UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Escuela Politcnica Superior de Ingeniera de Gijn

3er curso Ingeniera Industrial

Curso 2005-06

Mecnica de Fluidos

8. FLUJO EN CONDUCTOS.

Flujo en conductos 10Julin Martnez de la Calle rea de Mecnica de Fluidos Gijn diciembre 2005

Apuntes de Mecnica de FluidosJMC 05

8. FLUJO EN CONDUCTOS.

8.1. Flujos laminar y turbulento.8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.8.1.2. Modelos de turbulencia.8.2. Flujo estacionario, incompresible en conductos.8.2.1. Prdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach.8.2.2. Clculo de tuberas.8.2.3. Redes de tuberas: mtodo de Hardy-Cross.8.3. Flujo no estacionario.8.3.1. Oscilaciones tubo en U.8.3.2. Establecimiento del flujo.8.3.3. Golpe de ariete.8.4. Problemas resueltos.

8.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO.

La solucin general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos, actualmente no se tiene. Aunque se dispone de un sistema homogneo de ecuaciones diferenciales (constitucin + conservacin) con lasmagnitudes del flujo (p, , T, , u, v, w), solo se tiene la solucin analtica para casos muy concretos con fuerteshiptesis restrictivas. No obstante, las tcnicas numricas, estn aportando soluciones.

La mayor dificultad de la resolucin analtica, viene determinada, por que en funcin de la relacin entre las fuerzas de inercia y las viscosas, el flujo es totalmente distinto: si predominan las fuerzas viscosas, el movimiento es ordenado, denominndose flujo laminar; si son predominantes las fuerzas de inercia, el flujo es agitado y fluctuante, denominandose flujo turbulento. La relacin entre las fuerzas de inercia y viscosas, es el parmetro adimensional intrnseco en Mecnica de Fluidos, y se denomina nmero de Reynolds: Re.

En flujo laminar, no hay fluctuaciones en los valores de las magnitudes, que solo dependen de las posicin y del tiempo. En cambio, en flujo turbulento, los valores son fluctuantes entorno a un valor medio. El paso de un tipo de flujo al otro, no es discreto, hay un flujo de transicin, en donde se presentan fluctuaciones espordicas.

Tanto el flujo laminar, como el turbulento, vienen descritos por las ecuaciones de conservacin y constituticin. En flujo laminar, en funcin de la geometra y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes del flujo, se tienen variables estocsticas, para las que actualmente no se conoce solucin analtica.

8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.

Como hemos citado anteriormente, las ecuaciones de conservacin y de constitucin, forman un conjunto homogneo. Particularizando para el flujo incompresible, isotrpico e isotermo de un fluido newtoniano, las magnitudes del flujo son la presin y las tres componentes del vector velocidad; disponientdo de 4 ecuaciones diferenciales entre ellas: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:

u + v + w = 0x y z g p + 2 v = d vdt

Tanto en flujo laminar, como en turbulento, vienen descritos, por las ecuaciones anteriores. En flujo laminar, en funcin de la geometra y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las cuatro magnitudes del flujo (presin y las tres de la velocidad), se tienen variables estocsticas, para las que actualmente no se conoce solucin analtica.

Estas consideraciones, llevaron a Osborne REYNOLDS a considerar a las variables, como suma de un valor medio y de su correspondiente fluctuacin temporal:

u' _u u(t) = u(T) + u' (t)u

t

u(T) =

T0 u(t )dtT

u = componente x de la velocidad, en un determinado punto, a lo largo del tiempo. u' = fluctuacin de la componente x, en un determinado instante.u = valor medio de la componente x, a lo largo de un periodo de promedio >> tiempo caracterstico.

Anlogamente a la componente x de la velocidad:

_u(t) = u(T) + u' (t) , se tienen expresiones para las_ _ _otras componentes y para la presin: v(t) = v(T) + v' (t) ;

w (t) = w(T) + w' (t) ; p(t) = p(T) + p' (t)

Por su propia definicin, el valor medio de la fluctuacin turbulenta es nulo, definindose como una medida de la turbulencia, su valor cuadrtico medio, que se denomina intensidad de turbulencia:

Tu' (t)u' (t)dt(u')2 0 =TPara flujo incompresible, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde las magnitudes (u,v,w,p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuacin, integran un conjunto de 4 ecuaciones que se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes):

u + v + w = 0x y

z 2

2 2

g p + u + u + u u'u' u'v' u'w ' = dux x

x 2

y 2

z 2 x y

z dt 2 2 2 g p + v + v + v v'u ' v'v' v'w ' = d v

y y

x 2

y 2

z 2 x y

z dt

2 2 2 g p + w + w + w w 'u' w 'v' w 'w ' = d w

z z

x 2

y 2

z 2 x y

z dt

En el trmino de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), se tienen dos tipos de esfuerzos:

Esfuerzos laminares:

u ,x

u ,y

u ;z

v ,x

v ,y

v ;z

w ,x

w ,y

wz

Esfuerzos turbulentos o de Reynolds: (u'u'),

(v'v'),

(w'w')

(u'v'),

(u'w'),

(v'w')

Genricamente las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos, son:

u x= vT = x

(u'u') (u'v')

uy vy

(u'v') (v'v')

uz vz

(u'w')

(v'w') w

x

(u'w')

wy

(v'w')

wz

(w'w ')

8.1.2. Modelos de turbulencia.La determinacin de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds, es la gran dificultad para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia, de los que citaremos los denominados de una ecuacin de Boussineq y de Prandtl. Modelos ms completos, se estudiaran en la descripcin de la capa lmite de la leccin 9: modelos de dos ecuaciones, como los k-epsiln y los k-omega.

a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ: se define la viscosidad turbulenta, como una propiedad del flujo, que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad:

esfuerzo turbulento

u'v' =

u v

+ t =gradiente de velocidad

( ) turbulento

t y

x

b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L), como el recorrido libre medio de una partcula en los torbellinos turbulentos, sin que choque con otra partcula; con lo que las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: uvL(u/y); siendo la viscosidad turbulenta : L2 ut yVon Karman, estableci la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L), y la posicin (y) en la capa lmite1, con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta, y con ella el esfuerzo tubulento de Reynolds:

L = y

L2 ut y

= (y)2 uy

= ( )

= (u'v') =

u = (y)2 u u = 2 u u y 2turbulento

t xy

t y

y y

y y

El coeficiente de Karman, es una constante universal en flujo turbulento = 0,41

Con estas consideraciones, en el caso del flujo en conductos, se puede deducir el perfil de velocidades en flujo turbulento, que viene dado por la ley logaritmica de la capa lmite de Millikan:

u(r ) = u

1 ln (R r )u + B

* *

k en donde u* es la velocidad de friccin, definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: w=(u*)2; k esel coeficiente de Karman (k=0,41) y B es aproximadamente 5,0.

1 El concepto de CAPA LMITE, establecido por Ludwing PRANDTL, se desarrollara en la leccin 9 (flujo externo). Bsicamente, es la zona del flujo en las proximidades de las paredes slidas, en donde son apreciables los esfuerzos viscosos; distinguiendose tres zonas de distribucin diferenciada de esfuerzos viscosos: en la ms proxima a la pared, son predominantes los esfuerzos viscosos (subcapa lmite laminar), en la ms alejada de la pared, son predominantes los esfuerzos turbulentos (subcapa limite turbulenta), y entre las dos zonas se tienen esfuerzos de ambos tipos.

8.2. FLUJO ESTACIONARIO, INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS.

8.2.1. Prdida de carga: Ec. de Darcy-Weisbach: se define perdida de carga, como la energa disipada por unidad de peso; y se obtiene a partir de la tensin de rozamiento en la pared. En una tubera (longitud L, dmetro D), se denominan perdidas lineales:

h pl =

E p =

F L

= ( w DL)L

= 4 w

L mg mg

D 2

L g

gD

4

Rgimen Laminar (Re4000): los esfuerzos de rozamiento tienen trminos viscosos y trminos turbulentos, con lo que no es posible la resolucin de Navier-Stokes; no obstante, por analisis dimensional, se obtiene el factor de friccin de Darcy, que adimensionaliza la tensin de rozamiento en la pared:

8f = w v 2

2 2 2

La ecuacin de la perdida de carga lineal, ser: h

= (4

) L = f v L = f L v pl w

gD

gD

D 2gQue es la ecuacin de Darcy-Weisbach, en donde la perdida de carga es proporcional al cuadrado de la velocidad, o al cuadrado del caudal:

L v 2 8f L 2h = f = ... =pl D 2g

Qg 2 D 5

En rgimen turbulento el factor de friccin depende, adems del nmero de Re, de la rugosidad relativa: r=/D; en donde es la rugosidad de la tubera, que representa las alturas promedio de lasirregularidades de la superficie interior de la tubera. Segn pusieron de relieve Prandtl y von Karman, esadependencia est determinada por la relacin entre la rugosidad y el espesor de la subcapa lmite laminar, que es la zona de la capa lmite, directamente en contacto con la superficie interior de la tubera y los esfuerzos son exclusivamente viscosos. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapa lmite laminar, la tubera puede considerarse lisa y el factor de friccin slo depende del nmero de Reynolds, segn la expresin emprica que obtuvo Prandlt, a parir del a ley logartmica de velocidad en la capa lmite:

Tubera lisa:

1

= 2 log

2,51 f Re f

Para nmeros de Reynolds grandes (rgimen turbulento completamente desarrollado) la importancia de la subcapa lmite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de friccin pasa a depender slo de

la rugosidad relativa (von Karman, 1938):

1

= 2 r log 3,7f

Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron una nica expresin para el factor de friccin que puede aplicarse en todo el rgimen turbulento:

log+ 1

= 2 r

2,51 f 3,7

Re f

Esta ecuacin tiene el inconveniente de que el factor de friccin aparece en forma explicita, y debe recurrirse al calculo numrico para su resolucin. No obstante, en un principio sin la herramienta del calculo numrico, Moody desarroll un diagrama que lleva su nombre, a partir de la ecuacin de Colebrook, en donde se muestra una familia de curvas de isorugosidad relativa, con las que se determina el factor de friccin a partir de la interseccin de la vertical del nmero de Reynolds, con la isocurva correspondiente.

1

1,11

6,9 r Una solucin alternativa, es la ecuacin de Haaland:

1,8 log + 3,7 Ref

En el diagrama de Moody, se representa en doble escala logaritmica, el factor de friccin vs el nmero de Reynolds, con distintas curvas de rugosidad relativa.

El flujo laminar ReRe>4000: zona crtica de paso de flujo laminar a turbulento4000>Re y f=f(r,Re): zona de transicin con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds10000>Re y f=f(r): zona turbulencia completamente desarrollada, dependencia solo de rugosidad

8.2.2. Clculo de tuberas:

CASO (1): clculo de la prdida de carga.

DATOS:tubera:D, Lfluido:flujo:, Q,

CLCULO: perdida de carga: hp

RESOLUCIN: 1. nmero de Reynolds:

Re = vD = 4Q

2. para FLUJO LAMINAR (Re4000):f = f (Re, r) : Ec. Colebrook:

1

= 2 log r + 2,51 f 3,7

Re f

Ec. Darcy-Weisbach:

h pl = f

L v 2D 2g

= ... =

8f g 2

L Q 2D 5

CASO (2): clculo del caudal.

DATOS:tubera:D, Lfluido:flujo:, hpCLCULO:caudal: Q,

RESOLUCIN: 1. FLUJO LAMINAR (Re4000):

32 5

h p g 2 D 5 Ec. Darcy-Weisbach:

h p g D / 8L K f = =

K = Q 2 Q 2

8L

Nmero de Reynolds:

Re = 4Q

Re

f = 4Q K = 4 KD

D Q

D

Ec. Colebrook:

Q = 2

K log r +

2,51D 3,7

4 K

CASO (3): clculo del dimetro.

DATOS:tubera:L,

fluido:flujo:, Q, hp

CLCULO:dimetro: D

RESOLUCIN: 1. FLUJO LAMINAR (Re4000):

2 5

h p g 2 Ec. Darcy-Weisbach:

h p g D 5

= =f CD8LQ 2

[Ec.1]

C =

8LQ 2 Ec. Colebrool:

1 = 2 log / D + 2,51

[Ec.2]f 3,7

4Q

fD

En las dos ecuaciones, se tienen como incgnitas f y D, la resolucin simultanea por mtodos iterativos da sus valores.

DATOS

Dinicial =

Q /

se supone una velocidad de 4 m/s en la iteracin inicial

D = Dinicial

Ec. 1: f=CD5

D = (fColebrook/C)0,2

= r

Re =

D4QD

Ec.2

fColebrook =f(Re,r )

SI f fColebrook

< 105 NO

FIN

8.2.3. Redes de tuberas: mtodo de Hardy-Cross.

En una instalacin de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberas acopladas en serie, en paralelo o como una combinacin de ambas, que integran una red de tuberas. En las tuberas en serie, el caudal que circula por ellas es el mismo, y la prdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puede considerar como una nica tubera cuyo termino resistente es la suma de los trminos individuales. Se define resistencia de una tubera al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la prdida de carga:k = f L 8 D 5 2 gh p total = h p i =i

Q k i 2 i

(8)

(9)Para regimen turbulento totalmente desarrollado, el factor de friccin solo depende de la rugosidad relativa, y es constante a partir de una determinado valor (alto) del nmero de Reynodls; con lo que se puede suponer que la resistencia de la tubera es constante.

Cuando dos o ms tuberas se colocan en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudales individuales, pero la prdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberas. Las ecuaciones que rigen las tuberas en paralelo son:Q total = Q ii

(10)2 2 2h p = k1Q1 = k 2 Q 2 = ... = k i Q i

(11)

Cuando se tiene una red de tuberas, el problema inicial a resolver, es el reparto de caudales por cada una de las tuberas que integran la red. Se establecen los trminos de malla y de nudo, para cada malla la suma de perdidas de carga es nula, y para cada nudo la suma de caudales es nula; con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones, integrado por la m ecuaciones de las mallas y las n ecuaciones de los nudos, que es homgeneo (m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la t tuberas que integran la red..

Ecuaciones de las mallas: de la malla 1 a la malla m ; para una determinada malla i, se establece un sentido positivo de la malla (normalmente el destrogiro); el caudal circulante por una tubera ij es positivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla; con lo que se tiene para cada malla i:

tubera 31

tubera 32

+malla 3 k ij Q ijj

Q ij = 0

tubera 34

tubera 33k 31Q i1 Q 31 + k 32 Q 32 Q 32 + k 33 Q 33 Q 33 + k 34 Q 34 Q 34 = 0

tubera 35

malla 4Ecuaciones de los nudos: del nudo 1 al nudo n ; para un determinado nudo i, el caudal que le llega de una determinada tubera ij es positivo, y se sale es negativo; con lo que se tiene para cada nudo i:

malla 3

nudo 5

tubera 45

malla 5Q ij = 0j

Q 35 + Q 45 + Q 55 + Q 65 = 0

k ij Q ijQ ij(Q) = j i2 k ij Q ijjtubera 65

malla 6

tubera 55

En el mtodo de Hardy-Cross, se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones, para cada malla, se calcula un caudal corrector de la malla, que va disminuyendo conforme la iteracin de clculo se va aproximando a la solucin. El caudal corrector para una malla i viene dado por la ecuacin:

(12)

8.3. FLUJO NO ESTACIONARIO..(1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubera conectada a un deposito, desde que la vlvula de descarga se abre, hasta que se alcanza rgimen estacionario en todo el conducto.

(2) Sobrepresiones y depresiones, que se tienen en el fenmeno del golpe de ariete, en donde el cierre de la vlvula de descarga, provoca oscilaciones de presin, que se mueven a alta velocidad por el conducto por efecto de la compresibilidad del fluido.

8.3.1. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario.

A partir de la figura, se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa, entre dos secciones separadas por un diferencial de longitud:

w

p v(t)wdLH

p + p dLL

L

p

f 2 dvpA p +

p dL A

D dL = AdL dv

dLA

v DdL = AdL L w

dt L

8 dt

En donde el gradiente de presin en la direccin del flujo, es constante:

p / L = gH / L e ; en donde Le, esla longitud equivalente, suma de la longitud de la propia tubera y de la longitud adicional provocada por las singularidades en la entrada y en la salida (Le=L+(D/f)()).

La tensin de rozamiento viscoso en la pared, viene dada por el factor de friccin de Darcy, que supondremosconstante:

f = 8 w

/ v 2

Obteniendo la ecuacin diferencial:

gH f v 2 dv = L e D 2 dt

gH 2DUna vez alcanzado el rgimen estacionario, si la velocidad es v0, se tiene que:

f =

0L e v 2

La ecuacin diferencial del tiempo de establecimiento es:

L dv

e dt =

L v v + vt = e 0 ln 0

vgH 2 1

v 2 0

2gH

v 0 vPor el carcter asinttico de la funcin v=v(t), se suele considerar como tiempo de establecimiento, cuando se alcanza el 99% de v0; con lo que su valor es:

L v 1,99v L vt establecimiento = e 0 ln 0 = 2,646 e 0 2gH

0,01v 0 gH

8.3.2. Golpe de Ariete.

A partir de la figura, cuando la vlvula de descarga se cierra instantneamente, el fluido empieza a pararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando, desde la seccin de la vlvula (2) en el instante inicial, hasta la seccin de conexin con el deposito (1). El cierre provoca una onda de sobrepresin2, que va viajando aguas. La velocidad de la onda de presin3, viene determinada por la compresibilidad del fluido, la geometra y la elsticidad de la tubera:

a = K / 1 + (D / e)(K / E)

p=gv0 Ec. Allievi

v0 p

(1)

(i)L

(2)

Cuando la onda de sobrepresin llega a la seccin (1) de conexin con el deposito, todo el fluido de la tubera esta parado y comprimido, y a partir de ese instante, el fluido empieza a salir hacia el depsito, sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el deposito secciones de fluido, en direccin al depsito; las secciones movilizadas del deposito, se quedan descargadas: la onda de sobrepresin al llegar al depsito a rebotado una onda de depresin.Cuando la onda de depresin, llega a la vlvula cerrada, se tiene todo el flujo de la tubera en movimiento haca el deposito, y sin sobrepresin,; a partir de ese instante, secciones sucesivas (desde la vlvula al deposito) se van parando y quedando a baja presin. La llegada de la onda de depresin a la vlvula, provocaun rebote de una onda de depresin, que conforme se mueve hacia el depsito, va parando el flujo y dejandolo abaja presin.La llegada de la onda de depresin, a la seccin (1) del depsito, deja a todo el flujo parado, pero a depresin; con lo que a partir del instante de llegada, el fluido vuelve a entrar en la tubera, dejando sucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presin inicial: la onda de depresin al llegar al depsito rebota una onda de sobrepresin. Esta situacin se prolonga hasta que la onda de sobrepresin, llega a la vlvula, y se vuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presin provocado por el cierre de la vlvula.

2 La sobrepresin del cierre instantaneo de la vlvula, viene dada por la Ec. de Allievi: p=v0a; en donde v0es la velocidad media del fluido antes del cierre, y a la velocidad de la onda de sobrepesin. Se deduce a partir del balance de fuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presin:

dF = Qv

dpA = v 0 A[v 0 (v 0 a )]

dp = v 0 a

3 La velocidad de la onda de presin depende del mdulo de compresibilidad del lquido circulante, y de las caractersticas elsticas de la tubera: un aumento de presin hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su mdulo de compresibilidad (K), pero a la vez, aumenta el volumen de la tubera, en funcin de su dimetro, espesor y mdulo de elasticidad o mdulo de Young (E), lo que lleva a obtener un mdulo de dilatacin volumtrica (K):

dV

= V dp ; dV

= V D dp ;

K' = V dp = V dp = ... = K fluido K

tubera eE

dV V

dp + V D dp

1 + D KK eE e EK Ka = dp =

K' =

1 + (D / e)(K / E)

a

0 = =d

1 + (D / e)(K / E)

1 + (D / e)(K / E)

A este fenmeno de generacin de oscilaciones de presin (sobre y depresin), generado por el cierre de vlvulas, se denomina golpe de ariete. Aunque en el anlisis anterior, no se han considerado efectos disipativos, en el proceso real, las sobrepresiones y depresiones mximas se alcanzan al principio, y conforme pasa el tiempo se van amortiguando. La resolucin numrica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes), por el mtodo de carctersticas, permite obtener resultados contrastados con los experimentales.

Continuidad:

p + a 2 v = 0t x

Navier-Stokes en direccin axial:

gsen + p + f v v + v = 0x D 2 t

La ecuacin de continuidad, se obtiene a partir de considerar el mdulo de dilatacin volumtrica fluido- tubera: K=dp/d=a2, y despreciando la variacin convectiva de presin frente a la local

d + v = 0

dp

p 2 vdt x

K'

+ v = 0

dp + K' v = 0

+ a = 0 d =

dpK'

dt x

dt x

t x

En la ecuacin de Navier-Stokes en direccin axial, la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidad de volumen) viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach. Se ha supuesto que la tubera tiene un ngulo deinclinacin ; y se ha despreciado la aceleracin convectiva frente a la local.

Para explicar cualitativamente el fenmeno del golpe de ariete, en el cierre instantneo de una vlvula, consideremos las siguientes grficas de la presin en funcin del tiempo, en las secciones del fluido (1) y (2) y una seccin intermedia (i). El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubera de longitud L, es L/a; con lo que el tiempo que tarda la onda de presin generada por el cierre de la vlvula ser 2L/a. El cierre no es posible que sea instantneo, distinguiendo entre cierre rpido, cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento en caso contrario. En cierre rpido, cuando la primera onda de presin generada por el cierre de la vlvula, retorno a la vlvula, sta ya se encuentra totalmente cerrada, y se rebota una onda de presin de igual magnitud. En cierre lento, cuando la primera onda llega en el insante 2L/a, la vlvula esta parcialmente abierta, y parte de la intensidad de la onda incidente pasa aguas arriba, y parte se refleja agua abajo.

En el cierre rpido, prcticamente se alcanza la sobrepresin de Allievi:

p = v 0 a .

En cierre lento, el mismo Allievi, obtuvo la ecuacin de la presin mxima, en funcin del tiempo de cierre; considerando el cierre de la vlvula, sin prdidas y lineal (%cierre = 100t/tcierre):Lvp mxima = p 0 1 + 1 n 2 + n

n 2 + 4

n = 0

2

p 0 t cierre

Si la ley de cierre de la vlvula no es lneal, se puede seguir el mtodo de Bergeron, en donde se considera el cierre en cierres parciales instantaneos (CP), cada fraccin de tiempo 2L/a:

% cierre

CP1CP2CP3CP4

cierre lento

CP5

CP6

cierre lineal

2L/a

t tcierre

p(1) L2a

pp0 tp

2Lp(i) a

pp0 tp

p(2)

pp0 tp

t = 2L2a

t = L 2a

t = 3L2a

5L

t = 0

t = 4L2at =t = 6L 2a2a

DEPSITO (1): LA ONDA REFLEJADA ES DE SENTIDO CONTRARIA A LA ONDA INCIDENTE

t = 7L2a

seccin (i )

ONDA DE SOBREPRESIN (+p)

ONDA DE DEPRESIN (-p)

t = 8L2a

VLVULA (2): LA ONDA REFLEJADA ES DEL MISMOSENTIDO QUE LA ONDA INCIDENTE

Movimiento de ondas de sobrepresin (+p) y de depresin (-p), desde su origen en el cierre de la vlvula (t=0), hasta larepeticin del ciclo en la propia vlvula (t=4L/a).

P 8.1. Aplicacin de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Viscosmetro capilar. En flujo laminar en conductos, las ecuaciones de Navier-Stokes, se pueden resolver, y la prdida de carga viene determinada por la ecuacin de128LHagen-Poiseuille:

h p =

Q . Una aplicacin caracterstica de este resultado, es la determinacin de lagD4viscosidad cinemtica de un fluido, por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar.

DETERMINE: 1. Viscosidad absoluta en cP.2. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar.2. Caudal mximo que debe circular por el conducto, para asegurar flujo laminar.

DATOS: Viscosmetro: longitud: L= 2400 mm, dimetro: D = 10 mmFluido: caudal = 6 litros/minuto; perdida de presin: -p = 16 kPa; densidad: = 830 kg/m3Flujo laminar: Re