Facultad de IngenierasEscuela Profesional de Ingeniera de Sistemas e InformticaMATEMATICA IMg. Mat - Fs. Arnaldo Ocaa MejaSemestre Acadmico 2015 II Semana 5 Suma, Resta, Cociente y Composicin de Funciones. Graficas de Funciones.1. lgebra de funciones realesConsideremos dos funciones reales y se pueden combinar para formar nuevas funciones, tales como: suma, diferencia, producto y cociente, que a continuacin se definen SUMA

DIFERENCIA

PRODUCTO

COCIENTE

Observamos que los dominios de cada una de estas nuevas funciones (suma, diferencia, producto y cociente) se interceptan[footnoteRef:1], pero en el caso del cociente de funciones es primordial asegurarse que el denominador sea distinto de CERO. Pues no tiene sentido la divisin entre CERO. [1: Es importante que, antes de realizar las operaciones de suma, resta, producto o divisin es necesario interceptar los dominios de las funciones, puesto que si no existe interseccin no podemos desarrollar dichas operaciones.]

Ejemplo 1.Dadas las funciones y Determine Como podemos observar la interseccin de los dominios de con existe, por lo que se realiza las operaciones requeridas.

O sea Donde

O sea Donde

O sea Donde

O sea Donde Observemos que el dominio para la funcin cociente se ha quitado el punto ya que en dicho punto el denominador se anula, y como se mencion anteriormente, en el denominador no debe tener CERO. Puesto que la divisin entre CERO no existe.

2. Composicin de funciones Sean y dos funciones con variable real. La funcin compuesta de con se denota con existe siempre y cuando , y se define: Grficamente

Ejemplo 2.Encuentre las frmulas para , , , Si y

Puesto que Aplicamos la definicin de funciones compuestas para cada uno de los siguientes casos:

Grfica de una funcin Las grficas permiten adquirir una representacin visual de una funcin. stas otorgan informacin que puede no ser tan evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas. Para representar grficamente una funcin , es comn utilizar un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, en las cuales, la variable independiente se representa en el eje horizontal, y la variable dependiente en el eje vertical. La grfica de es el conjunto:

1. Tcnicas bsicas para esbozar la grfica de una funcin A continuacin se describen algunos pasos a seguir para obtener un esbozo de la grfica de por medio de la representacin de puntos: i. Determinar los puntos de interseccin de con cada eje coordenado.

ii. Construir una tabla de valores de . Escoger un grupo representativo de valores de en el dominio de , y construir una tabla de valores

iii. Representar los puntos considerados en la tabla, en el sistema de coordenadas.

iv. Unir los puntos representados por medio de una curva suave.Nota 1.Muchas curvas diferentes pasan a travs de los puntos considerados en la tabla de valores. Para aproximarse mejor a la curva que represente a la funcin dada, es necesario graficar nuevos puntos. Ejemplo 1.Dada la funcin con regla de correspondencia Tabule ocho pares ordenados alrededor de Dibjelos en el plano cartesiano y trace una lnea sobre ellos Halle el Dominio y Rango de la funcin

Dibujando en el plano cartesiano y trazando una lnea que pase sobre dichos puntos, se tiene:Tabulamos algunos pares ordenados alrededor de :

A -2,0 +3,0B 0,0 +1,0C +2,0 -1,0D +4,0 -3,0E +6,0 -1,0F +8,0 +1,0

02

ABCDicha lnea es la grfica de la funcin . Sus pares ordenados cumplen la regla de correspondencia.Se puede observar que: y 2. Relacin entre los grficos de una funcin y sus funciones relacionadasSe denominan funciones relacionadas con una funcin dada a las siguientes funciones:

Donde y es un nmero real no nulo. Existen procedimientos para obtener de manera fcil y rpida los grficos de las funciones relacionadas, a partir del conocimiento del grfico de .

La manera de proceder se indica en la siguiente tabla, que se ilustra con un ejemplo: Definicin de la funcin Operaciones a realizar a la grfica de para obtener la grfica de Grfica de

Translacin vertical:haca arriba, unidades

Translacin vertical:haca abajo, unidades

Translacin horizontal:haca izquierda, unidades

Translacin horizontal:haca derecha, unidades

Dibujar la curva, simtrica con respecto al eje .

Dibujar la curva, simtrica con respecto al eje .

Si

Si Estirar la curva verticalmente en un factor .

Si Contraer la curva verticalmente en un factor .

Si

Las mismas operaciones del caso anterior, agregando una reflexin con respecto al eje .

Si Si Contraer horizontalmente en un factor .

Si Estirar horizontalmente en un factor .

Si Las mismas operaciones del caso anterior, agregando una reflexin en torno al eje .

La parte positiva queda igual, y la parte negativa se refleja con respecto al eje .

Ejemplo 2.Consideremos la funcin cuya regla de correspondencia sea Determine el Dominio y Rango de la funcin como tambin esbozar su grfica.Primero completemos cuadrados al polinomio:

De esta manera, tenemos una funcin en una forma manejable A continuacin, utilizaremos funciones relacionadas, para determinar el bosquejo de la grfica de dicha funcin en base a ciertas funciones conocidas que han sido presentadas.Veamos:La funcin tiene un parecido a la forma Dicha funcin es una parbola con vrtice en y que se abre hacia arriba.

Si se le antepone el signo menos, quedara de la forma la cual es una parbola con vrtice en y que se abre hacia abajo puesto que el coeficiente de es negativo.

Si Usted mantiene esta parbola con sus ramas como estn, pero si se traslada unidades a la derecha, queda as:

Si Usted mantiene esta forma con sus ramas como estn, pero la traslada hacia abajo unidades hasta, queda as:

Donde la regla de correspondencia, finalmente, queda de la forma porque ha sido trasladada hacia abajo unidades. De esta manera, tendr la grfica de Luego, segn el grfico su dominio y rango es: y

PROBLEMA 1.Dada la funcin con regla de correspondencia a. Evala y b. Determina el dominio y rango de c. Grafique la funcin Solucina. Como evaluar significa sustituir a por un valor determinado en la regla de correspondencia tenemos:

b. Como es una funcin polinmica (especficamente funcin cuadrtica), se tiene entonces que el y

c. Mediante su funcin relacionada, se tiene

PROBLEMA 2.Hallar el dominio de las funciones reales de variable real, a partir de sus reglas de correspondencia:a. b. c. Solucina. Sabemos que la funcin racional existe para todo real excepto para (puesto que anula el denominador); entonces el

b. En primer lugar, recordemos que tiene sentido Como entonces Es decir, existe para todo por lo tanto,

c. Similar al procedimiento de la parte b)Como entonces Resolviendo la inecuacin, se tiene

Por lo tanto, PROBLEMA 3.Expresa, mediante funcin, el rea de un cuadrado en trminos de su permetro. Luego halla, el rea del cuadrado si su permetro es SolucinDefinimos las variables que utilizaremos: lado de cuadrado rea del cuadrado (en ) permetro del cuadrado (en )Relacionamos las variables, de acuerdo al enunciado:

Establecemos la ecuacin que relaciona a las variables:

Finalmente, el rea en trminos del permetro es igual a

Si tenemos

Por lo tanto, el rea es PROBLEMA 4.Sea la funcin con regla de correspondencia :Halle el Dominio y Rango de la funcin como tambin su grfica

SolucinEstimado Estudiante, siga el procedimiento del ejemplo 2 de la semana 2 ayuda 2.

Le recomiendo que tome la funcin conocida .

Traslade hacia la derecha unidades. .

Despus trasldela hacia arriba unidades..

Luego: y PROBLEMA 5.Dados y dos funciones definidas por

Determinar y como tambin sus respectivos dominios.SolucinPor definicin, tenemos

Para determinar su dominio de recordemos que para la funcin raz cuadrada, lo que est dentro de la raz siempre debe tomar valores reales positivos, es decir Donde el dominio son todos los valores de talque

Como el caso anterior, el dominio se obtiene con la restriccin de que Entonces PROBLEMA 6.Encuentre las frmulas para las siguientes funciones , , , Si y SolucinAplicamos la definicin de funciones compuestas para cada uno de los siguientes casos: Recuerde que Luego aplicamos frmula de producto notable

Aplicando nuevamente producto notable

PROBLEMA 7.Dado y dos funciones definidas por:

Determine: a)

b)

Solucina) Aplicamos la definicin de composicin de funciones

Luego evaluamos en el punto es decir

Por lo tantob) Anlogamente a lo que se hizo en la parte a)

PROBLEMA 8.

La figura muestra la grfica de la funcin f.a) Grafica la funcin y determina su dominio y su rango. b) Halla los tales que

Solucin a. La grfica de se obtiene por translacin horizontal de la grfica de , unidades a la izquierda. La grfica de se obtiene por traslacin vertical de la grfica de, unidades hacia abajo.

En la figura se muestran las grficas

b.La grfica de interseca al eje en los puntos y . Estos puntos pueden obtenerse a partir de las traslaciones de los puntos y de la grfica de .De ello:

PROBLEMA 9.Dada la funcin definida por , si .Graficar la funcin , indicando su dominio y su rangoSolucin

La grfica de se obtiene aplicando sucesivamente una traslacin horizontal de unidad a la izquierda y una traslacin vertical de unidades.Desarrollando el valor absoluto tenemos la grfica de :

Mg. Arnaldo Ocaa MejaPgina 1Matematica I