Objetivos:

El objetivo de este proyecto es diseñar un controlador

para la antena que cumpla las siguientes características

para la salida deseada ante una entrada escalón

unitario: tiempo de estabilización menor a 3 segundos

y máximo sobreimpulso menor al 15% .

I. INTRODUCCIÓN La ingeniería de sistemas de control es un campo muy

amplio ya que esta involucra numerosas disciplinas y

numerosas funciones dentro de estas disciplinas. El

ingeniero de control puede ser encontrado en el nivel

superior de grandes proyectos, involucrado en la fase

conceptual, en la determinación o implementación de

los requerimientos totales del sistema. Estos

requerimientos incluyen las especificaciones totales de

funcionamiento del sistema, funciones de los

subsistemas, y la interconexión de estas funciones,

diseño de software y hardware, y los planes de prueba

y procedimientos.

Para analizar o diseñar un sistema de control es

necesario conocer las características de la respuesta de

dicho sistema.

Entrada y salida Un sistema de control provee una salida o respuesta

para una entrada o estimulo. La entrada representa la

respuesta deseada y la salida es la respuesta actual.

Existen dos factores que hacen que la salida sea

diferente a la entrada que son:

-La respuesta transitoria: La respuesta transitoria es

el cambio gradual que existe desde el punto de partida

de un sistema, hasta llegar a la salida deseada.

-La respuesta de estado estable: La respuesta de

estado estable es cuando un sistema físico termina su

respuesta transitoria y llega a una aproximación de la

respuesta deseada.

Todo sistema de control debe de considerar 3 grandes

objetivo de análisis y diseño del mismo.

1.- Producir la respuesta transitoria deseada

2.- Reducir el error de estado estable

3.- Lograr la estabilidad del sistema

Mas aparte debemos de preocuparnos por otras

consideraciones en el diseño de un sistema como por

ejemplo: el costo, y la sensibilidad de su

funcionamiento.

Error de estado estable: El error de estado estable no

existe solamente en los sistemas de control

defectuosos. Frecuentemente, el error de estado estable

es inherente al sistema diseñado y el ingeniero de

control debe de determinar si dicho error conduce a

una degradación significativa de las funciones del

sistema.

Estabilidad: para explicar la estabilidad

comenzaremos por el hecho de que la respuesta total

de un sistema es igual a la respuesta natural (forma del

sistema que disipa o adquiere energía) y de la

respuesta forzada (esta solo depende de la entrada).

Así podemos describir que:

Repuesta total = repuesta natural + repuesta forzada

Para que un sistema de control sea útil la respuesta

natural debe:

1.- Finalmente aproximarse a cero

2.- Oscilar

Como ya describimos las características de los

sistemas de control para su funcionamiento, tenemos

las herramientas para describir la antena de Azimuth

Introducción al Sistema de control de una Antena

Azimuth Un sistema de control de posición convierte un

comando de entrada de posición a una respuesta de

salida de posición. Los sistemas de control de posición

encuentran una amplia aplicación en antenas, brazos de

robot, manejadores de discos de computadoras.

El propósito de este sistema es tener la salida de

angulo de Azimuth de la antena øin(t) y seguir el

ángulo de entrada del potenciómetro øout(t) en la

figura 1 se describe la forma en la que funciona el

sistema. El comando de entrada es un desplazamiento

angular. El potenciómetro convierte el desplazamiento

angula en voltaje. Del mismo modo, el desplazamiento

angular de salida en convertido también en voltaje por

el potenciómetro de la trayectoria de

retroalimentación. Los amplificadores de señal y de

potencia amplifican la diferencia entre los voltajes

(entrada y salida). Esta señal amplificada de actuación

excita a la planta.

Fig.1 (Diagrame de bloques generalizado del

funcionamiento de una antena de Azimuth)

“Sistema de posición acimutal de una antena”

Octavio cervantes solorio, Alejandro Albarran Leyva, Angel de Jesus Flores Tinoco

El sistema opera de manera normal para llevar el error

a cero. Cuando

Fig.1 (Diagrame de bloques generalizado del

funcionamiento de una antena de Azimuth)

El sistema opera de manera normal para llevar el error

a cero. Cuando la entrada y salida son iguales el error

esta en cero, por lo tanto el motor no gira. El motor se

encenderá solo cuandola salida y la entrada no sean

iguales; en cuanto mayor sea la diferencia entre la

entrada y la salida, mayor será el voltaje de entrada al

motor y más rápido girara

.

II. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO.

A. Aspectos generales

Como se puede observar el sistema de control de una

antena azimut se muestra en un aspecto general en la

figura 2. Para lo cual se toman en cuenta diversos

factores físicos del sistema para intentar describir las

características como el peso las dimensiones físicas.

En este punto se puede determinar las especificaciones

de diseño como lo es la respuesta transitoria deseada y

la precisión en estado estable.

Fig.2 (Imagen de un sistema de lazo abierto para el

control de una antena de Azimuth)

En la siguiente figura se describe cualitativamente el

sistema de control de una antena azimut tomando todos

los componentes describimos un diagrama de bloques

que se muestra en la fig. 1 Este diagrama de bloques

indica funciones como lo es el transductor de entrada y

el controlador, así como las posibles descripciones de

hardware como amplificadores y motores. Ya teniendo

todos estos detalles en cuenta podemos mostrar la

siguiente figura 3. Para poder partir a la siguiente etapa

de nuestro proyecto. Que consiste en el análisis y la

obtención de un diagrama esquemático de este sistema.

Fig. 3 (Imagen del sistema de lazo cerrado o

retroalimentado y controlado de una Antena de

Azimuth)

Como ya hemos visto un sistema de control de

posición esta formado por componentes eléctricos,

mecánicos y electromecánicos ahora a partir de la Fig.

Comenzaremos despreciando algunos detalles del

sistema para que este resulte más sencillo de analizar,

ya que de otra manera seria difícil poder obtener un

modelo matemático. Si el modelo matemático resulta

muy sencillo se agregaran detalles omitidos

anteriormente.

Ahora podemos observar que se ha llegado al siguiente

diagrama que se muestra en la figura 4

Fig.4 (Diagrama Electromecánico del sistema de

control de la antena)

Se utilizan amplificadores operacionales un diferencial

y uno de potencia con ganancia k, un motor de

corriente continúa y carga equivalente producen el

desplazamiento angular de salida, la velocidad del

motor el proporcional al voltaje aplicado. También

hacemos suposiciones adicionales acerca de la carga

misma que está formada por una masa giratoria y

fricción de cojinetes. Por lo tanto el sistema cuenta con

lo siguiente inercia, amortiguamiento viscoso, par

resistivo que aumenta con velocidad. Por lo cual se

propone el siguiente diagrama de bloques.

Fig.5 (Diagrama de Bloques a partir del modelo

electromecánico)

Las funciones de transferencia de los amplificadores

están dadas en el enunciado del problema, se

desprecian dos fenómenos, primero, suponemos que

nunca se llega a saturación. Segundo, las dinamicas del

preamplificador se desprecian, porque su velocidad de

respuesta suele ser mucho mayor que la del

amplificador de potenica. Las funciones de

transferencia de ambos amplificadores están dadas en

el enunciado del problema y son el cociente de las

transformadas de lalpace del voltaje de salida divido

entre el voltaje de entrada entonces, para el

preamplificador

Y para el amplificador de potencia

Motor y carga el motor y su carga son los que siguen.

La función de transferencia que relaciona el

desplazamiento de armadura con el voltaje de

armadura esta dada por

(

)

Donde es la inercia de carga en Θm. El

amortiguamiento viscoso equivalente, en la

armadura es

(

)

Donde es el amortiguamiento viscoso en y la

resistencia de armadura , estas cantidades junto

con y se sustituyen, produciendo la función de

tranferencia del motor que relaciona el voltaje de

armadura al desplazamiento de armadura o sea

*

(

)+

Para completar la función de transferencia del motor,

multiplicamos por la reducción de engranes para llegar

a la función de transferencia que relaciona el

desplazamiento de carga con el voltaje de armadura

Con nuestra funcion de transferencia procedemos a

verificar en cuanto tiempo se estabiliza nuestro sistema

En la anterior figura podemos observar que nuestro

sistema se estabiliza en mas de 5 segundos por lo cual

pasaremos a diseñar un controlador para que se

estabilice en el tiempo que deseamos

Aplicamos el criterio de rooth para checar en que

valores de que nuestro sistema es estable

Podemos observar que para que nuestro sistema sea

estable k debe estar entre el siguiente rango

0<k<2623.29

Procedemos a encontrar el lugar geometrico de las

raices

Ahora realizaremos el calculo para la ganancia para

que nos de un maximo sobre impulso <13%

(

)

√ (

)

Con el valor de ganancia obtenido podemos observar

que el maximo sobre impulso < 15%

%Función de Transferencia

num=[226.6];

den=[1 101.71 171 226.6];

G=tf(num,den);

%Respuesta

step(G)

grid on

Una ganancia de 34.17 de un preamplificador produjo

un maximo sobre impulso < 15%, con los dos polos

dominantes de segundo orden en -0.8380+j1.24. el

tiempo de asentamiento es entonces

La funcion en lazo abierto para el sistema es

[ ]

De nuestro analizis de rooth podemos observar que

nuestro valor de =2623.29 por lo tanto la ganancia

critica =2623.29

Si s es jw tenemos

=0

√

(

)

Ya que obtuvimos nuestro P.I.D lo multiplicamos por

nuestra funcion de transferencia original y tenemos lo

siguiente

Conclusiones:

Durante el desarrollo del proyecto se modeló un

sistema de posición acimutal de una antena, para el

cual primero identificamos los subsistemas

individuales, obteniendo las funciones de transferencia

de cada subsistema, pasando posteriormente a realizar

el diagrama de bloques del sistema. Ya que obtuvimos

nuestra función de transferencia encontramos el

margen de ganancia del preamplificador necesario para

mantener estable nuestro sistema en lazo cerrado, para

ello aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz y

ubicamos el lugar geométrico de las raíces. Con la

finalidad de obtener un tiempo de establecimiento

menor a tres segundos y un sobrepaso no mayor al

13% aplicamos un control PID y comprobamos el

comportamiento en MATLAB de acuerdo a nuestros

resultados.

REFERENCIAS

[1] ”Ingeniería de sistemas de control continuo”, Isidro

I. Lázaro Castillo, Primera Edición, Universidad

Michoacana de San Nicolás de Hidalgo COECYT, FIE,

MORELIA, 2008

[2] Ingeniería de control W.Bolton 2a. Edición

editorialAlfaOmega.

[3] sistemas de control para ingeniería 3ra edición

compañía editorial continental Norma S. Nise