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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE

Matemticas II

Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Captulo 8: Ajuste de curvas Mnimos cuadrados

1. ajuste de curvas.

En la Geometra Analtica se trabaja con ecuaciones de curvas que satisfacen condiciones geomtricas prescritas que fijan el lugar geomtrico de los puntos de la curva. El proceso inverso consiste en utilizar los conocimientos de la Geometra Analtica para encontrar una curva aproximada que permita representar la relacin que existe entre dos variables cuyos valores han sido obtenidos en forma experimental a travs de mediciones. En algunas situaciones puede ser de gran ayuda poder encontrar una ecuacin, ecuacin emprica, que permita calcular valores correspondientes de las variables, diferentes de los obtenidos a travs de las mediciones, el proceso seguido para obtener la ecuacin emprica se llama ajuste de curva.

2. Mtodo de los mnimos cuadrados.

Cal Gauss (1777 1855) dise el mtodo de mnimos cuadrados siendo adolescente, pero Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fue quien primero public el mtodo y lo bautizo.

Si tenemos n mediciones de valores X e Y, tendremos n puntos: (Xi; Yi ) en el plano cartesiano. El residuo de cada punto con relacin a la curva de ajuste ser la ordenada del punto menos la ordenada de la curva para el correspondiente valor de X.

Ri = Yp Yc. Para cada valor de Xi.

Para verificar si la curva es un buen ajuste para los puntos debe verificarse el total de los Residuos, si cada uno de estos es pequeo se considera que la curva escogida es un buen ajuste.

Algunos residuos tendrn valores negativos (Ri < 0) y otros tendrn valores positivos (Ri > 0), la suma de todos ellos podra estar muy cerca de cero para el caso de un mal ajuste de los puntos medidos. Para evitar las cantidades negativas se recurre a los cuadrados de los residuos, si la suma de los cuadrados de los residuos es pequea quiere decir que la curva pasa muy prxima a los n puntos obtenidos en las mediciones. La mejor curva de ajuste para n puntos es aquella para la cual la suma de los cuadrados de los residuos es un mnimo.

2.1. Desarrollo de ajuste por mnimos cuadrados.

Supongamos que por razones tericas bien fundadas sabemos que entre X e Y existe una relacin lineal dada por la siguiente ecuacin:

Y = mX + b (1)

y deseamos determinar los parmetros m y b a partir de n medidas de X e Y. m es la pendiente de la recta, la tangente del ngulo que forma la misma con el eje positivo de abscisas, y b la ordenada en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.

El residuo para (X1; Y1) ser:

R1 = Y1 (mX1 b)

(2)

donde Y1: es la ordenada del punto y (mX1 b): es la ordenada de la curva

R1 = Y1 (mX1 b)

R2 = Y2 (mX2 b)

.

Rn = Yn (mXn b)

El cuadrado de cada residuo ser:

(R1)2 = [Y1 (mX1 b)]2 = (Y1)2 2mX1Y1 + 2 bY1 + m 2 (X1)2 2mbX1 + b 2.

(R2)2 = [Y2 (mX2 b)]2 = (Y2)2 2mX2Y2 + 2 bY2 + m 2 (X2)2 2mbX2 + b 2.

..

(Rn )2 = [Yn (mXn b)]2 = (Yn)2 2mXnYn + 2 bYn + m 2 (Xn)2 2mbXn + b 2.

Usamos la siguiente notacin:

La suma de los residuos tiene la forma:

Todos los valores que aparecen a la derecha son fijos salvo m y b, los que deben ser determinados para que R sea mnimo.

Si consideramos que b es una constante no especificada, en la ecuacin dada queda R y m como variables, en donde R es un trmino lineal y m aparece con potencia cuadrtica, si asociamos m con el eje de abcisa y R con el de ordenada, queda una ecuacin de una parbola del tipo:

(X h)2 = 4a(Y k)eje paralelo al eje de ordenada, vrtice en V(h; k) y como R es la suma de expresiones cuadradas nunca ser negativo por lo que la parbola se abre hacia arriba (sentido positivo del eje de ordenada).

(X h)2 = 4a(Y k) esta ecuacin puede escribirse: X2 + DX + EY + F = 0

(m h)2 = 4a(R k) esta ecuacin puede escribirse: m2 + Dm + ER + F = 0

Ac podemos deducir que el valor mnimo de R ocurrir en el vrtice de la parbola es decir en k.

/ p

m2 + 2m(d/p) R/p + c/p = 0

(m + d/p)2 (d/p)2 R/p + c/p = 0

(m + d/p)2 = R/p - c/p + (d/p)2

(m + d/p)2 = (1/p)[R (c - d2 / p)]

(m - h)2 = 4a[R k]

m + d/p = 0 har que R alcance su valor mnimo.

mp + d = 0

De igual manera podemos considerar que m es la constante no especificada, en la ecuacin dada queda R y b como variables, en donde R es un trmino lineal y b aparece con potencia cuadrtica, si asociamos b con el eje de abcisa y R con el de ordenada, queda una ecuacin de una parbola similar a la anterior y obtenemos la ecuacin:

Que se conocen como ecuaciones normales para la determinacin de m y b, n es el nmero de parejas de valores de que se parte para determinar la recta.

Las soluciones de las ecuaciones normales se obtienen resolviendo ambas ecuaciones en forma simultnea:

Ejemplo 1: Supongamos que los valores que han resultado de un experimento son los siguientes:

Tabla 1 Valores de X e Y obtenidos experimentalmente

Xi123456

Yi1,52,54,03,65,96,1

PRIVATE

Fig. 1 - Representacin de los pares de valores Xi, Yi correspondientes al experimento.

Mirando el grfico parece claro que las dos variables siguen una relacin lineal. La recta que parece representar mejor la relacin se ha dibujado a ojo. Es importante darse cuenta de que los seis puntos dibujados no pasan todos por la misma recta. Esto es debido a los errores de las medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma ms o menos aleatoria en torno a esa recta. A pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos. Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se empleamos el Mtodo de los mnimos cuadrados.

De todas las posibles rectas que podemos trazar, caracterizadas por los parmetros m y b, tendremos para n = 6:

(X = 21

(Y =23,6

(X2 = 91

(Y2 = 109,48

((X)2 = 441

(XY = 99

Con los datos del ejemplo y aplicando las anteriores ecuaciones, resulta m = 0,94 y b = 0,65 que es la recta que mejor se ajusta a los datos segn el mtodo de los mnimos cuadrados.

Ejemplo 2: Sobre el punto medio de una viga sostenida en sus extremos se han colocado varios pesos y medido la deflexin para cada uno de ellos. X representa el peso en kilos e Y la deflexin en cmt.

X (kg)100120140160180200

Y (cmt)0,450,550,600,700,800,85

b = 0,0048 m = 0,0041Y = 0,0041X + 0,0048.

2.2. Bondad de un ajuste.

Queda por dilucidar, despus de obtenida la ecuacin de la recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos, si el ajuste de los datos a una recta es realmente bueno o mediocre. Puede ayudar la inspeccin del grfico de los puntos, aunque es deseable disponer de un criterio objetivo al respecto. Un mtodo para determinar si dos variables estn relacionadas es mediante el llamado coeficiente de correlacin lineal, que puede calcularse con la siguiente expresin:

Un coeficiente de correlacin prximo a la unidad indica un ajuste bueno, mientras que si es prximo a cero, el ajuste es pobre, es decir, no puede aceptarse que la relacin entre las variables sea lineal.

Para el ejemplo 1 tenemos r = 0,96.

Para el ejemplo 2 tenemos r = 0,995

Ejemplo 3: Un determinado negocio obtuvo ganancias anuales que se detallan en la tabla de abajo. Determinar cuanto ser la ganancia en el ejercicio 2005.

Ao2001200220032004

Ganancia ( en miles de U$$)10121315

Y = 1,6X 3.191,5

r = 0,992

La ganancia para el 2005 ser 16,5 (16.500 U$$)

El caso de una relacin lineal que hemos tomado como ejemplo no es tan especial como podra pensarse, porque muchas relaciones funcionales de inters pueden transformarse en lineales con un cambio de variable adecuado y/o tomando logaritmos.

3. Modelos exponenciales

Si una determinada relacin de crecimiento o decaimiento est dada por la ecuacin: Y = a e bX.

Ninguna recta puede ajustarse adecuadamente a un modelo exponencial, pero si tomamos el logaritmo natural de la ecuacin, tendremos:

LnY = Lna + bX

Z = LnY;

a y b son constantes entonces la ecuacin logartmica viene a ser lineal en X y Z. Podemos volver a aplicar el mtodo de los mnimos cuadrados a estos nuevos datos, donde nuestra pareja de puntos ser (X; LnY) donde X e Y satisfacen a la ecuacin exponencial: Y = a e bX.

Ejemplo 3: Estudio de un cultivo de bacterias. El nmero N de bacterias por unidad de volumen despus de T horas se da en la siguiente tabla. Calcular a y b de modo que:

N = a e bT.

Tabla: Cantidad de bacterias en funcin del tiempo.

T (hs)1234

N7080111127

Tomamos Ln

T (hs)1234

LnN4,254,384,714,84

Y = LnN = bT + Lna = 0,21T + 4,02

r = 0,98

a = 55,7

N = 55,7 e 0,2T.

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Cap. 8- 8

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