8 longitudes, áreas y volú · pdf filehelado de 6 centímetros de...
TRANSCRIPT
8 LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES
P A R A E M P E Z A R
Dibuja un trapecio isósceles de 5 centímetros de altura y bases de 18 y 10 centímetros, respectivamen-te, y calcula su área y su perímetro.
Como es isósceles, dos de sus lados deben ser iguales:
Su área viene dada por la expresión: A � �(B �
2b)
� � h � �(18 �
210)
� � 5 � 70 cm2
Para calcular el perímetro calculamos primero la longitud de los lados iguales mediante el teorema
de Pitágoras: �52 � 4�2� � �41� � 6,4 cm.
P � 18 � 10 � 2 � 6,4 � 40,8 cm.
Un cucurucho de barquillo tiene un radio de 3 centímetros y una altura de 10. Sobre él hay una bola dehelado de 6 centímetros de diámetro, y además, interiormente está lleno de helado. Calcula el volumentotal de helado.
El volumen de helado será la suma del volumen del cono y del volumen de la semiesfera que tiene encima.
V � Vcono � �12
� Vesfera � �� � r
3
2 � h� � �
12
� � �43
� � r 3 � �� � 3
3
2 � 10� � �
23
� � 33 � 150,8 cm3
Un panal tiene 100 celdas de 2 centímetros de lado cada una.
Calcula la superficie que ocupa si las celdas fueran:
a) Triangulares
b) Cuadradas
c) Hexagonales
a) Para calcular el área del triángulo se necesita su altura, que se halla mediante el teorema de Pitágoras:
AT � �b
2� h� � � �
2 � �24 � 1�� � �3� cm2, por lo que el panal ocupa S � 100 � �3� � 173,2 cm2.
b) Área de un cuadrado: AC � l 2 � 4 cm2, por lo que el panal ocupa S � 100 � 4 � 400 cm2.
c) Un hexágono esta formado por 6 triángulos equláteros como los del primer apartado, por lo que la superficie ocupa el panales S � 100 � 6 � �3� � 1039,23 cm2.
Resolución de triángulos rectángulos
P A R A P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
Halla los elementos desconocidos del triángulo rectángulo de la figura y comprueba que se cumple elteorema de Pitágoras.
Como los ángulos Bp y Cp son complementarios,tenemos que Bp � Cp � 90� ⇒ Cp � 90� � 20� � 70�.
Se aplican las razones trigonométricas para obtener los catetos:c � a � cos Bp � 15 � cos 20� � 14,095 cmb � a � sen Bp � 15 � sen 20� � 5,13 cm
Se comprueba que efectivamente se cumple el teorema de Pitágoras:152 � 225 y 14,0952 � 5,132 � 225
20°
13 cm
AB
C
8.1
b � �b2 � ���b2
��2
���
2
3
2
10 cm
18 cm
5 cm
1
32
33
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos y comprueba que se cumple el teorema de Pitágoras.
a) b)
a) b � tan 25� � 5 � 2,3 m b) c � �ta1n02
5,45�
� � 71,7 m
a � �2,32 �� 52� � 5,5 m a � �102,42�� 71,7�2� � 125 m
Cp � 90� � 25� � 65� Cp � 90� � 55� � 35�
Calcula la medida de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos.
a) b)
a) tg Bp � �24
85� � 0,62v ⇒ Bp = 31� 53 27 b) sen Cp � �
1136,,18
� � 0,78 ⇒ Cp � 51° 15’ 38”
Cp � 90� � 31� 53 27 � 58� 6 33 Bp � 90� � 51� 15 38 � 38� 44 22
De un triángulo ABC rectángulo conocemos la medida de los otros dos ángulos: Bp � 60� y Cp � 30�. Res-ponde razonadamente a las siguientes cuestiones.
a) ¿Se puede resolver el triángulo ABC?
b) ¿Se pueden hallar las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo ABC?
a) No, ya que para resolverlo se tiene que conocer, al menos, la longitud de un lado.
b) Sí, ya que las razones trigonométricas son invariantes para triángulos semejantes:
sen 60� � cos 30� � ��
23�
� tan 60� � �3�
sen 30� � cos 60� � �12
� tan 30� � � ��
33�
�
Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.
a � �92 � 7�2� � 11,402
tg Cp � �79
� � 0,7v ⇒ Cp � 37� 52 30
Bp � 90° � 37° 52’ 30” � 52� 7 30
En el triángulo rectángulo de la actividad anterior:
a) Halla la longitud de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
b) Halla la altura sobre la hipotenusa.
a) Aplicando el teorema del cateto obtenemos: b) Aplicando el teorema de la altura obtenemos:
n � �ba
2
� � �11
7,4
2
02� � 4,297 cm h � �m � n� � �4,297 �� 7,104� � 5,525 cm
m � �ca
2
� � �11
8,4102� � 7,104 cm
8.6
9 cm
7 cm
B
A C
8.5
1��3�
8.4
13,1 cm
16,8 cm
AB
C
28 cm
45 cm
A
B
C
8.3
55°
102,4 cmA
B
C25°
5 cm AB
C
8.2
P A R A A P L I C A R
a) Calcula la longitud del circuito de karts de la figura.
b) ¿Cuál es el menor número de vueltas que hay que dar al circuito para re-correr más de un kilómetro?
a) La hipotenusa mide �co
1s0500�
� � 155,57 m.
El cateto desconocido mide 100 tg 50� � 119,17 m.
La longitud del circuito es 100 � 155,5 � 119,17 � 374,67 m.
b) �317040,607
� � 2,67 vueltas. Habrá que dar tres vueltas para recorrer más de un kilómetro.
Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, Ángel observa, bajo un ángulo de 60�, cómouna embarcación realiza las tareas de pesca. ¿A qué distancia de la costa se encuentra aproximadamentela embarcación?
Está a una distancia de 50 � tan 60� � 86,6 m.
Desde el lugar donde se encuentra Yaiza, puede obser-var una torre con un ángulo de elevación de 32�. Si Yaizaavanza 40 metros en dirección a la torre, la observa conun ángulo de 70�.
a) Calcula la altura de la torre si la estatura de Yaiza esde 1,65 metros.
b) ¿A qué distancia de la torre estaba Yaiza inicialmen-te?
Sea h la altura de la torre y x la distancia inicial a la que se está dela torre. Tenemos que:
tg 32� � �hx
� ⇒ 0,625x � h
⇒ 0,625x � 2,747x � 109,88 ⇒ x � 51,78 m ⇒ h � 32,36 mtg 70� � �
x �h
40� ⇒ 2,747x � 109,88 � h
La torre mide 32,36 � 1,65 � 34,01 m.
Cálculo de distancias y áreas de figuras planas
P A R A P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
Halla la longitud de la circunferencia de la figura.
Como el ángulo Ap abarca un diámetro, el triángulo ABC es rectángulo en A.
Se utiliza la trigonometría para hallar el diámetro de la circunferencia.
sen 50� � �B7C� ⇒ BC � �
sen750�� � 9,14 cm
Así, la longitud de la circunferencia es:
L � diámetro � r � BC � � � 9,14 � � � 28,71 cm
8.10
8.9
8.8
8.7
34
7 cm
50°
A
CB O
�
Halla la longitud de la siguiente circunferencia y el área del círculo que determina.
Se tiene que BC � �co
6s,334�� � 7,6 cm, con lo que el radio de la circunferencia
es: r � �7,5
299� � 3,8 cm.
Su área es: A � � � 3,82 � 45,35 cm2
Su longitud es: L � 23,88 cm
Dado el triángulo ABC de la figura, calcula:
a) Su altura, h.
b) Su área.
c) Su perímetro.
a) h � 30 sen 65� � 27,189 cm
b) Área � �25 � 2
27,189� � 339,863 cm2
c) El lado desconocido se calcula dividiendo el triángulo escaleno en dos triángulos rectángulos:
x � 30 � cos 65� � 12,68 cm
BC � �(25 ��x)2 � h�2� � �(25 ��12,68)2� � 27,�192� � 29,86 cm
Luego su perímetro será 25 � 30 � 29,86 � 84,86 cm.
Considera el rombo ABCD de la figura.
a) Calcula el área del rombo.
b) Calcula el perímetro del rombo.
El rombo lo podemos dividir en cuatro triángulos rectángulos como este:
a) Se calcula el área de uno de los triángulos y se multiplica por 4:
OC � �tg
1643�
� � 7,13 cm, con lo que el área del triángulo es Área � �7,13
2� 14� � 49,91 cm2.
El área del rombo es 4 � 49,91 � 199,64 cm2.
b) El lado BC mide BC � �sen
1463�� 15,713 cm, con lo que el perímetro es 4 � 15,713 � 62,852 cm.
Calcula el área de un decágono regular de 1 metro de lado.
El decágono se puede dividir en 10 triángulos isósceles como este:
El ángulo � mide �31600�� � 36�, por lo que la apotema del decágono mide ap � �
tan0,5
18��� 1,54 m.
El área del triángulo mide �1,54
2� 1
� � 0,77 m2, con lo que el área del decágono es 7,7 m2
1 maα
8.14
B
C
14 cm
63º
O
8.13
65°25 cm
30 cm
A C
B
h
8.12
34°
6,3 cm
O C
A
B
8.11
28 m
126°
A
C
B D
35
Considera un heptágono regular de 8 centímetros de lado.
a) Calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita al heptágono.
b) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita al heptágono?
c) Calcula el área del heptágono.
El heptágono se puede dividir en 7 triángulos isósceles como este:
a) El ángulo � mide �36
70�� � 51,43�.
La longitud del radio de la circunferencia inscrita coincide con la apotema, que mide:
ap � � �tan 2
45,71�� � 8,31 cm
b) El radio de la circunferencia circunscrita coincide con el lado del triángulo: �42 � 8�,312� � 9,22 cm
c) El área del triángulo es �8 �
28,31� � 33,24 cm2, con lo que el área del heptágono es 7 � 33,24 � 232,68 cm2.
P A R A A P L I C A R
El campo de fútbol sala de un instituto es rectangular. Observa las medidas señaladas en la figura y cal-cula su área.
El lado desconocido del rectángulo mide 35 � tan 25� � 16,32 m. Su área es 16,32 � 35 � 571,23 m2.
Para conseguir nuevos socios, una ONG ha diseñado este cartel publicitario. Calcula su área.
La superficie de la pancarta es 40 � 22 � sen 70� � 826,93 m2.
Una estatua se encuentra delimitada por cinco postes que son los vértices de un pentágono regular de2 metros de lado. Calcula el área de la circunferencia que pasa por los cinco postes.
La circunferencia pedida es la circunscrita al pentágono, que se puede dividir en 5 triángulos como en la figura.
El radio de la circunferencia coincide con el lado del triángulo:
r � �sen
136�� � 1,7 m.
Su área será � (1,7)2 � 9,09 m2.
8.18
8.17
35 m
25°
8.16
4�
tan ���2
��
8.15
r 36º
2 m
8 cmaα
36
El dibujo muestra el plano de un local. El local se encuentra en venta, y el precio de cada metro cua-drado es de 3500 euros. ¿Cuál es el precio del local?
Dividimos la figura en tres regiones:
1) A1 � �5 � 10
2sen 60�� � 21,65 m2
2) A2 � 10 � sen 60� � 10 � 86,60 m2
3) A3 � � �tan
262�� � 1,063 m2
AT � 21,65 � 86,60 � 1,063 � 109,313 m2
El precio es: 109,313 � 3500 � 382 595,5 euros
Áreas y longitudes de cuerpos geométricos
P A R A P R A C T I C A R
Calcula la altura y la diagonal del siguiente ortoedro.
La diagonal de la base mide �72 � 1�12� � 13,038 cm.
La altura de ortoedro mide 13,038 � tg 27� � 6,643 cm.
La diagonal del ortoedro mide: d � �c1o3s,02378�
� � 14,633 cm.
Ejercicio resuelto
Calcula el área de la esfera de la figura.
Como el ángulo Cp abarca un diámetro, el triángulo ABC es rectángulo en C.
Se utiliza la trigonometría para hallar el diámetro de la esfera.
cos 45� � �A10
B� ⇒ AB � �
cos10
45�� � 14,14 cm
Así, el área de la esfera es:
A � 4 � � r 2 � 4� ��142,14��
2
� 627,81 cm2
Calcula el área de la siguiente esfera.
AB � �cos
826�� � 8,901 cm ⇒ r � 4,450 cm
A � 4�r 2 � 248,891 cm2
8.22
8.21
7 cm11 cm
27º
8.20
2 � �tan
262��
��2
15 m
10 m
60°
8 m 62°2 m
A F
BD
C E
8.19
O
B C
A
10 cm45º
O
C
B
A
8 cm
26º
37
10 m
10 m
60º
8 m62º
2 m
A F
BD
C E
A1
A2
5 m
A3
La figura muestra un prisma con base un pentágono regular. Calcula:
a) Su área lateral.
b) Su área total.
a) El área lateral son 5 rectángulos de área b � h. Para calcular la altura del prisma se necesita cono-cer la distancia OB, para lo que se divide el pentágono de la base en 5 triángulos isósceles como elde la figura:
El lado OB mide �co
1s,354�� � 2,212 m, así que la altura del prisma será:
h � 2,212 � tg 73� � 7,235 m
De forma que el área lateral es 5 � 2,6 � 7,235 � 94,055 m2.
b) El área total es la suma de las áreas de las bases y del área lateral calculada antes.
Para determinar el área del pentágono hay que calcular la apotema: ap � 1,3 � tan 54� � 1,789 m.
El área del pentágono será: Área � �2,6 � 5
2� 1,789� � 11,628 m2.
El área total: AT � 2 � 11,628 � 94,055 � 117,311 m2.
Calcula el área del cono de la figura.
ABase � � (6)2 � 130,1 cm2
g � �cos
660�� � 12 cm
ALateral � �rg � 226,19 cm2
A � 130,1 � 226,19 � 356,3 cm2
P A R A P R A C T I C A R
Una empresa de refrescos fabrica el siguiente envase con forma de cilindro. ¿Qué can-tidad de aluminio se necesita para fabricar cada lata?
El área total será la suma del área lateral y de las dos bases.
El lateral del cilindro es un rectángulo de base igual a la longitud de la circunferencia:
ALateral � 2� � 3 � 6 � tg 60� � 195,89 cm2.
El área de la base es � � 32 � 28,27 cm2.
El área total es: ATotal � 2 � 28,27 � 195,89 � 252,43 cm2.
El Ayuntamiento ha organizado una campaña de envío de material escolar a países en desarrollo. Hanutilizado cajas como las de la figura. Calcula la cantidad de cartón que se necesita para montar 100cajas.
El área de la parte de abajo, que será igual que la de arriba, de una cajaes: A � ABase � ALateral.
Para determinar el área lateral se necesita la altura del ortoedro, que se
obtiene a partir de la diagonal de la base: d � �1,52 �� 0,652� � 1,635 m.
Por tanto, la altura del ortoedro es: 1,635 � tan 12� � 0,347 m.
A � 1,5 � 0,65 � 2 � 0,65 � 0,347 � 2 � 1,5 � 0,347 � 2,47 m2
Para montar 100 cajas serán necesarios 2 � 2,47 � 100 � 494 m2 de cartón.
8.26
8.25
8.24
O
36�a
54�B 2,6 m
8.23
38
2,6 m
73� O
AB
h
6 cm60�
O
g
En la pirámide cuadrangular de Keops, el lado de la base mide230 metros, y el ángulo que forma una cara con la base es de 55�.
Calcula:
a) La altura de la pirámide.
b) La superficie de cada una de las caras triangulares de la pirá-mide.
a) h � 115 � tan 55� � 164,237 m
b) La altura de cada cara será: h1 � �co
1s1555�
� � 200,496 m, con lo que la
superficie de cada cara será: S � �230 � 2
200,496� � 23 057,04 m2.
Volúmenes de cuerpos geométricos
P A R A P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
Calcula el volumen de un prisma de 5 m de altura y cuyas bases son hexágonos regulares de 8 m delado.
El volumen del prisma es: V � ABase � h � � h
Para hallar la medida de la apotema se utiliza la trigonometría. El ángulo central de cada triángulo mide 360� � 6 � 60�.
Se considera el triángulo rectángulo sombreado de la figura.
tg 30� � �apot
4ema� ⇒ apotema � �
tg430�� � 6,93 m
Así, V = �(6 � 8)
2� 6,93� � 5 � 831,6 m3
La figura muestra un prisma con base un pentágono regular.
Calcula:
a) Su área lateral
b) Su área total
c) Su volumen
a) El área lateral son 5 rectángulos de área b � h � 4 � 10 � 40 cm2, de forma que el área laterales 5 � 40 � 200 cm2.
b) Para calcular el área del pentágono hay que calcular la apotema, para lo que se divide el pentágo-no de la base en 5 triángulos isósceles como el de la figura:
a � �tg
236�� � 2,75 cm. El área del pentágono será: A � �
4 � 52� 2,75� � 27,53 cm2.
El área total: AT � 2 � 27,53 � 200 � 255,05 cm2
c) El volumen será: V � 27,53 � 10 � 275,3 cm2.
36�a
4 cm
8.29
perímetro � apotema���
2
8.28
8.27
39
4 cm
10 cm
8 m
4 m
60�
30�a
40
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a) b)
a) La altura del cono es h � 6 tg 60� � 10,39 cm, con lo que el volumen es V � �13
� �r 2h � 391,78 cm3.
b) El radio de la base es r � 8 cm, y la altura, h � 16 � tg 22� � 6,46 cm, con lo que su volumen es V � � 82 � 6,46 � 1299,75 cm3.
Expresa el volumen de un tetraedro regular en función de su lado a.
Las medianas y las alturas de un triángulo equilátero miden �a�
23�
�, con lo que el área de la base es: ABase � �a2�
43�
�.
El baricentro de un triángulo equilátero está a un tercio del lado y a dos tercios del vértice.
AO � �23
� �a�
23�
� � ��
33�
� a h � �a2 � ����
33�
� a��2
� � �a2 � �a3�
2
�� � ��2302
�� � a
Por tanto, su volumen es: V � �13
� ABase � h � �13
� �a 2 �
43�
� a � ��
12�2
a3
�
P A R A A P L I C A R
Una empresa que fabrica bombones utiliza para su envasado latas con forma de cilindro circular comomuestra la figura. Halla el volumen y el área de dichas latas.
El área de la base será: ABase � 252 � � 1963,494 cm2.
Su altura será: h � 50 � tg 30� � 28,87 cm, con lo que su volumen será: V � 1963,494 � 28,87 � 56 681,19 cm3.
El área de la caja será la de las bases más la lateral:
A � 2�r2 � 2�rh � 2�252 � 2� � 25 � 28,78 � 8447,74 cm3
a) Calcula el volumen de la nave con forma de ortoedro que se muestra en la figura.
b) Eva tiene dos presupuestos para pintar las paredes y el techo de la nave. Uno de 5 euros el metrocuadrado y otro en el que el total asciende a 900 euros. ¿Cuál de los dos es más económico?
a) V � ABase � h � 5 � (5 � tg 37�) � 10 � 188,39 m3
b) La superficie que debe pintar es: A � 2 � ABase � ALateral � 2 � (5 � 10) � 2 � 5 � 5 � tg 37� � 2 � 10 � 5 � tg 37� � 213,03 m2,por lo que si paga el metro cuadrado de pintura a 5 euros, el precio asciende a 213,03 � 5 � 1065,16 euros.
Es más económico el segundo presupuesto.
5 m37�
10 m
8.33
8.32
�2���3�
�2���3�
8.31
16 cm22°
h
6 cm60°
O
h
8.30
Halla el volumen de un globo terráqueo como el de la figura.
Como AO y OB son radios de la esfera, el ángulo OBA mide 45�.
Por tanto, OB � 34 cos 45� � �34�
22�
� cm � 24,042 cm.
El volumen de la esfera será: V � �43
� �r 2 � 58 210,325 cm2.
En la figura se puede observar la biblioteca del nuevo centro cultural. Tieneforma de pirámide y su base es un heptágono regular de 3 metros de lado.
Calcula el volumen de la nueva biblioteca.
El heptágono lo podemos dividir en 7 triángulos isósceles como el de la figura:
a � 1,5 tan 64,286� � 3,115 m
ABase � �7 � 3 �
23,115� � 32,707 m2
El lado OB mide: OB � �cos 6
14,5,286�� � 3,457 m, con lo que la altura de la pirámide mide: h � 3,457 tan 68� � 8,556 m.
Su volumen será: V � 32,707 � 8,556 � 249,841 m2.
MATEMÁTICAS APLICADAS
P A R A A P L I C A R
Utiliza en cada caso el plano con las densidades de ocupación para calcular el número de asistentes aun evento.
a) b)
a) El área del triángulo amarillo es �10
2� 15�� 75 m2, y el área sombreada en azul es: �
102� 30� � 75 � 75 m2.
Asistieron al evento 3 � 75 � 4 � 75 � 525 personas.
b) Para calcular el área del hexágono rosa es necesario conocer su apotema, para lo que dividimos el hexágono en seis triángulos
isósceles, de forma que la apotema es: ap � �tg
430�� � 6,93 m, y el área: � 166,28 m2.
Para calcular el área sombreada en azul se procede del mismo modo, solo que en este caso salen 8 triángulos isósceles,
por lo que la apotema será: ap � �tg 2
42,5�� � 9,66 m, y el área: �
8 � 82� 9,66� � 166,28 � 142,84 m2. Asistieron al evento
2 � 166,28 � 4 � 142,84 � 904 personas.
6 � 8 � 6,93��
2
8 m
30 m
10 m
15 m
4 personas/m2
3 personas/m2
2 personas/m2
8.36
51,42�a
64,286�
3 m
8.35
34 cm
A
B
8.34
41
3 m
68° O
h
B A
42
ACTIVIDADES FINALES
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
En un triángulo rectángulo, un cateto mide 9 centímetros, y la hipotenusa, 14. ¿Cuánto mide el otrocateto?
Por el teorema de Pitágoras, el cateto medirá:
14 � �92 � x�2� ⇒ 142 � 92 � x2 ⇒ x � �115� � 10,72 cm
Calcula la medida de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si la hipotenusa mide 10 centímetros.
Por el teorema de Pitágoras, los catetos medirán: 10 � �x2 � x�2� ⇒ �1202
� � x2 ⇒ x � �50� � 7,07 cm
Dado el siguiente triángulo rectángulo ABC:
a) Calcula el lado desconocido. ¿Qué resultado has utilizado?
b) Aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos agudos Bp y Cp.
a) Aplicando el teorema de Pitágoras: c � �30,72 �� 6,62� � 29,98 cm.
b) cos Cp � �360,6,7� � 0,215 ⇒ Cp � 77� 35 8
Bp � 90� � 77� 35 8’ � 12� 24 52
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
a) b)
a) Ap � 90� � 31� � 59� b) Ap � 90� � 20� 7 34 � 69� 52 26
BC � �tg
4,351�
� � 7,5 cm AB � 3,2 � tg (20� 7 34) � 1,17 cm
AB � �4,52 �� 7,52� � 8,75 cm BC � �1,172 +� 3,22� � 3,41 cm
Calcula la altura de la cometa con la que está jugando Antonio.
h � 35 � sen 53� � 27,952 m
Calcula el valor del ángulo Ap del triángulo de la figura si sabemos que tiene un área de 52,17 cm2.
Se divide el triángulo en dos triángulos rectángulos y calculamos la altura a partir del área:
A � �b
2� h� ⇒ h � �
2b� A� � �
2 �1571,17� = 6,02 cm
sen Ap � �6,
902� � 0,668v ⇒ Ap � 41� 58 53
B
A C17 cm
9 cm51,17 cm2
8.42
8.41
20°7’34’’3,2 cmA
B
C
4,5 cm
31°
CA
B
8.40
6,6 cm 30,7 cm
BA
C
8.39
8.38
8.37
Expresa la altura y el área de un triángulo equilátero en función del lado l.
a) Utilizando únicamente el teorema de Pitágoras.
b) Utilizando únicamente trigonometría.
Se divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos:
a) La altura mide: h � �l 2 � ���12
��2
� � ��34l 2
�� � ��
23�
� l.
Su área será: A � �12
� � ��
23�
� l � l � ��43�� l 2
b) La altura mide: h � l � sen 60� � l � ��
23�
�. El área será: A � �12
� � l � sen 60� � ��43�� l 2.
Un equipo de baloncesto ha repartido banderines como el de la figura para que los socios animen du-rante el partido. Calcula el área de cada banderín.
La altura del romboide es: h � 30 � sen 42� � 20,07 cm, con lo que su área es: A � b � h � 50 � 20,07 � 1003,5 cm2.
El paralelogramo de la figura tiene un área de 37,7 cm2. Calcula el valor de sus ángulos.
A � b � h ⇒ h � �Ab
� � �37
8,7� � 4,7125 cm
sen� � �4,7
5125� � 0,9425 ⇒ � � 70� 28 33
� � 180� � � � 109� 31 27
a) Dibuja en tu cuaderno un triángulo isósceles de 4 centímetros de base y cuyos lados iguales midan6 centímetros cada uno.
b) Calcula el área del triángulo que has dibujado.
a) b) Para hallar el área triángulo isósceles,primero hay que calcular su altura:
h � �62 � 2�2� � 5,66 cm.
A � �b
2� h� � �
4 �b5,66� � 11,31 cm2
Halla el área del siguiente trapecio rectángulo.
Se divide el trapecio en un rectángulo y un triángulo rectángulo.
La altura del trapecio es: h � (8 � 6) � tg 45� � 2 cm.
Área del rectángulo: Ar � 6 � 2 � 12 cm2. Área del triángulo: At � �2
2� 2� � 2cm2
Por tanto, el área del trapecio es 2 � 12 � 14 cm2.
6 cm
8 cm45�
A
B C
D
8.47
8.46
8 cm
5 cm
α β
37,7 cm2
8.45
8.44
8.43
1)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
2)
6 cm 6 cm
4 cm
h
A
B
C
B
A C
43
l l
l
h
60�
La base del prisma de la figura es un triángulo equilátero de 2 metros de lado.Calcula su área lateral y su volumen.
Calculemos el área de la base: ABase � �12
� 2 � 2 sen 60� � 2 ��2
3�� � �3� m2.
Su altura será: h � 2 tg 32� � 1,25 m.
Su volumen es: V � ABase � h � �3� � 1,25 � 2,16 m3.
Área lateral � 3 � �2 �
21,25� � 3,75 m2
Se ha construido un centro comercial con forma de pirámide cuya base es un paralelogramo. Calcula elvolumen del centro comercial teniendo en cuenta los datos de la figura.
Área de la base:
ABase � 200 � 145 sen 56� � 24 042,09 m2
Altura de la pirámide: h � 100 tg 40� � 83,91 m
Por tanto, su volumen es: V � �24 042,0
39 � 83,91� � 672 457,25 m3
P A R A R E F O R Z A R
Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 30� 12� 25�. ¿Cuánto mide el otro ánguloagudo?
Será su complementario, es decir, 90� � 30� 12 25 � 59� 47 35.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 10 centímetros, respectivamente. Calcula la medida dela hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras: h = �32 � 1�02� = 10,44 cm.
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
a) b)
a) Cp � 90� � 42� � 48� b) BC � �112 ��82� � 7,55 cm
AC � 3,5 � tg 42� � 3,15 cm cos Ap � �181� � 0,73 ⇒ Ap � 43� 20 30
BC � �co
3s,542�� � 4,71 cm Bp � 90� � 43� 20 30 � 46� 39 30
Halla el área de las siguientes figuras.
a) b)
a) h � 10 � sen 27� � 8,91 cm b) h � 1,3 � tg 33� � 0,84 m
Área � �13 �
28,91� � 57,91 cm2 Área � 1,3 � 0,84 � 1,092 m2
D
C
A
B
1,3 m33�A
B
C10 cm
13 cm
27�
8.53
8 cm
11 cm
B
A C
3,5 cm
42°
B
A C
8.52
8.51
8.50
200 m145 m
40°
56°
56°
h
8.49
8.48
44
2 m32°
h
45
Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a) b)
a) Área de la base: b) Área de la base:
ABase � 10 � 2 � 20 m2 ABase � � � 42 � 50,26 cm2
Altura del prisma: h � 10 tg 27� � 5,1 m Altura del cilindro: h � 8 tg 51� � 9,88 cm
Por tanto, su volumen es: Por tanto, su volumen es:
V � 20 � 5,1 � 101,9 m3 V � 50,26 � 9,88 � 496,57 cm3
Calcula el perímetro y el área del parque infantil con forma circular de la figura.
El diámetro del parque es: d � �cos
1130�� � 12,7 m; por tanto, su radio es: r � 6,35 m.
P � 2 � � � 6,35 � 39,9 m
A � �(6,35)2 � 126,68 m2
El tablero de un juego de mesa tiene forma de octógono regular de 30 centímetros de lado. Calcula suárea.
Para calcular el área del octógono hay que calcular la apotema, para lo que se divide en 8 triángulos isósceles como el de lafigura:
a � �tg
1252,5�� � 36,21 cm
El área del octógono será: A � �8 � 30
2� 36,21� � 4345,58 cm2.
P A R A A M P L I A R
Comprueba que en un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita coincide con la longi-tud del lado.
El hexágono lo podemos dividir en seis triángulos isósceles iguales.
� � �36
60�� � 60° � � �
180°2� 60°� � 60°
El triángulo es equilátero, es decir, r � l, como queríamos probar.
60�
60�
r r
l
O
8.57
22,5�a 30 cm
8.56
8.55
51�8 cm
hh
2 m27�10 m
8.54
46
Considera un pentágono regular de 10 centímetros de lado.
a) Calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita.
b) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita?
c) Calcula el área del pentágono.
El pentágono se puede dividir en cinco triángulos isósceles iguales como este:
a) El radio de la circunferencia inscrita coincide con la apotema:
a � 5 tg 54� � 6,882 cm
b) El radio de la circunferencia circunscrita coincide con el lado del triángulo:
radio � �cos
554�� � 8,507 cm
c) Área � �5 � 10
2� 6,882� � 172,05 cm2
Una empresa comercializa un desodorante formado por un cilindro y media esfera. Calcula su volumencon las medidas que se indican en la figura.
El volumen será la suma del volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera.
El diámetro de ambos cuerpos es: d � 14 � tg 30� � 8,08 cm, por lo que el radio es de 4,04 cm.
Vcilindro � � � r 2 � 14 � 718,38 cm3
Vsemiesfera � �12
� � �43
� � � r 3 � 138,1 cm3
V � Vcilindro � Vsemiesfera � 856,5 cm3
Diego, que está situado al oeste de una emisora de radio, observa que su ángulo de elevación es de45�. Camina 50 metros hacia el sur y comprueba que el ángulo de elevación es ahora de 30�. Calcula laaltura de la antena.
En el esquema se pueden ver tres triángulos rectángulos.
La altura se obtiene a partir de dos de ellos:
h � x � tg 45� ⇒ x � �tg
h45��
h � y � tg 30� ⇒ y � �tg
h30��
Si se aplica el teorema de Pitágoras al otro triángulo, se obtiene una relación para x e y:
y2 � 502 � x2 ⇒ ��tg h30º��
2
� 502 � ��tg h45º��
2
⇒ � �2
� 502 � ��h1
��2
⇒ 3h2 � h2 � 2500 ⇒ h � 35,35 mh
���13��
Diego
50 m y
h
30�
45�x
8.60
8.59
72�
a
10 cm54º
8.58
47
Una escalera está apoyada sobre la pared formando un ángulo sobre la hori-zontal de 47�. Si la apoyamos un metro más cerca de la pared, el ángulo queforma con la horizontal es de 64�. ¿Cuál es la longitud de la escalera?
Si x es la longitud de la escalera, que coincide con la hipotenusa de los dos triángulos rectángu-los, y d la distancia inicial a la pared, se tiene:
cos 47� � �dx
� ⇒ d � x cos 47�
cos 64� � �d �
x1
� ⇒ d � x cos 64� � 1
x cos 47� � x cos 64� � 1 ⇒ x cos 47� � x cos 64� � 1 ⇒ 0,244x � 1 ⇒ x � 4,1 m
Desde una cierta distancia se ve un edificio con un ángulo de 68�. ¿Con qué ángulo se verá el mismoedificio si nos alejamos de manera que estemos al doble de distancia?
Si h es la altura del edificio y x la distancia, se tiene que tg 68� � �hx
� y la tangente del ángulo pedido es tg � � �2hx�.
Despejando h de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, se llega a:
tg � � �x � t
2gx
68�� � �
tg268�� � 1,237 ⇒ � � 51� 3 36
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
Animales en un cubo
Juan tiene una caja de cartón con forma de cubo. Dentro ha metido una araña, una mosca y una libé-lula; por fuera ha puesto una hormiga. Observa en el dibujo dónde ha situado cada animal.
a) Calcula la distancia menor que deberán recorrer la araña y la libélula para llegar hasta donde seencuentra la mosca.
b) Calcula la longitud del camino más corto que debe recorrer la hormiga por el exterior de la caja parallegar al vértice E.
c) Describe el camino que debe seguir la hormiga en función del ángulo que forma con la arista CD.
a) La araña debe recorrer la diagonal de la base para llegar a la mosca: d � �302 ��302� � 42,43 cm
La libélula tendrá que recorrer la diagonal del cubo para llegar a la mosca: D � �42,432�� 302� � 51,96 cm
b) La hormiga deberá ir desde el vértice C a la mitad del lado DH, y de aquí al vértice E:
l � 2 � �152 ��302� � 67,08 cm
c) El ángulo que forma con la arista CD es: tg� � �1350� � �
12
� ⇒ � � 26� 33 54
El camino que recorre es: l � 2 � 30 � �2co
�s3�0
� � �cos(2
26�
�3330 54)
� � 67,08 cm. El mismo resultado que se obtuvo en elapartado anterior.
8.63
8.62
8.61
47° 64°
1 m
Para medir la lluvia
Marina quiere medir la cantidad de agua que ha caído en las últimas lluvias.
Para ello ha utilizado el recipiente con forma de tronco de cono que muestra lafigura, en la que el ángulo señalado mide:
� � 22� 38�.
a) Calcula el valor del radio r de la circunferencia superior del recipiente.
b) Las marcas del recipiente están a la misma distancia unas de otras. ¿Se nece-sita la misma cantidad de lluvia para pasar de unas a otras?
c) Calcula la distancia que separa dos marcas consecutivas del recipiente.
d) Calcula el volumen del recipiente.
e) Calcula la capacidad del recipiente en litros.
a) A partir del triángulo que se puede ver en la figura, el radio superior es:
tg �22�
238� � �
305�0
r� ⇒ r � 30 � 50 � tg (11� 19) � 19,99 cm
b) No. Cuanto más arriba, se necesitará menor cantidad de líquido para pasar de una marca a otra.
c) El lado del cono l mide: l � �(30 ��19,99)2� � 502� � 50,99 cm. Como hay 10 marcas sobreel lado, la distancia entre ellas será de 5,099 cm.
d) El volumen se calcula restando al cono entero el cono pequeño.
El volumen del cono entero es: VC � �13
� � � 302 � �tg(11
3�0
19)� � 141 242,61 cm3
El volumen del cono superior es: V8 � �13
� � � 19,992 � �tg(
1191,�9199)
� � 41 786,92 cm3
El volumen del tronco de cono es: 141 242,61 � 41 786,92 � 99 455,69 cm3
e) Un cm3 equivale a un ml, por lo que el volumen del recipiente es de 99,46 litros aproximadamente.
A U T O E V A L U A C I Ó N
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
a) b)
a) AB � �112 ��62� � 9,22 cm b) AC � 6 � tg 54� � 8,26 cm
cos Cp � �161� � 0,54v ⇒ Cp � 56� 56 39 AB � �
cos654�� � 10,21 cm
Bp � 90� � 56� 56 39 � 33� 3 21 Ap � 90� � 54� � 36�
Observa el dibujo.
a) Julio mide 1,60 m. ¿Qué altura alcanza la bandera?
b) Calcula a qué distancia se encuentra Claudia del pie de la bandera.
a) h � 1,60 � 4 � tg 31� � 4 m
b) d � �4
t�gtg25
3�1�
� � 5,15 m
8.A2
54°6 cm
C
B
A
11 cm
6 cmA
B
C
8.A1
8.64
48
30 cm
50 c
m
α
r
α
α_2
30 cm
50 c
m
r
l
Javier sale de trabajar de un edificio de oficinas, se aleja 40 metros, se gira y observa el edificio conun ángulo de elevación de 76�.
a) Representa gráficamente la situación.
b) Calcula la altura del edificio.
c) ¿Cuánto más debería alejarse Javier para observar el edificio con un ángulo de elevación de 50�?
a) b) h � 40 � tg 76� � 160,43 m
c) La distancia entre Javier y el edificio deberá ser:
d � �tg
x50�� � �
40tg� t
5g0�
76�� � 134,62 m, por lo que tendrá
que alejarse 134,62 � 40 � 94,62 m más.
Las dos ramas de un compás tienen 10 centímetros de longitud. Calcula el radio de la circunferenciaque se puede trazar cuando se abren formando un ángulo de 50�.
r � 2 � 10 � sen 25� � 8,45 cm
Observa el mapa; el tesoro se encuentra en algún punto del interior del triángulo. ¿Qué superficiedeberán rastrear los piratas para encontrarlo?
Para determinar el área, primero se calcula la altura del triángulo:
h � 2 � sen 25� � 0,845 km
La superficie que deben rastrear es:
A � �b
2� h� � �
2,5 �20,845� � 1,056 km2
Calcula el área y el volumen del ortoedro de la figura.
Para calcular la altura del ortoedro se necesita conocer la diagonal de la base:
d � �202 ��92� � 21,93 cm, de forma que la altura es:
h � 21,93 � tg 33� � 14,24 cm
El área será la suma de las áreas de las bases y las áreas laterales:
A � 2 � Abase � Alateral � 2 � 9 � 20 � 2 � 20 � 14,24 � 2 � 9 � 14,24 � 1185,92 cm2
El volumen del ortoedro será: V � Abase � h � 20 � 9 � 14,24 � 2563,2 cm3
E N T R E T E N I D O
Construcciones con palillos
Observa esta construcción: está formada por 7 palillos iguales y en ellapodemos ver 3 triángulos equiláteros.
¿Serías capaz de formar otra construcción en la que aparezcan 4 trián-gulos equiláteros y en la que emplees solamente 6 palillos iguales?
El bloqueo que surge a la hora de resolver este problema es que nos limitamos al pla-no. ¿Has probado a pasar al espacio? En el espacio la solución es inmediata: los 6 pa-lillos corresponden a las 6 aristas de un tetraedro regular.
33°
20 cm9 cm
h
8.A6
8.A5
r
10 cm50º
8.A4
40 m
76�
8.A3
49