Ecuaciones Diferenciales Ordianrias con Condiciones Iniciales.

Una EDO esta dada por la formadydx

= f (x , y )

y (x=a)= y0x∈[a ,b]

Metodos basados en series de Taylor.

La expansion en series de Taylor de una funcion esta dada por:

y (x )= y (x i)+ y (xi)(x− xi)+ y ( x i)(x− x i)

2

2 !+...

El intervalo x∈[a ,b] puede ser dividido en N intervalos, con lo que obtenemos un paso de solucion, h, dado por

h=b−aN

de tal forma que iniciando con x0=a , podemos encontrar los puntos siguientes como x i+1=x i+h ∀ i=0,1,2,3,. .. ,N−1 .

Euler hacia adelante.Considere la expansion en series de Taylor de y(x), tomando como paso h y truncando la serie hasta el termino de primer orden.

y (x i+1)= y ( x i)+h y (x i) ∀ i=0,1,2,. .. , N−1C.I. y (0)= y0

Forma alterna de derivar el metodo de Euler hacia adelante.Considere que la derivada por definicion esta dada como la razon de cambio, asi que usando diferencias hacia adelante, resulta en:

dydx

=Δ yΔ x

=y i+1− yix i+1−x i

= f (xi , y i)

y utilizando la definicion de h=x i+1−x i , despejamos para el valor futuro, obteniendo:

y i+1= y i+h f (x i , y i)

¿Como podemos determinar si h es adecuado o no?Inestabilidad:

Euler hacia atras.Si ahora utilizamos una diferencia hacia atras para definir la derivada:

dydx

=Δ yΔ x

=y i− y i−1x i− x i−1

= f ( x i , y i)

Si despejamos para el valor yi y recorremos el indice de avance en x en una unidad, resulta en:

y i+1= y i+h f (x i+1 , y i+1)

Lo que resulta en un metodo no causal, ya que el futuro depende de si mismo.Para poder utilizar el metodo hay que seguir un proceso iterativo, esto es.1. Suponer un valor de yi+1, por ejemplo y*

i+1=yi

2. Calcular y i+1= y i+h f (x i+1 , y i+1∗

)

3. Si ∣y i+1− y i+1∗ ∣≤ϵ entonces se acepta el valor de yi+1 y se pasa al siguiente valor

de I, de lo contrario, se actualiza y i+1∗

= y i+1 y se repite el paso 2.

Euler modificado.Es un promedio de Euler hacia adelante y Euler hacia atras, con lo que se mejora la convergencia. Ahora la solucion esta dada por:

y i+1= y i+h2

[ f (x i , y i)+ f ( x i+1 , y i+1)]

Dado que tambien es una ecuacion no causal se utiliza un procedimiento analogo a Euler hacia atras.

Ejemplo.

Metodos de Runge-Kutta.Para mejorar la precision de los metodos basados en series de Taylor se deben de considerar mas terminos de la serie, con este fin, los metodos de Runge-Kutta aproximan las derivadas de orden superior.En general, la solucion por Runge-Kutta esta dada por

y i+1= y i+hϕ (x i , y i , h)ϕ( xi , y i , h)=w1 k 1+w 2 k 2+...+wn k n

Donde n es el orden deseadi de la serie de Taylor, las w's son constantes y las k's estan dadas pork 1= f ( x i , y i)k 2= f (x i+α1h , y i+β11 k 1h)k 3= f ( x i+α2h , y i+β21k 1h+β22 k 2h)

⋮k n= f (x i+αn−1h , y i+βn−1,1k1h+βn−1,2k 2h+...+βn−1,n−1 k n−1h)

donde las α's y β's son constantes.

Ejemplo. Derivacion del metodo de RK 2do orden.

Como tenemos mas incognitas que ecuaciones, se tiene un numero infinito de soluciones posibles. Algunos de los parametros mas usados para RK 2do orden son:RK-Heun:w1=w2=1 /2

α=β=1

RK-punto medio:w1=0 w2=1

α=β=1 /2RK-Ralston:w1=1/3 w2=2/3

α=β=3 /4

Metodos de RK de orden superior.RK 4to orden.y i+1= y i+h[w1 k 1+w2 k 2+w3 k 3+w4 k 4]

w1=w4=w22

=w32

=16

k 1= f ( x i , y i)

k 2= f (x i+h2 , y i+hk 12 )

k 3= f ( x i+h2 , y i+hk 22 )

k 4= f ( x i+h , yi+hk 3 )

RK-Gilly i+1= y i+h [w1 k 1+w 2 k 2+w3 k 3+w4 k 4]

w1=w4=w22b

=w32d

=16

k 1= f ( x i , y i)

k 2= f (x i+h2 , y i+hk 12 )

k 3= f ( x i+h2 , y i+ahk 1+bhk 2)k 4= f ( x i+h , yi+chk 2+dhk 3 )

a=√2−12

b=2−√22

c=−√22

d=1−c

AUTOESTUDIO: como determinar el valor optimo de h.

Ejemplo.