Intervalos: Un intervalo es un subconjunto de los números reales, el que se representa gráficamente en la recta numérica, definiéndose: Intervalo cerrado:

[a,b] = { x ∈ IR / a ≤ x ≤ b } Intervalo abierto:

]a,b[ = { x ∈ IR / a < x < b }

Otros intervalos:

[a,b[ = { x ∈ IR / a ≤ x < b }

]a,b] = { x ∈ IR / a < x ≤ b }

[a,+∞[ = { x ∈ IR / x ≥ a }

]−∞,b]= { x ∈ IR / x ≤ b }

]a,+∞[ = { x ∈ IR / x > a }

]−∞,b[ = { x ∈ IR / x < b }

Ejercicios:

1) Escriba en forma conjuntista y represente en la recta:

(a) [3,7] { x ∈ IR / } (b) ]5,9[ { x ∈ IR / } (c) [-2,4[ { x ∈ IR / } (d) ]-5,3] { x ∈ IR / } (e) [4,+∞[ { x ∈ IR / } (f) ]-∞,3] { x ∈ IR / } (g) ]2,+∞[ { x ∈ IR / } (h) ]−∞,5[ { x ∈ IR / }

(1)

Depto. de Matemática

Nombre:

St. John’s School

Fecha:

INTERVALOS E INECUACIONES

2) Escriba en forma conjuntista y como intervalo:

{ x ∈ IR / }

{ x ∈ IR / }

{ x ∈ IR / }

{ x ∈ IR / }

{ x ∈ IR / }

{ x ∈ IR / }

{ x ∈ IR / }

{ x ∈ IR / }

Desigualdades: Una desigualdad es toda expresión en la que se encuentran los símbolos > , < , ≥ , ≤. Al ser > o < la desigualdad es absoluta , a diferencia de ser ≥ o ≤ donde la desigualdad será relativa.

Ejemplos:

-3 -7 71

83

3π 3π

53

− 72

− 23− 25− 237

237

son ejemplos de desigualdades.

Propiedades de las desigualdades: 1) Al sumar o restar un mismo número real a ambas partes de una desigualdad,

esta conserva su sentido.

Ejemplos: 7 > -3 /+5 -8 < 6 /-3

2) Al multiplicar o dividir ambas partes de una desigualdad por un mismo real positivo, la desigualdad conserva su sentido.

Ejemplos: 4 > -5 /.6 -9 < 15 /:3

(2)

3) Al multiplicar o dividir ambas partes de una desigualdad por un mismo real negativo, la desigualdad cambia su sentido por el contrario.

Ejemplos: 7 ≥ -4 /.-5 -8 ≤ 12 /:-4

4) Al tener una desigualdad entre dos cantidades de igual signo, sus valores recíprocos son desiguales en sentido contrario.

Ejemplos: 4 ≥ 3 -8 ≤ -4 valor reciproco: valor reciproco:

5) Al tener una desigualdad entre dos cantidades de distinto signo, sus valores recíprocos son desiguales en el mismo sentido.

Ejemplos: 6 > -2 -5 < 8 valor reciproco: valor reciproco:

Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas, desigualdad que se cumple sólo para determinados valores de tal(es) incógnita(s) Ejemplo: Sea x + 3 > 5 ; esta es una inecuación de incógnita x, la que posee por solución { x ∈ IR / x > 2 } o bien ]2,+∞[.

Resolución de una inecuación: Para resolver toda inecuación de primer grado con una incógnita, se procede de igual forma que para resolver una ecuación de primer grado, manteniéndose el sentido de la desigualdad, a no ser que se multiplique o divida esta por una cantidad negativa, donde cambia el sentido de la desigualdad por el contrario.

a) 5x - 12 > 2x – 3

(b) 3x - 14 ≥ 7x – 2

(3)

Ejemplos: Dados los siguientes pares de inecuaciones, determine la solución para el "∧" como para el "∨" entre ellas:

(a) Sean (1) x - 8 < 12 y (2) x - 6 ≥ 4 ; sus soluciones son: x x Representando sus soluciones en la recta numérica:

La solución para (1) ∧ (2) = La solución para (1) ∨ (2) =

(b) Sean (1) 29 - (5x - 6) ≤ 5 y (2) 7x > 59 - (12x + 21) Representando sus soluciones en la recta numérica:

La solución para (1) ∧ (2) = La solución para (1) ∨ (2) =

(5)

Ejercicios:

1. 4x ≤ 8

2. 5x ≤ 35

3. 7x < 63

4. 3x > 102

Determina la solución de cada una de las siguientes inecuaciones y representalas como;intérvalo y de manera gráfica.

Ejercicios Propuestos:

1) Anote en forma de intervalo los

siguientes conjuntos:

(a) { x ∈ IR / -2 < x ≤ 5 } =

(b) { x ∈ IR / x ≤ 3 } =

(c) { x ∈ IR / -3 ≤ x < 0 } =

(d) { x ∈ IR / x > 5 } =

(e) { x ∈ IR / -7 < x < 1 } =

(f) { x ∈ IR / x < -5 } =

(g) { x ∈ IR /-7 ≤ x ≤ 9 } =

(h) { x ∈ IR / x ≥ 3 } =

2) Anote en forma de intervalo las siguientes representaciones:

5. −4x− 28 > 116

6. 8x + 29 ≥ 71

7. −6x− 45 ≤ 45

8. 2x + 1 < 3

9. 4− 3x > 10

10. 23x− 4 ≤ 4

11. 23x−

53 ≥ 1