáticas de la Universidad

de Nueva York, obteniendo el PhD en1982. Desde ese año hasta 1984 estuvoen el Departamento de Matemáticas dela Universidad de Berkeley, California, entareas de posdoctorado. En 1985 obtuvoel Premio Anual del CONICIT en el área

de Matemáticas. Fue profesor de laFacultad de Ciencias de la UCV desde

1977 hasta 1991, y profesor visitante enUniversidades en España, Francia y

Alemania. Ha tenido posicionesacadémicas en la Universidad de Chicago

y en la Universidad del Estado dePennsylvania. Actualmente es Profesor

Titular en la Universidad de SantaBárbara, California. Fue conferencistainvitado al Congreso Internacional de

Matemáticos, realizado en Berlín enagosto de 1998. Obtuvo el Premio

“Lorenzo Mendoza Fleury” de FundaciónPolar en el año 1987.

Fotografía: Vladimir Sersa

Los trabajos del doctor Ponce están relacionados con el estudio de los sistemas queaparecen en la propagación de ondas, por ejemplo, la estructura de una ola moviéndoseen una dirección dentro de un canal, la evolución en el tiempo de un hilo de torbellinoo la forma de la superficie de un líquido sometido a ciertas fuerzas externas. Con estopodemos predecir la evolución del movimiento de un líquido, el cual inicialmente estárepresado y que al abrir la compuerta escapa por un canal. Dicha evolución dependeráde la cantidad de líquido y de las dimensiones del canal.

En la búsqueda de una solución a este tipo de problemas se conectan varias áreas dela matemática y la física, como son el análisis armónico y la dinámica de fluidos, conaplicaciones a modelos concretos y el diseño de códigos numéricos, los cuales modelanel comportamiento de la solución en problemas donde no han sido aún establecidosresultados rigurosos.

Según nos expresa el doctor Ponce, su interés en estos problemas es básicamenteteórico, la idea es tener la mejor descripción posible que modela el problema físico. Estonos muestra una característica muy importante del trabajo de los matemáticos. Enmuchas oportunidades el interés es totalmente teórico, el fin último es la comprensióntotal de un fenómeno determinado. Su posible aplicación es muchas veces algo delfuturo. Aún así, muchos de los grandes avances tecnológicos y científicos tienen baseen resultados matemáticos que en un principio sólo motivaron intelectualmente a suscreadores.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

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