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8/17/2019 84985123 TX Arq Apostila Topografia

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CENTRO FEDERALDE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SÃO VICENTE DO SUL

APOSTILA DA DISCIPLINA DE TOPOGRAFIA

Prof: Rodrigo Elesbão de AlmeidaElaboração: Prof Elódio Sebem


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TOPOGRAFIA

CONCEITO DE TOPOGRAFIA

É a ciência que trata do levantamento e representação de uma superfície limitada da terra, consideradaplana.

Topografia é uma ciência aplicada, baseada na geometria e na trigonometria, de âmbito restrito. É umcapítulo da Geodesia, que objetiva o estudo da forma e dimensões da Terra. A função da Topografia é representar, no

papel, a configuração de uma porção do terreno, incluindo as benfeitorias que estão em sua superfície. Permite arepresentação, em planta, dos limites de uma propriedade e dos detalhes que estão em seu interior (cercas,construções, campos cultivados, córregos, vales, espigões, etc.). A Topografia pode descrever o relevo do solo comtodas as suas elevações e depressões representadas através de curvas de nível. Isto permite conhecer a diferença denível entre dois pontos, seja qual for a distância que os separa. Esta ciência determina o contorno, dimensão e posiçãorelativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a esfericidade da terra.

Podemos ainda dizer que a topografia se baseia em princípios matemáticos, que aplicados aos métodostopográficos, nos permitem a descrição exata de um determinado local, servindo essa descrição como base paraestudos e implantação de projetos nos respectivos locais. Portanto, temos como pontos fundamentais a observar:

1º - Que em topografia a superfície da terra é considerada plana.2º - Que através de métodos topográficos, aliados a princípios matemáticos, podemos descrever e

representar com exatidão uma porção ou parte da superfície terrestre.

IMPORTÂNCIA E APLICABILIDADE DA TOPOGRAFIA

Ao se projetar qualquer obre de Engenharia, Arquitetura ou Agronomia, é necessário o levantamentotopográfico do lugar onde a obra será implantada. Daí a importância da Topografia, que se incumbe do levantamento oumedição, que deverá ser precisa e adaptada ao terreno.

A topografia nos dá subsídios para projetos administrativos agropecuários, que vão desde a compra deinsumos e sementes até o estudo comparativo da colheita e rendimento; alocação de terraços, taipas e curvas de nível;demarcar cercas; levantar, estudar e locar traçados de estradas, redes de água e de esgoto; sistemas de irrigação e dedrenagem; terraplanagem para construção de pocilgas, estábulos, aviários, armazéns, campos de futebol, etc.;construção de açudes e barragens; bem como outros trabalhos necessários à exploração técnica-econômica de nossosrecursos naturais.

DIVISÃO DA TOPOGRAFIA

A topografia se divide em duas partes:a) Topometria: é baseada nos princípios da geometria aplicada que, através de aparelhos especiais,

estabelece as medidas lineares e angulares, capazes de bem definirem a posição dos pontos topográficos nos planoshorizontal e vertical.

Por sua vez a topometrica é subdividida em:Planimetria: responsável pela medida dos ângulos e distâncias no plano horizontal, de modo a definir

a posição dos pontos do terreno como se todos estivessem no mesmo plano horizontal, desta forma determinando ascoordenadas x e y.

Altimetria: cuida da determinação dasalturas dos pontos topográficos em relação a um plano dereferência, através de medidas no plano vertical, destaforma de terminando a coordenada z.

A posição de um ponto no espaço é conhecidaquando se determinam as coordenadas desse ponto,relativas a 3 eixos retangulares x, y e z.

Essas coordenadas são:

b) Topologia: cuida do estudo das formas do relevo terrestre e das leis de sua formação, constituindo a parteartística da Topografia, de aplicação constante na representação do relevo através das curvas de nível.


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CAMPO OU LIMITE DA TOPOGRAFIA

A topografia é a arte e a ciência que trata do levantamento e representação de uma superfície limitada daterra, considerada plana. Esta superfície da terra é limitada em virtude da curvatura natural da terra, que não poderá serrepresentada em uma projeção ortogonal sem que haja deformação de medidas lineares e quadráticas.

Desta forma denominamos campo ou limite topográfico a área limitada da superfície terrestre que pode ser

representada topograficamente, isto é, tal que seja admissível a abstração de sua curvatura natural (geoidal).Sabendo-se que o globo terrestre possui o formato que mais se assemelha a um elipsóide de revolução,

precisamos saber o limite da área em que podemos considerá-lo plano, pois este determina a área máxima de atuaçãoda topografia, visto que devemos substituir uma porção da superfície terrestre originalmente curva, denominada aqui dearco, por outra porção semelhante e reta, correspondente à tangente do arco, sem acarretar diferenças acentuadas(erros de grandes proporções), o que permite-nos utilizar, em topografia, as fórmulas da geometria e da trigonometria.

Para avaliar e determinar o limite para os levantamentos topográficos devemos considerar, as seguintesdimensões aproximadas da terra:

Diâmetro equatorial 12.756.799 m

Diâmetro polar 12.713.838 m

Raio médio da Terra 6.366.193 m ≅ 6.370.000 mAchatamento polar ≅ 43.000 mCircunferência equatorial 40.076.600 m

Circunferência polar 39.941.600 mA substituição do arco pela tangente só pode ser feita quando não há uma diferença, que denominamos de

erro, em grandes proporções. Com isso, podemos utilizar em topografia as fórmulas da Trigonometria retilínea ou plana.Faremos a seguir uma comparação entre arco e tangente, para podermos avaliar qual o limite para os

levantamentos topográficos. Salientamos que neste estudo simplificado estamos considerando a terra esférica.

Considerando-se a figura abaixo, teremos: Onde:HH’ = plano tangente a superfície da terra, suposta esférica;T = distância entre A B medida sobre o plano tangente;MN = arco da circunferência definido pelo ângulo ∝;a = comprimento do arco;c = centro da terra, supostamente esférica;∝ = amplitude angular entre os dois alinhamentos com

origem no centro da terra;CA = raio da terra (R).

Do ∆ CÂB, teremos: α tg AC AB ×= ou α tg RT ×=

Do circulo, teremos:°

×××=

360

2 α π Ra

Exemplo 1: Tomando-se por valor médio do raio da terra 6.366.193m, e uma amplitude angular ∝ = 30’, tem-se:

A distância entre AB sobre o plano tangente, para ∝ = 30’ será:T = 6.366.193 x tg 30’ = 55.556,9246 mO comprimento do arco para o mesmo ângulo, fica:

°

×××=

360

º5,0193.366.62 π a = 55.555,5143 m

Portanto, a diferença entre T e a, será: T – a = 1,4103 mEste valor é o erro devido a curvatura da terra em 55,5 Km de superfície medida.Exemplo 2 :Para ∝ = 1º, teremos:

A distância entre AB sobre o plano tangente, para ∝ = 1º será:T = 6.366.193 x tg 1º = 111.122,3122 mO comprimento do arco para o mesmo ângulo, fica:


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°

×××=

360

º1193.366.62 π a = 111.111,0287 m

Portanto, a diferença entre T e a, será: T – a = 11,2835 mSendo este o erro devido a curvatura da terra em 111 Km de superfície medida.Pelos exemplos numéricos acima, vemos que o erro torna-se progressivo, à medida que se aumenta a

distância levantada, motivo pelo qual é necessário limitar a extensão da área a ser medida.Teoricamente, fixamos o erro em até no máximo 1,40 m, onde temos uma tangente em torno de 55 Km, pois,

na prática, normalmente os levantamentos topográficos são bem menores do que esse limite, o que faz com que o errofique ainda menor.

Pela NBR 14.166/98 temos a Figura abaixo que mostra a origem do sistema topográfico local (centro) e adistância máxima a esta origem.

Exercício : Calcule a distância entre AB sobre o plano tangente (T) e o comprimento do arco (a) para osângulos (∝) de 2º e para 0o 20’ e analise o erro cometido nas medições a estas distâncias

Pela NBR 14.166/98 temos a Figura ao lado quemostra a origem do sistema topográfico local (centro) e a distânciamáxima a esta origem.

Quando se trata de um levantamento em uma faixa estreita, mas comprida, como é o caso de projetos deestradas, canais de irrigação, oleodutos, etc., faz-se uma série de planos tangentes e a planta (mapa) resultará dossucessivos rebatimentos ortogonais.

OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS

De uma maneira geral podemos dividir as operações que envolvem a topografia da seguinte maneira:Levantamento: o levantamento topográfico consiste na operação realizada no campo, percorrendo o terreno,

e pelo qual se obtém as medidas lineares e angulares que possibilitam o cálculo e representação da superfícietopográfica.

Cálculo: o cálculo topográfico na mais é do que um trabalho de escritório, com a finalidade de obtenção dascoordenadas dos pontos levantados no campo, as quais serão usadas para a confecção das plantas planimétricas ou

plani-altimétricas. Atualmente os softwares topográficos facilitaram os trabalhos de cálculo na topografia.Desenho: o desenho das coordenadas dos pontos levantados nada mais é que a operação gráfica destinada

a confeccionar a planta topográfica do terreno.Locação: a locação é a última etapa da topografia e nada mais é que a demarcação, no terreno, de pontos

importantes para o desenvolvimento das ações agropecuárias auxiliadas pelos métodos topográficos.

MEDIDAS LINEARES E ANGULARES

Os trabalhos de campo envolvidos pela topografia nada mais são do que a obtenção de elementos lineares(distâncias) e angulares (ângulos que formam figuras geométricas) entre os pontos que serão levantados.

A topografia tradicional mede as distâncias e ângulos definidas pelos pontos topográficos materializadosatravés de piquetes de madeira colocados estrategicamente no campo.

MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA

As distâncias podem ser obtidas de diversas maneiras, sendo a mais tradicional a forma direta, através dautilização de trenas ou diastímetros. Como a topografia considera a terra plana as medidas lineares feitas comdiastímetros devem ser feitas no plano horizontal como mostra a abaixo.

No caso de medidas inclinadas devemos transformá-las em horizontais para os cálculos das coordenadasplano-retangulares.

a) Ponto topográfico: É o ponto que define, no terreno, o local onde inicia ou termina uma medida linear ouangular.


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Em terrenos normais, usa-se, para materializar o ponto topográfico,um piquete de madeira que deverá ser cravado até que fiquem apenas 2 ou 3centímetros fora do solo.

Em terrenos com vegetais altos, pode-se usar uma estacatestemunha, que tem um tamanho maior e deverá ser colocada ao lado dopiquete, para facilitar a sua identificação (conforme a figura).

b) Diastímetros: É todo o instrumento utilizado na medição direta da distância. Os diastímetros usados emtopografia são:

Trenas ou fitas de linho: estes diastímetros são desaconselhados para Topografia, devido a poucadurabilidade, já que rompe-se e dilata-se com facilidade, quando em contato com a umidade do terreno.

Cadeia ou corrente de agrimensor: a corrente de agrimensor já foi um diastímetro bastante usado etem como principal vantagem a rusticidade e, como desvantagem, o peso e a pouca precisão, pois é composta de 50 a100 fuzis de metal, com, normalmente, 20 cm de comprimento cada um, ligados dois a dois por uma argola.

Fitas de aço ou fitas métricas: são diastímetros de ótima precisão, facilidade de manejo e transporteadequado. A fita de aço, consiste em uma lâmina de aço de comprimento variável e largura de 1 a 3 cm, são graduadasde cm em cm. Estes diastímetros são bastante usados, porém, têm um custo um pouco elevado.

Fio de ínvar: este diastímetro é o que representa o mais alto índice de precisão. É formado por umaliga de aço e 35% de níquel, o que o caracteriza por um baixo coeficiente de dilatação. Em números grosseiros, apenas

para estabelecer um paralelo esclarecedor, o coeficiente de dilatação do aço é de 0,00001 e o do ínvar é 0,0000004.Trena “Fiber-Glass”: este diastímetro é composto por fibras de vidro, dando-lhe uma ótima precisão,

facilidade de manejo e transporte adequado. A trena “fiber-glass” se assemelha as fitas de aço, tendo como vantagem obaixo custo. Por esse motivo, é o diastímetro mais usado em topografia, atualmente.

c) Baliza: É um elemento auxiliar para a medida da distância. Abaliza é uma haste de madeira ou de ferro, de secção circular, sextavada ouoitavada, com cerca de 2 metros de altura e de 1,5 a 2,5 cm de diâmetro, tendonuma das extremidades uma biqueira metálica pontiaguda. E para uma melhorvisão a baliza é pintada de vermelho e branco.

d) Fichas: São hastes de ferro de 40 a 50 cm de comprimento e 0,8 cm dediâmetro. São curvadas, em forma de anel, numa das suas extremidades epontiagudas na outra extremidade, para facilitar a penetração no solo.

Servem para contar o número de trenadas feitas para medir umalinhamento.

e) Maneira de medir a distância: Na medição da distância, em topografia, só vêm ao caso medidas feitassegundo o plano horizontal. A distância entre dois pontos A e B de uma superfície irregular qualquer é definida peladistância entre suas projeções A’ e B’, sobre o plano horizontal.

Procede-se da mesma forma, mesmo que a distânciaa ser medida seja maior que o diastímetro e, nesse caso, adistância total é obtida pela soma de todas as projeções.


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Exemplo de uma medida em terreno inclinado.

Podemos notar que é de grande importância medirmos corretamente as distâncias, por isso, vamos mostrar,a seguir, alguns dos erros mais comuns de ocorrerem, se não tomarmos os devidos cuidados.

f) Erros na medição direta da distância

Catenária: é o erro que aparece devido ao peso do

diastímetro. Evita-se, em parte, tensionando-se corretamente o diastímetro.

Inclinação da baliza: a baliza inclinada para trás ou parafrente é uma causa de erro, proporcional à maior ou menor falta de prumo.Evita-se em parte, procurando manter as balizas o mais vertical possível.

Inclinação do diastímetro: a falta de horizontabilidade dodiastímetro também causa uma diferença de medida. Normalmente, ocorrequando o terreno é inclinado e não se toma o devido cuidado. Evita-se o errocolocando-se o diastímetro bem na horizontal.

Erro de alinhamento: é o desvio lateral

devido ao mau balizamento, causando um diferença namedida da distância. Evita-se este erro, colocando-se asbalizas exatamente na linha reta a ser medida.

Tensão: diferentes tensões levam a diferentes resultados. Evitam-se diferenças de resultadostensionando-se correta e constantemente o diastímetro.

Temperatura: nos diastímetros metálicos, a temperatura pode influir através da dilatação. Asdilatações estão em função do material que compõem o diastímetro e da temperatura a que está sujeita.

g) Alinhamento


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Balizar um alinhamento entre 2 pontos visíveis: para balizar um ponto C, contido num alinhamentoAB, basta que o operador de A, olhando por trás da baliza, indique a posição correta para o operador de C, até que estecoloque sua baliza exatamente sobre a linha, conforme figura.

Observação: Não colocar o olho muito próximo da baliza.

Prolongar um alinhamento através de um conhecido: para se prolongar um alinhamento, bastapartir da reta, já conhecida AB e o operador que se posiciona no ponto seguinte atender ao sinal dado pelo operadorcolocado na 1ª baliza. Depois de alinhado o terceiro ponto, pode-se retirar a baliza do 1º e colocá-la na posiçãodianteira. Desta forma e, se tomarmos os devidos cuidados, podemos prolongar, até o ponto desejado, um alinhamento.

Alinhamento entre dois pontos separados por uma elevação: esse alinhamento é possível,quando atender a seguinte condição:

Devem ser colocados 2 pontos intermediários C e D, e que de C sejam visíveis os pontos D e B, e de Dsejam visíveis os pontos C e A.Atendida essa condição o alinhamento é feito, com o operador de C alinhando a baliza D em relação a B, e o

operador do ponto D alinha a baliza C em relação a A, e assim sucessivamente até que o alinhamento esteja corretotanto para o operador de C como para o operador de D.

Aí então temos um alinhamento ABCD. Veja a figura.

h) Problemas de campo que podem ser resolvidos com trena e baliza: Transposição de obstáculos: para prolongarmos um alinhamento AB, o qual é interrompido por um

prédio, é necessário que façamos outro alinhamento paralelo A’B’, e prolongá-lo até que se tenha dois vértices após o


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obstáculo (C e D). Aí, procede-se a determinação de outra paralela de volta, com as mesmas distâncias. Com isso,voltamos ao mesmo alinhamento. Veja na figura.

Medida de uma distância entre pontos visíveis, porém de difícil acesso: por exemplo, através deum rio ou pântano.

Considerando-se um alinhamento ABC, sendo que o intervalo BC é interrompido por uma região alagada,toma-se o alinhamento AB e levanta-se um perpendicular BD. Intercepta-se a perpendicular num ponto E entre oalinhamento DB do qual seja visível o ponto C. A seguir, determina-se outra perpendicular em D e obtém-se o vértice F.Logo, um operador procurará encontrar com a baliza o vértice G, contido, simultaneamente, nos alinhamentos DF e EC.

Determinados esses vértices, medem-se as distâncias BE, DE, DG e fica-se com 2 triângulos semelhantes

CEB e GED que dão a seguinte proporção: .

Exercício 1: Calcule da distância do alinhamento AC, sabendo-se que AB = 120 m, BE = 30 m, DE = 20 m eDG = 50 m. (Resposta: AC = 195 m)

Exercício 2: Calcule da distância do alinhamento AC, sabendo-se que AB = 140 m, BE = 25 m, DE = 28 m eDG = 74 m. (Resposta: AC = 206,07 m)

MEDIDAS ÂNGULARES

O ângulo é dado pela diferença de direção entre duas linhas que se encontram num ponto comum chamadovértice. A amplitude angular pode ser expressa em diferentes unidades, todas basicamente derivadas da divisão dacircunferência em várias maneiras. A unidade de medida angular mais usada na topografia é a sexagesimal em que acircunferência é dividida em 360 partes iguais, onde cada uma é chamada grau. O grau, por sua vez, é divido em 60partes iguais que recebem o nome de minutos, e o minuto é dividido em outras 60 partes iguais que recebem o nome desegundos.

Os ângulos podem ser medidos de diversas maneiras, deste a utilização de trena e balizas ou através deaparelhos topográficos chamados goniômetros.

Podemos medir os ângulos com trena e baliza através dos seguintes processos, os quais são:

a) Medida de um ângulo reto com trena e baliza:Através do teorema de pitágoras: tendo-se um alinhamento AB, e sobre qualquer ponto deste

alinhamento desejamos marcar um ângulo reto para a formação de um alinhamento perpendicular.Basta que se marque o ponto C sobre o alinhamento, e nele o operador segura o


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Diastímetro em zero e 12 m, a seguir mede-se 3 metrossobre o alinhamento e coloca-se a baliza C’, após umoperador segura o diastímetro na marca de 8 metros,tenciona de maneira igual para ambos os lados e coloca abaliza no ponto C”. Assim temos um ângulo reto C C’ C”(veja na figura).

Através do teorema das oblíquas iguais: sabe-se que as oblíquas iguais se abastam igualmente dopé da perpendicular. Logo, quando tivermos que marcar uma perpendicular a um ponto C contido no alinhamento AB,devemos determinar os pontos C’ e C”, igualmente afastados de C e contidos no mesmo alinhamento AB.

Toma-se uma trena e dois auxiliares seguram suas extremidades em C’ e C” (0 me 20 m, por exemplo). Outro operador distende,perfeitamente o diastímetro na marca correspondente ametade da trena (no exemplo 10 m) e coloca-se a baliza D.tem-se então o ângulo reto ACD ou BCD, pois C’ D = C” D.

b) Medida de um ângulo qualquer com trena e baliza:Método da bissetriz: a bissetriz é a linha imaginária que divide qualquer ângulo em dois de igual

amplitude. Desta maneira podemos proceder da seguinte maneira para medirmos um ângulo qualquer:Tendo-se um alinhamento AB e outro alinhamento BC, com o vértice em B, para conhecermos o ângulo

formado por esses alinhamentos devemos medir sobre os alinhamentos AB e BC uma distância BC’ e BC” igual. Com acriação dos pontos C’ e C” medimos a distância entre eles e dividimos a mesma ao meio obtendo-se desta forma oponto por onde a bissetriz passa. Com isso teremos a formação de dois triângulos retângulos iguais, onde poderemosutilizar as relações trigonométricas pertinente para o cálculo do ângulo.

O Figura abaixo mostra um exemplo numérico deste procedimento de campo.

m DC DC 5,3"' == e o ângulo

2

"' B BDC BDC ==

pela fórmula, sabemos que:hipotenusa

opostoCateto B=

2sen

No exemplo acima temos:

35,010

5,3"

"2

sen === BC

DC B logo: "14'2920

2 °=

B "29'5840°= B

Exercício 1: Calcule o ângulo formado pelos alinhamentos abaixo, sabendo que:

Exercício 2 : Calcule o ângulo formado pelos alinhamentos BA e BC, sabendo que:


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Calcule os demais ângulos pela lei dos senos:C

c Bb

Aa sensensen

==

Teorema dos cossenos: para determinarmos um ângulo através do teorema dos cossenos basta medirmosos três lados do triângulo formado pelos alinhamentos AB e AC, como mostra a Figura abaixo.

Sendo Â o ângulo procurado, então a fórmula fica:

Acbcba ˆcos2222 ×××−+=

)1(ˆcos2222 −××××=−− Acbcba 222ˆcos2 acb Acb −+=×××

cb

acb A

××

−+=

2

ˆcos222

No exemplo acima temos:8122

5,10812ˆcos222

××

−+= A "42'2359°= A

Observação: Podemos ainda utilizar a lei dos senos para calcular distâncias e ângulos:

C

c

B

b

A

a

sensensen ==

Exercício 1: Calcule os ângulos A, B e C dos triângulos abaixo:

c) Métodos de medida de ângulos horizontais com teodolito: O ângulo horizontal é obtido apartir da projeção dos alinhamentos num plano horizontal e dado pela diferença de suas direções. Devemosobservar que para medir corretamente um ângulo horizontal é necessário que:

O teodolito esteja perfeitamente centrado no vértice, isto é, com o centro ótico do instrumentocoincidindo com a vertical da estação materializada pelo ponto topográfico.

As balizas ou miras que sinalizam A e B esteja perfeitamente na vertical destas estações e queas visadas nestas sejam feitas nos respectivos centros de perfil.

O teodolito esteja perfeitamente retificado e nivelado, para que as medidas angulares, tantohorizontais como verticais, sejam realizadas nos respectivos planos.

Partes principais de um teodolito: Os teodolitos são goniômetros de precisão que servem paramedir ângulos de qualquer natureza, horizontais e verticais.

Essencialmente, os teodolitos são constituídos dos seguintes órgãos principais:

Base: parte inferior que serve para sustentação e fixação do instrumento na plataforma de umtripé e onde estão localizados os parafusos calantes destinados ao nivelamento da base e verticalidade doeixo vertical, também denominado de eixo principal.


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Limbo horizontal: círculo graduado em graus ou grados, solidário e normal ao eixo principal,com movimentação de rotação em torno deste eixo, o qual é controlado por um parafuso de pressão e outrode chamada ou diferencial, sendo este movimento chamado de movimento geral.

Alidade: coroa circular concêntrica ao limbo horizontal, na qual está gravado um vernier, comdois montantes que suportam um eixo horizontal ou secundário normal ao eixo principal e em torno do qualgira a luneta; da mesma forma que o limbo horizontal, a alidade possui movimento de rotação em torno doeixo principal, dito movimento particular, o qual é controlado por dois parafusos, o de pressão e o de

chamada. Limbo vertical: coroa circular graduada solidária ao eixo secundário em uma de suas

extremidades e disposta normalmente a este eixo. Ao girar em torno do eixo secundário, a luneta arrasta ocírculo vertical em torno de um vernier concêntrico ao limbo, sendo este movimento controlado porparafusos de pressão e de chamada.

Níveis de calagem: são níveis de bolha montados na base, no plano da alidade e na lunetacom a finalidade de acusar a verticalidade do eixo principal e a horizontalidade do eixo secundário.

Microscópios de leitura: existentes apenas nos teodolitos ópticos para leitura de ânguloshorizontais e verticais no mesmo campo visual da luneta.

a) Medida de ângulo no campo com teodolito reiterador: O teodolito reiterador é o aparelhoque apresenta um dispositivo (parafuso de zeragem) que nos permite girar o limbo, sem que o aparelho se

mova.Devido a essa característica, podemos obter o ângulo pelos métodos:Método simples: para obter um ângulo simples com o teodolito reiterador, devemos executar os

seguintes passos e observar a ordem de execução conforme estamos enumerando:- Centrar o aparelho.- Nivelar o aparelho.- Visar a balisa de ré.- Zerar o aparelho.- Visar a balisa de vante.- Ler o ângulo simples.

Método de reiteração: o método de reiteração consiste em medir um ângulo mais de uma vez, ecada medição dever ser feita em partes diferentes do limbo, buscando, com isso, atenuar o erro de divisãodo limbo, caso haja.

Para se obter o ângulo, visa-se o ponto A, com o limbo emuma determinada posição. Após, visa-se o ponto B e faz-se a leitura,que deve ser subtraída da leitura inicial, para obter-se o ângulo nº 1.Volta-se ao ponto A e coloca-se o limbo em outra posição e, assim,sucessivamente, até que se tenha um bom número de leituras.

O ângulo entre os alinhamentos OA e OB ficará determinado pela média entre as leituras obtidas.Veja o desenho ilustrativo.

Exemplo: Medida de um ângulo AÔB, pelo método de reiteração, com as seguintes leituras:

Estação Visada Leitura DiferençaA L1i = 20º 16’ 3

ˆ 321 L L L BO A ++=

B L1f = 41º 20’L1 = 21º 04’

A L2i = 115º 59’ AÔB =

B L2f = 137º 04’L2 = 21º 05’

A L3i = 272º 33’B L3f = 293º 38’

L3 = 21º 05’

Exercício: Calcule o ângulo de reiteração, conhecidas as seguintes leituras:


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Estação Visada Leitura Diferença

A L1i = 38º 10’

B L1f = 77º 36’A L2i = 125º 15’B L2f = 164º 42’A L3i = 185º 37’

B L3f = 225º 04’

b) Medida de ângulo no campo com teodolito repetidor: O teodolito repetidor é o aparelho queapresenta um parafuso de fixação do limbo, permitindo, com isso, que o limbo gire junto com o aparelho,portanto, ser marcar ângulo.

Devido a essa característica, podemos obter o ângulo pelos seguintes métodos:Método simples: para obter um ângulo simples com o teodolito repetidor, devemos executar, na

ordem que apresentamos os seguintes passos:- Centrar o aparelho.- Nivelar o aparelho.- Zerar o aparelho e fixar o limbo.

- Visar a balisa de ré e soltar o limbo.- Visar a balisa de vante.- Ler o ângulo simples.

Método de repetição: a medida de um ângulo pelo método de repetição consiste em medir váriasvezes o mesmo ângulo, tomando como origem de cada arco o extremo do anterior. Em outras palavras,podemos dizer que é a obtenção acumulada de várias leituras, sendo posteriormente, feita uma média parao conhecimento do ângulo.

A maneira de obter o ângulo de repetição, consta do seguinte:Coloca-se a graduação do teodolito em Zero e visa-se o

ponto A. Solta-se o limbo e visa-se o ponto B, obtendo-se assim aL1. Fixa-se novamente o limbo e volta-se para o ponto A onde sesolta o limbo e visa-se o ponto B, obtendo-se L2. E assim,

sucessivamente. Veja no desenho ilustrativo:

3ˆ 3 L BO A =

Não há necessidade de se fazer, na prática, todas as leituras. Faz-se a zeragem no ponto A e aleitura final (Ln) em B. O número de leituras pode variar desde duas (chamado ângulo duplo) até n leituras,e o valor será:

n L BO A n=ˆ

Ao efetuar a leitura Ln, deve-se levar em consideração o número de vezes passadas pelo valor 0ºe mais a leitura final.

Exemplo: Fez-se cinco leituras de um ângulo, primeira visada 0º e L5 = 120º 30’ 40” sendo que sepassou duas vezes pela leitura 0º, logo:

L5 = (360º x 2) + 120º 30’ 40” ∴ L5 = 840º 30’ 40”

Ô = L5 / 5 ∴ Ô = 840º 30’ 40” / 5 ∴ Ô = 168º 06’ 08”

Exercício: Fez-se três leituras de um ângulo, sendo a primeira visada 0º e L3 = 355º 25’ 30”. Qualé o ângulo de repetição?

8 ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS


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Os ângulos topográficos, sempre são planos, podendo ser obtidos no plano horizontal ou no planovertical.

Os ângulos topográficos no plano horizontal são os mais importantes em topografia, e podem serdivididos em ângulos geométricos e ângulos geográficos.

Os valores destes ângulos são ditos observados, quando forem medidos diretamente no campo, ecalculados, se deduzidos de modo indireto, pelo cálculo.

a) Ângulos geométricos: são os ângulos que nos dão a condição de conhecer as formas edimensões da porção levantada e são divididos em três grupos, conforme a maneira de obtê-los, mostradosna Figura a seguir:

Ângulos internos: a amplitude de um ângulo interno varia de 0º a 360º e é dada peladiferença de direção de dois alinhamentos, em que o vértice é o encontro dos dois, possuindo o arcovoltado para dentro da poligonal. Este método é o mais usado, quando vamos medir uma poligonal fechada.

O método é simples de ser executado e oferece condições de reversão de seu fechamento, isto é,após ter-se medido todos os ângulos internos. O somatório dos ângulos internos de um polígono fechadodeverá ser igual ao valor dado pelo fórmula:

ΣAi = 180º (n-2)

Onde:ΣAi = somatório dos ângulos internos.n = é o número de vértices da poligonal(n-2) = número de triângulos formados por um poligonal fechada180º = somatório dos ângulos internos de um triângulo qualquer.

Toda a diferença que for encontrada é denominada de erro, que terá, em poligonais fechadas, o

limite máximo permitido dado pela fórmula:T = p n

Onde: T = tolerância de erro admitida.p = é a precisão do aparelho usado.n = é o número de vértices da poligonal.

Exemplo: Foi levantada uma poligonal com 9 vértices. Somados os seus ângulos internos, obteve-se o valor de 1260º 02’ 20”.

Pela fórmula Σ Ai = 180º(9-2), temos 1260ºLogo o erro é de 2’ 20”Sabendo que a precisão do aparelho é de 1’, o limite máximo permitido de erro é T = 1’ 9 ,

portanto T = 3’.

O levantamento está dentro da tolerância de erro admitida para o levantamento executado.

Ângulos externos: a amplitude de um ângulo externo varia de 0º a 360º e é dado peladiferença de direção de dois alinhamentos em que o vértice é o encontro dos dois, possuindo o arco voltadopara fora da poligonal.

As condições de fechamento em poligonais fechadas são dados pelo somatório angular que deveser igual ao valor dado pela fórmula:

ΣAe = 180º (n+2)

Onde: ΣAe = Somatório dos ângulos externos.n = é o número de vértices levantados.


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Este método é o mesmo usado nos levantamentos topográficos em geral.

Então temos: ΣAi = 180º (n – 2) ΣAe = 180º (n + 2)

EXERCÍCIO:Uma figura apresenta 5 lados. Pergunta-se quantos ângulos internos ela possui, e

qual o somatório desses ângulos internos.

Uma poligonal medida a campo apresentava 13 lados, pergunta-se: qual osomatório dos ângulos internos?

Obs: O assunto a seguir é ÂNGULOS DE DEFLEXÃO. Em aula será dada apenas uma breveexplanação do assunto e o aluno que demonstrar interesse deve procurar complementação do conteúdo nabibliografia.

Ângulos de deflexão: o ângulo de deflexão é formado pelo prolongamento de um lado dopolígono com o lado seguinte, cujo encontro de seus alinhamentos forma o seu vértice.

A deflexão varia para a direita (D) ou para a esquerda (E), dependendo da direçãoque toma o lado seguinte. Convenciona-se que a deflexão é paraa direita ou para a esquerda, quando o observador, colocadosobre o lado que será prolongado e olhando o prolongamento, vêo lado seguinte à sua direita ou à sua esquerda.

A amplitude do ângulo de deflexão varia de 0º a 180º. O uso da deflexão é mais comum empoligonais abertas, porém pode ser usado em poligonais fechadas.

Para verificarmos se as deflexões estão corretas em poligonais fechadas, basta somar asdeflexões à direita e as deflexões à esquerda, separadamente, e subtrair a maior da menor e o resultadotem que ser igual a 360º.

Exemplo: Calcule o erro cometido no levantamento da poligonal fechada abaixo:

Vértice Deflexões1 110º 10’ 20” D2 93º 15’ 10” E3 15º 20’ 10” E4 105º 10’ 20” D5 142º 20’ 40” D6 110º 54’ 00” D

Cálculo:

Conclusão:

Exercício 1: Calcule o erro contido no levantamento da poligonal fechada abaixo:

Vértice Deflexões1 78º 15’ 20” E2 85º 20’ 40” E3 64º 25’ 20” D4 115º 10’ 20” E5 54º 25’ 20” D6 69º 15’ 40” E7 130º 49’ 40” E


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b) Ângulos Geográficos: ao confeccionar uma planta topográfica, oriunda de dados levantados nocampo, através de ângulos e distâncias, embora tais dados nos forneçam as formas e dimensões corretasda região levantada, torna-se necessário ter-se um ponto de referência, relativamente imutável, no qualvamos basear nossas operações.

Em topografia usamos como referência a linha norte-sul, chamada linha meridiana. Para issodevemos determinar.

Azimute: em topografia, Azimute é o ângulo formado a partir do Norte (Verdadeiro ouMagnético) até o alinhamento considerado, ângulo este medido sempre no sentido positivo, ou seja,no sentido dos ponteiros do relógio. A amplitude do Azimute varia de 0º a 360º.

Azimute Magnético: é quando o meridiano considerado é determinado através de bússola,instrumento que dá a linha que une os pólos magnéticos da terra. O Azimute Magnético varia de lugar paralugar e no mesmo lugar, conforme a época.

Azimute Verdadeiro: é quando o meridiano considerado é determinado por processosastronômicos que fornecem a linha a qual une os pólos verdadeiros da terra.

Azimute Recíproco: é o azimute relativo ao sentido contrário de um mesmo alinhamento, isto é,parte-se de uma mesma origem, mas conta-se no sentido contrário aos ponteiros do relógio. É tambémchamado de Contra-Azimute.

Declinação Magnética: é a diferença entre AzimuteVerdadeiro e Azimute Magnético. A declinação magnética é leste,quando o norte magnético está a leste do norte verdadeiro e

oeste, quando o norte magnético está a oeste do norteverdadeiro.

Cálculo do azimute no sentido anti-horário em poligonal fechada: em um levantamento porcaminhamento, geralmente, mede-se os ângulos do polígono pelo método dos ângulos internos e nosentido positivo. Sendo que o Azimute do primeiro alinhamento deve ser obtido no campo e os demaispoderão ser calculados, através de fórmulas que estudaremos a seguir.

Az n-1 + Ai n < 180º

Posso dizer:

Az2 = Az1 + Ai2 + 180º

ou

Azn = Azn-1 + Ain + 180º

1º Caso:


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Az n-1 + Ai n > 180º

Posso dizer:

Az3 = Az2 + Ai3 - 180º

ou

Azn = Azn-1 + Ain - 180º

Portanto, para calcularmos o Azimute, basta que tenhamos o Azimute anterior e ângulo interno,como vimos na explicação gráfica, e a fórmula geral fica:

°±+=−

1801 nnn Ai Az Az

Usando (+) quando a soma do Azn-1 + Ain for menor do que 180º e usando (-)

quando a soma do Azn-1 + Ain for maior do que 180º.Exemplo: Vértices Ângulos Internos Azimutes Calculados

1 92º 23’ 70º 10’2 55º 10’3 32º 27’

Soma xxxxxxxxxx

Azn = Azn-1 + Ain ± 180º

Az2 = Az2-1 + Ai2 + 180º = 70º 10’ + 55º 10’ + 180º ∴ Az2 = 305º 20’

Para saber se os Azimutes calculados estão certos, basta somar o último azimute calculado ao

primeiro ângulo interno compensado e somar ou subtrair 180º. O valor, assim obtido, deve ser igual aoprimeiro Azimute lido no campo.

No exemplo Prova: 157º 47’ + 92º 23’ - 180º = 70º 10’Portanto, o cálculo dos Azimutes está correto.

Exercício: Calcule os azimutes no sentido anti-horário, conhecidos os ângulos internos de umapoligonal fechada.

Vértices Âng. Internos Comp. Azimutes Calculados.1 178º 02’ 50” 92º 00’ 00”2 70º 28’ 15”3 76º 21’ 40”4 138º 46‘ 25“5 76º 20‘ 50“

2º Caso:


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No quarto quadrante, o rumo parte do norte e vai até o alinhamento, nosentido anti-horário. Portanto, se somarmos o rumo ao azimute, teremos360º.Assim: R = 360º - Az NW e

Az = 360º - R

Exemplos:

1. Se o rumo de um alinhamento é 47º NW, o azimute é de 313º (360º - 47º).2. Se o azimute de um alinhamento é de 350º, o rumo é de 10º NW (360º - 350º NW).

Exercício 1: Calcule os Rumos dos Azimutes abaixo e represente-os nos espaços abaixo:a) Az = 320º 10’ 20”___________________b) Az = 55º 15’ 30”___________________

c) Az = 154º 10’ 40” ___________________d) Az = 225º 30’ 40”__________________

e) Az = 32º 10’ 45” ___________________ f) Az = 85º 15’ 30”___________________

g) Az = 254º 10’ 40” ___________________h) Az = 285º 30’ 40”___________________

N

EW

S

0°

90°

180°

270°

N

EW

S

N

EW

SN

EW

S

N

EW

S


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Exercício 2 : Calcule os Azimutes dos Rumos abaixo:

a) R = 74º 10’ 15” SW_________________b) R = 45º 10’ 36” NW_________________

c) R = 25º 30’ 40” SE _________________ d) R = 65º 30’ 50” NE__________________

e) R = 74º 10’ 15” SW_________________f) R = 45º 10’ 36” NW_________________

g) R = 25º 30’ 40” SE ______________ g) R = 65º 30’ 50” NE _______________

9 MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO

a) Irradiação ou coordenadas polareas: Descrição do Método: O método de irradiação consiste em unir um ponto chamado de

estação a todos os vértices do polígono topográfico a ser levantado através do ângulo horizontal e dadistância.

Escolhida a estação, zera-se o aparelho no vértice 1 do polígono e determina-se o azimute do 1ºalinhamento (estação ao 1º vértice). Mede-se, também, a distância da estação ao 1º vértice. Segue-semedindo os ângulos horizontais e as distâncias, em todos os vértices do polígono.

Escolha da Estação: O local da estação deve ser um ponto onde sejam visíveis todos osvértices do polígono.

N

EW

S

N

EW

S

N

EW

S

N

EW

S


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A estação pode estar dentro oufora do polígono, podendo, também,coincidir com um vértice deste. Porém,quando a estação for fora do polígono, olevantamento se torna mais trabalhoso,conforme figura:

Orientação da Planta: Para a orientação, usa-se determinar o azimute do 1º alinhamento.Para os alinhamentos restantes, basta somar os respectivos ângulos ao 1º azimute, já que ambos sãomedidos no sentido horário.

Vantagem do método: É um método que oferece uma precisão muito boa, quandotomamos os devidos cuidados no levantamento.

- As operações de campo são bastante simples.- Quando a área é plana e com vegetação baixa, pode se tornar um método rápido, já que o

aparelho só é instalado em uma única estação.

Desvantagem: É um método usado em área com vegetação de pequeno porte, devido aoproblema de visibilidade.- Usando aparelhos óticos, o método só é usado para pequenas áreas.- A maior limitação do método é com referência às distâncias que são independentes dos ângulos.

Logo, se houver erro de leitura ou de anotação, esse erro não aparece no momento do cálculo e, com isso,irá interferir na área.

Cálculo da área: Os métodos de cálculo da área mais utilizados são: o Gráfico, oMecânico, o Trigonométrico e o Analítico. Sendo o gráfico e o mecânico métodos expeditos (aproximado,pouco preciso) não os utilizaremos.

Quando os dados foram obtidos por irradiação, o método de cálculo mais usado é oTrigonométrico, o qual passaremos a estudar.

Cálculo Trigonométrico: Observem que, nesse caso, todo o polígono fica dividido em triângulos eque a área do polígono ficará determinada pela soma da área de todos os triângulos que o compõem. Aindapodem observar que, de cada triângulo, temos como elementos conhecidos, pelas medições executadas nocampo, os seus dois lados e o ângulo formado pela diferença de direção dos mesmos. Portanto, podemosdeduzir que:

2

h B A

×= (1)

em que:

1

ˆsenlhO = ∴ Olh ˆsen1 ×= (2)

Substituindo 2 em 1, temos:

2

ˆsen21 Oll A ××

= Fórmula Geral

Exemplo: Cálculo da área do levantamento abaixo, cujos dados forma obtidos pelo método deirradiação (Caderneta de Campo).


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Vértice Ângulo Horizontal Âng. Interno (Ô) Distância (m) Área (m²)1 00º 00’ 00” 75º 30‘ 40“ 54,00 1.241,71162 75º 30‘ 40“ 45º 00‘ 10“ 47,503 120º 30‘ 50“ 52,104 200º 10‘ 15“ 65,205 285º 15‘ 40“ 59,30

Área do Polígono =

- Cálculo dos ângulos internos:Ô1 = Ah2 – Ah1 Ô2 = Ah3 – Ah2 Ô1 = 75º 30‘ 40“ - 00º 00’ 00” Ô2 = 120º 30‘ 50“ - 75º 30‘ 40“Ô1 = 75º 30’ 40” Ô2 = 45º 00’ 10”Ô3 = Ah4 – Ah3 Ô4 = Ah5 – Ah4 Ô3 = 200º 10‘ 15“ - 120º 30‘ 50“ Ô4 = 285º 15‘ 40“ - 200º 10‘ 15“- Cálculo da área dos triângulos:

D2 x d1 x sen Ô1 47,50 x 54,00 x sen 75º 30’ 40”A ∆ 1 = 2

∴ A ∆ 1 = 2

A ∆ 1 = 1.241,7116 m²

Cálculo analítico: Para o cálculo da área levantada por irradiação, pelo método analítico, devemosprimeiramente conhecer as projeções x e y de cada alinhamento em relação ao eixo cartesiano cuja origem(0,0) geralmente é a estação em que foi instalado o aparelho.

Estas projeções são calculadas pelas seguintes expressões:

A A Az A X X 00 sen0 ×+= A A Az AY Y 00 cos0 ×+=

Deve ser observado que para os alinhamentos nosentido leste, a abscissa é positiva (azimute menor que 180º ourumo NE e SE) e negativa no sentido oeste (azimute maior que180º ou rumo NW e SW), enquanto no sentido do norte aordenada é positiva (azimute menor que 90º e maior que 270ºou rumo NE e NW) e negativa se no sentido sul (azimute entre90º e 270º ou rumo SE e SW), como indicado na figura.

Vértice Âng.Horizontal

Âng. Internos Azimutes Dist. (m) Absc. Orden.

1 00º 00’ 00” 75º 30‘ 40“ 35º10‘00“ 54,00 + 31,10 + 44,14

2 75º 30‘ 40“ 45º 00‘ 10“ 47,503 120º 30‘ 50“ 79º 39‘ 25“ 52,10

4 200º 10‘ 15“ 85º 05‘ 25“ 65,10

5 285º 15‘ 40“ 74º 44‘ 20“ 59,10

Conhecidas as coordenadas polares, podemos, então, calcular a área pelométodo dos determinantes.


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Coordenadas

Abscissas Ordenadas( y . x) - (x . y)

(y.x) + (-x.y)Área =

2=

m²Exercício : Calcular a área, pelo método analítico, de um polígono medido por

irradiação.Vértice Âng. Horizontal Azimutes Dist. (m) Absc. Orden.

1 00º 00’ 00” 245º 20‘ 45,10

2 64º 20‘ 30“ 52,403 123º 15‘ 15“ 74,254 175º 40‘ 20“ 62,405 230º 50‘ 50“ 35,206 300º 25’ 25” 48,25

Exercício: Calcule a área com os dados levantados à campo pelo método de irradiçãoVértice Ângulo Horizontal Ângulo Interno Distância (m) Área (m2)

1 0o 00’00” 100

2 65o 40’50” 140

3 170o 50’00” 180

4 210o 30’00” 220

5 280o 15’20” 160


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De outra área levantada por irradiação calcule os azimutes:Vértice Ângulo Horizontal Ângulo Interno Azimutes

1 0o 00’00”

2 85o 30’50”

3 170o 40’ 45” 23o 20’20”

4 240o 18’00”

5 310o 15’20”

b) Caminhamento perimétrico ou poligonação: O caminhamento perimétrico pode ser:Fechado, Aberto Apoiado ou Aberto Independente.

Caminhamento Fechado: É feito pela ligaçãosucessiva de pontos, constituindo um polígono, pois inicia-seem um determinado ponto e vem terminar neste mesmo ponto.Entre os alinhamentos, se obtêm os ângulos internos, lidos nosentido dos ponteiros do relógio. É raro usar ângulos dedeflexão.

Nos caminhamentos abertos (apoiados ou independentes), usa-se normalmente, o método dasdeflexões.

Caminhamento Aberto Apoiado: Ocorre quandose apresentar como uma linha poligonal geometricamenteaberta, mas iniciada e terminada em pontos topográficos ougeodésicos definidos.

Caminhamento Aberto Independente: Quando apoligonal se iniciar em um vértice conhecido ou não e terminaronde não há vértice previamente determinado.

Aplicação do método de caminhamento: É o método mais usado para levantamento deárea. Independe do tamanho da área, desde que dentro dos limites da topografia.

Quanto a visibilidade, é suficiente que se aviste sempre de um vértice ao outro. Quando o intervaloentre dois ou mais vértices estiver coberto por vegetação de médio e grande porte, é necessário que se façauma limpeza no referido alinhamento. Quando oslimites não forem compostos por alinhamentos retos,no caso de rios e córregos, se faz uma poligonal comuma série de alinhamentos retos, próximos dasanga. Ocorre com isso um intervalo entre apoligonal e

o rio. Traçam-se ordenadas, que são medidas em ângulo reto ou não, desde a poligonal até as divisas dasanga as quais dão condições para o cálculo da área extra-poligonal (área fora ou dentro do polígono).Vantagens do método:

- É um método aplicado para grandes e pequenas áreas.- É usado tanto em regiões cobertas como em regiões que apresentam boa visibilidade.- É um método simples, pois consiste apenas na medida de ângulos internos e distâncias entre os

vértices.- É o método que oferece maior precisão, pois tanto os ângulos como as distâncias obedecem a

rigoroso critério de fechamento, o que não ocorre com o método anteriormente estudado.


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Desvantagens:- Há necessidade de percorrer todo o perímetro do terreno com os instrumentos topográficos.- Há pouca escolha quanto ao local de trabalho.- Os cálculos e desenhos só poderão ser iniciados após todos os vértices da poligonal serem

levantados.

Cálculo da área: O cálculo da área, quando os dados forem obtidos por caminhamento

perimétrico, é feito pelo método Analítico, o qual permite comprovarmos a precisão do levantamento.

Cálculo analítico: O cálculo analítico é baseado na geometria analítica.Por ser um cálculo extenso, vamos estudá-lo parceladamente, coluna por coluna. Assim vejamos:1ª e 2ª colunas: São as colunas onde anotamos as estações visadas (Est. e Est. Visadas).3ª e 4ª colunas: São as colunas onde anotamos os ângulos internos lidos e compensados.

Conforme estudado anteriormente, sabemos que:A soma dos ângulos internos deverá ser igual a 180º(n-2). A diferença encontrada chamada de

erro, o qual deverá ser menor ou igual a tolerância, que é determinada por T = 1’ n , sendo n o número devértices.

Estando o levantamento dentro do limite de tolerância, devemos compesar os ângulos lidos. Nacompensação, corrigimos, no máximo 1º em cada vértice, sempre nas menores distâncias. Se o erro foipara menos, devemos somar e, se o erro foi para mais, devemos subtrair.

5ª coluna: É a coluna onde anotamos os Azimutes calculados, conforme estudado anteriormentesabemos que:

O primeiro Azimute é determinado no campo e, para calcular os demais, usamos a seguinte

fórmula: Azn = Azn-1 + Ain ± 180º. A prova do cálculo poderá ser feita, somando-se o último Azimute

calculado com o primeiro ângulo interno compensado ± 180º e o resultado deverá ser igual ao primeiroazimute determinado no campo.

6ª coluna: É a coluna dos Rumos calculados a partir dos Azimutes.Basta, portanto, observarmos o quadrante em que se encontra o Azimute e aplicarmos as

fórmulas:1º quadrante: R = Az NE

2º quadrante: R = 180º - Az SE3º quadrante: R = Az - 180º SW4º quadrante: R = 360º - Az NWPara termos certeza de que o cálculo está correto, basta que, obtidos os Rumos, façamos o

cálculo dos Azimutes a partir desses Rumos. O resultado, logicamente, deve ser igual aos Azimutes jáconhecidos.

7ª e 8ª coluna: São as colunas onde se anotam as funções seno e coseno do Rumo.9ª coluna: É a coluna em que anotamos as distâncias obtidas no campo as quais deverão ser

somadas, pois esse valor vai ser usado no cálculo do erro por quilômetro.10ª, 11ª, 12ª e 13ª colunas: São as colunas das projeções calculadas.Antes de entrarmos na parte prática, vamos fazer um breve estudo sobre as coordenadas e sobre

as projeções.

Cálculo das coordenadas: Consiste em locar pontos principais do polígono levantado, pelassuas coordenadas referidas a um sistema de eixos coordenados retangulares ou cartesianos.

O eixo y é dado pela direção NS e o eixo x pela direção EW.

→ Ordenadas: a ordenada de um ponto é a distância desse ponto ao eixo x; mede-seseguindo a linha Norte-Sul.

→ Abscissas: a abscissa de um ponto é a distância desse ponto ao eixo y; mede-seseguindo a linha Este-Oeste.


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→ Projeções dos Alinhamentos: a diferença algébricaobtida, subtraindo da ordenada do fim de uma linha a ordenada de origemda mesma, será a projeção desta linha sobre o eixo y. Do mesmo modo, aprojeção de uma linha sobre o eixo x, obter-se-ia fazendo a diferençaalgébrica entre as abscissas do fim e da origem dessa linha. Veja na figura:

Deve-se notar que o minuendo é a ordenada ou a abscissa do fim da linha e o subtraendo é aorigem e que a subtração é algébrica.

Assim, a projeção AB sobre o eixo y será:Y = KB – HA = HD – HA = DA, sendo KB a ordenada do fim do alinhamento AB e HA a ordenada

do início do alinhamento.Sobre x, será:X = K’B – H’A = K’B – K’D = DB, sendo K’B a abscissa do fim do

alinhamento AB e H’A a abscissa do início do alinhamento.Observa-se que qualquer linha, como AB, por exemplo, é a hipotenusa de

um triângulo retângulo, cujos catetos são as projeções sobre o eixo x e y.

Sendo l o comprimento e R o rumo, teremos:y = l x cos R;x = l x sen R, observando sempre os sinais que serão indicados pelas letras do rumo.

Quando tivermos y e x, calcula-se R pela fórmula: Tg R = x / yCalcula-se a distância por qualquer das fórmulas seguintes:

x xl =

sen Rl =

cos Rl = 22 xy +

Devemos observar, ainda, que:A soma algébrica das projeções dos lados (x e y) de um polígono fechado em relação ao eixo é

zero. Portanto, se não for igual a zero, a diferença representa o erro cometido.Esse erro será dado na forma de projeção x (Ex) e na forma de projeção y (Ey), o que nos permite

calcular seu comprimento pela fórmula c conforme vimos, sendo EL o erro linear.

Devemos, ainda, observar que a tolerância é dada em metros por quilômetro, conforme o CREAdetermina.

Para terrenos planos: T = 1 m/Km de perímetro.Para terrenos semi-planos: T = 2 m/Km de perímetro.Para terrenos ondulados: T = 3 m/Km de perímetro.Por isso é que, após encontrado o comprimento do erro, nós o comparamos com a quantidade de

Km do perímetro do polígono medido. Assim:EL

EK=l

Sendo EK o erro por Km (a soma da 9ª coluna, transformada em Km).Caso o erro seja menor ou igual à tolerância, consideramos o levantamento como sendo correto, e

devemos realizar as correções das projeções.

14ª e 15ª colunas:A correção deve ser proporcional ao comprimento da Projeção. Assim, para o cálculo da correção

de cada projeção, procedemos da seguinte maneira:Calculamos o coeficiente de erro a ser corrigido em cada metro de projeção, isto é, divide-se o EX

pelo somatório em módulo das projeções em x.Tendo encontrado o coeficiente de correção x, multiplica-se por cada projeção, encontrando assim

a correção deste eixo, e o sinal de todas as correções serão contrárias ao erro.Procedemos da mesma maneira para determinar as correções de y.Observação: somando-se todas as correções Cx e Cy, devemos encontrar um valor igual ao erro x

e y com sinal contrário, respectivamente.


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16ª e 17ª colunas: São as colunas de projeções compensadas.Para compensar as projeções, basta realizar a soma algébrica da projeção calculada e da

correção respectiva, conferindo, no final, a soma sobre cada eixo, para termos certeza de que deu zero, ouseja, as projeções estão corretas.

18ª e 19ª colunas: São as colunas das coordenadas.É através das coordenadas que podemos marcar os vértices sobre o sistema de eixos

cartesianos.

→ Abscissas: a abscissa de um ponto é a distância desse ponto ao eixo y. Esta distância émedida segundo a linha Este-Oeste.A abscissa do fim de um lado é igual a soma algébrica da abscissa da origem desse lado e da

projeção do mesmo lado.Observamos que a abscissa do 1º vértice pode ser qualquer valo, porém, o mais comum darmos o

valor zero.É fácil notar que a segunda abscissa será zero mais o valor da primeira projeção e que a terceira

será o valor da segunda abscissa mais o valor da segunda projeção. E, assim, até o final.Dando o valor zero para a primeira abscissa, teremos o valor da última abscisas igual à última

projeção, porém, de sinal contrário.É fácil observar que a afirmativa é correta, pois, se somamos a última abscissa e sua projeção,

termos o valor zero que foi o valor usado inicialmente.

Observação: o cálculo das ordenadas segue exatamente o mesmo roteiro do cálculo dasabscissas. Só que para o eixo y.

20ª, 21ª e 22ª colunas:

→ Cálculo da área: Todo cálculo da área de um polígono,pelo método analítico, fica restrito ao cálculo da área dos triângulos etrapézios formados pelo polígono, que poderão ser positivos ounegativos, isto é, formam-se dentro ou fora do polígono, respectivamente.

Observemos o gráfico:Veja que a área do polígono acima fica conhecida pela soma

algébrica dos triângulos ABB’, ADD’ e pelos trapézios B’BCC’, C’CDD’.

Para análise, tomemos por exemplo somente o trapézio formado pelo lado BC (B’BCC’).A área do trapézio será a abscissa do ponto médio multiplicada pela projeção y do lado BC. A

abscissa de B mais a abscissa de C assim: (BB’ + CC’)/2 = PP’ que multiplicado por B’C’, dará a área dotrapézio.

A = PP’ x B’C’BB’ + CC’

A =2

x B’C’ ou ainda 2A = (BB’ + CC’) x B’C’

Para apressarmos o cálculo, preferimos optar pela obtenção da dupla área. Para isso, bastacalcularmos:

→ As duplas abscissas (20ª coluna): são obtidas pela soma algébrica das abscissas dospontos, que terá como somatório o dobro do somatório das abscissas, o que serve de prova para o seucálculo.

→ As duplas áreas (21ª e 22ª colunas):1ª - Na multiplicação, o sinal resultante nos indica se a área é a somar (está dentro do

polígono) ou se é a subtrair (está fora do polígono).2ª - A área será obtida pela soma algébrica do resultado das colunas a somar e a subtrair,

dividido por 2.3ª - A regra aplicada para os trapézios segue a mesma do caso de triângulos.


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23ª 24ª e 25ª colunas: São as colunas utilizadas para ocálculo das duplas áreas negativas, que servem de teste para oscálculos das duplas áreas positivas.

As duplas áreas negativas são obtidas pelo produto da duplaordenada pela projeção x do lado considerado.

Veja que área negativa será dada pela soma algébrica dostriângulos ABB”, ADD” e pelos trapézios B”BCC”, C”CDD”.

BB” + CC”A = PP” x B”C” PP”=

2BB” + CC”

A =2

x B”C” ou ainda 2A = (BB” + CC”) x B”C”

É importante observar que a área negativa deverá ser igual à área positiva. Logicamente, de sinalcontrário. Veja, a seguir, um exemplo numérico.

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ªElementos ÂngularesÂngulos Internos

ã

o

P

o n t o

V

i s a d

Lidos Compensados

Azimutes

Calculados

Rumos

Calculados1 7-2 93º 13’ 00” 93º 13’ 00” 170º 00‘ 00“ 10º 00‘ 00“ SE2 1-3 171º 12‘ 00” 171º 12‘ 30” 161º 12‘ 30“ 18º 47‘ 30“ SE3 2-4 225º 12‘ 15“ 225º 12‘ 15“ 206º 24‘ 45“ 26º 24‘ 45“ SW4 3-5 106º 09‘ 20“ 106º 09‘ 20“ 132º 34‘ 05“ 47º 25‘ 55“ SE5 4-6 117º 42‘ 00“ 117º 42‘ 00“ 70º 16‘ 05“ 70º 16‘ 05“ NE6 5-7 100º 49‘ 30“ 100º 49‘ 30“ 351º 05‘ 35“ 8º 54‘ 25“ NW7 6-1 85º 41‘ 25“ 85º 41‘ 25“ 256º 47‘ 00“ 76º 47‘ 00“ SW

899º 59’ 30" 900º 00’ 00”

7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ªLinhas Trigonométricas Projeções Calculadas

Seno CosenoDistânciasMedidas E(+) W(-) N(+) S(-)

0,173648 0,984808 62,76 10,898 - - 61,8070,322128 0,946696 30,71 9,893 - - 29,0730,444831 0,895615 68,82 - 30,613 - 61,6360,736474 0,676465 45,80 33,731 - - 30,9820,941282 0,337620 115,75 108,953 - 39,080 -0,154830 0,987941 171,35 - 26,530 169,284 -

0,973512 0,228634 109,28 - 106,385 - 24,985604,47 163,475 163,528 208,364 208,483

-0,053 -0,119Erro nas projeções:

EL = 22 EyEx + ∴ EL = 22 (-0,119)(-0,053) + ∴ EL = 0,130269 m

EL 0,130269EK=

l∴ EK=

0,60447∴ EK = 0,215509 m/Km


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14ª 15ª 16ª 17ª 18ª 19ªCorreções Projeções compensadas Coordenadas

∆ x ∆ y Eixo x Eixo y X Y

+ 0,002 + 0,018 + 10,900 - 61,789 0,000 0,000+ 0,002 + 0,008 + 9,895 - 29,065 + 10,900 - 61,789

+ 0,005 + 0,018 - 30,608 - 61,618 + 20,795 - 90,854+ 0,005 + 0,009 + 33,736 - 30,973 - 9,813 - 152,472+ 0,018 + 0,011 + 108,971 + 39,091 + 23,923 - 183,445+ 0,004 + 0,048 -26,526 + 169,332 + 132,894 - 144,354+ 0,017 + 0,007 -106,368 - 24,978 + 106,368 + 24,978

0,053 0,119 0,000 0,000 + 285,067 - 607,936

20ª 21ª 22ª 23ª 24ª 25ª

Duplas áreas (ΣX . y) Duplas áreas (ΣY . x)Σ X

A somar A subtrairΣ Y

A somar A subtrair+10,900 - 673,500 -61,789 - 673,500+31,695 - 921,215 -152,643 - 1.510,402+10,982 - 676,689 -243,326 7.447,722 -+14,110 - 437,029 -335,917 - 11.332,496

+156,817 6.130,133 - -327,799 - 35.720,585+239,262 40.514,713 - -119,376 3.166,568 -+106,368 2.656,860 +24,978 - 2.656,860

46.644,846 5.365,293 10.614,290 51.893,842+ 41.279,553 - 41.279,553

Área = 41.279,553 / 2 = 20.639,777 m²

Exercício : Calcule a área pelo método analítico das duplas áreas para os dadosde campo abaixo.

Est. P.V. Ângulo Lido Dist. Observações1 7-2 89º 55’ 20” 247,002 1-3 89º 03‘ 05“ 38,103 2-4 269º 30‘ 12“ 68,304 3-5 77º 42‘ 00“ 321,705 4-6 101º 57‘ 07“ 235,266 5-7 92º 54‘ 50“ 133,607 6-1 178º 56‘ 25“ 213,00

Az1 = 220º 05’ 20”


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Através da seguinte planilha de cálculo topográfico resumida podemos retirar um exemplo dedefinição de escala.

Ângulos Internos CoordenadasPonto

Lidos Compensados

Azimutes Rumos Distâncias(m) X Y

1 93º13’00” 93º13’00” 170º00’00” 10º00’00”SE 62,76 0,00 0,00

2 171º12’00” 171º12’30” 161º12’30” 18º47’30”SE 30,71 + 10,90 - 61,793 225º12’15” 225º12’15” 206º24’45” 26º24’45”SW 68,82 + 20,79 - 90,854 106º09’20” 106º09’20” 132º34’05” 47º25’55”SE 45,80 - 9,81 - 152,475 117º42’00” 117º42’00” 70º16’05” 70º16’05”NE 115,75 + 23,93 - 183,44

6 100º49’30” 100º49’30” 351º05’35” 8º54’25”NW 171,35 + 132,90 - 144,357 85º41’25” 85º41’25” 256º47’00” 76º47’00”SW 109,28 + 106,73 + 24,98

Σ 899º59’30” 900º00’00”

No exemplo temos os seguintes limites de coordenadas X e Y:X mínimo = -9,81 e X máximo = 132,90 Y mínimo = -183,44 e Y máximo = 24,98

Considerando o tamanho de papel A4, com uma área útil de 160 mm para X e 220 mm para Yteremos:

93,89116,0

71,142

16,0

)81,9(90,132´==

−−=

−=

X

mínmáx

TP

X X Mx

36,94722,0

42,208

22,0

)44,183(98,24´==

−−=

−=

Y

mínmáx

TP

Y Y My

Vamos usar neste caso a escala 1:1000 por ser menor que a menor escala calculada acima (1:947,36).

Representação planimétrica através de coordenadas polares (Método gráfico): De posse deEscala que será utilizada para a planta topográfica, podemos fazer o desenho dos pontos e alinhamentosatravés de suas coordenadas polares, que nada mais do são que os ângulos internos (ou azimutes, ourumos) e as distâncias. Os ângulos são traçados no papel através de transferidor mantendo-se as suasmagnitudes e as distâncias do reduzidas de acordo com a escala determinada.

A Figura mostra um exemplo de desenho em planta utilizando-se os azimutes para a definição dosângulos e as respectivas distâncias entre os pontos.


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Representação planimétrica através de coordenadas plano-retangulares (Método Analítico): Para o desenho de plantas topográficas através das coordenadas X e Y, primeiramente devemos traçar oseixos X e Y sobre o papel, de maneira que todos os pontos do levantamento fiquem dentro da área útil domesmo.. Deve-se levar em consideração o sinal de cada ponto para a correta locação dos mesmos. Alémdisso o fator de redução utilizado deverá estar em mente do desenhista, como por exemplo uma distânciade 132,90 m do terreno em uma escala 1:1.000 eqüivale a 13,29 cm no papel.

A Figura mostra um exemplo de marcação dos vértices de um levantamento planimétrico.

e) Orientação das plantas: Ao confeccionar uma planta topográfica torna-se necessário ter-seum ponto de referência, imutável, no qual vamos basear nossas operações e susceptível de ser recompostaem qualquer época. Em topografia, usamos como referência a linha Norte-Sul, chamada linha meridiana.

Diz-se que uma planta está devidamente orientada quando nela figura o traço do meridianogeográfico (verdadeiro) ou do magnético da região, ou de ambos.

O meridiano magnético e formado pela linha norte-sul dada por uma bússula com agulhamagnetizada. Já meridiano geográfico é a interseção do plano vertical que contém o eixo de rotação daterra (linha dos pólos) e o ponto considerado na superfície terrestre.


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Pelos exemplos acima podemos observar que, quando usamos distâncias grandes o erro ésignificativo, mas para distâncias inferiores a 150 m o erro de curvatura e refração é pequeno e paratrabalhos normais de altimetria pode ser desprezado.

Devemos ter o cuidado de quando a distância visada for longa e o erro calculado, temos quecorrigir o valor da visada, somando-se o valor do erro já que o desvio da visada em função da curvatura erefração desviam a linha para baixo.

12 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS VERTICAIS

A medição dos ângulos verticais consiste em determinar ainclinação da linha de visada em relação ao horizonte.

A medição dos ângulos verticais difere dos ângulos horizontaisfundamentalmente na forma de se obtê-los, pois nos ângulos horizontaisnós temos dois alinhamentos, com a possibilidade de zerar o aparelhoem um deles, tanto através de um teodolito de limbo horizontalclassificado como repetidor ou reiterador e obter o ângulo no outroalinhamento. Já nos ângulos verticais o ângulo é obtido sempre emrelação a uma linha fixa, que pode ser o Zenite, Nadir ou a linha doHorizonte, por este motivo, classificamos os teodolitos em função do

seu limbo vertical da seguinte maneira:

a) Ângulos Zenitais (Az): São medidos com teodolitos zenitais. Nestes instrumentos os limbossão graduados de 0º a 360º e o zero coincide com o zenite do lugar e se a linha de visada coincidir com alinha do horizonte teremos uma leitura de 90º e 270º, dependendo se a luneta está na posição direta ouinvertida.

Em altimetria o importante é conhecer o ângulo de inclinação vertical, que é o ângulo medido emfunção da linha do horizonte, portanto para transformarmos os ângulos zenitais em ângulos de Inclinaçãovertical (Aiv), basta observarmos os exemplos abaixo.

1º caso: O ângulo lido está entre 0º e 90º.

Aiv = 90º - Az (+)

Aiv = 90º - 80º 20’ (+)

Aiv = 9º 40’ (+)



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Aiv = 270º - An (+)

Aiv = 270º - 267º 30’ (+)

Aiv = 2º 30’ (+)


Aiv = An - 270º (-)

Aiv = 271º 15’ - 270º (-)

Aiv = 1º 15’ (-)

c) Ângulos de Inclinação vertical (Aiv): Os teodolitos com o limbo graduado neste sistemaapresentam as leituras sempre dentro de um só quadrante sendo 0º quando a luneta coincide com a linhado horizonte, tanto para a luneta na posição direta ou na posição invertida e 90º em ambos os extremos davertical (zenite e nadir).

O ângulo de inclinação vertical e usado para determinarmos as diferenças de nível entre os

pontos, porém poucos são os aparelhos que vem com seus limbos graduados neste sistema, sendonormalmente zenitais ou nadirais, por isto nos obriga fazermos sua transformação.

Quando medimos um ângulo com teodolito de inclinação vertical, devemos ter o cuidado para tãotrocarmos o seu sinal, principalmente em ângulos de pequena amplitude. Veja os exemplos abaixo:

13 MÉTODOS DE LEVANTAMENTODevido a maneira e os instrumentos usados, classificam-se em três métodos, pelos quais se

conhecem as diferenças de alturas dos pontos situados na superfície topográfica. A saber:- Nivelamento Geométrico- Nivelamento Trigonométrico- Nivelamento Barométricoa) Nivelamento Geométrico: O nivelamento geométrico também é chamado de nivelamento

direto ou por alturas.Este método consiste em medir diretamente no terreno as diferenças de alturas entre os pontos,

trata-se do método mais exato e usado em topografia.Para se efetuar as leituras que darão as diferenças de alturas entre os pontos, usa-se um nível de

luneta e uma mira falante, sendo que o primeiro fornece um plano horizontal de visada e o segundo adistância entre o plano horizontal considerado e os pontos da superfície topográfica que se desejadeterminar as alturas.


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Níveis Topográficos: O nível é uminstrumento ótico formado por uma luneta acoplada aum nível de bolha de ar, fixada num suporte quepode ser nivelado através de 3 parafusos calantes eparafusado num tripé extensível. Esta bolha estandobem retificada e nivelada, o eixo ótico da lunetacaracterizado pelo fio nivelador do retículo,

determina um plano horizontal normal a vertical dolocal.

Miras Falantes: São réguas graduadas de centímetro emcentímetro. Os principais tipos de miras são as rígidas, as dobráveis eas extensíveis, geralmente tem comprimento variável de 3 a 4 metros.As miras rígidas são mais recomendáveis para os nivelamentos deprecisão, porém oferecem dificuldade de transporte, são geralmentede alumínio com a parte graduada de aço ínvar. Por isso as dobráveise as extensíveis, são as mais usadas em trabalhos topográficosnormais, geralmente são de madeira.

Nivelamento Geométrico Simples: Consiste em determinar as cotas ou altitudes de dois oumais pontos, através de uma única estação do aparelho.

Parte-se do seguinte princípio: o nível perfeitamente instalado descreve um plano horizontalatravés do fio nivelador, logo atribui-se ao ponto uma cota (isto é, a distância entre o vértice e o pontoimaginário) e neste ponto coloca-se um mira, na qual efetua-se a leitura dada pelo fio nivelador, a soma dacota mais a leitura na mira (chamada leitura de ré) fornece a altura do instrumento, que é a altura do planode visada em relação ao plano imaginário. Para se conhecer a cota do ponto B e C é suficiente que secoloque a mira nos referidos pontos e se efetue as leituras (chamadas leituras de vante), que subtraídas daaltura do instrumento fornecerá as cotas de B e C.

Cota de A + leitura de ré = altura do instrumento (Ai)Ai – leitura de vante B = Cota de B

Ai – leitura de vante C = Cota de C

Exemplo prático:Calcule as cotas dos vértices 2 e 3, sabendo-se que a cota do vértice A é 50 metros e as leituras

da mira foram: A = 2,232 m; B = 2,567 e C = 2,876.Resolução:Ai = Cota A + Leit. Ré A = 50 + 2,232 = 52,232 mCota B = Ai – Leit. Vante B = 52,232 – 2,567 = 49,665 mCota C = Ai – Leit. Vante C = 52,232 – 2,876 = 49,356 m


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Nivelamento Geométrico Composto: O nivelamento geométrico composto, segue o mesmoprincípio do nivelamento geométrico simples, porém efetua-se várias estações de nível para que se possavisar todos os pontos que se deseja conhecer. Logo é uma série de nivelamentos simples ligados dois adois por um mesmo ponto, no qual é feito duas leituras uma de vante e outra de ré da estação seguinte.

Recorre-se ao nivelamento composto quando a distância horizontal entre os pontos é maior doque a distância limite de operação, ou quando a diferença de altura dos ditos pontos acima de um mesmo

plano de visada excede ao comprimento da mira.Devido aos numerosos pontos nivelados e as várias estações usa-se um modelo especial deanotações denominada caderneta de nivelamento geométrico.

Exemplo prático:

Cota do primeiro ponto (1) = 10,00Visadas

E s t a ç õ e s

P o n t o s

V i s a d o s

D i s t â n c i a

H o r i z o n t a l

( m )

Ré (m)Vante(m) A

l t u r a d o

I n s t r u m e n t o

( m ) Cotas

(m)Observações

A 1 - 2,65 - 10,00

2 30 - 1,44 -B 3 24 2,89 0,66

4 35 - 1,85 -5 22 - 2,62 -

C 6 16 2,92 1,257 19 - 1,50 -

Na mudança de estação o cálculo da nova altura do instrumento é feito da seguinte maneira.Fórmula Geral:Ai n = Ai n-1 – Leit. Vante m + Leit. Ré m

Onde: n = identificação da estação do aparelhom = identificação do ponto de mudança do plano de visada

No exemplo:AiB = AiA – Leit. Vante 3 + Leit. Ré 3 AiC = AiB – Leit. Vante 6 + Leit. Ré 6 AiB = 12,65 – 0,66 + 2,89 = 14,88 AiC = 14,88 – 1,25 + 2,92 = 16,55

Preenchimento da Caderneta de Nivelamento Geométrico:Estações: É a coluna onde anota-se a letra do local onde se instala o aparelho para se

efetuar as visadas.


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Caderneta do nivelamento geométrico:Visadas

E s t a ç ã o

P o n t o s

V i s a d o s

D i s t â n c i a

( m )

Leitura deRé (m)

Leitura deVante (m)

Altura doInstrumento

(m)Cotas

A 1 - 2,74 52,74

2 35 1,68

3 24 1,18

B 4 20 2,86 0,52

5 20 2,11

6 30 1,43

7 25 2,33

C 8 25 0,82 2,91

9 30 1,39

10 35 2,15

D 11 25 1,12 2,77

12 20 1,92

13 20 2,71

Caderneta do contra-nivelamento:Visadas

EstaçãoPontosVisados Leit. Ré Leit. Vante

Altura doInstrumento

Cotas

A 13 2,51

B 11 2,38 0,92

C 8 2,42 0,43

D 4 0,64 2,36

1 2,86

b) Nivelamento Trigonométrico: Este método também é denominado de nivelamento indireto,pois fundamenta-se na resolução de um triângulo retângulo, onde se conhece a distância horizontal entre ospontos e o ângulo vertical (Aiv) com o teodolito.

Logo a distância inclinada é a hipotenusa do triângulo, a distância horizontal o lado adjacente, e adiferença de nível o lado oposto ao ângulo vertical.

Pelo presente método temos sempre a diferença de nível entre o ponto onde está o aparelho e ovértice onde colocarmos a régua, veja que posteriormente podemos transformar os valores em cotas,bastando para isso atribuirmos uma cota para o ponto inicial e calcularmos as demais através dasdiferenças de nível já determinada.


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Altura do Instrumento no Nivelamento Trigonométrico: A altura do instrumento no nivelamentotrigonométrico é a distância vertical que vai desde o centro da luneta do aparelho até a superfície do solo,onde estiver o aparelho.

Veja graficamente como ficam as DN (Diferenças de Nível).

1ª caso: Visada em aclivePelo gráfico, conclui-se que:

lOM Ai DN −+= e α tgd OM ×=

)( α tgd l Ai DN FM ×+−=

2ª caso: Visada em declivePelo gráfico, conclui-se que:

)1(−×−+=− AilOM DN e OM l Ai DN −−=

)( α tgd l Ai DN FM ×−−=

Generalizando temos: )( α tgd l Ai DN FM ×±−= , sendo que usa-se o sinal ( + ) quando foraclive e ( - ) quando for declive.

Análise do método: Este método apresenta a dificuldade de precisar medir com muito mais rigoras distâncias horizontais, já que as mesmas fazem parte do cálculo da diferença de nível.

Embora não oferecendo a mesma precisão do nivelamento geométrico, apresenta a vantagem darapidez nas operações de campo, pois não está limitado a um único plano horizontal de visada.

Exemplo: Calcule as diferenças de nível dos pontos da poligonal aberta abaixo, sendo que o

aparelho está instalado na Estação A com cota 10 m e dele visou-se os demais pontos (Leituras em metrose graus).

Estação AiPontoVisado

DistânciaHorizontal

LeituraMira

Aiv DN Cotas

A 1,48 1 148 2,50 2º 10’2 112 2,00 0º 55’3 74 2,00 1º 10’4 42 1,50 0º 52’5 25 1,50 0º 35’

Exercício 1: Calcule as diferenças de nível dos pontos da poligonal aberta abaixo, sendo que o

aparelho está instalado na estação A, com cota igual a 10 m e dele visou-se os demais pontos (Leituras emmetros e graus).

Est. Ai P.V.Dist. Hz

(m)LeituraMira

ÂnguloZenital

Aiv DN Cotas

A 1,55 1 137 2,00 92º 30’2 92 2,00 91º 40’3 63 1,00 91º 25’4 32 1,00 90º 48’


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Exercício 2 : Calcule as diferenças de nível dos pontos da poligonal aberta abaixo,sendo que o aparelho está instalado na estação A, com cota igual a 10 m e dele visou-seos demais pontos.

Est. Ai P.V.Dist. Hz

(m)LeituraMira

ÂnguloNadiral

Aiv DN Cotas

A 1,62 1 122 2,00 91º 56’

2 83 2,00 91º 32’3 49 2,00 90º 58’4 21 2,00 90º 11’

Medição indireta da distância: A medida indireta das distâncias é baseada naresolução de triângulos isósceles ou retângulos. Os instrumentos usados para estamedidas são designados de taqueômetros ou taquímetros estadimétricos.

Na prática a distância é dada pela diferença de leitura dos fios estadimétricosmultiplicado pela constante analática que é 100, essa distância é corrigida para a linha dohorizonte multiplicando-se pelo coseno ao quadrado do ângulo de inclinação vertical.

Então: α 2cos100)( ××−=FI FS

lld

Ou AZ lld FI FS 2sen100)( ××−= AN lld FI FS

2sen100)( ××−=

Exemplo prático: Calcule as distâncias pelo método indireto, as diferenças denível e as cotas dos pontos da poligonal aberta abaixo, sendo que o aparelho estáinstalado em A com cota igual a 20m e deve visou-se os demais pontos.Est. Ai P.V

.Âng

NadirLS LM LI Dist. Hz Aiv DN Cotas

A 1,41 1 92º 51’ 2,75 2,0 1,25 149,63 2º 51’ (+) 6,86 26,862 92º 30’ 2,61 2,0 1,39 121,77 2º 30’ (+) 4,73 24,73

3 92º 22’ 2,48 2,0 1,524 91º 25’ 2,33 2,0 1,675 91º 10’ 2,21 2,0 1,796 90º 49’ 2,12 2,0 1,88

Exercício : Calcule as cotas dos pontos da poligonal aberta abaixo, sendo que oaparelho está instalado em A com cota igual a 20 m e dele visou-se os demais pontos.Est. Ai P.V

.Âng

NadirLS LM LI Dist. Hz Aiv DN Cotas

A 1,38 1 92º 41’ 2,41 1,5 0,592 92º 13’ 2,12 1,5 0,883 91º 47’ 1,89 1,5 1,114 91º 21’ 1,71 1,5 1,295 90º 18’ 1,63 1,5 1,37

c) Representação do relevo do terreno: A representação gráfica do relevo do terreno, baseadonos levantamentos plani-altimétricos da área nos permite ter uma idéia clara do local levantado e dapossibilidade de implantação de futuros projetos na região, por este motivo as plantas devem serrepresentadas de uma maneira que facilite uma análise visual do local.


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Introdução: Curva de nível é uma linha sinuosa que liga pontos do terreno demesma cota. Esta linha é dada pela intersecção de planoshorizontais com a superfície do terreno, sendo os mesmosparalelos e eqüidistantes e a distância entre dois planosparalelos é chamada de eqüidistância vertical. As curvas denível possibilitam representar o relevo de uma área em suaplanta planimétrica respectiva.

Características das curvas de nível:- Duas curvas de nível jamais se cruzam

porque disto resultaria um único ponto com duaselevações.

- Duas curvas de nível não podem seencontrar numa só. Neste caso elas estariamsuperpostas, e, para isto acontecer, deveria haverum plano vertical.

- Quando as curvas de nívelestão muito afastadas umas das outrassignifica que o terreno é levementeinclinado, e quando muito próximas umterreno fortemente inclinado.

- Uma curva de nível não podedesaparecer repentinamente.

- Não se pode ter uma linha únicacompreendida por uma curva de nível.

- O maior declive do terreno ocorre no local ondeaparecer a menor distância entre duas curvas denível.


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Plano cotado: O plano colado do terreno nada mais é do que a representaçãoplanimétrica dos pontos levantados, colocando-se a respectiva cota ao lado de cadaponto. A planilha abaixo resulta na Figura seguinte, que mostra um exemplo de planocolado.

ColunasLinhas

A B C D E F G

1 100,0 99,3 98,7 98,0 96,9 96,3 96,02 98,6 98,5 98,3 97,0 96,5 95,9 95,93 97,2 97,5 97,5 96,8 96,3 95,6 95,64 96,0 96,4 96,6 96,5 96,0 95,1 95,35 95,3 95,7 95,6 95,8 95,6 94,6 95,36 94,7 94,9 95,0 95,0 94,8 94,0 95,1

Traçado de Curvas de Nível: para traçar curvas de nível parte-se do plano

cotado do terreno desenhado em escala e liga-se os pontos de cota inteira. Paraencontrar as cotas inteiras do terreno podemos utilizar dois processos:

Estaca CotaA1 100,0A2 98,6A3 97,2A4 96,2A5 95,3

Processo Gráfico: Embora mais trabalhoso, o processográfico, permite um melhor controle no cálculo das cotas inteiras, incorrendo em menos erros.

A partir da planilha geral, reconstituem-se os perfis jádevidamente cotados, como mostra a planilha abaixo. Feito ográfico de cada perfil, calculam-se cotas inteiras.

A6 94,7Processo de interpolação: O processo de interpolação é mais rápido que o anterior, mas exige

bastante atenção. O Processo de interpolação considera que a declividade entre dois pontos próximos é

constante e para isso que o levantamento deva ser feito de tal forma que seja bem representativo do relevodo terreno. Através do desenho em escala dos pontos cotados, calcula-se as cotas inteiras entre os pontoslevantados por uma regra de três simples.

Exemplificando: A cota do ponto A2 é 98,6 m e do ponto A3 é 97,2, portanto temos a cota inteira98 que passa entre os dois pontos. A distância entre eles é de 20 metros e a diferença de nível (Cota A2 –Cota A3) é de 1,40.

1,40 m ---------------- 20m0,60 m ---------------- X

mm

mm X 57,8

40,1

2060,0=

×=

Isto significa que a cota 98 está a uma distância de 8,57 m do ponto A2. A Figura abaixo (daesquerda) mostra esta interpolação na grade do levantamento e ao lado em um aumento para melhor


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visualização.Esta distância deverá ser desenhada na escala da planta, procedendo-se desta forma com a

marcação de todos os demais pontos do levantamento. Com a marcação de todos os pontos traça-se ascurvas de nível, unindo-se os pontos de mesma cota.

A Figura abaixo (da direita) mostra as curvas de nível traçadas do exemplo dado.

Perfil Longitudinal: É um corte do terreno no sentido longitudinal e com isso nos possibilita fazera representação do relevo do terreno. Nesta representação as cotas são representadas no eixo vertical e asdistâncias horizontais no eixo longitudinal, facilitando a visão dos pontos altos e baixos do terreno.

No traçado do perfil usa-se duas escalas, uma horizontal e outra vertical sendo que a verticalnormalmente é 10 vezes maior que a horizontal, possibilitando uma maior saliência do relevo do terreno.

Os perfis podem ser traçados através do corte longitudinal numa parte do desenho feito comcurvas de nível ou também diretamente da caderneta de campo quando é feito o levantamento de umalinha.

MDT – Modelo Digital do Terreno: Com o avanço da computação a área da topografia não ficou

para trás e hoje temos muitos softwares quê possibilitam a construção de modelos numéricos do terreno (oumodelos digitais do terreno), que são grades de pontos tridimensionais que possibilitam o traçado de curvasde nível, perfis altimétricos e também cálculos volumétricos para açudagem automaticamente.

A importância destes sistemas se dá na agilidade para a obtenção das informações e resultados,em virtude do rápido processamento que é feito. Trabalhos de traçado de curvas de nível, grandes áreas,que demoravam dias para serem feitos agora podem ser realizados em minutos.

d) Nivelamento Transversal: É o método de levantamento plani-altimétrico mais usado paraobras que necessitam cálculos de movimento de terra.


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Nos trabalhos de exploração de estradas,construção de canais de irrigação, construção deaçudes, obras urbanas em geral, apoiam-se nestemétodo, dada a simplicidade de execução e aprecisão que oferece. Fundamenta-se este métodono levantamento de uma poligonal básica, comvértices distribuídos de 20 em 20 metros ou 50 em

50 m e no normal a esta poligonal traça-se as linhastransversais para ambos os lados, e cujocomprimento é variável em função da área que sedeseja levantar e a di

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