78974320 una trigonometria analitica didactica y muy interesante a mi me gusto

XV Escuela Venezolana para laEnseñanza de la Matemática

Trigonometría

José Heber Nieto Said

Mérida, 2011

ÍNDICE GENERAL i

ÍNDICE GENERAL

Introducción 1

1. Preliminares 51.1. Orígenes de la Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Prerrequisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Líneas trigonométricas 172.1. Líneas trigonométricas de un ángulo agudo . . . . . . . . . 172.2. Líneas de un ángulo cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Líneas trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Relaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Fundamentos de la Trigonometría Plana 333.1. Teorema de los senos (extendido) . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Analogías de Mollweide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ii ÍNDICE GENERAL

3.4. Teorema de las tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5. Fórmulas de Briggs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6. Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6.1. Resolución de triángulos rectángulos . . . . . . . . . 413.6.2. Resolución de triángulos cualesquiera . . . . . . . . . 42

3.7. Triangulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.8. Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Identidades trigonométricas 534.1. Líneas de una suma o diferencia de ángulos . . . . . . . . . 534.2. Líneas del ángulo doble y del triple . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Líneas del arco mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4. Expresiones con la tangente del arco mitad . . . . . . . . . 574.5. Fórmulas de factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6. Teorema de Tolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.7. Identidades con α+ β + γ = 180◦ . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Números complejos 655.1. El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . 655.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4. Exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5. Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6. Polinomios y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.6.1. Raíces de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.6.2. La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . 735.6.3. La ecuación de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . 74

6. Vectores 776.1. Concepto de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.1. Suma y diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.2. Producto por un número real . . . . . . . . . . . . . 806.2.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

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6.3. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.1. Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.2. Teorema de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.3. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.4. Volumen de un tetraedro y producto mixto . . . . . 856.3.5. Fórmula de expulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3.6. Identidad de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3.7. Producto vectorial de dos productos vectoriales . . . 87

7. Trigonometría esférica 897.1. Geometría de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.1. Triángulos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.1.2. La esfera terrestre y la esfera celeste . . . . . . . . . 92

7.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2.1. Fórmula de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.2. Fórmula de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.3. Fórmula de la cotangente . . . . . . . . . . . . . . . 967.2.4. Analogías de Gauss-Delambre . . . . . . . . . . . . . 977.2.5. Analogías de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3. Resolución de triángulos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . 98

A. Soluciones a los ejercicios 101

Bibliografía 113

Índice alfabético 115

iv ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN

Este libro, especialmente preparado para la XV Escuela Venezolana parala Enseñanza de la Matemática, está dirigido a los profesores de matemáticade enseñanza media y primeros años de educación superior. Ha sido escritocon el propósito de contribuir a mejorar la enseñanza y el aprendizaje dela trigonometría y lograr mejores rendimientos y logros académicos en loscursos de esta disciplina.

Etimológicamente la palabra trigonometría significa medida de los trián-gulos y es la rama de la matemática que estudia las relaciones métricas en-tre los diversos elementos de un triángulo. En sus orígenes esta disciplinafue una especie de geometría computacional, que permitía resolver proble-mas geométricos mediante el cálculo, con mayor precisión que la obtenidapor métodos gráficos. Sus primeras aplicaciones importantes fueron en as-tronomía y navegación. Pero luego se vio que las funciones trigonométricaspermiten modelar los fenómenos periódicos, tales como movimientos oscila-torios, ondas acústicas y señales electromagnéticas. Entonces la trigonometríase volvió importante para la ciencia y la tecnología en general, especialmenteen áreas como electricidad, electrónica, acústica, comunicaciones, agrimen-sura, geodesia y robótica, entre otras. Por esa razón esta disciplina se incluyeen los planes de estudio de las carreras científicas y técnicas.

La concepción educativa que subyace a esta obra es la siguiente:

2 ÍNDICE GENERAL

1. La función de un profesor de matemática no es “transmitir conocimien-tos”, como quien vierte agua de un recipiente en otro. De hecho esa“transmisión” no es posible. El conocimiento es más bien algo que seconstruye internamente en cada individuo, a través de un complejoproceso que el profesor debe estimular proponiendo diversas experi-encias educativas. En el caso de la matemática, la resolución de prob-lemas por parte del alumno es una actividad clave, imprescindible einsustituible para la construcción de significados y la verdadera com-prensión de los temas estudiados; el profesor debe propiciarla cuantole sea posible.

2. Es imposible que alguien aprenda algo si no desea aprenderlo. Es poreso que se debe motivar a los estudiantes, a través de ejemplos yaplicaciones que despierten su interés.

3. El profesor de matemática debe poseer un conocimiento profundo desu materia y del lugar que ocupa dentro del edificio matemático y enrelación con otras disciplinas. Esto le ayudará de manera más efectivaque cualquier teoría psicopedagógica a resolver los problemas didác-ticos que se le presenten en el aula.

4. Muchos conceptos matemáticos actuales son el resultado de la evolu-ción del pensamiento matemático durante siglos. El conocimiento delproceso histórico puede en muchos casos contribuir a la comprensiónde esos conceptos, además de mostrar que la matemática es una ac-tividad realizada por los seres humanos y no una especie de verdadrevelada e inmutable.

El plan de la obra es el siguiente: en el Capítulo 1 se reseña la histo-ria de la trigonometría y se examinan algunos prerrequisitos geométricospara su estudio. En el Capítulo 2 se introducen los conceptos básicos dela trigonometría. En el Capítulo 3 se enuncian y demuestran los teoremasfundamentales, y se tratan algunas de sus aplicaciones. El Capítulo 4 estádedicado a examinar las identidades trigonométricas más importantes. ElCapítulo 5 trata sobre números complejos y su relación con la geometría yla trigonometría. El Capítulo 6 trata de los vectores en dimensiones 2 y 3,

ÍNDICE GENERAL 3

con vistas a su aplicación a la trigonometría esférica, a la cual se da unaintroducción en el Capítulo 7. El libro finaliza con un apéndice que contienesoluciones a los ejercicios propuestos.

Una advertencia final: como se supone que el lector posee ya ciertosconocimientos de trigonometría, se han incluido menos ejercicios y moti-vación de los que serían necesarios en un curso para principiantes. Por otraparte se ha incluido material que normalmente no se cubre en los cursosregulares, pero que se espera le sea útil al profesor para ampliar su hori-zonte matemático y también para proponer trabajos especiales a estudiantesavanzados o especialmente interesados.

4 ÍNDICE GENERAL

5

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

En este capítulo, luego de unas breves notas sobre los orígenes de laTrigonometría, se reseñan algunas definiciones y resultados elementales quese suponen conocidos del lector, pero que se reúnen aquí como referencia.

1.1. Orígenes de la Trigonometría

Etimológicamente, la palabra trigonometría proviene del griego τριγωνo(trigono, triángulo) y µετρoν (metron, medida), y es la rama de la matemáti-ca que estudia las relaciones métricas entre los elementos de un triángulo.Su origen es muy antiguo, ya que tanto en las tablillas babilónicas como enel papiro Rhind egipcio aparecen problemas de carácter trigonométrico.

Los griegos, por su parte, obtuvieron geométricamente resultados sobrelas cuerdas de una circunferencia, que equivalen a resultados trigonométri-cos. De hecho, muchos de los problemas que resuelve la trigonometría medi-ante el cálculo pueden resolverse también por los métodos de la geometríaeuclidiana, realizando construcciones con regla y compás. Sin embargo laprecisión de los métodos gráficos es limitada y resultó insuficiente para lasnecesidades de la astronomía y la navegación. Así, el astrónomo Hiparco de

6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

Nicea (siglo II a.C.) construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.En el Almagesto, nombre árabe de la gran obra escrita en griego en el sigloII por Claudio Tolomeo, éste calcula una tabla de cuerdas que equivale auna tabla de la función seno. Además prueba resultados de trigonometríaesférica que aplica en astronomía.

En su forma moderna la función seno aparece estudiada en los trabajosdel matemático indio Aryabatha (hacia 476–550).

Durante la edad media la herencia matemática griega fue conservada ydesarrollada por los astrónomos árabes, entre ellos Al-Marwazi (siglo IX),Al-Battani (alrededor de 850–929) y Abul Wefa al Buzdjani (939–998).

Los conocimientos trigonométricos de árabes e indios fueron introduci-dos a Europa por otro astrónomo, Johann Müller, mejor conocido comoRegiomontano. En su obra De Triangulis omnimodis (Sobre los triángulosde todo tipo) aparece el teorema de los senos, el cual utiliza para resolvertriángulos obtusángulos. También expone la trigonometría esférica, la cualfue utilizada por los navegantes durante siglos.

A partir de la invención del Cálculo en el siglo XVII y su aplicación al es-tudio de los fenómenos naturales, las funciones trigonométricas adquirieronaún mayor importancia, ya que se descubrió que permiten describir muchosfenómenos físicos, sobre todo los de carácter periódico (vea por ejemplo [8]).

Para profundizar en la historia de la trigonometría y aspectos intere-santes de su desarrollo vea [7].

1.2. Prerrequisitos

En esta sección se revisan los conceptos básicos necesarios para el estudiode la trigonometría (segmento, ángulo, triángulo y sus medidas) y se reseñanalgunos resultados geométricos elementales. No se darán demostraciones; lasmismas pueden hallarse por ejemplo en las referencias [4] o [9].

1.2.1. Segmentos

El concepto de segmento es bien comprendido y su enseñanza, inclusoa nivel de primaria, no presenta mayores dificultades. Una vez establecida

1.2. Prerrequisitos 7

una unidad de medida, por comparación con ella se define la longitud de unsegmento, que es un número real positivo. Si en una recta se escoge un sen-tido (por ejemplo, de izquierda a derecha en una recta horizontal) entoncesse pueden considerar segmentos orientados sobre la recta, y asignarle a cadauno una medida con signo: positivo si la orientación del segmento coincidecon la de la recta, negativo si es la contraria. Un sistema de coordenadasen una recta se establece tomando un punto O de la misma como origeny un segmento OU como unidad de medida. Entonces a cada punto X dela recta le corresponde un número real x, llamado abscisa de X, que es lamedida del segmento orientado OX. Esta correspondencia entre puntos dela recta y números reales es una biyección: para cada número real x existeun único punto X en la recta cuya abscisa es x.

� � � � � �

A O B U C D

Figura 1.1: Segmentos

La figura muestra seis puntos equiespaciados en una recta, que supon-dremos orientada de izquierda a derecha. Si se toma el segmento OU comounidad, la medida de BC es 1 y la de AD es 2,5. La medida del segmentoorientado CA es −2 y la del UB es −0,5. Las abscisas de A, O, B, U , C yD son −0,5, 0, 0,5, 1, 1,5 y 2, respectivamente.

Supondremos que el lector está familiarizado con el sistema de coorde-nadas cartesianas. En este sistema, dado un plano se toman en él dos rectasperpendiculares que se denominan ejes coordenados (o «eje de las x» y «ejede las y»), se escoge un sentido en cada eje, se adopta una unidad de me-dida y se toma como origen de cada eje el punto O de intersección de losmismos. A cada punto del eje de las x le corresponde una abscisa. Lo mismoocurre con los puntos del eje de las y, sólo que para hacer una distinción alas abscisas de sus puntos se les llama ordenadas. Cada punto P del planoqueda determinado por la abscisa de su proyección ortogonal sobre el eje delas x y la ordenada de su proyección ortogonal sobre el eje de las y. A esepar de números (x, y) se les llama coordenadas del punto P .


�

�

O x

y P

Figura 1.2: Coordenadas cartesianas

1.2.2. Ángulos

El concepto de ángulo es un poco más problemático que el de segmen-to, ya que hay varias definiciones diferentes del mismo. Por ejemplo segúnEuclides (ver [5], Libro I, Definición 8):

“Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que seencuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.”

Lamentablemente Euclides no nos dice qué es la inclinación ni cómo semide. Para nosotros, un ángulo será sencillamente la figura formada pordos semirrectas con un origen común. A las semirrectas se les llama ladosdel ángulo y al origen común vértice.

Si A es el vértice de un ángulo formado por dos semirrectas b y c, y siB y C son puntos diferentes de A, situados en b y c, respectivamente, sepuede usar la notación bc o bien ∠BAC para referirse al ángulo (el vérticesiempre se coloca en el medio).Nota: Para algunos autores (e.g. [9]) un ángulo es la intersección de dossemiplanos cuyos bordes son dos rectas que se cortan.

Medida de ángulos. Los babilonios dividieron la circunferencia en 360partes iguales, tal vez por la proximidad de este número con la duración delaño en días, o tal vez porque la circunferencia se divide de manera naturalen seis arcos iguales, cada uno de los cuales subtiende una cuerda igual alradio. Como los babilonios usaban un sistema sexagesimal (de base 60), aldividir cada uno de esos arcos en 60 partes la circunferencia queda dividida


en 360 partes. El ángulo central correspondiente a cada una de esas 360partes es la unidad más común para medir ángulos, y se denomina gradosexagesimal. Esta unidad se indica mediante un pequeño círculo volado,como en 30◦. La medida en grados fue posteriormente adoptada por los

60◦

1◦

Figura 1.3: Grados

griegos y Claudio Tolomeo la usó para calcular su tabla de cuerdas.Los griegos llamaron parte primera a cada una de las 60 partes iguales

en que se divide el grado, y parte segunda a cada una de las 60 partesiguales en que se divide cada parte primera. En latín las partes primerasfueron llamadas pars minuta prima (parte pequeña primera) y pars minutasecunda (parte pequeña segunda), y de allí vienen nuestras palabras minutoy segundo.

Los minutos se representan con un apóstrofo y los segundos con dos.Así por ejemplo la notación 12o 34’ 56” significa 12 grados, 34 minutos y 56segundos, o en otras palabras

12 +34

60+

56

602= 12 +

2096

3600= 12 +

131

225= 12,58222 . . . grados.

Los órdenes de magnitud inferiores al segundo en el sistema sexagesimalraramente se usan. Si se desea mayor precisión, se utiliza más bien el sistemadecimal para representar los segundos. Por ejemplo 12o 34’ 56,78” significa12 grados, 34 minutos, 56 segundos y 78 centésimas de segundo.


Recíprocamente, un número decimal de grados puede convertirse al sis-tema sexagesimal. Por ejemplo, para convertir 7,585o primero se anota laparte entera, 7o. La parte fraccionaria se multiplica por 60, obteniendo0,585×60 = 35,1. La parte entera 35 son los minutos, y la parte fraccionar-ia se vuelve a multiplicar por 60 para obtener los segundos: 0,1 × 60 = 6.El resultado final es 7,585◦ = 7◦ 35′ 06′′.

Aunque el sistema de numeración en base 60 fue sustituido casi com-pletamente por el sistema decimal, subsiste en la medida de ángulos y enla medida del tiempo. En efecto, la hora se divide, como los grados, en 60minutos y éstos a su vez en 60 segundos.

En tiempos más recientes el radián se adoptó como una unidad de me-dida natural para los ángulos. Un radián es el ángulo que, medido desde elcentro de una circunferencia, subtiende un arco de longitud igual al radiode la circunferencia. Como la longitud de la circunferencia es 2π veces elradio, se tiene que 360o equivalen a 2π radianes, y entonces por regla detres un radián es igual a 180/π grados, aproximadamente 57,2957795o o 57o

17’ 45”.

1 radián

r

r r

Figura 1.4: Radián

El término radián fue acuñado en 1871 por James Thomson, hermanodel famoso físico Lord Kelvin. Una ventaja de medir los ángulos en radianeses que la longitud L de un arco de circunferencia de radio r, que subtiendeun ángulo central α, se expresa sencillamente como L = rα. Pero las ver-daderas ventajas de esta unidad de medida se aprecian en la matemática


superior (desarrollos en serie y Cálculo infinitesimal, ver e.g. [8]), en la cualsimplifican notablemente muchos resultados.

Existe otra unidad para ángulos, aunque es menos usada que los gradossexagesimales y los radianes. Se trata del grado centesimal, que equivale a lacentésima parte de un ángulo recto. En las calculadoras suele aparecer como«grad», y en la notación escrita se representa con una pequeña g volada.Así se tiene

1 recto = 90◦ = 100g =π

2radianes.

Como ocurre con los segmentos, también se pueden considerar ángulosorientados, distinguiendo el ángulo bc del cb. Los dos sentidos posibles cor-responden intuitivamente a la dirección en que se mueven las agujas delreloj, sentido llamado horario, o al contrario, llamado antihorario.

Por convención, en matemáticas se considera el sentido antihorario comopositivo y el sentido horario como negativo. De esta manera a cada ánguloorientado se le puede hacer corresponder como medida un número real,positivo o negativo según sea el sentido del ángulo.

Es claro que un ángulo y su medida son conceptos diferentes: el ánguloes un objeto geométrico, mientras que su medida, una vez adoptada unaunidad, es un número real. La misma diferencia existe entre un segmento ysu medida. Si se desea ser extremadamente preciso, para referirse a la medi-da de un ángulo ∠BAC se puede utilizar la notación ]BAC. Sin embargono creemos que sea recomendable recargar el lenguaje o la notación recal-cando constantemente esta distinción. En esta obra se utilizará la notación∠BAC tanto para el ángulo como para su medida: el sentido se deducirádel contexto (en realidad, en trigonometría, el sentido casi siempre será elde medida).

Ejercicio 1.1. Convertir 7o 48’ 27” al sistema decimal.

Ejercicio 1.2. Convertir 12,345o al sistema sexagesimal.

Ejercicio 1.3. Exprese los siguientes ángulos en radianes: (a) 90o; (b) 180o;(c) 60o; (d) 45o; (e) 30o; (f) 120o.

Ejercicio 1.4. Convierta los siguientes ángulos de radianes a grados: (a)3π4 ; (b) π

8 ; (c) π60 ; (d) 0,25.


Ejercicio 1.5. Eratóstenes de Cirene (276–194 a.C.) fue un matemático,astrónomo y geógrafo griego, muy conocido por su método para hallar to-dos los números primos menores que un número natural dado (la criba deEratóstenes). Otra de las razones de su celebridad fue el cálculo de la circun-ferencia terrestre. Eratóstenes sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto)el día del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna yla luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significa que la ciudad estabasituada justamente sobre el trópico de Cáncer. Las caravanas que comer-ciaban entre Alejandría y Siena partían de Alejandría en dirección al sur, yestimaban su recorrido en 5000 estadios. Eratóstenes midió una sombra enAlejandría el mismo día del solsticio de verano, al mediodía, y halló que losrayos solares formaban un ángulo de 1/50 de circunferencia con la vertical.Suponiendo que el Sol se encuentra tan alejado de la Tierra que sus rayospueden suponerse paralelos, dedujo que la circunferencia terrestre era de250000 estadios. ¿Cómo lo hizo?

1.2.3. Triángulos

Un triángulo es una figura constituida por tres puntos no alineados,llamados vértices, y los tres segmentos determinados por cada par de vér-tices, llamados lados. Generalmente se denotan los vértices con letras latinasmayúsculas. El triángulo con vértices A, B y C se denota 4ABC. El ladoopuesto a un vértice es el segmento cuyos extremos son los otros dos vér-tices. Los lados se suelen denotar con la letra minúscula correspondiente ala de su vértice opuesto, es decir a = BC, b = CA y c = AB. Los ángulosdel triángulo 4ABC son ∠BAC, ∠CBA y ∠ACB, y se suelen denotar conlas letras griegas α, β y γ, respectivamente.

El siguiente es tal vez el resultado más conocido sobre triángulos.

Proposición 1.1. Los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180◦

(es decir α+ β + γ = 180◦).

Si los tres ángulos son agudos (es decir, menores que 90◦), el triángulo esacutángulo. Si alguno de sus ángulos es recto, el triángulo es rectángulo. Eneste caso, los dos ángulos restantes suman 90o, es decir que son complemen-tarios. A los lados del ángulo recto se les llama catetos y al lado restante


α β

γ

A B

C

c

ab

Figura 1.5: Triángulo

hipotenusa. Si alguno de los ángulos es obtuso (es decir, mayor que 90◦), eltriángulo es obtusángulo.

Un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales (no exigiremos queel tercero sea diferente). Puede probarse que esto ocurre si y sólo si eltriángulo tiene dos ángulos iguales, más precisamente: en un triángulo ABC,la igualdad b = c se cumple si y sólo si β = γ.

Si los tres lados de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero.A los triángulos con los tres lados diferentes se les llama escalenos.

Las dos siguientes proposiciones se refieren a dos importantes desigual-dades.

Proposición 1.2 (Desigualdad triangular). En cualquier triángulo, cadalado es menor que la suma de los otros dos. En símbolos: a < b+c, b < a+cy c < a+ b.

Proposición 1.3. En cualquier triángulo, a mayor lado se opone mayorángulo. En símbolos: a > b si y sólo si α > β.

El siguiente es uno de los teoremas más famosos y conocidos de la ge-ometría plana.

Proposición 1.4 (Teorema de Pitágoras). En todo triángulo rectángulo, elcuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.En símbolos, si α = 90◦ entonces a2 = b2 + c2.

Una consecuencia importante del Teorema de Pitágoras es la siguiente:


Proposición 1.5. Si P = (a, b) y Q = (c, d) son dos puntos en el planocartesiano, entonces

PQ2 = (c− a)2 + (d− b)2.

En efecto, P , Q y R = (c, b) son vértices de un triángulo rectánguloen R, con catetos PR = |a − c| y QR = |d − b|. Por lo tanto PQ2 =PR2 +QR2 = (c− a)2 + (d− b)2.

P R

Q

b

d

a c

|c− a|

|d− b|

Líneas y centros

Las alturas de un triángulo son los segmentos de perpendicular que vandesde cada vértice hasta el lado opuesto. Las alturas que parten de losvértices A, B y C se denotan ha, hb y hc, respectivamente. Las tres alturasconcurren en un punto H llamado ortocentro.

Las medianas son los segmentos que van desde cada vértice hasta elpunto medio del lado opuesto. Las tres medianas concurren en un puntoG llamado baricentro o centroide. La distancia del baricentro a un vérticees el doble que al punto medio del lado opuesto, y por lo tanto dividea cada mediana en su tercera parte. El segmento cuyos extremos son lospuntos medios de dos lados de un triángulo se llama paralela media, pueses paralelo al tercer lado y mide la mitad que éste.

La mediatriz de un lado es el lugar geométrico de los puntos que equidis-tan de ambos extremos. Como se sabe ese lugar es la recta perpendicular allado por su punto medio. Las tres mediatrices de un triángulo concurren enun punto O llamado circuncentro. Como ese punto equidista de los vértices,con centro en el mismo se puede trazar una circunferencia que pasa por lostres vértices, y se llama circunferencia circunscripta al triángulo. El radiode esa circunferencia se llama circunradio y se acostumbra denotarlo con laletra R.


Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo también son concur-rentes en un punto I llamado incentro, que es el centro de una circunferenciainscripta en el triángulo (es decir interior al triángulo y tangente a sus treslados). El radio de esa circunferencia se llama inradio y se acostumbra de-notarlo con la letra r.

Cada bisectriz concurre con las bisectrices exteriores de los otros dosángulos en un punto llamado excentro, el cual es centro de una circunferenciaexinscripta en el triángulo (es decir exterior al triángulo y tangente a unlado y a las prolongaciones de los otros dos). El excentro ubicado en labisectriz del ángulo de vértice A se denota Ia, y el radio de la correspondientecircunferencia exinscripta se llama exradio y se denota ra. Análogamente sedefinen Ib, rb, Ic y rc (ver Figura 1.6).

A

BC

I

Ia

Ib

Ic

rcrb

ra

r� �

�

�

�

�

�

�

�

Figura 1.6: Incentro y excentros

17

CAPÍTULO 2

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

En este capítulo se definen las líneas trigonométricas, primero para án-gulos agudos y luego en general y se examinan las relaciones básicas entreellas.

2.1. Líneas trigonométricas de un ángulo agudo

Consideremos un triángulo ABC, rectángulo en B, y sea α = ∠BAC.Llamaremos cateto opuesto al ángulo α al lado BC del triángulo, y catetoadyacente al AB.

α

γ

A B

C

Figura 2.1: Triángulo rectángulo

18 CAPÍTULO 2. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

El seno y el coseno del ángulo α se definen de la siguiente manera:

senα =BC

AC=

cateto opuestohipotenusa

, cosα =AB

AC=

cateto adyacentehipotenusa

.

La tangente de α se define como

tg α =BC

AB=

cateto opuestocateto adyacente

.

Es claro que se cumple

tgα =senα

cosα.

La secante (sec), la cosecante (csc) y la cotangente (ctg) del ángulo α sonsimplemente los valores recíprocos del coseno, el seno y la tangente, respec-tivamente. Es decir:

secα =1

cosα=AC

AB, cscα =

1

senα=AC

BC, ctg α =

1

tgα=AB

BC.

Al seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente se les llama colec-tivamente líneas trigonométricas.

Observemos que siA′B′C ′ es otro triángulo rectángulo en B′ y ∠B′A′C ′ =α, entonces A′B′C ′ es semejante al triángulo ABC y por lo tanto

B′C ′

A′C ′ =BC

AC,

A′B′

A′C ′ =AB

AC.

B′C ′

A′B′ =BC

AB,

es decir que si se usa el triángulo A′B′C ′ para definir seno, coseno y tan-gente de α se obtiene el mismo resultado que con el triángulo ABC. Enotras palabras: las definiciones dadas de senα, cosα y tgα no dependen deltriángulo usado, sino solamente del ángulo α.

Nota 2.1. Es importante indicar la unidad de medida de los ángulos. Porconvención, si ésta no se indica se asume que la unidad es el radián. Ejemplo:sen 45◦ = sen 50g = sen π

4 .

Consideremos ahora un cuarto de circunferencia de centro A, extremosD y E y radio unidad (ver Figura 2.2). Sean C un punto del arco DE,

2.1. Líneas trigonométricas de un ángulo agudo 19

C

B DA

E

F

G

α

cosα

ctg α

senα

tgα

Figura 2.2: Líneas trigonométricas

B el pie de la perpendicular a AD desde C y α = ∠DAC. Sean F y Glos puntos en que la recta AC corta a las tangentes a la circunferenciapor D y E, respectivamente. Como AC = AD = AE = 1, se tiene cosα =AB/AC = AB y senα = BC/AC = BC. Entonces tgα = DF/AD = DF ycomo 4ADF ∼ GEA se tiene ctg α = AD/DF = EG/EA = EG, secα =AC/AB = AF/AD = AF y cscα = AC/CB = AF/FD = AG/AE =AG. Es decir que cada línea trigonométrica corresponde efectivamente a unsegmento de la figura.

Observemos que el cateto opuesto al ángulo γ = ∠ACB es el catetoadyacente al ángulo α, y el cateto adyacente al ángulo γ es el cateto opuestoal ángulo α. Como γ = 90◦ − α es claro entonces que

sen(90◦ − α) = cosα, cos(90◦ − α) = senα, tg(90◦ − α) = ctgα.

Nota 2.2. En español no hay abreviaturas uniformes para la tangente y lacotangente. En esta obra se usarán tg y ctg, pero también son de uso comúntan y cot.


B

A

α2

α2

MO

r

Figura 2.3: Cuerdas y senos

Desde la antigüedad se han compilado tablas con los valores de las líneastrigonométricas. En el Almagesto de Claudio Tolomeo aparece una tabla conlos valores de las cuerdas de una circunferencia de radio 60 que subtiendenun ángulo central α, para valores de α desde 0o a 180o, variando de medio enmedio grado. Esa tabla es esencialmente equivalente a una tabla de senos.En efecto, sea AB una cuerda que subtiende un ángulo central α en unacircunferencia de centro O y radio r (ver Figura 2.3). La bisectriz de ∠BOAcorta a la cuerda AB en su punto medio M . Como ∠MOA = α/2, se tieneMA = r sen(α/2) y

cuerda AB = 2r senα

2. (2.1)

En la actualidad los valores de las líneas trigonométricas se puedenobtener con calculadoras de mano, computadoras y hasta con algunos telé-fonos celulares. Sin embargo para algunos ángulos se puede obtener el valorexacto mediante argumentos geométricos, como se ve en los siguientes ejem-plos.

Ejemplo 2.1.

2.2. Líneas de un ángulo cualquiera 21

Si en el triángulo ABC, rectángulo en B, se tieneα = ∠BAC = 45◦, entonces γ = ∠BCA = 90◦ −α = 45◦ y ABC es isósceles. Por lo tanto AB = BCy se tiene que tgα = BC/AB = 1, es decir tg 45◦ =1. Como AC2 = AB2 + BC2 = 2AB2 = 2BC2,resulta AC =

√2AB =

√2BC, de donde sen 45◦ =

cos 45◦ = AB/AC = 1/√2 =

√2/2.

45o

45o

A B

C

Ejemplo 2.2.Consideremos ahora un triángulo ABC, rectánguloen B, con α = 60◦ y AC = 1. Si A′ es el simétricode A respecto a B entonces AA′C es equilátero, porlo tanto AA′ = AC = 1, AB = 1/2 y cos 60◦ =AB/AC = 1/2. Además por el teorema de PitágorasBC2 = AC2 − AB2 = 1 − 1/4 = 3/4, por lo tantosen 60◦ = BC/AC = BC =

√

3/4 =√3/2. Y por

las fórmulas para ángulos complementarios resultacos 30◦ = sen 60◦ =

√3/2, sen 30◦ = cos 60◦ = 1/2.

60o

A A′

C

B

Ejercicio 2.1. Un edificio arroja una sombra de 15 metros. Si la inclinaciónde los rayos solares respecto al plano del horizonte es de 75o, ¿cuál es laaltura del edificio?

Ejercicio 2.2. Las pirámides egipcias tienen base cuadrada. Los egipciosllamaban seked a la razón entre el apotema de la base (la mitad del lado)y la altura de la pirámide, pero con una pequeña complicación adicional:las distancias horizontales como el apotema las medían en palmos, mientrasque la altura la medían en codos, siendo un codo igual a siete palmos.

(a) Exprese el seked en función del ángulo α que forman las caras de lapirámide con la base.

(b) El seked de la pirámide de Keops es 512 . Halle el ángulo que forman las

caras de la pirámide con la base.


x

y

O

C

III

III IV

A

α

cosα

senα

B

β

cos β

sen β

C

γ

cos γ

sen γ D

δ

cos δ

sen δ

Figura 2.4: El círculo trigonométrico

2.2. Líneas de un ángulo cualquiera

Llamaremos círculo trigonométrico a una circunferencia C de radiounidad con centro en el origen O de un sistema de coordenadas cartesianas,que utilizaremos para definir las líneas trigonométricas de ángulos arbitrar-ios. Para ello, dado un ángulo orientado α, se traza una semirrecta r deorigen O tal que el ángulo orientado formado por el eje Ox positivo y r seaigual a α. Sea A el punto en que r corta a C . Entonces se definen cosα ysenα como la abscisa y la ordenada de A, respectivamente. Es claro que si


α es un ángulo agudo, esta definición coincide con la que ya se había dado.La figura 2.4 ilustra lo que ocurre en otros casos. Para el ángulo β el puntoB queda en el segundo cuadrante, y en consecuencia cos β < 0 y sen β > 0.Del mismo modo, como C está en el tercer cuadrante, se tiene cos γ < 0 ysen γ < 0. Y con D en el cuarto cuadrante, se tiene cos δ > 0 y sen δ < 0.Cuando la semirrecta r coincide con alguno de los ejes se tiene:

sen 0◦ = sen 180◦ = cos 90◦ = cos 270◦ = 0,

cos 0◦ = sen 90◦ = 1, cos 180◦ = sen 270◦ = −1.

Si al ángulo α se le suma cualquier múltiplo de 360o se obtiene la mismasemirrecta r, por tanto para cualquier entero n se tiene

sen(α+ n · 360◦) = senα, cos(α+ n · 360◦) = cosα. (2.2)

Lo anterior se expresa diciendo que las funciones seno y coseno son periódi-cas, con período 360o. Gráficamente esto significa que la variación del seno,por ejemplo, entre 0o y 360o, se repite idéntica entre 360o y 720o, entre 720o

y 1080o, etc. La variación del seno y del coseno para ángulos entre -360o y360o puede verse en las Figuras 2.5 y 2.6.

1

-1

0 90 180 360270-90-180-360 -270

Figura 2.5: Gráfica del seno entre -360o y 360o.

La forma de la gráfica del seno es una curva llamada sinusoide, y estáasociada a diversos fenómenos físicos periódicos. Por ejemplo la diferenciade potencial eléctrico entre los dos puntos de conexión de un tomacorriente


hogareño común en Venezuela varía de forma sinusoidal, completando 60ciclos en cada segundo. Las notas producidas por instrumentos musicalesson por lo general una combinación de ondas sinusoidales.

1

-1

0 90 180 360270-90-180-360 -270

Figura 2.6: Gráfica del coseno entre -360o y 360o.

Como los puntos (cosα, senα) y (cos(−α), sen(−α)) son simétricos re-specto al eje Ox, es claro que

cos(−α) = cosα, sen(−α) = − senα. (2.3)

En otras palabras, el coseno es una función par, mientras que el seno es unafunción impar. Análogamente, por simetría respecto al eje Oy se obtiene:

sen(180◦ − α) = senα, cos(180◦ − α) = − cosα, (2.4)

La función tangente para ángulos arbitrarios se define mediante

tgα =senα

cosα. (2.5)

Observe que si cosα = 0 (lo cual ocurre para α = 90◦ + n · 180◦) entoncestg α no está definida. También se dice que para estos valores la tangente«se hace infinita».

La cotangente se define mediante ctg α = cosα/ sen α. Naturalmente noestá definida («se hace infinita») si α es un múltiplo de 180o. La secante y


la cosecante se definen como

secα =1

cosα, cscα =

1

senα.

Naturalmente secα no está definida si cosα = 0, y cscα no está definida sisenα = 0.

A las funciones sen, cos, tg, sec, csc y ctg se les conoce colectivamentecomo funciones trigonométricas, circulares o goniométricas.

Como consecuencia de (2.3) y (2.4 ) se tiene:

tg(−α) = tg(180◦ − α) = − tg α. (2.6)

Por simetría respecto a la recta y = x resulta

sen(90◦ − α) = cosα, cos(90◦ − α) = senα. (2.7)

Como tg α = senα/ cosα es inmediato probar que

tg(90◦ − α) = ctg α, ctg(90◦ − α) = tgα. (2.8)

Por otra parte, como α+ 90◦ = 180◦ − (90◦ − α), se tiene

sen(α+ 90◦) = cosα, cos(α+ 90◦) = − senα, (2.9)

tg(α+ 90◦) = − ctg α, ctg(α+ 90◦) = − tgα, (2.10)

de donde se sigue fácilmente

sen(α+ 180◦) = − senα, cos(α+ 180◦) = − cosα, (2.11)

tg(α + 180◦) = tgα, ctg(α+ 180◦) = ctg α. (2.12)

Vemos así que tangente y cotangente son periódicas con período 180o. Lavariación de la tangente se ilustra en la Figura 2.7.


10

-10

20

-20

-90 0 90 180 270

Figura 2.7: Gráfica de la tangente entre -90o y 270o.

2.3. Líneas trigonométricas inversas

Las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente muestran que estasfunciones no son inyectivas, y por lo tanto no tienen inversas unívocamentedefinidas. A veces se dice que estas funciones tienen inversas multiformes;por ejemplo se llama arc cos x (arco coseno de x) a cualquiera de los valoresy tales que cos y = x. Así, como cos 60◦ = 1/2, arc cos 1/2 puede ser 60o,pero también −60◦, 300o, −300◦, etc. A cada uno de esos valores se lesllama determinaciones de arc cos 1/2. Análogamente arc sen y arc tg son las«inversas multiformes» de las funciones seno y tangente.

Sin embargo, si se adopta alguna convención para escoger una determi-nación particular, se pueden definir funciones inversas uniformes.

Por ejemplo, si x es un número real tal que 0 ≤ x ≤ 1, entonces hay unúnico ángulo y entre 0o y 180o tal que cos y = x. A ese valor y le llamaremosvalor principal del arco coseno de x y lo denotaremos Arc cos x. La variaciónde Arc cos x se ilustra en la Figura 2.8.

De manera análoga llamaremos Arc sen x al único valor y entre −90◦ y

2.3. Líneas trigonométricas inversas 27

0

90

180

1-1

Figura 2.8: Gráfica de Arc cos.

90o tal que sen y = x. Su gráfica se ilustra en la Figura 2.9.

0

90

−90

1-1

Figura 2.9: Gráfica de Arc sen.

Del mismo modo, para todo real x llamaremos Arc tg x al único valor yentre −90◦ y 90o tal que tg y = x. La gráfica de Arc tg x se muestra en laFigura 2.10.


90

−90

0 20−20 10−10

Figura 2.10: Gráfica de Arc tg x.

2.4. Relaciones básicas

Como la distancia del punto (cosα, senα) al origen es 1, por la Proposición1.5 (es decir, por el teorema de Pitágoras) se tiene

cos2 α+ sen2 α = 1. (2.13)

Nota 2.3. Se acostumbra abreviar (cosα)n como cosn α y lo mismo paralas demás líneas trigonométricas. Este uso entra en conflicto con la notaciónmatemática habitual, en la cual fn (siendo f una función) indica la apli-cación iterada n veces de f , y ya fue objetado por Gauss. Sin embargo suuso en trigonometría se ha impuesto y es general.

Dividiendo ambos miembros de (2.13) entre cos2 α resulta

1 + tg2 α =1

cos2 α= sec2 α,

de donde

cos2 α =1

1 + tg2 α(2.14)

y

sen2 α = cos2 α tg2 α =tg2 α

1 + tg2 α. (2.15)

2.4. Relaciones básicas 29

Ejercicio 2.3. Desde cierto punto a nivel del suelo un árbol se ve bajo unángulo de 42o. ¿Bajo qué ángulo se verá colocándose a doble distancia delárbol? ¿Y a la mitad de la distancia?

Ejercicio 2.4. Las bases de un trapecio rectángulo miden 7 cm y 9 cm, yel lado oblicuo 5 cm. ¿Cuánto miden la altura y los ángulos no rectos deltrapecio?

Ejercicio 2.5. Una pelota de playa mide 40 cm de radio. (a) ¿Con quédiámetro aparente se la ve desde una distancia de 1 m? (b) ¿Y desde 10 m?(c) ¿A qué distancia está un observador que la ve con diámetro aparente de1o?

Nota: el diámetro aparente es el ángulo bajo el cual se ve la pelota desdeun punto de vista determinado.

Ejercicio 2.6. ¿Qué ángulo forman las caras de un tetraedro regular?

Ejercicio 2.7. Pruebe las siguientes identidades:

a) sec(90 − α) = cscα.

b) sec(180 − α) = − secα.

c) csc(180 − α) = cscα.

d) sec2 α− tg2 α = 1.

e) sen4 α− cos4 α = sen2 α− cos2 α.

f) sec2 α+ csc2 α = sec2 α csc2 α.

g) Si −1 ≤ x ≤ 1, pruebe que Arc cos(−x) = 180◦ −Arc cos x.

h) Si 0 ≤ x ≤ 1, pruebe que Arc senx = Arc cos√1− x2. ¿Y para −1 ≤

x < 0?

i) Si −1 ≤ x ≤ 1, pruebe que tg(Arc cos x) =√1− x2/x.


2.5. Ecuaciones trigonométricas

Se llaman así aquellas ecuaciones en que la incógnita aparece como ar-gumento de una función trigonométrica. Suelen tener infinitas soluciones,dada la periodicidad de estas funciones.

Ejemplo 2.3. Un ejemplo sencillo es la ecuación senx = 1/2. Entre 0o y360o esta ecuación se satisface solamente para x1 = 30◦ y para su suple-mentario x2 = 150◦. En vista de la periodicidad, la familia completa desoluciones viene dada por 30◦+n ·360◦, 150◦+n ·360◦, donde n toma todoslos valores enteros.

Ejemplo 2.4. Un ejemplo más complicado es la ecuación

4 cos2 x− 2 cos x senx− 1 = 0.

Dividiendo entre cos2 x (lo cual es lícito, ya que la ecuación no tiene ningunasolución con cos x = 0), nos queda

4− 2 tg x− 1

cos2x= 0,

y como1

cos2x= 1 + tg2 x,

(por (2.14)) nos queda 4−2 tg x−(1+tg2 x) = 0, es decir tg2 x+2 tg x−3 = 0.Poniendo z = tg x queda la ecuación z2+2z−3 = 0, que tiene raíces z1 = 1y z2 = −3. De tg x = z1 = 1 se obtienen las soluciones x = 45◦ + n · 180◦,y de tg x = z2 = −3 se obtienen las soluciones x = Arc tg(−3) + n · 180◦ ≈−71, 565◦ + n · 180◦, para n entero.

Ejemplo 2.5. Supongamos que se desea resolver una ecuación del tipo

a cos x+ b sen x = c,

donde a, b y c son números reales. Un posible enfoque consiste en reescribirla ecuación en la forma b senx = c − a cos x, elevar al cuadrado y ponerz = cos x, con lo cual queda b2(1−z2) = (c−az)2. Resolviendo esa ecuación

2.5. Ecuaciones trigonométricas 31

de segundo grado en z pueden luego hallarse los valores de x. Sin embargohay que tener cuidado con las raíces espurias que se introducirán al elevaral cuadrado.

Una técnica mejor consiste en reescribir la ecuación original como

a√a2 + b2

cos x+b√

a2 + b2senx =

c√a2 + b2

y observar que (a/√a2 + b2, b/

√a2 + b2) es un punto del círculo trigonométri-

co, y por lo tanto puede escribirse como (cosϕ, senϕ) para cierto ángulo ϕ,con lo cual la ecuación se convierte en

cosϕ cos x+ senϕ sen x =c√

a2 + b2,

o bien, poniendo d = c/√a2 + b2,

cos(x− ϕ) = d,

de donde se obtiene la solución general

x = ϕ±Arc cos(d).

Naturalmente que sólo habrá solución si |d| ≤ 1, es decir si |c| ≤√a2 + b2.

Ejercicio 2.8. Resuelva la ecuación 2 cos x =√3.

Ejercicio 2.9. Resuelva la ecuación 2 cos2 x− 7 senx+ 2 = 0.

Ejercicio 2.10. La técnica explicada en el Ejemplo 2.5 tiene una interesanteconsecuencia física: la composición de dos ondas sinusoidales de la mismafrecuencia pero amplitudes y fases posiblemente diferentes, es otra ondasinusoidal de la misma frecuencia. En lenguaje matemático esto equivale adecir que la suma a sen(ωt) + b sen(ωt + ϕ) es de la forma c sen(ωt + ψ).Pruébelo.

33

CAPÍTULO 3

FUNDAMENTOS DE LA TRIGONOMETRÍA PLANA

En este capítulo se demuestran los teoremas fundamentales de la trigonometríaplana y se aplican a la resolución de triángulos.

3.1. Teorema de los senos (extendido)

Teorema 3.1. En todo triángulo, si α, β y γ son los ángulos opuestos alos lados a, b y c, respectivamente, y R es el circunradio, entonces

a

senα=

b

sen β=

c

sen γ= 2R. (3.1)

Demostración. Sean O el circuncentro y R el circunradio del 4ABC (verFigura 3.1). SeaD el punto diametralmente opuesto aB. Entonces ∠BDC =∠BAC = α (por ser ángulos inscriptos en un mismo arco) y ∠BCD = 90◦

(ángulo inscripto en una semicircunferencia), por lo tanto

senα =BC

BD=

a

2R,

34 CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DE LA TRIGONOMETRÍA PLANA

� �

�

�

�

A

CB

D

a

O

α

α

Figura 3.1: Teorema de los senos

de dondea

senα= 2R.

Del mismo modo se prueba queb

sen β= 2R y que

c

sen γ= 2R.

Ejemplo 3.1. Una ceviana es un segmento que une un vértice de un trián-gulo con un punto del lado opuesto. El teorema de Ceva afirma que trescevianas AD, BE y CF de un triángulo ABC son concurrentes si y sólo si

sen∠ABE

sen∠DAB

sen∠BCF

sen∠EBC

sen∠CAD

sen∠FCA= 1 (3.2)

y también si y sólo siAF

FB

BD

DC

CE

EA= 1. (3.3)

Existen varias demostraciones de este resultado, pero se puede dar unasencilla aplicando el teorema de los senos. Supongamos primero que las trescevianas concurren en P (ver Figura 3.2 (a)).

Por el teorema de los senos aplicado al triángulo ABP se tiene

sen∠ABE

sen∠DAB=

sen∠ABP

sen∠PAB=PA

PB.

3.1. Teorema de los senos (extendido) 35

P

A

B CD

EF

P

A

B CD′ D

EF

(a) (b)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Figura 3.2: Teorema de Ceva

Análogamente se obtienen las igualdades

sen∠BCF

sen∠EBC=PB

PCy

sen∠CAD

sen∠FCA=PC

PA,

y multiplicando las tres resulta (3.2). Aplicando ahora el teorema de lossenos a los triángulos ABD y ACD se obtienen

AB

BD=

sen∠ADB

sen∠DABy

DC

CA=

sen∠CAD

sen∠ADC,

y como ∠ADC y ∠ADB son suplementarios es sen∠ADB = sen∠ADC,por lo cual el producto de las dos igualdades anteriores nos da

AB

BD· DCCA

=sen∠CAD

sen∠DAB.

Análogamente se obtienen

AE

EC· BCAB

=sen∠ABE

sen∠EBCy

BF

FA· CABC

=sen∠BCF

sen∠FCA,

y multiplicando las tres igualdades anteriores resulta (3.3).Para finalizar la demostración supongamos que se cumple (3.3). Sea P

la intersección de BE con CF y sea D′ la intersección de la recta AP conBC (ver Figura 3.2 (b)). Entonces, por lo que acabamos de demostrar,

AF

FB

BD′

D′C

CE

EA= 1,


y comparando esta igualdad con (3.3) resulta

BD′

D′C=BD

DC.

Como tanto D como D′ pertenecen al segmento BC resulta que D′ = D ypor lo tanto AD, BE y CF son concurrentes.

El teorema de Ceva proporciona una prueba inmediata de que las tresmedianas de un triángulo ABC son concurrentes. En efecto, si D, E y F sonlos puntos medios de los lados BC, CA y AB, respectivamente, entoncesAF/FB = BD/DC = CE/EA = 1 y por lo tanto

AF

FB

BD

DC

CE

EA= 1.

En los ejercicios siguientes se tratan algunas aplicaciones más interesantes.

Ejercicio 3.1. Sean D, E y F los puntos de contacto del incírculo de untriángulo ABC con los lados BC, CA y AB, respectivamente. Pruebe queAD, BE y CF son concurrentes (el punto en el cual se cortan se llamapunto de Gergonne del triángulo).

Ejercicio 3.2. Sean D, E y F los puntos de contacto de las circunferenciasexinscriptas a un triángulo ABC con los lados BC, CA y AB, respectiva-mente. Pruebe que AD, BE y CF son concurrentes (el punto en el cual secortan se llama punto de Nagel del triángulo).

Ejercicio 3.3. Sean D, E y F puntos ubicados respectivamente en loslados BC, CA y AB o sus prolongaciones de un triángulo ABC. Pruebe elteorema de Menelao, el cual afirma que D, E y F son colineales si y sólo si

AF

FB

BD

DC

CE

EA= 1.

Ejercicio 3.4. ¿Será posible construir una estrella pentagonal como la dela figura de manera que sus lados a, a′, b, b′, c, c′, d, d′, e, e′ midan 6, 9,14, 10, 9, 5, 6, 4, 3 y 6, respectivamente?

3.2. Teorema del coseno 37

α

α

β β

γ

γ

δδ ε

εa

a′

b

b′c

c′

d

d′

e e′

�

�

�

� �

C

E

B

D A

�

�

�

� �

P

Q

R

S T

Ejercicio 3.5. Muestre que en cualquier estrella pentagonal como la de lafigura anterior, con lados a, a′, b, b′, c, c′, d, d′, e, e′, se cumple la relaciónabcde = a′b′c′d′e′.

3.2. Teorema del coseno

Teorema 3.2. En todo triángulo se cumple

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα (3.4)

y las relaciones análogas permutando letras.

Demostración. Sea P el pie de la altura trazada desde C (ver Figura 3.3).Orientemos la recta AB desde A hacia B y consideremos AP y PB comosegmentos orientados. Entonces, incluso si α o β son obtusos y P cae fueradel segmento AB, se tiene AP = b cosα y AP + PB = AB, de donde


PB = AB − AP = c − AP . Aplicando el Teorema de Pitágoras a lostriángulos rectángulos APC y BPC se obtiene

b2 = AP 2 + PC2

a2 = (c−AP )2 + PC2,

y restando miembro a miembro la primera igualdad de la segunda resulta

a2 − b2 = (c−AP )2 −AP 2 = c2 − 2cAP = c2 − 2bc cosα,

de dondea2 = b2 + c2 − 2bc cosα.

α

A B

C

b a

P

α

P B

C

ba

A

Figura 3.3: Teorema del coseno

Nota 3.1. Si α = 90◦ entonces cosα = 0 y el teorema del coseno nos diceque a2 = b2 + c2, es decir que el teorema de Pitágoras es un caso particulardel teorema del coseno. Más aún, si en el 4ABC se cumple a2 = b2 + c2

entonces 2bc cosα = b2 + c2 − a2 = 0, de donde cosα = 0 y α = 90◦

(recíproco del teorema de Pitágoras).

Ejercicio 3.6. Sea D un punto en el lado BC de un triángulo ABC. Elteorema de Stewart afirma que

BC(AD2 +BD · CD) = AB2 · CD +AC2 ·BD.Pruébelo aplicando el teorema del coseno.

Ejercicio 3.7. (I Olimpiada Iberoamericana de Matemática, 1985) SeaABC un triángulo equilátero y P un punto en su interior tal que PA = 5,PB = 7 y PC = 8. Determine la longitud del lado del triángulo ABC.

3.3. Analogías de Mollweide 39

3.3. Analogías de Mollweide

Teorema 3.3. En todo triángulo se cumplen

a− b

c=

senα− β

2

cosγ

2

,a+ b

c=

cosα− β

2

senγ

2

(3.5)


Demostración. Tomemos puntos N y M en la recta BC, a uno y otro ladode C, tales que NC = CM = b (ver Figura 3.4). Entonces los triángulosNCA y ACM son isósceles, y ∠NCM = 90◦ por estar inscripto en lasemicircunferencia de centro C y radio b. También se tiene ∠MCA = α+β(por ser exterior al 4ABC), de donde ∠CNA = ∠CAN = (α + β)/2.Análogamente ∠CMA = ∠CAM = γ/2. Además ∠BAN = ∠BAC −∠NAC = α−(α+β)/2 = (α−β)/2 y ∠BNA = 180◦−(α+β)/2 = 90◦+γ/2.Aplicando ahora el teorema de los senos al triángulo ABN se obtiene

�

�

��

B

β

C

α+ βγ

N

α+β2

M

α−β2

γ2

A

b

a− b

α+β2

γ2

c

Figura 3.4: Analogías de Mollweide

a− b

c=

senα− β

2

sen(

90◦ +γ

2

) =sen

α− β

2

cosγ

2

.


Análogamente si aplicamos el teorema de los senos al triángulo ABM seobtiene

a+ b

c=

sen

(

α− β

2+ 90◦

)

senγ

2

=cos

α− β

2

senγ

2

.

3.4. Teorema de las tangentes


a− b

a+ b= tg

α− β

2tgγ

2=

tgα− β

2

tgα+ β

2

(3.6)


Demostración. Si se divide la primera de las igualdades (3.5) entre la se-gunda, se obtiene

a− b

a+ b= tg

α− β

2tgγ

2,

pero como γ/2 = (180◦ − α− β)/2 = 90◦ − (α + β)/2, entonces tg(γ/2) =ctg(α+ β)/2 y se obtiene (3.6).

3.5. Fórmulas de Briggs


tgα

2=

r

p− a=

√

(p− b)(p − c)

p(p− a)(3.7)


3.6. Resolución de triángulos 41

� �

�

�

�

A B

C

I

r

Pα/2p− a

Figura 3.5: Fórmulas de Briggs

Demostración. Sea P el punto de contacto del incírculo con el lado AB (verFigura 3.5). Entonces como es bien sabido AP = p− a, por lo tanto

tgα

2=IP

AP=

r

p− a.

Pero como se verá en (3.13) es r =√

(p− a)(p − b)(p− c)/p y al sustituireste valor en la expresión de tg α/2 se obtiene (3.7).

3.6. Resolución de triángulos

Resolver un triángulo significa hallar sus elementos (lados y ángulos) apartir de un conjunto de datos. Lo más común es que esos datos sean los treslados, o dos lados y un ángulo, o un lado y dos ángulos, pero por supuestoque se pueden plantear otras posibilidades, como por ejemplo resolver untriángulo dados un lado, un ángulo y una altura.

3.6.1. Resolución de triángulos rectángulos

La situación más sencilla se presenta cuando se sabe que el triángulo esrectángulo. En este caso el triángulo queda determinado si se conocen dosde sus lados, o un ángulo agudo y un lado. Supongamos que el ángulo rectoes β. Se presentan los siguientes casos.


Dados la hipotenusa y un cateto. Si se conoce la hipotenusa b y uncateto, por ejemplo a, entonces senα = a/b, y como α es agudo se determinaα = Arc sen(a/b) y γ = 90◦ − α. El cateto c se calcula como b cosα o bienpor Pitágoras como

√b2 − a2.

Dados los catetos. Si se conocen a y c entonces tg α = a/c, por lo tantoα = Arc tgα y naturalmente γ = 90◦ − α. La hipotenusa puede calcularsede varias maneras: b =

√a2 + b2 = a cscα = c secα.

Dados un ángulo agudo y la hipotenusa. Si se conocen α y b entoncesγ = 90◦ − α, c = b cosα y a = b senα.

Dados un ángulo agudo y un cateto. Si se conocen α y a entoncesb = a cscα, γ = 90◦ − α y c = b cosα = a ctg α =

√b2 − a2.

3.6.2. Resolución de triángulos cualesquiera

Dados los tres lados. En este caso, usando el teorema del coseno sepuede calcular cualquier ángulo. Por ejemplo de a2 = b2 + c2 − 2bc cosα sedespeja cosα = (b2+c2−a2)/(2bc) y si el miembro derecho está comprendidoentre −1 y 1, α queda unívocamente determinado (de lo contrario no haysolución). De igual modo de cos β = (a2 + c2 − b2)/(2ac) se obtiene β yfinalmente γ = 180◦ − α− β. Resumiendo:

α = arc cosb2 + c2 − a2

2bc, β = arc cos

a2 + c2 − b2

2ac, γ = 180◦ − α− β.

Alternativamente, luego de calcular α se puede usar el teorema de lossenos para obtener senβ = (b senα)/a. Pero hay que tener cuidado puesesta igualdad no determina unívocamente el valor de β, excepto en el casoexcepcional de que sea sen β = 1, pues entonces β = 90◦. En general ob-tendremos un par de ángulos, uno agudo dado por la función Arc sen y elsuplementario, obtuso. Sin embargo, si se tiene cuidado de calcular primeroel ángulo opuesto al mayor de los tres lados, los otros dos deben ser necesari-amente agudos y quedan determinados por el valor de su seno. Por ejemplo


si a es el mayor de los tres lados y calculamos α usando el teorema delcoseno, entonces será 0◦ < β < 90◦ y β = Arc sen((b senα)/a).

También pueden utilizarse las fórmulas de Briggs (3.7) para calculartg α

2 y tg β2 , con lo cual quedan determinados unívocamente α y β, y luego

se calcula γ = 180◦ − α− β.

Dados dos lados y el ángulo comprendido. Supongamos conocidosa, b y γ. Entonces por el teorema del coseno se tiene

c =√

a2 + b2 − 2ab cos γ

y el problema se reduce al caso anterior.Alternativamente, del teorema de las tangentes (3.6) puede despejarse

tgα− β

2=a− b

a+ bctg

γ

2,

y este valor determina unívocamente (α− β)/2 y por lo tanto α − β. Perocomo también se conoce α + β = 180◦ − γ, pueden determinarse α y β, yfinalmente c = a sen γ/ senα.

Si sólo se desea conocer c sin calcular α ni β, se puede determinar (α−β)/2 usando el teorema de las tangentes y luego despejar c de una de lasanalogías de Mollweide (3.5), por ejemplo de la primera se obtiene

c =(a+ b) sen

γ

2

cosα− β

2

.

Dados un lado y dos ángulos. Es claro que al conocer dos ángulos αy β se puede calcular el otro γ = 180◦ − α− β. Si se conoce por ejemplo ellado a entonces los otros dos se obtienen del teorema de los senos:

b =a sen β

senα, c =

a sen γ

senα.


Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Supongamosconocidos a, b y α. Entonces por el teorema de los senos se tiene

sen β =b senα

a, sen γ =

c senα

a.

Pero aquí se presenta una dificultad, pues como ángulos suplementariostienen el mismo seno, el valor del seno no determina el valor del ángulo.Por esa razón pueden presentarse tres situaciones: que el problema tengasolución única, que tenga dos soluciones y que no tenga ninguna. Tododepende de la relación entre los valores de a, b y α. Para entender mejorlo que ocurre observemos la figura 3.6, en la que se trata de resolver elproblema gráficamente. Para ello se traza un ángulo α de vértice A y lados

r

s� �

�

��

A

C

α

B′ P B

b a a

Figura 3.6: Caso II.

r y s. En el lado r se toma un punto C tal que AC = b. El tercer vérticeB debe estar en el lado s y a una distancia a de C. Para hallarlo bastatrazar la circunferencia de centro C y radio a y cortarla con s. Es claro quesi α ≥ 90◦ hay solución (y es única) si y sólo si a > b. En el caso α < 90◦ esclaro que si a es menor que la distancia b senα de C a s, no hay solución.Si a = b senα entonces hay solución única (el triángulo rectángulo ACP )y si b senα < a < b entonces hay dos soluciones (los triángulos ABC yAB′C). Finalmente, si a ≥ b entonces hay solución única. Todo lo anteriorse resume de la siguiente manera:


Caso I: a ≥ b. Hay solución única. Como β ≤ α (porque a mayor lado seopone mayor ángulo) β debe ser necesariamente agudo, por lo tanto

β = Arc senb senα

a, γ = 180◦ − α− β, c =

a sen γ

senα.

Caso II: b senα < a < b Hay dos soluciones, la descripta en el caso anteriory esta otra:

β′ = 180◦ −Arc senb senα

a, γ′ = 180◦ − α− β′, c′ =

a sen γ′

senα.

Caso III: a = b senα En este caso el triángulo debe ser rectángulo en B yla solución es única, a saber:

β = 90◦, γ = 90◦ − α, c = a cosα.

Caso IV: a < b senα No hay solución. Si se intenta aplicar el teorema delos senos resulta sen β = (b senα)/a > a/a = 1, lo cual es imposible.

Ejemplo 3.2. En un estadio de béisbol un espectador está sentado en laúltima fila directamente detrás del home. La visual hacia el home forma unángulo descendente de 29,9o con la horizontal, y la visual hacia el montículodel lanzador forma un ángulo descendente de 24,2o con la horizontal. ¿Aqué distancia del home se encuentra el espectador? ¿A qué altura sobre elnivel del campo se encuentra el espectador?

Las posiciones del lanzador (A), el home (B) y el espectador (C) formanun triángulo del cual se conocen los tres ángulos: α = ∠BAC = 24,2◦,β = ∠ABC = 180◦ − 29,9◦ = 150,1◦ y γ = ∠ACB = β − α = 5,7◦.Estos datos no son suficientes para resolver el triángulo, pero la distanciareglamentaria c = AB es de 60 pies y medio, que a 30,48 cm por pie hacen18,44 m. Entonces por el teorema de los senos

BC =AB sen 24,2◦

sen 5,7◦≈ 76,11m.

La altura es BC sen 29,9◦ ≈ 37,94 m.


A B

C

D

24,2◦ 29,9◦� �

�

�

Figura 3.7: Lanzador, home y espectador.

Ejercicio 3.8. Hallar los ángulos de un triángulo con a = 3, b = 4, c = 5.

Ejercicio 3.9. Resuelva un triángulo dados a = 3, c = 4, β = 40◦.

Ejercicio 3.10. (Adaptado de L. Alvarado [1]) El profesor propone resolverun triángulo dados a = 10, b = 25, c = 20. Un alumno hace lo siguiente:

α = arc cosb2 + c2 − a2

2bc= arc cos

37

40= arc cos 0,925 ≈ 22,331645◦ .

Ahora, por el teorema del seno

sen β =b senα

a≈ 0,9499177594

y por tanto

β ≈ arc sen 0,9499177594 ≈ 71,790043◦, γ = 180◦ − α− β ≈ 85,87831192◦ .

¿Es correcto este resultado?

Ejercicio 3.11. Resuelva un triángulo dados α = 30◦, a = 3, b = 7.

3.7. Triangulaciones 47

Ejercicio 3.12. Resuelva un triángulo dados α = 60◦, a = 3√3, b = 6.



3.7. Triangulaciones

Supongamos que se desea calcular la distancia entre un punto A y otroB, inaccesible desde A (por ejemplo B podría estar al otro lado de un río).Una forma de hacerlo consiste en tomar otro punto C, accesible desde A y talque la distancia AC pueda determinarse con facilidad, y medir los ángulosα = ∠BAC y γ = BCA. Esto lo hacen los topógrafos y agrimensores conun instrumento llamado teodolito, el cual esencialmente es un anteojo quepuede girar sobre un eje horizontal, y el conjunto a su vez puede girar sobreun eje vertical. Los giros alrededor de cada eje pueden leerse en sendoslimbos graduados. Una vez conocidos b, α y γ se determina c = AB usando

� �

�

�

A C

B

D

Figura 3.8: Problema de Snell.

el teorema del seno, como se vio en la sección anterior. Es decir se calculaβ = 180◦ − α− γ y luego

c =b sen γ

sen β.

Esta técnica se conoce como triangulación.


Si se desea hallar la distancia entre dos puntos B y D inaccesibles desdeA (lo que se conoce como Problema de Snell) basta calcular, como se acabade ver, las distancias c = AB y d = AD, medir luego el ángulo ϕ = ∠DABy finalmente usar el teorema del coseno para hallar BD:

BD =√

c2 + d2 − 2cd cosϕ.

Tomando los puntos calculados como estación y repitiendo el proceso connuevos puntos, los topógrafos generan una malla de triángulos que cubre elárea que se desee y permite dibujar mapas con distancias precisas.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Figura 3.9: Triangulación topográfica.

Ejercicio 3.15. Si en la Figura 3.8 se conocen AC = 100 m, ∠CAD = 45◦,∠DAB = 30◦, ∠DCB = 25◦ y ∠BCA = 40◦, ¿cuánto mide BD?

3.8. Áreas

Usaremos la notación [A1A2 . . . An] para el área de un polígono de vér-tices A1, A2,. . . ,An. En particular [ABC] es el área del triángulo ABC.Como es bien sabido el área de un triángulo es igual a la mitad del produc-to de un lado por la altura trazada desde el vértice opuesto, es decir

[ABC] =aha

2=bhb2

=chc2. (3.8)

3.8. Áreas 49

�

A AB B

C C

bbhc

hc

αα

180◦ − α

Figura 3.10: hc = b senα

Como en cualquier caso es hc/b = senα (ver Figura 3.10), se tiene

[ABC] =chc2

=1

2bc senα

y fórmulas análogas permutando letras, es decir

[ABC] =1

2bc senα =

1

2ac sen β =

1

2ab sen γ. (3.9)

Aplicaremos estos resultados para demostrar una fórmula para calcular elárea de un cuadrilátero inscriptible debida a Brahmagupta, matemático yastrónomo indio del siglo VII.

Sea ABCD el cuadrilátero (ver Figura 3.11) y pongamos a = AB,b = BC, c = CD, d = DA, α = ∠BAD y γ = ∠DCB. Como α y γson suplementarios, se tiene que sen γ = senα y cos γ = − cosα, y usando(3.9) resulta

[ABCD] = [ABD] + [BCD] =1

2ad senα+

1

2bc sen γ =

1

2(ad+ bc) senα,

4[ABCD]2 = (ad+ bc)2 sen2 α = (ad+ bc)2(1− cos2 α).

Pero por el teorema del coseno

a2 + d2 − 2ad cosα = BD2 = b2 + c2 − 2bc cos γ = b2 + c2 + 2bc cosα,


�

�

�

�

A

a

α

B

b

γ Cc

D

d

Figura 3.11: Cuadrilátero inscriptible

de dondea2 + d2 − b2 − c2 = 2(ad + bc) cosα.

Por lo tanto

16[ABCD]2 = 4(ad + bc)2(1− cos2 α) = 4(ad + bc)2 − (a2 + d2 − b2 − c2)2

= (2ad + 2bc+ a2 + d2 − b2 − c2)(2ad + 2bc− a2 − d2 + b2 + c2)

= ((a+ d)2 − (b− c)2)((b+ c)2 − (a− d)2)

= (a+ d+ b− c)(a+ d− b+ c)(b + c+ a− d)(b+ c− a+ d),

de donde

[ABCD] =1

4

√

(−a+ b+ c+ d)(a− b+ c+ d)(a+ b− c+ d)(a+ b+ c− d).

Si p = (a + b + c + d)/2 es el semiperímetro del cuadrilátero, entonces laigualdad anterior se puede escribir como

[ABCD] =√

(p− a)(p − b)(p− c)(p − d), (3.10)

3.8. Áreas 51

que es conocida como fórmula de Brahmagupta.Como caso particular cuando D coincide con C (y por lo tanto d = 0)

se obtiene la fórmula de Herón para el área de un triángulo ABC:

[ABC] =√

p(p− a)(p − b)(p − c). (3.11)

� �

�

�

A B

C

I

r

r r

Figura 3.12: Inradio y área

Sea I el incentro y r el inradio del triángulo ABC. Como se ve clara-mente en la Figura 3.12 se tiene

[ABC] = [ABI] + [BCI] + [CAI] =cr

2+ar

2+br

2,

y si p = (a+ b+ c)/2 es el semiperímetro del 4ABC resulta

[ABC] = pr. (3.12)

De aquí y de (3.11) se obtiene

r =

√

(p − a)(p − b)(p − c)

p. (3.13)


Como por el teorema de los senos (3.1) es a/ senα = 2R, siendo R elcircunradio, sustituyendo senα = a/(2R) en (3.9) se deduce también lafórmula

[ABC] =abc

4R. (3.14)

Ejercicio 3.16. Halle una fórmula análoga a (3.12) que exprese [ABC] enfunción del exradio ra y los lados del triángulo.

Ejercicio 3.17. Halle una fórmula análoga a (3.13) que exprese el exradiora en función de los lados del triángulo.

Ejercicio 3.18. Pruebe que [ABC] =√rrarbrc.

53

CAPÍTULO 4

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

4.1. Líneas de una suma o diferencia de ángulos

La cuerda con extremos (cosα, senα) y (cos β, sen β) en el círculo trigonométri-co tiene la misma longitud que la cuerda de extremos (cos(α−β), sen(α−β))y (1, 0), ya que ambas subtienden un ángulo igual a α− β (ver Figura 4.1).Por lo tanto, igualando los cuadrados de las cuerdas se tiene

(cosα− cos β)2 + (senα− sen β)2 = (cos(α− β)− 1)2 + sen2(α− β).

Desarrollando los cuadrados y usando el hecho de que

cos2 α+ sen2 α = cos2 β + sen2 β = cos2(α− β) + sen2(α− β) = 1

resulta2− 2 cosα cos β − 2 senα sen β = 2− 2 cos(α− β),

de donde

cos(α− β) = cosα cos β + senα sen β. (4.1)

Sustituyendo β por −β resulta

cos(α+ β) = cosα cos β − senα sen β. (4.2)

54 CAPÍTULO 4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

x

y

O

(cosα, senα)

α−β

(cos β, sen β)

�

�

�

�

α− β

(cos(α− β), sen(α− β))

(1, 0)

Figura 4.1: Diferencia de ángulos

Reemplazando α por 90◦ − α en (4.1) resulta

sen(α+ β) = senα cos β + cosα senβ, (4.3)

y sustituyendo β por −β en esta última ecuación resulta

sen(α− β) = senα cos β − cosα senβ. (4.4)

Utilizando (4.2) y (4.3) se tiene

tg(α+ β) =sen(α+ β)

cos(α+ β)=

senα cos β + cosα sen β

cosα cosβ − senα sen β=

tgα+ tg β

1− tgα tg β.

4.2. Líneas del ángulo doble y del triple 55

Sustituyendo β por −β se tiene una expresión para tg(α− β), así:

tg(α+ β) =tgα+ tg β

1− tgα tg β, tg(α− β) =

tgα− tg β

1 + tgα tg β. (4.5)

De manera análoga se prueba que

ctg(α+ β) =ctgα ctg β − 1

ctg α+ ctg β, ctg(α− β) =

1 + ctg α ctg β

ctg β − ctg α. (4.6)

Ejercicio 4.1. Calcule el valor exacto de la expresión

sen2 23◦ + cos2 53◦ + sen 23◦ cos 53◦.

Ejercicio 4.2. Muestre que la expresión

cos2(60◦ − x) + cos2(60◦ + x) + cos(60◦ − x) cos(60◦ + x)

tiene un valor constante cualquiera sea x, y hállelo.

4.2. Líneas del ángulo doble y del triple

Poniendo β = α en (4.3) resulta

sen 2α = 2 senα cosα. (4.7)

Análogamente, poniendo β = α en (4.2) resulta cos 2α = cos2 α − sen2 α.Sustituyendo en esta expresión sen2 α por 1−cos2 α resulta cos 2α = 2cos2 α−1, y reemplazando cos2 α por 1 − sen2 α resulta cos 2α = 1 − 2 sen2 α. Re-uniendo las tres expresiones se tiene

cos 2α = cos2 α− sen2 α = 2cos2 α− 1 = 1− 2 sen2 α. (4.8)


Del mismo modo poniendo β = α en la expresión para tg(α+β) (ver (4.5)),o bien dividiendo (4.7) entre (4.8), se tiene

tg 2α =2 tg α

1− tg2 α. (4.9)

Poniendo ahora β = 2α en (4.3) y utilizando (4.7) y (4.8) resulta

sen 3α = sen(α+ 2α) = senα cos 2α+ cosα sen 2α

= senα(1− 2 sen2 α) + cosα(2 sen α cosα)

= senα(1− 2 sen2 α) + 2 senα(1− sen2 α)

= 3 senα− 4 sen3 α,

es decir

sen 3α = 3 senα− 4 sen3 α. (4.10)

Análogamente

cos 3α = cos 2α cosα− sen 2α senα

= (2 cos2 α− 1) cosα− 2 sen2 α cosα

= (2 cos2 α− 1) cosα− 2(1− cos2 α) cosα

= 4cos3 α− 3 cosα,

es decir

cos 3α = 4cos3 α− 3 cosα. (4.11)

Ejercicio 4.3. Pruebe que tg 3x =3 tg x− tg3 x

1− 3 tg2 x.

Ejercicio 4.4. Pruebe que tg 10◦ tg 50◦ = tg 20◦ tg 30◦.

4.3. Líneas del arco mitad

Sustituyendo α por α/2 en (4.8) se obtiene

cosα = 2cos2α

2− 1 = 1− 2 sen2

α

2,

4.4. Expresiones con la tangente del arco mitad 57

de donde se despejan

cos2α

2=

1 + cosα

2, sen2

α

2=

1− cosα

2,

por lo tanto

cosα

2= ±

√

1 + cosα

2, sen

α

2= ±

√

1− cosα

2. (4.12)

El signo debe escogerse en cada caso según el rango de valores de α. Porejemplo si 0 ≤ α ≤ 360◦ entonces 0 ≤ α

2 ≤ 180◦ y en la expresión parasen α

2 se debe tomar el signo positivo; en cambio si −360 < α < 0◦ osi 360 < α < 720◦, se debe tomar el signo negativo. Del mismo modo, si−180 ≤ α ≤ 180◦ entonces en la expresión para cos α2 se debe tomar el signopositivo; en cambio si 180 < α < 540◦, se debe tomar el signo negativo.

Ejercicio 4.5. Calcule cos 15◦ y sen 15◦.

4.4. Expresiones con la tangente del arco mitad

En muchos casos resulta útil el hecho de que todas las líneas trigonométri-cas de un ángulo α se pueden expresar como funciones racionales de t =

tgα

2. En efecto,

senα = 2 senα

2cos

α

2= 2 tg

α

2cos2

α

2

=2 tg α

2

1 + tg2 α2=

2t

1 + t2.

cosα = cos2α

2− sen2

α

2= cos2

α

2(1− tg2

α

2)

=1− tg2 α21 + tg2 α2

=1− t2

1 + t2.

tg α =senα

cosα=

2t

1− t2.


Ejercicio 4.6. Pruebe que la circunferencia x2 + y2 = 1 en el plano carte-siano contiene infinitos puntos con ambas coordenadas racionales.

4.5. Fórmulas de factorización

Dados α y β sean p = (α+ β)/2 y q = (α− β)/2. Entonces p+ q = α yp− q = β, por lo tanto

cosα+ cos β = cos(p + q) + cos(p− q)

= (cos p cos q − sen p sen q) + (cos p cos q + sen p sen q)

= 2 cos p cos q,

es decir que

cosα+ cos β = 2cosα+ β

2cos

α− β

2. (4.13)

Análogamente

cosα− cos β = cos(p + q)− cos(p− q)

= (cos p cos q − sen p sen q)− (cos p cos q + sen p sen q)

= −2 sen p sen q,

de donde

cosα− cos β = −2 senα+ β

2sen

α− β

2. (4.14)

Con la misma técnica (o sustituyendo α y β por sus complementarios) seprueba que

senα+ sen β = 2 senα+ β

2cos

α− β

2(4.15)

y

senα− sen β = 2 senα− β

2cos

α+ β

2. (4.16)

4.6. Teorema de Tolomeo 59

4.6. Teorema de Tolomeo

Claudio Tolomeo utilizó, para calcular su tabla de cuerdas, un resultadogeométrico esencialmente equivalente a las fórmulas para el seno de unasuma o diferencia de ángulos (4.3 y 4.4). Aquí seguiremos el camino inverso,utilizando (4.3) y (4.4) para demostrar el Teorema de Tolomeo.

Recordemos que un cuadrilátero es convexo si la recta que contiene acada lado deja a los dos vértices que no pertenecen a ella en un mismosemiplano.

Teorema 4.1 (Teorema de Tolomeo). Si ABCD es un cuadrilátero convexoinscriptible, entonces el producto de las diagonales es igual a la suma de losproductos de los pares de lados opuestos. En símbolos:

AC ·BD = AB · CD +BC ·DE.

�

�

�

�

A

ϕ

α

B

β

C

D

sen(α+β)

senϕ

senα

sen(β− ϕ

)

sen(α

+ϕ)

sen β

Figura 4.2: Teorema de Tolomeo

Demostración. Sean α = ∠BAC, β = ∠CBA y ϕ = ∠CAD. Si se tomacomo unidad de medida el diámetro de la circunferencia circunscripta al


cuadrilátero, entonces el ángulo central subtendido por BC mide 2α yel radio de la circunferencia es 1/2, luego por (2.1) la cuerda BC mide2(1/2) sen(2α/2) = senα, es decir BC = senα. Análogamente CD = senϕ,AC = sen β y BD = sen(α+ϕ). Como ∠ACB = 180◦−α−β se tiene tam-bién AB = sen(180◦−α−β) = sen(α+β), y como ∠ABD = β−∠DBC =β − ∠DAC = β − ϕ, resulta AD = sen(β − ϕ). Por lo tanto

AC ·BD = sen β sen(α+ ϕ)

yAB · CD +AD ·BC = sen(α+ β) senϕ+ sen(β − ϕ) senα.

Pero

sen(α+ β) senϕ+ sen(β − ϕ) senα

= (senα cos β + sen β cosα) senϕ+ (sen β cosϕ− senϕ cos β) senα

= sen β cosα senϕ+ sen β cosϕ senα

= sen β(cosα senϕ+ cosϕ senα)

= sen β sen(α+ ϕ),

y por lo tanto AC · BD = AB · CD +AD · BC.

Nota 4.1. Si ABC es un triángulo rectángulo en B y D ea el simétricode B respecto al punto medio de AC, entonces ABCD es un rectánguloinscripto en la circunferencia de diámetro AC. Como AB = CD, BC = DAy AD = AC, el teorema de Tolomeo nos dice que AC2 = AB2 +BC2, y seobtiene una demostración del teorema de Pitágoras.

Como aplicación calcularemos los valores exactos del seno y el coseno de36o y 72o. Consideremos un pentágono regular ABCDE inscripto en unacircunferencia de diámetro unidad. Entonces AB = BC = CD = sen 36◦ yAD = BD = AC = sen 72◦. Por el teorema de Tolomeo se tiene entoncesque

sen2 36◦ + sen 36◦ sen 72◦ = sen2 72◦.

Pero como sen 72◦ = 2 sen 36◦ cos 36◦, resulta que

sen2 36◦ + 2 sen2 36◦ cos 36◦ = 4 sen2 36◦ cos2 36◦,

4.6. Teorema de Tolomeo 61

� �

�

�

�

�

72o

144o

OA

B

C

D

E

Figura 4.3: Pentágono regular

y luego de dividir entre sen2 36◦ queda

1 + 2 cos 36◦ = 4cos2 36◦.

Es decir que cos 36◦ es la raíz positiva de la ecuación 1+2x = 4x2, de donde

cos 36◦ =2 +

√4 + 16

8=

1 +√5

4,

y ahora por (4.8)

cos 72◦ = 2cos2 36◦ − 1 =6 + 2

√5

8− 1 =

√5− 1

4.

Observe que este resultado permite construir con regla y compás un pentá-gono regular de radio dado. En efecto, trazada la circunferencia de radio OAbasta tomar en este segmento un punto P tal que OP/OA = (

√5−1)/4 (lo

cual es fácil pues√5 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos

1 y 2). Trazando la perpendicular a OA por P , los puntos de corte con lacircunferencia son vértices del pentágono. C y D se hallan fácilmente puesBC = BA y ED = EA.

Ahora es fácil calcular

sen 36◦ =√

1− cos2 36◦ =

√

1− 6 + 2√5

16=

1

4

√

10− 2√5


y

sen 72◦ =√

1− cos2 72◦ =

√

1− 6− 2√5

16=

1

4

√

10 + 2√5.

Ejercicio 4.7. Calcule cos 18◦, sen 18◦, cos 54◦, sen 54◦.

4.7. Identidades con α + β + γ = 180◦

Sean α, β y γ tres ángulos tales que α+ β + γ = 180◦ (por ejemplo, lostres ángulos de un triángulo). Entonces γ = 180◦ − (α+ β) y por lo tanto

tg γ = tg(180◦ − (α+ β)) = − tg(α+ β) = − tgα+ tg β

1− tg α tg β,

por lo tantotgα+ tg β = (tgα tg β − 1) tg γ

y se obtiene la notable identidad:

tgα+ tg β + tg γ = tgα tg β tg γ. (4.17)

Análogamente, como

sen γ = sen(180◦ − (α+ β)) = sen(α+ β) = senα cos β + sen β cosα,

resulta

senα+ sen β + sen γ = senα(1 + cos β) + sen β(1 + cosα)

= 2 senα cos2β

2+ 2 sen β cos2

α

2= 4 sen

α

2cos

α

2cos2

β

2+ 4 sen

β

2cos

β

2cos2

α

2

= 4 cosα

2cos

β

2(sen

α

2cos

β

2+ sen

β

2cos

α

2) = 4 cos

α

2cos

β

2sen

α+ β

2

= 4 cosα

2cos

β

2sen(90◦ − γ

2) = 4 cos

α

2cos

β

2cos

γ

2,

4.7. Identidades con α+ β + γ = 180◦ 63

es decir,

senα+ sen β + sen γ = 4cosα

2cos

β

2cos

γ

2. (4.18)

Como último ejemplo observemos que si α + β + γ = 180◦ entoncesα2 + β

2 + γ2 = 90◦, por lo tanto

ctgγ

2= tg

(

α

2+β

2

)

=tg α

2 + tg β2

1− tg α2 tg

β2

=ctg α

2 + ctg β2

ctg α2 ctg β

2 − 1,

y entonces

ctgα

2+ ctg

β

2+ ctg

γ

2=

(

ctgα

2+ ctg

β

2

)

(

1 +1

ctg α2 ctg

β2 − 1

)

=

(

ctgα

2+ ctg

β

2

)

ctg α2 ctg

β2

ctg α2 ctg β

2 − 1= ctg

α

2ctg

β

2ctg

γ

2,

es decir que

ctgα

2+ ctg

β

2+ ctg

γ

2= ctg

α

2ctg

β

2ctg

γ

2. (4.19)

La trigonometría es una fuente inagotable de identidades sorprendentesy de problemas ingeniosos de tipo olímpico. Al lector interesado en estostemas le recomendamos la lectura de [3].

Ejercicio 4.8. Pruebe que en todo triángulo se cumple

b cos β + c cos γ = a cos(β − γ).

Ejercicio 4.9. Asumiendo que α + β + γ = 180◦, pruebe las siguientesidentidades:

1. sen 2α+ sen 2β + sen 2γ = 4 senα sen β sen γ,


2. cosα+ cos β + cos γ = 1 + 4 senα

2sen

β

2sen

γ

2,

3. cos 2α+ cos 2β + cos 2γ = −1− 4 cosα cos β cos γ,

4. cotα cot β + cot β cot γ + cot γ cotα = 1.

5. tgα

2tgβ

2+ tg

β

2tgγ

2+ tg

γ

2tgα

2= 1.

6. sen2α

2+ sen2

β

2+ sen2

γ

2= 1− 2 sen

α

2sen

β

2sen

γ

2.

65

CAPÍTULO 5

NÚMEROS COMPLEJOS

En este capítulo se introducen los números complejos y se examina surelación con la trigonometría y la geometría.

5.1. El cuerpo de los números complejos

Los números complejos son el conjunto C de todos los pares ordenadosde números reales, con las operaciones que se detallan a continuación.

La suma de dos complejos (a, b) y (c, d) se define sumando componentea componente, es decir

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

La definición del producto es algo más complicada:

(a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

Es un ejercicio de rutina verificar las siguientes propiedades:

1. (0, 0) es neutro para la suma.

66 CAPÍTULO 5. NÚMEROS COMPLEJOS

2. (1, 0) es neutro para el producto.

3. Todo complejo (a, b) tiene un opuesto aditivo (−a,−b).

4. Todo complejo (a, b) distinto de (0, 0) tiene un inverso multiplicativo,a saber (a/

√a2 + b2,−b/

√a2 + b2).

5. La suma y el producto son operaciones asociativas y conmutativas.

6. El producto se distribuye sobre la suma.

Como consecuencia de lo anterior C con la suma y el producto que seha definido es un cuerpo.

Si z = (a, b) ∈ C, al primer elemento a del par se le llama parte real dez y se denota <(z), mientras que a b se le llama parte imaginaria de z y sedenota =(z).

Al complejo (0, 1) se le llama unidad imaginaria y se le denota con laletra i. Los complejos con parte imaginaria nula constituyen un subcuerpoisomorfo al de los reales, por lo cual cada complejo (a, 0) se identifica conel real a. Por lo tanto se puede escribir

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a+ b(0, 1) = a+ bi.

A la expresión a+bi se le llama forma binómica del complejo (a, b). Es claroque

z = <(z) + i=(z).El conjugado del complejo z = a + bi es z = a − bi, y su módulo es

|z| =√a2 + b2. Si z, w ∈ C es inmediato verificar las siguientes propiedades:

1. <(z +w) = <(z) + <(w), =(z + w) = =(z) + =(w),2. z +w = z + w.3. zw = zw.4. zz = |z|2.5. z = z.

Observe que i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1. De hecho, la definicióndel producto de complejos está pensada para que i2 = −1 y se cumplan laspropiedades asociativa, conmutativa y distributiva:

(a+ bi)(c+ di) = ac+ adi+ bci+ bdi2 = (ac− bd) + (ad+ bc)i.

5.2. Coordenadas polares 67

5.2. Coordenadas polares

Fijados en un plano un punto O, que llamaremos origen de coordenadas opolo, una semirrecta e de origen O, que llamaremos eje polar y una unidadde medida, para cada punto P del plano, diferente del origen, sea ρ ladistancia del origen a P y sea ϕ el ángulo orientado (medido en sentidoantihorario) formado por la semirrecta e con la semirrecta

−−→OP .

eO

P

ϕ

ρ

ρ cosϕ

ρ senϕ

Figura 5.1: Coordenadas polares

Al par (ρ;ϕ) se le llama coordenadas polares del punto P . A ρ se le llamacoordenada radial y a ϕ coordenada angular o ángulo polar.

Es claro que el polo O tiene coordenada radial nula, pero el ángulo polarqueda indefinido.

Si se toma un sistema de coordenadas cartesianas con origen O y talque el eje polar coincida con el eje Ox, entonces las coordenadas carte-sianas (x, y) de P y sus coordenadas polares (ρ;ϕ) están relacionadas de lasiguiente manera:

x = ρ cosϕ, y = ρ senϕ.

ρ =√

x2 + y2, tgϕ =y

x.

Dado ahora un número complejo z = a+ bi, sean (ρ;ϕ) las coordenadaspolares de (a, b). Entonces a = ρ cosϕ, b = ρ senϕ y se tiene

a+ bi = ρ(cosϕ+ i senϕ).


Esta es la llamada forma trigonométrica del número complejo a + bi. A ϕse le llama argumento del complejo. Observe que ρ es el módulo, ya que

a2 + b2 = ρ2 cos2 ϕ+ ρ2 sen2 ϕ = ρ2(cos2 ϕ+ sen2 ϕ) = ρ2.

Si z = ρ(cosϕ+i senϕ) y w = µ(cosψ+i senψ) son dos complejos en formatrigonométrica, entonces su producto es

zw = ρ(cosϕ+ i senϕ)µ(cosψ + i senψ)

= ρµ(cosϕ cosψ − senϕ senψ + i(cosϕ senψ + senϕ cosψ))

= ρµ(cos(ϕ + ψ) + i sen(ϕ+ ψ)),

donde la última igualdad es consecuencia de (4.2) y (4.3). En resumen,

ρ(cosϕ+ i senϕ)µ(cosψ + i senψ) = ρµ(cos(ϕ+ ψ) + i sen(ϕ+ ψ)). (5.1)

En palabras: el producto de dos números complejos tiene como móduloel producto de los módulos, y como argumento la suma de los argumentos.

Como por lo que se acaba de ver es

ρ

µ(cos(ϕ− ψ) + i sen(ϕ− ψ))µ(cosψ + i senψ) = ρ(cosϕ+ i senϕ),

resulta que

ρ(cosϕ+ i senϕ)

µ(cosψ + i senψ)=ρ

µ(cos(ϕ− ψ) + i sen(ϕ− ψ)), (5.2)

es decir que el cociente de dos números complejos tiene como módulo elcociente de los módulos, y como argumento la diferencia de los argumentos.

5.3. Fórmula de De Moivre

Si se aplica la regla para el producto a cosϕ+ i senϕ multiplicado porsí mismo n veces, se obtiene la llamada fórmula de De Moivre:

(cosϕ+ i senϕ)n = cosnϕ+ i sennϕ. (5.3)

5.4. Exponencial compleja 69

Desarrollando el miembro izquierdo por el teorema del binomio de Newtonresulta

cosnϕ+ i sen nϕ = cosn ϕ+ in cosn−1 ϕ senϕ−(

n

2

)

cosn−2 ϕ sen2 ϕ

− i

(

n

3

)

cosn−3 ϕ sen3 ϕ+

(

n

4

)

cosn−4 ϕ sen4 ϕ+ · · ·+ in senn ϕ

e igualando partes reales e imaginarias se obtiene

cosnϕ = cosn ϕ−(

n

2

)

cosn−2 ϕ sen2 ϕ+

(

n

4

)

cosn−4 ϕ sen4 ϕ− · · ·

sennϕ = n cosn−1 ϕ senϕ−(

n

3

)

senn−3 ϕ cos3 ϕ+

(

n

5

)

senn−5 ϕ cos5 ϕ− · · ·

5.4. Exponencial compleja

Si z = x + iy es un número complejo definiremos la exponencial de zcomo

ez = ex(cos y + i sen y),

entendiendo que y representa un ángulo en radianes. Esta definición es ra-zonable, ya que

1. Extiende la función exponencial real, pues si z = x es real entonces y = 0y ex+0i = ex(cos 0 + i sen 0) = ex.

2. Cumple la ley de los exponentes ez+w = ezew. En efecto, si w = u + vientonces

ez+w = ex+iy+u+iv = e(x+u)+(y+v)i = ex+u(cos(y + v) + i sen(y + v),

mientras que

ezew = ex+iyeu+iv = ex(cos y + i sen y)eu(cos v + i sen v)

= ex+u(

cos y cos v − sen y sen v + i(cos y sen v + sen y cos v))

,


y ambas expresiones son iguales por (4.2) y (4.3).

3. La fórmula de De Moivre (5.3) se expresa como (eiy)n = einy.

Si se pone z = πi en la definición de exponencial resulta eπi = e0(cos π+i sen π) = 1(−1 + 0) = −1, y se obtiene la famosa igualdad

eπi + 1 = 0 (5.4)

que relaciona los cinco números más importantes de la matemática.

Puesto que

eix = cos x+ i senx, e−ix = cos x− i senx,

sumando y restando ambas igualdades se obtiene

cos x =eix + e−ix

2, senx =

eix − e−ix

2i.

Los números complejos simplifican muchos cálculos trigonométricos. Porejemplo supongamos que se desea obtener una expresión cerrada para lasuma

cosx+ cos 2x+ cos 3x+ · · · + cosnx.

Como cos kx = <(eikx) entonces

cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosnx = <(eix + e2ix + · · · + enix).

Pero por De Moivre la suma de exponenciales en el miembro derecho es lasuma de una progresión geométrica de razón eix, y por lo tanto

eix + e2ix + · · · + enix = eix + (eix)2 + · · ·+ (eix)n

=eix(enix − 1)

eix − 1=eixe

nix

2 (enix

2 − e−nix

2 )

eix

2 (eix

2 − e−ix

2 )

= e(n+1)ix

2sen nx

2

sen x2

,

5.5. Aplicaciones geométricas 71

de donde, tomando parte real, se obtiene

cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosnx =cos (n+1)x

2 sen nx2

sen x2

.

Ejercicio 5.1. Halle una expresión cerrada para la suma

senx+ sen 2x+ sen 3x+ · · ·+ sennx.

5.5. Aplicaciones geométricas

Cada complejo a+ bi se puede representar en el plano cartesiano medi-ante el punto de coordenadas cartesianas (a, b), o bien por el vector (a, b).Si z1 = a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2 son dos complejos, representados por lospuntos Z1 = (a1, b1) y Z2 = (a2, b2) respectivamente, entonces la sumaz1 + z2 está representada por el punto S = (a1 + a2, b1 + b2). Observe queS es el extremo del vector que resulta al sumar

−−→OZ1 y

−−→OZ2.

El punto medioM del segmento Z1Z2 tiene coordenadas ((a1+a2)/2, (b1+b2)/2 y corresponde al complejo (z1 + z2)/2. Más en general, si t ∈ R, elpunto Pt correspondiente al complejo (1− t)z1+ tz2 está ubicado en la rectaZ1Z2 de tal modo que la razón Z1P/Z1Z2 es t.

Si z3 = a3+ib3 es otro complejo y Z3 = (a3, b3), entonces (z1+z2+z3)/3corresponde al baricentro G del triángulo Z1Z2Z3. En efecto, el punto mediode M del segmento Z1Z2 corresponde a (z1 + z2)/2, y G está ubicado en lamediana MZ3 de modo tal que MG/MX3 = 1/3. Por lo tanto el complejocorrespondiente a G es

(1− 1

3)z1 + z2

2+

1

3z3 =

1

3(z1 + z2 + z3).

Como para multiplicar dos complejos se multiplican sus módulos y sesuman sus argumentos, se ve que el efecto geométrico de multiplicar por uncomplejo w = µeiψ consiste en aplicar una homotecia de razón µ seguida deuna rotación de ángulo ψ. En particular multiplicar por la unidad imaginariai equivale a rotar 90o en sentido positivo (antihorario).


Ejemplo 5.1. Sea ABC un triángulo cualquiera y sea U un punto diferentede los vértices. Constrúyanse puntos V y W tales que los triángulos ABU ,BCV y CAW sean directamente semejantes. Pruebe que los baricentros delos triángulos ABC y UVW coinciden.

Solución: sea ϕ = ∠BAU = ∠CBV = ∠ACW y sea ρ = AU/AB =BV/BC = CW/CA. Si interpretamos los puntos como números complejosentonces se tiene

U −A

B −A=V −B

C −B=W − C

A− C= ρeiϕ,

por lo tanto

U = A+ (B −A)ρeiϕ, V = B + (C −B)ρeiϕ, W = C + (A− C)ρeiϕ.

Entonces el baricentro de UVW es1

3(U + V +W ) =

1

3

(

A+B + C +(

(B −A) + (C −B) + (A− C))

ρeiϕ)

=1

3(A+B +C),

que coincide con el baricentro de ABC.

Más información sobre los números complejos y sus aplicaciones en ge-ometría puede hallarse en [2] y [6].

5.6. Polinomios y ecuaciones

Si P es un polinomio con coeficientes reales o complejos, se dice que unnúmero z ∈ C es raíz de P si P (z) = 0.

El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que un polinomio de gradon > 0, con coeficientes reales o complejos, tiene al menos una raíz en C (dehecho, tiene exactamente n, si se cuentan con sus multiplicidades).

Ejercicio 5.2. Si z es una raíz compleja de un polinomio con coeficientesreales, pruebe que z también es raíz.

Ejercicio 5.3. Pruebe que un polinomio de grado impar con coeficientesreales tiene al menos una raíz real.

5.6. Polinomios y ecuaciones 73

5.6.1. Raíces de la unidad

Si n es un entero positivo, a las raíces del polinomio zn − 1 se les llamaraíces n-simas de la unidad. Observe que esas raíces son las soluciones (com-plejas) de la ecuación zn = 1. Para resolver esta ecuación expresemos z enforma trigonométrica como z = r(cosϕ+i senϕ), con r > 0 y 0 ≤ ϕ < 360◦.Por la fórmula de De Moivre, la ecuación zn = 1 es equivalente a

rn(cos nϕ+ i sennϕ) = 1,

de donde se desprende que r = 1 y nϕ = 360k para algún entero k, con0 ≤ k < n. Dándole a k los valores 0, 1,. . . ,n− 1 resultan las n raíces de launidad

zk = cos360k

n+ i sen

360k

n, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Ejemplo 5.2. Para n = 3 se tienen las raíces

z0 = cos 0◦ + i sen 0◦ = 1,

z1 = cos 120◦ + i sen 120◦ = − cos 60◦ + i sen 60◦ = −1

2+ i

√3

2,

z2 = cos 240◦ + i sen 240◦ = −1

2− i

√3

2.

5.6.2. La ecuación de segundo grado

Consideremos la ecuación ax2+bx+c = 0, con coeficientes a, b, c reales.Esta ecuación se puede escribir en la forma equivalente

(

x+b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2,

de donde resulta la conocida fórmula para las soluciones

x =−b±

√b2 − 4ac

2a.


Sea ∆ = b2 − 4ac el llamado discriminante de la ecuación. Entonces,si ∆ > 0 la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, a saber x1 = (−b+√∆)/(2a) y x2 = (−b−

√∆)/(2a). Si ∆ = 0 hay una única raíz real doble,

x1 = −b/(2a). Pero si ∆ < 0 entonces la ecuación tiene dos raíces complejasconjugadas x1 = (−b+ i

√−∆)/(2a) y x2 = (−b− i

√−∆)/(2a).

5.6.3. La ecuación de tercer grado

La ecuación general de tercer grado, o ecuación cúbica, es

ax3 + bx2 + cx+ d = 0,

donde los coeficientes a, b, c y d son reales o complejos y a 6= 0. Comoal dividir todos los términos entre a se obtiene una ecuación equivalente,podemos suponer sin perdida de generalidad que a = 1. Efectuando elcambio de variable x = z − b/3 se elimina el término en z2, con lo cualresulta una ecuación del tipo

z3 + pz + q = 0. (5.5)

Para resolver esta ecuación pongamos z = u+ v. Entonces nos queda

(u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0,

es decir u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + p(u + v) + q = 0, que se puede agruparcomo

u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0. (5.6)

Observemos que (5.6) se satisface si

u3 + v3 = −q (5.7)

uv = −p/3. (5.8)

Pero si se satisfacen (5.7) y (5.8) entonces u3 y v3 son raíces de la ecuaciónde segundo grado

(t− u3)(t− v3) = t2 − (u3 + v3)t+ u3v3 = t2 + qt− p3

27= 0,

5.6. Polinomios y ecuaciones 75

y podemos poner

u3 = −q2+

√

q2

4+p3

27, v3 = −q

2−√

q2

4+p3

27. (5.9)

De aquí se obtienen tres valores posibles para u y tres para v, pero no todaslas 9 combinaciones de un u con un v son aceptables, sino solamente aquellaspara las cuales se satisface (5.8) (las otras son raíces espurias introducidasal elevar al cubo para pasar de uv = −p/3 a u3v3 = −p3/27.)

Teniendo en cuenta esta observación sobre cómo deben combinarse lasraíces cúbicas, la solución de (5.5) puede expresarse mediante la fórmula

z = u+ v =3

√

−q2+

√

q2

4+p3

27+

3

√

−q2−√

q2

4+p3

27, (5.10)

la cual se debe a Escipión del Ferro (1465–1526), aunque también se laconoce como fórmula de Tartaglia, o de Cardano.

Si p y q son reales se pueden presentar tres casos:

Caso I)q2

4+p3

27> 0. En este caso (5.5) tiene una raíz real y dos complejas

conjugadas. Como los miembros derechos de (5.9) son reales, si u1 y v1denotan sus respectivas raíces cúbicas reales, y si ω = (−1 + i

√3)/2 y

ω2 = (−1−i√3)/2 son las raíces cúbicas complejas de la unidad, entonces las

tres raíces de (5.5) son z1 = u1+v1 (real), z2 = ωu1+ω2v1 y z3 = ω2u1+ωv1

(complejas conjugadas).

Caso II)q2

4+p3

27= 0. En este caso u1 = v1 y (5.5) tiene tres raíces reales,

a saber z1 = 2u1 y z2 = z3 = u1(ω + ω2) = −u1.

Caso III)q2

4+p3

27< 0. Este caso es conocido como irreducible o trigonométri-

co. Poniendo

−q2± i

√

−q2

4− p3

27= ρ(cosϕ± i senϕ),

ρ y ϕ pueden calcularse por las fórmulas

ρ =3

√

−p3

27, cosϕ = − q

2ρ.


Los valores de u y v son

u1 = 3√ρ(

cosϕ

3+ i sen

ϕ

3

)

, v1 = 3√ρ(

cosϕ

3− i sen

ϕ

3

)

= u1

u2 = 3√ρ(

cos(ϕ

3+ 120◦) + i sen(

ϕ

3+ 120◦)

)

, v2 = u2

u3 = 3√ρ(

cos(ϕ

3+ 240◦) + i sen(

ϕ

3+ 240◦)

)

, v3 = u3.

y sumando los pares apropiados de valores resultan tres raíces reales distin-tas para (5.5):

z1 = 2 3√ρ cos

ϕ

3, z2 = 2 3

√ρ cos(

ϕ

3+ 120◦), z3 = 2 3

√ρ cos(

ϕ

3+ 240◦).

Ejercicio 5.4. Resuelva la ecuación x3 − 3x2 + 9x− 5 = 0.

Ejercicio 5.5. Resuelva la ecuación x3 − 12x − 8 = 0.

77

CAPÍTULO 6

VECTORES

Este capítulo es una introducción a los vectores en el plano y en elespacio, que se utilizarán luego para tratar la trigonometría esférica. Ellector que desee profundizar en el tema puede consultar [10].

6.1. Concepto de vector

Un vector es esencialmente un segmento orientado, es decir un segmen-to cuyos extremos se dan en cierto orden, llamando al primero origen yal segundo extremo. Los segmentos orientados se suelen representar comoflechas, dirigidas desde el origen hacia el extremo.

Ahora bien, si dos segmentos orientados tienen la misma dirección (esdecir, si son paralelos), longitud y sentido, entonces se considera que sonequivalentes y definen el mismo vector. Es fácil probar que dos segmentosorientados

−−→AB y

−−→CD son equivalentes si y sólo si el cuadrilátero ABDC es

un paralelogramo. A los segmentos orientados equivalentes también se lesllama equipolentes.

Si se desea mayor formalidad, se prueba que la relación de tener igual di-rección, longitud y sentido es una relación de equivalencia entre segmentos

78 CAPÍTULO 6. VECTORES

�

�

A

B

C

D

Figura 6.1: Segmentos equipolentes

orientados (es decir que es reflexiva, simétrica y transitiva) y a las clases deequivalencia se les llama vectores. Los segmentos

−→AA con origen y extremo

coincidentes y longitud nula, no tienen propiamente dirección ni sentido,pero se consideran todos equivalentes y definen el vector nulo, que repre-sentaremos como 0.

A veces, para distinguir a los vectores de los segmentos orientados, seles llama vectores libres a los primeros y vectores fijos a los segundos, con-siderando su origen como el punto de aplicación.

Dados dos puntos A y B, la clase de equivalencia de−−→AB es un vector

(libre) que se designa también como B − A. Dados un vector libre u y un

punto A, existe un único punto B tal que−−→AB pertenece a la clase de u.

A ese punto B se lo suele designar como A+ u. Observe que naturalmenteA+ (B −A) = B.

Dos vectores son colineales si tienen la misma dirección. El vector nulose considera colineal con cualquier otro vector.

Supongamos ahora que se tiene un sistema de coordenadas cartesianasortogonales en el espacio, con origen O y ejes x, y, z. Cada vector u, aplicadoen el origen O, tendrá un extremo P = O + u de coordenadas (u1, u2, u3).Recíprocamente, a cada punto P de coordenadas (u1, u2, u3) se le puedehacer corresponder el vector u = P −O. De esta manera queda establecidauna correspondencia biyectiva entre vectores y ternas ordenadas de númerosreales, y escribiremos simplemente u = (u1, u2, u3). A los números u1,u2 yu3 se les llama componentes del vector u.

6.2. Operaciones con vectores 79

Observe que si A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3) son dos puntos, en-tonces el vector B −A tiene componentes (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3).

Si se trabaja en el plano, los vectores pueden identificarse con los paresordenados de números reales (u1, u2).

A la longitud de un vector u se le llama módulo o norma y se denota‖u‖. Si u = (u1, u2) es un vector en el plano, por el Teorema de Pitágorasresulta que ‖u‖ =

√

u21 + u22. Del mismo modo si u = (u1, u2, u3) es unvector en el espacio entonces

‖u‖ =√

u21 + u22 + u23.

Como las proyecciones ortogonales de u = (u1, u2, u3) sobre los ejescoordenados son (u1, 0, 0), (0, u2, 0) y (0, 0, u3), si α1, α2 y α3 son los ángulosformados por u con las semirrectas Ox, Oy y Oz, respectivamente, es claroque

‖u‖ cosαi = ui, i = 1, 2, 3.

Los números cosαi = ui/‖u‖ se llaman cosenos directores del vector u.Un versor es un vector de módulo unidad. Los versores fundamentales

del sistema de coordenadas son e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) y e3 = (0, 0, 1).Entonces se tiene

(u1, u2, u3) = u1e1 + u2e2 + u3e3.

6.2. Operaciones con vectores

6.2.1. Suma y diferencia

La suma de dos vectores u y v se define aplicando u en un punto A yaplicando luego v a partir de B = A+ u. Si C = B + v, entonces u+ v esla clase del segmento orientado

−→AC. Aparentemente la definición de u+ v

depende de la elección del punto A, pero es inmediato verificar que no esasí. En efecto, si se parte de otro punto A′ y se construyen B′ = A′ + u y

C ′ = B′ + v, es evidente que−−→A′C ′ será equipolente a

−→AC. Otra manera de

expresar lo anterior es decir que

u+ v = ((A+ u) + v)−A.


A′

A

B

C

B′

C ′

u

v

u+ vu

v

u+ v

Figura 6.2: Suma y diferencia

Cada vector u tiene un vector opuesto −u, que tiene igual dirección ymódulo que u pero sentido opuesto. Es claro que u+ (−u) = 0.

La diferencia de dos vectores u y v puede definirse como u − v =u+ (−v).

Es fácil ver que la suma y la diferencia de vectores puede realizarsecoordenada a coordenada, es decir que si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3)entonces

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3),

u− v = (u1 − v1, u2 − v2, u3 − v3)

6.2.2. Producto por un número real

El producto de un real λ por un vector u es el vector λu que tienedirección igual a la de u, módulo |λ| · ‖u‖ y sentido igual u opuesto al de u

según que sea λ > 0 o λ < 0 (naturalmente si λ = 0 entonces λu = 0).Observe que (−1)u no es otra cosa que −u, es decir el vector opuesto a

u.Es fácil ver que el producto por un real puede realizarse coordenada a

coordenada, es decir que si λ ∈ R y u = (u1, u2, u3) entonces

λu = (λu1, λu2, λu3),


u2u

−u

Figura 6.3: Producto de real por vector

6.2.3. Producto escalar

Dos vectores no nulos u y v forman un ángulo ϕ(u,v) comprendidoentre 0o y 180o. El producto escalar de dos vectores u y v se define como

u · v = ‖u‖‖v‖ cos ϕ(u,v). (6.1)

(Si alguno de los vectores es nulo ϕ(u,v) no está definido, pero en ese casoel producto escalar es 0).

El producto escalar u · u de un vector por sí mismo se escribe abrevi-adamente u

2 y es igual al cuadrado de su norma, es decir

u2 = u · u = ‖u‖2.

Dos vectores u y v se dice que son ortogonales si ϕ(u,v) = 90◦ o almenos uno de los vectores es nulo. Observe que esto ocurre si y sólo siu · v = 0.

Es claro que el producto escalar es conmutativo;

u · v = v · u.

Además, si λ ∈ R, es evidente que

(λu) · v = λ(u · v) = u · (λv).


Ahora bien, ‖v‖ cos ϕ(u,v) puede interpretarse como la longitud de laproyección del vector v sobre una recta paralela a u, con signo positivo onegativo según que ϕ(u,v) sea menor o mayor de 90o. Como la suma de lasproyecciones de una poligonal es igual a la proyección del segmento que vadel origen al extremo de la misma, resulta que

‖v +w‖ cosϕ(u,v +w) = ‖v‖ cos ϕ(u,v) + ‖w‖ cosϕ(u,w)

y multiplicando ambos miembros por ‖u‖ resulta que

u · (v +w) = u · v + u ·w.

En otras palabras, el producto escalar es distributivo respecto a la suma.Como los versores e1, e2 y e3 cumplen

e1 · e2 = e2 · e3 = e3 · e1 = 0, e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1,

si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) entonces por la propiedad distributivase tiene

u · v =3∑

i=1

3∑

j=1

uivj(ei · ej) =3∑

i=1

uivi,

es decir que

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3. (6.2)

Ejemplo 6.1. Sean u = (1, 2, 3) y v = (2,−3, 1). Entonces ‖u‖ = ‖v‖ =√12 + 22 + 32 =

√14, u · v = 1 · 2 + 2 · (−3) + 3 · 1 = −1,

cosϕ(u,v) =u · v

‖u‖‖v‖ =−1

14

y ϕ(u,v) = Arc cos(−1/14) ≈ 94,096◦.

6.2.4. Producto vectorial

Sean Oxyz y O′x′y′z′ dos sistemas de coordenadas cartesianas ortog-onales. Si se mueve el triedro O′x′y′z′ hasta hacer coincidir O′ con O, eleje O′x′ positivo con el eje Ox positivo y el eje O′y′ positivo con el eje Oypositivo, pueden ocurrir dos cosas:


1. Que coincidan también los ejes O′z′ positivo y Oz positivo. En esecaso se dice que Oxyz y O′x′y′z′ tienen la misma orientación.

2. Que el eje O′z′ positivo coincida con el eje Oz negativo. En ese casose dice que Oxyz y O′x′y′z′ tienen orientaciones contrarias.

A veces se dice que el sistema es d irecto si los ejes Ox, Oy, Oz positivosse corresponden, en ese orden, con los dedos medio, índice y pulgar de lamano izquierda, colocados de manera que formen ángulos rectos entre sí.De lo contrario, el sistema es inverso.

Una caracterización más formal de la orientación puede obtenerse con-siderando el signo del determinante de la matriz de cambio de coordenadasde un sistema al otro, pero para nosotros será suficiente lo dicho anteri-ormente. Lo importante es que, fijado un sistema de coordenadas Oxyz,queda determinada una orientación del espacio.

El producto vectorial u × v de dos vectores u y v se define como elúnico vector que tiene módulo ‖u‖‖v‖ sen ϕ(u,v), dirección perpendicularal plano de los vectores u y v y sentido tal que la terna ordenada (u,v,u×v)tenga la misma orientación que el espacio. (Si alguno de los vectores u o v

es nulo, ϕ(u,v) no está definido, pero en ese caso el producto vectorial esnulo).

Las siguientes propiedades pueden probarse fácilmente:1. u× v = 0 si y sólo si u y v son colineales. En particular u× u = 0.2. u× v = −v× u.3. u× (v +w) = u× v + u×w.4. (λu)× v = λ(u× v) = u× (λv) (siendo λ un número real).Es inmediato verificar que los versores e1, e2 y e3 cumplen las relaciones

siguientes

e1 × e1 = e2 × e1 = e3 × e1 = 0,

e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1, e3 × e1 = e2,

e2 × e1 = −e3, e3 × e2 = −e1, e1 × e3 = −e2.

Si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) entonces por la propiedad distribu-tiva y las relaciones anteriores se tiene


u× v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1). (6.3)

Esta fórmula se suele expresar mediante un determinante:

u× v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (6.4)

Ejercicio 6.1. Muestre, mediante un ejemplo, que el producto vectorial noes asociativo.

6.3. Ejemplos y aplicaciones

6.3.1. Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, como C −B = (C −A)− (B −A), resulta

a2 = (C −B)2 = (C −A)2 + (B −A)2 − 2(C −A) · (B −A)

= b2 + c2 − 2bc cosα,

y hemos obtenido vectorialmente el teorema del coseno.

6.3.2. Teorema de los senos

Como C − A = (B − A) + (C − B), se tiene 0 = (C − A) × ((B −A) + (C − B)) = (C − A) × (B − A) + (C − A) × (C − B), de donde(C − A) × (B − A) = −(A − C) × (B − C), y tomando módulos resultabc senα = ba sen γ, de donde

senα

a=senγ

c.

Permutando B y C se obtiene

senα

a=senβ

b

y queda probado el teorema de los senos.

6.3. Ejemplos y aplicaciones 85

6.3.3. Área de un triángulo

El producto vectorial puede utilizarse para calcular áreas de triángulos.En efecto, por (3.9) el área de un triángulo ABC es [ABC] = (bc senα)/2,que es la mitad del módulo del producto vectorial de C − A y B − A, esdecir que

[ABC] =1

2‖(B −A)× (C −A)‖.

Ejemplo 6.2. Sean A = (1, 2,−2), B = (2, 4, 3) y C = (−1, 3, 2). EntoncesB −A = (1, 2, 5), C −A = (−2, 1, 4),

(B −A)× (C −A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

1 2 5−2 1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (3,−14, 5)

y [ABC] =√

32 + (−14)2 + 52/2 =√230/2.

6.3.4. Volumen de un tetraedro y producto mixto

Consideremos un tetraedro con vértices O, A, B y C y sean u =−→OA,

v =−−→OB y w =

−−→OC. Como se sabe el volumen de una pirámide es un tercio

del área de la base por la altura. En este caso, si tomamos la cara OABcomo base, su área es [OAB] = 1

2‖u × v‖. Pero n = u × v/‖u × v‖ es unvector unitario normal al plano OAB, por lo tanto w ·n = ‖w‖ cosϕ(w,n)es la altura de C sobre la cara OAB (con signo negativo si n y w apuntana diferentes semiespacios respecto al plano OAB). Entonces

[OABC] =1

6|u× v ·w|

.En el producto u × v · w que aparece en la fórmula anterior no se

colocaron paréntesis porque sólo puede entenderse de una manera, a sabercomo (u×v) ·w. En efecto, la agrupación u× (v ·w) no tiene sentido puesla expresión a la derecha de × no es un vector sino un número real.

En vista de la interpretación geométrica de u× v ·w es evidente que

u× v ·w = v ×w · u = w × u · v,


y por la conmutatividad del producto escalar el valor común es igual al de

w · u× v = u · v ×w = v ·w × u,

es decir que el valor de u × v ·w se mantiene si se permutan cíclicamentelos operandos, o si se permutan el producto escalar con el vectorial. Poresa razón el valor común de las expresiones anteriores se denota (u,v,w) yrecibe el nombre de producto mixto. Si se altera el orden cíclico el productomixto cambia de signo, es decir que

(u,v,w) = (v,w,u) = (w,u,v) = −(u,w,v) = −(v,u,w) = −(w,v,u).(6.5)

Ejercicio 6.2. Pruebe que el producto mixto (u,v,w) se puede calcularmediante el determinante

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ejercicio 6.3. Pruebe que los vectores u, v y w son coplanares si y sólo si(u,v,w) = 0.

6.3.5. Fórmula de expulsión

La siguiente identidad suele resultar útil cuando aparece un doble pro-ducto vectorial:

(u× v)×w = (u ·w)v − (v ·w)u. (6.6)

Para probarla tomemos un sistema de coordenadas tal que e1 sea colin-eal con u y e2 sea coplanar con u y v. En ese sistema se tendrá u =(u1, 0, 0),v = (v1, v2, 0) y w = (w1, w2, w3), por lo tanto

u× v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

u1 0 0v1 v2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= u1v2e3

6.3. Ejemplos y aplicaciones 87

y

(u× v)×w =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

0 0 u1v2w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −u1v2w2e1 + u1v2w1e2.

Por otro lado

(u ·w)v − (v ·w)u = u1w1(v1e1 + v2e2)− (v1w1 + v2w2)u1e1

= u1v2w1e2)− u1v2w2e1,

y queda probada la igualdad.

6.3.6. Identidad de Lagrange

La siguiente identidad para el producto escalar de dos productos vecto-riales es útil en trigonometría esférica:

(u× v) · (w × z) = (u ·w)(v · z)− (v ·w)(u · z). (6.7)

Para probarla observemos que, por lo dicho al analizar el producto mixto,

(u× v) · (w × z) = ((u× v)×w) · z

y como por (6.6) se tiene (u× v)×w = (u ·w)v − (v ·w)u, resulta

(u×v) · (w× z) = ((u ·w)v− (v ·w)u) · z = (u ·w)(v · z)− (v ·w)(u) · z).

6.3.7. Producto vectorial de dos productos vectoriales

(u× v)× (w × z) = (u,v, z)w − (u,v,w) z. (6.8)

La prueba es sencilla utilizando la fórmula de expulsión (6.6):

(u× v)× (w × z) = −(w × z)× (u× v) = −(w · (u× v)) z + (z · (u× v))w

= (u,v, z)w − (u,v,w) z.

Ejercicio 6.4. Pruebe que u× (v ×w) = (u ·w)v − (u · v)w.

Ejercicio 6.5. Pruebe que (u× v)× (w × z) = −(v,w, z)u + (u,w, z)v.

89

CAPÍTULO 7

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Este capítulo es una breve introducción a la trigonometría esférica.

7.1. Geometría de la esfera

Consideremos una esfera de centro O y radio r. Se llama circunferenciamáxima (o también círculo máximo) a la intersección de la superficie esféricacon cualquier plano que pase porO. Dados dos puntos A yB en la esfera, queno coincidan ni sean diametralmente opuestos, hay una única circunferenciamáxima que pasa por ambos, a saber la sección de la esfera por el planoOAB. Esa circunferencia máxima queda dividida por A y B en dos arcos;la menor de las longitudes de esos arcos se llama distancia esférica entre Ay B y es la menor longitud posible de una curva sobre la superficie esféricaque vaya desde A hasta B. La distancia entre A y B puede medirse tambiénmediante el ángulo ∠AOB, que es proporcional a la distancia esférica entreesos puntos.

Cualquier par de circunferencias máximas se intersecta en un par depuntos diametralmente opuestos y divide a la esfera en cuatro regionesllamadas husos o ángulos esféricos, cada una de ellas comprendida en uno

90 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

!

!

!

!

!

!

!

A

A′

C

C ′

B

B′

Figura 7.1: Triángulo esférico

de los cuatro diedros en que sus planos dividen al espacio. La medida deestos diedros se toma también como medida del ángulo esférico (o aberturadel huso) correspondiente.

Dos circunferencias máximas se dicen perpendiculares cuando lo son losplanos que las contienen.

Los extremos del diámetro perpendicular a una circunferencia máxima Γse llaman polos de ésta y por ellos pasan todas las circunferencias máximasperpendiculares a Γ. Desde cualquier punto A de la esfera que no pertenezcaa Γ se puede trazar una y sólo una circunferencia máxima perpendicular aΓ, a saber la contenida en el plano que pasa por el centro de la esfera yes perpendicular al de Γ. Si B y B′ son los puntos de intersección de estacircunferencia con Γ, el menor de los arcos AB y AB′ es la distancia de Aa Γ.

7.1. Geometría de la esfera 91

7.1.1. Triángulos esféricos

Tres círculos máximos no concurrentes (es decir, tales que no hayaningún punto común a los tres) dividen a la esfera en ocho regiones. Cadauna de esas regiones está limitada por tres arcos de circunferencia máxima,y recibe el nombre de triángulo esférico.

La Figura 7.1 muestra un triángulo esférico con vértices A, B y C. SiA′, B′ y C ′ son los puntos diametralmente opuestos a A, B y C, respectiva-mente, los otros siete triángulos que se forman son el A′B′C ′ (simétrico deABC respecto a O), A′BC, AB′C y ABC ′ (llamados adyacentes al ABCpor tener un lado común con él) y A′B′C, A′BC ′, AB′C ′ (adyacentes alA′B′C ′).

Las medidas angulares de los lados opuestos a los vértices A, B y C sedenotarán a, b y c, es decir que a = ∠BOC, b = ∠AOC, c = ∠AOB. Cadalado es menor que una semicircunferencia. Como en la geometría plana, siun triángulo esférico tiene dos lados iguales se dice que es isósceles y si tienelos tres lados iguales se dice que es equilátero. El ángulo diedro que formanlos planos AOB y AOC se denotará α, y es igual al ángulo entre las rectastangentes a los lados AB y AC en el punto A. De manera análoga se definenlos ángulos β y γ. Es fácil ver que un triángulo esférico es isósceles si y sólosi tiene dos ángulos iguales, y que es equilátero si y sólo si tiene los tresángulos iguales. Si un triángulo esférico tiene un ángulo recto se dice quees rectángulo, pero a diferencia de lo que ocurre en el plano un triánguloesférico también puede ser birrectángulo (i.e., tener dos ángulos rectos) oincluso trirrectángulo (los tres ángulos rectos).

Otra diferencia importante entre triángulos planos y esféricos es que lasuma de los ángulos de estos últimos no es igual a π radianes, sino siempremayor que esa cantidad. En particular, cada ángulo de un triángulo esféricoequilátero mide más de 60o. Más precisamente, los ángulos α, β y γ deun triángulo esférico cumplen la misma desigualdad que los diedros de untriedro, a saber:

π < α+ β + γ < 3π.

A la diferencia ε = π−α−β−γ se le llama exceso esférico y está relacionadacon el área del triángulo. En efecto, como el área de la superficie esférica es


4πr2, el área de un huso de abertura α radianes es 4πr2α/(2π) = 2r2α. Elárea del triángulo esférico ABC es igual a la de su simétrico A′B′C ′. Seaγ′ el huso simétrico al γ (y que tiene la misma abertura). Entonces la sumade los husos α, β y γ′ es igual a un hemisferio con ABC contado dos veces,más A′B′C ′. Es decir que

2r2(α+ β + γ) = 2πr2 + 2[ABC],

de donde[ABC] = (α+ β + γ − π)r2 = εr2.

7.1.2. La esfera terrestre y la esfera celeste

La Tierra es aproximadamente esférica. La circunferencia máxima per-pendicular a su eje de rotación se llama ecuador, Los polos son las inter-secciones del eje con la esfera. Los planos perpendiculares al eje cortan a laesfera según circunferencias llamadas paralelos, de las cuales sólo el ecuadores una circunferencia máxima. Las circunferencias máximas que pasan porlos polos se llaman meridianos. Las semicircunferencias máximas que van depolo a polo también se suelen llamar meridianos, pero para evitar confusiónlas llamaremos semimeridianos.

Dado un punto A en la superficie terrestre, sea B la intersección delecuador con el semimeridiano que pasa por a. Al ángulo ∠BOA (dondeO es el centro de la Tierra) se le llama latitud del punto A. La latitudde los puntos del hemisferio norte se considera positiva, y la de los puntosdel hemisferio sur, negativa. La longitud de un punto A es el ángulo queforma el plano de su semimeridiano con el plano del semimeridiano que pasapor el observatorio de Greenwich, cerca de Londres, el cual por convencióninternacional se ha tomado como origen para medir longitudes. se consideranpositivas las longitudes de puntos al este de Greenwich y negativas hacia eloeste. Las coordenadas de Mérida, por ejemplo, son 8o50’ de latitud (norte,positiva) y −71o15’ de longitud (o bien 71o15’ de longitud oeste).

En la navegación (marítima o aérea) a las trayectorias que siguen circun-ferencias máximas se les llama ortodrómicas. Sin embargo en la navegacióntradicional se preferían las trayectorias de rumbo fijo, o loxodrómicas, que

7.2. Teoremas fundamentales 93

son las que forman ángulo constante con los meridianos. Estas curvas sonmás fáciles de recorrer, aunque para puntos alejados son más largas que laortodrómica correspondiente. Los instrumentos de navegación actuales per-miten variar el rumbo continuamente de manera de recorrer ortodrómicas.

En Astronomía esférica no se toman en cuenta las distancias de la Tier-ra a los astros sino solamente las visuales hacia ellos. Se procede como sitodos los astros estuviesen en una esfera celeste de centro en la Tierra yradio indeterminado. Las intersecciones del eje de la Tierra y del plano desu ecuador con esa esfera son los polos y el ecuador celestes. La eclíptica esla circunferencia máxima descripta por el Sol en su movimiento aparentepor la esfera celeste, y las intersecciones de la eclíptica con el ecuador celesteson los puntos equinocciales. Uno de ellos, el correspondiente al equinocciode primavera en el hemisferio norte, se llama punto vernal. Las coordenadasecuatoriales de un astro se definen de modo análogo a las coordenadas ge-ográficas: la declinación corresponde a la latitud y la ascensión recta corre-sponde al punto vernal. Esta última se mide de 0o a 360o a partir del puntovernal, en la dirección del movimiento de la Tierra. Las estrellas visiblestienen coordenadas ecuatoriales esencialmente fijas, que se hallan tabuladasen las efemérides astronómicas.

El triángulo de posición de un astro A es el triángulo esférico formadopor A, el polo celeste P y el cenit Z. La resolución de este triángulo permitióa los navegantes, durante siglos, resolver varios problemas, como por ejemploel de determinar su latitud geográfica.

7.2. Teoremas fundamentales

En lo que sigue se trabajará en la esfera trigonométrica, es decir enuna esfera de radio unidad, y se medirán los ángulos en radianes. Los la-dos a, b y c son iguales a los ángulos centrales ∠BOC, ∠AOC y ∠AOB,respectivamente.

Se utilizarán las letras en negrillas A, B y C para denotar los versores−→OA,

−−→OB y

−−→OC, respectivamente. Como ‖A‖ = ‖B‖ = ‖C‖ = 1 y ∠BOC =

a, ∠AOC = b y ∠AOB = c, se tiene que

A ·B = cos c, B ·C = cos a y A ·C = cos b.


También es claro que

|A×B| = sen c, |B×C| = sen a y |A×C| = sen b.

7.2.1. Fórmula de los cosenos

Como A×B y A×C son vectores perpendiculares a los planos OABy OAC y forman el mismo ángulo que éstos, a saber α, se tiene

(A×B) · (A×C) = sen c sen b cosα.

Pero por (6.7) se tiene

(A×B) · (A×C) = (A ·A)(B ·C)− (B ·A)(A ·C) = cos a− cos c cos b,

por lo tantosen c sen b cosα = cos a− cos c cos b

y resulta así la llamada Fórmula del coseno de la trigonometría esférica:

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosα. (7.1)

Naturalmente que también son válidas las fórmulas que se obtienen permu-tando en la anterior las letras a, b y c cíclicamente:

cos b = cos c cos a+ sen c sen a cos β,

cos c = cos a cos b+ sen a sen b cos γ.

Algunos autores llaman al conjunto de fórmulas resultantes Primerasfórmulas de Bessel.

Sean

A′ =

B×C

‖‖B×C, B

′ =C×A

‖‖C ×A, C

′ =A×B

‖‖A×B.

Al triángulo esférico A′B′C ′ se le llama triángulo polar del ABC. Es fácilver que los lados de A′B′C ′ son suplementarios de los ángulos de ABC, yviceversa. En otras palabras,

a′ = π − α, b′ = π − β, c′ = π − γ, α′ = π − a, β′ = π − b, γ′ = π − c.


Aplicando (7.1) a A′B′C ′ y teniendo en cuenta lo anterior, resulta la fórmuladel coseno para los ángulos de un triángulo esférico:

cosα = − cos β cos γ + senβ sen γ cos a. (7.2)

y las fórmulas análogas permutando letras:

cos β = − cos γ cosα+ sen γ senα cos b,

cos γ = − cosα cosβ + senα sen β cos c.

7.2.2. Fórmula de los senos

Como A×B y A ×C son vectores perpendiculares a los planos OABy OAC y forman el mismo ángulo que éstos, a saber α, se tiene

|(A×B)× (A×C)| = sen c sen b senα.

y como por (6.8) es

(A×B)× (A×C) = (A,B,C)A − (A,B,A)C = (A,B,C)A,

resultasen c sen b senα = |(A,B,C)|.

Permutando cíclicamente las letras a, b, c y teniendo en cuenta (6.5), resultaque

sen b sen c senα = sen c sen a sen β = sen a sen b sen γ,

que puede escribirse en la forma

sen a

senα=

sen b

sen β=

sen c

sen γ. (7.3)

Esta igualdad es llamada Fórmula de los senos de la trigonometría esférica,o bien Segunda fórmula de Bessel.


7.2.3. Fórmula de la cotangente

Permutando letras en la fórmula del coseno (7.1) se tiene

cos c = cos a cos b+ sen a sen b cos γ.

Por otra parte, de la fórmula de los senos (7.3) se obtiene

sen c =sen a sen γ

senα.

Sustituyendo estos valores de cos c y sen c en (7.1) resulta

cos a = cos b(cos a cos b+ sen a sen b cos γ) + sen b sen a sen γ ctg α,

de donde

cos a(1− cos2 b) = cos b sen a sen b cos γ + sen b sen a sen γ ctgα,

y como 1− cos2 b = sen2 b,

cos a sen2 b = cos b sen a sen b cos γ + sen b sen a sen γ ctg α,

de donde, luego de dividir entre sen a sen b resulta la fórmula de la cotan-gente:

ctg a sen b = cos b cos γ + sen γ ctgα. (7.4)

Permutando letras se obtienen otras cinco fórmulas análogas:

ctg a sen c = cos c cos β + sen β ctg α,

ctg b sen c = cos c cosα+ senα ctg β,

ctg b sen a = cos a cos γ + sen γ ctg β,

ctg c sen a = cos a cos β + sen β ctg γ,

ctg c sen b = cos b cosα+ senα ctg γ.


7.2.4. Analogías de Gauss-Delambre

Como por (7.1) es

cosα =cos a− cos b cos c

sen b sen c,

en vista de (4.8), (4.1) y (4.14) se tiene

2 sen2α

2= 1− cosα =

sen b sen c+ cos b cos c− cos a

sen b sen c

=cos(b− c)− cos a

sen b sen c=

2 sen a+b−c2 sen a−b+c

2

sen b sen c

y análogamente

2 cos2α

2= 1 + cosα =

sen b sen c− cos b cos c+ cos a

sen b sen c

=cos a− cos(b+ c)

sen b sen c=

2 sen a+b+c2 sen b+c−a

2

sen b sen c.

Poniendo p = (a+ b+ c)/2 resultan las fórmulas

sen2α

2=

sen(p− b) sen(p− c)

sen b sen c, cos2

α

2=

sen p sen(p− a)

sen b sen c. (7.5)

Ahora bien

cosα+ β

2= cos

α

2cos

β

2− sen

α

2sen

β

2

=

(

sen p

sen c− sen(p− c)

sen c

)

√

sen(p− a) sen(p− b)

sen a sen b

=sen p− sen(p− c)

sen csen

γ

2=

sen c2 cos

a+b2

sen c2 cos

c2

senγ

2,

es decir que

cosα+ β

2=

cos a+b2cos c2

senγ

2.


Esta fórmula y las análogas que se obtienen partiendo de sen α+β2 , cos α−β2

y sen α−β2 , escritas en forma de proporciones, se conocen como analogías de

Gauss-Delambre. Se resumen a continuación.

cosα+ β

2

senγ

2

=cos

a+ b

2

cosc

2

,cos

α− β

2

senγ

2

=sen

a+ b

2

senc

2

, (7.6)

cosα+ β

2

cosγ

2

=cos

a− b

2

cosc

2

,sen

α− β

2

cosγ

2

=sen

a− b

2

senc

2

, (7.7)

7.2.5. Analogías de Neper

Dividiendo miembro a miembro cada igualdad en (7.7) por la que seencuentra arriba de ella en (7.6) se obtiene

tgα+ β

2=

cosa− b

2

cosa+ b

2

ctgγ

2, tg

α− β

2=

sena− b

2

sena+ b

2

ctgγ

2, (7.8)

y por división de las analogías de una misma línea

tga+ b

2=

cosα− β

2

cosα+ β

2

ctgc

2, tg

a− b

2=

senα− β

2

senα+ β

2

ctgc

2, (7.9)

que son las llamadas analogías de Neper.

7.3. Resolución de triángulos esféricos

Las fórmulas vistas en la sección anterior pueden ser usadas, de modoanálogo al que se vio en trigonometría plana, para resolver triángulos es-féricos. El proceso sin embargo es más laborioso porque los ángulos de untriángulo esférico no suman 180o. Examinemos los casos principales.

7.3. Resolución de triángulos esféricos 99

Dados los tres lados. En este caso, de la fórmula del coseno (7.1) sepuede despejar cosα:

cosα =cos a− cos b cos c

sen b sen c.

Permutando cíclicamente las letras a, b, c se calculan cos β y cos γ, y loscosenos determinan el valor de los tres ángulos.

Dados los tres ángulos. Observe que, en la esfera de radio unidad, untriángulo esférico queda determinado por sus tres ángulos. De la fórmuladel coseno para los ángulos (7.2) se puede despejar cos a:

cos a =cosα+ cos β cos γ

sen β sen γ.

Permutando cíclicamente las letras a, b, c se calculan cos b y cos c, y loscosenos determinan el valor de los tres lados.

Dados dos lados y el ángulo comprendido. En este caso la fórmuladel coseno (7.1) permite hallar el tercer lado, y el problema se reduce a unoya visto.

Dado un lado y los dos ángulos adyacentes. En este caso la fórmu-la del coseno para los ángulos (7.2) permite hallar el tercer ángulo, y elproblema se reduce a uno ya visto.

Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Supongamosconocidos a, b y α. De (7.3) se obtiene

sen β =sen b senα

sen a

y ahora se pueden determinar c y γ mediante las analogías de Neper (7.8)y (7.9). Como en el caso análogo para triángulos planos, aquí pueden haberdos, una, o ninguna solución. Hay solución sólo cuando sen b senα ≤ sen a.


Ejercicio 7.1. Un triángulo esférico ABC tiene ángulos α = 80◦, β = 110◦

y γ = 50◦. ¿Qué proporción del área de la esfera representa el área deltriángulo?

Ejercicio 7.2. ¿Para qué pares de puntos en la superficie terrestre la trayec-toria ortodrómica coincide con la loxodrómica? ¿Qué ocurre con las loxo-drómicas cerca de los polos?

Ejercicio 7.3. Sea ABC un triángulo esférico equilátero (es decir que a =b = c y α = β = γ).

a) Pruebe que se cumple la relación secα = +sec a.

b) Si a = b = c = π/3 (radianes), ¿cuál es el valor de los ángulos? Si elradio de la esfera es r, ¿cuánto vale el área del triángulo?

Ejercicio 7.4. Pruebe las fórmulas

ctgα sen β = cos β cos c+ sen c ctg a,

ctgα sen γ = cos γ cos b+ sen b ctg a,

ctg β sen γ = cos γ cos a+ sen a ctg b,

ctg β senα = cosα cos c+ sen c ctg b,

ctg γ senα = cosα cos b+ sen b ctg c,

ctg γ sen β = cos β cos a+ sen a ctg c.

Ejercicio 7.5. Si el triángulo esférico ABC es rectángulo en A (es decir,si α = π/2) pruebe las fórmulas siguientes:

cos a = cos b cos c, sen a = sen b sen β, sen c = sen a sen γ,

tg b = tg a cos γ, tg c = tg a cos β, tg b = tg β sen c, tg c = tg γ sen b,

cos a = cot β cot γ, cos β = cos b sen γ, cos γ = cos c sen β.

Ejercicio 7.6. Las coordenadas de la ciudad de Mérida (Venezuela) son8o50’ de latitud norte y 71o15’ de longitud oeste. En México hay otra ciudadllamada Mérida, en la península de Yucatán. Sus coordenadas son 20◦59’ delatitud norte y 89◦38’ de longitud oeste. Suponiendo que la Tierra es unaesfera de radio 6371 km, ¿cuál es la distancia esférica entre ambas Méridas?

101

APÉNDICE A

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

Capítulo 1

Ejercicio 1.1 (pág. 11)

7 +48

60+

27

602= 7 +

2907

3600= 7 +

323

400= 7,8075 grados.

Ejercicio 1.2 (pág. 11)0,345× 60 = 20,7, 0,7× 60 = 42, por lo tanto 12,345o = 12o 20’ 42”.

Ejercicio 1.3 (pág. 11)(a) π

2 ; (b) π; (c) π3 ; (d) π

4 ; (e) π6 ; (f) 2π

3 .

Ejercicio 1.4 (pág. 11) (a) 135o; (b) 22,5o ó 22o 30’; (c) 3o; (d) 180π 0,25◦ =

45π

◦ ≈ 14, 32394◦ ó 14o 19’ 26”.

Ejercicio 1.5 (pág. 12)Si el radio de la Tierra es R entonces el arco de meridiano entre Alejandríay Siena subtiende un arco central de 2π/500 radianes, y por lo tanto sulongitud es (2π/50)R = 5000 estadios, de donde la circunferencia terrestrees 2πR = 250000 estadios.

102 APÉNDICE A. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

Capítulo 2

Ejercicio 2.1 (pág. 21)oo 15 tg 75◦ ≈ 15 · 3, 7320508 ≈ 55, 980762 m.

Ejercicio 2.2 (pág. 21)(a) El seked es apotema(en palmos)/altura(en codos), que es igual a 7 ctg α.(b) 7 ctg α = 5,5, ctg α = 5,5/7 ≈ 0,7857, α ≈ 51,84◦ ≈ 51◦50′.

Ejercicio 2.3 (pág. 29)A doble distancia: Arc tg(12 tg 42

◦) ≈ 24,237◦. A la mitad de la distancia:Arc tg(2 tg 42◦) ≈ 60,956◦.

Ejercicio 2.4 (pág. 29)La altura mide

√52 − 22 =

√21 cm, y los ángulos Arc cos 2

5 ≈ 66,42◦ y susuplementario 113,58o.

Ejercicio 2.5 (pág. 29) Como se veen la figura, si una esfera tiene radio r,el diámetro aparente α desde una dis-tancia d cumple sen(α/2) = r/(r + d)y por lo tanto α = 2Arc sen(r/(r+d)).En este caso r = 0,4 m y se tiene (a)d = 1, α = 2Arc sen(0,4/1,4) ≈ 33,2◦;(b) d = 10, α = 2Arc sen(0,4/10,4) ≈4,4◦; (c) 0,4/(0,4 + d) = sen 0,5◦, d =(0,4/ sen 0,5◦)− 0,4 ≈ 45,43 m.

"

"

" "

r d

rα/2

Ejercicio 2.6 (pág. 29)Tomemos el lado del tetraedro como unidad. Entonces la altura de cadacara es

√3/2. La proyección de un vértice A del tetraedro sobre la cara

opuesta BCD es el ortocentro H de BCD. Si M es el punto medio de BCentonces en el triángulo rectángulo MHA se tiene MH = MD/3 =

√3/6

y MA =√3/2, por lo tanto cos∠HMA = 1/3 y el ángulo pedido es

Arc cos(1/3) ≈ 70o31’44”.


a) sec(90− α) = 1/ cos(90− α) = 1/ senα = cscα.

b) sec(180 − α) = 1/ cos(180 − α) = 1/(− cosα) = − secα.

103

c) csc(180 − α) = 1/ sen(180 − α) = 1/ senα = cscα.

d) Dividiendo sen2 α+cos2 α = 1 entre cos2α resulta tg2 α+1 = sec2 α, dedonde sec2 α− tg2 α = 1.

e) Como sen2 α+ cos2 α = 1, entonces

sen4 α− cos4 α = (sen2 α− cos2 α)(sen2 α+ cos2 α) = sen2 α− cos2 α.

f) sec2 α+ csc2 α =1

cos2 α+

1

sen2 α=

sen2 α+ cos2 α

cos2 α sen2 α=

1

cos2 α sen2 α= sec2 α csc2 α.

g) Supongamos 0 ≤ x ≤ 1. Entonces 0◦ ≤ Arc cos x ≤ 90◦ y 90◦ ≤ 180◦ −Arc cos x ≤ 180◦, y como cos(180◦ − Arc cos x) = − cos(Arc cos x) = −x,resulta que Arc cos(−x) = 180◦ − Arc cos x. Si −1 ≤ x ≤ 0 entonces 0 ≤−x ≤ 1 y por lo anterior Arc cos x = 180◦ −Arc cos(−x).

h) Si y = Arc senx entonces sen y = x, −90◦ ≤ y ≤ 90◦ y cos y =√1− x2

(se toma la raíz positiva pues cos y ≥ 0 para −90◦ ≤ y ≤ 90◦). Si 0 ≤ x ≤ 1entonces 0◦ ≤ y ≤ 90◦ y Arc sen x = y = Arc cos

√1− x2. Si−1 ≤ x < 0

entonces −90◦ ≤ y < 0◦, de donde 0◦ < −y ≤ 90◦, y como cos(−y) =cos y =

√1− x2 se tiene Arc cos

√1− x2 = −y = −Arc senx.

i) Sea y = Arc cos x, entonces cos y = x, tg2 y = 1/ cos2 y − 1 = 1/x2 − 1,tg y = ±

√

1/x2 − 1 =√1− x2/x (observe que al sacar la x fuera de la raíz

resulta el signo correcto).

Ejercicio 2.8 (pág. 31) x = ±30◦ + n · 360◦.

Ejercicio 2.9 (pág. 31)Haciendo el cambio de variable u = senx y dado que cos2x = 1− sen2 x =1− u2, la ecuación propuesta se convierte en 2(1− u2)− 7u+2 = 0, que esequivalente a 2u2+7u− 4 = 0. Esta ecuación de segundo grado tiene raícesu1 = 1/2 y u2 = −4. Poniendo senx = u1 = 1/2 se obtienen las solucionesdel ejemplo anterior, es decir 30◦ + n · 360◦, 150◦ + n · 360◦, para n entero.Y estas son todas las soluciones, ya que senx = u2 = −4 no tiene ningunasolución.


Ejercicio 2.10 (pág. 31)a sen(ωt) + b sen(ωt+ ϕ) = a sen(ωt) + b sen(ωt) cosϕ+ b cos(ωt) senϕ= (a+ b cosϕ) sen(ωt) + (b senϕ) cos(ωt).

Pongamos ahora c =√

(a+ b cosϕ)2 + (b senϕ)2 =√

a+ b2 + 2ab cosϕy sea µ tal que ((a+ b cosϕ)/c, (b sen ϕ/c) = (cos µ, senµ). Entonces:a sen(ωt) + b sen(ωt+ ϕ) = c cosµ sen(ωt) + c senµ cos(ωt) = c sen(ωt+ µ).

Capítulo 3

Ejercicio 3.1 (pág. 36)Como AF = AE, BF = BD y CD = CE se tiene que AF ·BD ·CE/(FB ·DC ·EA) = 1 y por el teorema de Ceva AD, BE y CF son concurrentes.

Ejercicio 3.2 (pág. 36)Sea p = (a+b+c)/2. Entonces BD = p−c, DC = p−b, CE = p−a, EA =p−c, AF = p−b y FB = p−a, de donde AF ·BD ·CE/(FB ·DC ·EA) = 1y por el teorema de Ceva AD, BE y CF son concurrentes.

Ejercicio 3.3 (pág. 36)La prueba es similar a la del teorema de Ceva. Aplique el teorema de lossenos a los triángulos AEF , BDF y CDE, etc.

Ejercicio 3.4 (pág. 36)No, puesto que 6 · 14 · 9 · 6 · 3 > 9 · 10 · 5 · 4 · 6 (vea ejercicio siguiente).

Ejercicio 3.5 (pág. 37)Una forma de verlo consiste en aplicar el teorema de los senos a los 5 trián-gulos TAP , PBQ, QCR, RDS y SET que forman las puntas de la estrella.Así se obtiene

e′

senα=

a

sen ε,

a′

sen β=

b

senα,

b′

sen γ=

c

sen β,

c′

sen δ=

d

sen γ,

d′

sen ε=

e

sen δ.

Multiplicando miembro a miembro y simplificando resulta abcde = a′b′c′d′e′.

Ejercicio 3.6 (pág. 38)Sean x = AD, y = BD, z = DC. Aplicando el teorema del coseno a los

105

triángulos ABD y ACD resulta

x2 + y2 − c2

2xy+x2 + z2 − b2

2xz= cos∠ADB + cos∠ADC = 0,

de donde (x2 + y2 − c2)z + (x2 + z2 − b2)y = 0, o bien b2y + c2z = (x2 +y2)z + (x2 + z2)y = (x2 + yz)(y + z).


5

7 8

5

7

#

#

#

#

#

#

A

B C

P

P ′

La idea es construir un triángulo con las medidas dadas 5, 7 y 8. Para ellorotamos el punto P alrededor de A un ángulo de 60◦, obteniendo P ′. Eltriángulo PAP ′ es equilátero, por lo tanto PP ′ = PA = 5. Como el rotadode B es C, P ′C = PB = 7. Ahora, por el Teorema del coseno en el triánguloPP ′C, se tiene 72 = 52 + 82 − 2 · 5 · 8 cos∠CPP ′, de donde cos∠CPP ′ =40/80 = 1/2 y ∠CPP ′ = 60◦. Por lo tanto ∠CPA = ∠CPP ′ + ∠P ′PC =120◦ y ahora, por el teorema del coseno en el triángulo APC, se tieneAC2 = 52 + 82 − 2 · 5 · 8(−1

2) = 129 y AC =√129.

Ejercicio 3.8 (pág. 46)Como 32 + 42 = 52 el triángulo es rectángulo, γ = 90◦, tgα = 3/4, α =Arc tg 0,75 ≈ 36,8698976◦, β = 90◦ − α ≈ 53,1301023◦ .


Ejercicio 3.9 (pág. 46)a = 3, c = 4, β = 40◦ b2 = 32 + 42 − 2 · 3 · 4 cos 40◦ = 25 − 24 cos 40◦ ≈6,61493, de donde b ≈ 2,57195. Ahora senα = (a sen 40◦)/b ≈ 0, 74976684y α ≈ 48, 57015◦ .

tgγ − α

2=c− a

c+ actg

β

2=

1

7ctg 20◦ ≈ 0,39249677

de donde γ −α = 2Arc tg 0,39249677 ≈ 42, 859694◦ . Como γ + α = 180◦ −β = 140 resulta γ ≈ 91, 42985◦ y α ≈ 48, 57015◦ .

Ejercicio 3.10 (pág. 46)El resultado no puede ser correcto, ya que b > c pero β < γ, contradiciendoel hecho de que en todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo. Elcálculo de α y el de sen β ≈ 0,9499177594 son correctos, pero de aquí sólose puede concluir que β es (aproximadamente) 71,790043◦ o su suplemen-tario 108,209957◦, que tiene el mismo seno. Como la primera posibilidades absurda, debe ser β = 108,209957◦ y por lo tanto γ = 49,458398◦.

Naturalmente que también se habría obtenido el valor correcto de βcalculando

arc cosa2 + c2 − b2

2ac= arc cos

−125

400= arc cos(−0,3125) ≈ 71, 790043◦ .

Ejercicio 3.11 (pág. 46)Como b senα = 7/2 > a, no hay solución.

Ejercicio 3.12 (pág. 47)b senα = 6

√3/2 = a, por lo tanto el triángulo es rectángulo, β = 90◦,

γ = 30◦ y c = b cosα = 3.

Ejercicio 3.13 (pág. 47)Como b ≥ a hay solución única β = Arc sen 0,4 ≈ 23,578◦, γ = 180◦ − α−β ≈ 126,422◦, c = a sen γ/ senα ≈ 8,047.

Ejercicio 3.14 (pág. 47)b senα = 4

√2/2 = 2

√2 < a < b, por lo tanto hay dos soluciones. Como

sen β = (b senα)/a = 2√2/3 resulta β = Arc sen(2

√2/3) ≈ 70, 52878◦ , γ =

107

180◦ − α − β ≈ 64,47122◦ y c = a sen γ/ senα ≈ 3,82843. La otra soluciónes β′ = 180 − β ≈ 109, 47122◦ , de donde γ′ = 180◦ − α− β′ ≈ 25,52878◦ yc′ = a sen γ′/ senα ≈ 1,82843.

Ejercicio 3.15 (pág. 48)∠CAB = 45◦ + 30◦ = 75◦, ∠ABC = 180◦ − 75◦ − 40◦ = 65◦, AB =100 sen 40◦/ sen 65◦ ≈ 70,924 m, ∠DCA = 25◦ + 40◦ = 65◦, ∠CDA =180◦ − 65◦ − 45◦ = 70◦, AD = 100 sen 65◦/ sen 70◦ ≈ 96,447 m,BD =

√AB2 +AD2 − 2AB ·AD cos 30◦ ≈ 49,843 m.

Ejercicio 3.16 (pág. 52)Como ra/p = r/(p − a) = tg(α/2) resulta [ABC] = pr = (p − a)ra, ynaturalmente que también [ABC] = (p − b)rb = (p − c)rc.

Ejercicio 3.17 (pág. 52)ra = [ABC]/(p− a) =

√

p(p− b)(p − c)/(p − a).

Ejercicio 3.18 (pág. 52)Por el ejercicio 3.12 se tiene [ABC] = pr = (p−a)ra = (p− b)rb = (p− c)rcy multiplicando las cuatro expresiones del área resulta [ABC]4 = pr(p −a)ra(p − b)rb(p − c)rc = rrarbrcp(p− a)(p − b)(p − c) = rrarbrc[ABC]2, dedonde [ABC] =

√rrarbrc.

Capítulo 4 Ejercicio 4.1 (pág. 55)

El problema aquí es que 23◦ y 53◦ no parecen estar relacionados. Sin em-bargo 53◦ = 23◦ + 30◦, por lo tanto

cos 53◦ = cos(30◦ + 23◦) = cos 30◦ cos 23◦ − sen 30◦ sen 23◦

=

√3

2cos 23◦ − 1

2sen 23◦.


Entonces

sen2 23◦ + cos2 53◦ + sen 23◦ cos 53◦

= sen2 23◦ + (

√3

2cos 23◦ − 1

2sen 23◦)2 + sen 23◦(

√3

2cos 23◦ − 1

2sen 23◦)

= sen2 23◦ +3

4cos2 23◦ −

√3

2cos 23◦ sen 23◦ +

1

4sen2 23◦

+

√3

2sen 23◦ cos 23◦ − 1

2sen2 23◦

=3

4sen2 23◦ +

3

4cos2 23◦ =

3

4(sen2 23◦ + cos2 23◦) =

3

4.


cos2(y − x) + cos2(y + x) + cos(y − x) cos(y + x)

= (cos y cos x+ sen y senx)2 + (cos y cos x− sen y senx)2+

+ (cos y cos x+ sen y senx)(cos y cos x− sen y senx)

= 3 cos2 y cos2 x+ sen2 y sen2 x

= 3cos2 y cos2 x+ sen2 y(1− cos2 x)

= (3 cos2 y − sen2 y) cos2 x+ sen2 y.

Poniendo ahora y = 60◦ resulta 3 cos2 y− sen2 y = 3(12 )2 − (

√32 )2 = 0 y por

lo tanto

cos2(60◦ − x) + cos2(60◦ + x) + cos(60◦ − x) cos(60◦ + x) = sen2 60◦ =3

4.

Ejercicio 4.3 (pág. 56)tg(3x) = tg(x+ 2x) = (tg(x) + tg(2x))/(1 − tg(x) tg(2x))

= (tg(x) + 2 tg(x)/(1 − tg2(x)))/(1 − 2 tg2(x)/(1 − tg2(x)))

= (3 tg(x)− tg3(x))/(1 − 3 tg2(x)).

Ejercicio 4.4 (pág. 56)tg 10◦ tg 50◦ = tg(30◦ − 20◦) tg(30◦ + 20◦)

109

= ((tg 30◦−tg 20◦)/(1−tg 20◦ tg 30◦))((tg 30◦+tg 20◦)/(1+tg 20◦ tg 30◦))= (tg2 30◦− tg2 20◦)/(1− tg2 20◦ tg2 30◦) = (13 − tg2 20◦)/(1− 1

3 tg2 20◦)

= (1− 3 tg2 20◦)/(3− tg2 20◦) = tg 20◦(1− 3 tg2 20◦)/(3tg20◦ − tg3 20◦)= tg 20◦/ tg 60◦ = tg 20◦ tg 30◦.

Ejercicio 4.5 (pág. 57)Como cos 30◦ =

√3/2, se tiene

cos 15◦ =

√

1 +√32

2=

1

2

√

2 +√3, sen 15◦ =

√

1−√32

2=

1

2

√

2−√3.

Ejercicio 4.6 (pág. 58)Los puntos ( 2t

1+t2, 1−t

2

1+t2) con t racional pertenecen a la circunferencia.

Ejercicio 4.7 (pág. 62)Basta observar que cos 18◦ = sen 72◦, sen 18◦ = cos 72◦, cos 54◦ = sen 36◦,sen 54◦ = cos 36◦.

Ejercicio 4.8 (pág. 63)b cos β + c cos γ = (a sen β/ senα) cos β + (a sen γ/ senα) cos γ= (a/ senα)(sen β cos β + sen γ cos γ) = a(sen 2β + sen 2γ)/(2 sen α)= a sen(β + γ) cos(β − γ))/ senα = a cos(β − γ).


1. sen 2α+ sen 2β + sen 2γ = sen 2α + sen 2β − sen(2α + 2β) = sen 2α(1 −cos 2β)+sen 2β(1−cos 2α) = 2 sen 2α sen2 β+2 sen 2β sen2 α = 4 senα sen β(sen β cosα+senα cosβ) = 4 senα sen β sen(α + β) = 4 senα sen β sen γ.

2. cosα+ cos β + cos γ = cosα+ cos β − cos(α+ β) =cosα+cos β−cosα cos β+senα sen β = 1−(1−cosα)(1−cosβ)+sen α sen β= 1− 4 sen2 α2 sen

2 β2 + 4 sen α

2 senβ2 cos

α2 cos β2

= 1+4 sen α2 sen

β2 (cos

α2 cos β2 − sen α

2 senβ2 ) = 1+ 4 sen α

2 sen β2 cos(

α2 + β

2 )

= 1 + 4 sen α2 sen β

2 cos(90◦ − γ

2 ) = 1 + 4 sen α2 sen

β2 sen

γ2 .

3. cos 2α+cos 2β+cos 2γ = cos 2α+cos 2β+cos(2α+2β) = cos 2α+cos 2β+cos 2α cos 2β− sen 2α sen 2β = (1+cos 2α)(1+cos 2β)−1− sen 2α sen 2β =−1+4 cos2 α cos2 β−4 senα cosα senβ cos β = −1+4 cosα cos β(cosα cos β−senα sen β) = −1 + 4 cosα cos β(cos(α+ β) = −1− 4 cosα cos β cos γ.


4. cotα cot β+cot β cot γ+cot γ cotα = cotα cot β−(cotα+cot β) cot(α+β) = 1, ya que (cotα+ cot β) cot(α+ β) = cotα cot β − 1 por (4.6).

5. tg α2 tg β

2+tg β2 tg

γ2+tg γ

2 tgα2 = tg α

2 tg β2+(tg α

2+tg β2 ) tg

γ2 = tg α

2 tgβ2+

(tg α2 + tg β

2 )/ tgα+β2 = tg α

2 tg β2 + 1− tg α

2 tgβ2 = 1.

6. sen2 α2 + sen2 β2 + sen2 γ2 = (1− cosα)/2 + (1− cos β)/2 + (1− cos γ)/2= 3/2 − (cosα+ cos β + cos γ)/2, que por (2) es igual a3/2 − (1 + 4 sen α

2 sen β2 sen

γ2 )/2 = 1− 2 sen α

2 sen β2 sen

γ2 .

Capítulo 5


senx+ sen 2x+ · · ·+ sennx = =(eix + e2ix + · · ·+ enix)= =(e(n+1)ix/2 sen(n+ 1)x sen(nx/2)/ sen(x/2)= sen((n + 1)x/2) sen(nx/2)/ sen(x/2).

Ejercicio 5.2 (pág. 72)Si anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0 entoncesan(z)

n + an−1(z)n−1 + · · ·+ a1z+ a0 = anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z+ a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 = anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 =0 = 0.

Ejercicio 5.3 (pág. 72)Las raíces complejas se pueden agrupar de a pares, cada una con su con-jugada, y como el número total de raíces es impar (por serlo el grado delpolinomio) debe haber un número impar de raíces reales, es decir que debehaber al menos una.

Ejercicio 5.4 (pág. 76)x1 = 1 + 3

√2 − 3

√3, x2 = 1 + ( 3

√3 − 3

√2)/2 + i

√3( 3√3 + 3

√2)/2, x3 =

1 + ( 3√3− 3

√2)/2 − i

√3( 3√3 + 3

√2)/2,

Ejercicio 5.5 (pág. 76)x1 = 4cos 20◦, x2 = 4cos 140◦, x3 = 4cos 260◦.

Capítulo 6

Ejercicio 6.1 (pág. 84)Por ejemplo (e1 × e1) × e2 = 0 × e2 = 0, mientras que e1 × (e1 × e2) =e1 × e3 = −e2.

111

Ejercicio 6.2 (pág. 86)Por (6.3) se tiene u× v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1).Entonces, por (6.2)

(u× v)×w = (u2v3 − u3v2)w1 + (u3v1 − u1v3)w2 + (u1v2 − u2v1)w3,

que es el desarrollo por la tercera fila del determinante∣

∣

∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.


Geométricamente, u, v y w son coplanares si y sólo si el tetraedro de vérticesO, O+u, O+v y O+w tiene volumen 0, y esto ocurre si y sólo si (u,v,w) =0. También se puede probar utilizando la caracterización de (u,v,w) porun determinante (ver ejercicio anterior), ya que el determinante es nulo siy sólo si sus vectores fila son linealmente dependientes.

Ejercicio 6.4 (pág. 87)u× (v×w) = −(v×w)×u = −(v ·u)w+(w ·u)v = (u ·w)v− (u ·v)w.


(u×v)×(w×z) = (u·(w×z))v−(v·(w×z))u = −(v,w, z)u+(u,w, z)v.

Capítulo 7

Ejercicio 7.1 (pág. 100)El exceso esférico es ε = (80 + 110 + 50)π/180 − π = π/3, por lo tanto laproporción buscada es (π/3)/(4π) = 1/12.

Ejercicio 7.2 (pág. 100)(a) Para aquellos que se encuentran en un mismo meridiano, o ambos sobreel ecuador. (b) Las loxodrómicas de rumbo Este (u Oeste) son paralelos.Las demás, al acercarse a los polos dan vueltas en espiral alrededor de ellos.

Ejercicio 7.3 (pág. 100)a) Por la fórmula del coseno se tiene cos a = cos2 a+ sen2 a cosα, de donde


cos a(1− cos a) = (1− cos2 a) cosα. Si cos a 6= 1, dividiendo entre 1− cos ase obtiene cos a = (1+cos a) cosα y por lo tanto secα = (1+cos a)/ cos a =1 + sec a. Si cos a = 1 el triángulo es trirrectilátero y por consiguientetrirrectángulo, y la igualdad secα = 1 + sec a se cumple si se interpretacomo ∞ = ∞.

b) secα = 1 + sec π/3 = 3, de donde α = β = γ = Arc cos(1/3) ≈1,230959417 ≈ 70,52877934◦ . El exceso esférico es ε = 3α−π ≈ ,551285597y el área del triángulo εr2.

Ejercicio 7.4 (pág. 100)Basta aplicar las fórmulas de la cotangente (7.4) al triángulo polar del ABC.

Ejercicio 7.5 (pág. 100)Basta sustituir senα = 1 y cosα = 0 en las fórmulas del coseno, sel seno yde la cotangente.

Ejercicio 7.6 (pág. 100)Considere un triángulo esférico con vértices A en el polo norte, B en Mérida(Venezuela) y C en Mérida (México). Se tiene c = 90◦ − 8◦50′ = 81◦10′,b = 90◦ − 20◦59′ = 69◦01′ y α = 89◦38′ − 71◦15′ = 18◦23′. Entoncescos a = cos b cos c+ sen b sen c cosα ≈ 0,930517, a ≈ 0,374974 (radianes) yla distancia esférica buscada es 0,374974 × 6371 ≈ 2389 km.

Bibliografía 113

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[1] Alvarado, L., ¿Ambigüedad en el teorema del seno?, en Vielma, L. (ed.),Calendario Matemático 2010, Fundación Empresas Polar, Caracas, 2010.

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[5] Euclides, Elementos, (trad. de M. L. Puertas), Editorial Gredos, Madrid,1991.

[6] Hahn, L., Complex Numbers and Geometry, The Mathematical Associ-ation of America, 1994.

[7] Maor, E., Trigonometric Delights, Princeton University Press, Prince-ton, NJ, 1998.

[8] Nieto, J. H., Aplicaciones del Cálculo Diferencial, XIII Escuela Vene-zolana para la enseñanza de la Matemática, Mérida, 2009.

114 BIBLIOGRAFÍA

[9] Puig Adam, P., Curso de Geometría Métrica, 2 tomos, 13a edición, Ed-itorial Euler, Madrid, 1986.

[10] Santaló, L. A., Vectores y tensores con sus aplicaciones, Eudeba,Buenos Aires, 1961.


ÍNDICE ALFABÉTICO

abscisa, 7Almagesto, 6, 20analogías

de Gauss-Delambre, 98de Mollweide, 39de Neper, 98

ángulo, 8esférico, 89

área, 48–52argumento, 68Aryabatha, 6

baricentro, 14Bessel, Friedrich Wilhelm, 94, 95bisectriz, 15Brahmagupta, 49Briggs, Henry, 40

Cardano, Girolamo, 75cateto, 12centroide, 14Ceva, Giovanni, 34ceviana, 34

círculo trigonométrico, 22circuncentro, 14circunradio, 14conjugado, 66convexo, 59coordenadas

cartesianas, 7polares, 67

cosecante, 18coseno, 18cotangente, 18

De Moivre, Abraham, 68Delambre, Jean Baptiste, 98desigualdad triangular, 13diferencia de vectores, 80

ecuación cúbica, 74ecuación trigonométrica, 30eje polar, 67Eratóstenes de Cirene, 12esfera

celeste, 93

116 ÍNDICE ALFABÉTICO

trigonométrica, 93excentro, 15exceso esférico, 91exradio, 15

Ferro, Escipión del, 75forma

binómica, 66trigonométrica, 68

fórmulade Brahmagupta, 51de Cardano, 75de De Moivre, 68de expulsión, 86de Herón, 51de la cotangente, 96de los senos, 95de Tartaglia, 75del coseno, 94

fórmulasde Bessel, 94, 95de Briggs, 40

Gauss, Carl Friedrich, 98Gergonne, Joseph, 36grado

centesimal, 11sexagesimal, 9

Herón de Alejandría, 51hipotenusa, 13huso, 89

identidad de Lagrange, 87inradio, 15

Lagrange, Joseph-Louis, 87latitud, 92longitud, 92loxodrómica, 92

mediatriz, 14Menelao de Alejandría, 36minuto, 9módulo, 66Mollweide, Karl B., 39Müller, Johann, 6

Nagel, Christian Heinrich von, 36Neper, John, 98norma, 79números complejos, 65

ortocentro, 14ortodrómica, 92

papiro Rhind, 5Pitágoras, 13polo, 67problema de Snell, 48producto

escalar, 81mixto, 86vectorial, 83

puntode Gergonne, 36de Nagel, 36vernal, 93

radián, 10Regiomontano, véase Müller, J.Rhind, véase papiro Rhind


secante, 18segmento, 6segundo, 9seked, 21semiperímetro, 51seno, 18sinusoide, 23Snell, Willebrord, 48Stewart, Matthew, 38suma de vectores, 79

tangente, 18, 24Tartaglia, 75teodolito, 47teorema

de Ceva, 34de las tangentes, 40de los senos, 33de Menelao, 36de Pitágoras, 13de Stewart, 38de Tolomeo, 59del coseno, 37

Tolomeo, Claudio, 6, 9, 20, 59topografía, 48triángulo, 12–15

de posición, 93esférico, 91polar, 94

triangulación, 47trigonometría, 5

vector, 77versor, 79

78974320 una trigonometria analitica didactica y muy interesante a mi me gusto

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