La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniera Divisin de Estudios para Graduados Asignatura: Tpicos Especiales en Computacin Numrica Prof. Luis Zerpa, M.Sc. Email: lzerpa@ica.luz.ve 5. Diferenciacin e integracin numrica Diferenciacin numrica Frmulas de integracin de Newton-Cotes Integracin de ecuaciones Motivacin Definicin del diccionario de diferencias: marcar por diferencias, distinguir, percibir la diferencia en o entre En el contexto de las matemticas, LA DERIVADA que sirve como vehculo fundamental para la diferenciacin, representa la razn de cambio de una variable dependiente con respecto a una independiente La definicin matemtica de la derivada empieza con una aproximacin por diferencias Si se permite que x se aproxime a cero la diferencia se convierte en una derivada ( ) ()xx f x x fxyi iA A +=AA( ) ()xx f x x fdxdyi ixA A += A 0limMotivacin En clculo el proceso inverso de la diferenciacin es la integracin Definicin del diccionario de integrar: llevar junto, como partes, en un todo; unir; indicar la cantidad total Matemticamente, la integracin se representa por integral de la funcin f(x) con respecto a la variableindependiente x, evaluada entre los lmites a y b La integral es el valor total, o sumatoria de f(x)dx sobre el rango x=a hasta b Para funciones que estn por encima del eje x, la integral corresponde al rea bajo la curva de f(x) en a y b ( )}=badx x f IMotivacin La discriminacin de la diferenciacin y el llevar junto de la integracin se vinculan en forma estrecha con procesos que estn inversamente relacionados Por ejemplo, si se tiene una funcin dada y(t) que especfica la posicin de un objeto como funcin del tiempo, la diferenciacin proporciona un medio para determinar su velocidad, De manera inversa, si se tiene la velocidad como funcin del tiempo, la integracin se usar para determinar su posicin ( )( )dtt dyt v =( ) ( )}=tdt t v t y0Motivacin De esta manera, podemos generalizar que la evaluacin de la integral es equivalente a resolver la ecuacin diferencial para una y(b) dada la condicin inicial y(a) = 0 ( ) x fdxdy=( )}=badx x f IMtodos empleados antes de la era de las computadoras La funcin que ser diferenciada o integrada estar usualmente en una de las siguientes tres formas: 1. Una funcin simple continua tal como un polinomio, una exponencial, o trigonomtrica 2. Una funcin continua complicada que es difcil o imposible de diferenciar o integrar de manera directa 3. Una funcin tabulada donde los valores de x y f(x) estn dados en un nmero de puntos discretos (datos experimentales) En los casos 2 y 3 se deben usar mtodos aproximados Mtodos empleados antes de la era de las computadoras Diferenciacin grfica por reas desiguales Se tabulan los datos (x,y), para cada intervalo se calcula una diferencia dividida simple y/x para estimar la pendiente Estos valores se grafican como una curva de paso contra x Luego, se dibuja una curva suave que intenta aproximar el rea bajo la curva de pasos, equilibrando las reas negativas y positivas Las derivadas para valores dados de x pueden leerse de la curva Mtodos empleados antes de la era de las computadoras xY y/x 0066,7 320050 635040 947030 1565023.3 18720 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20010203040506070xy/dx 076.5 357.5 645 936.25 1525 1821.5 Mtodos empleados antes de la era de las computadoras Integracin grfica Se grfica la funcin sobre una cuadricula y se cuentan el nmero de cuadros que aproximan el rea En nmero de cuadros multiplicado por el rea de los cuadros es una aproximacin del rea bajo la curva Barras Se divide el rea en barras verticales, con una altura igual al valor de la funcin en el punto medio de cada barra. La suma del rea de los rectngulos es una aproximacin del rea bajo la curva Diferenciacin numrica De la expansin de la serie de Taylor hasta el trmino de primer orden Se puede obtener la primera diferencia hacia delante Esta diferencia dividida hacia delante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante serie de Taylor para la aproximacin de derivadas numricas ( ) ( ) ( )( )1 1 1' R x x x f x f x fi i i i i+ + =+ +( )( ) ( )( )i ii ii iix x Ox xx f x fx f +=+++111'Diferenciacin numrica Aproximacin a la primera derivada con diferencia hacia atrs La serie de Taylor se puede expandir hacia atrs para calcular un valor anterior a partir de un valor actual Truncando la expansin despus de la 1ra derivada y ordenando ( ) () ()() + =21! 2' '' hx fh x f x f x fii i i( )( ) ( )hx f x fx fi ii1'~f(b) xi-1 xi Diferenciacin numrica Aproximacin a la primera derivada con diferencias centrales Una tercera forma de aproximar la 1ra derivada es restando la expansin de serie de Taylor hacia atrs de la expansin hacia delante para obtener Despejando ( ) ( ) ()() + + + = +31 1! 3' ' '' 2 hx fh x f x f x fii i i( )( ) ( )( )( ) + ~ +231 16 2' hx fhx f x fx fi i iiLa diferencia central es la representacin ms exacta de la derivada f(b) xi-1 xi Diferenciacin numrica Aproximaciones por diferencias finitas de derivadas de orden superior Escribiendo la expansin en serie de Taylor hacia delante para f(xi+2) en trminos de f(xi) La expansin en serie de Taylor hacia delante para f(xi+1) puede multiplicarse por dos y restarse a esta ecuacin para obtener Despejando ( ) () ()()( ) + + + =+222! 2' '2 ' hx fh x f x f x fii i i()( ) ( ) ()( ) h Ohx f x f x fx fi i ii++ =+ +21 2' '( ) ( ) ( ) ( ) + + = + +21 2' ' 2 h x f x f x f x fi i i i2da diferencia finita hacia adelante Diferenciacin numrica 2da diferencia finita hacia atrs 2da diferencia finita central ()() ( ) ( )( ) h Ohx f x f x fx fi i ii++ = 22 12' '()( ) () ( )( )221 12' ' h Ohx f x f x fx fi i ii++ = +Mtodos numricos de integracin frmulas de Newton-Cotes Regla trapezoidal Regla 1/3 de Simpson Regla 3/8 de Simpson Cuadratura de Gauss Frmulas de Newton-Cotes Se basan en la estrategia de reemplazar una funcin complicada o datos discretos con una funcin aproximada que sea fcil de integrar donde fn(x) es un polinomio de la forma La integral se puede tambin aproximar mediante una serie de polinomios aplicada por pedazos a la funcin o datos sobre segmentos de longitud constante ( ) ( )} }~ =banbadx x f dx x f I( )nnnn nx a x a x a x a a x f + + + + + =1122 1 0Frmulas de Newton-Cotes Se dispone de formas cerradas y abiertas de frmulas de Newton-Cotes FORMAS CERRADAS: son aquellas donde los datos al inicio y al final de los limites de integracin son conocidos FORMAS ABIERTAS: tienen limites de integracin que se extienden ms all del rango de los datos No se usan por lo general para integracin definida Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y en la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias Regla Trapezoidal Corresponde al caso donde el polinomio es de primer orden El rea bajo esta lnea recta es un estimado de la integral de f(x) entre los limites a y b El resultado de la integracin es ( ) ( )} }~ =babadx x f dx x f I1( ) ( )( ) ( )( ) a xa ba f b fa f x f + =1( )( ) ( )( )} ((

+ =badx a xa ba f b fa f I( )( ) ( )2b f a fa b I+ =Regla Trapezoidal Regla Trapezoidal Geomtricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el rea del trapezoide bajo la lnea que conecta f(a) y f(b) La frmula para calcular el rea de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso el trapezoide esta de lado y la integral se representa como I = ancho x altura promedio o I = (b - a) x altura promedio Todas las frmulas cerradas de Newton-Cotes pueden expresarse en el formato general de la ecuacin anterior, y slo difieren con respecto a la formulacin de la altura promedio ( )( ) ( )2b f a fa b I+ =f(a) f(b) ab Error de la regla Trapezoidal Una estimacin para el error de truncamiento local de una sola aplicacin de la regla trapezoidal es donde est en algn lugar en el intervalo de a hasta b Esta ecuacin indica que si la funcin sujeta a integracin es lineal, la regla trapezoidal es exacta Para funciones con curvatura puede ocurrir un error ( )( )3' '121a b f Et = Aplicacin mltiple de la regla Trapezoidal Una forma de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo de integracin [a,b] en un nmero de segmentos y aplicar el mtodo a cada uno de ellos Las integrales de los segmentos se suman para obtener la integral de la funcin en [a,b] Si hay n+1 puntos base igualmente espaciados (x0, x1, x2, xn), entonces hay n segmentos de igual anchura; h = (b-a)/n Si a y b son designados como x0 y xn, respectivamente la integral total se representa como ( ) ( ) ( )} } }+ + + =nnxxxxxxdx x f dx x f dx x f I12110Aplicacin mltiple de la regla Trapezoidal Sustituyendo la regla trapezoidal se obtiene Agrupando trminos se obtiene Tambin se puede expresar como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 1 0 n nx f x fhx f x fhx f x fh I++ ++++=( ) () ( )((

+ + ==nniix f x f x fhI11022( )( ) ( ) ( )nx f x f x fa b Innii22110+ + ==Aplicacin mltiple de la regla Trapezoidal Un error para la regla trapezoidal de mltiple aplicacin se puede obtener al sumar los errores individuales de cada segmento para dar Este resultado se puede simplificar al estimar la media de la segunda derivada para todo el intervalo como Quedando el error de truncamiento como As, si el nmero de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuir a un cuarto ( )( )= =nii tfna bE133' '12( )nffnii =~1' '' '( )' '1223fna bEa =Conclusiones - Regla Trapezoidal Para aplicaciones individuales con buen comportamiento de las funciones, la regla trapezoidal de mltiples segmentos es casi fina para obtener el tipo de exactitud requerido en muchas aplicaciones de ingeniera Si se requiere de alta exactitud, la regla trapezoidal demanda un gran esfuerzo computacional Los errores de redondeo presentan una limitacin en nuestra habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la precisin de la mquina como a los diversos clculos involucrados en tcnicas simples como la regla trapezoidal de mltiples segmentos Seudo cdigo para la regla trapezoidal FUNCTION Trapezoidal(h,n,f) sum = f0 DO i = 1,n-1 sum = sum + 2*fi END DO sum = sum + fn integral = h * sum / 2 END Trapezoidal Reglas de Simpson Otra forma de obtener una estimacin ms exacta de un integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar puntos Regla de Simpson 1/3 Usa interpolacin polinomial de segundo orden Si a y b se designan como x0 y x2, y f2(x) es representada por un polinomio de Lagrange de 2do orden, la integral se transforma en Integrando se obtiene dondea = x0; b = x2 y x1 = punto a la mitad de camino entre a y b ( ) ( )} }~ =babadx x f dx x f I2( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )}((

+ + =2021 2 0 22 012 1 0 12 002 0 1 02 1xxdx x fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx fx x x xx x x xI( ) ( ) ( ) | |2 1 043x f x f x fhI + + ~ ( )( ) ( ) ( )642 1 0x f x f x fa b I+ + ~2a bh=Error de la regla de Simpson 1/3 La regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de La regla de Simpson 1/3 es ms exacta que la regla trapezoidal El error es proporcional a la cuarta derivada El trmino del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la integracin de la interpolacin polinomial En consecuencia la regla de Simpson 1/3 tiene una precisin de tercer orden an cuando se basa en slo tres puntos Da resultados exactos para polinomios cbicos an cuando se deriva de una parbola ( )( ) 4 5901f h Et =( )( )( ) 452880fa bEt =Aplicacin mltiple de la regla deSimpson 1/3 La regla de Simpson 1/3 se puede mejorar al dividir el intervalo de integracin en un nmero de segmentos de igual anchura,h = (a-b)/n La integral total se puede representar como Sustituyendo la regla de Simpson 1/3 Combinando trminos ( ) ( ) ( )} } }+ + + =nnxxxxxxdx x f dx x f dx x f I24220( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | |6426426421 2 4 3 2 2 1 0 n n nx f x f x fhx f x f x fhx f x f x fh I+ ++ ++ +++ +~ ( )( ) ( ) ( ) ( )nx f x f x f x fa b Innjjnii32 426 , 4 , 215 , 3 , 10+ + + ~ ==Se debe usar un nmero par de segmentos para implementar el mtodo Aplicacin mltiple de la regla deSimpson 1/3 La regla de Simpson 1/3 est limitada a casos en los que los valores son igualmente espaciados Adems, est limitada a situaciones donde hay un nmero par de segmentos y un nmero impar de puntos Un error estimado para la aplicacin de la regla de Simpson 1/3 se obtiene sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada, ( )( ) 445180fna bEa =Seudo cdigo para la regla deSimpson 1/3 FUNCTION Simpson13(h,n,f) sum = f0 DO i = 1,n-1,2 sum = sum + 4*fi + 2*fi+1 END DO sum = sum + 4*fi + 2*fi+1 integral = h*sum/3 END Simpson13 Regla de Simpson 3/8 Se ajusta un polinomio de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos y se integra para obtener La regla de Simpson 3/8 tiene un error de ( ) ( )} }~ =babadx x f dx x f I3( ) ( ) ( ) ( ) | |3 2 1 03 383x f x f x f x fhI + + + ~3a bh=( )( ) ( ) ( ) ( ) | |83 33 2 1 0x f x f x f x fa b I+ + + ~( )( ) 4 5803f h Et =( )( )( ) 456480fa bEt =Esta regla es ms exacta que la de 1/3 Regla de Simpson 3/8 La regla de Simpson 1/3 es a menudo el mtodo de preferencia, ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos ms que los cuatro puntos requeridos para la versin 3/8 Sin embargo, la regla 3/8 tiene la utilidad cuando el nmero de segmentos es impar Una estrategia para mantener precisin de 3er orden a travs de todo el intervalo de integracin es usar la regla de Simpson 1/3 en los primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 en los ltimos tres Seudo cdigo para la estrategia de integracin usando la Regla de Simpson 1/3 y 3/8 FUNCTION SimpsonT(a,b,n,f) H = (b - a)/n IF n = 1 THENsum = trapezoidal(h,fn-1,fn) ELSE m = n odd = n/2 INT(n/2) IF odd > n/2 AND n > 1 THEN sum = sum + Simp38(h,fn-3,fn-2,fn-1,fn) m = n - 3 END IF IF m > 1 THEN sum = sum + Simpson13(h,m,f) END IF END IF integral = sum END SimpsonT Seudo cdigo para la estrategia de integracin usando la Regla de Simpson 1/3 y 3/8 FUNCTION Simp38(h,f0,f1,f2,f3) Simp38 = 3*h*(f0 + 3*(f1 + f2) + f3)/8 END Simp38Integracin con segmentos desiguales Para los casos donde los datos estn separados por segmentos desiguales un mtodo para la integracin es aplicar la regla trapezoidal a cada segmento y sumar los resultados hi = ancho del segmento i Si alguno de los segmentos adyacentes son de igual anchura, se puede evaluar la integral aplicando las reglas de Simpson a estos segmentos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 121 01n nnx f x fhx f x fhx f x fh I++ ++++=Integracin de ecuaciones Se estudiarn dos mtodos para el clculo de integrales cuando se dispone de la funcin 1. INTEGRACIN DE ROMBERG: se basa en la extrapolacin de Richardson, el cual es un mtodo que combina dos estimaciones numricas de la integral para obtener una tercera, que tiene un valor ms exacto. Puede usarse para generar una estimacin de la integral dentro de una tolerancia de error especificada 2. CUADRATURA DE GAUSS: las frmulas de cuadratura de Gauss emplean valores de x que estn posicionados entre a y b de forma tal que resulta una estimacin de la integral mucho ms exacta Integracin de Romberg Est basada en aplicaciones sucesivas de la regla trapezoidal Sin embargo, se alcanzan mejores resultados con menos esfuerzo Integracin de Romberg EXTRAPOLACIN DE RICHARDSON Usa dos estimaciones de la integral para calcular una tercera ms exacta El error estimado y asociado con una aplicacin mltiple de la regla trapezoidal puede representarse de manera general como Si hacemos dos estimaciones por separado usando los pasos h1 y h2 y considerando valores exactos del error, se tiene ( ) ( ) h E h I I + =I: valor exacto de la integral I(h): estimacin de I con n segmentos de la regla trapezoidal E(h): error de truncamiento () () ( ) ( )2 2 1 1h E h I h E h I + = +Integracin de Romberg EXTRAPOLACIN DE RICHARDSON El error de la regla trapezoidal puede representarse de manera aproximada como Suponiendo f constante sin importar el tamao del paso, se puede determinar la razn de los dos errores, Reordenando Sustituyendo, ' '122f ha bE ~()( )222121hhh Eh E~De esta forma se remueve f () ( )22212 1hhh E h E ~() ( ) ( ) ( )2 222212 1h E h Ihhh E h I + ~ +Integracin de Romberg EXTRAPOLACIN DE RICHARDSON Luego, Esta estimacin de error se puede sustituir en ( )( ) ( )2212 121|.|

\|~hhh I h Ih EEstimacin del error de truncamiento en trminos de las estimaciones de la integral y del tamao de segmento ( ) ( )2 2h E h I I + =Para obtener una estimacin mejorada de la integral ( ) ( ) () | |1 2221211h I h Ihhh I I |.|

\|+ ~Integracin de Romberg EXTRAPOLACIN DE RICHARDSON Se puede demostrar que el error de dicha estimacin es O(h4). La estimacin de la regla trapezoidal era O(h2) Para el caso especial donde el intervalo es la mitad,212hh =( ) ( ) () | |1 2221 21h I h I h I I + ~( ) ()1 23134h I h I I ~Integracin de Romberg Ejemplo Calcule la integral dea = 0,b = 0.8 ( )5 4 3 2400 900 675 200 25 2 , 0 x x x x x x f + + + =( ) ( ) 3674 . 1 1728 . 0310688 . 134= ~ I6405 . 1 =vInhI 10.80.1728 20.41.0688 40.21.4848 ( ) ( ) 6235 . 1 0688 . 1314848 . 134= ~ IIntegracin de Romberg En este ejemplo calculamos dos integrales mejoradas con error O(h4) sobre la base de tres estimaciones de la regla trapezoidal Esos dos clculos mejorados pueden, a su vez, combinarse para obtener un mejor valor con error O(h6) Para el caso especial donde las estimaciones del trapezoide original estn basadas sobre sucesivas mitades de tamao de segmento, la ecuacin para obtener la exactitud de O(h6) es, l mI I I1511516 ~Im: estimacin mayor Il: estimacin menor Integracin de Romberg De manera similar dos resultados O(h6)pueden combinarse para calcular una integral que es O(h8), Se puede observar que los coeficientes en las ecuaciones de extrapolacin van aumentando hasta 1. Estos representan factores ponderados que al aumentar la exactitud dan un peso relativamente mayor sobre la estimacin de la integral superior Estas formulaciones se pueden expresar en una forma general, l mI I I6316364 ~Ij+1,k-1: integral ms exacta Ij,k-1: integral menos exacta Ij,k: integral mejorada k:el nivel de la integracin 1 4411 , 1 , 11,~ +kk j k jkk jI IIk = 1 Regla trapezoidal O(h2) k = 2 O(h4) k = 3 O(h6) Seudo cdigo para la integracin de Romberg FUNCTIONRomberg (a,b,maxit,es) LOCAL I(10,10) n = 1 I1,1 = TrapEq(n,a,b) iter = 0 DO iter = iter + 1 n = 2iter Iiter+1,1 = TrapEq(n,a,b) DO k = 2, iter+1 j = 2 + iter k Ij,k = (4k-1 * Ij+1,k-1 Ij,k-1)/(4k-1 1) END DO ea = ABS(I1,iter+1 I1,iter)/I1,iter+1)*100 IF(iter maxit OR ea es) EXIT END DO Romberg = I1,iter+1 END Romberg TrapEq es una funcin que evala la integral de la funcin usando la regla trapezoidal Cuadratura de Gauss Las frmulas de cuadratura de Gauss emplean valores de x que estn posicionados entre a y b de forma tal que resulta una estimacin de la integral muchas ms exacta Las frmulas particulares de cuadratura de Gauss se denominan frmulas de Gauss-Legendre Frmula de Gauss-Legendre de dos puntos El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuacin de la forma donde: c0 y c1 son coeficientes desconocidos x0 y x1 son valores de x posicionados entre a y b, desconocidos Tenemos un total de 4 incgnitas que deben ser evaluadas, por lo que se requieren 4 condiciones para determinarlas con exactitud 1. La ecuacin (I) ajusta exactamente a la integral de una constante, f(x) = 1 2. La ecuacin (I) ajusta exactamente a la integral de una funcin lineal, f(x) = x3. Supongamos que tambin ajusta la integral de una funcin cuadrtica , f(x) = x2

4. Supongamos que tambin ajusta la integral de una funcin cbica, f(x) = x3

( ) ( )1 1 0 0x f c x f c I + ~(I) Frmula de Gauss-Legendre de dos puntos Para hacer esto, determinamos las 4 incgnitas y en la condicin derivamos una frmula de integracin lineal que es exacta para cbicas Las 4 ecuaciones que habrn que resolverse son Resolvindose simultneamente se obtiene ( ) ( ) }= = +111 1 0 02 1dx x f c x f c ( ) ( ) }= = +111 1 0 00 xdx x f c x f c( ) ( ) }= = +1121 1 0 032dx x x f c x f c ( ) () }= = +1131 1 0 00 dx x x f c x f c5773503 . 0315773503 . 0311101 0= = = == =xxc cSustituyendo se obtiene la frmula de Gauss-Legendre de dos puntos |.|

\|+|.|

\| ~3131f f IFrmula de Gauss-Legendre de dos puntos As, llegamos a un resultado interesante en que la simple suma de los valores de la funcin en dan una estimacin de la integral que tiene una exactitud de tercer orden Observe que se usaron los limites de integracin desde -1 a 1, con el objetivo de hacer la formulacin tan general como sea posible Se emplea un cambio de variable para trasladar otros lmites de integracin a esta forma 3 1 = xFrmula de Gauss-Legendre de dos puntos Suponiendo que una nueva variable xd se relaciona con la variable original x en una forma lineal, dada por Si el lmite inferior, x = a corresponde a xd = -1, sustituyendo se obtiene Si el lmite superior, x = b corresponde a xd = 1, sustituyendo se obtiene Resolviendo Sustituyendo dx a a x1 0 + =( ) 11 0 + = a a a( ) 11 0a a b + =20a ba+=21a ba=( ) ( )2dx a b a bx + +=ddxa bdx2=Estas dos ltimas ecuaciones podrn sustituirse para x y dx, respectivamente, en la ecuacin que se habr de integrar Frmula de Gauss-Legendre de dos puntos Ejemplo Integre entre 0 y 0.8 Primero se realiza el cambio de variable ( )5 4 3 2400 900 675 200 25 2 , 0 x x x x x x f + + + =dx x 4 . 0 4 . 0 + =ddx dx 4 . 0 =( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | |}}+ + + + + + + + =+ + +115 4 3 28 . 005 4 3 24 . 0 4 . 0 4 . 0 400 4 . 0 4 . 0 900 4 . 0 4 . 0 675 4 . 0 4 . 0 200 4 . 0 4 . 0 25 2 , 0400 900 675 200 25 2 , 0d d d d d ddx x x x x xdx x x x x x( )( )822578 . 1 305867 . 1 516741 . 0305867 . 13131516741 . 03131= + ~=|.|

\| = =|.|

\| = If x x ff x x fd dd dFrmulas de Gauss-Legendre de punto superior Ms all de la frmula de dos puntos descrita en la seccin anterior, se puede desarrollar versiones de punto superior en la forma general donde n = nmero de puntos Los valores de las c y las x incluyendo la frmula con seis puntos se resumen en la siguiente tabla ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0 0 + + + ~n nx f c x f c x f c I Factores de peso c y argumentos de la funcin x usados en las frmulas de Gauss-Legendre PuntosFactores de pesoArgumentos de la funcinError de truncamiento 2 c0 = 1.0x0 = -0.577350269 f(4)() c1 = 1.0x1 = 0.577350269 3 c0 = 0.5555556x0 = -0.774596669 f(6)()c1 = 0.8888889x1 = 0.0 c2 = 0.5555556x2 = 0.774596669 4 c0 = 0.3478548x0 = -0.861136312 f(8)() c1 = 0.6521452x1 = -0.339981044 c2 = 0. 6521452X2 = 0. 339981044 c3 = 0. 3478548X3 = 0. 861136312 5 c0 = 0.2369269x0 = -0.906179846 f(10)() c1 = 0.4786287x1 = -0.538469310 c2 = 0.5688889x2 = 0.0 c3 = 0.4786287x3 = 0.538469310 c4 = 0.2369269x4 = 0.906179846 6 c0 = 0.1713245x0 = -0.932469514 f(12)() c1 = 0.3607616x1 = -0.661209386 c2 = 0.4679139x2 = -0.238619186 c3 = 0.4679139x3 = 0.238619186 c4 = 0.3607616x4 = 0.661209386 c5 = 0.1713245X5 = 0.932469514 Frmulas de Gauss-Legendre de punto superior Debido a que la cuadratura de Gauss requiere evaluaciones de la funcin en puntos espaciados uniformemente dentro del intervalo de integracin, no es apropiada para casos donde la funcin se desconoce As, no es adecuada para problemas con datos tabulados Sin embargo, cuando se conoce la funcin, su eficiencia puede ser una ventaja decisiva, en particular cuando se deben realizar muchas evaluaciones de la integral Anlisis de error para la cuadratura de Gauss El error para las frmulas de Gauss-Legendre se especifica por lo general con donde n = nmero de puntos menos unoy f(2n+2)() = la (2n+2)-sima derivada de la funcin despus del cambio de variable con localizada en algn lugar sobre el intervalo desde -1 a 1 Al comparar esta ecuacin con la tabla queda expuesta la superioridad de la cuadratura de Gauss sobre las frmulas de Newton-Cotes, contando con que las derivadas de orden superior no aumenten sustancialmente con un incremento en n ( ) | |( ) ( ) | |( )( ) 2 243 2! 2 2 3 2! 1 2+++ ++=nntfn nnE