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UNIBERTSITATERA SARTZEKO EBALUAZIOA
2020ko OHIKOA
EVALUACIรN PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD
ORDINARIA 2020
GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA II
MATEMรTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Azterketa honek zortzi ariketa ditu. Haietako LAUri erantzun behar diezu.
Jarraibideetan adierazitakoei baino galdera gehiagori erantzunez gero, erantzunak ordenari jarraituta zuzenduko dira, harik eta beharrezko kopurura iritsi arte.
Ez ahaztu azterketa-orrialde guztietan kodea jartzea.
Este examen tiene ocho ejercicios. Debes contestar a CUATRO de ellos.
En caso de responder a mรกs preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirรกn en orden hasta llegar al nรบmero necesario.
No olvides incluir el cรณdigo en cada una de las hojas de examen.
โข Kalkulagailu zientifikoak erabil daitezke, baina, ezin ditu izan ezaugarri hauek:
o pantaila grafikoa o datuak igortzeko aukera o programatzeko aukera o ekuazioak ebazteko aukera o matrize-eragiketak egiteko aukera o determinanteen kalkulua egiteko aukera o deribatuak eta integralak ebazteko aukera o datu alfanumerikoak gordetzeko aukera.
โข Orri honen atzealdean, banaketa normalaren taula dago.
โข Estรก permitido el uso de calculadoras cientรญficas que no presenten
ninguna de las siguientes prestaciones:
o pantalla grรกfica o posibilidad de trasmitir datos o programable o resoluciรณn de ecuaciones o operaciones con matrices o cรกlculo de determinantes o derivadas e integrales o almacenamiento de datos alfanumรฉricos.
โข La tabla de la distribuciรณn normal estรก en el anverso de esta hoja.
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ORDINARIA 2020
GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA II
MATEMรTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
A 1 !"#$" !,! !"#$%&
Se considera la ecuaciรณn matricial:
! โ ! = !! โ ! donde ! =1 2 โ10 1 21 2 0
y ! =102
.
a) !,! !"#$%& ยฟQuรฉ dimensiรณn debe tener la matriz !? b) ! !"#$%& Resuelve la ecuaciรณn matricial.
A 2 !"#$" !,! !"#$%&
Sea ! ! la siguiente funciรณn:
! ! = !! si 0 โค ! โค 1 !" + 2 si 1 < ! โค 2
a) ! !"#$% Determina el valor del parรกmetro ! para que la funciรณn ! ! sea continua en el punto ! = 1.
b) !,! !"#$%& Realiza la representaciรณn grรกfica de la funciรณn cuando ! = 2 . c) ! !"#$% Calcula el รกrea comprendida entre la funciรณn y el eje de abscisas
OX para ! = 2 .
A 3 !"#$" !,! !"#$%& En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se han extraรญdo dos bolas de la caja como se explica a continuaciรณn: se ha extraรญdo una bola, y antes de sacar la segunda se ha devuelto a la caja la primera bola extraรญda, aรฑadiendo otra bola del mismo color.
a) !,!" !"#$%& Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraรญda sea roja si la primera que se ha sacado era azul.
b) ! !"#$% Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraรญda sea azul. c) !,!" !"#$%& Si la segunda bola ha sido azul, ยฟcuรกl es la probabilidad de
que la primera bola extraรญda haya sido roja?
A 4 !"#$" !,! !"#$%& La altura en centรญmetros de las mujeres de un determinado paรญs sigue una distribuciรณn normal de media 163 cm y desviaciรณn tรญpica 7 cm.
a) !,! !"#$%& Si se toma una mujer al azar, ยฟcuรกl es la probabilidad de que su altura sea superior a 171 cm? ยฟY de que su altura estรฉ comprendida entre 155 y 171 cm?
b) ! !"#$% Una empresa que fabrica disfraces quiere elaborar cuatro tallas en funciรณn de la altura, de tal modo que cada una de ellas sea adecuada para el 25 % de las mujeres. ยฟCuรกles serรกn las alturas que marcarรกn el cambio de una talla a otra?
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MATEMรTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
B 1 !"#$" !,! !"#$%& Un guรญa de turismo quiere adquirir tickets de diferentes actividades para sus clientes. En concreto, quiere comprar al menos 16 tickets para acudir a un museo, 20 para realizar una visita guiada y 16 para asistir a un espectรกculo. Dos agencias disponen de ofertas para dichos tickets combinados en paquetes:
โฆ La agencia A ofrece paquetes formados por 6 tickets para el museo, 4 para la visita guiada y 4 para el espectรกculo, a 210 โฌ cada paquete.
โฆ La agencia B ofrece paquetes formados por 4 tickets para el museo, 6 para la visita guiada y 4 para el espectรกculo, a 230 โฌ cada paquete.
ยฟCuรกntos paquetes deberรก comprar el guรญa a cada agencia para que su coste sea mรญnimo? ยฟA cuรกnto asciende dicho coste? B 2 !"#$" !,! !"#$%&
Sea la siguiente funciรณn ! ! = !!!!! .
a) ! !"#$% Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los mรกximos y mรญnimos relativos de la funciรณn.
b) !,! !"#$%& Calcula las asรญntotas verticales y horizontales de la funciรณn. c) !,! !"#$%& Representa grรกficamente el รกrea comprendida entre la funciรณn
y la recta ! = !!.
d) !,! !"#$%& Obtรฉn la primitiva de la funciรณn ! ! , sabiendo que en ! = 0 toma el valor 1.
B 3 !"#$" !,! !"#$%& Sean ! y ! dos sucesos compatibles asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que ! ! = 0,6, ! ! = 0,5 y ! ! โฉ ! = 0,4. Calcula:
a) !,!" !"#$%& ! ! โช ! b) !,! !"#$%& ! !! โฉ !! c) !,! !"#$%& ! !! โฉ ! d) !,!" !"#$%& ! ! !
B 4 !"#$" !,! !"#$%&
El peso de las truchas de una piscifactorรญa sigue una distribuciรณn normal de media 250 gramos y desviaciรณn tรญpica 50 gramos. รnicamente son aptas para la venta aquellas que superan un determinado peso.
a) !,!" !"#$%& ยฟCuรกl deberรญa ser ese peso si se quiere que el 40 % de las truchas de la piscifactorรญa sean aptas para la venta?
b) !,!" !"#$%& Si dicho peso se establece en 280 gramos y en la piscifactorรญa hay un total de 6000 truchas, ยฟcuรกntas de ellas se podrรกn poner a la venta?
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIรN
1. El examen estรก compuesto de cuatro ejercicios. 2. El examen se evaluarรก con una puntuaciรณn entre 0 y 10 puntos. 3. Cada ejercicio se valorarรก entre 0 y 2,5 puntos. 4. En aquellas cuestiones en las que no se especifique el mรฉtodo de resoluciรณn que
se ha de aplicar, se admitirรก cualquier forma de resolverlo correctamente. En caso de responder a mรกs preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirรกn en orden hasta llegar al nรบmero necesario.
ASPECTOS QUE MERECEN VALORACIรN POSITIVA โข Los planteamientos correctos, tanto global como de cada una de las partes, si las
hubiere. โข La correcta utilizaciรณn de conceptos, vocabulario y notaciรณn cientรญfica. โข El conocimiento de tรฉcnicas especรญficas de aplicaciรณn directa para el cรกlculo y/o
interpretaciรณn de datos numรฉricos y grรกficos. โข La terminaciรณn completa del ejercicio y la exactitud del resultado. โข Se considerarรกn igualmente vรกlidas dos soluciones que solo se diferencien en el
grado de exactitud empleado en los cรกlculos numรฉricos. โข No se tomarรกn en consideraciรณn errores numรฉricos, de cรกlculo, etc. siempre que
no sean de tipo conceptual. โข La claridad de las explicaciones de los pasos seguidos. โข Las ideas, grรกficos, presentaciones, esquemas, etc., que ayuden a visualizar
mejor el problema y su soluciรณn. โข La pulcritud de la presentaciรณn, y cualquier otro aspecto que refleje la madurez que
cabe esperar de un estudiante que aspira a entrar en la universidad. ASPECTOS QUE MERECEN VALORACIรN NEGATIVA
โข Los planteamientos incorrectos. โข La confusiรณn de conceptos. โข La abundancia de errores de cรกlculo (por ser indicativa de deficiencias de orden
bรกsico). โข Los errores aislados, cuando indican falta de reflexiรณn crรญtica o de sentido comรบn
(por ejemplo, decir que la soluciรณn a tal problema es -3,7 frigorรญficos, o que cierta probabilidad vale 2,5).
โข Los errores aislados, cuando conducen a problemas mรกs sencillos que los inicialmente propuestos.
โข La ausencia de explicaciones, en particular del significado de las variables que se estรกn utilizando.
โข Los errores ortogrรกficos graves, el desorden, la falta de limpieza, la mala redacciรณn y cualquier otro aspecto impropio de un estudiante que aspira a entrar en la universidad.
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
CRITERIOS PARTICULARES PARA CADA UNO DE LOS PROBLEMAS Problema A.1 (2,5 puntos)
a. 0,5 puntos. Dimensiรณn de la matriz. b. 2 puntos. Resolver la ecuaciรณn.
โข Cรกlculo de la inversa de la matriz ๐ด๐ด: ๏ฟฝ Cรกlculo del determinante de la matriz ๐๐, 0,25 puntos. ๏ฟฝ Adjunto de la matriz ๐๐, 0,5 puntos.
โข Determinar ๐๐, 0,5 puntos. โข Traspuesta de la matriz ๐ด๐ด, 0,25 puntos. โข Cรกlculo de la matriz ๐๐, 0,5 puntos.
Problema A.2 (2,5 puntos) a. 1 punto.
โข Definiciรณn de la continuidad de una funciรณn en un punto, 0,25 puntos. โข Lรญmites laterales, 0,5 puntos. โข Cรกlculo del valor de ๐๐, 0,25 puntos.
b. 0,5 puntos. Representaciรณn grรกfica. c. 1 punto.
โข Delimitar el recinto del รกrea: ๐จ๐จ = ๐จ๐จ๐๐ + ๐จ๐จ๐๐, 0,25 puntos. โข Cรกlculo de la integral, 0,25 puntos. โข Cรกlculo del รกrea del recinto aplicando la Regla de Barrow, 0,5 puntos.
Problema A.3 (2,5 puntos) a. 0,75 puntos. Cรกlculo de la probabilidad pedida. b. 1 punto. Cรกlculo de la probabilidad pedida: probabilidad total. c. 0,75 puntos. Cรกlculo de la probabilidad pedida: probabilidad โa posterioriโ.
Problema A.4 (2,5 puntos) a. 1,5 puntos. Cรกlculo de cada probabilidad, 0,75 puntos. b. 1 punto.
โข Planteamiento del problema, 0,25 puntos. โข Cรกlculo de los valores, 0,25 puntos cada uno, por lo tanto, 0,75 puntos.
Problema B.1 (2,5 puntos) โข Determinar la funciรณn objetivo, 0,25 puntos. โข Determinar las restricciones, 0,25 puntos. โข Representar la regiรณn factible, 1 punto. โข Determinar los vรฉrtices de la regiรณn factible, 0,5 puntos. โข Valorar la funciรณn en los vรฉrtices, 0,25 puntos. โข Concretar el mรญnimo y el valor de la funciรณn en รฉl, 0,25 puntos.
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
Problema B.2 (2,5 puntos)
a. 1 punto. โข Cรกlculo de la derivada, 0,4 puntos. โข Obtenciรณn de los intervalos de crecimiento y decrecimiento, 0,3 puntos. โข Obtenciรณn de los mรกximos y mรญnimos relativos, 0,3 puntos.
b. 0,5 puntos. โข Definiciรณn de asรญntota vertical, 0,1 puntos. โข Determinar la asรญntota horizontal, 0,4 puntos.
c. 0,5 puntos โข Representaciรณn de la funciรณn, 0,3 puntos. โข Representaciรณn de la recta, 0,2 puntos.
d. 0,5 puntos. โข Cรกlculo de la primitiva, 0,3 puntos. โข Determinar el parรกmetro de la primitiva, 0,2 puntos. โข
Problema B.3 (2,5 puntos) a. 0,65 puntos Cรกlculo de la probabilidad pedida. b. 0,6 puntos Cรกlculo de la probabilidad pedida. c. 0,6 puntos Cรกlculo de la probabilidad pedida. d. 0,65 puntos Cรกlculo de la probabilidad pedida.
Problema B.4 (2,5 puntos) a. 1,25 puntos.
โข Planteamiento, 0,25 puntos. โข Tipificaciรณn de la variable, 0,25 puntos. โข Determinaciรณn del valor en tablas, 0,5 puntos. โข Cรกlculo del peso, 0,25 puntos.
b. 1,25 puntos. โข Planteamiento, 0,5 puntos. โข Cรกlculo de la probabilidad, 0,5 puntos. โข Concreciรณn de la cantidad, 0,25 puntos.
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
SOLUCIONES
A 1 Dimensiรณn de una matriz. Cรกlculo matricial. Ecuaciรณn matricial.
a) Dimensiรณn de la matriz ๐๐, esto es, ๐๐ โ โณ๐๐๐๐๐๐
๐ด๐ด โ โณ3 โ ๐ด๐ด๐ก๐ก โ โณ3
๐ด๐ด๐ก๐ก โ โณ3๐๐3 โง ๐ต๐ต โ โณ3๐๐1 โ ๐ด๐ด๐ก๐ก โ ๐ต๐ต โ โณ3๐๐1
๐ด๐ด โ ๐๐ = ๐ด๐ด๐ก๐ก โ ๐ต๐ต โ โณ3๐๐1 โ ๐ด๐ด โ ๐๐ โ โณ3๐๐1
o ๐ด๐ด โ โณ3๐๐3 โง ๐๐ โ โณ๐๐๐๐๐๐ โ โ ๐ด๐ด โ ๐ต๐ต ๐๐ = 3
o ๐ด๐ด โ โณ3๐๐3 , ๐๐ โ โณ3๐๐๐๐ โง ๐ด๐ด โ ๐๐ โ โณ3๐๐1 โ ๐๐ = 1
b) Resoluciรณn de la ecuaciรณn matricial: ๐ด๐ด โ ๐๐ = ๐ด๐ด๐ก๐ก โ ๐ต๐ต.
|๐ด๐ด| = ๏ฟฝ1 2 โ10 1 21 2 0
๏ฟฝ = 1
(๐ด๐ด๐ด๐ด๐ด๐ด ๐ด๐ด)๐ก๐ก
๐ด๐ด11 = ๏ฟฝ1 22 0๏ฟฝ = โ4 ๐ด๐ด21 = โ ๏ฟฝ2 โ1
2 0 ๏ฟฝ = โ2 ๐ด๐ด31 = ๏ฟฝ2 โ11 2 ๏ฟฝ = 5
๐ด๐ด12 = โ ๏ฟฝ0 21 0๏ฟฝ = 2 ๐ด๐ด22 = ๏ฟฝ1 โ1
1 0 ๏ฟฝ = 1 ๐ด๐ด32 = โ ๏ฟฝ1 โ10 2 ๏ฟฝ = โ2
๐ด๐ด13 = ๏ฟฝ0 11 2๏ฟฝ = โ1 ๐ด๐ด23 = โ ๏ฟฝ1 2
1 2๏ฟฝ = 0 ๐ด๐ด33 = ๏ฟฝ1 20 1๏ฟฝ = 1
๐ด๐ดโ1 = 1|๐ด๐ด| (๐ด๐ด๐ด๐ด๐ด๐ด ๐ด๐ด)๐ก๐ก = 11 ๏ฟฝ
โ4 โ2 52 1 โ2โ1 0 1
๏ฟฝ = ๏ฟฝโ4 โ2 52 1 โ2โ1 0 1
๏ฟฝ
๐ด๐ด๐๐ = ๐ด๐ด๐ก๐ก โ ๐ต๐ต โ ๐ด๐ดโ1 ๐ด๐ด๐๐ = ๐ด๐ดโ1๐ด๐ด๐ก๐ก๐ต๐ต โ ๐๐ = ๐ด๐ดโ1๐ด๐ด๐ก๐ก๐ต๐ต
๐ด๐ด๐ก๐ก = ๏ฟฝ1 0 12 1 2โ1 2 0
๏ฟฝ
Por lo tanto,
๐ฟ๐ฟ = ๏ฟฝ๏ฟฝโ4 โ2 52 1 โ2โ1 0 1
๏ฟฝ ๏ฟฝ1 0 12 1 2โ1 2 0
๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ102๏ฟฝ = ๏ฟฝ
โ13 8 โ86 โ3 4โ2 2 โ1
๏ฟฝ ๏ฟฝ102๏ฟฝ = ๏ฟฝ
โ๐๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐
๏ฟฝ
โ ๐ฟ๐ฟ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
A 2 Continuidad de una funciรณn. Representaciรณn grรกfica. Cรกlculo de los valores de una funciรณn y del รกrea que forma con el eje de abscisas
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ2 si 0 โค ๐ฅ๐ฅ โค 1 ๐๐๐ฅ๐ฅ + 2 si 1 < ๐ฅ๐ฅ โค 2
a) ๐๐ tal que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) continua en ๐ฅ๐ฅ = 1 โ lim๐๐โถ1โ
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = lim๐๐โถ1+
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(1)
lim๐๐โถ1โ
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = lim๐๐โถ1โ
๐ฅ๐ฅ2 = 1
lim๐๐โถ1+
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = lim๐๐โถ1+
(๐๐๐ฅ๐ฅ + 2) = ๐๐ + 2
๐๐(1) = 12 = 1
Por lo tanto, ๐๐ + 2 = 1 โ ๐๐ = โ๐๐
b) Representaciรณn grรกfica de la funciรณn
cuando ๐๐ = 2 .
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ2 si 0 โค ๐ฅ๐ฅ โค 1
2๐ฅ๐ฅ + 2 si 1 < ๐ฅ๐ฅ โค 2
c) รrea comprendida entre la funciรณn y el eje de abscisas OX:
๐จ๐จ = ๐จ๐จ๐๐ + ๐จ๐จ๐๐
๐ด๐ด1 = โซ (๐ฅ๐ฅ2 โ 0)๐ด๐ด๐ฅ๐ฅ10 = ๏ฟฝ ๐๐
3
3 ๏ฟฝ0
1= ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ด๐ด2 = โซ (2๐ฅ๐ฅ + 2 โ 0)๐ด๐ด๐ฅ๐ฅ21 = ๏ฟฝ 2๐๐
2
2 + 2๐ฅ๐ฅ๏ฟฝ1
2=
= [๐ฅ๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฅ]12 = (4 + 4) โ (1 + 2) =
= ๐๐ ๐๐๐๐
Esto es: ๐จ๐จ = ๏ฟฝ ๐๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
A 3 Cรกlculo de probabilidades; probabilidad total y probabilidad a posteriori.
Sucesos;
๐ด๐ด1 = la primera bola azul ๐ด๐ด2 = la segunda bola azul
๐ ๐ 1 = la primera bola roja ๐ ๐ 2 = la segunda bola roja
a) Probabilidad de que la segunda bola extraรญda sea roja si la primera que se ha
sacado ha sido azul: ๐๐(๐ ๐ 2|๐ด๐ด1)
๐๐(๐ ๐ 2|๐ด๐ด1) = ๐๐ ๐๐๏ฟฝ
b) Probabilidad de que la segunda bola extraรญda sea azul: ๐๐(๐ด๐ด2)
๐๐(๐ด๐ด2) = ๐๐(๐ ๐ 1) ๐๐(๐ด๐ด2|๐ ๐ 1) + ๐๐(๐ด๐ด1) ๐๐(๐ด๐ด2|๐ด๐ด1) = 12 โ
13 + 1
2 โ23 = ๐๐ ๐๐๏ฟฝ
c) Si la segunda bola ha sido azul la probabilidad de que la primera fuera
roja: P(R1|A2)
P(R1|A2) = P(R1 โฉ A2)P(A2) = ๐๐(๐ ๐ 1) ๐๐(๐ด๐ด2|๐ ๐ 1)
P(A2) =12 โ
13
12
= ๐๐ ๐๐๏ฟฝ
Saca rojo Saca azul
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
A 4 Comprensiรณn y utilizaciรณn de una distribuciรณn normal.
a) ๐๐ โก altura ~ ๐๐( ๐๐ ,๐๐ ) = ๐๐( 163, 7 )
โข ๐๐(๐๐ > 171)?
๐๐(๐๐ > 171) = ๐๐ ๏ฟฝ ๐๐ โ 1637 > 171โ 163
7 ๏ฟฝ = ๐๐(๐๐ > 1,14) = 1 โ ๐๐(๐๐ โค 1,14) =
=1 โ 0,8729 = ๐๐,๐๐๐๐๐๐๐๐
โข ๐๐ (155 โค ๐๐ โค 171) ?
๐๐ (155 โค ๐๐ โค 171) = ๐๐ ๏ฟฝ 155 โ 1637 โค ๐๐ โ 163
7 โค 171 โ 1637 ๏ฟฝ = ๐๐(โ1,14 โค ๐๐ โค 1,14)
= 0,8729 โ (1 โ 0,8729) = ๐๐, ๐๐๐๐๐๐๐๐
b) Cรกlculo de las alturas que marcan el paso de una talla a otra.
Se deben determinar los puntos ๐๐, ๐๐ y ๐๐ tales que: ๐๐(๐๐ โค ๐๐) = 0,25, ๐๐(๐๐ โค ๐๐) = 0,5 y
๐๐(๐๐ โค ๐๐) = 0,75.
โข ๐๐ ? tal que ๐๐(๐๐ โค ๐๐) = 0,25
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
๐๐(๐๐ < ๐๐) = 0,25 โ ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ โ 1637 โค ๐๐ โ 163
7 ๏ฟฝ = 0,25 โ ๐๐๏ฟฝ๐๐ โค ๐๐ โ 1637 ๏ฟฝ = 0,25
โ ๐๐ โ 1637 = โ0,675 โ ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐,๐๐๐๐๐๐
โข ๐๐ ? tal que ๐๐(๐๐ โค ๐๐) = 0,5
๐๐(๐๐ < ๐๐) = 0,5 โ ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ โ 1637 โค ๐๐ โ 163
7 ๏ฟฝ = 0,5 โ ๐๐๏ฟฝ๐๐ โค ๐๐ โ 1637 ๏ฟฝ = 0,5
โ ๐๐ โ 1637 = 0 โ ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
โข ๐๐ ? tal que ๐๐(๐๐ โค ๐๐) = 0,75
๐๐(๐๐ < ๐๐) = 0,75 โ ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ โ 1637 โค ๐๐ โ 163
7 ๏ฟฝ = 0,75 โ ๐๐๏ฟฝ๐๐ โค ๐๐ โ 1637 ๏ฟฝ = 0,75
โ ๐๐ โ 1637 = 0,675 โ ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐,๐๐๐๐๐๐
Por lo tanto, las tres alturas que marcarรกn el paso de una talla a la siguiente son 158,275 cm, 163 cm y 167,725 cm.
% 50
% 75
% 25
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CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
B 1 Problema de programaciรณn lineal con dos variables:
La funciรณn objetivo es:
๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐ฆ๐ฆ) = 210 ๐ฅ๐ฅ + 230 ๐ฆ๐ฆ
Las restricciones son:
โฉโชโจโชโง
๐ฅ๐ฅ โฅ 0๐ฆ๐ฆ โฅ 0
6๐ฅ๐ฅ + 4๐ฆ๐ฆ โฅ 164๐ฅ๐ฅ + 6๐ฆ๐ฆ โฅ 204๐ฅ๐ฅ + 4๐ฆ๐ฆ โฅ 16
En el plano XY la regiรณn factible es:
Por lo tanto, los vรฉrtices son:
๐ด๐ด(0, 4) ,๐ต๐ต(2, 2), ๐ถ๐ถ(5, 0)
๐๐(๐ด๐ด) = ๐๐(0, 4) = 920
๐๐(๐ต๐ต) = ๐๐(2, 2) = 880
๐๐(๐ถ๐ถ) = ๐๐(5, 0) = 1050
Por lo tanto, el valor mรญnimo de la funciรณn se
obtiene en el punto ๐ฉ๐ฉ(๐๐, ๐๐), y consecuentemente, el guรญa tiene que comprar dos
paquetes a cada agencia para conseguir el coste mรญnimo, esto es, 880 euros.
MUSEO VISITA GUIADA ESPECTรCULO PRECIO CANTIDAD
A 6 4 4 210โฏโฌ x
B 4 6 4 230โฏโฌ y
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UNIBERTSITATERA SARTZEKO EBALUAZIOA EVALUACIรN PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD
ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK
CRITERIOS DE CORRECCIรN Y CALIFICACIรN
B 2 Problema de anรกlisis de una funciรณn. Cรกlculo de la funciรณn primitiva de una funciรณn.
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2 + 1
a) Estudiamos el crecimiento de la funciรณn, a travรฉs del signo de ๐๐ยด(๐ฅ๐ฅ):
๐๐ยด(๐ฅ๐ฅ) = โ๐๐2+1(๐๐2+1)2
๐๐(๐ฅ๐ฅ) es creciente cuando ๐๐ยด(๐ฅ๐ฅ) > 0
โ๐ฅ๐ฅ2 + 1(๐ฅ๐ฅ2 + 1)2 > 0 โ โ๐ฅ๐ฅ2 + 1 > 0 โ (๐ฅ๐ฅ + 1)(๐ฅ๐ฅ โ 1) < 0 โ
-1 1 -2 0 2
(๐ฅ๐ฅ + 1) - + +
(๐ฅ๐ฅ โ 1) - - +
(๐ฅ๐ฅ + 1)(๐ฅ๐ฅ โ 1) + - +
๐๐(๐๐) โ โ โ
Por lo tanto, ๐๐(๐๐) es decreciente en (โโ,โ๐๐) โช (๐๐, โ) y creciente en (โ๐๐, ๐๐) โข Mรกximos y mรญnimos relativos:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) es continua en โ , es decreciente en el intervalo (โโ,โ1) y
creciente en (โ1, 1), por lo tanto, en el punto de abscisa ๐ฅ๐ฅ = โ1 la funciรณn
tiene un mรญnimo relativo.
๐๐(โ1) = โ1 2๏ฟฝ โ el punto ๏ฟฝโ๐๐, โ๐๐ ๐๐๏ฟฝ ๏ฟฝ es un mรญnimo relativo.
En el intervalo (โ1, 1) la funciรณn es creciente y en (1, โ) es decreciente,
por lo tanto, en el punto de abscisa ๐ฅ๐ฅ = 1 la funciรณn tiene un mรกximo relativo.
๐๐(1) = 1 2๏ฟฝ โ el punto ๏ฟฝ๐๐, ๐๐ ๐๐๏ฟฝ ๏ฟฝ es un mรกximo relativo.
b) Asรญntotas verticales y horizontales:
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a. Asรญntotas verticales:
El dominio de definiciรณn de ๐๐(๐ฅ๐ฅ) es โ โ โ ๐ฅ๐ฅ0 tal que lim๐๐โถ๐๐0
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ยฑ โ, por
lo tanto, la funciรณn no tiene asรญntotas verticales.
b. Asรญntotas horizontales:
lim๐๐โยฑโ
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = lim๐๐โยฑโ
๐๐๐๐2+1 = 0, por lo tanto, ๐๐ = ๐๐ asรญntota horizontal.
c) Representar el รกrea de la superficie comprendida entre la funciรณn y la recta ๐ฆ๐ฆ = ๐๐2
:
d) Calcular la funciรณn primitiva de la funciรณn ๐๐(๐ฅ๐ฅ) que tiene el valor 1 cuando ๐ฅ๐ฅ = 0 :
Calcularemos ๐น๐น(๐ฅ๐ฅ) = โซ ๐๐๐๐2+1 ๐ด๐ด๐ฅ๐ฅ :
๐น๐น(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2 + 1 ๐ด๐ด๐ฅ๐ฅ = 1
2 ๏ฟฝ 2๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2 + 1 ๐ด๐ด๐ฅ๐ฅ = 1
2 ๐ฟ๐ฟ๐๐(๐ฅ๐ฅ2 + 1) + ๐พ๐พ
Entonces, como ๐น๐น(0) = 1 โ 12 ๐ฟ๐ฟ๐๐ 1 + ๐พ๐พ = 1 โ ๐พ๐พ = 1
Por lo tanto, ๐ญ๐ญ(๐๐) = ๐๐๐๐ ๐ณ๐ณ๐ณ๐ณ(๐๐๐๐ + ๐๐) + ๐๐
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B 3 Problema de cรกlculo de probabilidades.
Sabemos ๐๐(๐ด๐ด) = 0,6 ; ๐๐(๐ต๐ต) = 0,5 ; ๐๐(๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต) = 0,4
a) Calcular: ๐๐(๐ด๐ด โช ๐ต๐ต)
๐๐(๐ด๐ด โช ๐ต๐ต) = ๐๐(๐ด๐ด) + ๐๐(๐ต๐ต) โ ๐๐(๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต) = 0,6 + 0,5 โ 0,4 = 0,7 โ ๐ท๐ท(๐จ๐จ โช ๐ฉ๐ฉ) = ๐๐,๐๐
b) Calcular: ๐๐(๐ด๐ด๐๐ โฉ ๐ต๐ต๐๐)
๐๐(๐ด๐ด๐๐ โฉ ๐ต๐ต๐๐) = ๐๐((๐ด๐ด โช ๐ต๐ต)๐๐) = 1 โ ๐๐(๐ด๐ด โช ๐ต๐ต) = 1 โ 0,7 = 0,3 โ ๐ท๐ท(๐จ๐จ๐๐ โฉ ๐ฉ๐ฉ๐๐) = ๐๐,๐๐
c) Calcular: ๐๐(๐ด๐ด๐๐ โฉ ๐ต๐ต)
๐๐(๐ด๐ด๐๐ โฉ ๐ต๐ต) = ๐๐(๐ต๐ต) โ ๐๐(๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต) = 0,5 โ 0,4 = 0,1 โ ๐ท๐ท(๐จ๐จ๐๐ โฉ ๐ฉ๐ฉ) = ๐๐,๐๐
d) Calcular: ๐๐(๐ด๐ด|๐ต๐ต)
๐๐(๐ด๐ด|๐ต๐ต) = ๐๐(๐ด๐ดโฉ๐ต๐ต)๐๐(๐ต๐ต) โ ๐๐(๐ด๐ด|๐ต๐ต) = 0,4
0,5 = 0,8 โ ๐ท๐ท(๐จ๐จ|๐ฉ๐ฉ) = ๐๐,๐๐
OTRA MANERA: a travรฉs de una tabla de contingencia o de doble entrada.
๐ฉ๐ฉ ๐ฉ๐ฉ๐๐
๐จ๐จ 0,4 0,2 0,6
๐จ๐จ๐๐ 0,1 0,3 0,4
0,5 0,5 1
A0,2
B0,1
๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต 0,4
๐ด๐ด๐๐ โฉ ๐ต๐ต๐๐
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B 4 Comprensiรณn y uso de la distribuciรณn normal, y cรกlculo de probabilidades. ๐๐ โก peso de las truchas~๐๐(250, 50)
a) Peso mรญnimo para que la piscifactorรญa pueda vender el 40 % de las truchas.
Tenemos que encontrar ๐๐ tal que ๐๐(๐๐ โฅ ๐๐) = 0,4
k
Tipificaciรณn de la variable ๐๐ : ๐๐ = ๐๐โ25050 โ ๐๐ = 50๐๐ + 250
๐๐(๐๐ โฅ ๐๐) = ๐๐(50๐๐ + 250 โฅ ๐๐) = ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ โฅ ๐๐โ25050 ๏ฟฝ = 0,4
โ 1 โ ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ < ๐๐ โ 25050 ๏ฟฝ = 0,4 โ ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ < ๐๐ โ 250
50 ๏ฟฝ = 0,6
Mirando en la tabla de la distribuciรณn normal, ๐๐โ25050 = 0,255 โ ๐๐ = 262,75
Por lo tanto, el peso mรญnimo tiene que ser 262,75 gramos.
b) Calcular ๐๐(๐๐ โฅ 280), ๐๐ = 6000
๐๐(๐๐ โฅ 280) = ๐๐(50๐๐ + 250 โฅ 280) = ๐๐ ๏ฟฝ๐๐ โฅ 280โ25050 ๏ฟฝ = ๐๐(๐๐ โฅ 0,6) =
= 1 โ ๐๐(๐๐ < 0,6) = 1 โ 0,7257 = 0,2743 โ ๐๐๐๐,๐๐๐๐ %
El 27,43 % de 6000 โ 6000 โ 0,2743 = 1645,8 Por lo tanto, en la piscifactorรญa se podrรกn poner a la venta aproximadamente 1646 truchas.
% 40
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